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2010年3月3日星期三 1

第十一章电路的频率响应

谐振的概念、频率响应。

网络函数的定义与含义；

串、并联谐振的概念，参数选定及应用情况；

Bode图

学习要点

重点与难点

与其它章节的联系

第九、十章的继续


§11-1 网络函数

到目前为止，在正弦电路分析中，电源的频率都是常数。本章将分析电源频率的变化对电路中电压和电流的影响，分析结果就是频率响应。

网络函数定义为：

电路和系统的工作状态随频率而变化的现象，称为电路和系统的频率特性，或频率响应。

无源网络

I1(j)

ZL

I2(j)

U2(j)U1(j). .

..

H(j) Esj(j).Rk(j).

为描述频率特性，需要建立输入变量与输出变量之间的函数关系，这一函数关系称为网络函数。


为转移电压比；

无源网络

I1(j)

ZL

I2(j)

U2(j)U1(j). .

..

H(j) U1(j).

U2(j).

H(j) I1(j).

U2(j).

为转移阻抗；

为转移导纳；

H(j) I2(j).

U1(j).

H(j) I2(j).

I1(j).

为转移电流比；

若激励与响应在同一端口：

H(j) U1(j).

I1(j). 为输入

阻抗。

H(j) U1(j).I1(j).

为输入导纳。

网络函数不仅与电路结构、参数有关，还与输入输出变量的类型及端口对的相互位置有关。

根据激励、响应是电压或电流，输入或输出，网络函数有多种类型：


§11-1 RLC串联电路的谐振

引言：一个含有RLC的无源一端口，其端电压u与输入电流 i一般是不同相的。如果改变C 或L 或电源频率 f，使端口电压和电流达到同相，则电路中就发生了谐振现象，简称谐振。(谐振的定义)谐振可以发生在串联电路中，也可以发生在并联电路中，当然，在混联电路里也会发生谐振。

谐振是正弦交流电路中可能发生的一种现象，在在无线电和电工技术中，一方面获得了广泛的应用，另一方面又可能产生危害。

研究谐振的现象目的是掌握它的规律，在需要时加以利用，在产生危害时设法预防。


1. 串联谐振的条件

R jL

.UR

.UL

.UC

jC1

.US

.I

若谐振发生在串联电路中，就称为串联谐振。

因为 ZRj(XLXC)所以当 XLXC0 时

ZR电流与电压同相。

谐振条件 L C

1

谐振频率 LC1

谐振频率仅由电路参数决定，这是电路的固有性质。因此谐振频率又称固有频率。

每一个RLC串联电路，只有一个固有频率，由L、C决定，与R无关。或 f2 LC

1


如果电路不满足谐振条件，通常称为失谐。

而使电路产生谐振的方法叫做调谐。

根据谐振频率表达式可知，调谐的方法有：

(1) L、C 不变，改变 f ，可用于L或C的测量；

(2) 电源频率f 不变，改变L 或 C ( 常改变 C ) ，常用于选择信号。

2. 谐振时的特征(1)电路端口电压与端口

电流同相位；

(2)输入端阻抗 Z(j)R 最小，且呈纯电阻。电路

中的电流达到最大；

R jL

.UR

.UL

.UC

jC1

.US

.I

|I(j)| |US(j)|

R


|Z(j)|频响曲线

Z(j)R+j L

o

|Z(j)|X LL

C

X()

<0，X为容性电抗。>0，X为感性电抗。0，X0。 o

R1< R2

C

XC

R

|Z(j)|

|I(j)|

|I(j)|

|I(j)|

R1

R2

|I(j)| US

R jL

.UR

.UL

.UC

jC1

.US

.I

|Z(j)|

电流的特性


(3) 内部出现过电压现象

谐振时的相量图

.I

.UL

.UR

.UC

.US

为谐振电路的品质因数。

R jL

.UR

.UL

.UC

jC1

.US

.I

相当于短路

虽然谐振时电抗电压UX(j0)0，但UL(j0)

