固体物理学２ 第７章 半導体 （第３回）

○ 半導体のバンド構造

○ 真性半導体

○ キャリア数密度

○ フェルミ準位

○ 導電率と禁制帯幅（バンドギャップ） 1

周期律表中の半導体

7.1 真性半導体

2

元素半導体、化合物半導体

3

7.1.1 元素半導体（IV族元素）

4

5

6

7

8

9

10

真性半導体の電導度

真性半導体は両極性伝導（電子と正孔の両方がキャリアとして働く）

真性半導体では、 pn (7.1.1)

pp

ee

qp

qn

電子、正孔の導電率との関係は、

(7.1.2)

(7.1.3)

11

(7.1.4)

真性半導体の導電率は、

)( pei

pe

pei

qn

qpqn

pnni

ただし、

12

7.1.2 真性半導体のキャリア数密度

dgfn )()(

フェルミ分布関数、状態密度関数であらわされる。

(7.1.5)

自由電子モデルでは、

1

1)(

/)(

TkBFe

f

2/12/3

22)

2(

)2(

12)(

m

g

13

14

真性半導体中の電子数密度

1

1)(

/)(

Tke

BFef

2/12/3

22)()

2(

)2(

12)( g

ec

mg

ct

g

dgfdgfn ce

)()()()(

Tk

TkeBF

BFe

ef

/)(

/)(1

1)(

ct

関数近似 フェルミ→マックスウェル

積分範囲の変更 最終的に(7.1.18)へ 15

真性半導体中の正孔数密度

1

11)(1)(

/)(

Tkep

BFeff

2/12/3

22)()

2(

)2(

12)(

p

c

mg

0

)()()()(vb

dgfdgfn vp

Tk

TkpBF

BFe

ef

/)(

/)(1

11)(

vb

関数近似 フェルミ→マックスウェル

積分範囲の変更 最終的に(7.1.20)へ 16

適宜、積分範囲を決めて算出すれば、電子について、

2/3

2

2/3

/)(

)2

(2

)(

h

kmN

TNN

fNeNn

Bece

cee

gee

Tk

cBFg

2/3

2

2/3

/

)2

(2

)0(

h

kmN

TNN

fNeNp

Bp

vp

vpv

pv

Tk

vBF

正孔について、

(7.1.20)

(7.1.21)

(7.1.19)

(7.1.18)

17

電子、正孔のいずれも数密度の温度依存性は、

TkBgeTp2/2/3

TkBg

eTn2/2/3

gF 2

1真性半導体 であれば、

18

19

７．１．３ 真性半導体のファルミ準位

○ 真性半導体のフェルミ準位 ○ np積の一定性 ○ 禁制帯幅（バンドギャップ）とキャリア数密度 （電導度）との関係

20

７．１．３ 真性半導体のファルミ準位

○ 真性半導体のフェルミ準位 禁制帯の中央 ○ np積の一定性 水溶液のpHに類似（不純物半導体でも成立） ○ 禁制帯幅（バンドギャップ）とキャリア数密度 （電導度）との関係 キャリア数密度のアレニウスプロット ↓ 勾配の大きさがバンドギャップを表す。

21

○ 真性半導体のフェルミ準位

電子・正孔の数密度の式（7.1.18）、（7.1.20）より、

Tk

cBFgeNn

/)(

Tk

vBFeNp

/

Tk

v

Tk

cBFBFg eNeN

//)(

これを、Fについて解けば、

)ln(4

3

2

1

e

p

BgFm

mTk （7.1.25）

22

○ np積の一定性

電子・正孔の数密度の式（7.1.18）、（7.1.20）より、

Tk

peBTk

vciBgBg emm

h

TkeNNnnp

/2/33

2

/2 )()2

(4

Tk

peB

iBgemm

h

Tkn

2/4/32/3

2)()

2(2

np積の一定性は、不純物半導体でも成立

（7.1.29）

（7.1.28）

23

Tkemm

h

kq

T B

g

pe

Tk

peBi Bg

1

2

434.0)()()

2(2log)log(

2/4/32/3

22/3

（7.1.30）

変形して、

Tk

peB

peii

Bgemmh

Tk

qn

2/4/32/3

2)()

2(2

)(

（7.1.31）

24

25

禁制帯幅（バンドギャップ）の温度依存性

Tgg 0（7.1.32）

バンドギャップは温度上昇とともに小さくなる。 （格子の熱膨張の結果）

26

27

28

29

30

31

真性半導体の室温(298K)におけるキャリア数密度

g (eV) exp(-g/2kT) 1019exp(-g/2kT) (/cm3)

0.5 5x10-5 5x1014

1.0 2x10-9 2x1010

2.0 4x10-18 40

3.0 9x10-27 9x10-8

参考： 金属 ｎ～1022/cm3

32

33

34

まとめ

○ 真性半導体の伝導機構 ○ 半導体のフェルミ準位 ○ 電気伝導度（キャリア数密度）の 温度依存性とバンドギャップ ○ np積の一定性

35

演習

36

図からSiとGaAs

のバンドギャップを求め、テキストの表の値と比較せよ。