· 精讲精练《新课标高中数学精讲精练》丛书主编徐山洪编委谢柏芳...

精讲精练

《新课标高中数学精讲精练》

丛书主编徐山洪

编委谢柏芳刘玉泉谭玉石

王庚儿李剑夫张志略

马荣林邓世疆赵朝贤

陈新权刘会金陈远刚

李德明王振芳黄全顺

王福山饶乘凤关丽琼

潘泽学匡唐松宾业河

谢凤仙余扩益高建彪

张天良谢小毛谢吉权

张梅玲陈上越赵启锐

饶胜文周志明李志敏

本册主编高建彪

校审刘华山（第一章）

温炳伟（第二章）

李晓莉（第三章）

饶胜文（第四章）

质量监督 076022824224 意见信箱 [email protected]

信息反馈 http://sx.zsedu.net/nh

美术编辑陆镜平

开本 890mm×1 240mm 16 开

印张 6 字数 80 000 印数 4 301～5 300 册

版次 2009 年 10 月第 4版

印次 2009 年 10 月第 4次印刷

本册成本 9.2 元

新课标高中数学精讲精练

人教 A 版必修②

目录 1 §1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征……………（01） 2 §1.1.2 简单组合体的结构特征 ………………（03） 3 §1.2.2 空间几何体的三视图…………………（05） 4 §1.2.3 空间几何体的直观图…………………（07） 5 §1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积……………（09） 6 §1.3.1 柱体、锥体、台体的体积………………（11） 7 §1.3.2 球的体积和表面积………………………（13） 8 第一章空间几何体复习………………………（15）

9 §2.1.1 平面……………………………………（17） 10 §2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系…（19） 11 §2.1.3 直线与平面、平面与平面位置关系…（21） 12 §2.2.1 直线与平面平行的判定………………（23） 13 §2.2.2 平面与平面平行的判定………………（25） 14 §2.2.3 直线与平面平行的性质………………（27） 15 §2.2.4 平面与平面平行的性质………………（29） 16 §2.3.1 直线与平面垂直的判定………………（31） 17 §2.3.2 平面与平面垂直的判定………………（33） 18 §2.3.3 线面、面面垂直的性质………………（35） 19 第二章点线面之间的位置关系复习………（37）

20 §3.1.1 倾斜角与斜率…………………………（39） 21 §3.1.2 两条直线平行与垂直的判定…………（41） 22 §3.2.1 直线的点斜式方程……………………（43） 23 §3.2.2 直线的两点式方程……………………（45） 24 §3.2.3 直线的一般式方程……………………（47） 25 §3.3.1 两条直线的交点坐标…………………（49） 26 §3.3.2 两点间的距离…………………………（51） 27 §3.3.3 点到直线的距离及两平行线距离……（53） 28 第三章直线与方程复习……………………（55）

29 §4.1.1 圆的标准方程…………………………（57） 30 §4.1.2 圆的一般方程…………………………（59） 31 §4.2.1 直线与圆的位置关系…………………（61） 32 §4.2.2 圆与圆的位置关系……………………（63） 33 §4.2.3 直线与圆的方程的应用………………（65） 34 §4.3.1 空间直角坐标系………………………（67） 35 §4.3.2 空间两点间的距离公式………………（69） 36 第四章圆与方程复习………………………（71）

第 1～36 练答案 …………………………（ 73～91）

《新课标高中数学必修②精讲精练》——精讲第一章空间几何体

1

第 1 讲 §1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征 ¤学习目标：认识柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.逐步

培养观察能力和抽象概括能力. ¤知识要点：

结构特征图例

棱

柱

（1）两底面相互平行，

其余各面都是平行四边

形；

（2）侧棱平行且相等.

圆

柱

（1）两底面相互平行；（2）侧面的母

线平行于圆柱的轴；

（3）是以矩形的一边所在直线为旋转

轴，其余三边旋转形成的曲面所围成

的几何体.

棱

锥

（1）底面是多边形，各

侧面均是三角形；

（2）各侧面有一个公共

顶点.

圆

锥

（1）底面是圆；（2）是以直角三角形

的一条直角边所在的直线为旋转轴，

其余两边旋转形成的曲面所围成的几

何体.

棱

台

（1）两底面相互平行；

（2）是用一个平行于棱

锥底面的平面去截棱锥，

底面和截面之间的部分.

圆

台

（1）两底面相互平行；

（2）是用一个平行于圆锥底面的平面

去截圆锥，底面和截面之间的部分.

球（1）球心到球面上各点的距离相等；（2）是以半圆的直径所在直线为

旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体.

¤例题精讲：

【例 1】请描述下列几何体的结构特征，并说出它的名称. （1）由 7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其它面都是全等的矩形；

（2）如右图，一个圆环面绕着过圆心的直线 l旋转 180°. 解：（1）特征：具有棱柱的特征，且侧面都是全等的矩形，底面是正五边形. 几何体为正五棱柱.

（2）由两个同心的大球和小球，大球里去掉小球剩下的部分形成的几何体，即空心球. 【例 2】若三棱锥的底面为正三角形，侧面为等腰三角形，侧棱长为 2，底面周长为 9，求棱锥的高.

解：底面正三角形中，边长为 3，高为 3 3 3 sin 60 2

× ° = ，中心到顶点距离为 3 3 2 3 2 3

× = ，

则棱锥的高为 2 2 2 ( 3) 1 − = . 【例 3】用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之

比为 1：16，截去的圆锥的母线长是 3cm，求圆台的母线长. 解：设圆台的母线为 l ，截得圆台的上、下底面半径分别为 r ， 4r .

根据相似三角形的性质得， 3

3 4 r

l r =

+ ，解得 9 l = .

所以，圆台的母线长为 9cm. 点评：用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质（与底面全等或相似），同时

结合旋转体中的轴截面（经过旋转轴的截面）的几何性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的

方程组而解得. 【例 4】长方体的一条对角线与一个顶点处的三条棱所成的角分别为 , , α β γ ，求

2 2 2 cos cos cos α β γ + + 与 2 2 2 sin sin sin α β γ + + 的值.

解：设长方体的一个顶点出发的长、宽、高分别为 a、b、c，相应对角线长为 l，则 2 2 2 l a b c = + + . 2 2 2 2 2 2 cos cos cos ( ) ( ) ( ) 1 a b c

l l l α β γ + + = + + = ， ∴ 2 2 2 cos cos cos α β γ + + =1.

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 sin sin sin 2 b c a c a b l l l

α β γ + + +

+ + = + + = ，∴ 2 2 2 sin sin sin α β γ + + =2.

点评：从长方体的一个顶点出发的对角线与三条棱，均位于直角三角形中，利用直角三角形中的边角关系

“ cosα = 邻

斜 ” 、 “ sinα =

对

斜 ”而求. 关键在于找准直角三角形中的三边，斜边是长方体的对角线，角的邻边是

各棱长，角的对边是相应矩形面的对角线.

《新课标高中数学必修②精讲精练》——精练月日 : ~ : 自评分

2

第 1 练 §1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征 ※基础达标 1．一个棱柱是正四棱柱的条件是（）.

A.底面是正方形，有两个侧面是矩形 B.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面 C.底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直 D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱

2．下列说法中正确的是（）. A. 以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥 B. 以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台 C. 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆 D. 圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径

3．下列说法错误的是（）. A. 若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面的面积相等 B. 九棱柱有 9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形 C. 六角螺帽、三棱镜都是棱柱 D. 三棱柱的侧面为三角形

4．用一个平面去截正方体，所得的截面不可能是（）. A. 六边形 B. 菱形 C. 梯形 D. 直角三角形

5．下列说法正确的是（）. A. 平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形 B. 平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形 C. 过圆锥顶点的截面是等腰三角形 D. 过圆台上底面中心的截面是等腰梯形

6．设圆锥母线长为 l，高为 2 l ，过圆锥的两条母线作一个截面，则截面面积的最大值为 .

7．若长方体的三个面的面积分别为 6 2 cm ,3 2 cm ,2 2 cm ，则此长方体的对角线长为 . ※能力提高 8．长方体的全面积为 11，十二条棱的长度之和为 24，求这个长方体的一条对角线长.

9．如图所示，长方体 1 1 1 1 ABCD A BC D − . （1）这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？

（2）用平面 BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱

吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示. 如果不是，说明理由.

※探究创新 10．现有一批长方体金属原料，其长宽高的规格为 12×3×3.1(长度单位：米). 某车间要用这些原料切割

出两种长方体，其长宽高的规格第一种为 3×2.4×1，第二种为 4×1.5×0.7．若这两种长方体各需 900个，假

设忽略切割损耗，问至少需多少块金属长方体原料？如何切割？此时材料的利用率是多少？(计算到小数点后

面 3位)


3

第 2 讲 §1.1.2 简单组合体的结构特征 ¤学习目标：认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物

体的结构. ¤知识要点：

观察周围的物体，大量的几何体是由柱、锥、台等组合而成的，这些几何体称为组合体. ¤例题精讲：

【例 1】在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（）. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

解：在长方体 ' ' ' ' ABCD A B C D − 中，取四棱锥 ' A ABCD − ，它的四个侧面都是直角三角形. 选 D. 【例 2】已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为 , r R，求球的半径. 解：圆台轴截面为等腰梯形，与球的大圆相切，由此得

梯形腰长为 R+r，梯形的高即球的直径为 2 2 ( ) ( ) 2 r R R r rR + − − = ，

所以，球的半径为 rR . 【例 3】圆锥底面半径为１cm，高为 2 cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长. 解：过圆锥的顶点 S 和正方体底面的一条对角线 CD 作圆锥的截面，得圆

锥的轴截面 SEF，正方体对角面 CDD1C1，如图所示. 设正方体棱长为 x，则 CC1=x，C1D1 2x = 。

作 SO⊥ EF于 O，则 SO 2 = ，OE=1，

∵ 1 ~ ECC EOS ∆ ∆ ， ∴ 1 1 CC EC SO EO

= ，即 1 ( 2 / 2)

1 2 x x −

= .

∴ 2 ( ) 2

x cm = ，即内接正方体棱长为 2 2 cm.

点评：此题也可以利用 ~ SCD SEF ∆ ∆ 而求. 两个几何体相接、相切的问题，关键在于发现一些截面之间

的图形关系. 常常是通过分析几个轴截面组合的平面图形中的一些相似，利用相似比列出方程而求. 注意截面

图形中各线段长度的计算. 【例 4】以正四棱台（底面为正方形，各个侧面均为全等的等腰梯形）为模型，验证棱台的平行于底面的

截面的性质：

设棱台上底面面积为 S1，下底面面积为 S2，平行于底面的截面将棱台的高分成距

上、下两底的比为 m∶n，则截面面积 S满足下列关系： 2 1 m S n S S

m n

+ =

+ .

当 m=n时，则 1 2

2 S S

S +

= （中截面面积公式）.

解：如图，ABCD 是正四棱台的相对侧面正中间的截面，延长两腰交于 P，平行

于底面的截面为 EF. 根据棱台上下底面与平行于底面的截面相似的性质，上底面、下底面、截面的相

似比为 1 2 : : S S S .

设 PH=h，OH=x，则 1 ( ) ( )

S PH h h m n m PG h m n mx S h x

m n

+ = = =

+ + + +

i ,

2 ( )( ) ( )

S PO h x h x m n m PG h m n mx S h x

m n

+ + + = = =

+ + + +

i .

∴ 1 2 ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

n S m S nh m n m h x m n hn hm mx m n m n h m n mx h m n mx h m n mx S S

+ + + + + + + = + = = +

+ + + + + + ，

即 2 1 m S n S S

m n

+ =

+ . 当 m=n时，则 1 2 1 2

2 m S m S S S

S m n

+ + = =

+ .

点评：利用台体平行于底面的截面与底面的相似，把面积比转化为相似比，与对应高之比紧密联系，还要

求具有较强的字母代数运算能力. 关于棱台的平行于底面的截面性质这一结论，也可推广到圆台. 我们应特别

重视中截面的性质，可以结合梯形的中位线对中截面公式进行理解.

P

C

A

D

B

H

O

E F G

S

D

E O C1

C

F D1


4

第 2 练 §1.1.2 简单组合体的结构特征 ※基础达标 1．右图的几何体是由下面哪个平面图形旋转得到的（）.

A. B. C. D. 2．下列几何体的轴截面一定是圆面的是（）.

A. 圆柱 B. 圆锥 C. 球 D. 圆台 3．把直角三角形绕斜边旋转一周，所得的几何体是（）.

A. 圆锥 B.圆柱 C. 圆台 D.由两个底面贴近的圆锥组成的组合体 4．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如

图是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的前面，则这个正方体的后面是（）. A．0 B．9 C．快 D．乐

5．圆锥的底面半径为 r，高为 h，在此圆锥内有一个内接正方体，则此正方体的棱长为（） .

A. rh r h +

B. 2rh r h +

C. 22 2 rh h r +

D. 2 rh h r +

6．三棱柱的底面为正三角形，侧面是全等的矩形，内有一个内切球，已知球的半径为 R，则这个三棱柱

的底面边长为 . 7．（07年安徽.理 15）在正方体上任意选择 4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的 4个顶点，这些几

何形体是（写出所有正确结论的编号．．）.

①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④

每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体. ※能力提高 8．正四棱锥（棱锥底面是正方形，侧面都是全等等腰三角形）有一个内接正方体，它的顶点分别在正四

棱锥的底面内和侧棱上. 若棱锥的底面边长为 a，高为 h，求内接正方体的棱长.

9．一个四棱台的上、下底面均为正方形，且面积分别为 1 S 、 2 S ，侧面是全等的等腰梯形，棱台的高为 h，

求此棱台的侧棱长和斜高（侧面等腰梯形的高）.

※探究创新 10．如右图，图①是正方体木块，把它截去一块，可能得到的几何体有②、③、④、⑤的木块. （1）我们知道，正方体木块有 8个顶点，12条棱，6个面，请你将

图②、③、④、⑤的木块的顶点数、棱数、面数填入下表：

图号顶点数棱数面数

① 8 12 6 ②

③

④

⑤

（2）观察你填出的表格，归纳出上述各种木块的顶点数 V、棱数 E、面数 F之间的关系. （3）看图⑥中正方体的切法，请验证你所得的数量关系是否正确？

2 0

9

0 快

乐


5

第 3 讲 §1.2.2 空间几何体的三视图 ¤学习目标：能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上

述的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如：纸板）制作模型. ¤知识要点： 1. “视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图. 光线自物体的前面向后投影所得的投影

图成为“正视图” ，自左向右投影所得的投影图称为“侧视图” ，自上向下投影所得的图形称为“俯视图”. 用

这三种视图即可刻划空间物体的几何结构，称为“三视图”. 2. 画三视图之前，先把几何体的结构弄清楚，确定一个正前方，从几何体的正前方、左侧（和右侧）、正

上方三个不同的方向看几何体，画出所得到的三个平面图形，并发挥空间想象能力. 在绘制三视图时，分界线

和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分用虚线表示出来. ¤例题精讲：

【例 1】画出下列各几何体的三视图：

解：这两个几何体的三视图如下图所示.

【例 2】画出下列三视图所表示的几何体.

解：先画几何体的正面，再侧面，然后结合三个视图完成几何体的轮廓. 如下图所示.

【例 3】如图，图（1）是常见的六角螺帽，图（2）是一个机器零件（单

位：cm），所给的方向为物体的正前方. 试分别画出它们的三视图. 解：图（1）为圆柱和正六棱柱的组合体. 图（2）是由长方体切割出来的

规则组合体. 从三个方向观察，得到三个平面图形，绘制的三视图如下图分别所示.

点评：画三视图之前，先把几何体的结构弄清楚，确定一个正前方，从三个不同的角度进行观察. 在绘制

三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分用虚线表示出来. 绘制三视图，就是由客观存在

的几何物体，从观察的角度，得到反应出物体形象的几何学知识. 【例 4】某建筑由相同的若干个房间组成，该楼的三视图如右图所示，问：

（1）该楼有几层？从前往后最多要走过几个房间？

（2）最高一层的房间在什么位置？画出此楼的大致形状. 解：（1）由主视图与左视图可知，该楼有 3层. 由俯视图可知，从前往后最多要经过 3个房间. （2）由主视图与左视图可知，最高一层的房间在左侧的最后一排的房间. 楼房大致形状如右图所示. 点评：根据三视图的特征，结合所给的视图进行逆推，考察我们的想象能力与逆向思维能力. 由

三视图得到相应几何体后，可以验证所得几何体的三视图与所给出的三视图是否一致. 依据三视图进行逆向分

析，就是用几何知识解决实际问题的一个方面. 在工厂中，工人师傅都是根据零件结构设计的三视图，对零件

进行加工制作.


6

第 3 练 §1.2.2 空间几何体的三视图 ※基础达标 1．如果一个几何体的正视图是矩形，则这个几何体不可能是（）.

A. 棱柱 B. 棱台 C. 圆柱 D. 圆锥 2．右图所示为一简单组合体的三视图，它的左部和右部分别是（）.

A. 圆锥，圆柱 B. 圆柱，圆锥 C. 圆柱，圆柱 D. 圆锥，圆锥 3．右图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下

列几何体中的（）.

4．一个几何体的某一方向的视图是圆，则它不可能是（）. A. 球体 B. 圆锥 C. 圆柱 D.长方体

5．如图，一个封闭的立方体，它的六个表面各标有 A,B,C,D,E,F这六个字母之

一，现放置成如图的三种不同的位置，则字母 A,B,C对面的字母分别为（）. A. D,E ,F B. F,D ,E C. E, F,D D. E, D,F

6．一个几何体的三视图中，正视图、俯视图一样，那么这个几何

体是 . (写出三种符合情况的几何体的名称) 7．右图是某个圆锥的三视图，请根据正视图中所标尺寸，则俯视

图中圆的面积为__________，圆锥母线长为______. ※能力提高 8．找出相应的立体图，并在其下方括号内填写它的序号

9．图中所示的是一个零件的直观图，画出这个几何体的三视图.（注：Φ表示直径，

图中为小圆直径；R表示半径，图中为大圆半径）

※探究创新 10．用若干个正方体搭成一个几何体，使它的正视图与左视图都是如右图的同一个图.

通过实际操作，并讨论解决下列问题：

（1）所需要的正方体的个数是多少？你能找出几个？

（2）画出所需要个数最少和所需要个数最多的几何体的俯视图.

20

30

俯视图正视图

左视图

30

A． B. C． D．

正视图左视图俯视图


7

第 4 讲 §1.2.3 空间几何体的直观图 ¤学习目标：会用斜二侧法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的直观图.

了解空间图形的不同表示形式. ¤知识要点：

“直观图”最常用的画法是斜二测画法，由其规则能画出水平放置的直观图，其实质就是在坐标系中确定

点的位置的画法. 基本步骤如下：

（1）建系：在已知图形中取互相垂直的 x轴和 y轴，得到直角坐标系 xoy，直观图中画成斜坐标系 ' ' ' x o y ，

两轴夹角为 45° . （2）平行不变：已知图形中平行于 x轴或 y轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x’或 y’轴的线段. （3）长度规则：已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于 y 轴的线段，长度为

原来的一半. ¤例题精讲：

【例 1】下列图形表示水平放置图形的直观图，画出它们原来的图形.

解：依据斜二测画法规则，逆向进行，如图所示. 【例 2】（1）画水平放置的一个直角三角形的直观图；

（2）画棱长为 4cm的正方体的直观图. 解：（1）画法：如图，按如下步骤完成. 第一步，在已知的直角三角形 ABC 中取直角边 CB 所在的直线为 x 轴，与 BC

垂直的直线为 y轴，画出对应的 x′ 轴和 y′轴，使 45 x O y ′ ′ ′ ∠ = o .

第二步，在 x′ 轴上取 ' ' O C BC = ，过 ' C 作 ' y 轴的平行线，取 1 ' ' 2

C A CA = .

第三步，连接 ' ' A O ，即得到该直角三角形的直观图. （2）画法：如图，按如下步骤完成. 第一步，作水平放置的正方形的直观图 ABCD ，使

45 , BAD ∠ = o 4 , 2 AB cm AD cm = = . 第二步，过 A作 z′轴，使 90 BAz′ ∠ = o . 分别过点 , , B C D 作 z′轴

的平行线，在 z′ 轴及这组平行线上分别截取 4 AA BB CC DD cm ′ ′ ′ ′ = = = = .

第三步，连接 , , , A B B C C D D A ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′，所得图形就是正方体的直观图. 点评：直观图的斜二测画法的关键之处在于将图中的关键点转化为坐标系中的水平方向与垂直方向的坐标

长度，然后运用“水平长不变，垂直长减半”的方法确定出点，最后连线即得直观图. 注意被遮挡的部分画成

虚线. 【例 3】如右图所示，梯形 1 1 1 1 A B C D 是一平面图形 ABCD 的直观图 . 若

1 1 1 // A D O y ， 1 1 1 1 // A B C D ， 1 1 1 1 2 2 3

A B C D = = ， 1 1 1 ' 1 A D O D = = . 请画出原来的平面

几何图形的形状，并求原图形的面积. 解：如图，建立直角坐标系 xOy，在 x轴上截取 1 ' 1 OD O D = = ； 1 ' 2 OC O C = = . 在过点 D的 y轴的平行线上截取 1 1 2 2 DA D A = = . 在过点 A的 x轴的平行线上截取 1 1 2 AB A B = = . 连接 BC，即得到了原图形. 由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为 2, 3 AB CD = = ，

直角腰长度为 2 AD = ，

所以面积为 2 3 2 5 2

S +

= × = .

点评：给出直观图来研究原图形，逆向运用斜二测画法规则，更要求我们具有逆向思维的能力. 画法关键

之处同样是关键点的确定，逆向的规则为“水平长不变，垂直长增倍” ，注意平行于 y’轴的为垂直.


8

第 4 练 §1.2.3 空间几何体的直观图 ※基础达标 1．下列说法正确的是（）.

A. 相等的线段在直观图中仍然相等 B. 若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行 C. 两个全等三角形的直观图一定也全等 D. 两个图形的直观图是全等的三角形，则这两个图形一定是全等三角形

2．对于一个底边在 x轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的

（）.

A. 2倍 B. 2 2

倍 C. 2 4

倍 D. 1 2 倍

3．如图所示的直观图，其平面图形的面积为（）.

A. 3 B. 6 C. 3 2 D. 3 22

4．已知正方形的直观图是有一条边长为 4的平行四边形，则此正方形的面积是（）. A. 16 B. 16或 64 C. 64 D. 以上都不对

5．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体

的长、宽、高分别为 20m、5m、10m，四棱锥的高为 8m，若按 1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，

长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（）. A．4 cm，1 cm，2 cm，1.6 cm B．4 cm，0.5 cm，2 cm，0.8 cm C．4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm D．4 cm，0.5 cm，1 cm，0.8 cm

6．一个平面的斜二测图形是边长为 2的正方形，则原图形的高是 . 7．利用斜二测画法得到的图形，有下列说法：①三角形的直观图仍是三角形；②正方形的直观图仍是正

方形；③平行四边形的直观图仍是平行四边形；④菱形的直观图仍是菱形 . 其中说法正确的序号依次

是 . ※能力提高 8．（1）画棱长为 2cm的正方体的直观图；（2）画水平放置的直径为 3cm的圆的直观图.

9．如图，正方形 O’A’B’C’的边长为 1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图. 请

画出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的周长与面积.

※探究创新

10．某几何体的三视图如下.（1）画出该几何体的直观图；（2）判别该几何体是否为棱台.

45 0

3

2


9

第 5 讲 §1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积 ¤学习目标：了解棱柱、棱锥、台的表面积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用柱、锥、台的表面积

进行计算和解决有关实际问题. ¤知识要点：

表面积相关公式表面积相关公式

棱柱 2 S S S

S l c

= +

= i 侧全底

侧侧棱长直截面周长

，

其中圆柱 2 2 2 S r rh π π = +

全（r：底面半径，h：高）

棱锥 S S S = + 侧全底圆锥 2 S r rl π π = + 全

（r：底面半径，l：母线长）

棱台 S S S S = + + 侧全上底下底圆台 2 2 ( ' ' ) S r r r l rl π = + + +

全

（r：下底半径，r’：上底半径，l：母线长）

¤例题精讲：

【例 1】已知圆台的上下底面半径分别是 2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长. 解：设圆台的母线长为 l ，则

圆台的上底面面积为 2 2 4 S π π = ⋅ = 上

，

圆台的上底面面积为 2 5 25 S π π = ⋅ = 下，

所以圆台的底面面积为 29 S S S π = + = 下上 .

又圆台的侧面积 (2 5) 7 S l l π π = + = 侧，

于是7 25 l π π = ，即 29 7

l = 为所求.

【例 2】一个正三棱柱的三视图如右图所示，求这个正三棱柱的表面积. 解：由三视图知正三棱柱的高为 2mm.

由左视图知正三棱柱的底面三角形的高为 2 3mm .

设底面边长为 a，则 3 2 3 2 a = ， ∴ 4 a = .

∴正三棱柱的表面积为 2 1 2 3 4 2 2 4 2 3 24 8 3( )

2 S S S mm = + = × × + × × × = + 侧底 .

【例 3】牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如右图所示，请你帮助算出要搭建这

样的一个蒙古包至少需要多少平方米的篷布？（精确到 0.01 m 2 ）

解：上部分圆锥体的母线长为 2 2 1.2 2.5 + ，

其侧面积为 2 2 1

5 1.2 2.5 2

S π = × × + .

下部分圆柱体的侧面积为 1 5 1.8 S π = × × . 所以，搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为

2 2 1 1

5 1.2 2.5 5 1.8 50.05 2

S S S π π = + = × × + + × × ≈ （m 2 ）.

点评：正确运用锥体和柱体的侧面积计算公式，解决制作壳形几何体时的用料问题. 注意区分是面积计算，

还是体积计算. 【例 4】有一根长为 10 cm，底面半径是 0.5 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕 8圈，并使铁丝

的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？（精确到 0.01 cm）

解：如图，把圆柱表面及缠绕其上的铁丝展开在平面上，得到矩形 ABCD. 由题意知，BC=10 cm, 2 0.5 8 8 AB cm π π = × × = , 点 A 与点 C 就是铁丝的起

止位置，故线段 AC的长度即为铁丝的最短长度.

∴ 2 2 10 (8 ) 27.05 ( ) AC cm π = + ≈ . 所以，铁丝的最短长度约为 27.05 cm. 点评：此题关键是把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面几何问题. 探究几何体表面上最短距离，常

将几何体的表面或侧面展开，化折（曲）为直，使空间图形问题转化为平面图形问题. 空间问题平面化，是解

决立体几何问题基本的、常用的方法.

12m

18m

5m


10

第 5 练 §1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积 ※基础达标 1．用长为 4，宽为 2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为（）.

A. 8 B. 8 π

C. 4 π

D. 2 π

2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3，圆台的侧面积为84π ，则圆台较小底面

的半径为（）. A. 7 B. 6 C. 5 D. 3

3．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）.

A. 1 2 2

π π

+ B.

1 4 4

π π

+ C.

1 2π π

+ D.

1 4 2

π π

+

4．一个直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，棱柱的对角线长分别是 9cm和 15cm，高是 5cm，

则这个直棱柱的侧面积是（）. A. 160 cm 2 B. 320 cm 2 C. 40 89 cm 2 D. 80 89 cm 2

5．（04 年湖北卷.文 6）四面体 ABCD 四个面的重心分别为 E、F、G、H，则四面体 EFGH 的表面积与四

面体 ABCD的表面积的比值是（）.

A． 1 27

B． 1 16

C． 1 9

D． 1 8

6．如图，已知圆柱体底面圆的半径为 2 π ，高为 2， AB CD ，分别是两底面的直径，

AD BC ，是母线．若一只小虫从 A 点出发，从侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路线

的长度是（结果保留根式）． 7．已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为 1：2，则它们的高

之比为 . ※能力提高 8．六棱台的上、下底面均是正六边形，边长分别是 8 cm和 18 cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长为 13

cm，求它的表面积.

9．一个圆锥的底面半径为 R，高为 H，在这个圆锥内部有一个高为 x的内接圆柱. 当 x为何值时，圆柱的

表面积最大？最大值是多少？

※探究创新 10. 现有一个长方体水箱，从水箱里面量得它的深是 30cm，底面的长是 25cm，宽是 20cm．设水箱里盛有

深为 a cm的水，若往水箱里放入棱长为 10cm的立方体铁块，试求水深.

A B

C D


11

第 6 讲 §1.3.1 柱体、锥体、台体的体积 ¤学习目标：了解棱柱、棱锥、台体的体积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用柱、锥、台的体积公

式进行计算和解决有关实际问题. ¤知识要点：1. 体积公式：

体积公式体积公式

棱柱 V S h = i 底高圆柱 2 V r h π =

棱锥 1 3

V S h = i 底高圆锥 2 1

3 V r h π =

棱台 1 ( ' ' ) 3

V S S S S h = + + 圆台 2 2 1 ( ' ' ) 3

V r r r r h π = + +

2. 柱、椎、台之间，可以看成一个台体进行变化，当台体的上底面逐渐收缩为一个点时，它就成了锥体；

当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时，它就成了柱体. 因而体积会有以下的关系： 1 3

V S h = i 锥

' 0 S = ← 1 ( ' ' ) 3

V S S S S h = + + 台

' S S = → V S h = i 柱 .

¤例题精讲：

【例 1】一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是 2、3、6，则长方体的体积是 . 解：设长方体的长宽高分别为 , , a b c ，则 2, 3, 6 ab ac bc = = = ，

三式相乘得 2 ( ) 36 abc = . 所以，长方体的体积为 6. 【例 2】一块边长为 10 cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形

加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积 V与 x的函数关系式,并求出函数的定义域. 解：如图，设所截等腰三角形的底边边长为 xcm .

在 Rt EOF ∆ 中， 1 5 , 2

EF cm OF xcm = = ,

所以 2 1 25 4

EO x = − , 于是 2 2 1 1 25 3 4

V x x = − .

依题意函数的定义域为 | 0 10 x x < < .

【例 3】一个无盖的圆柱形容器的底面半径为 3，母线长为 6，现将该容器盛满水，然后平稳缓慢地将容

器倾斜让水流出，当容器中的水是原来的 5 6 时，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为 .

解：容器中水的体积为 2 2 ( 3) 6 18 V r l π π π = = × × = .

流出水的体积为 5 ' (1 ) 3 6

V V π = − = ，如图， 2 2

2 ' 2 3 ' 2 ( 3)

V l r

π π π

× = = =

× .

设圆柱的母线与水平面所成的角为α，则 2 3 tan 3 2

α = = ，解得 60 α = ° .

所以，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为 60°. 点评：抓住流水之后空出部分的特征，它恰好是用一个平面去平分了一个短圆柱. 从而由等体积法可计算

出高度，解直角三角形而得所求角. 【例 4】在边长为 a的正方形中，剪下一个扇形和一个圆，分别作为圆锥的侧面和底面，求所围成的圆锥

的体积.

解：剪下的扇形的弧长与剪下的圆的周长是相等的. 设扇形半径为 x，圆半径为 r，则 1 2 2 4

x r π π × = ， ∴ x=4r ， 2 (5 2) AB x r r r = + + = + .

又 AB= 2a， ∴ (5 2) 2 r a + = ，解得 (5 2 2)

23 a r −

= .

圆锥的高 2 2 15 h x r r = − = ，

∴ 3 3

2 1 15(5 2 2) 3 36501

a V r h π

π −

= = .

点评：求已知的平面图形围成的旋转体的面积或体积的关键是正确分析平面图形与其围成的旋转体中有关

量间的关系. 搞清平面图形上的哪些量在旋转体中不变，哪些发生了变化.

h

r

O F

E

D

B A

C


12

图(1)

Ｂ＇

A＇

P A

B

图(2)

C＇

A＇

Ｂ＇ P A

B

C

第 6 练 §1.3.1 柱体、锥体、台体的体积 ※基础达标 1．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为 1 V 和 2 V ，则 1 2 : V V = （）.

A. 1:3 B. 1:1 C. 2 :1 D. 3 :1 2．三棱锥 V—ABC的底面 ABC的面积为 12，顶点 V到底面 ABC的距离为 3，侧面 VAB的面积为 9，则

点 C到侧面 VAB的距离为（）. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

3．若干毫升水倒入底面半径为 2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为 6cm，若将这些水倒入轴截面是

正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（）. A. 6 3cm B. 6cm C. 3 2 18cm D. 3 3 12cm

4．矩形两邻边的长为 a、b，当它分别绕边 a、b旋转一周时, 所形成的几何体

的体积之比为（）.

A. b a

B. a b

C. 3 ( ) b a

D. 3 ( ) a b

5．如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为 2的正三

角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是（）.

A． 4 23

B . 4 33

C. 3 6

D . 8 3

6．已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为 1cm，2cm，3cm，则此棱锥的体积_____. 7．（04年广东卷.15）由图(1)有面积关系:

PA B

PAB

S PA PB S PA PB

′ ′ ∆

∆

′ ′ ⋅ =

⋅ ，

则由(2) 有体积关系: . P A B C

P ABC

V V

′ ′ ′ −

−

=

※能力提高 8．有一个正四棱台形状的油槽，可以装油 190L，假如它的两底面边长分别等于 60cm和 40cm，求它的深

度为多少 cm？

9．用上口直径为 34cm、底面直径为 24cm、深为 35cm 的水桶盛得的雨水

正好为桶深的 1 5 ，问此次降雨量为多少？（精确到 0.1mm）（注：降雨量指单位

面积的水平面上降下雨水的深度）

※探究创新 10．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为 12

m，高 4 m. 养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐. 现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径

比原来大 4 m（高不变）；二是高度增加 4 m (底面直径不变). （1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；

（3）哪个方案更经济些？

35

17

h

12

俯视图

主视图左视图


13

A ' B '

C ' D '

D C

B A

O

A ' C '

C A

O

第 7 讲 §1.3.2 球的体积和表面积 ¤学习目标：了解球的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用球的表面积和体积公式进行

计算和解决有关实际问题. ¤知识要点：

1. 表面积： 2 4 S R π = 球面

（R：球的半径）. 2. 体积： 3 4 3

V R π = 球面 .

¤例题精讲：

【例 1】有一种空心钢球，质量为142g ，测得外径等于5 cm，求它的内径（钢的密度为 2 7.9 / g cm ，精

确到0.1cm）．

解：设空心球内径(直径)为 2x cm，则钢球质量为 3 3 4 5 4 7.9 [ ( ) ] 142

3 2 3 x π π ⋅ ⋅ ⋅ − = ，

∴ 3 3 5 142 3 ( ) 11.3 2 7.9 4 3.14

x × = − ≈

× × ， ∴ 2.24 x ≈ ，

∴直径 2 4.5 x ≈ ，即空心钢球的内径约为 4.5cm . 【例 2】表面积为324π 的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积. 解：设球半径为 R ，正四棱柱底面边长为 a，则作轴截面如图， 14 AA′ = ， 2 AC a = ，

又∵ 2 4 324 R π π = ，∴ 9 R = ，∴ 2 2 8 2 AC AC CC ′ ′ = − = ，∴ 8 a = ，

∴ 64 2 32 14 576 S = × + × = 表 .

【例 3】（04年辽宁卷.10）设 A、B、C、D 是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球

心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（）. A．8 6π B． 64 6π C． 24 2π D． 72 2π

【解】由已知可得，A、B、C、D在球的一个小圆上.

∵ AB=BC=CD=DA=3， ∴ 四边形 ABCD为正方形. ∴ 小圆半径 3 22

r = .

由 2 2 2 R r h = + 得 2 2 2 3 2 ( ) ( ) 2 2

R R = + ，解得 6 R = .

∴ 球的体积 3 3 4 4 ( 6) 8 6 3 3

V R π π π = = = . 所以选 A.

点评：解答球体中相关计算，一定要牢记球的截面性质 2 2 2 R r h = + ，体积和表面积公式. 【例 4】推导球的表面积公式. 解：设球O的半径为 R ，我们把球面任意分割为一些“小球面片” ，它们的面积分别用 1 2 , , , , i S S S ∆ ∆ ∆ L L

表示，则球的表面积 S = 1 2 i S S S ∆ + ∆ + + + ∆ L L . 以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于求的体积，这些

“小锥体”可近似地看成棱锥， “小锥体”的底面积 i S ∆ 可近似地等于“小锥体”的底

面积，球的半径 R 近似地等于小棱锥的高 i h .

因此，第 i 个小棱锥的体积 1 3 i i i V h S = ⋅ ∆ ，当“小锥体”的底面非常小时， “小锥体”

的底面几乎是“平的” ，于是球的体积为：

1 1 2 2 1 (3

) i i V h S h S h S ≈ ⋅ ∆ + ⋅ ∆ + + ⋅ ∆ + L L ，

又∵ i h R ≈ ，且 S = 1 2 i S S S ∆ + ∆ + + + ∆ L L， ∴可得 1 3

V R S ≈ ⋅ .

