紙張實驗室量測作業 之不確定度探討 · 2.1 建立數學模式：...
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紙張實驗室量測作業
之不確定度探討-以厚度量測為例
吳惠敏
摘要
「量測不確定度」的概念，由國際標準組織（ISO）於 1993年在國際間推廣，國內亦自
1999年由 CNLA（TAF）將 ISO GUM概念導入認證系統，因此「量測不確定度」對許多從
事量測、校正人員來說，並不是個陌生的名詞。本文希望透過量測不確定度的發展與誤差之
差異探討來釐清「量測不確定度」觀念上容易被誤用的部份，並藉由 ISO GUM指引方法進
行物理量量測—厚度的計算，提供相關人員在進行「量測不確定度」估算時的參考。
關鍵詞 :量測不確定度、ISO GUM、厚度量測。
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1. 前言
隨著全球貿易的流通，各種交易已由
國內擴展至全球，面對貿易自由化，評估
產品（或程序）品質多採用量測方式；然
而量測之間的標準如何訂定，何謂標準？
標準如何認定？測試實驗室之間所採用的
「共同的語言」就顯得格外重要。
量測的結果通常不會是一個不變的數
值，隨著不同的量測環境、儀器、引用的
方法及人員等因素，都會產生不同的結
果。長久以來，許多國際組織都致力於將
這些量測變異加以標準化。1993年，國際
標準化組織（ISO）等七個單位聯合訂定了
「量測不確定度表示方式指引（Guide of the
Expression of Uncertainty in Measurement,
GUM）」，建立了在量測中評定和表達不確
定度的一般規則。對於實驗室量測運作
上，量測結果的陳述如何與不同實驗室間
的量測結果進行比較，「量測不確定度」的
陳述成為一項不可或缺的工具。
1.1 發展
自古人們視「量測」為評價事物較客
觀的一種方式。柏拉圖：「消除感官錯覺最
好的方式就是量測、計數與稱量」。然而，
隨著數學、科學的發展，科學家們發現同
一個「量測」行為中仍隱藏著變異量，進
而開始探討變異的發生與來源。
1794年，德國數學家高斯（C.F.Gauss）
首次提出最小平方法原理；同期，法國數
學家勒居德爾（A. M. Legendre）也於 1805
年在其著作「決定慧星軌道的新方法」中
應用最小平方法處理觀察結果，為量測數
據處理奠定了理論基礎；前蘇聯科學家瑪
利柯夫在 1949年出版的「計量學基礎」，
使用系統性的統計方式評估誤差，這時期
為「古典誤差理論」。然而，用量測誤差來
表達量測結果可靠程度的方法由於真值的
相對性與理論性，導致量測誤差無法確
定，使得古典誤差理論難以適應現代量測
的要求。
1970 年代，由 Eisenhart 所撰「Realistic
Evaluation Calibration Systems」論文中提出
評估量測不確定度的方法，帶動了以統計
方法評估量測不確定度的方向； 1973年，
J.E.Burns在「誤差與不確定度」一文中正
式提出”不確定度”一詞；並陸續發展了
誤差分離與修正技術、動態量測誤差的評
定等理論，形成了較完整的現代誤差理論
系統。
量測不確定度系統的運用始於 1963年
美國國家標準局（NBS）的 Eisenhart在研
究「儀器校正系統的精密度和準確度的評
估」時提出了以定量表示不確定度的建
議，也因為 NBS的研究和推廣使得「不確
定度」這個術語逐漸在量測領域內被廣泛
應用與接受，但表示方法各不相同。1980
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表 1、量測不確定度與誤差的區別
誤差 量測不確定度
意 涵 量測結果偏離真值的程度 量測結果的分散性程度
符 號 正值或負值 恆為正值
分 類 系統誤差、隨機誤差和粗大誤差 A 類評估和 B 類評估
表示符號 無規定 規定用 u、uc、U、U
p表示
自 由 度 一般不需要考量 需要考慮
組合方式 代數和或均方根 均方根
主客觀性 客觀存在：不因人的了解程度改變 與人們對被量測與量測過程的了解有關
修 正 性 可用系統誤差的估計值修正量測結果 無法用不確定度對量測結果進行修正
操 作 性 真值未知，誤差無法確切求得 可用統計方法評定不確定度
信賴水準 不需要且不存在 需要且存在
與分佈的關係 無關 有關
與真值的關係 有關 無關
與量測條件的關係 無關 有關
表格來源 : 方冠權、郭晃銘、蔡森南，「材料抗拉強度量測不確定度與誤差分析問題的探討」
