§1.4 向量和矩阵范数 向量范数 ( vector norms )

nRyx ,

对任意定义 1 ： Rn 空间的向量范数 || · || , 对任意 满足下列条件 00||||;0||||)1(

xxx||||||||||)2( xx C

||||||||||||)3( yxyx

常用向量范数：

n

iixx

11 ||||||

n

i ixx

1

2

2||||||

||max||||1

ini

xx

主要性质性质 1:‖-x‖=‖x‖性质 2: ‖｜ x‖-‖y‖ ≤‖｜ x-y‖

性质 3: 向量范数‖ x‖是 Rn 上向量 x 的连续函数 .范数等价 :设‖·‖A 和‖·‖B 是 R 上任意两种范数，若存在 常数 C1 、 C2 > 0 使得 , 则称 ‖·‖A 和‖·‖B 等价。

定理 1.4.1 Rn 上一切范数都等价。

定义 2:设｛ xk ｝是 Rn 上的向量序列， 令 xk=(xk1,xk2,…， xkn) Ｔ , k=1,2 …， .,

又设 x* ＝（ x1* ， x2

* …， ， xn*) Ｔ是 Rn 上的向量 .

如果 lim xki=xi 对所有的 i=1,2,…， n 成立， 那么 ,称向量 x* 是向量序列｛ xk ｝的极限 ，

若一个向量序列有极限 ,称这个向量序列是收敛的 . 对任意一种向量范数‖·‖而言，向量序列｛ xk ｝收敛于向量 x* 的充分必要条件是定理 1.4.2

*lim || || 0kkx x

矩阵范数 ( matrix norms )nmRBA ,定义 3:对任意 , 称 || · || 为 Rmn 空间的矩

阵范数 , 指 || · || 满足 (1)-(3) ：00||||;0||||)1( AAA

(2) || || | | || ||A A C对任意||||||||||||)3( BABA

(4) || AB || || A || · || B ||若还满足 (4), 称为相容的矩阵范数

例 5: 设 A＝ (aij)∈M. 定义2

, 1

1|| || | |n

iji j

A an

证明：这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数 .证明：设 1 1 1 1

,1 1 1 1

A B

2 22 2

AB

|| || 1,|| || 1,|| || 2A B AB

从而 || || || || || ||AB A B

相容性（ 1）矩阵范数与矩阵范数的相容 :‖AB‖≤‖A‖‖B‖（ 2）矩阵范数与向量范数

设 A∈M ‖， A‖是矩阵范数 ,x∈Rn ‖， x‖是向量范数 .如果满足不等式 :‖Ax‖≤‖A‖‖x‖

则称矩阵范数‖ A‖与向量范数‖ x‖相容 .

常用的算子范数：

由向量范数 || · ||p 导出关于矩阵 A Rnn 的 p 范数 :px

p

pp xA

xxA

Apx

||||max||||||||

max||||10 ||||

则ppp

ppp

xAxA

BAAB

||||||||||||

||||||||||||

n

jijaA

ni 1

||max||||1

（行和范数）

n

iijaA

nj 11 ||max||||

1（列和范数）

)(|||| max2 AAA T （谱范数 ( spectral norm ) ）

利用 Cauchy 不等式

可证（例 6 ）。2 2| | || || || ||x y x y

可以证明 , 对方阵 和 有 : ，nnRA nx R 2 2|| || || || || ||FAx A x

n

i

n

jijF aA

1 1

2|||||| ( 向量 || · ||2 的直接推广 )Frobenius范数 :( operator norm ), 又称为从属的矩阵范数 :算子范数

定理 1.4.6 对任意算子范数 || · || 有 : ||||)( AA 证明：由算子范数的相容性，得到 |||||||||||| xAxA

将任意一个特征根 所对应的特征向量 代入 u

|||||||||||| uAuA |||||||||| uu

命题 (P26 ，推论 1 ）若 A 对称，则有 : )(|||| 2 AA A 对称证明： )()(|||| 2

maxmax2 AAAA T

若 是 A 的一个特征根，则 2 必是 A2 的特征根。又：对称矩阵的特征根为实数，即 2(A) 为非负实数，故得证。

)()( 22max AA 对某个 A 的特征根 成立

所以 2- 范数亦称为谱范数。

定理 1.4.4 若矩阵 A 对某个算子范数满足 ||A|| < 1 ，则必有①. I A 可逆； ②. 1 11 || ||

I AA

证明：① 若不然，则 有非零解，即存在非零向量 使得

( ) 0I A x

0x0 0Ax x 0

0

|| || 1|| ||Axx

|| || 1A

② 1( )( )I A I A I 1 1( ) ( )I A A I A

1 1( ) ( )I A I A I A

1 1|| ( ) || 1 || || || ( ) ||I A A I A

§1.5 线性方程组的性态（误差分析） ( Error Analysis for Linear system of Equations )

思考 : 求解 时 , A 和 的误差对解 有何影响？Ax b b x

设 A 精确， 有误差　 ，得到的解为 ，即 b b x x

1x A b 1|| || || || || ||x A b

绝对误差放大因子

|| || || || || || || ||b Ax A x 又 1 || |||| || || ||

Ax b

1|| || || |||| || || |||| || || ||x bA Ax b

相对误差放大因子( )A x x b b

设 精确， A 有误差 　 ，得到的解为 ，即b A x x

( )( )A A x x b

( ) ( )A x x A x x b 1 ( )x A A x x

1

1

|| || || || || |||| ||

|| |||| || || |||| ||

x A Ax x

AA AA

( ) ( )A A x A A x b ( )A A x Ax

1( )A I A A x Ax 1 1 1( )x I A A A Ax

( 只要 A 充分小，使得 )1|||||||||||| 11 AAAA

11

11

|| |||| || || |||| || || || || || || ||

|| |||| || 1 || || || || 1 || || || |||| ||

AA Ax A A A

Ax A A A AA

是关键的误差放大因子，称为A 的状态数 ( 条件数 ) ，记为 cond (A) ,

|||||||| 1 AA

注 : cond (A) 与 所取的范数有关常用条件数有：

cond (A)2 )(/)( minmax AAAA TT

特别地，若 A 对称，则||min||max)( 2

Acond

cond (A)1 =‖ A‖ 1 ‖ ‖11A

cond (A) =‖ A‖ ‖ ‖1A

例： Hilbert 阵

121

111

31

21

1211

nnn

n

nH

cond (H2) = 27 cond (H3) 748

cond (H6) = 2.9 106

注：现在用 Matlab数学软件可以很方便求矩阵的状态数 !定义 2: 设线性方程组的系数矩阵是非奇异的 , 如果cond(A) 越大 , 就称这个方程组越病态 . 反之 ,cond(A)越小 , 就称这个方程组越良态 .