又 ∵ 3 4 3

V R π = ，∴ 1 3 R S ⋅ 3 4

3 R π = ， ∴ 2 4 S R π = 即为球的表面积公式奎屯

王新敞新疆

点评：我们也可以类似以上极限分割，利用球的表面积公式推导球的体积公式. 若把半球中垂直于底面的

半径OA作 n等分，经过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成 n层，每一层都近似于一个圆柱

形的“薄圆片” ，这些“薄圆片”的体积之和就是半球的体积. 由于“薄圆片”近似于圆柱形状，它的体积近

似于相应的圆柱的体积，从而把半球的体积化归为无限个圆柱的体积之和. 探究的关键都是先极限分割，然后

求和.


14

第 7 练 §1.3.2 球的体积和表面积 ※基础达标 1．正方体的内切球和外接球的半径之比为（）.

A. 3 :1 B. 3 : 2 C. 2 : 3 D. 3 : 3 2．设正方体的全面积为 2 24cm ，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（）.

A. 3 6 cm π B. 3 32 3

cm π C. 3 8 3 cm π D. 3 4

3 cm π

3．已知，棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截

球与正三棱锥所得的图形，如下图所示，则（）. A. 以上四个图形都是正确的 B. 只有(2)(4)是正确的 C. 只有(4)是错误的 D. 只有(1)(2)是正确的

4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3、4、5，且它的 8个顶点都在同一球面上，

则这个球的表面积是（）. A. 25π B. 50π C. 125π D. 都不对

5．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的 3倍，圆锥的高与底面半径之比为（） .

A. 4 9

B. 9 4

C. 4 27

D. 27 4

6．若三个球的表面积之比是1: 2 : 3，则它们的体积之比是 . 7．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为 2cm，则这个球的表面积为，体积为 . ※能力提高 8．已知过球面上 , , A B C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且

2 AB BC CA = = = ，求球的表面积.

9．半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体

棱长为 6 ，求球的表面积和体积.

※探究创新 10．祖暅原理也就是“等积原理” ，它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之的儿子祖暅首先提出来的. 祖

暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截

面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. 可以用诗句“两个胖子一般高，平行地面刀刀切，刀刀切出

等面积，两人必然同样胖”形象表示其内涵. 利用祖暅原理可以推导几何体的体积公式，关键是要构造一个参

照体. 试用祖暅原理推导球的体积公式.

(1) (2)

(3) (4)

C B

A

O

O'


15

第 8 讲第一章空间几何体复习 ¤学习目标：认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物

体的结构；能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三

视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图；会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间

图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征

的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）；了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆

公式）. ¤例题精讲：

【例 1】（06 年四川卷）如图，正四棱锥 P ABCD − 底面的四个顶点 , , , A B C D 在

球O的同一个大圆上，点 P 在球面上，如果 16 3 P ABCD V − = ，则球O的表面积是

A. 4π B. 8π C. 12π D. 16π 解：如图，正四棱锥 P ABCD − 底面的四个顶点 , , , A B C D 在球O的同一个大圆

上，点 P 在球面上，PO⊥底面 ABCD，PO=R， 2 2 ABCD S R = ， 16 3 P ABCD V − = ，

所以 2 1 16 2 3 3

R R ⋅ ⋅ = ，解得 R=2，

则球O的表面积是16π ，选 D. 【例 2】如图（单位：cm），求图中阴影部分绕 AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积. 解：由题意知, 所求旋转体的表面积由三部分组成：

圆台下底面、侧面和一半球面. S 半球=8π ， S 圆台侧=35π ，S 圆台底=25π.

故所求几何体的表面积为 68π .

由 2 2 2 2 1 [ 2 2 5 5 52 3

V π π π π π = × × + × × × + × = 圆台

（）（） ] ，

3 4 1 16 2 3 2 3

V π π = × × = 半球 .

所以，旋转体的体积为 3 16 140 52 ) 3 3

V V cm π π π − = − = 圆台半球

( .

【例 3】如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱 1 AA = 8. 若 1 1 AA B B 水平放置时，液面恰好过

1 1 1 1 , , , AC BC AC B C 的中点，则当底面 ABC水平放置时，液面的高为多少？

解：当 1 1 AA B B水平放置时，纵截面中水液面积占 1 3 1 4 4

− = ，

所以水液体积与三棱柱体积比为 3 4 .

当底面 ABC水平放置时，液面高度为 3 8 6 4

× = .

点评：容器中水的体积不会减少，无论是竖着还是横着，正是由于这种等积思想，才能寻找到不用计算体

积，而通过体积比进而化为高度比. 我们可以练习这样一个题：三棱锥 V—ABC的底面 ABC的面积为 12，顶

点 V到底面 ABC的距离为 3，侧面 VAB的面积为 9，则点 C到侧面 VAB的距离为 .（答案：4）

【例 4】如图是一个奖杯的三视图. 求这个奖杯的

体积. （精确到 0.01 cm 3 ）

解：由三视图可以得到奖杯的结构，底座是一个

正四棱台，杯身是一个长方体，顶部是球体.

由 2 2 1 5 15 15 11 11 851.667 3

V = × × + × + ≈ 正四棱台

（），

6 8 8 864 V = × × = 长方体

， 3 4 3 113.097, 3

V π = × ≈ 球

所以，这个奖杯的体积为 3 1828.76 ( ) V V V V cm = + + ≈ 正四棱台长方体球 .

点评：由三视图研究几何体的表面积和体积，需先发挥空间想象力，按正视图、侧视图、俯视图顺序，逐

步构造出几何体形状，分析清楚组合体的结构特征，按相应表面积或体积公式进行计算.

B C

A D

4

5

2


16

第 8 练第一章空间几何体复习 ※基础达标

1．（06年福建卷）已知正方体外接球的体积是 32 3

π ，那么正方体的棱长等于（）.

A. 2 2 B. 2 33

C. 4 23

D. 4 33

.

2．（06年全国卷 II）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的

比为（）.

A. 3 16

B. 9 16

C. 3 8

D. 9 32

3．有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位：cm），则该几何体的表面积及体积为（）. A. 24πcm 2 ，12πcm 3 B. 15πcm 2 ，12πcm 3

C. 24πcm 2 ，36πcm 3 D. 以上都不正确 4．（04年广东卷.7）在棱长为 1的正方体上，分别用过共顶点的三

条棱中点的平面截该正方体,则截去 8 个三棱锥后,剩下的凸多面体的体

积是（）.

A. 2 3

B. 7 6

C. 4 5

D. 5 6

5．向高为 H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量 V与水深 h的函数关系的图象如

右图所示，那么水瓶的形状是（）.

6．一个边长为 2cm的正三角形绕它的边旋转一周，所得旋转体的表面积为，体积为 . 7．关于“斜二测”直观图的画法，有如下说法：① 原图形中平行于 y 轴的线段，其对应线段平行于 y’

轴，长度变为原来的 1 2 ；② 画与直角坐标系 xoy 对应的 x’o’y’时，∠x’o’y’必须是 45°；③ 在画直观图时，

由于选轴的不同，所得的直观图可能不同；④ 等腰三角形的直观图仍为等腰三角形；⑤ 梯形的直观图仍然是

梯形；⑥ 正三角形的直观图一定为等腰三角形. 其中说法正确的序号依次是 . ※能力提高 8．设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是 0.85m，底面的边长是

1.5m，制造这种塔顶需要多少平方米铁板？（保留两位有效数字）

9．已知一个几何体的三视图如右，试求它的表面积和体积.（单位：cm）

※探究创新 10．（1）给出两块相同的正三角形纸片（如图 1、图 2），要求用其中一块剪拼成正三棱锥模型, 另一块剪

拼成正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等. 请设计一

个剪拼方法, 分别用虚线标示在图 1、图 2中, 并作简要说明；

（2）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；

（3）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图 3）, 要求剪拼成

一个直三棱柱模型, 使它的全面积与给出的三角形的面积相等, 请设计一

个剪拼方法, 用虚线标示在图 3中, 并作简要说明.

0.85

1.5

E

S

O

《新课标高中数学必修②精讲精练》——精讲第二章点、直线、平面之间的位置关系

17

第 9 讲 §2.1.1 平面 ¤学习目标：能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面” ；理解平面的无限延展性；正确地用图

形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系；初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的

转化；理解可以作为推理依据的三条公理. ¤知识要点： 1. 点 A在直线上,记作 A a ∈ ；点 A在平面α 内,记作 A α ∈ ；直线 a在平面α 内,记作 a α ⊂ . 2. 平面基本性质即三条公理的“文字语言” 、 “符号语言” 、 “图形语言”列表如下：

公理 1 公理 2 公理 3 图形

语言

文字

语言

如果一条直线上的两点在

一个平面内，那么这条直线

在此平面内.

过不在一条直线上的三点，有

且只有一个平面. 如果两个不重合的平面有一个公

共点，那么它们有且只有一条过该

点的公共直线.

符号

语言 , ,

A l B l l

A B α

α α

∈ ∈ ⇒ ⊂ ∈ ∈

, , , , A B C A B C α

⇒ 不共线

确定平面 ,

l P P

P l α β

α β =

∈ ∈ ⇒ ∈

∩

3.公理 2的三条推论：

推论 1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；

推论 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面；

推论 3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. ¤例题精讲：

【例 1】如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线是否共面？（P56 A组 5题）

解：根据公理 2的推论 3，可知两条平行直线确定一个平面，又由公理 1可知，与两条平行直线相交的第

三条直线在这个平面内，所以一条直线与两条平行直线都相交时，这三条直线是共面的关系. 【例 2】空间四边形 ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA上的点，已知 EF和 GH交于 P

点，求证：EF、GH、AC三线共点. （同 P58 B组 3题）

解：∵P∈EF，EF⊂面 ABC，∴P∈面 ABC. 同理 P∈面 ADC. ∵ P在面 ABC与面 ADC的交线上，

又 ∵面 ABC∩面 ADC=AC， ∴P∈AC，即 EF、HG、AC三线共点. 【例 3】求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内. 已知：直线 , , AB BC CA两两相交，交点分别为 , , A B C ，

求证：直线 , , AB BC CA共面. 证明：因为 A，B，C三点不在一条直线上，所以过 A，B，C三点可以确定平面α．

因为 A∈α，B∈α，所以 AB α．同理 BC α，AC α. 所以 AB，BC，CA三直线共面．

点评：先依据公理 2, 由不共线的三点确定一个平面，再依据公理 1, 证三条直线在平面内. 注意文字语言

给出的证明题，先根据题意画出图形，然后给出符号语言表述的已知与求证. 常根据三条公理，进行“共面”

问题的证明. 【例 4】在正方体 1 1 1 1 ABCD A BC D − 中，

（1） 1 AA 与 1 CC 是否在同一平面内？（2）点 1 , , B C D是否在同一平面内？

（3）画出平面 1 AC 与平面 1 BC D的交线，平面 1 ACD 与平面 1 BDC 的交线. 解：（1）在正方体 1 1 1 1 ABCD A BC D − 中，

∵ 1 1 // AA CC ， ∴由公理 2的推论可知， 1 AA 与 1 CC 可确定平面 1 AC ，

∴ 1 AA 与 1 CC 在同一平面内. （2）∵点 1 , , B C D不共线，由公理 3可知，点 1 , , B C D可确定平面 1 BC D，

∴ 点 1 , , B C D在同一平面内. （3）∵ AC BD O = ∩ ， 1 1 DC DC E = ∩ ， ∴点O∈平面 1 AC ，O∈平面 1 BCD ，

又 1 C ∈平面 1 AC ， 1 C ∈平面 1 BC D，

∴ 平面 1 AC ∩ 平面 1 BC D 1 OC = ，

同理平面 1 ACD ∩平面 1 BDC OE = ．

点评：确定平面的依据有公理 2（不在同一条直线上的三点）和一些推论（两条平行直线、两条相交直线、

直线和直线外一点）. 对几条公理的作用，我们必须十分熟练.

α C

B A


18

第 9 练 §2.1.1 平面 ※基础达标 1．两个平面若有三个公共点，则这两个平面（）.

A．相交 B．重合 C．相交或重合 D．以上都不对 2．下列推断中，错误的是（）.

A． , , , A l A B l B l α α α ∈ ∈ ∈ ∈ ⇒ ⊂ B． , , , A A B B AB α β α β α β ∈ ∈ ∈ ∈ ⇒ = ∩ C． , l A l A α α ⊄ ∈ ⇒ ∉ D． , , , , , A B C A B C α β ∈ ∈ ，且 A、B、C不共线 , α β ⇒ 重合

3．E、F、G、H是三棱锥 ABCD棱 AB、AD、CD、CB上的点，延长 EF、HG交于 P，则点 P（）. A. 一定在直线 AC上 B. 一定在直线 BD上 C. 只在平面 BCD内 D. 只在平面 ABD内

4．用一个平面截一个正方体，其截面是一个多边形，则这个多边形边数最多是（）. A. 三 B. 四 C. 六 D. 八

5．下列说法中正确的是（）. A. 空间不同的三点确定一个平面 B. 空间两两相交的三条直线确定一个平面 C. 空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形 D. 和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内

6．给出下列说法：① 梯形的四个顶点共面；② 三条平行直线共面；③ 有三个公共点的两个平面重合；

④ 每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面. 其中说法正确的序号依次是 . 7．已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是 . ※能力提高 8．正方体 1 1 1 1 ABCD A BC D − 中,E、F、G、H、K、L分别是 1 1 1 DC DD AD 、、、

1 1 1 A B BB BC 、、的中点. 求证：这六点共面．

9．（1） ABC ∆ 在平面α外， AB P α = ∩ ，BC Q α = ∩ ， AC R α = ∩ ，求证：P，Q，R三点共线. （2）已知四边形 ABCD中，AB∥CD，四条边 AB，BC，DC，AD（或其延长线）分别与平面 α相交于 E，

F，G，H四点，求证：四点 E，F，G，H共线.

※探究创新 10．在一封闭的正方体容器内装满水，M，N分别是 AA1 与 C1D1 的中点，由于某种原因，在 D，M，N三

点处各有一个小洞，为使此容器内存水最多，问应将此容器如何放置？此时水的上表面的形状怎样？

C

A

A

B

B C

D

D

E

F

G

H

K

L

1 1

1 1


19

第 10 讲 §2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 ¤学习目标：了解空间两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，掌握平行公理，掌握等角定理，

掌握两条异面直线所成角的定义及垂直. ¤知识要点：

1. 空间两条直线的位置关系：

相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线

平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点. 2. 已知两条异面直线 , a b，经过空间任一点O作直线 // , // a a b b ′ ′ ，把 , a b ′ ′所成的锐角（或直角）叫异面

直线 , a b所成的角（或夹角）. , a b ′ ′所成的角的大小与点O的选择无关，为了简便，点O通常取在异面直线的

一条上；异面直线所成的角的范围为 (0,90 ] ° ，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，

记作 a b ⊥ . 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算. ¤例题精讲：

【例 1】已知异面直线 a 和 b所成的角为 50°，P为空间一定点，则过点 P且与 a、b所成角都是 30°的直线有且仅有（）.

A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条

解：过 P作 a′ ∥a，b′∥b，若 P∈a，则取 a为 a′ ，若 P∈b，则取 b为b′．这时 a′ ，b′相交于 P点，它们的两组对顶角分别为 50°和 130°.

记 a′ ，b′所确定的平面为β，那么在平面β内，不存在与 a′ ，b′都成 30°的直线．

过点P与 a′ ， b′都成30°角的直线必在平面β外，这直线在平面β的射影是 a′ ， b′所成对顶角的平分线．其

中射影是 50°对顶角平分线的直线有两条 l和 l′ ，射影是 130°对顶角平分线的直线不存在．故答案选 B. 【例 2】如图正方体 1 1 1 1 ABCD A BC D − 中，E、F分别为 D1C1 和 B1C1 的中点，P、Q分别为 AC与 BD、A1C1

与 EF的交点. （1）求证：D、B、F、E四点共面；

（2）若 A1C与面 DBFE交于点 R，求证：P、Q、R三点共线. 证明：（1）∵ 正方体 1 1 1 1 ABCD A BC D − 中， 1 BB // 1 DD ，∴BD // 1 1 B D .

又 ∵ 1 1 1 B DC 中，E、F为中点，

∴ EF // 1 1 1 2 B D . ∴ // EF BD , 即 D、B、F、E四点共面.

（2）∵ 1 Q AC ∈平面，Q BE ∈平面， 1 P AC ∈平面， P BE ∈平面，

∴ 1 AC BE PQ = ∩ 平面平面 . 又 1 AC BE R = ∩平面， ∴ 1 R AC ∈平面， R BE ∈平面， ∴ R PQ ∈ . 即 P、Q、R三点共线奎屯

王新敞新疆

【例 3】已知直线 a//b//c，直线 d与 a、b、c分别相交于 A、B、C，求证：a、b、c、d四线共面. 证明：因为 a//b，由公理 2的推论，存在平面α ，使得 , a b α α ⊂ ⊂ . 又因为直线 d与 a、b、c分别相交于 A、B、C，由公理 1， d α ⊂ . 假设 c α ⊄ ，则 c C α = ∩ , 在平面α 内过点 C作 // c b ′ ，

因为 b//c，则 // c c′ ，此与 c c C ′ = ∩ 矛盾. 故直线 c α ⊂ . 综上述，a、b、c、d四线共面. 点评：证明一个图形属于平面图形，需要紧扣公理 2及其三条推论，寻找题中能确定平面的已知条件. 此

例拓展的证明先构建出一个平面，然后从假设出发，推出矛盾，矛盾的原因是假设不成立，这就是证明问题的

一种反证法的思路.

【例 4】如图中，正方体 ABCD—A1B1C1D1，E、F分别是 AD、AA1 的中点. （1）求直线 AB1 和 CC1 所成的角的大小；

（2）求直线 AB1 和 EF所成的角的大小. 解：（1）如图，连结 DC1 ， ∵DC1∥AB1，

∴ DC1 和 CC1 所成的锐角∠CC1D就是 AB1 和 CC1 所成的角. ∵ ∠CC1D=45°， ∴ AB1 和 CC1 所成的角是 45°. （2）如图，连结 DA1、A1C1，

∵ EF∥A1D，AB1∥DC1，∴ ∠A1DC1 是直线 AB1 和 EF所成的角. ∵ΔA1DC1 是等边三角形， ∴ ∠A1DC1=60º，即直线 AB1 和 EF所成的角是 60º. 点评：求解异面直线所成角时，需紧扣概念，结合平移的思想，发挥空间想象力，把两异面直线成角问题

转化为与两相交直线所成角，即将异面问题转化为共面问题，运用化归思想将难化易. 解题中常借助正方体等

几何模型本身的性质，依照选点、平移、定角、计算的步骤，逐步寻找出解答思路.

c' b a d

c

α

C B

A

P

Q F

E D1 C1

B1 A1

D C

B A


20

第 10 练 §2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 ※基础达标 1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（）.

A. 异面 B. 平行 C. 相交 D. 以上都有可能 2．教室内有一把尺子，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线（）.

A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．异面 3．两条直线 a,b分别和异面直线 c, d都相交，则直线 a，b的位置关系是（）.

A. 一定是异面直线 B. 一定是相交直线 C. 可能是平行直线 D. 可能是异面直线，也可能是相交直线

4．把两条异面直线称作“一对”，在正方体的十二条棱中，异面直线的对数为（）. A. 12 B. 24 C. 36 D. 48

5．正方体 ' ' ' ' ABCD A B C D − 中，AB 的中点为 M， ' DD 的中点为 N，异面直线 ' B M 与 CN所成的角是（）.

A．30° B．90° C．45° D．60° 6．如图，正方体 1 1 1 1 ABCD A BC D − 中，直线 1 AB 与 1 BC 所成角为______度. 7．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中：

① BM与 ED平行； ② CN与 BE是异面直线；

③ CN与 BM成 60º角； ④ DM与 BN垂直. 以上四个说法中，正确说法的序号依次是 . ※能力提高 8．已知空间四边形 ABCD各边长与对角线都相等，求 AB和 CD所成的角的大小.

9．空间四边形 ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA上的点，

已知 EF和 GH交于 P点，求证：EF、GH、AC三线共点.

※探究创新

10．设异面直线 a与 b所成角为 50°， O为空间一定点，试讨论，过点O与 a、 b所成的角都是θ (0 90 ) θ ° ≤ ≤ °

的直线 l有且仅有几条?

E A

F

B

C M

N

D

P

G H

F E

D

C

B

A


21

第 11 讲 §2.1.3 直线与平面、平面与平面位置关系 ¤学习目标：了解直线与平面的三种位置关系，理解直线在平面外的概念，了解平面与平面的两种位置关

系. ¤知识要点： 1. 直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内（有无数个公共点）；（2）直线与平面相交（有且只有一个

公共点）；（3）直线与平面平行（没有公共点）. 分别记作： l α ⊂ ； l P α = ∩ ； // l α . 2. 两平面的位置关系：平行（没有公共点）；相交（有一条公共直线）.分别记作 // α β ； l α β = ∩ . ¤例题精讲：

【例 1】已知空间边边形 ABCD各边长与对角线都相等，求异面直线 AB和 CD所成的

角的大小. 解：分别取 AC、AD、BC 的中点 P、M、N 连接 PM、PN，由三角形的中位线性质知

PN∥AB，PM∥CD，于是∠MPN就是异面直线 AB和 CD成的角（如图所示）. 连结MN、DN，设 AB=2， ∴PM=PN=1.

而 AN=DN= 3，由MN⊥AD，AM=1，得MN= 2 ，

∴MN 2 =MP 2 +NP 2 ，∴∠MPN=90°. ∴异面直线 AB、CD成 90°角. 【例 2】在空间四边形 ABCD 中，E、H 分别是 AB、AD 的中点，F、G 分

别是 CB、CD的中点，若 AC + BD = a ，AC ⋅ BD =b，求 2 2 EG FH + . 解：四边形 EFGH是平行四边形，

2 2 EG FH + =2 2 2 ( ) EF FG + = 2 2 2 1 1 ( ) ( 2 ) 2 2 AC BD a b + = − .

【例 3】已知空间四边形 ABCD 中，E、H 分别是 AB、AD 的中点，F、G

分别是 BC、CD上的点，且 2 3

CF CG CB CD

= = .

求证：（1）E、F、G、H四点共面；（2）三条直线 EF、GH、AC交于一点. 证明：（1）在ABD和CBD中，

∵ E、H分别是 AB和 CD的中点， ∴ EH // 1 2 BD.

又 ∵ 2 3

CF CG CB CD

= = ， ∴ FG // 2 3 BD.

∴ EH∥FG. 所以，E、F、G、H四点共面.

（2）由（1）可知，EH∥FG ，且 EH≠ FG，即直线 EF，GH是梯形的两腰，

所以它们的延长线必相交于一点 P. ∵ AC是 EF和 GH分别所在平面 ABC和平面 ADC的交线，而点 P是上述两平面的公共点，

∴ 由公理 3知 P∈AC. 所以，三条直线 EF、GH、AC交于一点. 点评：一般地，证明三线共点，可证明两条直线的交点在第三条直线上，而第三条直线又往往是两平面的

交线. 【例 4】如下图，设ABC和A1B1C1 的三对对应顶点的连线 AA1、BB1、CC1 相交于一点 O，且

1

AO OA

= 1

BO OB

= 1

CO OC

= 2 3 .试求

1 1 1

ABC

A B C

S S

∆

∆

的值.

解：依题意，因为 AA1、BB1、CC1 相交于一点 O，且 1

AO OA

= 1

BO OB

= 1

CO OC

，

所以 AB∥A1B1，AC∥A1C1，BC∥B1C1. 由平移角定理得∠BAC=∠B1A1C1，∠ABC=∠A1B1C1，ABC∽A1B1C1，

所以 1 1 1

ABC

A B C

S S

∆

∆

=（ 2 3 ） 2 =

4 9 .

点评：利用平移角定理，可证明空间两个角相等或两个三角形相似、全等；利用平行公理，可证明空间两

条直线平行，从而解决相关问题.

A

B

C

D

E H

F G

A

B C

D E

F G

H


22

第 11 练 §2.1.3 直线与平面、平面与平面位置关系 ※基础达标 1．直线 l与平面α 不平行，则（）.

A. l与α 相交 B. l ⊂ α C. l与α 相交或 l ⊂ α D. 以上结论都不对 2．正方体各面所在平面将空间分成（）个部分.

A. 7 B. 15 C. 21 D. 27 3．若两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，则这两个平面的公共点个数（）.

A. 有限个 B. 无限个 C. 没有 D. 没有或无限个 4．E、F、G、H是棱锥 ABCD棱 AB、AD、CD、CB上的点，延长 EF、HG交于 P点，则点 P（）.

A. 一定在直线 AC上 B. 一定在直线 BD上 C. 只在平面 BCD内 D. 只在平面 ABD内

5．一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零，则这两个平面（）. A. 平行 B. 相交 C. 平行或垂合 D. 平行或相交

6．若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一平面的位置关系是 . 7．一个平面把空间分成部分，两个平面可以把空间分成部分，三个平面可以把空

间分成部分．

※能力提高 8．A是BCD平面外的一点，E、F分别是 BC、AD的中点，

（1）求证：直线 EF与 BD是异面直线；

（2）若 AC⊥BD，AC=BD，求 EF与 BD所成的角.

9．已知空间四边形 ABCD，E、H分别是 AB、AD的中点，F、G分别是边 BC、 DC的三等分点（如右图），求证：（1）对角线 AC、BD是异面直线；

（2）直线 EF和 HG必交于一点，且交点在 AC上.

※探究创新 10．空间四边形 ABCD中，P、Q、R、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点. （1）求证：四边形 PQRH是平行四边形；（2）若 AC=BD，则四边形 PQRH是什么四边形？

（3）若 AC⊥BD，则四边形 PQRH是什么四边形？

（4）空间四边形 ABCD满足什么条件时，PQRH是正方形？


23

A

B

C

D

E

F

G

M O

第 12 讲 §2.2.1 直线与平面平行的判定 ¤学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理

解空间中线面平行的判定，掌握直线与平面平行判定定理，掌握转化思想“线线平行⇒ 线面平行”. ¤知识要点： 1. 定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行. 2. 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 符号表示为： , , // // a b a b a α α α ⊄ ⊂ ⇒ . 图形如右图所示. ¤例题精讲：

【例 1】已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，E、F 分别为 AB、 PD的中点，求证：AF∥平面 PEC

证明：设 PC的中点为 G，连接 EG、FG.

∵ F为 PD中点， ∴ GF∥CD且 GF= 1 2 CD.

∵ AB∥CD， AB=CD， E为 AB中点，

∴ GF∥AE， GF=AE，四边形 AEGF为平行四边形. ∴ EG∥AF，

又∵ AF⊄ 平面 PEC， EG⊂平面 PEC， ∴ AF∥平面 PEC. 【例 2】在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F分别为棱 BC、C1D1 的中点. 求证：

EF∥平面 BB1D1D.

证明：连接 AC交 BD于 O，连接 OE，则 OE∥DC， OE= 1 2 DC.

∵ DC∥D1C1， DC=D1C1 ， F为 D1C1 的中点，

∴ OE∥D1F， OE=D1F，四边形 D1FEO为平行四边形. ∴ EF∥D1O.

又∵ EF⊄ 平面 BB1D1D， D1O⊂平面 BB1D1D，

∴ EF∥平面 BB1D1D. 【例 3】如图，已知 E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱 AD、CD、BD、BC

的中点，求证： AM ∥平面 EFG . 证明：如右图，连结DM ，交GF 于O点，连结OE ，

在 BCD ∆ 中，G 、 F 分别是 BD、CD中点， ∴ // GF BC ，

∵G 为 BD中点， ∴O为MD 中点，

在 AMD ∆ 中，∵ E 、O为 AD、MD 中点， ∴ // EO AM ，

又∵ AM ⊂ 平面 EFG ， EO ⊂ 平面 EFG ，

∴ AM ∥平面 EFG . 点评：要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就

可以了. 注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用. 【例 4】如图，已知 P是平行四边形 ABCD所在平面外一点，M、N分别是 AB、PC的中点奎屯

王新敞新疆

（1）求证：MN//平面 PAD；

（2）若 4 MN BC = = ， 4 3 PA = ，求异面直线 PA与MN所成的角的大小. 解：（1）取 PD的中点 H，连接 AH，由 N是 PC的中点，

∴ NH // = 1 2 DC . 由M是 AB的中点， ∴ NH // = AM，

即 AMNH为平行四边形. ∴ // MN AH .

由 , MN PAD AH PAD ⊄ ⊂ 平面平面， ∴ // MN PAD 平面 . （2）连接 AC并取其中点为 O，连接 OM、ON，

∴ OM // = 1 2 BC，ON // =

1 2 PA，

所以 ONM ∠ 就是异面直线 PA与MN所成的角，且MO⊥NO. 由 4 MN BC = = ， 4 3 PA = , 得 OM=2，ON= 2 3 奎屯

王新敞新疆

所以 0 30 ONM ∠ = ，即异面直线 PA与MN成 30°的角奎屯

王新敞新疆

点评：已知中点，牢牢抓住中位线得到线线平行，通过线线平行转化为线面平行. 求两条异面直线所成角，

方法的关键也是平移其中一条或者两条直线，得到相交的线线角，通过解三角形而得.


24

第 12 练 §2.2.1 直线与平面平行的判定 ※基础达标 1．已知直线 1 l 、 2 l , 平面α, 1 l ∥ 2 l , 1 l ∥α, 那么 2 l 与平面α的关系是（）.

A. 1 l ∥α B. 2 l ⊂α C. 2 l ∥α或 2 l ⊂α D. 2 l 与α相交 2．以下说法（其中 a，b表示直线，α表示平面）

①若 a∥b，b⊂α，则 a∥α ②若 a∥α，b∥α，则 a∥b ③若 a∥b，b∥α，则 a∥α ④若 a∥α，b⊂α，则 a∥b

其中正确说法的个数是（）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

3．已知 a，b是两条相交直线，a∥α，则 b与α的位置关系是（）. A. b∥α B. b与α相交 C. b⊂α D. b∥α或 b与α相交

4．如果平面α外有两点 A、B，它们到平面α的距离都是 a，则直线 AB和平面α的位置关系一定是（）. A. 平行 B. 相交 C. 平行或相交 D. AB⊂α

5．如果点M是两条异面直线外的一点，则过点M且与 a，b都平行的平面（）. A. 只有一个 B. 恰有两个 C. 或没有，或只有一个 D. 有无数个

6．已知 P是正方体 ABCDA1B1C1D1 棱 DD1 上任意一点，则在正方体的 12条棱中，与平面 ABP平行的

是 . 7．过三棱锥 ABCD的棱 AB、BC、CD的中点M、N、P作平面MNP，三棱锥的六条棱中与平面MNP平

行的是；若 AC与 BD成 90°角，AC=6，BD=8，则截面四边形的面积是 . ※能力提高 8．平面α与ABC的两边 AB、AC分别交于 D、E，且 AD∶DB=AE∶EC，求证：BC∥平面α.

9．P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，E 为 PB 的中点，O 为 AC，BD 的交点. （1）求证：EO‖平面 PCD ；（2）图中 EO还与哪个平面平行？

※探究创新 10．三角形的三条中线交于一点，该点称为三角形的重心，且到顶点的距离等

于到对边中点距离的 2倍. 这一结论叫做三角形的重心定理. 在四面体 ABCD中，M、N分别是面ACD、BCD的重心，在四面体的四个

面中，与MN平行的是哪几个面？试证明你的结论.

E D

C B

A α


25

第 13 讲 §2.2.2 平面与平面平行的判定 ¤学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理

解空间中面面平行的判定，掌握两个平面平行的判定定理与应用及转化的思想. ¤知识要点：

面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号

表示为： , ,

// // , // a b a b P a b

β β β α

α α

⊂ ⊂ = ⇒

∩ .

¤例题精讲：

【例 1】如右图，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，M、N、P分别是 C1C、B1C1、C1D1

的中点，求证：平面MNP∥平面 A1BD. 证明：连结 B1D1，∵P、N分别是 D1C1、B1C1 的中点，∴ PN∥B1D1. 又 B1D1∥BD，∴PN∥BD. 又 PN不在平面 A1BD上，∴PN∥平面 A1BD. 同理，MN∥平面 A1BD. 又 PN∩MN=N， ∴平面 PMN∥平面 A1BD. 【例 2】正方体 ABCD—A1B1C1D1 中．（1）求证：平面 A1BD∥平面 B1D1C；

（2）若 E、F分别是 AA1，CC1 的中点，求证：平面 EB1D1∥平面 FBD．

证明：（1）由 B1B // = DD1，得四边形 BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，

又 BD ⊄平面 B1D1C，B1D1⊂ 平面 B1D1C，∴BD∥平面 B1D1C．

同理 A1D∥平面 B1D1C．而 A1D∩BD＝D，∴平面 A1BD∥平面 B1CD．

（2）由 BD∥B1D1，得 BD∥平面 EB1D1．取 BB1 中点 G，∴AE∥B1G．

从而得 B1E∥AG，同理 GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．

∴DF∥平面 EB1D1．∴平面 EB1D1∥平面 FBD．

【例 3】已知四棱锥 PABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形. 点 M、N、Q分别在 PA、BD、PD上, 且 PM：MA=BN：ND=PQ：QD.

求证：平面MNQ∥平面 PBC. 证明：∵ PM：MA=BN：ND=PQ：QD. ∴ MQ//AD，NQ//BP，

而 BP⊂平面 PBC，NQ ⊄ 平面 PBC, ∴ NQ//平面 PBC. 又∵ABCD为平行四边形，BC//AD， ∴ MQ//BC，

而 BC⊂平面 PBC，MQ ⊄ 平面 PBC, ∴ MQ//平面 PBC. 由MQ∩ NQ=Q，根据平面与平面平行的判定定理，

∴ 平面MNQ∥平面 PBC. 点评：由比例线段得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，证得两条相交直线平行于一个

平面后，转化为面面平行. 一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行. 【例 4】直四棱柱 1 1 1 1 ABCD A BC D − 中，底面 ABCD为正方形，边长为 2,侧棱 1 3 A A = ，M、N分别为 A1B1、

A1D1 的中点，E、F分别是 B1C1、C1D1 的中点. （1）求证：平面 AMN∥平面 EFDB；（2）求平面 AMN与平面 EFDB的距离. 证：（1）连接 1 1 AC ,分别交MN、EF于 P、Q. 连接 AC交 BD于 O，连接 AP、OQ. 由已知可得 // MN EF ， ∴ // MN EFDB 平面 . 由已知可得， // PQ AO且 PQ AO = . ∴ // AP OQ , ∴ // AP EFDB 平面 . ∴平面 AMN∥平面 EFDB.

解：（2）过 1 A 作平面 AMN与平面 EFDB的垂线，垂足为 H、 H’，易得 1 1 1 ' 2

A H A P HH PQ

= = .

由 2 2 2 2 1 1

2 2 38 3 ( ) 4 2

AP A A A P = + = + = , 根据 1 1 A AMN A A MN V V − − = , 则

1

38 2 1 1 1 1 2 3 3 2 3 2

A H × ×

× × = × × ，解得 1 3 19 19

A H = . 所以，平面 AMN与平面 EFDB的距离为 6 19 19

.

点评：第（1）问证面面平行，转化途径为“线线平行→线面平行→面面平行”. 第（2）问求面面距离，

巧妙将中间两个平面的距离，转化为平面另一侧某点到平面距离的比例，然后利用等体积法求距离. 等价转化

的思想在本题中十分突出，我们可以用同样的转化思维，将此例中的两个平面的距离，转化为求点 B 到平面 AB’C的距离.

A1

A

B1

B

C1

C

D1

D G E

F

N

M

P

D C

Q

B A


26

第 13 练 §2.2.2 平面与平面平行的判定 ※基础达标 1．下列说法正确的是（）.

A. 一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任一条直线平行 B. 平行于同一平面的两条直线平行 C. 如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行 D. 如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行

2．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（）. A. α、β都平行于直线 l B. α内存在不共线的三点到β的距离相等 C. l、m是α内两条直线，且 l∥β，m∥β D. l、m是两条异面直线，且 l∥α，m∥α，l∥β，m∥β

3．下列说法正确的是（）. A. 垂直于同一条直线的两条直线平行 B. 平行于同一个平面的两条直线平行 C. 平行于同一条直线的两个平面平行 D. 平行于同一个平面的两个平面平行

4．经过平面外的两点作该平面的平行平面可以作（）. A. 0个 B. 1个 C. 0个或 1个 D. 1个或 2个

5．不在同一直线上的三点 A，B，C到平面 α的距离相等，且 A∉α，则（）. A. α∥平面 ABC B. ABC中至少有一边平行于 α C.ABC中至多有两边平行于 α D.ABC中只可能有一条边与 α平行

6．已知直线 a、b，平面α、β, 且 a// b，a//α，α//β，则直线 b与平面β的位置关系为 . 7．已知 a、b、c是三条不重合直线，α、β、γ是三个不重合的平面，下列说法中：

⑴ a∥c，b∥c⇒ a∥b； ⑵ a∥γ，b∥γ⇒ a∥b； ⑶ c∥α，c∥β ⇒ α∥β；

⑷ γ∥α，β∥α ⇒ α∥β； ⑸ a∥c，α∥c⇒ a∥α； ⑹ a∥γ，α∥γ ⇒ a∥α. 其中正确的说法依次是 . ※能力提高 8．在棱长为 a的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F，G，M，N，Q分别是棱 A1A，A1B1，A1D1，CB，CC1，

CD的中点，求证：平面 EFG∥平面MNQ.