UL(j0)0LI(j0)0L RUS QUS

和UC (j0)分别不为零：

UC(j0)0C1 I(j0)

0C1

RUS QUS

Q0L

R0CR

1 R1

CL

US

UL(j0)

US

UC(j0) 0L 0C

1＞R，Q＞

UL(j0)UC(j0)＞US


串联谐振可能会在L、C上引起高电压。所以串联谐振又称为电压谐振。

串联谐振引起的高电压在无线电等工程领域十分有用。例如，用来选择接收信号。

但是在电力工程中，输送的电压已经很高，发生串联谐振可能会击穿L和C的绝缘，造成设备损坏。


例：某收音机的输入回路如图，L0.3mH，R10，为收到中央电台560kHz信号，求调谐电容C值；若输入电压为1.5V，求谐振电流和此时的电容电压。

解：由串联谐振的条件得

C(2f0)2L

1 269pF

R

L

u(f0)

C

u2

收音机的接收回路

u(fn)

I0

I0UR

101.5 A

UC I0 0C1 V ＞1.5V

电路的Q值约106。

为提高电路的Q值，中波段的L常采用多股漆包线绕制，短波段常采用单股镀银导线绕制而成。


(4)谐振时功率关系

有功功率为： P(j0)US I(j0) I2(j0)R

即电源向电路输送电阻消耗的功率，电阻功率达最大。

无功功率为： Q(j0)QL(j0) QC(j0)

0LI2(j0)0C I2(j0)

即电源不向电路输送无功，电感中的无功与电容中的无功大小相等，互相补偿，彼此进行能量交换。

R

LC

.US

.I

Q

P


(5) 谐振时的能量关系

设 i Imcost则 uCUCmsintIm0Lsint

能量总和：WjWLjWCj

总能量是常量，不随时间变化，正好为最大值。

电场能量和磁场能量作周期振荡性的能量交换，且最大值相等。

电感储能 wLj Li221 LI2cos2t

电容储能 wCj 21 CuC

2 LI2sin2t

LI2jCUC2jCQ2US

2


电感、电容储能的总值与品质因数的关系为：

即品质因数 Q 是反映谐振回路中电磁振荡程度的量。Q 越大，总的能量就越大，维持一定量的振荡所消耗的能量愈小，振荡程度就越剧烈。则振荡电路的“品质”愈好。一般应用于谐振状态的电路希望尽可能提高 Q 值。

Q0L

R0 R I2(j0)

L I2(j0) P(j0)

|QL(j0)| P(j0)

|QC(j0)|

L I2(j0)

T0 R I2(j0)谐振时电路中磁场总储能

谐振时一周期电路消耗的能量


§11-3 RLC串联电路的频率特性

保持输入信号uS的幅度不变，只改变，分别以R、L、C上的电压为输出，这些网络函数的频率特性就是电路的频率响应。

R jL

.UR

.UL

.UC

jC1

.US

.I

为便于在同一个尺度下比较，横坐标以为基值：

即以0

为坐标。显然，电路在处谐振。

这样绘制的频率响应曲线称为通用曲线。

1. 以电阻电压作为输出变量

网络函数 HR(j)US(j).

UR(j).

Z(j)

R


分析幅频特性：0：电流或电压出现最大值；和偏离谐振点0，曲线逐渐下降。

只有在0附近1～2，才有较大的输出幅度。

o 1

Q1

Q2

Q1>Q21.0

0.5

HR(j)

具有选择0附近信号的能力，称工程上称选择性。

Q值越大，曲线在0附近的形状越尖锐。稍有偏移，输出就急剧下降，说明选择性越好。


通频带(或称频带宽度)的概念

j2j1)称为通频带。

按上述规定：

工程上规定：频率升高或降低，使曲线下降为原来的0.707倍时所对应的频率分别为上截止频率j2和下截止频率j1。

0.707

1

Q1

Q2

Q1>Q2

o

1.0

0.5

HR(j)