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年由國際度量衡局（BIPM）組成之工作小
組提出「BIPM方法」，結合統計與非統計
方法，使量測不確定度的分析與運用層面
較以往更廣。最後由國際標準化組織
（ISO）等七個單位於 1993年，協商制定了
「量測不確定度表示方式指引（Guide of the
Expression of Uncertainty in Measurement,
GUM）」，成為目前量測估算不確定度之指
引。
在國內，ISO GUM的概念由 CNLA
（TAF）於 1989年引進，1992年開始推廣；
於 1999年正式將 ISO GUM概念導入認證
系統中，要求所有的認可實驗室採用 ISO
GUM為量測不確定度的表示方法指引。自
此，欲通過認可之實驗室皆需將測試項目
之量測系統不確定度加以評估並書面之。
1.2 量測不確定度與誤差
量測所得到的數值究竟代表什麼？事
實上，量測不論是由任何儀器、方法或經
驗判斷所得結果，都只是「真值」的近似
值或估計值而已。不同的只是，這個數值
包含了多少的誤差、在什麼範圍下可被接
受、可靠度有多少⋯。這些所有的因子即
構成「量測不確定度」。
通常，量測不確定度與誤差的概念容
易被混淆。前者指的是測量結果的分散程
度，後者指的是與真值間偏差的大小。量
測不確定度所表示的值，使我們知道量測
值是集中還是分散，亦可知道量測值可能
的分佈範圍。簡單來說，量測不確定度包
含誤差來源的計算，而誤差卻無法包含量
測不確定度的所有概念。也就是說，量測
不確定度是以科學的程序估算被量測值的
分散性及量測結果相關連的參數，其大小
決定了量測結果的使用價值，不確定度越
小，量測結果質量越高，使用價值也越
大。
量測系統中的「不確定度」根據 ISO
GUM將不確定度分為兩類：
A 類是統計方法評估出來的，用變異
數、標準偏差與自由度表示。可由重複量
測而得，次數越多可降低此類不確定度。
B 類則是用可能的變異模式或合理的
機率分佈推算而來。如儀具本身的解析
度、工件之品質、稱量瓶本身的誤差等測
量中存在量測不確定度之任何物品。
對各項的不確定因子，以變異數的方
式表示，再以變異數加成的方式組合，後
以標準偏差的型式表示組合不確定度；在
應用上，最後的組合不確定度會考量信心
水準，再乘上擴充係數，即是量測不確定
度。
2. 量測不確定度的評估程序
目前國際間通用的量測不確定評估方
法，是國際標準組織（ISO）在 1993年與
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國際度量衡委員會 CIPM，依其「CIPM原
則」訂定，並於 1995年頒布之。
根據 1995年版「ISO 量測不確定度表
示指引」及結合 2000年版的 Eurachem/
CITAC Guide中提供的評估流程；如果測試
過程中每一個量測值、相關的參數值間都
相互獨立，則可依以下程序估算之：
2.1 建立數學模式：
首先要根據測試方法、操作步驟與計
算公式等，決定待測量及相關參數 X1 , X2 ,
X3 ⋯ , XN ，並從中導出數學模式
y = f （xi｜ in
= 1）
= （ x1, x2, x3, ⋯⋯⋯ xn）
2.2 確定量測系統中的不確定因子：
常用的分析工具是以「特性要因圖
（魚骨圖）」（圖 1）找出各種可能的不確定
因子，一般利用 5W&1H的原則掌握大部
分的影響因子。就紙張實驗室常見的因子
有溫溼度變化、儀器精度、紙張橫 /縱向、
校正品精度、操作偏差及其他的隨機因
素。
2.3 評估 Xi的標準不確定度：
1. A類不確定度：此類評估方式適用於
量測的隨機性與重複性所產生的可能變異，
在確定單一量測數值為重複且獨立後，由其
量測數值與常態所推導計算而得。分析估算
的步驟如下：
（1）重複測試 n次。
（2）計算量測平均值：X
（3）計算量測值標準差：S（若σ未
知時，可用 S取代σ）
Sx ＝〔 （Xi － X）2/n-1〕1/2，ESDM
實驗標準差 SX＝ Sx /√n。
（4）計算標準不確定度（平均值的標
準差）：S/√n
此部份強調重複測試次數對此類不確
定度的消弭。從統計的角度，若已知母體
為常態分布，則無論測試次數為何，常態
分佈皆不影響；但若 n≧ 30，無論母體本
質為何，因符合中央極限定律，均歸屬常
態分佈。
圖 1 不確定度因子分析 -特性要因圖
量測方法（How）
量測設備（What）
待測物（Which）