9．两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB， M∈AC， N∈FB，且AM=FN，

过M作MH⊥AB于 H，求证：（1）平面MNH//平面 BCE；（2）MN∥平面 BCE.

※探究创新 10．P是 ABC ∆ 所在平面外一点， ' ' ' A B C 、、分别是 PBC PCA PAB ∆ ∆ ∆ 、、的重心，

（1）求证：平面 ' ' ' A BC ABC //平面 ; (2)求 ' ' ' : ABC A B C S S ∆ ∆

.


27

第 14 讲 §2.2.3 直线与平面平行的性质 ¤学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行的性质，掌握直线和平面

平行的性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”平行的转化.

¤知识要点：

线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平

面相交，那么这条直线和交线平行. 即： //

// a a a b

b

α β

α β

⊂ ⇒ = ∩

.

¤例题精讲：

【例 1】经过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BB1 作一平面交平面 AA1D1D于 E1E，求证：E1E∥B1B 奎屯

王新敞新疆

证明：∵ 1 1 1 1 1 1 1 1 // , , AA BB AA BEE B BB BEE B ⊄ ⊂ 平面平面，

∴ 1 1 1 // AA BEE B 平面 . 又 1 1 1 1 1 1 1 1 AA ADD A ADD A BEE B EE ⊂ = ∩ 平面，平面平面，

∴ 1 1 // AA EE .

则 1 1 1 1

1 1

// //

// AA BB

BB EE AA EE

⇒

.

【例 2】如图， // AB α ， // AC BD，C α ∈ ，D α ∈ ，求证：AC BD = . 证明：连结CD，

∵ // AC BD，

∴直线 AC 和 BD可以确定一个平面，记为β ，

∵ , C D α ∈ ， , C D β ∈ ，∴ CD α β = ∩ ，

∵ // AB α ， AB β ⊂ ， CD α β = ∩ ∴ // AB CD，

又∵ // AC BD，

∴ 四边形 ACDB为平行四边形， ∴ AC BD = .

【例 3】如右图，平行四边形 EFGH的分别在空间四边形 ABCD各边上，求证：BD//平面 EFGH. 证明：∵ // EH FG , EH ⊄ 平面 BCD， FG ⊂ 平面 BCD，

∴ // EH BCD 平面 .

又 ∵ EH ABD ⊂ 平面， BCD ABD BD = ∩ 平面平面 ,

∴ // EH BD .

又 ∵ EH EFGH ⊂ 平面 , BD EFGH ⊄ 平面 ,

∴ // BD EFGH 平面 .

点评：转化思维链是“由已知线线平行→线面平行→线线平行→线面平行”. 此

题属于教材（必修②人教 A版）中第 64页的 3题的演变, 同样还可证 // AC 平面 EFGH . 【例 4】已知直线 a∥平面α，直线 a∥平面β，平面α∩ 平面β=b，求证 // a b．

证明：经过 a作两个平面γ 和δ ，与平面α和β分别相交于直线 c 和 d ，

∵ a∥平面α， a∥平面β，

∴ a∥ c ， a∥ d ，

∴ c ∥ d ，

又 ∵ d ⊂平面β， c ⊄ 平面β，

∴ c ∥平面β，

又 c ⊂平面α，平面α∩平面β=b，

∴ c ∥b，

∵ a∥ c ， ∴ a∥b．

点评：利用公理 4，寻求一条直线分别与 a，b 均平行，从而达到 a∥b 的目的，这里借用已知条件中的 a ∥α及 a∥β来实现．证线线平行，可由公理 4进行平行传递，也可以由线面平行的性质及后面的面面平行的

性质得到线线平行. 这里采用作辅助平面，利用线面平行的性质得到线线平行.

δ γ

β α

_ b _ a

c

d

D 1 C 1

B 1

A B

C D

A 1 E 1

E

A

α

B

C D

β

β a

α b


28

第 14 练 §2.2.3 直线与平面平行的性质 ※基础达标 1．已知直线 l//平面α，m为平面α内任一直线，则直线 l与直线 m的位置关系是（）.

A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 平行或异面 2．梯形 ABCD中 AB//CD，AB⊂平面α，CD⊄ 平面α，则直线 CD与平面α内的直线的位置关系只能是

（）. A. 平行 B. 平行和异面 C. 平行和相交 D. 异面和相交

3．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（）. A. 异面 B. 相交 C. 平行 D. 不能确定

4．若直线 a、b均平行于平面α，则 a与 b的关系是（）. A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行或相交或异面

5．（09年江西卷.文 9）如图，在四面体 ABCD中，截面PQMN 是正方形，则在下

列命题中，错误．．的为（）. A . AC BD ⊥ B . AC ∥截面PQMN C . AC BD = D . 异面直线 PM 与 BD所成的角为 45 o

6．已知正方体 1 AC 的棱长为 1，点 P 是的面 1 1 AA D D的中心，点 Q 是面 1 1 1 1 A B C D 的

对角线 1 1 B D 上一点，且 // PQ 平面 1 1 AA B B，则线段PQ的长为 . 7．设不同的直线 a,b和不同的平面α，β，γ，给出下列四个说法：

① a∥α，b∥α，则 a∥b； ② a∥α, a∥β, 则α∥β；

③α∥γ，β∥γ，则α∥β；④ a∥b,b⊂α,则 a∥α. 其中说法正确的序号依次是 . ※能力提高 8．如图，空间四边形 ABCD被一平面所截，截面 EFGH是平行四边形. （1）求证：CD∥平面 EFGH；（2）如果 AB⊥CD，AB=a， CD=b是定值，求

截面 EFGH的面积.

9．如右图，直线 AB 和CD是异面直线， // AB α ， // CD α ，AC M α = ∩ ，

BD N α = ∩ ，求证： AM BN MC ND

= .

※探究创新

10．如下图，在正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中，AA1= 1 2 AB，点 E、M分别为 A1B、

C1C的中点，过点 A1、B、M三点的平面 A1BMN交 C1D1 于点 N. （1）求证：EM∥平面 A1B1C1D1；（2）设截面 A1BMN 把该正四棱柱截成两个

几何体的体积分别为 V1、V2（V1＜V2 )，求 V1∶V2 的值.

F D B

C

H

G

E

A

A

α

B

C D

M N

P

Q

M

N

A

B C

D


29

第 15 讲 §2.2.4 平面与平面平行的性质 ¤学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面平行的性质，掌握面面平行的

性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”“面面”平行的转化. ¤知识要点： 1. 面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线

平行. 用符号语言表示为： // , , // a b a b α β γ α γ β = = ⇒ ∩ ∩ . 2. 其它性质：① // , // l l α β α β ⊂ ⇒ ； ② // ,l l α β α β ⊥ ⇒ ⊥ ；

③夹在平行平面间的平行线段相等. ¤例题精讲：

【例 1】如图，设平面α∥平面β，AB、CD是两异面直线，M、N分别是 AB、 CD的中点，且 A、C∈α，B、D∈β. 求证：MN∥α.

证明：连接 BC，取 BC的中点 E，分别连接ME、NE，

则ME∥AC，∴ ME∥平面α，

又 NE∥BD， ∴ NE∥β，

又ME∩NE=E，∴平面MEN∥平面α，

∵ MN⊂平面MEN，∴MN∥α. 【例 2】如图，A，B，C，D四点都在平面α，β外，它们在α内的射影 A1，B1，C1，D1 是平行四边形的四

个顶点，在β内的射影 A2，B2，C2，D2 在一条直线上，求证：ABCD是平行四边形．

证明：∵ A，B，C，D四点在β内的射影 A2，B2，C2，D2 在一条直线上，

∴A，B，C，D四点共面．

又 A，B，C，D四点在α内的射影 A1，B1，C1，D1 是平行四边形的四个顶点，

∴平面 ABB1A1∥平面 CDD1C1．

∴AB，CD是平面 ABCD与平面 ABB1A1，平面 CDD1C1 的交线．

∴AB∥CD．

同理 AD∥BC． ∴四边形 ABCD是平行四边形．

【例 3】如图，在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中，E、F、G是侧面对角线上的点，且 BE CF AG = = ，求证：

平面 EFG∥平面 ABC. 证明：作 1 EP BB ⊥ 于 P，连接 PF. 在正三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧面 1 1 ABB A 中，

易知 1 1 1 A B BB ⊥ ，又 1 EP BB ⊥ ，所以 1 1 // // EP A B AB . ∴ 1 1

BE BP BA BB

= ， // EP 平面 ABC.

又∵ BE CF = ， 1 1 BA CB = ， ∴ 1 1

CF BP CB BB

= ，∴ // PF BC，则 // PF 平面 ABC.

∵ EP PF P = ∩ ，∴ 平面 PEF//平面 ABC. ∵ EF ⊂ 平面 PEF， ∴ EF//平面 ABC. 同理，GF//平面 ABC. ∵ EF GF F = ∩ ，∴ 平面 EFG//平面 ABC. 点评：将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，关键在于选择或添加适当的平面或

线，并抓住一些平面图形的几何性质，如比例线段等. 此题通过巧作垂线，得到所作平面与底面平行，由性质 // , // l l α β α β ⊂ ⇒ 易得线面平行，进而转化出待证的面面平行，突出了平行问题中转化思想. 【例 4】如图，已知正方体 1 1 1 1 ABCD A BC D − 中，面对角线 1 AB ， 1 BC 上分别有两点 E、F，且 1 1 B E C F = .

求证：EF∥平面 ABCD. 证明：过 E、F分别作 AB、BC的垂线，EM、FN分别交 AB、BC于M、N，连接MN.

∵ BB1⊥平面 ABCD，∴BB1⊥AB， BB1⊥BC， ∴ EM∥BB1， FN∥BB1，∴EM∥FN，

∵ AB1=BC1，B1E=C1F，∴AE=BF，又∠B1AB=∠C1BC=45°，

∴ RtAME≌RtBNF，∴EM=FN. ∴ 四边形MNFE是平行四边形，∴EF∥MN. 又MN⊂平面 ABCD，∴EF∥平面 ABCD.

证法二：过 E作 EG∥AB交 BB1 于 G，连接 GF，

∴ 1 1

1 1

B E BG B A B B

= ， 1 1 B E C F = ， 1 1 B A C B = ，∴ 1 1

1 1

C F B G C B B B

= ， ∴FG∥B1C1∥BC.

又∵EG∩ FG =G，AB∩ BC=B，∴平面 EFG∥平面 ABCD. b又 EF⊂平面 EFG，∴EF∥平面 ABCD.

点评：在熟知线面平行、面面平行的判定与性质之后，空间平行问题的证明，紧紧抓住“线线平行⇔ 线

面平行⇔ 面面平行”之间的互相转化而完成证明.

G

N

M

F E

E C D

B A

D 1 C 1

B 1 A 1

β

α

E N M

D

B

C A


30

第 15 练 §2.2.4 平面与平面平行的性质 ※基础达标 1．下列说法正确的是（）.

A. 如果两个平面有三个公共点，那么它们重合 B. 过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行 C. 在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行 D. 如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行

2．已知α ∥β ， , , a B α β ⊂ ∈ 则在β 内过点 B的所有直线中（）. A．不一定存在与 a平行的直线 B．只有两条与 a平行的直线 C．存在无数条与 a平行的直线 D．存在唯一一条与 a平行的直线

3．下列说法正确的是（）. A. 直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行 B. 经过两条平行线中一条有且只有一个平面与另一条直线平行 C. 经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行 D. 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行

4．在正方体 ' ' ' ' ABCD A B C D − 中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是（）. A. ' ' ' BDC B D C 与 B. ' ' ' A BC ACD 与 C. ' ' ' B D D BDA 与 D. ' ' ' A DC AD C 与

5．已知平面 // α 平面β ，P 是 , α β 外一点，过点 P 的直线m与 , α β 分别交于点 , A C ，过点 P 的直线 n与 , α β 分别交于点 , B D ，且 6 PA = ， 9 AC = ， 8 PD = ，则 BD的长为（）.

A.16 B. 24或 24 5

C. 14 D. 20

6．已知平面α∥β， a α ⊂ ，有下列说法：① a与β内的所有直线平行；② a与β内无数条直线平行；

③ a与β内的任意一条直线都不垂直. 其中正确的序号依次是 . 7．设平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线 AB与 CD交于 S，若 AS=18，BS=9，CD=34，则 SC=_ . ※能力提高 8．如图，设平面α∥平面β，AB、CD是两异面直线，且 A、C∈α，B、D∈β，

AC⊥BD， AC=6， BD=8. M是 AB的中点，过点M作一个平面γ，交 CD与 N，且 // γ α ，

求线段MN的长.

9．已知平面 , , α β γ ，且 // α β ， // β γ ，求证： // α γ ．

※探究创新 10．如图甲，在透明塑料制成的长方体 ABCD—A1B1C1D1 容器内灌进一些水，固定容器底面一边 BC于地

面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：

①水的部分始终呈棱柱状；

②水面四边形 EFGH的面积不改变；

③棱 A1D1 始终与水面 EFGH平行；

④当容器倾斜如图乙时，EF·BF是定值. 其中正确说法的序号是_____________.

β

α

E N M

D

B

C A


31

第 16 讲 §2.3.1 直线与平面垂直的判定 ¤学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理

解空间中线面垂直的判定，掌握直线与平面垂直的定义，理解直线与平面垂直的判定定理，并会用定义和判定

定理证明直线与平面垂直的关系. 掌握线面角的定义及求解. ¤知识要点： 1. 定义：如果直线 l 与平面α 内的任意一条直线都垂直，则直线 l 与平面α 互相垂直，记作 l α ⊥ . l －平

面α 的垂线，α －直线 l 的垂面，它们的唯一公共点 P 叫做垂足.（线线垂直→ 线面垂直） 2. 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 符号语言表示为：

若 l ⊥m， l ⊥ n，m∩ n＝B，m ⊂α ， n⊂α ，则 l ⊥α 3. 斜线和平面所成的角，简称“线面角” ，它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角. 求直线和平面所

成的角，几何法一般先定斜足，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，可以简述为“作（作出线面角）

→证（证所作为所求）→求（解直角三角形） ”. 通常，通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜

足的连线是产生线面角的关键. ¤例题精讲：

【例 1】四面体 ABCD中， , , AC BD E F = 分别为 , AD BC 的中点，且 2 2

EF AC = ， 90 BDC ∠ = o ，求证：

BD ⊥ 平面 ACD .

证明：取CD的中点G ，连结 , EG FG ，∵ , E F 分别为 , AD BC 的中点，∴ EG 1 2

// AC = ， 1 2

// FG BD = .

又 , AC BD = ∴ 1 2

FG AC = ，∴在 EFG ∆ 中， 2 2 2 2 1 2

EG FG AC EF + = = ，

∴ EG FG ⊥ ，∴ BD AC ⊥ ，又 90 BDC ∠ = o ，即 BD CD ⊥ ， AC CD C = ∩ ，

∴ BD ⊥ 平面 ACD . 【例 2】已知棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 是 A1B1 的中点，求直线 AE 与平面 ABC1D1 所成

的角的正弦值. 解：取 CD的中点 F，连接 EF交平面 1 1 ABC D 于 O，连 AO. 由已知正方体，易知 EO ⊥ 平面 1 1 ABC D ，所以 EAO ∠ 为所求.

在 Rt EOA ∆ 中， 1 1 1 2 2 2 2

EO EF A D = = = ， 2 2 1 5 ( ) 1 2 2

AE = + = ，

10 sin 5

EO EAO AE

∠ = = .

所以直线 AE与平面 1 1 ABC D 所成的角的正弦值为 105

.

【例 3】三棱锥 P ABC − 中，PA BC PB AC ⊥ ⊥ ，，PO ⊥ 平面 ABC，垂足为 O，

求证：O为底面ABC的垂心. 证明：连接 OA、OB、OC，∵ PO ⊥ 平面 ABC， ∴ , PO BC PO AC ⊥ ⊥ . 又 ∵ PA BC PB AC ⊥ ⊥ ，，

∴ BC PAO AC PBO ⊥ ⊥ 平面，平面，得 AO BC BO AC ⊥ ⊥ ， , ∴ O为底面ABC的垂心. 点评：此例可以变式为“已知 PA BC PB AC ⊥ ⊥ ，，求证 PC AB ⊥ ” ，其思路

是接着利用射影是垂心的结论得到OC AB ⊥ 后进行证明. 三条侧棱两两垂直时，也可按同样的思路证出. 【例 4】已知 Rt ABC ∆ ，斜边 BC//平面α ， , A α ∈ AB，AC分别与

平面α 成 30°和 45°的角，已知 BC=6，求 BC到平面α 的距离. 解：作 1 BB α ⊥ 于 1 B ， 1 CC α ⊥ 于 1 C ，则由 // BC α ，得

1 1 BB CC = ，且 1 CC 就是 BC到平面α 的距离，

设 1 CC x = ，连结 1 1 , AB AC ，则 1 1 30 , 45 BAB CAC ∠ = ∠ = o o ，

∴ 2 , 2 AC x AB x = = ，

在 Rt ABC ∆ 中， 6, 90 BC BAC = ∠ = o ，∴ 2 2 36 2 4 x x = + ，∴ 6 x = ，即 BC到平面α 的距离为 6 ．

点评：由直线与平面的平行，直接作平面的垂线段即为线面距离. 此题通过两条垂线段把所已知的线面角

同时作出，利用解直角三角形的知识和方程思想容易解决问题.

C 1 B 1

C

B

A α


32

第 16 练 §2.3.1 直线与平面垂直的判定 ※基础达标 1．若三条直线 OA，OB，OC两两垂直，则直线 OA垂直于（）.

A．平面 OAB B．平面 OAC C．平面 OBC D．平面 ABC 2．若直线 l ⊥ 平面α ，直线m α ⊂ ，则（）.

A． l m ⊥ B．l可能和 m平行 C．l和 m相交 D． l和 m不相交 3．在正方形 SG1G2G3 中，E、F分别是 G1G2、G2G3 的中点，现沿 SE、SF、 EF把这个正方形折成一个四面体，使 G1、G2、G3 重合为点 G，则有（）.

A. SG⊥面 EFG B. EG⊥面 SEF C. GF⊥面 SEF D. SG⊥面 SEF

4．直线 a⊥直线 b，b⊥平面β ，则 a与β的关系是（）. A．a⊥β B. a∥β． C． a β ⊂ D．a β ⊂ 或 a∥β

5．（04 年湖南卷.理 4 文 5）把正方形 ABCD沿对角线 AC 折起,当以 A、B、C、D 四点为顶点的三棱锥体

积最大时，直线 BD和平面 ABC所成的角的大小为（）. A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°

6．在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，当底面四边形 ABCD满足条件时，有 A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种即可，不必考虑所有可能的情形）.

7．设三棱锥 P ABC − 的顶点 P 在平面 ABC 上的射影是H ，给出以下说法：

①若 PA BC ⊥ ，PB AC ⊥ ，则H 是 ABC ∆ 垂心； ②若 , , PA PB PC 两两互相垂直，则H 是 ABC ∆ 垂心；

③若 90 ABC ∠ = o ，H 是 AC 的中点，则 PA PB PC = = ； ④若 PA PB PC = = ，则H 是 ABC ∆ 的外心. 其中正确说法的序号依次是 . ※能力提高 8．如图，在正方体 1 1 1 1 ABCD A BC D − 中，E是 1 CC 的中点，F是 AC,BD的交

点，求证： 1 A F BED ⊥ 平面．

9．如图， ABCD是矩形， PA ⊥ 平面 ABCD， , PA AD a = = 2 AB a = ， E 是线段 PD上的点， F 是线

段 AB 上的点，且 1 2

PE BF ED FA

= = ．求直线 EF 与平面 ABCD所成角的正弦值.

※探究创新

10．如图，已知平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 的底面是菱形且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°,

（1）证明：C1C⊥BD；（2）当 1

CD CC

的值为多少时，可使 A1C⊥面 C1BD？

G F

E

D C

B A

D 1 C 1

B 1 A 1

G2

F

E

G3

G1

S


33

B D

C

A

E

F

G

第 17 讲 §2.3.2 平面与平面垂直的判定 ¤学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面垂直的判定，掌握二面角和两

个平面垂直的定义，理解平面与平面垂直的判定定理并会用判定定理证明平面与平面垂直的关系，会用所学知

识求两平面所成的二面角的平面角的大小. ¤知识要点： 1. 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）. 这条直线叫做二面角的

棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角 AB α β －－ . （简记P AB Q －－） 2. 二面角的平面角：在二面角 l α β －－的棱 l 上任取一点O，以点O为垂足，在半平面 , α β 内分别作垂

直于棱 l 的射线OA和OB ，则射线OA和OB 构成的 AOB ∠ 叫做二面角的平面角. 范围：0 180 θ ° < < ° . 3. 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 记作α β ⊥ . 4. 判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. （线面垂直→ 面面垂直）

¤例题精讲：

【例 1】已知正方形 ABCD的边长为 1，分别取边 BC、CD的中点 E、F，连结 AE、EF、AF，以 AE、EF、 FA为折痕，折叠使点 B、C、D重合于一点 P.

（1）求证：AP⊥EF；（2）求证：平面 APE⊥平面 APF. 证明：（1）如右图，∵∠APE=∠APF=90°，PE∩PF=P，

∴ PA⊥平面 PEF. ∵EF⊂平面 PEF，∴PA⊥EF. （2）∵∠APE=∠EPF=90°，AP∩PF=P，∴PE⊥平面 APF. 又 PE⊂平面 PAE，∴平面 APE⊥平面 APF. 【例 2】如图, 在空间四边形 ABCD 中， , , AB BC CD DA = =

, , E F G分别是 , , CD DA AC 的中点，求证：平面 BEF ⊥ 平面 BGD . 证明： , AB BC G = 为 AC中点，所以 AC BG ⊥ .

同理可证 , AC DG ⊥ ∴ AC ⊥ 面 BGD. 又易知 EF//AC，则 EF ⊥面 BGD.

又因为 EF ⊂ 面 BEF，所以平面 BEF ⊥ 平面 BGD . 【例 3】如图，在正方体 1 1 1 1 ABCD A BC D − 中，E 是 1 CC 的中点，求证：

1 A BD BED ⊥ 平面平面．

证明：连接 AC，交 BD于 F，连接 1 A F ，EF， 1 A E ， 1 1 AC . 由正方体 1 1 1 1 ABCD A BC D − ，易得 1 1 A D A B = ， ED EB = ，F是 BD的中点，

所以 1 , A F BD EF BD ⊥ ⊥ ，得到 1 A FE ∠ 是二面角 1 A BD E − − 的平面角. 设正方体 1 1 1 1 ABCD A BC D − 的棱长为 2，则

2 2 2 2 2 1 1 2 ( 2) 6 A F A A AF = + = + = ， 2 2 2 2 2 1 ( 2) 3 EF CE CF = + = + = ，

2 2 2 2 2 1 1 1 (2 2) 1 9 A E AC CE = + = + = .

∴ 2 2 2 1 1 A F EF A E + = ，即 1 A F EF ⊥ ，所以 1 A BD BED ⊥ 平面平面 .

点评：要证两平面垂直，证其二面角的平面角为直角，这也是证两平面垂直的常用方法. 此题由几何图形

的特征，作出待证的两个垂直平面所成二面角的平面角是解决问题的关键. 【例 4】正三棱柱 ABC—A1B1C1 中，AA1=2AB，D、E分别是侧棱 BB1、CC1 上的点，且 EC=BC=2BD，过

A、D、E作一截面，求：（1）截面与底面所成的角；（2）截面将三棱柱分成两部分的体积之比. 解：（1）延长 ED交 CB延长线于 F，

1 // , , . 120 2

DB EC BD EC FB BC AB ABF = ∴ = = ∠ = ° ∵ 又，

∴ 30 BAF BFA ∠ = ∠ = °， 90 FAC ∠ = ° . ∵ , AA AF AC AF ′ ⊥ ⊥ ， ∴ , AF AE EAC ⊥ ∠ 为截面与底面所成二面角的平面角. 在 RtAEC中，EC=AC，故得∠EAC=45°.

（2）设 AB=a，则 3 1 1 3 2 , , , 2 3 8 A BCED BCED AA a BD a EC a V h S a − ′ = = = ∴ = ⋅ = ，

2 3 3 3 3 3 3 2 , 4 2 8 A B C ABC ABC ADE A B C V S AA a a a V a ′ ′ ′′ ′ ′ ′ − ∆ − ′ = ⋅ = ⋅ = = . ∴ 3 ADE A B C

A BCDE

V S

′ ′ ′ −

−

= .

点评：截面问题的研究，需注意结合截面的性质. 如何作出截面，是解决问题的关键，然后把截面的看成

一个平面图形. 求二面角时，抓住二面角的平面角定义（两线垂棱），找出其平面角，解直角三角形.

E

D

C 1 B 1

A 1

C

B

A


34

第 17 练 §2.3.2 平面与平面垂直的判定 ※基础达标 1．对于直线m、 n和平面α 、β ，α β ⊥ 的一个条件是（）.

A．m n ⊥ ， // m α ， // n β B. , , m n m n α β α ⊥ = ⊥ ∩ C． // , , // m n n m α β ⊥ D. // m n， m α ⊥ ， n β ⊥

2．过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 AP⊥平面 ABCD，且 AP=AB，则平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面

角的度数是（）. A．30° B．45° C．60° D．90°

3．在三棱锥 A—BCD中，如果 AD⊥BC，BD⊥AD，BCD是锐角三角形，那么（）. A. 平面 ABD⊥平面 ADC B. 平面 ABD⊥平面 ABC C. 平面 BCD⊥平面 ADC D. 平面 ABC⊥平面 BCD

4．在直二面角 AB α β − − 棱 AB上取一点 P，过 P分别在 , α β 平面内作与棱成 45°角的斜线 PC、PD，

则∠CPD的大小是（）. A．45° B．60° C．120° D．60°或 120°

5．下面四个说法：① 如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直； ②

过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直；③垂直同一平面的两条直线互相平行；④经过一个平面的垂

线的平面与这个平面垂直. 其中正确的说法个数是（）.

A.1 B. 2 C. 3 D. 4 6．E 是正方形 ABCD 的 AB 边中点，将ADE 与BCE 沿 DE、CE 向上折起，使得 A、B 重合为点 P，

那么二面角 D—PE—C的大小为 . 7．空间四边形 ABCD中， AB=BC， CD=DA， E是 AC的中点，则平面 BDE与平面 ABC的位置关系是 . ※能力提高 8．如图，正三角形 ABC的边长为 3，过其中心 G作 BC边的平行线，分别交 AB、

AC 于 1 B 、 1 C . 将 1 1 AB C ∆ 沿 1 1 B C 折起到 1 1 1 A B C ∆ 的位置，使点 1 A 在平面 1 1 BBC C 上的射

影恰是线段 BC的中点M. 试求二面角 1 1 1 A B C M − − 的大小.

9．如图，棱长为 a的正方体 1 1 1 1 ABCD A BC D − 中， , E F 分别为棱 AB 和 BC的中点， M 为棱 1 B B 的中点. 求证：（1） EF ⊥平面 1 1 BB D D；（2）平面 1 EFB ⊥ 平面 1 1 DC M .

※探究创新

10．如图，在四棱锥 P—ABCD中，底面 ABCD是矩形，侧棱 PA垂直于底面，E、 F分别是 AB、PC的中点.（1）求证：CD⊥PD；（2）求证：EF∥平面 PAD；

（3）当平面 PCD与平面 ABCD成多大角时，直线 EF⊥平面 PCD？

A B

D C

A 1 B 1

D 1 C 1

E

F

M


35

第 18 讲 §2.3.3 线面、面面垂直的性质 ¤学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面、面面垂直的有关性质，掌握

两个性质定理及定理的应用.

¤知识要点： 1. 线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. （线面垂直→ 线线平行） 2. 面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 用符号语言表

示为：若α β ⊥ ， l α β = ∩ ， a α ⊂ ， a l ⊥ ，则 a β ⊥ .（面面垂直→ 线面垂直）

¤例题精讲：

【例 1】把直角三角板 ABC的直角边 BC放置于桌面，另一条直角边 AC与桌面所在的平面α 垂直， a是α 内一条直线，若斜边 AB与 a垂直，则 BC是否与 a垂直？

解：

注：若 BC 与 a垂直，同理可得 AB 与 a也垂直，其实质是三垂线定理及逆定理，证明过程体现了一种重

要的数学转化思想方法： “线线垂直→线面垂直→线线垂直”. 【例 2】如图，AB是圆 O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面 ABC. （1）求证：平面 PAC⊥平面 PBC；

（2）若 D 也是圆周上一点，且与 C 分居直径 AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的

各对平面. 解：（1）证明：∵C是 AB为直径的圆 O的圆周上一点，AB是圆 O的直径， ∴BC⊥AC. 又 PA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC，

∴BC⊥PA，从而 BC⊥平面 PAC. ∵ BC ⊂平面 PBC， ∴平面 PAC⊥平面 PBC. （2）平面 PAC⊥平面 ABCD；平面 PAC⊥平面 PBC；平面 PAD⊥平面 PBD；平面 PAB⊥平面 ABCD；平

面 PAD⊥平面 ABCD. 【例 3】三棱锥 P ABC − 中， PA PB PC = = , PO ⊥ 平面 ABC，垂足为 O，求证：

O为底面ABC的外心. 证明：连接 OA、OB、OC，

∵ PO ⊥ 平面 ABC， ∴ , , PO OA PO OB PO OC ⊥ ⊥ ⊥ . 在PAO、PBO、PCO中， 90 POA POB POC ∠ = ∠ = ∠ = ° , PA PB PC = = , PO边公共.

∴ POA POB POC ∆ ≅ ∆ ≅ ∆ . ∴ OA OB OC = = , 所以，O为底面ABC的外心. 点评：若已知三条侧棱与底面所成角相等时，即 PAO PBO PCO ∠ = ∠ = ∠ ，按同样的方法“证全等”可以

证出. 上述结论对一般棱锥也成立，即棱锥的侧棱均相等或侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射

影为底面多边形的外心.

【例 4】三棱锥 P ABC − 中，三个侧面与底面所成的二面角相等， PO ⊥ 平面 ABC，垂足为 O，求证：O 为底面ABC的内心.

【证】作 PD AB ⊥ 于 D， PE BC ⊥ 于 E， PF AC ⊥ 于 F，连接 OD、OE、OF. ∵ PO ⊥ 平面 ABC，∴ , , PO OD PO OE PO OF ⊥ ⊥ ⊥ ， , , PO AB PO BC PO AC ⊥ ⊥ ⊥ . 又 ∵ , , PD AB PE BC PF AC ⊥ ⊥ ⊥ , ∴ , , AB PDO BC PEO AC PFO ⊥ ⊥ ⊥ 平面平面平面 . 得 , , OD AB OE BC OF AC ⊥ ⊥ ⊥ , ∴ , , PDO PEO PFO ∠ ∠ ∠ 为三个侧面与底面所成的二面角的平面角. 即得 PDO PEO PFO ∠ = ∠ = ∠ ，

∵ PO边公共， ∴ PDO PEO PFO ∆ ≅ ∠ ≅ ∠ ，得 OD OE OF = = ，

又 ∵ , , OD AB OE BC OF AC ⊥ ⊥ ⊥ . ∴ O为底面ABC的内心. 点评：这里用到了证明垂直问题的转化思想，即“线线垂直→线面垂直→线线垂直”. 上述结论对于一般

棱锥也成立，即棱锥的各侧面与底面所成二面角均相等，或棱锥的顶点到底面各边的距离相等，则顶点在底面

上的射影为底面多边形的内切圆的圆心.

⇒

⊂ ⊥ α

α a AC

⇒

= ⊥ ⊥

A AB AC AB a AC a

∩ BC a ABC BC

ABC a ⊥ ⇒

⊂

⊥

平面

平面

A

C α

B a


36

第 18 练 §2.3.3 线面、面面垂直的性质 ※基础达标 1．PA垂直于以 AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于 A、B的任一点，则下列关系不正确的是（）.

A. PA⊥BC B. BC⊥平面 PAC C. AC⊥PB D. PC⊥BC 2．（1998上海卷）在下列说法中，错误的是（）.

A. 若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任一直线，则α⊥β B. 若平面α内任一直线平行于平面β，则α∥β C. 若平面α⊥平面β，任取直线 l⊄ α，则必有 l⊥β D. 若平面α∥平面β，任取直线 l⊄ α，则必有 l∥β

3．给出下列说法：①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行；②夹在两个平行平面间的

两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；③直线 m⊥平面α，直线 n⊥m，则 n∥α； ④a、b是异面直线，

则存在唯一的平面α，使它与 a、b都平行且与 a、b距离相等. 其中正确的两个说法是（）.

A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 4．在 ABC ∆ 中， 90 ACB ∠ = ° ，AB=8， 60 BAC ∠ = °，PC⊥ 面 ABC，PC＝4，M 是 AB 边上的一动点，

则 PM的最小值为（）. A. 2 7 B. 7 C. 19 D. 5

5．（04年福建卷.理 5）已知 m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列说法：

①若 m⊂α，n∥α，则 m∥n； ②若 m∥α，m∥β，则α∥β；

③若α∩β=n，m∥n，则 m∥α且 m∥β； ④若m⊥α，m⊥β，则α∥β. 其中正确说法的个数是（）.

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6．已知两个平面垂直，给出下列一些说法：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直

线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个

平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的说法的序号依次是 . 7．P是ABC 所在平面α外一点，O 是 P在平面α内的射影. 若 P到ABC 的三个顶点距离相等，则 O

是ABC的__________心；若 P到ABC的三边的距离相等，则 O是ABC的_______心；若 PA,PB,PC两两

垂直，则 O是ABC的_______心. ※能力提高 8．如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中. 求证：（1）B1D⊥平面 A1C1B；

（2）B1D与平面 A1C1B的交点设为 O，则点 O是A1C1B的垂心.

9．（1994全国文，23）如图，已知 A1B1C1—ABC是正三棱柱，D是 AC中点. （1）证明：AB1∥平面 DBC1；（2）假设 AB1⊥BC1，BC＝2，求线段 AB1 在侧面 B1BCC1 上的射影长.

※探究创新

10．在斜三棱柱 A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面 BB1C1C⊥底面 ABC. （1）若 D 是 BC 的中点，求证：AD⊥CC1；（2）过侧面 BB1C1C 的对角线 BC1 的平面

交侧棱于M，若 AM=MA1，求证：截面MBC1⊥侧面 BB1C1C；

（3）如果截面MBC1⊥平面 BB1C1C，那么 AM=MA1 吗？请你叙述判断理由.


37

第 19 讲第二章点线面之间的位置关系复习 ¤学习目标：借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、

面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理

解空间中垂直与平行的判定与性质，能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的命题. ¤例题精讲：

【例 1】如图，在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1 ABCD A BC D − 中，M、N 分别在其面的对角线 A1B、AC 上运动，

且 A1M=AN，求MN的最小值. 解：设 AN= x，作 NG⊥AB于 G点，连MG. ∵BC⊥AB，∴NG∥BC，

又由 A1M= AN可得MG⊥AB， ∴ MG∥B1B. 由等角定理知∠MGN=∠B1BC=90°,

∴ NG= 2 2 NA=

2 2

x，MG= 2 2 BM=

2 ( 2 ) 2

x − .

∴ MN 2 =NG 2 +MG 2 = 2 2 2 2 1 1 2 1 ( 2 ) 2 1 ( ) 2 2 2 2 x x x x x + − = − + = − + .

∴ 当 x = 2 2

时，MN 2 有最小值 1 2 ，MN有最小值

2 2

.

【例 2】如图，在正方体 1 1 1 1 ABCD A BC D − 中，E 是 1 CC 的中点，F 是 AC,BD 的交点，求证： 1 A F BED ⊥ 平面．

证明：∵ 1 AA ABCD ⊥ 平面，∴ 1 A A BD ⊥ . 又∵ AC BD ⊥ ，∴ 1 BD AA F ⊥ 平面 , 得 1 A F BD ⊥ . 取 BC中点 G，连结 1 , FG B G ， ∴ 1 1 // A B FG . ∵ 1 1 1 1 A B BCC B ⊥ 平面，∴ 1 1 A B BE ⊥ . 又∵正方形 1 1 BCC B 中，E,G分别为 1 , CC BC 的中点， ∴ 1 BE B G ⊥ ，

∴ 1 1 BE A BGF ⊥ 平面 , 得 1 A F BE ⊥ . 又∵ EB BD B = ∩ ， ∴ 1 A F BED ⊥ 平面．

【例 3】正方体 1 1 1 1 ABCD A BC D − 中，M、N分别为 A1B1、A1D1 的中点，E、F分别是 B1C1、C1D1 的中点. （1）求证：E、F、B、D共面；（2）求证：平面 AMN∥平面 EFDB. 证明：（1）连接 1 1 B D . ∵ E、F分别是 B1C1、C1D1 的中点，∴ 1 1 // EF B D . 又 ∵ 1 1 // DD BB 且 1 1 DD BB = , ∴ 1 1 // BD B D . 根据平行公理 4,得到 1 1 // EF B D ，所以 E、F、B、D共面. （2）连接 1 1 AC ,分别交MN、EF于 P、Q. 连接 AC交 BD于 O，连接 AP、OQ. 由已知可得 // MN EF ， ∴ // MN EFDB 平面 . 由已知可得， // PQ AO且 PQ AO = . ∴ // AP OQ , ∴ // AP EFDB 平面 . ∴平面 AMN∥平面 EFDB. 点评：证面面平行，可以是“线线平行→线面平行→面面平行”. 【例 4】（05年春季高考上海卷.19）已知正三棱锥 P ABC − 的体积为72 3 ，侧面与底面所成的二面角的

大小为60 o .（1）证明： PA BC ⊥ ；（2）求底面中心O到侧面的距离. 解：（1）证明：取 BC边的中点D，连接 AD、 PD，

则 AD BC ⊥ ， PD BC ⊥ ，故 BC ⊥ 平面 APD . ∴ PA BC ⊥ . （2）由题意可知点O在 AD上， PO OD ⊥ . 过点O作 , OE PD E ⊥ 为垂足，

连接 PO . ∵ BC ⊥ 平面 APD， ∴ BC OE ⊥ ，又有OE PD ⊥ ，

∴ OE ⊥ 平面 PBC ，即OE 为点O到侧面的距离. ∵ AD BC ⊥ ， PD BC ⊥ ， ∴ PDA ∠ 是侧面与底面所成二面角的平面角，即 60 PDO ∠ = ° .