BW2

1Q21 )2

1 21

或 Q21 )21

Q1 )±1 解之得到

BWj2j1Q1

BWj2 j1Q0

j2j1


Q越大，BW越窄，选择性越好。

从提高抗干扰能力和选择性的角度出发，谐振曲线越尖锐越好，因此应尽量提高Q值。

从减少信号失真的观点出发，要求通频带有一定宽度，而且在通频带范围内谐振曲线平坦一些为好，因此又不希望Q值太高。

BWj2 j1Q0

0.707

1

Q1

Q2

Q1>Q2

o

1.0

0.5

HR(j)

BW1

BW2

实践中要视具体情况兼顾两方面的要求。


2. 以电容电压作为输出变量

HC(j) US(j).

UC(j).

jQ2

jQ

UC(j).

滞后 UR(j).

90o，相频特性的分析从略。

幅频特性：

|HC(j)| Q2

Q

用数学的方法绘制曲线：

令d|HC(j)|

d求得：

出现峰值时的频率为

C2 4Q

峰值为

|HC(jC2)| Q

4Q


出现峰值时的频率

1.0

0.5

HC(j)

1 oC2

Q＜0.707

Q1C2 4Q

4Q

|HC(jC2)| Q

谐振峰值

＜1

＞Q

当 Q＞时，有峰值。21

Q 越高，C2越靠近1，峰值频率越靠近谐振频率。

|HC(jC2)|的分母小于1，故谐振峰值＞Q。

低通函数，具有低通滤波特性。


R L

CuS uC

0.707

j

令|HC(j)| 21

可求出上截止频率：

j≈1.550。

通频带0~j。

3. 以电感电压作为输出变量

|HL(j)|与|HC(j)|镜像对称。 1.0

0.5

HC(j)

o 1

Q1

HL(j)

分析过程同上。


§11-4 RLC并联谐振电路.I

.IC

jCjL

1

.IL

.IG

G.

U

.IS

若谐振发生在并联电路，则称为并联谐振。

谐振的定义和分析过程与串联电路相同。

Y(j)Gj(CL1 )

电路的导纳为

1. 谐振条件 0C0L0

谐振频率 LC1

或 f2 LC1

f0是电路的固有频率，由L、C决定，与G无关。


2. 并联谐振的特征

(1)电路端口电压与端口

.I

.IC

jCjL

1

.IL

.IG

G.

U

.IS

电流同相位；

(2)输入端阻抗 Y(j)G最小，且呈纯阻性。或者电路的抗阻达到最大；

(3)电源电压U一定时，总电流 I 最小；但是，若采用电流源供电(或提供信号)，由于电路的抗阻达到最大，所以端口处电压U 最高。

(4)局部可能出现过电流：ILIC >I 。

谐振时的相量图

.U

.IC

.IG

.IL

.IS因此，并联谐振也称为电流谐振。


IL(0)

并联谐振电路的品质因数.I

.IC

jCjL

1

.IL

.IG

G.

U

.IS

0LU

0LG1 IS

QIS

IC(0) 0CUG

0CIS QIS

QIS

IL(0) IS

IC(0) 0LG

1 0C

G

G1

LC

因此，电容或电感中的电流是电流源电流的Q倍。

如果Q >>1，电容或电感中会出现过电流。


3. 谐振时的无功功率Q

QC 0CU2

QL 0L1 U2

.I

.IC

jCjL

1

.IL

.IG

G.