设OE = h，则 2 OP h = , 2 3

sin 60 3 OE h OD = =

° , 3 2 3 AD OD h = = , 4

sin 60 AD AB h = =

° .

∴ 2 2 1 (4 ) sin 60 4 3 2 ABC S h h ∆ = ° = ，由体积 2 3 1 8 3 72 3 4 3 2

3 3 h h h = ⋅ ⋅ = ，解得

3 h = ，即底面中心O到侧面的距离为 3. 点评：立体几何中的证明，我们要牢牢抓住“转化”这一武器，线与线、线与面、面与面之间的垂直与平

行，都可互相转化，转化的理论依据是这三种平行与垂直的判定定理、性质定理等.

E

O

P

B

C A

D

G F

E

D C

B A

D 1 C 1

B 1 A 1


38

第 19 练第二章点线面之间的位置关系复习 ※基础达标 1．（06 年四川卷）已知二面角 l α β − − 的大小为 60°， , m n为异面直线，且 , m n α β ⊥ ⊥ ，则 , m n 所

成的角为（）. A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°

2．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（）. A．α、β都垂直于平面 r B．α内存在不共线的三点到β的距离相等 C．l，m是α内两条直线，且 l∥β，m∥β D．l，m是两条异面直线，且 l∥α，m∥α, l∥β，m∥β

3．（04年全国卷Ⅱ.文 6）正四棱锥的侧棱长与底面边长都是 1，则侧棱与底面所成的角为（） . A．75° B．60° C．45° D．30°

4．（06年福建卷）对于平面α 和共面的直线m、 , n 下列说法中正确的是（）. A. 若 , , m m n α ⊥ ⊥ 则 n α ∥ B. 若m α α ∥ ,n∥ ,则m∥n C. 若 , m n α α ⊂ ∥ ,则m∥n D. 若m、 n与α 所成的角相等，则m∥n

5．（07年广东卷）若 l m n ，，是互不相同的空间直线，α β ，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的

是（）. A．若 l n α β α β ⊂ ⊂ ∥ ，，，则 // l n B．若 l α β α ⊥ ⊂ ，，则 l β ⊥ C．若 l n m n ⊥ ⊥ ，，则 l m ∥ D．若 , // l l α β ⊥ ，则α β ⊥

6．（06年天津卷）如图，在正三棱柱 1 1 1 ABC A BC − 中， 1 AB = ．若二面角 1 C AB C − − 的大小为60 o ，则

点C 到平面 1 ABC 的距离为_____________． 7．（01京皖春）已知 m、n是直线，α、β、γ是平面，给出下列说法：

① 若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则 n⊥α或 n⊥β；

② 若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则 m∥n；

③ 若 m不垂直于α，则 m不可能垂直于α内的无数条直线；

④ 若α∩β＝m，n∥m且 n⊄ α，n⊄ β，则 n∥α且 n∥β. 其中正确的说法序号是（注：把你认为正确的说法的序号都．填上）. ※能力提高 8．直线 a、b、c共点 P，且两两成 60°角，求 c与 a、b所确定的平面α所成角的余

弦值.

9．（06 年北京卷）如图，在底面为平行四边形的四棱锥 P ABCD − 中， AB AC ⊥ ， PA ⊥ 平面 ABCD，且 PA AB = ，点 E 是 PD的中点.

（1）求证： AC PB ⊥ ；（2）求证： // PB 平面 AEC ；

（3）求二面角 E AC B − − 的大小.

※探究创新 10．（02年北京理）如图，在多面体 ABCD—A1B1C1D1 中，上、下底面平行且均为矩形，

相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于 E，F两点，上、下底面

矩形的长、宽分别为 c，d与 a，b，且 a＞c，b＞d，两底面间的距离为 h. （1）求侧面 ABB1A1 与底面 ABCD所成二面角的正切值；（2）证明：EF∥面 ABCD；

（3）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式 V 估=S 中截面·h来计算.已知它的体积

公式是 V= 6 h （S 上底面+4S 中截面+S 下底面），试判断 V 估与 V的大小关系，并加以证明.

（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）

《新课标高中数学必修②精讲精练》——精讲第三章直线与方程

39

第 20 讲 §3.1.1 倾斜角与斜率 ¤学习目标：理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线

斜率的计算公式. ¤知识要点： 1. 当直线 l与 x轴相交时，我们把 x轴正方向与直线 l向上方向之间所成的角叫做直线 l的倾斜角.当直线

l与 x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为 0°. 则直线 l的倾斜角α 的范围是0 α π ≤ < . 2. 倾斜角不是 90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即 tan k θ = . 如果知道直线上两点

1 1 2 2 ( , ), ( , ) P x y P x y ，则有斜率公式 2 1

2 1

y y k

x x −

= −

. 特别地是，当 1 2 x x = ， 1 2 y y ≠ 时，直线与 x轴垂直，斜率 k不

存在；当 1 2 x x ≠ ， 1 2 y y = 时，直线与 y轴垂直，斜率 k=0. 注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与 y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率 k=0；当

0 90 α ° < < °时，斜率 0 k > ，随着α的增大，斜率 k也增大；当90 180 α ° < < ° 时，斜率 0 k < ，随着α的增大，

斜率 k也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率 k取值范围的一些对应问题. ¤例题精讲：

【例 1】如图所示菱形 ABCD 中∠BAD=60°，求菱形 ABCD 各边和两条

对角线所在直线的倾斜角和斜率. 解： 60 AD BC α α = = °， 0 AB DC α α = = ° ， 30 AC α = °， 120 BD α = ° .

3 AD BC k k = = ， 0 AB CD k k = = ， 3 3 AC k = ， 3 BD k = − .

【例 2】已知过两点 2 2 ( 2, 3) A m m + − , 2 (3 ,2 ) B m m m − − 的直线 l的倾斜

角为 45°，求实数m的值.

解： ∵ 2

0 2 2

3 2 tan 45 1 2 (3 ) m m

m m m − −

= = + − − −

，

∴ 2 3 2 0 m m + + = ，

解得 1 m = − 或 2 − . 但当 1 m = − 时，A、B重合，舍去．

∴ 2 m = − ．

【例 3】已知三点 A(a，2)、B(3，7)、C(2，9a)在一条直线上，求实数 a的值．

解: 7 2 5 3 3 AB k

a a −

= = − −

， 7 ( 9 ) 7 9 3 ( 2) 5 BC

a a k − − + = =

− − .

∵ A、B、C三点在一条直线上，

∴ AB BC k k = ，即 5 7 9

3 5 a

a +

= −

，

解得 2 a = 或 2 9

a = .

点评：三点共线时，可以利用斜率相等，由此证明三点共线的一种方法是利用斜率相等. 此外，还可利用

两点间距离公式、直线方程等证明三点共线. 【例 4】已知两点 A (2, 3) , B (3, 0) ,过点 P (1, 2)的直线 l 与线段 AB始终

有公共点，求直线 l 的斜率 k 的取值范围.

解：如图所示, 直线 PA的斜率是 1 2 ( 3) 5 1 ( 2)

k − − = =

− − − ,

直线 PB的斜率是 2 0 2 1

3 ( 1) 2 k −

= = − − −

.

当直线 l 由 PA变化到 y轴平行位置 PC, 它的倾斜角由锐角 (tan 5) α α = 增

至 90°，斜率的变化范围是[5, ) +∞ ；当直线 l 由 PC变化到 PB 位置，它的倾斜

角由 90°增至 1 (tan )2

β β = − ，斜率的变化范围是 1 ( , ]2

−∞ − .

所以斜率的变化范围是 1 ( , ] [5, ) 2

−∞ − +∞ ∪ .

点评：分别计算过线段两个端点的直线的斜率，体现了研究问题的一种极限思想. 由图象的运动变化规律，

观察得到斜率的变化范围，注意结合倾斜角的比较和 tan x的单调性.


40

第 20 练 §3.1.1 倾斜角与斜率 ※基础达标 1．（01年上海春）若直线 1 x = 的倾斜角为α ，则α 等于（）.

A．0 B．45° C．90° D．不存在 2．过点 P(－2,m)和 Q(m,4)的直线的斜率等于 1，则 m的值为（）.

A.1 B.4 C.1或 3 D.1或 4 3．已知直线 l 的斜率的绝对值等于 3，则直线的倾斜角为（）.

A. 60° B. 30° C. 60°或 120° D. 30°或 150° 4．若三点 P（2，3），Q（3， a），R(4，b )共线，那么下列成立的是（）.

A． 4, 5 a b = = B． 1 b a − = C． 2 3 a b − = D． 2 3 a b − = 5．（1995全国卷）右图中的直线 l1、l2、l3 的斜率分别为 k1、k2、k3，则（）.

A .k1＜k2＜k3 B. k3＜k1＜k2 C. k3＜k2＜k1 D. k1＜k3＜k2 6．已知两点 A( x，－2)，B(3，0)，并且直线 AB的斜率为 2，则 x＝ . 7．若 A(1，2)，B(2，3)，C(4，y)在同一条直线上，则 y的值是 . ※能力提高 8．已知 (2, 3), ( 3, 2) A B − − − 两点，直线 l 过定点 (1,1) P 且与线段 AB相交，求直线 l

的斜率 k 的取值范围.

9．光线从点 (2,1) A 出发射入 y 轴上点 Q, 再经 y 轴反射后过点 (4,3) B , 试求点 Q的坐标,以及入射光线、

反射光线所在直线的斜率.

※探究创新 10．魔术大师把一块长和宽都是 13 dm的地毯按图 1 裁好，再按图 2 拼

成矩形. 计算两个图形的面积，分别得到 169 2 dm 与 168 2 dm .魔术师得意洋洋

的说，他证明了 169=168. 你能揭穿魔术师的奥秘吗？


41

第 21 讲 §3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 ¤学习目标：理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线

斜率的计算公式；能根据斜率判定两条直线平行或垂直. ¤知识要点： 1. 对于两条不重合的直线 1 l 、 2 l ，其斜率分别为 1 k 、 2 k ，有：

（1） 1 2 // l l ⇔ 1 2 k k = ；（2） 1 2 l l ⊥ ⇔ 1 2 1 k k ⋅ = − . 2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于 x轴；…. ¤例题精讲：

【例 1】四边形 ABCD的顶点为 (2,2 2 2) A + 、 ( 2,2) B − 、 (0,2 2 2) C − 、 (4,2) D ，试判断四边形 ABCD 的形状.

解：AB边所在直线的斜率 2 (2 2 2) 2

2 2 2 AB k − + = =

− − ，CD边所在直线的斜率

2 (2 2 2) 2 4 2 2 CD k − −

= = −

,

BC边所在直线的斜率 (2 2 2) 2 2

0 2 BC k − − = = −

− ，DA边所在直线的斜率

(2 2 2) 2 2 2 4 DA k + −

= = − −

,

∵ , AB CD BC DA k k k k = = ，

∴ AB//CD，BC//DA，即四边形 ABCD为平行四边形.

又 ∵ 2 ( 2) 1 2 AB BC k k = × − = − i ，∴ AB⊥BC，即四边形 ABCD为矩形.

【例 2】已知 ABC ∆ 的顶点 (2,1), ( 6,3) B C − ，其垂心为 ( 3,2) H − ，求顶点 A的坐标．

解：设顶点 A的坐标为 ( , ) x y ．

∵ , AC BH AB CH ⊥ ⊥ ，

∴ 1 1

AC BH

AB CH

k k k k

⋅ = − ⋅ = −

，即

3 1 ( ) 1 6 5 1 1 ( ) 1 2 3

y x y x

− × − = − + − × − = − −

，

化简为 5 33 3 5

y x y x

= + = −

，解之得： 1962

x y

= − = −

.

∴ A的坐标为 ( 19, 62) − − .

【例 3】（1）已知直线 1 l 经过点M（3，0）、N（15，6）， 2 l 经过点 R（2， 3 2 ）、S（0，

5 2 ），试判断 1 l

与 2 l 是否平行？

（2） 1 l 的倾斜角为 45°， 2 l 经过点 P（2，1）、Q（3，6），问 1 l 与 2 l 是否垂直？

解：（1） ∵ MN k = 0 ( 6) 1 3 ( 15) 2

− − =

− − − ，

5 3 1 2 2

0 ( 2) 2 RS k −

= = − −

. ∴ 1 l // 2 l ．

（2） ∵ 1 tan 45 1 k = ° = ， 2 6 ( 1) 1 3 ( 2)

k − − − = = −

− − ， 1 2 1 k k = − ， ∴ 1 l ⊥ 2 l ．

点评：当 1 l 与 2 l 的斜率存在时， 1 2 1 2 // k k l l = ⇒ ， 1 2 1 2 1 k k l l = − ⇒ ⊥ i . 斜率不存在时，进行具体的分析. 由此先计算出斜率，根据斜率的相等或互为负倒数，从而判别平行或垂直.

【例 4】已知 A（1，1），B（2，2），C（3，3），求点D，使直线 CD⊥AB，且 CB∥AD．

解：设 D（ x， y ），则 CD AB k k ⊥ ， BC AD k k = ．

∴

( 3) 2 1 1 3 2 1

2 ( 3) 1 2 3 1

y x

y x

− − − × = − − − − − − = − −

，即 5 6 y x x y = −

+ = ，解得

3 2 3 2

x

y

= = −

.

∴ D（ 3 3 ,2 2

− ）.

点评：通过设点 D 的坐标，把已知条件中的垂直与平行的两种关系、三点的坐标联系在一起，联系的纽

带是斜率公式. 解题的数学思想是方程求解，方程的得到是利用平行与垂直时斜率的关系.

x

y

o ． B

A

C D


42

第 21 练 §3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 ※基础达标 1．下列说法中正确的是（）.

A. 平行的两条直线的斜率一定存在且相等 B. 平行的两条直线的倾斜角一定相等 C. 垂直的两直线的斜率之积为1 D. 只有斜率相等的两条直线才一定平行

2．若直线 1 2 l l 、的倾斜角分别为 1 2 , α α 、且 1 2 l l ⊥ ，则有（）.

A. 1 2 90 α α − = o B. 2 1 90 α α − = o C. 2 1 90 α α − = o D. 1 2 180 α α + = o

3．经过点 ( 2, ) P m − 和 ( , 4) Q m 的直线平行于斜率等于 1的直线，则m的值是（）. A．4 B．1 C．1或 3 D．1或 4

4．若 ( 4,2), (6, 4), (12,6), (2,12) A B C D − − ，则下面四个结论：① // AB CD；② AB CD ⊥ ；③ // AC BD；

④ AC BD ⊥ . 其中正确的序号依次为（）. A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④

5．已知 ABC ∆ 的三个顶点坐标为 (5, 1), (1,1), (2,3) A B C − ，则其形状为（）. A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断

6．直线 1 2 , l l 的斜率是方程 2 3 1 0 x x − − = 的两根，则 1 2 l l 与的位置关系是 . 7．若过点 (2, 2), (5,0) A B − 的直线与过点 (2 ,1), ( 1, ) P m Q m − − 的直线平行，则 m= . ※能力提高 8．已知矩形 ABCD的三个顶点的分别为 (0,1), (1,0), (3,2) A B C ，求第四个顶点 D的坐标．

9． ABC ∆ 的顶点 (5, 1), (1,1), (2, ) A B C m − ，若 ABC ∆ 为直角三角形，求 m的值.

※探究创新 10．已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点，分别过点 A、B 作 y 轴的平行线与

函数 y=log2x的图象交于 C、D两点. （1）证明：点 C、D和原点 O在同一直线上. （2）当 BC平行于 x轴时，求点 A的坐标.


43

第 22 讲 §3.2.1 直线的点斜式方程 ¤学习目标：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的点斜式、斜截式，体会斜截式与一次

函数的关系. ¤知识要点： 1. 点斜式（point slope form）：直线 l 过点 0 0 0 ( , ) P x y ,且斜率为 k，其方程为 0 0 ( ) y y k x x − = − . 2. 斜截式（slope intercept form）：直线 l 的斜率为 k，在 y轴上截距为 b，其方程为 y kx b = + . 3. 点斜式和斜截式不能表示垂直 x轴直线. 若直线 l 过点 0 0 0 ( , ) P x y 且与 x轴垂直,此时它的倾斜角为 90°，

斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为 0 0 x x − = ，或 0 x x = .

4. 注意： 0

0

y y k

x x −

= −

与 0 0 ( ) y y k x x − = − 是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点 0 0 0 ( , ) P x y ，后者才是

整条直线. ¤例题精讲：

【例 1】写出下列点斜式直线方程：

（1）经过点 (2,5) A ，斜率是 4；

（2）经过点 (3, 1) B − ，倾斜角是30 o . 解：（1） 5 4( 3) y x − = −

（2） 3 tan tan 30 3

k α = = ° = ，

所以直线的点斜式方程为： 3 1 ( 3) 3

y x + = − .

【例 2】已知直线 3 1 y kx k = + + . （1）求直线恒经过的定点；

（2）当 3 3 x − ≤ ≤ 时，直线上的点都在 x轴上方，求实数 k 的取值范围. 解：（1）由 ( 3) 1 y k x = + + ，易知 3 x = − 时， 1 y = ，所以直线恒经过的定点 ( 3,1) − .

（2）由题意得 ( 3) 3 1 0 3 3 1 0

k k k k

− + + > + + >

i i

，解得 1 6

k > − .

【例 3】光线从点 A（－3，4）发出，经过 x轴反射，再经过 y轴反射，光线经过点 B（－2，6），求射入 y轴后的反射线的方程.

解：∵A（－3，4）关于 x轴的对称点 A1（－3，－4）在经 x轴反射的光线上，

同样 A1（－3，－4）关于 y轴的对称点 A2（3，－4）在经过射入 y轴的反射线上，

∴k 2 A B = 6 4 2 3 +

− − =－2. 故所求直线方程为 y－6=－2（x+2），即 2x+y－2=0.

点评：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称. 光线的反射问题，也常常需要研究对称点的

问题. 注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透. 【例 4】已知直线 l 经过点 ( 5, 4) P − − ，且 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 5，求直线 l 的方程．

解：由已知得 l 与两坐标轴不垂直．

∵直线 l 经过点 ( 5, 4) P − − ，∴ 可设直线 l 的方程为 ( 4) [ ( 5)] y k x − − = − − ，即 4 ( 5) y k x + = + .

则直线 l 在 x轴上的截距为 4 5 k

− ，在 y 轴上的截距为5 4 k − .

根据题意得 1 4| 5 | | 5 4 | 5 2

k k

− − = i i ，即 2 (5 4) 10 | | k k − = .

当 0 k > 时，原方程可化为 2 (5 4) 10 k k − = ，解得 1 2 2 8 ,5 5

k k = = ；

当 0 k < 时，原方程可化为 2 (5 4) 10 k k − = − ，此方程无实数解.

故直线 l 的方程为 2 4 ( 5) 5

y x + = + ，或 8 4 ( 5) 5

y x + = + .

即 2 5 10 0 x y − − = 或8 5 20 0 x y − + = . 点评：已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用

点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解. 而直线在坐标轴上的截距，可正、可负，也可

以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距.


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第 22 练 §3.2.1 直线的点斜式方程 ※基础达标 1．下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是（）.

A. x =3 B. y =－5 C. 2 y = x D. x =4 y －1 2．方程 ( 2) y k x = − 表示（）.

A. 通过点 ( 2,0) − 的所有直线 B. 通过点 (2,0)的所有直线 C. 通过点 (2,0)且不垂直于 x轴的直线 D. 通过点 (2,0)且除去 x轴的直线

3．直线 y ax b = + （ a b + ＝0）的图象可以是（）.

4．已知直线 l过点 (3,4) P ，它的倾斜角是直线 1 y x = + 的两倍，则直线 l的方程为（）. A. 4 2( 3) y x − = − B. 4 3 y x − = − C. 4 0 y − = D. 3 0 x − =

5．过点 P(1,2)且与原点 O距离最大的直线 l的方程（）. A. 2 5 0 x y + − = B. 2 4 0 x y + − = C. 3 7 0 x y + − = D. 3 5 0 x y + − =

6．倾斜角是135 o ，在 y 轴上的截距是 3的直线方程是 .

7．将直线 3 1 y x = + − 绕它上面一点（1， 3）沿逆时针方向旋转 15°，得到的直线方程是 . ※能力提高 8．已知直线 l 在 y 轴上的截距为－3，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为 6，求直线 l 的方程.

9．已知 ABC 在第一象限，若 (1,1), (5,1), 60 , 45 A B A B ∠ = ∠ = o o ，求：

（1）边 AB 所在直线的方程；（2）边 AC 和 BC所在直线的方程.

※探究创新 10．国庆庆典活动的中心广场有数万名学生手持圆花组成大型图案方阵，方阵前排距观礼台 120米，方阵

纵列 95人，每列长度 192米，问第一、二排间距多大能达到满意的观礼效果？


45

第 23 讲 §3.2.2 直线的两点式方程 ¤学习目标：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的两点式、截距式. 明白直线的点斜式、

斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性. ¤知识要点：

1. 两点式（twopoint form）：直线 l 经过两点 1 1 1 2 2 2 ( , ), ( , ) P x y P x y ，其方程为 1 1

2 1 2 1

y y x x y y x x

− − =

− − ，

2. 截距式（intercept form）：直线 l 在 x、y轴上的截距分别为 a、b，其方程为 1 x y a b

+ = .

3. 两点式不能表示垂直 x、y轴直线；截距式不能表示垂直 x、y轴及过原点的直线.

4. 线段 1 2 PP 中点坐标公式 1 2 1 2 ( , ) 2 2

x x y y + + .

¤例题精讲：

【例 1】已知 ABC 顶点为 (2,8), ( 4,0), (6,0) A B C − ，求过点 B 且将 ABC 面积平分的直线方程. 解：求出 AC 中点D的坐标 (4,4) D ，则直线 BD即为所求，

由直线方程的两点式得 0 4

4 0 4 4 y x − +

= − +

，即 2 4 0 x y − + = .

【例 2】菱形的两条对角线长分别等于 8和 6，并且分别位于 x轴和 y轴上，求菱

形各边所在的直线的方程. 解：设菱形的四个顶点为 A、B、C、D，如右图所示. 根据菱形的对角线互相垂

直且平分可知，顶点 A、B、C、D在坐标轴上，且 A、C关于原点对称，B、D也关于原点对称. 所以 A(－４，0)，C（４，0），B（0，3），D（0，－3）. 由截距式，得

直线 AB的方程： 4 3 x y

+ −

＝1，即 3x－４y＋12＝0；直线 BC的方程： 4 3 x y

+ ＝1, 即 3x＋４y－12＝0；

直线 AD方程： 4 3 x y

+ − −

＝1, 即 3 x＋４y＋12＝0；直线 CD方程： 4 3 x y

+ −

＝1即 3 x－４y－12＝0.

【例 3】长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行

李费用 y（元）是行李重量 x（千克）的一次函数，其图象如图所示. （1）求 y与 x之间的函数关系式，并说明自变量 x的取值范围；

（2）如果某旅客携带了 75千克的行李，则应当购买多少元行李票？

解：（1）一次函数的图象是直线，由直线过两点 (60,6)， (80,10)，则

直线的两点式方程为 6 60

10 6 80 60 y x − −

= − −

，整理得 1 6 5

y x = − .

由 1 6 0 5

y x = − > ，解得 30 x > . 所以 y与 x之间的函数关系式为 1 6 5

y x = − ，其中 30 x > .

（2） 75 x = 代入 1 6 5

y x = − ，得 1 75 6 7 5

y = × − = .

所以，该旅客应当购买 7元行李票. 点评：实际问题中两个变量之间的关系为线性关系，由图象上的两点即可写出直线的方程. 【例 4】求过点 (3,2) P ，并且在两轴上的截距相等的直线方程. （教材第 106页 9题改编）

解：当在两轴上的截距 0 a b = = ，设所求直线 y kx = ，点 (3,2) P 代入得

2 3k = ，解得 2 3

k = . ∴ 所求直线为 2 3

y x =

当在两轴上的截距 0 a b = ≠ ，设所求直线 1 x y a b

+ = ，则 3 2 1

a b

a b

=

+ =

，解得 5 a b = = .

∴ 所求直线方程为 1 5 5 x y

+ = ，即 5 0 x y + − = . 所以，所求直线方程为 2 3

y x = 或 5 0 x y + − = .

点评：直线在两轴上截距相等，直接考虑截距式方程 1 x y a b

+ = ，也可以用由图形性质，得到 k=1 时截距

相等，从而选用点斜式. 解题时特别要注意截距都是 0的情况，这时选用函数 y kx = .

o

y

x

6

10

60 80 （千克）

元


46

第 23 练 §3.2.2 直线的两点式方程 ※基础达标 1．过两点 (1,2)和 (3,4)的直线的方程为（）.

A. 1 y x = − B. 1 y x = + C. 2 y x = − + D. 2 y x = − −

2．直线 2 2 1 x y a b

− = 在 y 轴上的截距是（）.

A. b B. 2 b C. 2 b − D. b ± 3．过两点 ( 1,1) − 和 (3,9)的直线在 x轴上的截距为（）.

A. 3 2

− B. 2 3

− C. 2 5

D. 2

4．已知 1 1 2 2 2 3 4,2 3 4 x y x y − = − = ，则过点 1 1 2 2 ( , ), ( , ) A x y B x y 的直线 l 的方程是（）. A. 2 3 4 x y − = B. 2 3 0 x y − = C. 3 2 4 x y − = D. 3 2 0 x y − =

5．（04年全国卷Ⅱ.文 8）已知点 A（1，2）、B（3，1），则线段 AB的垂直平分线的方程是（）. A． 4 2 5 x y + = B． 4 2 5 x y − = C． 2 5 x y + = D． 2 5 x y − =

6．过点 (4,2) A ，且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 . 7．已知直线 l过点（3，1），且与两轴围成一个等腰直角三角形，则 l的方程为 . ※能力提高 8．三角形 ABC的三个顶点 A（－3，0）、B（2，1）、C（－2，3），求：

（1）BC边所在直线的方程；（2）BC边上中线 AD所在直线的方程；

（3）BC边的垂直平分线 DE 的方程．

9．已知直线 l 过点 ( 2,2) − ，且与两坐标轴构成单位面积的三角形，求直线 l 的方程．

※探究创新 10．已知点 ( 3,8) A − 、 (2,2) B ，点 P是 x轴上的点，求当 AP PB + 最小时的点 P的坐标．


47

第 24 讲 §3.2.3 直线的一般式方程 ¤学习目标：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式，体会一般式与直线其它方程

形式之间的关系. ¤知识要点： 1. 一般式（general form）： 0 Ax By C + + = ，注意 A、 B不同时为 0. 直线一般式方程 0 ( 0) Ax By C B + + = ≠

化为斜截式方程 A C y x B B

= − − ，表示斜率为 A B

− ，y轴上截距为 C B

− 的直线.

2 与直线 : 0 l Ax By C + + = 平行的直线，可设所求方程为 ' 0 Ax By C + + = ；与直线 0 Ax By C + + = 垂直

的直线，可设所求方程为 ' 0 Bx Ay C − + = . 过点 0 0 ( , ) P x y 的直线可写为 0 0 ( ) ( ) 0 A x x B y y − + − = . 经过点 0 M ，且平行于直线 l的直线方程是 0 0 ( ) ( ) 0 A x x B y y − + − = ；

经过点 0 M ，且垂直于直线 l的直线方程是 0 0 ( ) ( ) 0 B x x A y y − − − = . 3. 已知直线 1 2 , l l 的方程分别是： 1 1 1 1 : 0 l A x B y C + + = （ 1 1 , A B 不同时为 0）， 2 2 2 2 : 0 l A x B y C + + = （ 2 2 , A B

不同时为 0），则两条直线的位置关系可以如下判别：

（1） 1 2 1 2 1 2 0 l l A A B B ⊥ ⇔ + = ；（2） 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 // 0, 0 l l A B A B AC A B ⇔ − = − ≠ ；

（3） 1 l 与 2 l 重合 1 2 2 1 1 2 2 1 0, 0 A B A B AC A B ⇔ − = − = ；（4） 1 l 与 2 l 相交 1 2 2 1 0 A B A B ⇔ − ≠ .

如果 2 2 2 0 A B C ≠ 时，则 1 1 1 1 2

2 2 2

// A B C

l l A B C

⇔ = ≠ ； 1 l 与 2 l 重合 1 1 1

2 2 2

A B C A B C

⇔ = = ； 1 l 与 2 l 相交 1 1

2 2

A B A B

⇔ ≠ .

¤例题精讲：

【例 1】已知直线 1 l ： 2 2 0 x my m + − − = ， 2 l ： 1 0 mx y m + − − = ，问 m为何值时：

（1） 1 2 l l ⊥ ；（2） 1 2 // l l . 解：（1） 1 2 l l ⊥ 时， 1 2 1 2 0 A A B B + = ，则1 1 0 m m × + × = ，解得 m＝0.

（2） 1 2 // l l 时， 1 2 2

1 1 m m

m m − −

= ≠ − −

, 解得 m＝1.

【例 2】（1）求经过点 (3,2) A 且与直线 4 2 0 x y + − = 平行的直线方程；

（2）求经过点 (3,0) B 且与直线 2 5 0 x y + − = 垂直的直线方程. 解：（1）由题意得所求平行直线方程 4( 3) ( 2) 0 x y − + − = ，化为一般式 4 14 0 x y + − = . （2）由题意得所求垂直直线方程 ( 3) 2( 0) 0 x y − − − = ，化为一般式 2 3 0 x y − − = . 【例 3】已知直线 l的方程为 3x+4y－12=0，求与直线 l平行且过点（－1，3）的直线的方程．

分析：由两直线平行，所以斜率相等且为 3 4

− ，再由点斜式求出所求直线的方程.

解：直线 l:3x+4y－12=0的斜率为 3 4

− ，

∵ 所求直线与已知直线平行， ∴所求直线的斜率为 3 4

− ，

又由于所求直线过点（－1，3），所以，所求直线的方程为： 3 3 ( 1) 4

y x − = − + ，即3 4 9 0 x y + − = .

点评：根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求

直线的方程 . 此题也可根据直线方程的一种形式 0 0 ( ) ( ) 0 A x x B y y − + − = 而直接写出方程，即 3( 1) 4( 3) 0 x y + + − = ，再化简而得.

【例 4】直线方程 0 Ax By C + + = 的系数 A、B、C分别满足什么关系时，这条直线分别有以下性质? （1）与两条坐标轴都相交；（2）只与 x 轴相交；（3）只与 y 轴相交；（4）是 x 轴所在直线；（5）是 y 轴

所在直线. 分析：由直线性质，考察相应图形，从斜率、截距等角度，分析系数的特征. 解：（1）当 A≠0，B≠0，直线与两条坐标轴都相交. （2）当 A≠0，B=0时，直线只与 x轴相交. （3）当 A＝0，B≠0时，直线只与 y轴相交. （4）当 A＝0，B≠0，C＝0，直线是 x轴所在直线. （5）当 A≠0，B＝0，C＝0时，直线是 y轴所在直线. 点评：结合图形的几何性质，转化为方程形式所满足的代数形式. 对于直线的一般式方程，需要特别注意

以上几种特殊位置时的方程形式.


48

第 24 练 §3.2.3 直线的一般式方程 ※基础达标 1．如果直线 0 Ax By C + + = 的倾斜角为 45°，则有关系式（）.

A. A B = B. 0 A B + = C. 1 AB = D. 以上均不可能 2．若 0 a b c − + = ，则直线 0 ax by c + + = 必经过一个定点是（）.

A. (1,1) B. ( 1,1) − C. (1, 1) − D. ( 1, 1) − − 3．直线 1 ( 0) ax by ab + = ≠ 与两坐标轴围成的面积是（）.

A． 1 2 ab B．

1 | | 2 ab C．

12ab

D． 1

2 | | ab

4．（2000京皖春）直线（ 3 2 − ）x+y=3和直线 x+（ 2 3 − ）y=2的位置关系是（）. A. 相交不垂直 B. 垂直 C. 平行 D. 重合

5．已知直线 mx+ny+1=0平行于直线 4x+3y+5=0，且在 y轴上的截距为 1 3 ，则 m，n的值分别为（）.

A. 4和 3 B. －4和 3 C. －4和－3 D. 4和－3 6．若直线 x+ay+2=0和 2x+3y+1=0互相垂直，则 a= . 7．过两点（5，7）和（1，3）的直线一般式方程为；若点（ a，12）在此直线上，

则 a＝．

※能力提高 8．根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：

（1）斜率是－ 1 2 ，经过点 A（8，－2）；（2）经过点 B(4，2)，平行于 x轴；

（3）在 x轴和 y 轴上的截距分别是 3 2 ,－3；（4）经过两点 1 P （3，－2）、 2 P （5，－4）.

9．已知直线 1 2 , l l 的方程分别是： 1 1 1 1 : 0 l A x B y C + + = （ 1 1 , A B 不同时为 0）， 2 2 2 2 : 0 l A x B y C + + = （ 2 2 , A B 不同时为 0），且 1 2 1 2 0 A A B B + = . 求证 1 2 l l ⊥ .

※探究创新 10．已知直线 1 : 6 0 l x my + + = ， 2 : ( 2) 3 2 0 l m x y m − + + = ，求 m的值，使得：

（1）l1 和 l2 相交；（2）l1⊥l2；（3）l1//l2；（4）l1 和 l2 重合.


49

第 25 讲 §3.3.1 两条直线的交点坐标 ¤学习目标：进一步掌握两条直线的位置关系，能够根据方程判断两直线的位置关系，理解两直线的交点

与方程的解之间的关系，能用解方程组的方法求两直线的交点坐标. ¤知识要点：

1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组 1 1 1

2 2 2

0 0

A x B y C A x B y C

+ + = + + =

. 若方程组有惟一解，则两

条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无

数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合. 2. 方程 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) 0 A x B y C A x B y C λ + + + + + = 为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是

1 1 1 0 A x B y C + + = 与 2 2 2 0 A x B y C + + = 的交点. ¤例题精讲：

【例 1】判断下列各对直线的位置关系. 如果相交，求出交点坐标. （1）直线 l1: 2x－3y+10=0 , l2: 3x+4y－2=0；（2）直线 l1: 1 nx y n − = − , l2: 2 ny x n − = .

解：（1）解方程组 2 3 10 0 3 4 2 0 x y x y

− + = + − =

，得 22

x y

= − =

.

所以，l1 与 l2 相交，交点是（－2，2）.

（2）解方程组 1

2 nx y n ny x n

− = − − =

，消 y得 2 2 ( 1) n x n n − = + .

当 1 n = 时，方程组无解，所以两直线无公共点， 1 l // 2 l . 当 1 n = − 时，方程组无数解，所以两直线有无数个公共点，l1 与 l2 重合.

当 1 n ≠ 且 1 n ≠ − ，方程组有惟一解，得到 1

n x n

= −

， 2 1

1 n y n

− =

− ， l1 与 l2 相交.

∴当 1 n = 时， 1 l // 2 l ；当 1 n = − 时，l1 与 l2 重合；

当 1 n ≠ 且 1 n ≠ − ，l1 与 l2 相交，交点是 2 1 ( , )

1 1 n n n n

− − −

.

【例 2】求经过两条直线 2 8 0 x y + − = 和 2 1 0 x y − + = 的交点，且平行于直线 4 3 7 0 x y − − = 的直线方程. 解：设所求直线的方程为 2 8 ( 2 1) 0 x y x y λ + − + − + = ，整理为 (2 ) (1 2 ) 8 0 x y λ λ λ + + − + − = . ∵ 平行于直线 4 3 7 0 x y − − = ， ∴ (2 ) ( 3) (1 2 ) 4 0 λ λ + × − − − × = ，解得 2 λ = . 则所求直线方程为 4 3 6 0 x y − − = . 【例 3】已知直线 ( 2) (3 1) 1 a y a x − = − − . 求证：无论 a为何值时直线总经过第一象限. 解：应用过两直线交点的直线系方程，将方程整理为 (3 ) ( 2 1) 0 a x y x y − + − + − = .