U

.IS

QC QL0

能量交换发生在L、C之间，

不用外电路提供无功功率。

能量总和保持不变：

W(0)WC(0)WL(0) LQ2IS2


4. 实用的并联谐振电路

根据谐振定义，当Im[Y(j0)]时，电路发生谐振。

Y(j0)j0C

>0 时，当

.IC

.I1

.U

.Is

R

jL jC1电路的输入导纳为

Rj0L1

R2(0L)2

R j 0CR2(0L)2

0L

由 CR2(0L)2

L

得 0 LC1 1

LCR2

1L

CR2

RCL ，0是实数。

R>CL 电路不发

生谐振。

调电阻也能改变谐振。


.U

.I1

.IS

.IC

.IC

.I1

.U

.Is

R

jL jC1

将0代入 C R2(0L)2

L

得Y(j0) LRC Z(j0) L

RC谐振时导纳不是最小，因此阻抗和端电压也不是最大。

谐振时的相量图实用电路的电感线圈电阻很小，损耗也很小，在小损耗情况下：

很大时，ICI1sinIS tg

L和C支路会出现过电流。

0 LC1 Q

0LR

0CR

1

R1

CL

I1

IS

IC

IS

Q一般在几十到几百。


有选频作用。常用于正弦波振荡器、调谐放大器中。

右图是变压器耦合的正弦波振荡器。

LC为并联谐振电路，其主要作用是选频。

L的直流电阻很小，故振荡频率为：

f 2 LC1

改变C，能方便地调整振荡频率，以满足不同需要。

*

*

UCC

RL

T

Rb2

Rb1

Cb

Re Ce

C L

Lf


§115 波特(Bode)图

lg0 0.2 0.5 0.8 1

1 2 3 4 6 10

102

21

0.1

Bode图又称为对数坐标图。横坐标即频率坐标按对数lg进行线性分度。 lg增大1

增大10倍

频率轴上每一线性单位表示频率的十倍变化，称为每十倍频程，用dec表示。

幅频特性的纵坐标也是对数值：HdB20lgH(j)。单位是分贝(dB)。

HdB [dB]

0

20

20

40

40

相频特性的纵坐标用度(或者弧度)，横坐标同上。


对数坐标图的优点：

展宽频带；

将乘除变成加减，绘制方便；用分段直线(渐进线)近似表示。

20

40

0

40

20

20lgH(j) [dB]

0.1 0.2 1 2 3 10 20 102 103

90o

180o

0o

180o

90o

(j)


例114 绘出右边网络函数的Bode图。 H(j)

(j2)(j10)j200

解：改写成标准形式：(1j/2)(1j/10)

j10

幅频特性和相频特性分别为：

HdB20lg(10)20lg|1j/2|20lg|1j/10|90oarctg(/2)arctg(/10)分析幅频特性20lg(10)：，20lg(10)0d；

，20lg(10)0d。这是一条过(，0)点，斜率为20d/dec的直线。

转折频率有两个，分别为：和。


HdB20lg(10)20lg|1j/2|20lg|1j/10|

20lg|1j/2| ：可用两段渐近线逼近。

＜，用20lg|1j/2|0d的水平线逼近。

＞，20lg|1j/2|20lg(/2)。

这是一条过(2，0)点，斜率为20dB/dec的直线。

20lg|1j/10|：也是用两段渐近线逼近。

＜，用20lg|1j/10|0d的水平线逼近。

＞，是过(10，0)点，斜率为20dB/dec的直线。

，20lg(/2)0；，20lg(/2)20dB。


分析相频特性：90oarctg(/2)arctg(/10)