对任意实数 a恒过直线3 0 x y − = 与 2 1 0 x y − + = 的交点为( 1 5 , 3 5 )，

∴ 直线系恒过第一象限内的定点为( 1 5 , 3 5 ).

所以，无论 a为何值时直线总经过第一象限.

点评：化为 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) 0 A x B y C A x B y C λ + + + + + = 后，解方程组 1 1 1

2 2 2

0 0

A x B y C A x B y C

+ + = + + =

所得到的解，为何就

是直线恒过的定点坐标？实质就是方程组的解能使方程成立，即点在直线上. 【例 4】若直线 l：y＝kx 3 − 与直线 2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，求直线 l的倾斜角的取值范围. 解：如图，直线 2x+3y－6=0 过点 A（3，0），B（0，2），直线 l：y＝kx 3 − 必过

点（0，－ 3）.当直线 l过 A点时，两直线的交点在 x轴；当直线 l绕 C点逆时针（由

位置 AC到位置 BC）旋转时，交点在第一象限. 根据 3 0 3

0 3 3 AC k − − = =

− ，得到直线 l

的斜率 k> 3 3

. ∴倾斜角范围为 (30 ,90 ) ° ° .

点评：此解法利用数形结合的思想，结合平面解析几何中直线的斜率公式，抓住直线的变化情况，迅速、

准确的求得结果. 也可以利用方程组的思想，由点在某个象限时坐标的符号特征，列出不等式而求.


50

第 25 练 §3.3.1 两条直线的交点坐标 ※基础达标 1．直线3 5 1 0 x y + − = 与 4 3 5 0 x y + − = 的交点是（）.

A. ( 2,1) − B. ( 3,2) − C. (2, 1) − D. (3, 2) −

2．直线 1 : ( 2 1) 2 l x y − + = 与直线 2 : ( 2 1) 3 l x y + + = 的位置关系是（）. A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 重合

3．已知直线 1 2 , l l 的方程分别为 1 1 1 1 : 0 l A x B y C + + = ， 2 2 2 2 : 0 l A x B y C + + = ，且 1 2 l l 与只有一个公共点，

则（）.

A. 1 1 2 2 0 A B A B − ≠ B. 1 2 2 1 0 A B A B − ≠ C. 1 1

2 2

A B A B

≠ D. 1 2

1 2

A A B B

≠

4．经过直线 2 4 0 x y − + = 与 5 0 x y − + = 的交点，且垂直于直线 2 0 x y − = 的直线的方程是（）. A. 2 8 0 x y + − = B. 2 8 0 x y − − = C. 2 8 0 x y + + = D. 2 8 0 x y − + =

5．直线 a x＋2 y ＋８＝0，4 x＋3 y ＝10和 2 x－ y ＝10相交于一点，则 a的值为（）. A. 1 B. －1 C. 2 D. －2

6．直线 1 l ：2 x＋3 y ＝12与 2 l ： x－2 y ＝４的交点坐标为 . 7．（07年上海卷.理 2）若直线 1 2 1 0 l x my + + = ：　与直线 2 3 1 l y x = − ：平行，则m = ．

※能力提高 8．已知直线 l1: 2x3y+10=0 , l2: 3x+4y2=0. 求经过 l1 和 l2 的交点，且与直线 l3: 3x2y+4=0垂直的直线 l的

方程.

9．试求直线 1 : l 2 0 x y − − = 关于直线 2 l :3 3 0 x y − + = 对称的直线 l的方程.

※探究创新 10．已知直线方程为(2+λ)x+(12λ)y+43λ=0. （1）求证不论λ取何实数值，此直线必过定点；

（2）过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程.


51

第 26 讲 §3.3.2 两点间的距离 ¤学习目标：探索并掌握两点间的距离公式. 初步了解解析法证明，初步了解由特殊到一般，再由一般到

特殊的思想与“数”和“形”结合转化思想. ¤知识要点：

1. 平面内两点 1 1 1 ( , ) P x y ， 2 2 2 ( , ) P x y ，则两点间的距离为： 2 2 1 2 1 2 1 2 | | ( ) ( ) PP x x y y = − + − .

特别地，当 1 2 , P P 所在直线与 x 轴平行时， 1 2 1 2 | | | | PP x x = − ；当 1 2 , P P 所在直线与 y 轴平行时，

1 2 1 2 | | | | PP y y = − ；当 1 2 , P P 在直线 y kx b = + 上时， 2 1 2 1 2 | | 1 | | PP k x x = + − .

2. 坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3）

把代数运算的结果“翻译”成几何关系. ¤例题精讲：

【例 1】在直线 2 0 x y − = 上求一点 P ，使它到点 (5,8) M 的距离为５，并求直线 PM 的方程. 解：∵ 点 P 在直线 2 0 x y − = 上，∴ 可设 ( ,2 ) P a a ，

根据两点的距离公式得 2 2 2 2 2 ( 5) (2 8) 5 , 5 42 64 0 PM a a a a = − + − = − + = 即 ,

解得 32 2 5

a a = = 或，∴ 32 64 (2,4) ( , ) 5 5

P 或．

∴ 直线 PM的方程为 8 5 8 5

64 32 4 8 2 5 8 5 5 5

y x y x − − − − = =

− − − − 或，

即 4 3 4 0 24 7 64 0 x y x y − + = − − = 或 . 【例 2】直线 2x－y－4=0上有一点 P，求它与两定点 A(4，－1)，B(3，4)的距离之差的最大值. 解：找 A关于 l的对称点 A′，A′B与直线 l的交点即为所求的 P点. 设 '( , ) A a b , 则

1 2 1 4 4 1 2 4 0 2 2

b a

a b

+ × = − − + − × − − =

，解得 0 1

a b

= =

，所以线段 2 2 | ' | (4 1) (3 0) 3 2 A B = − + − = .

【例 3】已知 AO是ABC中 BC边的中线，证明|AB| 2 ＋|AC| 2 =2（|AO| 2 ＋|OC| 2 ）. 解：以 O为坐标原点，BC为 x轴，BC的中垂线为 y轴，建立如图所示坐标系 xOy. 设点 A(a,b)、B(c,0)、C(c,0), 由两点间距离公式得：

|AB|= 2 2 ( ) a c b + + ，|AC|= 2 2 ( ) a c b − + ，

|AO|= 2 2 a b + ， |OC|=c. ∴ |AB| 2 ＋|AC| 2 = 2 2 2 2( ) a b c + + ， |AO| 2 ＋|OC| 2 = 2 2 2 a b c + + .

∴ |AB| 2 ＋|AC| 2 =2（|AO| 2 ＋|OC| 2 ）. 点评：此解体现了解析法的思路. 先建立适当的直角坐标系，将ABC的顶点用坐标表示出来，再利用解

析几何中的“平面内两点间的距离公式”计算四条线段长，即四个距离，从而完成证明. 还可以作如下推广：

平行四边形的性质：平行四边形中，两条对角线的平方和，等于其四边的平方和.

三角形的中线长公式：ABC的三边长为 a、b、c，则边 c上的中线长为 2 2 2 1 2 2 2

a b c + − .

【例 4】已知函数 2 ( ) 1 f x x = + ，设 , a b R ∈ ，且 a b ≠ ，求证 | ( ) ( ) | f a f b − < | | a b − .

解：由 | ( ) ( ) | f a f b − = 2 2 | 1 1 | a b + − + ，

在平面直角坐标系 xoy中，取两点 (1, ), (1, ) A a B b ，

则 2 | | 1 , OA a = + 2 | | 1 OB b = + , | | | | AB a b = − . OAB中， || | | || | | OA OB AB − < ，

∴ 2 2 | 1 1 | a b + − + < | | a b − . 故原不等式成立.

点评：此证法为数形结合法，由 2 2 a b + 联想到平面内点到原点的距离公式，构造两点与三角形，将要

证明的不等式转化为三角形中三边的不等关系.

y

x B(c,0)

A(a,b)

C(c,0) O

o x

A(1,a)

B(1,b)

y


52

第 26 练 §3.3.2 两点间的距离 ※基础达标 1．已知 ( 2, 1), (2,5) A B − − ，则|AB|等于（）.

A. 4 B. 10 C. 6 D. 2 13 2．已知点 ( 2, 1), ( ,3) A B a − − 且 | | 5 AB = ，则 a的值为（）.

A. 1 B. －5 C. 1或－5 D. －1或 5 3．点 A在 x轴上，点 B在 y轴上，线段 AB的中点M的坐标是 (3,4)，则 | | AB 的长为（）.

A. 10 B. 5 C. 8 D. 6 4．已知 ( 1,2), (0,4) A B − ，点 C在 x轴上，且 AC=BC，则点 C的坐标为（）.

A. 11 ( , 0) 2

− B. 11 (0, )2

− C. 11 (0, )2

D. 11 ( ,0) 2

5．已知点 ( 1,3), (5,1) M N − ，点 ( , ) P x y 到M、N的距离相等，则点 ( , ) P x y 所满足的方程是（）. A. 3 8 0 x y + − = B. 3 4 0 x y − − = C. 3 9 0 x y − + = D. 3 8 0 x y − + =

6．已知 (7,8), (10,4), (2, 4) A B C − ，则 BC边上的中线 AM的长为 . 7．已知点 P（2，－4）与 Q（0，8）关于直线 l对称，则直线 l的方程为 . ※能力提高 8．已知点 (1,2), (3,4), (5,0) A B C ，判断 ABC ∆ 的类型．

9．已知 (1,0) ( 1,0) M N − 、，点 P 为直线 2 1 0 x y − − = 上的动点．求 2 2 PM PN + 的最小值，及取最小值时

点 P 的坐标．

※探究创新 10．燕隼（sun）和红隼是同属于隼形目隼科的鸟类．它们的体形大小如鸽，形略似燕，身体的形态特征

比较相似．红隼的体形比燕隼略大．通过抽样测量已知燕隼的平均体长约为 31厘米，平均翅长约为 27厘米；

红隼的平均体长约为 35 厘米，平均翅长约为 25 厘米. 近日在某地发现了两只形似燕隼或红隼的鸟. 经测量，

知道这两只鸟的体长和翅长分别为 A（32.65厘米，25.2厘米），B（33.4厘米，26.9厘米）. 你能否设计出一

种近似的方法，利用这些数据判断这两只鸟是燕隼还是红隼？


53

第 27 讲 §3.3.3 点到直线的距离及两平行线距离 ¤学习目标：探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 体会数形结合、转化的数学

思想，培养研究探索的能力. ¤知识要点：

1. 点 0 0 ( , ) P x y 到直线 : 0 l Ax By C + + = 的距离公式为 0 0

2 2

| | Ax By C d

A B

+ + =

+ .

2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线 1 1 : 0 l Ax By C + + = ， 2 2 : 0 l Ax By C + + = 之间

的距离公式 1 2 2 2

| | C C d

A B

− =

+ ，推导过程为：在直线 2 l 上任取一点 0 0 ( , ) P x y ，则 0 0 2 0 Ax By C + + = ，即

0 0 2 Ax By C + = − . 这时点 0 0 ( , ) P x y 到直线 1 1 : 0 l Ax By C + + = 的距离为 0 0 1 1 2 2 2 2 2

| | | | Ax By C C C d

A B A B

+ + − = =

+ + .

¤例题精讲：

【例 1】求过直线 1 1 10 : 3 3

l y x = − + 和 2 : 3 0 l x y − = 的交点并且与原点相距为 1的直线 l的方程.

解：设所求直线 l的方程为3 10 (3 ) 0 y x x y λ + − + − = , 整理得 (3 1) (3 ) 10 0 x y λ λ + + − − = .

由点到直线的距离公式可知， 2 2

10 1 (3 1) (3 )

d λ λ

= = + + −

, 解得 3 λ = ± .

代入所设，得到直线 l的方程为 1 4 3 5 0 x x y = − + = 或 .

【例 2】在函数 2 4 y x = 的图象上求一点 P，使 P到直线 4 5 y x = − 的距离最短，并求这个最短的距离.

解：直线方程化为 4 5 0 x y − − = . 设 2 ( , 4 ) P a a , 则点 P到直线的距离为 2 2 2

2 2

| 4 4 5 | | 4( 1/ 2) 4 | 4( 1/ 2) 4 17 17 4 ( 1)

a a a a d − − − − − − +

= = = + −

.

当 1 2

a = 时，点 1( ,1) 2

P 到直线的距离最短，最短距离为 4 17 17

.

【例 3】求证直线 L： ( 2) (1 ) (6 4 ) 0 m x m y m + − + − + = 与点 (4, 1) P − 的距离不等于 3.

解：由点线距离公式，得 2 2

| ( 2) 4 (1 ) ( 1) (6 4 ) |

( 2) (1 )

m m m d m m

+ − + − − + =

+ + +

i i =

2 2

| 3 |

( 2) (1 )

m

m m

+

+ + + .

假设 3 d = ，得到 2 2 2 ( 3) 9[( 2) (1 ) ] m m m + = + + + ，整理得 2 17 48 36 0 m m + + = .

∵ 2 48 4 17 36 140 0 ∆ = − × × = − < ， ∴ 2 17 48 36 0 m m + + = 无实根. ∴ 3 d ≠ ，即直线 L与点 (4, 1) P − 的距离不等于 3.

点评：此解妙在反证法思路的运用. 先由点线距离公式求出距离，然后从“距离不等于 3”的反面出发，

假设距离是 3求 m，但求解的结果是 m无解. 从而假设不成立，即距离不等于 3. 另解：把直线 L： ( 2) (1 ) (6 4 ) 0 m x m y m + − + − + = 按参数 m整理，

得 ( 4) 2 6 0 x y m x y − − + − − = .

由 4 0 2 6 0 x y x y − − =

− − = ，解得 2

2 x y

= = − . 所以直线 L恒过定点 (2, 2) Q − .

点 P到直线 L取最大距离时, PQ⊥L，即最大距离是 PQ= 2 2 (2 4) ( 2 1) − + − + = 5 .

∵ 5 <3， ∴直线 L与点 (4, 1) P − 的距离不等于 3. 点评：此解妙在运用直线系 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) 0 A x B y C A x B y C λ + + + + + = 恒过一个定点的知识，其定点就是

1 1 1 0 A x B y C + + = 与 2 2 2 0 A x B y C + + = 的交点. 由运动与变化观点，当直线 PQ⊥L时，点线距离为最大. 【例 4】求直线 1 : 2 3 1 0 l x y + − = 与 2 : 4 6 5 0 l x y + − = 的正中平行直线方程. 解：直线 1 l 的方程化为 4 6 2 0 x y + − = . 设正中平行直线的方程为 4 6 0 x y C + + = ，

则 2 2 2 2

| 2 | | 5 |

4 6 4 6 C C − − − −

= + +

，即 | 2 | | 5 | C C + = + ，解得 7 2

C = − . 所以正中平行直线方程为 7 4 6 0 2

x y + − = .

点评：先化一次项系数为相同，巧设正中平行直线方程，利用两组平行线间距离相等而求.结论：两条平

行直线 1 1 : 0 l Ax By C + + = ， 2 2 : 0 l Ax By C + + = 的正中平行直线方程为 1 2 ( ) / 2 0 Ax By C C + + + = .


54

第 27 练 §3.3.3 点到直线的距离及两平行线距离 ※基础达标 1．（1994全国文）点（0，5）到直线 y=2x的距离是（）.

A. 5 2

B. 5 C. 3 2

D. 5 2

2．动点 P 在直线 4 0 x y + − = 上，O为原点，则OP 的最小值为（）.

A. 10 B. 2 2 C. 6 D. 2 3．（03年全国卷）已知点 ( , 2) ( 0) a a > 到直线 : 3 0 l x y − + = 的距离为 1，则 a=（）.

A． 2 B．－ 2 C． 2 1 − D． 2 1 + 4．两平行直线5 12 3 0 10 24 5 0 x y x y + + = + + = 与间的距离是（）.

A. 2 13

B. 1 13

C. 1 26

D. 5 26

5．直线 l过点 P(1，2)，且M(2，3)，N(4，－5)到 l 的距离相等，则直线 l 的方程是（）. A. 4x+y－6=0 B. x+4y－6=0 C. 2x+3y－7=0或 x+4y－6=0 D. 3x+2y－7=0或 4x+y－6=0

6．两平行直线 2 y x = 和 2 5 y x = + 间的距离是 . 7．与直线 l：5 12 6 0 x y − + = 平行且到 l 的距离为 2的直线的方程为 . ※能力提高 8．（1）已知点 A（ a，6）到直线 3 x－4 y ＝2的距离 d=4，求 a的值. （2）在直线 3 0 x y + = 求一点 P , 使它到原点的距离与到直线 3 2 0 x y + − = 的距离相等.

9. ABC中， (3,3), (2, 2), ( 7,1) A B C − − . 求∠A的平分线 AD所在直线的方程.

※探究创新 10．（02 全国卷.文）已知点 P 到两个定点 M（－1，0）、N（1，0）距离的比为 2 ，点 N 到直线 PM 的

距离为 1．求直线 PN的方程．


55

第 28 讲第三章直线与方程复习 ¤学习目标：理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；能根据两条直线的斜

率判定平行或垂直；握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）；能用解方程组的方法求两直线的交

点坐标；掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. ¤例题精讲：

【例 1】（01年全国卷）设 A、B是 x轴上的两点，点 P的横坐标为 2，且｜PA｜＝｜PB｜，若直线 PA的

方程为 1 0 x y − + = ，则直线 PB的方程是（）. A. 2 4 0 x y − − = B. 2 1 0 x y − − = 2 C. 5 0 x y + − = D. 2 7 0 x y + − =

解法一：由 1 0 x y − + = 得 A（－1，0）. 又｜PA｜＝｜PB｜知点 P为 AB中垂线上

的点，故 B(5，0)，且所求直线的倾斜角与已知直线倾斜角互补，则斜率互为相反数，

故所求直线的斜率为－1，所以选 C.

解法二： y ＝0代入 1 0 x y − + = 得 A(－1，0). 由 2

1 0 x x y

= − + =

, 解得 P（2，3）.

设 B（ P x ,0），由｜PA｜＝｜PB｜解得 P x ＝5.

由两点式 0 5

3 0 2 5 y x − −

= − −

, 整理得 5 0 x y + − = ，故选 C.

【例 2】一直线被两直线 1 l ： 4 6 0 x y + + = ， 2 l ：3 5 6 0 x y − − = 截得的线段的中点恰好是坐标原点，求

该直线方程. 解：设所求直线与 1 l ， 2 l 的交点分别是 A、B，

设 A( 0 0 , x y )，则 B点坐标为( 0 0 , x y − − ) 新疆

学案

王新敞

因为 A、B分别在 1 l ， 2 l 上，

所以 0 0

0 0

4 6 0 3 5 6 0 x y x y

+ + = − + − =

①

② , ①＋②得： 0 0 6 0 x y + = ，

即点 A在直线 6 0 x y + = 上，

又直线 6 0 x y + = 过原点，所以直线 l 的方程为 6 0 x y + = . 【例 3】光线从 A（－3，4）点射出，到 x 轴上的 B 点后，被 x 轴反射到 y 轴上

的 C点，又被 y轴反射，这时反射线恰好过点 D（－1，6），求 BC所在直线的方程. 解：如图所示，依题意，易知： A点关于 x轴对称点 '( 3, 4) A − − 在直线 BC上； D点关于 y轴对称点 '(1,6) D 也在直线 BC上.

所以，BC所在的直线方程为： 3 3

6 4 1 3 y x + +

= + +

，化简为 5x－2y+7=0.

点评：反射角等于入射角，这种几何性质，可以得到反射光线与入射光线关于法线对称，也可得到反射光

线到法线、法线到入射光线这两个到角相等的式子，从而通过直线的斜率解决物理中的光学问题.此题巧妙地

利用对称点，解决了直线的对称问题.

【例 4】在东方红学校的东南方有一块如图所示的地，其中两面是不能动的围墙，在边界 OAB 内是不能

动的一些体育设施．现准备在此建一栋教学楼，使楼的底面为一矩形，且靠围墙的方向须留有 5米宽的空地，

问如何设计，才能使教学楼的面积最大？

解：如图建立坐标系，

可知 AB所在直线方程为 1 20 20 x y

+ = ，即 x＋y＝20.

设 G(x，y)，由 y＝20－x可知 G(x，20－x)．

∴ [39 5 (20 )][25 (5 )] (14 )(20 ) S x x x x = − − − − + = + − = 2 2 6 20 14 ( 3) 289 x x x − + + × = − − + .

由此可知，当 x＝3时，S有最大值 289平方米．

故在线段 AB上取点 G(3，17)，过点分别作墙的平行线，在离墙 5米处确定矩形

的另两个顶点 H、I，则第四个顶点 K随之确定，如此矩形地面的面积最大．

点评：处理几何最大（小）值的问题的常规途径是设一个变量，将所要求的几何

量用此变量表示出来，称为目标函数，再通过函数知识来求解. 这里由直线上动点的

横坐标表示出了目标函数，由配方法求得二次函数的最大值.

x

y

o

39

25

5

19

G

B

A


56

第 28 练第三章直线与方程复习 ※基础达标 1．(03年春安徽理)在 x轴和 y轴上的截距分别为－2、3的直线方程是（）.

A. 2 3 6 0 x y − − = B. 3 2 6 0 x y − − = C. 3 2 6 0 x y − + = D. 2 3 6 0 x y − + = 2．若直线 0 Ax By C + + = 通过第二、三、四象限，则系数 A、B、C需满足条件（）.

A. A、B、C同号 B. AC＜0，BC＜0 C. C＝0，AB＜0 D. A＝0，BC＜0 3．（02年京皖春文）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（）.

A. x－y=0 B. x+y=0 C. |x|－y=0 D. |x|－|y|=0 4．（1995上海卷）下列四种说法中的正确的是（）.

A. 经过定点 P0（x0，y0）的直线都可以用方程 y－y0=k（x－x0）表示 B. 经过任意两个不同点 1 1 1 2 2 2 ( , ), ( , ) P x y P x y 的直线都可以用方程 1 2 1 1 2 1 ( )( ) ( )( ) y y x x x x y y − − = − − 表示

C. 不经过原点的直线都可以用方程 1 x y a b

+ = 表示

D. 经过定点 A（0，b）的直线都可以用方程 y=kx+b表示 5．已知点 (0, 1) P − ，点 Q在直线 xy+1=0上，若直线 PQ垂直于直线 x+2y5=0，则点 Q的坐标是（）.

A．（－2，1） B．（2，1） C．（2，3） D．（－2，－1） 6．已知两点 A（1，－1）、B（3，3），点 C（5，a）在直线 AB上，则实数 a的值是 . 7．点 P在直线 x+y4=0上，O为原点，则|OP|的最小值是 . ※能力提高

8．求经过直线7 7 24 0 0 x y x y + − = − = 和的交点，且与原点距离为 12 5

的直线方程．

9．已知点 A的坐标为 ( 4,4) − ，直线 l 的方程为 3 x＋ y －2＝0，求：

（1）点 A关于直线 l 的对称点 A′的坐标；（2）直线 l 关于点 A的对称直线 l′ 的方程.

※探究创新

10．某市现有自市中心 O 通往正西和东北方向的两条主要公路，为了解决交通拥挤问题，市政府决定修

一条环城路，分别在通往正西和东北方向的公路上选取 A、B 两点，使环城公路在 A、B 间为线段，要求 AB 环城路段与中心 O的距离为 10 km，且使 A、B间的距离|AB|最小，请你确定 A、B两点的最佳位置（不要求作

近似计算）.

《新课标高中数学必修②精讲精练》——精讲第四章圆与方程

57

第 29 讲 §4.1.1 圆的标准方程 ¤学习目标：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；能用待定系数法、

几何法求圆的标准方程. ¤知识要点： 1. 圆的标准方程：方程 2 2 2 ( ) ( ) ( 0) x a y b r r − + − = > 表示圆心为 A（a，b），半径长为 r的圆. 2. 求圆的标准方程的常用方法：（1）几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出标准方程；

（2）待定系数法：先根据条件列出关于 a、b、r的方程组，然后解出 a、b、r，再代入标准方程. ¤例题精讲：

【例 1】（01年全国卷.文）过点 (1, 1) A − 、 ( 1,1) B − 且圆心在直线 x＋y－2＝0上的圆的方程是（）. A.（x－3） 2 ＋（y＋1） 2 ＝4 B.（x＋3） 2 ＋（y－1） 2 ＝4 C.（x－1） 2 ＋（y－1） 2 ＝4 D.（x＋1） 2 ＋（y＋1） 2 ＝4

解：由圆心在直线 x＋y－2＝0 上可以得到 A、C 满足条件, 再把 A 点坐标（1，－1）代入圆方程. A 不

满足条件. 所以，选 C. 另解：设圆心 C的坐标为(a，b)，半径为 r, 因为圆心 C在直线 x+y－2=0上, ∴b=2－a.

由|CA|=|CB|，得（a－1） 2 +（b+1） 2 =（a+1） 2 +（b－1） 2 ，解得 a=1，b=1. 因此，所求圆的方程为（x－1） 2 +（y－1） 2 =4. 选 C. 【例 2】求下列各圆的方程：

（1）过点 ( 2,0) A − ，圆心在 (3, 2) − ；

（2）圆心在直线 2 7 0 x y − − = 上的圆 C与 y轴交于两点 (0, 4), (0, 2) A B − −

解：（1）设所求圆的方程为 2 2 2 ( 3) ( 2) x y r − + + = . 则 2 2 2 ( 2 3) (0 2) r − − + + = ，解得 2 29 r = . ∴ 圆的方程为 2 2 ( 3) ( 2) 29 x y − + + = .

（2）圆心在线段 AB的垂直平分线 3 y = − 上，代入直线 2 7 0 x y − − = 得 2 x = ，

圆心为 (2, 3) − ，半径 2 2 (2 0) ( 3 2) 5 r = − + − + = .

∴ 圆 C的方程为 2 2 ( 2) ( 3) 5 x y − + + = . 【例 3】推导以点 ( , ) A a b 为圆心， r 为半径的圆的方程. 解：设圆上任意一点 ( , ) M x y ，则 | | MA r = .

由两点间的距离公式，得到 2 2 ( ) ( ) x a y b r − + − = .

化简即得圆的标准方程： 2 2 2 ( ) ( ) x a y b r − + − = 点评：这里的推导方法，实质就是求曲线方程的通法，其基本步骤是：建系设点（建立合适的坐标系，设

所求曲线上的动点 ( , ) M x y ）→写条件（写出动点M所满足的条件）→列式（用坐标来表示所写出的条件，列

出方程 ( , ) 0 f x y = ）→化为最简→特殊说明.

【例 4】一个圆经过点 (5,0) A 与 ( 2,1) B − ，圆心在直线 3 10 0 x y − − = 上，求此圆的方程.

解：设圆心 ( , ) P a b ，则 2 2 2 2

3 10 0

( 5) ( 2) ( 1)

a b

a b a b

− − =

− + = + + − ，解得

1 3

a b

= = −

.

圆的半径 2 2 2 2 ( 5) (1 5) ( 3) 5 r a b = − + = − + − = .

∴ 圆的标准方程为 2 2 ( 1) ( 3) 25 x y − + + = .

另解：线段 AB的中点 ' 5 2 0 1 ( , ) 2 2

P − +

，即 ' 3 1 ( , ) 2 2

P . 直线 AB的斜率 1 0 1 2 5 7

k − = = −

− − .

所以弦 AB的垂直平分线的方程为 1 3 7( ) 2 2

y x − = − ，即 7 10 0 x y − − = .

解方程组 3 10 0

7 10 0 x y

y − − =

− − = ，得

1 3

x y

= = −

，即圆心 (1, 3) P − .

圆的半径 2 2 2 2 ( 5) (1 5) ( 3) 5 r a b = − + = − + − = .

∴ 圆的标准方程为 2 2 ( 1) ( 3) 25 x y − + + = . 点评：两种解法，都是先求出圆心与半径，第一种解法用设圆心坐标后列方程而求，第二种解法用两条直

线的交点求圆心. 由上可得，解法关键都是如何求圆心与半径.


58

第 29 练 §4.1.1 圆的标准方程 ※基础达标 1．圆 2 2 ( 2) ( 3) 2 x y − + + = 的圆心和半径分别是（）.

A． ( 2,3) − ，1 B． (2, 3) − ，3 C． ( 2,3) − ， 2 D． (2, 3) − ， 2

2．已知直线 l的方程为3 4 25 0 x y + − = ，则圆 2 2 1 x y + = 上的点到直线 l的距离的最小值是（）. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

3．过两点 P(2,2),Q(4,2) 且圆心在直线 0 x y − = 上的圆的标准方程是（）.

A． 2 2 ( 3) ( 3) 2 x y − + − = B. 2 2 ( 3) ( 3) 2 x y + + + =

C. 2 2 ( 3) ( 3) 2 x y − + − = D. 2 2 ( 3) ( 3) 2 x y + + + =

4．（04年天津卷理 7）若 (2, 1) P − 为圆 2 2 ( 1) 25 x y − + = 的弦 AB的中点，则直线 AB的方程是（）. A. 3 0 x y − − = B. 2 3 0 x y + − = C. 1 0 x y + − = D. 2 5 0 x y − − =

5．已知圆 2 2 ( 5) ( 7) 4 C x y − + − = ：，一束光线从点 ( 11) A − ，经 x轴反射到圆周C 的最短路程是（）.

A. 6 2 2 − B. 8 C. 4 6 D. 10 6．已知点 A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段 AB为直径的圆的方程为 . 7．（04年江苏卷.14）以点 (1,2)为圆心，与直线 4 3 35 0 x y + − = 相切的圆的方程是 . ※能力提高 8．求经过点 A（5，2），B（3，2），圆心在直线 2xy3=0上圆方程.

9．求与 x轴相切，圆心在直线3 0 x y − = 上，且被直线 y x = 截得的弦长等于 2 7 的圆的方程.

※探究创新 10．（03年京春文）设 A（－c，0），B（c，0）（c>0）为两定点，动点 P到 A点的距离与到 B点的距离的

比为定值 a（a>0），求 P点的轨迹.


59

第 30 讲 §4.1.2 圆的一般方程 ¤学习目标：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程；能用待定系数法

求圆的一般方程. ¤知识要点：

1. 圆的一般方程：方程 2 2 0 x y Dx Ey F + + + + = （ 2 2 4 0 D E F + − > ）表示圆心是 ( , ) 2 2 D E

− − ，半径长

为 2 2 1 4 2

D E F + − 的圆. 2. 轨迹方程是指点动点M的坐标 ( , ) x y 满足的关系式.

¤例题精讲：

【例 1】求过三点 A(2,2)、B(5,3)、C(3,－1)的圆的方程. 解：设所求圆的方程为 2 2 0 x y Dx Ey F + + + + = . 则

4 4 2 2 0 25 9 5 3 0 9 1 3 0

D E F D E F

D E F

+ + + + = + + + + = + + − + =

，解得 8 2

12

D E F

= − = − =

.

∴ 圆的方程为 2 2 8 2 12 0 x y x y + − − + = .

【例 2】设方程 2 2 2 4 2 2( 3) 2(1 4 ) 16 7 9 0 x y m x m y m m + − + + − + − + = ，若该方程表示一个圆，求 m的取

值范围及圆心的轨迹方程.

解：配方得[ ] 2 2 2 ( 3) (1 4 ) 1 6 x m y m m − + + − − = + ，该方程表示圆，则有

1 6 0 m + > ，得 1 ( , ) 6

m∈ − +∞ ，此时圆心的轨迹方程为 2

3

1 4 x m y m

= +

= − ，消去 m，得 2 4( 3) 1 y x = − − ，

由 1 ( , ) 6

m∈ − +∞ 得 x=m+3 17 ( , ) 6

∈ +∞ . ∴所求的轨迹方程是 2 4( 3) 1 y x = − − ， 17 ( , ) 6

x∈ +∞

【例 3】已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3)，端点 A在圆 2 2 ( 1) 4 x y + + = 上运动，求线段 AB 的中点轨

迹方程. （教材 P133 例 5 另解）

解：设圆 2 2 ( 1) 4 x y + + = 的圆心为 P(1,0)，半径长为 2，线段 AB中点为M(x, y).

取 PB中点 N,其坐标为( 1 4 2

− + , 0 3 2 +

)，即 N( 3 2 , 3 2 ).

∵ M、N为 AB、PB的中点,

∴ MN∥PA且MN= 1 2 PA=1.

∴ 动点M的轨迹为以 N为圆心，半径长为 1的圆.

所求轨迹方程为： 2 2 3 3 ( ) ( ) 1 2 2

x y − + − = .

点评：此解为定义法，利用中位线这一几何性质，将所求动点的轨迹转化为到定点的距离等于定长，即圆

的定义. 解法关键是连接 PB，取 PB的中点 N，得到MN的长度为定值. 教材中的解法是通过设动点的坐标，

然后找出相关的几何条件，得到动点坐标所满足等式即所求轨迹方程. 【例 4】求经过 (4,2), ( 1,3) A B − 两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为 4的圆的方程.

解：设所求圆的方程为 2 2 0 x y Dx Ey F + + + + = .

当 0 x = 时， 2 0 y Ey F + + = ，则 1 2 2 E y y + = − ；当 0 y = 时， 2 0 x Dx F + + = ，则 1 2 2

D x x + = − .

则 16 4 4 2 0 1 9 3 0

( ) ( ) 4 2 2

D E F D E F

D E

+ + + + =

+ − + + = − + − =

，解得 3 52

D E F

= − = − =

.

∴ 圆的方程为 2 2 3 5 2 0 x y x y + − − + = . 点评：用待定系数法的一般步骤是“设（设含待定系数的方程）→列（利用条件列出系数所满足的方程组）

→求（解方程组）→写（写出所求方程） ”. 当已知圆上三点或两点时，选用圆的一般方程形式较为简单. 当

易知圆心和半径时，选用圆的标准方程形式易求解.

N M(x,y)

A

y

x P

B(4,3)


60

第 30 练 §4.1.2 圆的一般方程 ※基础达标 1．方程 2 2 4 2 5 0 x y x y m + + − + = 表示圆的条件是（）.

A. 1 1 4

m < < B. 1 m > C. 1 4

m < D. 1 m <

2．M（3，0）是圆 2 2 8 2 10 0 x y x y + − − + = 内一点，过M点最长的弦所在的直线方程是（）. A. 3 0 x y + − = B. 3 0 x y − − = C. 2 6 0 x y − − = D. 2 6 0 x y + − =

3．（04年重庆卷.文理 3）圆 2 2 2 4 3 0 x y x y + − + + = 的圆心到直线 1 x y − = 的距离为（）.

A . 2 B. 2 2

C. 1 D. 2

4．（1999全国文）曲线 x 2 +y 2 +2 2 x－2 2 y=0关于（）. A. 直线 x= 2 轴对称 B. 直线 y=－x轴对称 C. 点（－2， 2 ）中心对称 D. 点（－ 2 ，0）中心对称

5．若实数 , x y 满足 2 2 4 2 4 0 x y x y + + − − = ，则 2 2 x y + 的最大值是（）.

A. 5 3 + B. 6 5 14 + C. 5 3 − + D. 6 5 14 − + 6．已知圆 C：(x1) 2 +y 2 =1，过坐标原点 O作弦 OA，则 OA中点的轨迹方程是 . 7．（1997上海卷）设圆 x 2 +y 2 －4x－5=0的弦 AB的中点为 P（3，1），则直线 AB的方程是 . ※能力提高 8．求经过三点 (1, 1) A − 、 (1,4) B 、 (4, 2) C − 的圆的方程.

9．一曲线是与定点 O(0,0)，A(3,0)距离的比是 1 2 的点的轨迹，求此曲线的轨迹方程.

※探究创新 10．如图，过圆 O：x 2 +y 2 =4与 y轴正半轴交点 A作此圆的切线 AT，M为 AT

上任一点，过M作圆 O的另一条切线，切点为 Q，求MAQ垂心 P的轨迹方程.


61

第 31 讲 §4.2.1 直线与圆的位置关系 ¤学习目标：能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能用直线和圆的方程解决一些简单

的问题. ¤知识要点： 1. 直线与圆的位置关系及其判定：方法一：方程组思想，由直线与圆的方程组成的方程组，消去 x或（y），

化为一元二次方程，由判别式符号进行判别；

方法二：利用圆心（ , a b）到直线 0 Ax By C + + = 的距离 2 2

| | Aa Bb C d A B

+ + =

+ ，比较 d与 r的大小.

（1）相交 d r ⇔ < ⇔ 0 ∆ > ；（2）相切 d r ⇔ = ⇔ 0 ∆ = ；（3）相离 d r ⇔ > ⇔ 0 ∆ < . 2. 直线与圆的相切研究，是高考考查的重要内容. 同时，我们要熟记直线与圆的各种方程、几何性质，也

要掌握一些常用公式，例如点线距离公式 0 0

2 2

| | Ax By C d

A B

+ + =

+ ¤例题精讲：

【例 1】（02年全国卷.文）若直线（1+a）x+y+1=0与圆 x 2 ＋y 2 －2x＝0相切，则 a的值为 . 解：将圆 x 2 ＋y 2 －2x＝0 的方程化为标准式：（x－1） 2 ＋y 2 ＝1, 其圆心为（1，0），半径为 1，由直线（1

＋a）x＋y＋1＝0与该圆相切，则圆心到直线的距离 2

|1 1| 1 (1 ) 1

a d a

+ + = =

+ + ， ∴ a＝－1.