第二、三项也可以用折线近似：

高于10倍转折频率为90o直线；

第一项显然是90o直线；

低于0.1倍转折频率，为0o直线；

(0.1~10)倍转折频率之间，是一条45o/dec的直线。

将以上各线段叠加，可得近似相频特性曲线。

相频特性用折线近似误差较大，通常要逐点描绘。


§116 滤波器简介

滤波器是电子产品的重要部件，其主要功能是作为各种电信号的提取、分隔、抑止干扰等。在具有特定功能的电子产品中均有滤波器的踪迹可寻。

滤波器分为有源和无源二大类。

无源滤波器按构成元件不同最常见的有：RC滤波器、LC滤波器、陶瓷滤波器、晶体滤波器、机械滤波器、声表面波滤波器；另外还有螺旋滤波器、介质滤波器、微波滤波器等。

滤波器按其功能可以分为：中频滤波器、边带滤波器、话路滤波器、线性相移滤波器、相位恒定滤波器、相位配对滤波器、电源滤波器等。


滤波器按其主要特性可分为：带通、带阻、高通、低通、可变通带等滤波器。

滤波器还有经典滤波器和现代滤波器之分。

目前，现代滤波器主要有：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、线性预测器、自适应滤波器等。

经典的无源滤波器

利用L、C彼此相反又互补的频率特性构成。L

C

型低通

L

CC

L

C

L

T型低通型低通


型低通的幅频特性为L

C

型低通

ui

uo

o

20dB/dec

转折频率

L、C的位置换一下，就是高通滤波器。

带通滤波器

L1 C1

C2L2

L1

C1

C2

L2

带阻滤波器


本章结束


20

40

0

40

20

20lgH(j) [dB]

0.1 0.2 1 2 3 10 20 102 103

90o

180o

0o

180o

90o

(j)

20dB/dec

20dB/dec20dB/dec


20

40

0

40

20

20lgH(j) [dB]

0.1 0.2 1 2 3 10 20 102 103

90o

180o

0o

180o

90o

(j)

45 o/dec45o/dec

45o/dec90o/dec


习题1119 (1) H(j)10j

1

解：化为标准形式 H(j) 1j

0.1转折频率10 。

幅频特性：HdB20lg0.1 20lg|1j/10|10时，第项≈，起点是一条高度为20dB的水平线；10时，HdB≈ 20lg0.120lg(/10)，是一条过点(10，20)，斜率为20dB/dec的直线。

心算绘制：从低频段画一条20dB的水平线，并向高频端延伸；当遇到转折频率10时，直线斜率改变20dB/dec后继续向高频端延伸，一直延伸到最右端。

相频特性：arctg(/10)用三段直线构成的折线近似。


相频特性为：低于0.1倍转折频率(10)，为0o直

40

60

20

20

0

20lgH(j) [dB]

0.1 0.2 1 2 3 10 20 102 103

180o

270o

90o

90o

0o

(j)

20dB/dec

45o/dec

而(0.1~10)倍转折频率之间，是一条45o/dec的直线。

0.1 10

根据上述分析，幅频特性为：

线；高于10倍转折频率，为90o直线；(见下图)


习题1119 (2) H(j)jj10

1j5j2j1j

转折频率有两个，分别为：和。幅频特性：HdB20lg20lg|1j/2|20lg|1j/10|心算法绘制过程注意在分子上，在分母上：

① 在频率轴上标出转折频率和。

② 起始段20lg决定，这是一条过(1，0)点，斜率为20dB/dec的直线。

③ 直线从起始端开始向增大的方向延伸，当遇到时，斜率改变+20dB/dec；当遇到时，斜率改变20dB/dec；一直延伸到坐标的最右端即可。


相频特性：90oarctg(/2)arctg(/10)

转折频率分别为和。心算法绘制过程：

①在频率轴上标出0.1、0.1、101、0；

②起始段为90o的直线，并向增大的方向延伸，

当遇到0.1时，直线斜率改变45o/dec；当遇到0.1时，直线斜率改变45o/dec；当遇到101时，直线斜率改变45o/dec；当遇到0时，直线斜率改变45o/dec；一直延伸到坐标的最右端即可。


40

60

20

20

0

20lgH(j) [dB]

0.1 0.2 1 2 3 10 20 102 103

90o

180o

0o

180o

90o

(j)

幅频特性：HdB20lg20lg|1j/2|20lg|1j/10|

相频特性：90oarctg(/2)arctg(/10)

20dB/dec

45 o/dec

0dB/dec 20dB/dec

45o /dec0o/dec

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