【例 2】求直线 : 2 2 0 l x y − − = 被圆 2 2 : ( 3) 9 C x y − + = 所截得的弦长. （P144 练习 1题）

解：由题意，列出方程组 2 2

2 2 0

( 3) 9 x y x y

− − =

− + = ，消 y得 2 5 14 4 0 x x − + = ，得 1 2

14 5

x x + = ， 1 2 4 5

x x = .

设直线 2 2 0 x y − − = 与圆 2 2 ( 3) 9 x y − + = 交于点 1 1 ( , ) A x y ， 2 2 ( , ) B x y ，则

2 2 2 2 1 1 2 1 2 | | (1 ) | | (1 ) ( ) 4 AB k x x k x x x x = + − = + + − = 2 2 14 4 2 145 (1 2 ) ( ) 4

5 5 5 + − × = .

另解：圆心 C的坐标是 (3,0)，半径长 3 r = . 圆心到直线 2 2 0 x y − − = 的距离 | 2 3 0 2 | 4 5

5 5 d

× − − = = .

所以，直线 2 2 0 x y − − = 被圆 2 2 ( 3) 9 x y − + = 截得的弦长是 2 2 2 2 4 5 2 145 2 2 3 ( ) 5 5

r d − = − = .

【例 3】（04 年辽宁卷.13）若经过点 ( 1 , 0) P − 的直线与圆 2 2 4 2 3 0 x y x y + + − + = 相切，则此直线在 y 轴

上的截距是 . 解：圆的标准方程为 2 2 ( 2) ( 1) 2 x y + + − = ，则圆心 ( 2 ,1) C − ，半径 2 r = . 设过点 ( 1 , 0) P − 的直线方程为 ( 1) y k x = + ，即 0 kx y k − + = .

∴ 圆心到切线的距离 2

| 2 1 | 2 1

k k d r k

− − + = = =

+ ，解得 1 k = .

∴ 直线方程为 1 y x = + ，在 y轴上的截距是 1.

点评：研究直线和圆的相切，简捷的方法是利用公式 0 0

2 2

| | Ax By C d r

A B

+ + = =

+ ，还可以由方程组只有一个

实根进行解答. 选择恰当的方法，是我们解题的一种能力.

【例 4】设圆上的点 A （2， 3）关于直线 x+2y=0的对称点仍在这个圆上，且与直线 xy+1=0相交的弦长为2 2，

求圆的方程. 解：设 A关于直线 x+2y=0的对称点为 A’. 由已知得 AA’为圆的弦，得到 AA’的对称轴 x+2y=0过圆心. 设圆心 P（2a，a），半径为 r，则 r=|PA|=(2a2) 2 +(a3) 2 .

又弦长 2 2 2 2 2 R d = − ，圆心到弦 AA’的距离为 | 2 1 | | 3 1 |

2 2 a a a d

− − + − = = ，

∴ 2

2 (3 1) 2 2 a R

− = + ，即 4(a+1) 2 +(a3) 2 =2+

2 (3 1) 2 a −

，解得 a=7或 a=3.

当 a=3时，r= 52 ；当 a=7时，r= 244 . ∴ 所求圆方程为(x6) 2 +(y+3) 2 =52或(x14) 2 +(y+7) 2 =244. 点评：在解答与圆的弦长相关的一些问题时，常用勾股定理，得到圆心到弦的距离 d、半径 r、半弦长的

一个勾股式. 这种方法与方程组的思想求解弦长问题相比，计算过程较为简单.


62

第 31 练 §4.2.1 直线与圆的位置关系 ※基础达标 1．直线 4x－3y－2＝0与圆 2 2 2 4 11 0 x y x y + − + − = 的位置关系是（）.

A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都不对

2．（08年全国卷Ⅰ. 文 10）若直线 1 x y a b

+ = 与圆 2 2 1 x y + = 有公共点，则（）.

A． 2 2 1 a b + ≤ B． 2 2 1 a b + ≥ C． 2 2

1 1 1 a b

+ ≤ D． 2 2

1 1 1 a b

+ ≥

3．平行于直线 2x－y+1=0且与圆 x 2 +y 2 =5相切的直线的方程是（）. A．2x－y+5=0 B．2x－y－5=0 C．2x＋y+5=0或 2x＋y－5=0 D．2x－y+5=0或 2x－y－5=0

4．直线 x=2被圆 2 2 ( ) 4 x a y − + = 所截弦长等于 2 3 , 则 a的值为（）.

A. －1或－3 B. 2 或 2 − C. 1或 3 D. 3 5．（04年全国卷Ⅲ. 文 5理 4）圆 2 2 4 0 x y x + − = 在点 (1, 3) P 处的切线方程为（）.

A. 3 2 0 x y + − = B. 3 4 0 x y + − = C. 3 4 0 x y − + = D. 3 2 0 x y − + =

6．已知圆 C： 2 2 ( 1) ( 2) 4 x y − + − = 及直线 l ： 3 0 x y − + = ，则直线 l 被 C截得的弦长为 . 7．（03年上海春）若经过两点 A （－1， 0）、 B （0， 2）的直线 l与圆（x－1） 2 + （y－a） 2 =1相切，则 a= . ※能力提高 8．求直线 3 x+y－2 3 =0截圆 x 2 ＋y 2 ＝4得的劣弧所对的圆心角.

9．一直线过点 3 ( 3, )2

P − − ，被圆 2 2 25 x y + = 截得的弦长为 8, 求此弦所在直线方程.

※探究创新 10．（1997全国文）已知圆满足：①截 y轴所得弦长为 2；②被 x轴分成两段圆弧，其弧长的比为 3∶1；

③圆心到直线 l：x－2y=0的距离为 5 5

. 求该圆的方程.


63

第 32 讲 §4.2.2 圆与圆的位置关系 ¤学习目标：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系. 掌握坐标法的思想，用解方程组判别位置关

系或求交点坐标. ¤知识要点：

两圆的位置关系及其判定：设两圆圆心分别为 1 2 , O O ，半径分别为 1 2 , r r ，则：

（1）两圆相交 1 2 1 2 1 2 | | | | r r OO r r ⇔ − < < + ；（2）两圆外切 1 2 1 2 | | O O r r ⇔ = + ；

（3）两圆内切 1 2 1 2 | | | | O O r r ⇔ = − ；

¤例题精讲：

【例 1】已知圆 1 C ： 2 2 6 6 0 x y x + − − = ①，圆 2 C ： 2 2 4 6 0 x y y + − − = ②

（1）试判断两圆的位置关系；（2）求公共弦所在的直线方程. 解：（1）∵圆 1 C 的圆心为（3,0），半径为 1 15 r = ，圆 2 C 的圆心为（0，2），半径为 2 10 r = ，

又 1 2 | | 13 C C = ，∴ 1 2 | | r r − ＜ 1 2 | | C C < 1 2 r r + ，

∴圆 1 C 与 2 C 相交. （2）由①－②，得公共弦所在的直线方程为3 2 0 x y − = .

【例 2】求经过两圆 2 2 6 4 0 x y x + + − = 和 2 2 6 28 0 x y y + + − = 的交点，并且圆心在直线 4 0 x y − − = 上

的圆的方程. 解：设所求圆的方程为 2 2 6 28 x y y + + − 2 2 ( 6 4) 0 x y x λ + + + − = ，即

2 2 (1 ) (1 ) 6 6 28 4 0 x y x y λ λ λ λ + + + + + − − = ,

则所求圆的圆心为 3 3 ( , ) 1 1

λ λ λ

− − + +

.

∵圆心在直线 4 0 x y − − = 上， ∴ 3 3 4 0 1 1

λ λ λ

− + − = + +

，解得 1 7

λ = − .

∴ 所求圆的方程为 2 x ＋ 2 7 32 0 y x y − + − =

【例 3】（04年全国卷Ⅱ.文理 4）已知圆 C与圆 2 2 ( 1) 1 x y − + = 关于直线 y x = − 对称，则圆 C的方程为

A. 2 2 ( 1) 1 x y + + = B. 2 2 1 x y + = C. 2 2 ( 1) 1 x y + + = D. 2 2 ( 1) 1 x y + − = 解：已知圆的半径 1 r = ，圆心 (1,0)，

圆心 (1,0)关于直线 y x = − 的对称点为 (0, 1) − ，

则圆 C的方程为 2 2 ( 1) 1 x y + + = . 选 C. 点评：圆关于直线的对称图形仍然是圆，半径不变，圆心关于直线对称. 我们要掌握一些常见对称问题的

解答思路，例如点关于直线的对称，曲线关于直线的对称，曲线关于点的对称等，解答理论基础有中点坐标公

式、垂直时斜率乘积为－1、代入法、转化思想.同时，我们也要掌握一些简单对称，如点 ( , ) a b 关于直线 y x = 的对称点为 ( , ) b a .

【例 4】求圆 2 2 4 0 x y + − = 与圆 2 2 4 4 12 0 x y x y + − + − = 的公共弦的长. （教材 P144 习题 A组 9题）

解：由题意，列出方程组 2 2

2 2

4 0

4 4 12 0

x y

x y x y

+ − =

+ − + − = ，消去二次项，得 2 y x = + .

把 2 y x = + 代入 2 2 2 0 x y x y + − + = ，得 2 2 0 x x + = ，解得 1 2 2, 0 x x = − = ，

于是 1 2 0, 2 y y = = ，两圆的交点坐标是 ( 2,0) A − ， (0,2) B ，所以，公共弦长 | | 2 2 AB = . 另解：由题意，列出方程组

2 2

2 2

4 0

4 4 12 0

x y

x y x y

+ − =

+ − + − = ，消去二次项，得 2 y x = + ，它即公共弦所在直线的方程.

圆 2 2 4 0 x y + − = 的圆心到直线 2 0 x y − + = 的距离为 | 0 0 2 | 2

2 d

− + = = .

所以，两圆的公共线长为 2 2 2 2 2 2 2 ( 2) 2 2 r d − = − = . 点评：为何两圆的方程消去二次项后，即为公共弦所在直线的方程，我们易由曲线系的知识可得. 比较方

程思想与几何方法求解两圆的公共弦长，几何方法更为简捷. 先求公共弦所在直线，再求一圆心到直线的距离，

通过公式 2 2 2 r d − 求得弦长.


64

第 32 练 §4.2.2 圆与圆的位置关系 ※基础达标 1．圆 2 2

1 : ( ) ( 2) 9 C x m y − + + = 与圆 2 2 2 : ( 1) ( ) 4 C x y m + + − = 外切，则 m的值为（）.

A. 2 B. －5 C. 2或－5 D. 不确定 2．圆 2 2 2 0 x y x + + = 和 2 2 4 0 x y y + − = 的公共弦所在直线方程为（）.

A. 2 0 x y − = B. 2 0 x y + = C. 2 0 x y − = D. 2 0 x y + = 3．若圆 2 2 8 x y + = 和圆 2 2 4 4 0 x y x y + + − = 关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为（）.

A. 0 x y − = B. 0 x y + = C. 2 0 x y − + = D. 2 0 x y + + = 4．（1995全国文）圆 x 2 ＋y 2 －2x＝0和 x 2 ＋y 2 ＋4y＝0的位置关系是（）.

A.相离 B.外切 C.相交 D.内切 5．（04年湖北卷.文 4）两个圆 2 2

1 : 2 2 2 0 C x y x y + + + − = 与 2 2 2 : 4 2 1 0 C x y x y + − − + = 的公切线有且仅

有（）. A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

6．两圆：x 2 + y 2 + 6 x + 4y = 0及 x 2 +y 2 + 4x + 2y – 4 =0的公共弦所在直线方程为 . 7．（2000上海春，11）集合 A＝｛（x，y）|x 2 ＋y 2 ＝4｝，B＝｛（x，y）|(x－3) 2 ＋(y－4) 2 ＝r 2 ｝，其中 r

＞0，若 A∩B中有且仅有一个元素，则 r的值是 . ※能力提高 8．求与圆 2 2 2 4 1 0 x y x y + − + + = 同心，且与直线 2 1 0 x y − + = 相切的圆的方程.

9．求圆 2 2 4 12 39 0 x y x y + + − + = 关于直线3 4 5 0 x y − − = 的对称圆方程.

※探究创新 10．求一宇宙飞船的轨道，使得在轨道上任一点处看地球和月球的视角都相等.


65

第 33 讲 §4.2.3 直线与圆的方程的应用 ¤学习目标：能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数

方法处理几何问题的思想. ¤知识要点：

坐标法：建立适当的直角坐标系后，借助代数方法把要研究的几何问题，转化为坐标之间的运算，由此解

决几何问题

¤例题精讲：

【例 1】有一种大型商品，A、B 两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费

用是：每单位距离，A 地的运费是 B 地运费的 3 倍．已知 A、B 两地相距 10 千米，顾客购物的标准是总费用

较低，求 A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地．

解：建立使 A(－5，0)、B(5，0)的直角坐标系，设单位距离的运费是 a元. 若在 A地购货费用较低，则：价格＋A地运费≤价格＋B地运费

即 2 2 2 2 3 ( 5) ( 5) a x y a x y + + ≤ − + .

∵ a＞0，∴ 8x 2 ＋8y 2 ＋100x＋200y≤0.得 (x＋ 25 4 ) 2 ＋y 2 ≤(

15 4 ) 2 .

∴ 两地购物区域的分界线是以点 C(－ 25 4

，0)为圆心， 15 4

为半径的圆.

所以，在圆 C内的居民从 A地购物便宜，圆 C外的居民从 B地购物便宜，

圆 C上的居民从 A、B两地购物总费用相等．

【例 2】自点 A(3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上 ,被 x 轴反射 , 其反射光线所在的直线与圆 2 2 4 4 7 0 x y x y + − − + = 相切, 求光线 l所在的直线方程.

解：由已知可得圆 C： 2 2 ( 2) ( 2) 1 x y − + − = 关于 x轴对称的圆 C ‘ 的方程为 2 2 ( 2) ( 2) 1 x y − + + = ，其圆心

C ‘（2，2），易知 l与圆 C ’ 相切. 设 l: y3=k(x+3), 即 kxy+3k+3=0.

∴ 2

5 5 1

1

k

k

+ =

+ ，整理得 12k 2 + 25k+12=0, 解得

3 4

k = − 或 4 3

k = − .

所以，所求直线方程为 y3= 3 4

− (x+3)或 y3= 4 3

− (x+3)，即 3x+4y3=0或 4x+3y+3=0.

点评：关于求切线问题, 利用圆心到切线的距离等于圆的半径的条件, 是解决圆的切线方程的常用方法. 如果由方程组思想，通过“ 0 ∆ = ”求切线方程也可, 但过程要复杂些.

【例 3】实数 , x y 满足 2 2 2 4 1 0 x y x y + + − + = ，求下列各式的最大值和最小值：（1） 4 y

x − ；（2）2x y − .

解：原方程为 2 2 ( 1) ( 2) 4 x y + + − = ，表示以 ( 1,2) P − 为圆心，2为半径的圆.

（1）设 4 y k

x =

− ，几何意义是：圆上点 ( , ) M x y 与点 (4,0) Q 连线的斜率.

由图可知当直线MQ是圆的切线时， k 取最大值与最小值。

设切线 0 ( 4) y k x − = − ，即 4 0 kx y k − − = .

圆心 P到切线的距离 2

| 2 4 | 2 1

k k k

− − − =

+ ，化简为 2 21 20 0 k k + = ，解得 0 k = 或

2021

k = − .

∴ 4 y

x − 的最大值为 0,最小值为

2021

− .

（2）设 2x y m − = ，几何意义是：直线 2 0 x y m − − = 与圆有公共点.

∴ 圆心 P到直线的距离 2

| 2 2 |

2 1 m − − −

+ ≤2，解得 4 2 5 − − ≤m≤ 4 2 5 − + .

∴ 2x y − 的最大值为 4 2 5 − + ，最小值为 4 2 5 − − . 点评：代数式最大值最小值的研究，常用数形结合思想方法，将要研究的代数问题转化为几何问题，关键

是如何挖掘代数式的特点，利用几何意义进行转化。例如，由代数式 2 2 x y Dx Ey F + + + + 联想到两点的距离

公式，或圆的方程；由代数式 y b x a

− −

联想到两点的斜率，或直线的方程；由代数式 Ax By + 联想到直线的方程；

由代数式 | | | | x a x b − + − 联想到数轴上到两点的距离之和，等等。

M(x,y)

Q(4,0) o x

y

P


66

第 33 练 §4.2.3 直线与圆的方程的应用 ※基础达标 1．实数 x，y满足方程 4 0 x y + − = ，则 2 2 x y + 的最小值为（）.

A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 2．若直线 ax+by=1与圆 x 2 +y 2 =1相交，则点 P(a,b)的位置是（）.

A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.都有可能

3．如果实数满足 2 2 ( 2) 3 x y + + = ，则 y x 的最大值为（）.

A. 3 B. 3 − C. 3 3

D. 3 3

−

4．一辆卡车宽 2.7米，要经过一个半径为 4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车

篷篷顶距离地面的高度不得超过（）. A. 1.4米 B. 3.0米 C. 3.6米 D. 4.5米

5．（2000全国）过原点的直线与圆 x 2 ＋y 2 ＋4x＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线方程是（）.

A. y= 3 x B. y=－ 3 x C. y= 3 3 x D. y=－

3 3 x

6．（04年全国卷Ⅰ. 文 15理 14）由动点 P向圆 2 2 1 x y + = 引两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B，

∠APB=60°，则动点 P的轨迹方程为 .

7．已知直线 2 0 x y c + + = 与曲线 2 1 y x = − 有两个公共点，则 c的取值范围 . ※能力提高

8．已知实数 , x y 满足 2 2 4 3 0 x y x + + + = ，求 2 1

y x

− −

的值域.

9．在直径为 AB的半圆内，划出一块三角形区域，使三角形的一边为 AB，顶点 C在半圆上，其它两边分

别为 6和 8，现要建造一个内接于ABC的矩形水池 DEFN，其中，DE在 AB上，如图的设计方案是使 AC＝8， BC＝6. （1）求 ABC中 AB边上的高 h；

（2）设 DN＝x，当 x取何值时，水池 DEFN的面积最大？

（3）实际施工时，发现在 AB上距 B点 1.85的M处有一棵大树，问：这棵大树是

否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满

足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．

※探究创新 10．船行前方的河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面为

9m，拱圈内水面宽 22m．船只在水面以上部分高 6.5m、船顶部宽 4m，故通行无

阻．近日水位暴涨了 2.7m，船已经不能通过桥洞了．船员必须加重船载，降低船

身．试问船身必须降低多少，才能顺利地通过桥洞？


67

第 34 讲 §4.3.1 空间直角坐标系 ¤学习目标：通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐

标系刻画点的位置. ¤知识要点： 1. 空间直角坐标系：从空间某一个定点 O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴 Ox、Oy、Oz，这样

的坐标系叫做空间直角坐标系 Oxyz，点 O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴. 通过每两个坐标轴的

平面叫做坐标平面，分别称为 xOy平面、yOz平面、zOx平面. 2. 右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 x 轴的正方向，食指指向 y 轴的正方向，若

中指指向 z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3. 空间直角坐标系中的坐标：对于空间任一点M，作出M点在三条坐标轴 Ox轴、Oy轴、Oz轴上的射影，

若射影在相应数轴上的坐标依次为 x、y、z，则把有序实数组(x, y, z)叫做M点在此空间直角坐标系中的坐标，

记作M(x, y, z)，其中 x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标. 4. 在 xOy平面上的点的竖坐标都是零，在 yOz 平面上的点的横坐标都是零，在 zOx 平面上的点的纵坐标

都是零；在 Ox轴上的点的纵坐标、竖坐标都是零，在 Oy轴上的点的横坐标、竖坐标都是零，在 Oz轴上的点

的横坐标、纵坐标都是零

¤例题精讲：

【例 1】在空间直角坐标系中，作出点M(6，－2, 4). 解：点M的位置可按如下步骤作出：

先在 x 轴上作出横坐标是 6 的点 1 M ，再将 1 M 沿与 y 轴平行的方向向

左移动 2 个单位得到点 2 M ，然后将 2 M 沿与 z 轴平行的方向向上移动 4 个

单位即得点M. M点的位置如图所示. 【例 2】在长方体 1 1 1 1 ABCD A BC D − 中，AB=12，AD=8， 1 AA =5，试建

立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标. 解：以 A 为原点，射线 AB、AD、 1 AA 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半

轴，建立空间直角坐标系，

则 A(0,0,0)、B(12,0,0)、C(12,8,0)、D(0,8,0)、

1 A (0,0,5)、 1 B (12,0,5)、 1 C (12,8,5)、 1 D (0,8,5). 【例 3】已知正四棱锥 PABCD的底面边长为 4，侧棱长为 10，试建立

适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标. 分析：先由条件求出正四棱锥的高，再根据正四棱锥的对称性，建立

适当的空间直角坐标系. 解：∵正四棱锥 PABCD的底面边长为 4，侧棱长为 10，

∴正四棱锥的高为 2 23 . 以正四棱锥的底面中心为原点，平行于 AB、BC 所在的直线分别为 x

轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则正四棱锥各顶点的坐标分别为 A(2,2,0)、B(2,2,0)、C(2,2,0)、D(2,2,0)、P(0,0, 2 23 ). 点评：在求解此类问题时，关键是能根据已知图形，建立适当的空间直角坐标系，从而便于计算所需确定

的点的坐标. 【例 4】在空间直角坐标系中，求出经过 A(2,3，1)且平行于坐标平面 yOz的平面α 的方程. 分析：求与坐标平面 yOz平行的平面的方程，即寻找此平面内任一点所要满足的条件，可利用与坐标平面

yOz平行的平面内的点的特点来求解. 解：∵坐标平面 yOz⊥x轴，而平面α 与坐标平面 yOz平行，

∴平面α 也与 x轴垂直，

∴平面α 内的所有点在 x轴上的射影都是同一点，即平面α 与 x轴的交点，

∴平面α 内的所有点的横坐标都相等。 ∵平面α 过点 A(2,3,1)，

∴平面α 内的所有点的横坐标都是 2，

∴平面α 的方程为 x=2. 点评：对于空间直角坐标系中的问题，可先回忆与平面直角坐标系中类似问题的求解方法，再用类比方法

求解空间直角坐标系中的问题。本题类似于平面直角坐标系中，求过某一定点且与 x轴(或 y轴)平行的直线的

方程.

1 M 2 M

M（6，2,4）

O

x

y

z

6

2

4


68

第 34 练 §4.3.1 空间直角坐标系 ※基础达标 1．点 (2,0,3) A 在空间直角坐标系的位置是（）.

A. y轴上 B. xOy 平面上 C. xOz平面上 D. yOz 平面上 2．在空间直角坐标系中，下列说法中：①在 x轴上的点的坐标一定是 (0, , ) b c ；②在 yOz 平面上的点的坐

标一定可写成 (0, , ) b c ；③在 z轴上的点的坐标可记作 (0,0, ) c ；④在 xOz平面上的点的坐标是 ( ,0, ) a c . 其中正

确说法的序号依次是（）. A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ②③④

3．结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图. 其中实点代表钠原

子，黑点·代表氯原子. 建立空间直角坐标系 O—xyz后，图中最上层中间的钠原子所

在位置的坐标是（）.

A． 1 1 ( , ,1) 2 2

B． (0,0,1) C． 1 (1, ,1) 2

D． 1 1 (1, , ) 2 2

4．点 ( 1,2,1) A − 在 x轴上的射影和在 xOy 平面上的射影点分别为（）. A. ( 1,0,1) − 、 ( 1,2,0) − B. ( 1,0,0) − 、 ( 1,2,0) − C. ( 1,0,0) − 、 ( 1,0,0) − D. ( 1,2,0) − 、 ( 1,2,0) −

5．点 ( , ,0), (0, , ), ( ,0, ) M a b N a b P a b 分别在面（）. A. , , xOy yOz xOz 上 B. , , yOz xOy xOz 上 C. , , xOz yOz xOy上 D. , , xOy xOz yOz 上

6．点 (1,3,5) P 关于原点对称的点的坐标是 .

7．连接平面上两点 1 1 1 ( , ) P x y 、 2 2 2 ( , ) P x y 的线段 1 2 PP 的中点M的坐标为 1 2 1 2 ( , ) 2 2

x x y y + + ，那么，已知空

间中两点 1 1 1 1 ( , , ) P x y z 、 2 2 2 2 ( , , ) P x y z ，线段 1 2 PP 的中点M的坐标为 . ※能力提高 8．如图，点 (0,0, ) A a ，在四面体 ABCD中，AB⊥平面 BCD，BC=CD，∠BCD=90°，∠ADB=30°，E、

F分别是 AC、AD的中点. 求 D、C、E、F这四点的坐标.

9．在空间直角坐标系中，给定点 (1, 2,3) M − ，求它关于坐标平面、坐标轴和原点的对称点的坐标.

※探究创新 10．在空间直角坐标系中，求出经过 B(2,3,0)且垂直于坐标平面 xOy的直线方程


69

第 35 讲 §4.3.2 空间两点间的距离公式 ¤学习目标：通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距

离公式. ¤知识要点：

1. 空间两点 1 1 1 1 ( , , ) P x y z 、 2 2 2 2 ( , , ) P x y z 间的距离公式： 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 | | ( ) ( ) ( ) PP x x y y z z = − + − + − .

2. 坐标法求解立体几何问题时的三个步骤：①在立体几何图形中建立空间直角坐标系；②依题意确定各

相应点的坐标；③通过坐标运算得到答案. 3. 对称问题，常用对称的定义求解. 一般地，点 P(x, y, z) 关于坐标平面 xOy、yOz、zOx的对称点的坐标

分别为(x, y, z)、(x, y, z)、(x, y, z)；关于 x轴、y轴、z轴的对称点的坐标分别为(x, y, z)、(x, y, z)、(x, y, z)；

关于原点的对称点的坐标为(x, y, z). ¤例题精讲：

【例 1】已知 A(x,2,3)、B(5,4,7)，且|AB|=6，求 x的值.

解：∵ |AB|=6，∴ 2 2 2 ( 5) (2 4) (3 7) 6 x − + − + − = ，

即 2 ( 5) 16 x − = ，解得 x=1或 x=9. 【例 2】求点 P(1,2,3)关于坐标平面 xOy的对称点的坐标. 解：设点 P关于坐标平面 xOy的对称点为 P′，连 PP′ 交坐标平面 xOy于 Q，

则 PP′ ⊥ 坐标平面 xOy，且|PQ|=| P′Q|，

∴ P′在 x 轴、y 轴上的射影分别与 P在 x 轴、y 轴上的射影重合， P′在 z 轴上的射影与 P在 z 轴上的射

影关于原点对称，

∴ P′与 P的横坐标、纵坐标分别相同，竖坐标互为相反数，

∴ 点 P(1,2,3)关于坐标平面 xOy的对称点的坐标为(1,2,3). 【例 3】在棱长为 a的正方体 ABCD 1 1 1 1 A B C D 中，求异面直线 1 1 BD CC 与间的距离. 解：以 D为坐标原点，从 D点出发的三条棱所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设 P、Q分别是直线 1 BD 和 1 CC 上的动点，其坐标分别为(x, y, z)、(0， 1 , a z )，则由正方体的对称性，显然

有 x=y. 要求异面直线 1 1 BD CC 与间的距离，即求 P、Q两点间的最短距离.

设 P在平面 AC上的射影是 H，由在∆ 1 BDD 中， 1

PH BH D D BD

= ，所以 2 2

2 z a x a x a a a

− − = = ，∴x=az，

∴ P的坐标为(az, az, z)

∴ |PQ|= 2 2 2 1 ( ) ( ) a z z z z − + + − =

2 2 2

1 ( ) 2( )2 2 a a z z z − + − +

∴ 当 1 2 a z z = = 时，|PQ|取得最小值，最小值为

2 2 a .

∴ 异面直线 1 1 BD CC 与间的距离为 2 2 a .

点评：通过巧设动点坐标，得到关于两点间距离的目标函数，由函数思想得到几何最值. 注意这里对目标

函数最值的研究，实质就是非负数最小为 0. 【例 4】在四面体 PABC中，PA、PB、PC两两垂直，设 PA=PB=PC=a，求点 P到平面 ABC的距离. 解：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系 Pxyz，

则 P(0,0，0)，A（a,0,0），B（0,a,0），C（0,0,a）. 过 P作 PH ⊥ 平面 ABC，交平面 ABC于 H，则 PH的长即为点 P到平面 ABC的距离. ∵PA=PB=PC,∴H为∆ ABC的外心，

又∵ ∆ ABC为正三角形，

∴H为 ∆ ABC的重心，可得 H点的坐标为 ( , , ) 3 3 3 a a a

.

∴|PH|= 2 2 2 3 (0 ) (0 ) (0 ) 3 3 3 3 a a a a − + − + − = ,

∴点 P到平面 ABC的距离为 3 3 a

点评：重心 H的坐标，可以由比例线段得到. 通过建立空间直角坐标系，用代数方法来计算点面距离. 本

题也可以用几何中的等体积法来求解.


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第 35 练 §4.3.2 空间两点间的距离公式 ※基础达标 1．点 ( ,2,1) P x 到 (1,1,2), (2,1,1) Q R 的距离相等，则 x的值为（）.

A. 1 2

B. 1 C. 3 2

D. 2

2．设点 B是点 (2, 3,5) A − 关于 xOy面的对称点，则 | | AB =（）.

A. 10 B. 10 C. 38 D. 38 3．到点 ( 1, 1, 1) A − − − ， (1,1,1) B 的距离相等的点 ( , , ) C x y z 的坐标满足（）.

A. 1 x y z + + = − B. 0 x y z + + = C. 1 x y z + + = D. 4 x y z + + = 4．已知 ( 2,3,4) A − ，在 y轴上求一点 B，使 | | 7 AB = ，则点 B的坐标为（）.

A. 0 3 29 0 − （，，） B. 0 3 29 0 − （，，）或 0 3 29 0 + （，，）

C. 0 3 29 0 + （，，） D. 0 0 3 29 + （，，）或 0 0 3 29 − （，，） 5．已知三角形 ABC的顶点 A（2，2，0），B（0，2，0），C(0，1，4)，则三角形 ABC是（）.

A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 6．在空间直角坐标系下，点 ( , , ) P x y z 满足 2 2 2 1 x y z + + = ，则动点 P表示的空间几何体的表面积

是 . 7．点 (4, 3,5) M − 到 x轴的距离为 . ※能力提高 8．（1）已知 A(2,5，6)，在 y轴上求一点 B，使得|AB|=7；

（2）求点 P(5,2，3)关于点 A(2,0，1)的对称点的坐标.

9．已知 (1,2 1) A − 、 (2,0,2) B ，在 xOz平面内的点M到 A点与 B点等距离，求点M的轨迹.

※探究创新 10．点 P在坐标平面 xOy内，A点的坐标为(1,2，4)，问满足条件|PA|=5的点 P的轨迹是什么？


71

第 36 讲第四章圆与方程复习 ¤学习目标：掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程；能根据给定直线、圆的方程，判断

直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系；能用直线和圆的方程解决一些简单的

问题；了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置；会推导空间两点间的距离公式；初步了解用代

数方法处理几何问题的思想. ¤例题精讲：

【例 1】设直线3 4 0 x y m + + = 与圆 2 2 2 0 x y x y + + − = 相交于 P、Q两点，O为坐标原点，若OP OQ ⊥ ，

求m的值. 解：∵圆 2 2 2 0 x y x y + + − = 过原点，并且OP OQ ⊥ ，

∴ PQ是圆的直径，圆心的坐标为 1 ( 1) 2

M − ，

又 1 ( 1) 2

M − ，在直线3 4 0 x y m + + = 上， ∴ 1 3 ( ) 4 1 0 2

m × − + × + = ，解得 5 2

m = − .

【例 2】（1997上海）设圆 x 2 +y 2 －4x－5=0的弦 AB的中点为 P（3，1），则直线 AB的方程是 . 解法一：已知圆的方程为（x－2） 2 +y 2 =9，可知圆心 C的坐标是（2，0），

又知 AB弦的中点是 P（3，1），所以 kCP= 1 0 3 2

− −

=1，而 AB⊥CP，所以 kAB=－1.

故直线 AB的方程是 x+y－4=0. 解法二：设所求直线方程为 y－1=k（x－3）. 代入圆的方程，得关于 x的二次方程：

（1+k 2 ）x 2 －（6k 2 －2k+4）x+9k 2 －6k－4=0，由韦达定理：x1+x2= 2

2

6 2 4 1

k k k

− + +

=6，解得 k=－1.

解法三：设所求直线与圆交于 A、B两点，其坐标分别为 A（x1，y1）、B（x2，y2），

则有 2 2

1 1 2 2

2 2

( 2) 9

( 2) 9

x y

x y

− + =

− + = ，两式相减，得（x2+x1－4）（x2－x1）+（y2－y1）（y2+y1）=0.

又 AB的中点坐标为（3，1），∴x1+x2=6，y1+y2=2.

∴ 2 1

2 1

y y x x

− −

=－1，即 AB的斜率为－1，故所求方程为 x+y－4=0.

【例 3】长为 2a 的线段 AB 的两端点 A 和 B，分别在 x 轴和 y 轴上滑动，求

线段 AB中点的轨迹方程. 解：设线段 AB的中点坐标为 ( , ) M x y ，则点 (2 ,0) A x ， (0,2 ) B y .

由 | | 2 AB a = ，得 2 2 (2 ) (2 ) 2 x y a + = .所以，所求轨迹方程为 2 2 2 x y a + = . 点评：此解体现了求曲线轨迹方程的基本思路，先设动点的坐标，再写出题

目所满足的几何条件，然后由所写条件式列出方程，最后化简即得所求轨迹方程.

另解：∵ | | 2 AB a = ，M是 AB中点，x轴⊥y轴， ∴ 1 | | | | 2

OM AB a = = ，

即线段 AB中点M的轨迹是以原点 O为圆心， a为半径的圆. ∴ 所求轨迹方程为 2 2 2 x y a + = . 点评：由已知条件分析得出动点的轨迹，再由轨迹写出方程，这种解法类

似于数形结合思想，关键找出图形的重要特征. 【例 4】已知圆 C：（x－1） 2 ＋（y－2） 2 ＝25，直线 l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）. （1）证明：不论 m取什么实数，直线 l与圆恒交于两点；

（2）求直线被圆 C截得的弦长最小时 l的方程. 解：（1）证明：l的方程可化为（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.

∵m∈R，∴ 2 7 0

4 0 x y x y

+ − = + − =

，得 3 1

x y

= =

，即 l恒过定点 A（3，1）.

∵圆心 C（1，2），｜AC｜＝ 5 ＜5（半径），∴点 A在圆 C内，从而直线 l恒与圆 C相交于两点.

（2）弦长最小时，l⊥AC，由 kAC＝－ 1 2 ，∴l的方程为 2x－y－5=0.

点评：本题考查了圆的弦长问题，直线系的知识，进一步考查了参数思想. 解题关键是抓住图形的几何性

质，灵活运用几何知识和代数知识将条件恰当转化，推演，达到合乎逻辑、说理充分、陈述严谨.

y M(x,y)

x o A

B

y M(x,y)

x o A

B


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第 36 练第四章圆与方程复习 ※基础达标 1．（06年江苏卷）圆 2 2 ( 1) ( 3) 1 x y − + + = 的切线方程中有一个是（）.

A. x－y＝0 B. x＋y＝0 C. x＝0 D. y＝0 2．（04年天津卷）若 (2, 1) P − 为圆 2 2 ( 1) 25 x y − + = 的弦 AB的中点，则直线 AB的方程是（）.

A． 3 0 x y − − = B． 2 3 0 x y + − = C． 1 0 x y + − = D． 2 5 0 x y − − = 3．（06年陕西卷）设直线过点(0,a)，其斜率为 1, 且与圆 x 2 +y 2 =2相切，则 a 的值为（）.

A.± 2 B.±2 B.± 2 2 D.±4. 4．（06年重庆卷）以点（2，－1）为圆心且与直线3 4 5 0 x y − + = 相切的圆的方程为（）.

A. 2 2 ( 2) ( 1) 3 x y − + + = B. 2 2 ( 2) ( 1) 3 x y + + − =

C. 2 2 ( 2) ( 1) 9 x y − + + = D. 2 2 ( 2) ( 1) 3 x y + + − = 5．（06 年湖南卷）圆 2 2 4 4 10 0 x y x y + − − − = 上的点到直线 14 0 x y + − = 的最大距离与最小距离的差是

（）. A．36 B. 18 C. 6 2 D. 5 2

6．（07年湖南.文理 11）圆心为 (11) ，且与直线 4 x y + = 相切的圆的方程 .

7．（06年全国卷Ⅱ）过点 (1, 2)的直线 l将圆(x－2) 2 ＋y 2 ＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，

直线 l的斜率 k＝ . ※能力提高 8．一圆的圆心在直线 xy1=0上, 与直线 4x+3y+14=0相切, 在 3x+4y+10=0上截得弦长为 6, 求圆的方程.

9．已知圆 2 2 6 0 x y x y m + + − + = 和直线 2 3 0 x y + − = 交于 P、Q 两点且 OP⊥OQ（O 为坐标原点），求

该圆的圆心坐标及半径.

※探究创新 10．某铝制品厂在边长为 40cm的正方形铝板上割下四个半径为 20厘米的圆形（如图所示的阴影部分）．为

节约铝材，该厂打算用余下部分制作底面直径和高相等的圆柱形包装盒（接缝用料忽略不计）．问：

（1）包装盒的最大直径是多少？(精确到 0.01厘米) （2）画出你设计的剪裁图．

《新课标高中数学必修②精讲精练》——精练参考答案

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第 1练 §1.1.1柱、锥、台、球的结构特征

【第 1练】 1～5 DCDDC； 6. 2 3 4 l ； 7. 14cm .

8. 解：设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c，则 2( ) 11 4( ) 24 ab bc ac a b c

+ + = + + =

，而对角线长

2 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 6 11 5 l a b c a b c ab bc ac = + + = + + − − − = − = . 9. 解：（1）是棱柱，并且是四棱柱. 因为以长方体相对的两个面作底面都是全等的四边形，其余各面都

是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱定义. （2）截面 BCNM的上方部分是三棱柱 1 1 BB B CC M − ，下方部分是四棱柱 1 1 ABMA DCND − . 10. 解：把原料切割出所需的两种长方体而没有余料，只有

两种切法，见图(Ⅰ)和(Ⅱ). 切法(Ⅰ)切割出 12个第一种长方体和 6个第二种长方体，切法(Ⅱ)切割出 5个第一种长方体和 18个第

二种长方体. 取 3 块原料，2 块按切法(Ⅰ)切割，1 块按切法(Ⅱ)切割．得

到 29 个第一种长方体和 30 个第二种长方体．因此，取 90 块原

料，其中 60块按切法(Ⅰ)切割， 30块按切法(Ⅱ)切割，共得到 870个第一种长方体和 900个第二种长方体．至

此，没产生任何余料，但还差 30 个第一种长方体．再取 2 块原料，按切法(Ⅲ)切割(见图)，得 30 个第一种长

方体．每块原料剩下 12×3×0.1的余料．因此，为了得到这两种长方体各 900个，至少需 90＋2＝92块原料.

此时，材料的利用率为 (3 12 0.1) 2 0.2 1 1 99.9

(3 12 3.1) 92 3.1 92 × × ×

− = − ≈ % × × × ×

第 2练 §1.1.2 简单组合体的结构特征

【第 2练】 1～5 ABDBC； 6. 2 3R； 7. ①③④⑤.

8. 解：作截面，利用相似三角形知识，设正方体的棱长为 x，则 x h x a h

− = ，解得 ah x

a h =

+ 9. 解：上、下底面正方形的边长为 1 S 、 2 S ，此棱台对角面、过两相对斜高的截面都是等腰梯形，则

侧棱长为 2 2 2 1

2 2 ( ) 2 2

l S S h = − + i i = 2 2 2 1

1 ( ) 2

S S h − + ；

斜高为 ' h = 2 1 2 2 ( ) 2 2 S S

h − + = 2 2 2 1

1 ( ) 4

S S h − + .

10. 解：（1）通过观察各几何体后，得到下表：

图号顶点数棱数面数

① 8 12 6 ② 6 9 5 ③ 8 12 6 ④ 8 13 7 ⑤ 10 15 7

（2）由特殊到一般，归纳猜想得到：顶点数 V＋面数 F－棱数 E=2；

（3）该木块的顶点数为 10，面数为 7, 棱数为 15，有 10+7—15=2，与（2）中归纳的数量关系式“V+F —E=2”相符.

第 3练 §1.2.2 空间几何体的三视图

【第 3练】 1～5 DADDD； 6. 球、圆柱、圆锥等； 7. 100π，10 10 8. 解：依次从每个几何体的三个方向得到三视图，再与已知三视图比较，所

以依次为 C、A、D、B. 9. 解：该零件由一个长方体和一个半圆柱体拼接而成，并挖去了一个与该半

圆柱同心的圆柱，这个几何体的三视图如图所示.

《新课标高中数学必修②精讲精练》——精练

编者提醒：正确使用答案，认真订正错误，落实查漏补缺，提高学习成绩. 切忌抄袭答案，影响自己前途！ 74

在视图中，被挡住的轮廓线画成虚线，尺寸线用细实线标出；Φ表示直径，R表示半径；单位不注明时

按 mm计 10. 解：（1）所要正方体个数为 7、8、9、10、11都行. （2）最少 7个，其俯视图样子不唯一，如下图.

最多 11个，其俯视图如右图. （图中数字表示在该处的小正方体的个数）

第 4练 §1.2.3 空间几何体的直观图

【第 4练】 1～5 BCBBB； 6. 4 2 ； 7. ①③ 8. 解：（1）画法：如图，按如下步骤完成. 第一步，作水平放置的正方形的直观图 ABCD ，使

45 , BAD ∠ = o 2 , 1 AB cm AD cm = = . 第二步，过 A作 z′ 轴，使 90 BAz′ ∠ = o . 分别过点 , , B C D 作 z′ 轴的

平行线，在 z′ 轴及这组平行线上分别截取 2 AA BB CC DD cm ′ ′ ′ ′ = = = = . 第三步，连接 , , , A B B C C D D A ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ，所得图形就是正方体的直观图. （2）画法：如图，按如下步骤完成. 第一步，在已知的圆 O中取直径 AB所在的直线为 x轴，与 AB垂直的半径

OD所在的直线为 y轴，画出对应的 x′轴和 y′轴，使 45 x O y ′ ′ ′ ∠ = o .

第二步，在 x′轴上取O A OA O B OB ′ ′ ′ ′ = = ，，在 y′轴上取 1 2

O C OC ′ ′ = ， 1 '

2 O D OD ′ = .

第三步，圆的直观图是椭圆，把 A B C D ′ ′ ′ ′ ，，，连成椭圆，即得到圆 O的直观图. 9. 解：如图，建立直角坐标系 xoy，在 x轴上取 ' ' 1 OA O A cm = = ；

在 y轴上取 2 ' ' 2 2 OB O B cm = = ；

在过点 B的 x轴的平行线上取 ' ' 1 BC B C cm = = . 连接 O,A,B,C各点，即得到了原图形.

由作法可知，OABC为平行四边形， 2 2 8 1 3 ( ) OC OB BC cm = + = + = ,

∴ 平行四边形 OABC的周长为 (3 1) 2 8 ( ) cm + × = ，面积为 2 1 2 2 2 2 ( ) cm × = . 10. 解：该几何体类似棱台，先画底面矩形，中心轴，然后上底面矩形，连线

即成. （1）画法：如图，先画轴，依次画 x’、 y’、 z’轴，三轴相交于点 O’，使 45 x O y ′ ′ ′ ∠ = o ，

' 90 x O z ′ ′ ∠ = o . 在 z’轴上取 " 8 O O cm ′ = , 再画 x”、y” 轴. 在坐标系 x’O’y’中作直观图 ABCD，使得 AD=20cm， AB=8cm；在坐标系 x’’O’’y’’

中作直观图 A’B’C’D’，使得 A’D’=12cm，A’B’=4cm. 连接 AA’、BB’、CC’、DD’，即得到所求直观图. （2）如右图所示，延长正视图、侧视图的两腰，设两个交点到下底面的距离分别为 h、h’.

根据相似比，分别有 12 8 20

h h −

= 、 8 ' 8 16 '

h h −

= ，

解得 20, ' 16 h h = = . 由 ' h h ≠ 可知，各侧棱延长不交于一点. 所以，该几何体不是棱台.

第 5练 §1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积

【第 5练】 1～5 BAAAC； 6. 2 2 ； 7. 2 2 : 5 .

8. 解：一个侧面如右图，易知 18 8 5

2 a

− = = ， 2 2 13 5 12 h = − = .

1

1

1 1 1

1 1

1 3 1 1

1 1

1

1

1 1

3 3


75

则 2 18 8 6 12 936 ( )

2 S cm

+ = × × =

侧面积，

2 1 8 8 sin 60 ) 6 96 3 ( )

2 S cm = × × × ° × = 上底

（， 2 1 18 8 sin 60 ) 6 486 3 ( )

2 S cm = × × × ° × = 下底

（1 .

所以，表面积为 2 936 96 3 486 3 936 582 3 cm + + = + （）

9. 解：设圆柱的底面半径为 r，则 r H x R H

− = ，解得 R r R x

H = − .

∴ 圆柱的表面积 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) ( ) R R R S R x R x x Hx x

H H H π

π π = − + − = − .

由 S是 x的二次函数， ∴ 当 2 H x = 时，S取得最大值

2 RH π .

于是，当圆柱的高是已知圆锥高的一半时，它的表面积最大，最大面积为 2 RH π .

10. 解：设放入正方体后水深为 h cm. 当放入正方体后，水面刚好与正方体相平时，由 25 20 10 25 20 10 10 10 a × × = × × + × × ，解得 8 a = . 当放入正方体后，水面刚好与水箱相平时，由 25 20 30 25 20 10 10 10 a × × = × × + × × ，解得 28 a = .

所以，当 0＜ a ≤8时，放入正方体后没有被水淹没，则 25 20 25 20 10 10 h a h × × = × × + × × ，得 5 4 a h = .

当8 28 a < ≤ 时，放入正方体后被水淹没，则 25 20 25 20 10 10 10 h a × × = × × + × × ，解得 2 h a = + . 当 28 30 a < ≤ 时，放入正方体后水箱内的水将溢出，这时 30 h = .

综上可得，当

5 (0 8) 4 2 (8 28)

30 (28 30)

a a

h a a a

< ≤ = + < ≤ < ≤

.

第 6练 §1.3.1 柱体、锥体、台体的体积

【第 6练】 1～5 DBBAB； 6. 3 1 cm ； 7. ' ' ' PA PB PC

PA PB PC ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

.

8. 解：由题意有 2 2 40 1600 S cm = = 上

（）， 2 2 60 3600 ( ) S cm = = 下 ,

( ) ( ) 1 1 7600 1600 1600 3600 3600

3 3 3 V h S S S S h h = + + = × + × + = i 下下上上 .

∴ 7600 190000 75 ( ) 3

h h cm = ⇒ = . 即油槽的深度为75cm .

9. 解：设水面圆半径为 r, 水深为 h, 则有 12 1 35 17 12 5 h r −

= = −

，解得 h=7, r=13.

于是雨水体积为 V= 2 2 7 (12 12 13 13 ) 1094.33 3 π

π × × + × + = ，

降雨量为 1094.33 172

π π

≈ 3.787(cm) ，所以降雨量约为 37.9mm.

10. 解：如果按方案一，仓库的底面直径变成 16m，则仓库的体积 2 3

1 1 1 16 256

( ) 4 ( ) 3 3 2 3

V Sh m π π = = × × × = .

如果按方案二，仓库的高变成 8 m，则仓库的体积 2 3 2

1 1 12 288 ( ) 8 ( )

3 3 2 3 V Sh m π π = = × × × = .

（2）如果按方案一，仓库的底面直径变成 16 m,半径为 8 m. 棱锥的母线长为 2 2 8 4 4 5 l = + = , 则仓库的表面积 2

1 8 4 5 32 5 ( ) S m π π = × × = .

如果按方案二，仓库的高变成 8 m，棱锥的母线长为 2 2 8 6 10 l = + = ，

则仓库的表面积 2 2 6 10 60 ( ) S m π π = × × = 。

（3）∵ 2 1 V V > ， 2 1 S S < ， ∴ 方案二比方案一更加经济.



R

A ' C '

C A O

A ' B '

C ' D '

D C B A O

第 7练 §1.3.2球的体积和表面积

【第 7练】 1～5 DDCBC； 6. 1: 2 2 : 3 3； 7. 2 3 12 , 4 3 cm cm π π .

8. 解：设截面圆心为O′，连结O A ′ ，设球半径为 R ，则 2 3 2 3 2 3 2 3

O A ′ = × × = ，

在 Rt O OA ′ ∆ 中， 2 2 2 OA O A O O ′ ′ = + ，∴ 2 2 2 2 3 1 ( ) 3 4

R R = + ，∴ 4 3

R = ，

∴ 2 64 4

9 S R π π = = .

9. 解：作轴截面如图所示， 6 CC′ = ， 2 6 2 3 AC = ⋅ = ，设球半径为 R ，

则 2 2 2 R OC CC ′ = + 2 2 ( 6) ( 3) 9 = + = ，∴ 3 R = ，

∴ 2 4 36 S R π π = = 球

， 3 4 36

3 V R π π = = 球 .

10. 解：我们先推导半球的体积. 为了计算半径为 R 的半球的体积，我们先观察V 圆锥

、V 半球

、V 圆柱

这三个

量（等底等高）之间的不等关系，可以发现 V 圆锥 < V 半球 < V 圆柱

，即

3 3 1 3 R V R π π < <

半球，根据这一不等关系，我们可以猜测 3 2

3 V R π = 半球

，并

且由猜测可发现V V V = − 半球圆柱圆锥 .

下面进一步验证了猜想的可靠性. 关键是要构造一个参照体，这样的

参照体我们可以用圆柱内挖去一个圆锥构造出，如右图所示. 下面利用祖暅原理

证明猜想. 证明：用平行于平面α的任意一个平面去截这两个几何体，截面分别为圆面

和圆环面. 如果截平面与平面α的距离为 l ，那么圆面半径 2 2 r R l = − ，圆环面

的大圆半径为 R，小圆半径为 r. 因此 2 2 2 ( ) S r R l π π = = − 圆， 2 2 2 2 ( ) S R l R l π π π = − = − 环， ∴ S S = 圆环 .

根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等，即 2 2 3 1 2 3 3

V R R R R R π π π = − = i i 半球

，

所以 3 4 3

V R π = 球 .

第 8练第一章空间几何体复习

【第 8练】 1～5 DAAAB； 6. 2 4 3 cm π ，2π cm 3 7. ①⑤

8. 解： 2 2 0.85 0.75 SE = + .

所需铁板面积为 2 2 2 1 4 ( 1.5 0.85 0.75 ) 3.40 ( )

2 S m = × × × + ≈ .

9. 解：图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱. 直角梯形的上底为 1，下底为 2，高为 1；

棱柱的高为 1.可求得直角梯形的四条边的长度为 1，1，2， 2 .

所以此几何体的体积 3 1 3 (1 2) 1 1 ( )

2 2 V S h cm = = + × × = i

梯形 .

表面积 2 1 2 (1 2) 1 2 ( )

2 S S S cm = + = + × × + ×

侧面表面底（1＋1＋2＋ 2） 1=7＋ 2 .

10. 解：（1）如图 1，沿正三角形三边中点连线折起,可得一正三棱锥；

如图 2, 正三角形三个角上剪出三个相同的四边形, 其中较长的直角边为原正三角形边长的四分之一, 沿

虚线折起矩形, 可组成一正三棱柱, 而剪下的三个四边形恰可组成三棱柱的上底. （2）设正三角形边长为 2, 则

2 2 1 3 3 3 2 2 2 ( ) ( ) 3 4 2 6 12 24

V = ⋅ ⋅ − = = 锥

， 3 1 1 3 1 4 8 24 2 3

V = ⋅ ⋅ = = 柱 . ∴ V V >

柱锥 .

（3）如图 3, 分别连接三角形的内心与三个顶点, 得到三条线段, 再以这三条线段的中点为顶点得到一个

C B

A

O

O'


77

三角形(虚线表示), 以此三角形为直三棱柱的底面, 过虚线三

角形三顶点作三边的垂线, 沿 6 条垂线段裁剪三角形, 剪下的

三个四边形恰拼成上底, 即可得符合条件的之三棱柱.

第 9练 §2.1.1 平面

【第 9练】 1～5 CCBCD； 6. ①④； 7. 4 8. 证明：连结 BD 和 KF ，因为 E L 、是CD CB 、的中点，所以 // EL BD ．

又矩形 1 1 BDD B 中 // KF BD ，所以 // KF EL，

所以 KF EL 、可确定平面α ，所以 E F K L 、、、共面α ，

同理 // EH KL，故 E H K L 、、、共面 β ．

又平面α 与平面 β 都经过不共线的三点 E K L 、、，

故平面α 与平面 β 重合，所以 E、F、G、H、K、L共面于平面α ．

同理可证G α ∈ ，所以，E、F、G、H、K、L六点共面．

（证明共面问题常有如下两个方法：直接法：先确定一个平面，再证明其余元素均在这个平面上；间接法：

先证明这些元素分别在几个平面上，再证明这些平面重合．） 9. 证明：（1）根据公理 2易知 ABC ∆ 确定平面β，且与α有交线 l，根据公理 3易知，P，Q，R三点都在

直线 l上，即三点共线. （2）∵AB∥CD，∴AB，CD确定一个平面 β，易知 AB，BC，DC，AD都在 β内，由平面的性质可知四

点 E，F，G，H都在 β上，因而，E，G，G，H必都在平面 α与 β的交线上，所以四点 E，F，G，H共线. 10. 解：使过三点 M，N，D 的平面成为水平面时，容器内存水最多，至于水表面的形状，实质上就是过

M，N，D三点所作正方体的截面的形状. 连结 DM并延长 DM交 D1A1 的延长线于 P，则点 P既在截面内又在

底面 A1B1C1D1 内，连结 PN交 A1B1 于 E，连ME，ND，则过M，N，D的截面就是四边形 DMEN，易证ME∥DN 且ME ≠ DN，因而它是一个梯形.

第 10练 §2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

【第 10练】 1～5 DBDBB； 6. 60°； 7. ③④ 8. 解：分别取 AC、AD、BC的中点 P 、M 、N . 连接 PM、PN，由三角形的中位线性质知 PN∥AB，PM

∥CD，于是∠MPN就是异面直线 AB和 CD成的角，如右图所示. 连结MN、DN，设 AB=2，∴ PM=PN=1. 而 AN=DN= 3 ，则MN⊥AD，AM=1，得MN= 2，

∴ MN 2 =MP 2 +NP 2 ，∴∠MPN=90°，即异面直线 AB、CD成 90°角. 9. 证明：∵P∈EF，EF⊂ 面 ABC，∴P∈面 ABC，同理 P∈面 ADC，

∴P在面 ABC与面 ADC的交线上，又面 ABC∩面 ADC=AC，

∴P∈AC，即 EF、HG、AC三线共点. 10. 解：过点O作 a1∥a，b1∥b，则相交直线 a1、b1 确定一平面α. a1 与 b1 夹角为 50°或 130°，设直线OA

与 a1、b1 均为θ角，

故当θ<25°时，直线 l不存在；当θ=25°时，直线 l有且仅有 1条；

当 25°<θ<65°时，直线 l有且仅有 2条；

当θ=65°时，直线 l有且仅有 3条；

当 65°<θ<90°时，直线 l有且仅有 4条；

当θ=90°时，直线 l有且仅有 1条.

第 11练 §2.1.3 直线与平面、平面与平面位置关系

【第 11练】 1～5 CDDBD； 6. 平行、在平面内； 7. 2；3、4； 4、6、7、8. 8. 解：（1）证明：用反证法.设 EF与 BD不是异面直线，则 EF与 BD共面，从而 DF与 BE共面，即 AD

与 BC 共面，所以 A、B、C、D在同一平面内，这与 A是BCD 平面外的一点相矛盾. 故直线 EF与 BD 是异

面直线. （2）取 CD的中点 G，连结 EG、FG，则 EG∥BD，所以相交直线 EF与 EG所成的锐角或直角即为异面

直线 EF与 BD所成的角. 在 RtEGF中，求得∠FEG=45°，即异面直线 EF与 BD所成的角为 45°. 9. 证明：（1）假设对角线 AC、BD 在同一平面α内，则 A、B、C、D都在平面α内，这与 ABCD是空间

四边形矛盾，∴AC、BD是异面直线.

图 1 图 2 图 3



（2）∵E、H分别是 AB、AD的中点， ∴EH // 1 2 BD.

又 F、G分别是 BC、DC的三等分点，∴FG // 2 3 BD.∴EH∥FG，且 EH＜FG. ∴FE与 GH相交.

设交点为 O，又 O在 GH上，GH在平面 ADC内，∴O在平面 ADC内. 同理，O在平面 ABC内. 从而 O在平面 ADC与平面 ABC的交线 AC上. 10. 解：（1）在ABD中，P、H分别为 AB、AD的中点，即 PH为中位线.

1 // 2 // 1 // 2

PH BD PH QR

QR BD

⇒

. ∴ 四边形 PQRH为平行四边形

（2）在ABC中，P、Q为 AB、BC中点，PQ // 1 2 AC，又 PH //

1 2 BD，AC=BD.

∴ PH=PQ. ∴平行四边形 PQRH为菱形. （3） ∵AC⊥BD， ∴异面直线 AC与 BD所成角为直角. ∵ PH∥BD，PQ∥AC, ∴∠HPQ为 AC与 BD所成的角. ∴∠HPQ=90°, 即四边形 PQRH为矩形

（4）由（2）、（3）的证明可知，当 AC=BD且 AC⊥BD时，四边形 PQRH为正方形.

第 12练 §2.2.1 直线与平面平行的判定

【第 12练】 1～5 CADCA； 6. DC、D1C1、A1B1； 7. BD、AC； 12. 8. 证明：在⊿ABC中，∵ AD∶DB=AE∶EC， ∴ // BC DE . 又 ∵ , BC DE α α ⊄ ⊂ ， ∴ // BC α . 9. 解：（1）证明：∵ 在平行四边形 ABCD中，O为 AC，BD的交点，

∴ O为 BD的中点. 又 ∵ 在PBD中，E为 PB的中点，

∴ EO//PD. ∵ , EO PCD PD PCD ⊄ ⊂ 平面平面，∴ EO‖平面 PCD . （2）图中 EO还与平面 PAD平行. 10. 解：连结 AM并延长，交 CD于 E，连结 BN并延长交 CD于 F，由重心性质可知，E、F重合为一点，

且该点为 CD的中点 E，由 EM MA

= EN NB

= 1 2 得MN∥AB，

因此，MN∥平面 ABC且MN∥平面 ABD.

第 13练 §2.2.2 平面与平面平行的判定

【第 13练】 1～5 DDDCB； 6. 直线 b//平面β或直线 b在平面β内；7. （1）、（4）. 8. 证明：由已知 EF∥AB1，AB1∥DC1，DC1∥QN，⇒ EF Q ∥ N，同理 FG∥MQ，

所以，平面 EFG∥平面MNQ. 9. 证明：（1）∵正方形 ABCD中， MH⊥AB， ∴则MH∥BC， ∴ .

连结 NH，由 BF=AC，FN=AM，得 FN AH BF AB

= ， ∴ NH//AF//BE.

由 MH//BC，NH//BE， ∴平面MNH//平面 BCE. （2） ∵MN ⊂ 平面MNH，平面MNH//平面 BCE， ∴ MN∥平面 BCE. 10. 证明：分别连 PA’，PB’，PC’并延长分别交 BC，AC，AB于 D，E，F.

则 D，E，F分别是 BC，CA，AB的中点. ∴ ' 2 ' 3

PA PC PD PF

= = ， ∴ A’C’//FD.

同理 ' '// A B DE , ∴ 平面 ' ' ' A B C ABC //平面 .

(2) ∵ ' '// A B DE， ∴ ' ' ' 2 3

A B PA DE PD

= = , 又 DE= 1 2 AB.

∴ ' ' 1 3

A B AB

= ，易证 ' ' ' A B C ∆ ∽ ABC ∆ . ∴ ' ' ' : ABC A BC S S ∆ ∆

=1:9.

第 14练 §2.2.3 直线与平面平行的性质

∴

同理


79

【第 14练】 1～5 DBCDC； 6. 2 2

； 7. ③.

8. 解：（1）证明：∵ EFGH是平行四边形， ∴ EF//GH，

又 ∵ EF⊄ 平面 BDC， GH⊂ 平面 BDC， ∴ EH//平面 BDC. ∵ EF⊂ 平面 ADC，平面 ADC∩平面 BDC=DC， ∴ EF//DC，∴ CD∥平面 EFGH.

（2）截面 EFGH的面积为 1 4

S ab = .

9. 证明：如图，连结 AD交平面α 于点Q，连结MQ、QN . //

// AB

AQ BN AB ABD AB QN QD ND

ABD QN

α

α

⊂ ⇒ ⇒ = = ∩

平面

平面平面

，

// //

CD AQ AM CD ACD CD MQ QD MC

ACD MQ

α

α

⊂ ⇒ ⇒ = = ∩

平面

平面平面

，

∴ AM BN MC ND

= .

10. 解：（1）证明：设 A1B1 的中点为 F，连结 EF、FC1.

∵E为 A1B的中点，∴EF // 1 2 B1B. 又 C1M //

1 2 B1B，∴EF // MC1.

∴四边形 EMC1F为平行四边形. ∴EM∥FC1.∵EM⊄ 平面 A1B1C1D1，FC1 ⊂ 平面 A1B1C1D1，

∴EM∥平面 A1B1C1D1. （2）延长 A1N与 B1C1 交于 P，则 P∈平面 A1BMN，且 P∈平面 BB1C1C. 又∵平面 A1BMN∩平面 BB1C1C=BM， ∴P∈BM，即直线 A1N、B1C1、

BM交于一点 P. 又∵平面MNC1∥平面 BA1B1， ∴几何体MNC1—BA1B1 为棱台.

∵S = 1 2 ·2a·a=a 2 ， S = 1

2 ·a· 1

2 a= 1

4 a 2 ，

棱台MNC1—BA1B1 的高为 B1C1=2a，

V1= 1 3 ·2a· （a 2 + 2 2 1

4 a a ⋅ + 1

4 a 2 ）= 7

6 a 3 ，∴V2=2a·2a·a－ 7

6 a 3 = 17

6 a 3 . ∴ 1

2

V V

= 7 17

.

第 15练 §2.2.4 平面与平面平行的性质

【第 15练】 1～5 CDDBB； 6. ②； 7. 68或 68 3

.

8. 解：连接 BC，与平面γ交于点 E，分别连接ME、NE. 易知平面MEN//平面α，平面MEN//平面β. 由于平面 ABC、平面 BDC分别与三个平行平面相交，

所以，ME//AC，EN//BD. ∵ M是 AB的中点， ∴ E、N分别是 BC、CD的中点.

∴ 1 3

2 ME AC = = ， 1

4 2

EN BD = = ，

又 ∵ AC⊥BD，∴ ME⊥EN，所以 2 2 3 4 5 MN = + = . 9. 证明：在平面α 内取两条相交直线 , a b，

分别过 , a b作平面 , ϕ δ ，使它们分别与平面 β 交于两相交直线 , a b ′ ′，

∵ // α β ，∴ // , // a a b b ′ ′ ，

又∵ // β γ ，同理在平面γ 内存在两相交直线 , a b ′′ ′′，使得 // , // a a b b ′ ′′ ′ ′′ ，

∴ // , // a a b b ′′ ′′ ，∴ // α γ ． 10. 解：对于命题①，由于 BC固定，所以在倾斜的过程中，始终有 AD∥EH∥FG∥

BC，且平面 AEFB∥平面 DHGC，故水的部分始终呈棱柱状（四棱柱或三棱柱、五棱柱），且 BC 为棱柱的一条侧

N

A

α

B

C D

M Q

α

β

γ

b

a′

a′′

a

b′

b′′

β

α

E N M

D

B

C A



棱，命题①正确.对于命题②，当水是四棱柱或五棱柱时，水面面积与上下底面面积相等；当水是三棱柱时，则水

面面积可能变大，也可能变小，故②不正确.③是正确的（请给出证明）.④是正确的，由水的体积的不变性可证得. 综上所述，正确命题的序号是①③④.

第 16练 §2.3.1 直线与平面垂直的判定

【第 16练】 1～5 CAADC； 6. AC⊥BD； 7. ①②③④ 8. 证明：∵ 1 AA ABCD ⊥ 平面，∴ 1 A A BD ⊥ . 又∵ AC BD ⊥ ，∴ 1 BD AAF ⊥ 平面 , 得 1 A F BD ⊥ . 取 BC中点 G，连结 1 , FG BG， ∴ 1 1 // A B FG . ∵ 1 1 1 1 A B BCC B ⊥ 平面，∴ 1 1 A B BE ⊥ . 又∵正方形 1 1 BCC B 中，E,G分别为 1 , CC BC的中点， ∴ 1 BE BG ⊥ ，

∴ 1 1 BE A BGF ⊥ 平面 , 得 1 A F BE ⊥ . 又∵ EB BD B = ∩ ， ∴ 1 A F BED ⊥ 平面． 9. 解: PA ⊥ ∵ 平面 ABCD，过 E 作 EM AD ⊥ 于M ，则 EM ⊥ 平面 ABCD，连 FM ，则 EFM ∠ 为直线EF

与平面 ABCD所成的角.

2 2 2 ,

3 a EM FM AM AF = = +

2 2 2 2 3 3 a a = +

a = .

在 Rt FEM ∆ 中， 2 tan

3 EM EFM FM

∠ = = ． ∴ 2 13 sin 13

EFM ∠ = ．

10. 解：（1）证明：连结 A1C1、AC，AC和 BD交于点 O，连结 C1O，

∵四边形 ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC=CD 又∵∠BCC1=∠DCC1，C1C是公共边，∴C1BC≌C1DC，∴C1B=C1D ∵DO=OB，∴C1O⊥BD，但 AC⊥BD，AC∩C1O=O ∴BD⊥平面 AC1，又 C1C⊂ 平面 AC1，∴C1C⊥BD.

（2）由(1)知 BD⊥平面 AC1，∵A1O⊂ 平面 AC1，∴BD⊥A1C，当 1

CD CC

=1 时，平行六面体的六个面是全

等的菱形，同理可证 BC1⊥A1C，又∵BD∩BC1=B，∴A1C⊥平面 C1BD.

第 17练 §2.3.2 平面与平面垂直的判定

【第 17练】 1～5 CBCDC； 6. 60°； 7. 垂直 8. 解：连接 AG、GM、A1G. ∵ G是正ΔABC的中心，M是 BC的中点，

∴ A、G、M三点共线，且 AG:GM=2:1，AM⊥BC. ∵ 1 1 // B C BC , ∴ 1 1 AM BC ⊥ ,即 1 1 1 AG BC ⊥ , 1 1 GM BC ⊥ , ∴ 1 AGM ∠ 为二面角 1 1 1 A B C M − − 的的平面角. ∵ M是点 1 A 在平面 1 1 BB C C上的射影，即 1 AM ⊥ 平面 1 1 BB C C，∴ 1 AM ⊥ GM .

在 1 Rt AMG ∆ 中，由 1 1

1 cos

2 GM AGM AG

∠ = = ，得 1 60 AGM ∠ = ° .即二面角 1 1 1 A B C M − − 的大小是 60°.

9. 证明：（1） ∵底面 ABCD为正方形，∴ AC BD ⊥ ，又 1 DD ABCD ⊥ ，∴ 1 DD AC ⊥ . ∵ 1 BD DD D = ∩ ，∴ AC ⊥ 面 1 1 BB DD ，又∵ E 、 F 分别为 AB、 AC 的中点，

∴ // EF AC，∴ EF ⊥ 平面 1 1 BB DD . （2）∵ 1 1 BC CB为正方形，M 、 F 分别为所在边的中点， ∴ 1 1 1 C B M B BF ∆ ≅ ∆ ，

∴ 1 1 1 90 BB F C MB ° ∠ + ∠ = ， ∴ 1 1 B F C M ⊥ ，又 1 1 DC ⊥ 平面 1 1 BB CC ，

∴ 1 1 1 DC B F ⊥ ，又∵ 1 1 1 C M DC ∩ = 1 C ，∴ 1 B F ⊥ 平面 1 1 DC M . 又∵ 1 B F ⊂ 面 1 EFB ，∴ 平面 1 EFB ⊥平面 1 1 DC M .

10. 解：（1）证明：∵PA⊥底面 ABCD，CD⊂ 平面 ABCD，∴PA⊥CD. 又∵ CD⊥AD，CD⊥平面 PAD. ∴CD⊥PD. （2）证明：取 CD中点 G，连 EG、FG， ∵E、F分别是 AB、PC的中点，∴EG∥AD，FG∥PD. ∴平

面 EFG∥平面 PAD，故 EF∥平面 PAD. （3）当平面 PCD与平面 ABCD成 45°角时，直线 EF⊥面 PCD. 证明：G为 CD中点，则 EG⊥CD,由(1)知 FG⊥CD，故∠EGF为平面 PCD与平面 ABCD所成二面角的平


81

面角.即∠EGF=45°，从而得∠ADP=45°，AD=AP. 由 RtPAE≌RtCBE,得 PE=CE. 又 F是 PC的中点，∴EF⊥PC，

由 CD⊥EG，CD⊥FG，得 CD⊥平面 EFG，CD⊥EF即 EF⊥CD，故 EF⊥平面 PCD.

第 18练 §2.3.3 线面、面面垂直的性质

【第 18练】 1～5 CCDAB； 6. ②④ ；7. 外，内，垂 8. 证明：（1）连接 B1D1，则 A1C1⊥B1D1. 又有 D D1⊥A1C1，∴ A1C1⊥平面 B1 D D1，从而 A1C1⊥B1D. 同理可证：A1B⊥B1D. ∴ B1D⊥平面 A1C1B. （2）连接 BO，A1O，C1O.

由 B B1⊥A1C1，B1O⊥A1C1，得到 A1C1⊥平面 B B1O. ∴ A1C1⊥BO. 同理，A1B ⊥C1O，BC1⊥A1O. 故点 O是A1C1B的垂心. 9. 解：（1）证明：由 A1B1C1—ABC是三棱柱，∴ 四边形 B1BCC1 是矩形. 连 B1C与 BC1 交于 E，则 E为 B1C的中点，连 DE，D是 AC的中点. ∴ ED∥AB1，又 ED⊂ 平面 BDC1，AB1 ⊄ 平面 BDC1，所以 AB1∥平面 BDC1. （2）解：作 AF⊥BC，垂足为 F. ∵ 面 ABC⊥面 B1BCC1，∴ AF⊥面 B1BCC1.

连 B1F，则 B1F是 AB1 在平面 B1BCC1 内的射影. ∵ BC1⊥AB1 ， ∴BC1⊥B1F. ∵四边形 B1BCC1 是矩形， ∴∠B1BF＝∠BCC1＝90°，

又∠FB1B＝∠C1BC， ∴B1BF∽BCC1. ∴ 1

1 1

B B BF BF BC CC B B

= = ．

又 F为正三角形 ABC的 BC边的中点. 因而 B1B 2 ＝BF·BC＝1×2＝2 ，于是 B1F 2 ＝B1B 2 ＋BF 2 ＝3 ∴B1F＝ 3 ，即线段 AB1 在平面 B1BCC1 内的射影长为 3 . 10. 解：（1）证明：∵AB=AC，D是 BC的中点，∴AD⊥BC. ∵ 底面 ABC⊥平面 BB1C1C， ∴AD⊥侧面 BB1C1C, ∴AD⊥CC1. （2）证明：延长 B1A1 与 BM交于 N，连结 C1N. ∵AM=MA1，∴NA1=A1B1。 ∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1。 ∴C1N⊥C1B1. ∵底面 NB1C1⊥侧面 BB1C1C，∴C1N⊥侧面 BB1C1C. ∴截面 C1NB⊥侧面 BB1C1C， ∴截面MBC1⊥侧面 BB1C1C. （3）过M作ME⊥BC1 于 E，∵截面MBC1⊥侧面 BB1C1C, ∴ME⊥侧面 BB1C1C，

又∵AD⊥侧面 BB1C1C, ∴ME∥AD，∴M、E、D、A共面. ∵AM∥侧面 BB1C1C，∴AM∥DE. ∵CC1⊥AD，∴DE∥CC1.

∵D是 BC的中点，∴E是 BC1 的中点. ∴AM=DE= 1 1 1 2 2 CC = AA1，∴AM=MA1.

第 19练第二章点线面之间的位置关系复习

【第 19练】 1～5 BDCCD； 6. 3 4 ； 7. ②④

8. 解：在 c上截 PQ=1，a b P = ∩ 确定平面α. 过 Q作 QH⊥α于 H，过 H 作 HA⊥a于 A，HB⊥b于 B，连 QA、QB.

1 3 ,2 2

HB PB PB QBH PB QB PB QB

QH PB

⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = = ⊥

面 .

易得QPB≌QPA⇒ QHB≌QHA HB HA PH ⇒ = ⇒ 为∠APB的角

平分线 3 30 3

HPA PH ⇒ ∠ = ° ⇒ = .

∴ 3 cos 3

QPH ∠ = . 即 c与 a、 b所确定的平面α所成角的余弦值为 3 3 .

9. 解：（1）∵ PA⊥平面 ABCD，

∴AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影. 又∵AB⊥AC，AC⊂ 平面 ABCD， ∴AC⊥PB. （2）连接 BD，与 AC 相交于 O，连接 EO. ∵ABCD 是平行四边形， ∴O 是 BD 的中点



又 E 是 PD 的中点，∴EO∥PB. 又 PB⊄ 平面 AEC，EO⊂ 平面 AEC，

∴PB∥平面 AEC. （3）135 o . 10. 解：（1）过 B1C1 作底面 ABCD的垂直平面，交底面于 PQ，过 B1 作 B1G⊥PQ，垂足为 G. ∵平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1，∠A1B1C1=90°，∴AB⊥PQ，AB⊥B1P. ∴∠B1PG为所求二面角的平面角.过 C1 作 C1H⊥PQ，垂足为 H.由于相对侧面与底面所成二面角的大小相

等，故四边形 B1PQC1 为等腰梯形. ∴PG= 1 2 （b－d），

又 B1G=h， ∴tan∠B1PG= 2h b d −

（b＞d），

（2）证明：∵AB，CD是矩形 ABCD的一组对边，有 AB∥CD，

又 CD是面 ABCD与面 CDEF的交线，∴AB∥面 CDEF. ∵EF是面 ABFE与面 CDEF的交线， ∴AB∥EF. ∵AB是平面 ABCD内的一条直线，EF在平面 ABCD外， ∴EF∥面 ABCD. （Ⅲ）V 估＜V. 证明：∵a＞c，b＞d，

∴V－V 估= ( 4 ) 6 2 2 2 2 h a c b d a c b d cd ab h

+ + + + + + ⋅ ⋅ − ⋅ =

12 h ［2cd+2ab+2（a+c）（b+d）－3（a+c）（b+d）］

= 12 h （a－c）（b－d）＞0.

∴V 估＜V.

第 20练 §3.1.1 倾斜角与斜率

【第 20练】 1～5 CACCD； 6. 2； 7. 1 8. 解：如图，由直线斜率公式，可以得到：

直线 PA的斜率 3 1 4

2 1 PA k − − = = −

− ，直线 PB的斜率 2 1 3

3 1 4 PA k − − = =

− − .

由直线 l 过定点 (1,1) P 且与线段 AB相交，结合图象分析，可以得到其斜率 k 的变化范

围为 PB k k ≥ 或 PA k k ≤ ，即 3 4

k ≥ 或 4 k ≤ − .

9. 解：由物理中光的几何性质,可作 (2,1) A 关于 y轴的对称点 ( 2,1) A′ − ,并设入射点 (0, ) Q b , 则

, , A Q B ′ 三点共线, ∴ A Q BQ k k ′ = . ∴ ( ) 1 3

0 2 4 0 b b − −

= − − −

，解得 5 3

b = . ∴

5 1 1 1 3 , 0 2 3 3 AQ BQ k k

− = = − =

− .

所以，点 5 (0, )

3 Q , 入射光线、反射光线的斜率分别为 1 1

,3 3

− .

10. 解：如图，以 B为坐标原点建立直角坐标系，使得 BE在 y轴正半轴上， AB在 x轴负半轴上.

边 AC所在直线的斜率为 8 8 8 5 3 AC k = =

− ，

边 EC所在直线的斜率为 13 8 5 3 EC k = ≠ ，即 AC EC k k ≠ ，所以 A、C、D、E四点

不可能在同一条直线上.即图 2不是矩形. 所以魔术师的计算有误.

第 21练 §3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

【第 21练】 1～5 BCBBA； 6. 垂直； 7. 1. 8. 解：设 D的坐标为 ( , ) x y ，∵ , // , AD CD AD BC ⊥ ∴ 1, AD CD AD BC k k k K ⋅ = − = 且 .


83

∴

1 2 1

0 3 1 2 0 0 3 1

y y x x y x

− − ⋅ = − − − − − = − −

，解得 0 2

), 1 3

x x y y

= = = =

(舍去， ∴ D的坐标为 (2,3) .

9. 解：若∠A为直角，则 AC⊥AB， ∴ 1 AC AB k k = − i ，即 1 1 1 1

2 5 1 5 m + +

= − − −

i ，解得 7 m = − .

若∠B为直角，则 AB⊥BC， ∴ 1 AB BC k k = − i ，即 1 1 1 1

1 5 2 1 m + −

= − − −

i ，解得 3 m = .

若∠C为直角，则 AC⊥BC， ∴ 1 AC BC k k = − i ，即 1 1 1

2 5 2 1 m m + −

= − − −

i ，解得 2 m = ± .

所以， 7 m = − 或 3 m = 或 2 m = ± . 10. 解：（1）证明：设 A、B的横坐标分别为 x1、x2，由题设知 x1＞1,x2＞1, 点 A(x1,log8x1),B(x2,log8x2).

因为 A、B在过点 O的直线上，所以 8 1 8 2

1 2

log log x x x x

= , 又点 C、D的坐标分别为(x1,log2x1)、(x2,log2x2).

由于 log2x1=3log8x1,log2x2=3log8x2,则 8 1 8 2 2 1 2 2

1 1 2 2

3log 3log log log , OC OD

x x x x k k

x x x x = = = = .

由此得 kOC=kOD, 即 O、C、D在同一直线上. (2)解：由 BC平行于 x轴，有 log2x1=log8x2,又 log2x1=3log8x1

∴x2=x1 3 ，将其代入 8 1 8 2

1 2

log log x x x x

= ,得 x1 3 log8x1=3x1log8x1,

由于 x1＞1知 log8x1≠0,故 x1 3 =3x1x2= 3 ,于是 A( 3 ，log8 3 ).

第 22练 §3.2.1 直线的点斜式方程

【第 22练】 1～5 BCDDA； 6. 3 y x = − + ； 7. 3 y x = .

8.解：由已知得 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 3 y kx = − . 当 0 y = 时， 3 x k

= .

由题可知， 1 3| | ( 3) 6

2 k × × − = ，解得 3

4 k = ± ，所以直线 l 的方程为 y =± 3

4 x－3.

9. 解：（1）边 AB所在直线的方程为 1 y = .

（2）∵ AB平行于 x轴，且 ABC 在第一象限， tan 60 3 AC k = = o ， tan(180 45 ) tan 45 1 BC k = − = − = − o o o .

∴ 直线 AC 的方程为 1 3( 1) y x − = − ，即 3 3 1 y x = − + ；

直线 BC 的方程为 1 ( 5) y x − = − − ，即 6 0 x y + − = . 10. 解：所谓满意，可以认为从观礼位置看到的纵列上每个花的部分是一样的. 设观礼者居高 a 米，从观礼位置看到的纵列上每个花的部分高度为 b 米. 依题意，每列从第一个人到最后一个人（第 95人）有 94个间空，列长 192米，

则每列相邻二人平均间距约 2米.

为简单起见，不妨设位于 192米长的队列中点前后的两人间隔是 2米，则 120 (95 2) 2

a b

+ + =

设第一、二排间距为 x米，则 120 a x b x

+ = ，于是， 2 120

1.1 120 95

x × = ≈

+ （米）.

第 23练 §3.2.2 直线的两点式方程

【第 23练】 1～5 BCAAB； 6. 6 0 2 0 x y x y + − = − = 或； 7. 2 0, x y + − = 或 4 0 x y − − = . 8. 解：（1）因为直线 BC经过 B（2，1）和 C（－2，3）两点，

由两点式得直线 BC的方程为： 1 2 , 2 4 0

3 1 2 2 y x x y − −

= + − = − − −

即 .

（2）设 BC边的中点 D的坐标为 ( , ) x y ，则 2 2 1 3 0, 2,

2 2 x y − +

= = = =



BC边的中线 AD过点 A（3，0），D（0，2）两点，

由截距式得 AD所在直线的方程为 1 3 2 x y

+ = −

，即 2 3 6 0 x y − + = .

（3）直线 BC 的斜率为 1 1 2

k = − ，则 BC 边的垂直平分线 DE 的斜率 2 2 k = ，由斜截式得 DE 的方程为

2 2 y x = + ，即 2 2 0 x y − + = .

9. 解：设方程为 1 x y a b

+ = ．由已知，有 2 2 1

2 a b ab

− + = =

,

解方程组 2 2

1

2 a b

ab

− + = =

, 得 2 1 1 2

a a b b

= = − = = −

或 , 而方程组 2 2

1

2 a b ab

− + = − =

无解.

故所求方程为 1 1 2 2 x y y x + = − − = 或 , 即 2 2 0 2 2 0 x y x y + − = + + = 或 .

10. 解：（如图）在 x轴上，任取一点 P1，

作 B（2，2）关于 x轴的对称点 B1（2，－2），

连接 P1B1，P1A ，P1B，连接 AB1 交 x轴于 P，

则 1 1 1 1 1 1 P A PB PA PB AB + = + ≥ ，

又 1 1 PA PB PA PB AB + = + = ，

∴ 1 1 PA PB PA PB + ≤ + ， ∴点 P即为所求，

由直线 1 AB 的方程： 8 3 ,

2 8 2 3 y x − +

= − − +

即 2 2 0 x y + − =

0 y = 令，则 1 x = . ∴ 点 P的坐标为（1,0）.

第 24练 §3.2.3 直线的一般式方程

【第 24练】 1～5 BCDBC； 6. 2 3

− ； 7. 2 0 x y − + = ，a=10 .

8. 解：（1）由点斜式得 y－（－2）＝－ 1 2 （x－８），化成一般式得 x＋2y－４＝0.

（2）由斜截式得 y＝2，化成一般式得 y－2＝0.

（3）由截距式得 1 3 3 2

x y + =

− ，化成一般式得 2x－y－3＝0.

（4）由两点式得 2 3 4 ( 2) 5 3 y x + −

= − − − −

，化成一般式得 x＋y－1＝0.

9. 解：由 1 2 1 2 0 A A B B + = ，

（1）当 1 2 0 B B ≠ 时，有 1 2

1 2

1 A A B B

= − . 而直线 1 l 的斜率为 1 1

1

A k

B = − ，直线 2 l 的斜率为 2

2 2

A k

B = − ，所以有

1 2 1 2

1 2

( ) ( ) 1 A A

k k B B

= − × − = − ，即 1 2 l l ⊥ .

（2）当 1 2 0 B B = 时，若 1 2 0, 0 B B = ≠ ，则 1 2 0, 0 A A ≠ = ，直线 1 l 的方程化为 1

1

C x

A = − ， 1 l 平行于 y轴.

直线 2 l 的方程化为 2

2

C y

B = − ， 2 l 平行于 x轴. 所以， 1 2 l l ⊥ .

若 2 1 0, 0 B B = ≠ 时，同理可得 1 2 l l ⊥ . 若 1 2 0, 0 B B = = ，则有 1 2 0 A A = ，显然与 1 1 , A B 不同时为 0， 2 2 , A B 不

同时为 0矛盾，所以 1 2 , B B 不能同时为 0. 10. 解：（1）l1 和 l2 相交 1×3(m2)m≠0, 由 1×3(m2)m=0 m 2 2m3=0 m=1，或 m=3， ∴当 m≠1 且 m≠3时，l1 和 l2 相交.

y

o

A(－3,8)

B(2,2)

P P1

B1


85

（2）l1⊥l2 1×(m2)+m×3=0 m= 1 2 . ∴当 m= 1

2 时，l1⊥l2 .

（3） ∵ m=0时， 1 l 不平行 2 l ， ∴ 1 2 2 3 2

// 1 6

m m l l m

− ⇔ = ≠ ，解得 m=1.

（4） ∵ m=0时， 1 l 与 2 l 不重合， ∴ 1 l 与 2 l 重合时，有 2 3 2 1 6

m m m

− = = ，解得 m=3.

第 25练 §3.3.1 两条直线的交点坐标

【第 25练】 1～5 CABAB； 6. 36 4,

7 7 （）； 7.

2 3

− .

8. 解：解方程组 2 3 10 0 3 4 2 0 x y x y

− + = + − =

，得交点（2，2）.

又由 l⊥l3，且 3

3 2 l k = ，得到 2

3 l k = − ， ∴直线 l的方程为 2 2 ( 2)

3 y x − = − + ，即 2x+3y2=0.

9. 解：解方程组 2 0

3 3 0 x y x y − − =

− + = , 得

5 2 9 2

x

y

= − = −

. ∴ 直线 1 l 和 2 l 的交点为 5 9 ( , )

2 2 A − − .

在直线 1 l 上取点（2,0），设其关于直线 2 l 的对称点为(a,b).

则

0 3 1 2

2 0 3 3 0

2 2

b a a b

− × = − − + + × − + =

，解得

17 5

9 5

a

b

= − =

. 所求直线 l的方程为

9 5 2 2

9 9 17 5 5 2 5 2

y x + + =

+ − + ，即 7x+y+22=0.

10. 解：把直线方程整理为 2x+y+4+λ(x2y3)=0.

解方程组 2 4 0

2 3 0 x y x y

+ + = − − =

，得 1 2

x y

= − = −

.

即点（1，2）适合方程 2x+y+4+λ(x2y3)=0，也就是适合方程(2+λ)x+(12λ)y+43λ=0. 所以，不论λ取何实数值，直线(2+λ)x+(12λ)y+43λ=0必过定点（1，2）. （2）设经过点（1，2）的直线与两坐标轴分别交于 A（a，0）、B（0，b）.

由中点坐标公式得

0 1 2

0 2 2

a

b

+ = − + = −

，解得 a=2，b=4.

故过点（1，2）的直线方程为 1 2 4 x y

+ = − −

，即 2x+y+4=0.

第 26练 §3.3.2 两点间的距离

【第 26练】 1～5 DCADB； 6. 65 ； 7. 6 11 0 x y − + =

8. 解：∵ 8, 20, 20 AB AC BC = = = ，∴ AC BC = ，即 ABC ∆ 是等腰三角形. 9. 解： ∵ P 为直线 2 1 0 x y − − = 上的点， ∴可设 P 的坐标为 ( , 2 1) m m − ，由两点的距离公式得

2 2 2 2 2 2 ( 1) (2 1) ( 1) (2 1) PM PN m m m m + = − + − + + + − 2 10 8 4 0, m m m R = − + = ∈ .

令 2 2 2 12 12 ( ) 10 8 4 10( )

5 5 5 f m m m m = − + = − + ≥ ，∴ 2 2 1

, ( , ) 5 5 5

m P = − 时 .

10. 解：把（31，27），（35，25），（32.65，25.2），（31.4，26.9）看作平面直角坐标系中的点．

可以通过这两只鸟体长和翅长所确定的点与燕隼和红隼的平均体长和平均翅长所确定的点之间的距离的

大小来判断他们应归属于那一类．设燕隼的平均体长为 1 x ，平均翅长为 1 y ．红隼的平均体长为 2 x ，平均体长

为 2 y ．待判鸟的体长 x，翅长为 y，则它与燕隼和红隼的距离分别为 2 2 1 1 1 ( ) ( ) D x x y y = − + − ，

2 2 2 2 2 ( ) ( ) D x x y y = − + −



由此可得判别规则：若 1 2 D D > 则判此鸟为红隼， 1 2 D D < 则判此鸟为燕隼， 1 2 D D = 则表明仅用这些数据

无法给出明确的判断. 在问题中有已知物种数据： 1 1 2 2 31, 27; 35, 25 x y x y = = = = ，

还有等待分析的数据： 2 32.65, 25.2; 33.4, 26.9 A A B x y x y = = = = 由上面的模型可以得到如下的分析结果：

2 2 1 1 1 ( ) ( ) 5.9625 2.44 A A A D x x y y = − + − = ≈ , 2 2

2 2 2 ( ) ( ) 5.5625 2.36 A A A D x x y y = − + − = ≈ ； 2 2

1 1 1 ( ) ( ) 5.77 2.40 B B B D x x y y = − + − = ≈ ， 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 6.17 2.48 B B B D x x y y = − + − = ≈ .

由于 2 1 A A D D < 可知鸟 A是红隼， 1 2 B B D D < 可知鸟 B是燕隼.

第 27练 §3.3.3 点到直线的距离及两平行线距离

【第 27练】 1～5 BBCCD； 6. 5 ； 7. 5 12 20 0 x y − − = ，5 12 32 0 x y − + = .

8. 解：（1） 2 2

3 4 6 2

3 ( 4)

a d

− × − =

+ − ＝4，解得 a＝2或 a＝ 46

3 .

（2）设点 P 的坐标为 ( 3 , ) t t − ，则 ( ) 2 2

2 2

3 3 2 3

1 3

t t t t

− + − − + =

+ ，解之得 1

5 t = ± .

∴ 点 P 的坐标为 3 1 3 1 ( , ) ( , ) 5 5 5 5

− − 或 .

9. 解：由已知可求的 AC边所在直线的方程为 5 12 0 x y − + = ，AB边所在直线方程为5 12 0 x y − − = .

设 ( , ) M x y 为∠A的平分线 AD上任意一点，由角平分线的定义，得 2 2 2 2

| 5 12 | | 5 12 |

1 ( 5) 5 ( 1)

x y x y − + − − =

+ − + − .

∴ 5 12 5 12 x y x y − + = − − ，或 5 12 (5 12) x y x y − + = − − − ，即 6 y x = − + 或 y x = .

结合图形，可知 AC AD AB k k k < < ，即 1 5 5 AD k < < ，所以 6 y x = − + 舍去.

故∠A的平分线 AD所在直线的方程为 y x = .

10. 解：设点 P的坐标为（x，y），由题设有 | | 2

| | PM PN

= ，即 2 2 2 2 ( 1) 2 ( 1) x y x y + + = − + i ．

整理得 x 2 +y 2 －6x+1=0． ①

因为点 N到 PM的距离为 1，|MN|＝2，所以∠PMN＝30°，直线 PM的斜率为± 3 3

，

直线 PM的方程为 y=± 3 3

（x＋1）．②

将②式代入①式整理得 x 2 －4x＋1＝0．解得 x1＝2＋ 3 ，x2＝2－ 3 ．

代入②式得点 P的坐标为（2＋ 3 ，1＋ 3 ）或（2－ 3 ，－1＋ 3 ）；（2＋ 3 ，－1－ 3 ）或（2－ 3 ， 1－ 3 ）．

直线 PN的方程为 y=x－1或 y=－x+1．

第 28练第三章直线与方程复习

【第 28练】 1～5 CADBC 6. 7； 7. 2 2 . 8. 解：设所求直线方程为7 7 24 ( ) 0 x y x y λ + − + − = ，即 (7 ) (7 ) 24 0 x y λ λ + + − − = .

则 2 2

(7 ) 0 (7 ) 0 24 12 5 (7 ) (7 )

λ λ

λ λ

+ × + − × − =

+ + − ，解得 1 λ = ± .

∴ 所求直线方程为 4 3 12 0 3 4 12 0 x y x y + − = + − = 或 . 9. 解：（1）设点 A′的坐标为（ x′， y ′）. 因为点 A 与 A′关于直线 l 对称，所以 AA′⊥ l ，且 AA

′的中点在 l 上，而直线 l 的斜率是－3，所以 AA k ′ ′＝ 1 3 .


87

又因为 AA k ′ ＝ 4 4 1 ,

4 4 3 y y x x

′ ′ − − =

′ ′ + + 所以 .

又直线 l 的方程为 3 x＋ y －2＝0，AA′中点坐标( 4 4 ,

2 2 x y ′ ′ − + )，所以 3· 4 4

2 2 x y ′ ′ − +

+ －2＝0.

由①和②，解得 x′＝2， y ′＝6. 所以 A′点的坐标为(2，6). （2）关于点 A 对称的两直线 l 与 l ′互相平行，于是可设 l ′的方程为 3 x＋ y ＋c＝0. 在直线 l 上任取一点

M(0，2），其关于点 A 对称的点为 M′（ x′， y ′），于是 M′点在 l ′上，且 MM′的中点为点 A，由此得 0 2

4, 4 2 2

x y ′ ′ + + = − = ，即： x′＝－８， y ′＝6.

于是有M′（－８，6）.因为M′点在 l ′上，所以 3× （－８）＋6＋ c＝0，∴ c＝18. 故直线 l ′的方程为 3 x＋ y ＋18＝0 . 10. 解：以 O为原点，正东方向为 x轴的正半轴，正北方向为 y轴的正半轴，建立

如下图所示的坐标系. 设 A（－a，0）、B（b，b）（其中 a>0，b>0），

则 AB的方程为 0 0

y x a b b a

− + =

− + ，即 bx－（a+b）y+ab=0.

∵10= 2 2

| |

( )

ab

b a b + + ，

∴a 2 b 2 =100（a 2 +2b 2 +2ab）≥100（2 2 2 2 a b ⋅ +2ab）=200（1+ 2）ab. ∵ab>0， ∴ab≥200（ 2 +1）. 当且仅当“a 2 =2b 2 ”时等号成立，

而|AB|= 2 2 ( ) b a b + + = 10 ab

， ∴|AB|≥20（ 2 +1）.

当 2 2

2 2

2

10 2 2

a b

ab b a ab

=

= + + ，即

10 2(2 2)

10 2 2

a

b

= + = +

时，|AB|取最小值

此时|OA|=a=10 2(2 2) + ， |OB|=10 2(2 2) + ，

∴A、B两点的最佳位置是离市中心 O均为 10 2(2 2) + km处.

第 29练 §4.1.1 圆的标准方程

【第 29练】 1～5 DBAAB； 6. 2 2 ( 1) ( 3) 29 x y − + + = ； 7. 2 2 ( 1) ( 2) 25 x y − + − = . 8. 解：设所求圆的方程为 2 2 2 ( ) ( ) ( 0) x a y b r r − + − = > ，

则

2 2 2

2 2 2

(5 ) (2 )

(3 ) (2 ) 2 3 0

a b r a b r

a b

− + − =

− + − = − − =

，解得 4 5

10

a b

r

=

= =

. ∴ 所求圆的方程为(x4) 2 +(y5) 2 =10.

另解：由 AB为圆的弦，可知圆心 P在 AB中垂线 x=4上，

则由 2 3 0

4 x y x

− − = =

，解得圆心 P（4，5）， ∴ 半径 r=|PA|= 10 . ∴圆方程为(x4) 2 +(y5) 2 =10.

9. 解：因圆心在直线3 0 x y − = 上，故可设圆心 '( 3 ) O a a ， . 又 ∵ 圆与 x轴相切， ∴ | 3 | r a = ，从而设圆方程为 2 2 2 ( ) ( 3 ) (3 ) x a y a a − + − = .

由弦心距 | 3 | 2 | |

2 a a d a

− = = ， ∴ 2 2 2 ( 2 ) ( 7) (3 ) a a + = ，解得 1 a = ± .

当 1 a = − 时，3 3 3 a r = − = ，，圆方程为 2 2 ( 1) ( 3) 9 x y + + + = . 当 1 a = 时，3 3 3 a r = = ，，圆方程为 2 2 ( 1) ( 3) 9 x y − + − = .

10. 解：设动点 P的坐标为 P（x，y）, 由 | | | | PA PB

=a（a>0），得 2 2

2 2

( )

( )

x c y

x c y

+ +

− + =a，

化简得：（1－a 2 ）x 2 +2c（1+a 2 ）x+c 2 （1－a 2 ）+（1－a 2 ）y 2 =0.



当 a≠1时，得 x 2 + 2

2

2 (1 ) 1 c a

a +

− x+c 2 +y 2 =0. 整理得：（x－

2

2

1 1 a

a +

− c） 2 +y 2 =（ 2

2 1

ac a −

） 2 . 当 a=1时，化简得 x=0.

所以当 a≠1时，P点的轨迹是以（ 2

2

1 1

a a

+ − c，0）为圆心，| 2

2 1

ac a −

|为半径的圆；

当 a=1时，P点的轨迹为 y轴.

第 30练 §4.1.2 圆的一般方程

【第 30练】 1～5 DBDBA； 6. 2 2 1 1 ( )

2 4 x y − + = （x≠0）； 7. . x+y－4=0.

8. 解：设所求圆的方程为 2 2 0 x y Dx Ey F + + + + = ，

∵ (1, 1) A − 、 (1, 4) B 、 (4, 2) C − 三点在圆上，代入圆的方程并化简，得 2

4 17 4 2 20

D E F D E F D E F

− + = − + + = − − + = −

，解得 D＝－7，E＝－3，F＝2.

∴ 所求圆的方程为 2 2 7 3 2 0 x y x y + − − + = .

9. 解：设 ( , ) M x y 是曲线上的任意一点，∵ 点M到点 O、A的距离之比为 1 2 ，

∴ 2 2

2 2

1 2 ( 3)

x y

x y

+ =

− + ，化简得 2 2 2 3 0 x y x + + − = .

10. 解：连 OQ，则由 OQ⊥MQ，AP⊥MQ得 OQ∥AP. 同理，OA∥PQ. 又 OA=OQ, ∴ OAPQ为菱形, ∴ |PA|=|OA|=2.

设 P(x，y)，Q(x0，y0)，则 0

0 2 x x y y

= = −

.

又 x0 2 +y0 2 =4， ∴ x 2 +(y2) 2 =4（x≠0）.

第 31练 §4.2.1 直线与圆的位置关系

【第 31练】 1～5 ADDCD； 6. 2 2 ； 7. 4± 5 . 8. 解：如图所示，

由 2 2

3 2 3 0

4 x y

x y

+ − =

+ = , 消 y得：x 2 －3x+2=0, ∴x1=2，x2=1.

∴ A（2，0），B（1， 3 ）. ∴|AB|= 2 2 (2 1) (0 3) − + − =2. 又|OB|＝|OA|=2, ∴AOB是等边三角形，∴∠AOB= 60° . 9. 解：（1）当斜率 k不存在时, 过点 P的直线方程为 3 x = − , 代入 2 2 25 x y + = ,得 1 2 4, 4 y y = = − . ∴ 弦长为 1 2 | | 8 y y − = , 符合题意.

（2）当斜率 k存在时, 设所求方程为 3 ( 3)

2 y k x + = + , 即 3

3 0 2

kx y k − + − = .

由已知, 弦心距 2 2 5 4 3 OM = − = ， ∴ 2

| 0 0 3 3 / 2 | 3

1

k k

k

⋅ − + − =

+ , 解得 3

4 k = − .

所以，此直线方程为 ( ) 3 3 3

2 4 y x + = − + , 即3 4 15 0 x y + + = .

所以所求直线方程为 3 0 x + = 或3 4 15 0 x y + + = . 10. 解：设圆的方程为（x－a） 2 +（y－b） 2 =r 2 . 令 x=0，得 y 2 －2by+b 2 +a 2 －r 2 =0.

|y1－y2|= 2 2 2 1 2 1 2 ( ) 4 2 y y y y r a + − = − =2，得 r 2 =a 2 +1①

令 y=0，得 x 2 －2ax+a 2 +b 2 －r 2 =0， |x1－x2|= 2 2 2 1 2 1 2 ( ) 4 2 2 x x x x r b r + − = − = ，得 r 2 =2b 2 ②

由①、②，得 2b 2 －a 2 =1.


89

又因为 P（a，b）到直线 x－2y=0的距离为 5 5

，得 d= | 2 | 5 5 5

a b − = ，即 a－2b=±1.

综上可得 2 2 2 1 2 1

b a a b

− =

− = 或

2 2 2 1 2 1

b a a b

− =

− = − ，解得

1 1

a b

= − = −

或 1 1

a b

= =

. 于是 r 2 =2b 2 =2.

所求圆的方程为（x+1） 2 +（y+1） 2 =2或（x－1） 2 +（y－1） 2 =2.

第 32练 §4.2.2 圆与圆的位置关系

【第 32练】 1～5 CBCCB； 6. x+y+2=0 ； 7. 3或 7 . 8. 解：将方程 2 2 2 4 1 0 x y x y + − + + = 配方，得 2 2 1 2 4 x y − + + = （）（），所以所求圆的圆心为（1，2）.

又∵所求圆与直线 2 1 0 x y − + = 相切，∴圆的半径 2 2

2 1 2 1 5

2 1 r

× + + = =

+ − （），

∴所求圆的方程 2 2 ( 1) ( 2) 5 x y − + + = . 9. 解：圆方程可化为 2 2 ( 2) ( 6) 1 x y + + − = , 圆心 C(2,6), 半径为 1. 设对称圆圆心为 ' ( , ) C a b ，则 C ‘

与 C

关于直线3 4 5 0 x y − − = 对称，因此有

2 6 3 4 5 0 2 2 6 3 1 2 4

a b

b a

− + − − = − = − +

i i

i , 解得

32 5 26 5

a

b

= = −

.

∴ 所求圆的方程为 2 2 32 26 ( ) ( ) 1

5 5 x y − + + = .

10. 解：设地球和月球的半径分别为 R、r，球心距为 d，以地球、月球球心连

线的中点为原点，连线所在直线为 x轴，建立平面直角坐标系（如图）.

设地球大圆圆心 1 ( ,0) 2 d O − ，月球大圆圆心 2 ( ,0)

2 d O ，轨道上任一点 ( , ) M x y ，

从M点向圆 1 O 作切线，切点为 A，从M点向圆 2 O 作切线，切点为 B，

由题意知， 1 2 OMA O MB ∠ = ∠ ，∴ 1 Rt OMA ∆ ∽ 2 Rt O MB ∆

∴ 1

1

| | | | MO O A

＝ 2

2

| | | | MO O B

，∴ 2

1 2

| | MOR

＝ 2

22

| | MO r

，即 2 2

2

( )2 d x y

R

+ + ＝

2 2

2

( )2 d x y

r

− + ，

整理得 2 2 2

2 2 2 2

( ) 0 4

d R r d x y x R r

+ + − + =

− .

∴ 满足条件的宇宙飞船的运行轨道为圆 2 2 2

2 2 2 2

( ) 0 4

d R r d x y x R r

+ + − + =

− .

第 33练 §4.2.3 直线与圆的方程的应用

【第 33练】 1～5 CBACC； 6. 2 2 4 x y + = ； 7. ( 5, 2] − − . 8.解：方程 2 2 4 3 0 x y x + + + = 化为 2 2 ( 2) 1 x y + + = ，其几何意义为：以 (2,0) C 为圆心，1为半径的圆.

设 2 1

y k x

− =

− ，其几何意义为：圆 C上的点 ( , ) P x y 与点 (1, 2) Q 连线的斜率.

将 2 1

y k x

− =

− 变形为 : 2 0 PQ kx y k − − + = ，则

圆心到直线 PQ的距离 2

| 2 2 | 1

1

k k d k

− − + = ≤

+ ，解得 3 3 3 3

4 4 k − +

≤ ≤ .

∴ 2 1

y x

− −

的值域为 3 3 3 3 [ , ] 4 4

− + .

9. 解：(1)由 1 1 2 2

S AB h AB BC = = i i ，得 6 8 4.8

10 AC BC h AB

× = = =

i .

（2）∵NF∥AB，∴CNF∽CAB，∴ h DN NF h AB

− = .



∴ 10(4.8 ) 4.8

x NF −

= ， 2 10(4.8 ) 25 10

4.8 12 DEFN x S x x x −

= = − + i .

∴当 x＝2.4时， DEFN S 的值最大．

（3）当 DEFN S 最大时 x=2.4，此时 F为 BC中点．

在 RtFEB中，EF＝2.4，BF＝3， ∴ 2 2 2 2 3 2.4 1.8 BE BF EF = − = − = . 又 BM=1.85＞BE，故大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案. 又∵ 当 x＝2.4时，DE＝5，∴ AD＝3.2. 由圆的对称性知满足题设条件的另外设计方案是如图（2），此时，AC＝6，AD＝1.8，BD＝8.2，此方案满

足条件且能避开大树． 10. 解：画出正常水位时的桥、船的示意图如图 1；涨水后桥、船的示意图如图 2．以正常水位时河道中

央为原点，建立如图 2所示的坐标系．

设桥拱圆顶的圆心 O1(0，y1)，桥拱半径为 r，则桥拱圆顶在坐标系中的方程为 x 2 +(yy1) 2 =r 2 . 桥拱最高点 B的坐标为(0，9)，桥拱与原始水线的交点 A的坐标为(11，

0)．圆 O1 过点 A，B，因此 0 2 +(9y1) 2 =r 2 ，11 2 +(0y1) 2 =r 2 ，

两式相减后得 121+18y181=0， y1= 20 9

≈2.22；

回代到两个方程之一，即可解出 r≈11.22．

所以桥拱圆顶的方程是 x 2 +(y+2.22) 2 =125.94．

当船行驶在河道的正中央时，船顶最宽处角点 C的坐标为(2，y)．使船

能通过桥洞的最低要求，是点 C 正好在圆 O1 上，即 2 2 +(y+2.22) 2 =125.94，

解出 y≈8.82．

扣除水面上涨的 2.70，点 C距水面为 8.82－2.70=6.12．

∴船身在水面以上原高 6.5，为使船能通过桥洞，应降低船身 6.5－6.12=0.38(m)以上

第 34练 §4.3.1 空间直角坐标系

【第 34练】 1～5 CDABA； 6. ( 1, 3, 5) − − − ； 7. 1 2 2 2 1 2 ( , , ) 2 2 2

x x y y z z + + + .

8. 解：由 (0,0, ) A a 及∠ADB=30°，得到点 D坐标 (0, 3 ,0) a .

又 BC=CD，∠BCD=90°，得 3 3 ( , ,0) 2 2

C a a .

由 E、F分别是 AC、AD的中点，得 3 3 ( , , ) 4 4 2

a E a a ， 3 (0, , ) 2 2

a F a .

9. 解：点 (1, 2,3) M − 关于平面 xOy 、平面 yOz 、平面 xOz的对称点的坐标分别

是 (1, 2, 3) − − 、 ( 1, 2,3) − − 、 (1, 2,3) . 点 (1, 2,3) M − 关于 x轴、y轴、z轴、原点的对称点的坐标分别是 (1, 2, 3) − 、

( 1, 2, 3) − − − 、 ( 1,2,3) − 、 ( 1,2, 3) − − . 10. 解：所求直线的方程为 x=2, 且 y=3.

第 35练 §4.3.2 空间两点间的距离公式

【第 35练】 1～5 BABBA； 6. 4π ； 7. 34 . 8. 解：（1）B(0,2，0)或 B(0,8，0). （2）(1,2，5) 9. 解：设点M的坐标为 ( ,0, ) x z ，则有

2 2 2 2 2 2 ( 1) (0 2) ( 1) ( 2) (0 0) ( 2) x z x z − + − + + = − + − + − ，

化简得 2 6 2 0 x z + − = ，即 3 1 0 x z + − = . 所以，点M的轨迹是 xOz平面内的一条直线. 10. 解：设点 P的坐标为(x, y, z)， ∵点 P在坐标平面 xOy内，∴z=0.

∵ |PA|=5，∴ 2 2 2 ( 1) ( 2) ( 4) 5 x y z + + − + − = ，即 2 ( 1) x + 2 ( 2) y + − 2 ( 4) z + − =25，

∴点 P在以点 A为球心，半径为 5的球面上，

∴点 P的轨迹是坐标平面 xOy与以点 A 为球心，半径为 5 的球面的交线，即在坐标平面 xOy内的圆，且


91

此圆的圆心即为 A点在坐标平面 xOy上射影 A′ (1,2，0). ∵点 A到坐标平面 xOy的距离为 4，球面半径为 5，

∴在坐标平面 xOy内的圆 A′ 的半径为 3，

∴点 P的轨迹是圆 2 ( 1) x + 2 ( 2) y + − =9，z=0.

第 36练第四章圆与方程复习

【第 36练】 1～5 CABCC； 6. 2 2 ( 1) ( 1) 2 x y − + − = ； 7. 2 2

.

8. 解：由圆心在直线 xy1=0上, 可设圆心为（a,a1）,半径为 r, 由题意可得

( )

( ) 2

2

4 3 1 14 5

3 4 1 10 9

5

a a r

a a r

+ − + =

+ − + = +

, 经计算得 a=2, r=5. 所以所求圆的方程为（x2） 2 +（y1） 2 =25

9. 解：将 3 2 x y = − 代入方程 2 2 6 0 x y x y m + + − + = ，得 2 5 20 12 0 y y m − + + =

设 1, 1 ( ) P x y 、Q 2, 2 ( ) Q x y ，则 1, 2 y y 满足条件： 1 2 1 2 12

4, 5

m y y y y + + = =

∵ OP⊥OQ, ∴ 1 OP OQ k k = − i ，即 1 2

1 2

1 y y x x

= − i ，从而 1 2 1 2 0, x x y y + =

又 1 1 3 2 x y = − ， 2 2 3 2 x y = − ，∴ ( ) 1 2 1 2 1 2 9 6 4 x x y y y y = − + + ，

∴m=3，此时Δ>0，圆心坐标为（ 1 2 ，3），半径 5

2 r = .

10. 解：如图建立直角坐标系，依题意，若使圆柱底面直径最大，应如图所示

剪裁．设底面半径为 r，由于 2r为圆柱的高，故 AD＝2r，AB＝2πr，于是 A点的

坐标为(πr，r)．

∴ AC的直线方程为 1 y x π

= ①；

⊙O′的方程为：(x－20) 2 ＋(y－20) 2 ＝20 2 ②. 将①代入②，得 (πy－20) 2 ＋(y－20) 2 ＝20 2 ，

求解得 y1≈3.01(cm)，y2≈12.23(cm)(舍去)． ∴ r≈3.01(cm)．

于是 O″(0，6.02)，O′(20，20)，

∴ 2 2 | ' '' | 20 (20 6.02) 24.40 ( ) O O cm = + − ≈ . 而 r＋20＝23.01＜24.41，

所以，在裁下矩形 ABCD后，可在余下部分裁下两个半径为 3.01的圆(⊙O″)．这样，每块余料做一圆柱

形(直径与高相等)的包装盒，底面最大直径是 6.02(cm)．

· 精讲精练 《新课标高中数学精讲精练》 丛书主编 徐山洪 编 委 谢柏芳...

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