量測環境（Where）
量測原理（原理、定義）
量 測不確定度
量測人員（Who）
量測時間（When）
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但若實驗樣本的數量很少（或大多為
破壞性試驗），則將結果 y及 uc（y）視為
近似常態分佈並不合理。因此在統計上，
應以 t分配來計算更為恰當。也就是說，從
重複測試 n次的測試中，求得平均值 X，
再計算平均值的標準差 S/√n，此時自由度
為 n－ 1。當考量為 t分配估算時，則在擴
充係數的選擇上需加以估算有效自由度
Veff。
2. B類不確定度（u（Xi））：此類評估
的方式乃以經驗上的機率分配來估算，如
儀器操作規格或說明書、參考之標準或文
件（如 CNS、ISO）、實驗室先前累積之資
訊、函數換算之計算等。常見的三種機率
分配如下（圖 2）：
1.矩形分配（最常見）：具有每一區間
內誤差均勻存在之特性，如儀具的解析度
（Resolution）、準確度（Accuracy）、遲滯
性（Hysteresis）、進位誤差（Round off）、
最大允許範圍（Maximun bound）等。
u（Xi）=H/√3 H：全距的 1/2
2.三角形分配（常見）：最大允許範圍
或誤差，依量測或經驗可得知較集中於中
心而不集中於邊界者，如化學領域中的定
容器、量瓶等。
u（Xi）=H/√6 H：全距的 1/2
3.若能從儀器的校正報告中查出擴充
不確定度 U及信賴水準為 P％或擴充係數
為 K，則可依常態基率分配之特性計算標
準差。
u（Xi）=U/k
此時的自由度則依技術人員以經驗判
表 2、B類不確定度之自由度評估
相對不信賴評估自由度
（1/2）（100/R）2％
0 ∞
10 50
20 12.5
25 8
33 4.5
50 2
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斷對其因子的不信賴度來估算（表 2）。
圖 2、B類不確定度常見的機率分佈（資料來源：何達仁，校正曲線的不確定度評估，2004）
2.4 組合標準不確定度：
若數學方程式中所有之量測值、相關
參數等，每一個影響因素均為相互獨立，
則根據不確定度傳播定律（The law of
propagation of Uncertainty ）可運用表 3推導
出「組合標準不確定度：uc（y）」：
Uc（y）＝ 〔（c1×u1）2 ＋（c2×u2）
2
＋（c3×u3）2＋⋯〕1/2
Uc2 （y）= u2（xi）
其中，δy／δxi代表靈敏係數，u（xi）
代表每一獨立因素所具有之標準不確定
表 3、 組合標準不確定度計算表
不確定因子 不確定度 機率分配 分配係數 標準不確定度 敏感係數 Ui × C
i（U
i × C
i）2
∑（Ui × C
i）2=
uf =
來源：TAF-CNLA-G03（1），測試結果與量測不確定評估指引
度。靈敏係數是指當某一因子變動時，量
測結果所受到的影響，通常可由經驗法則
得知，例如在紙張之耐折測試（Double
Folding）時，溼度變化的影響；而在所有
因子的影響一致下，靈敏係數為 1。
2.5 擴充不確定度與信心水準：
如果不是要求特別嚴格的話，通常將
測試系統視為一個常態分配的特性。亦即
在 95％信心水準下，使用擴充係數 k=2來
計算；在 99％信心水準下，使用擴充係數
k=3來計算。擴充不確定度 U之估算為：
U = k × uc（y）
若樣本數少時，則以 t分配來估算。在
決定擴充係數時，須先定義一個 有 效
自由度 Veff，使該變數可以近似 t分配，而
有效自由度可以以Welch-Satterhwaite的公
式求得，有效自由度化為整數後，對照 t分
配表，得出擴充係數。
Veff ＝
Veff ＝
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2.6 結果的闡明：
說明在 P％信心水準下，擴充不確定度
為 U，或是在信心水準為 P％下，信賴區間
為 y－ U至 y＋ U，並陳述所使用的規範
及評估方法。值得一提的是為了使結果報
告的呈現精簡易懂，在不影響量測結果信
心下，ISO建議不確定度應修整至適當的有
效位數，一般而言為兩位有效位數。
3. 紙張實驗室之量測作業範例－厚度量測
3.1 前言
本報告指在說明本實驗室依照 1995年
版 ISO量測不確定度表示指引，分析評估
本實驗是依照 CNS 3685 P3028執行紙張厚
度試驗之量測不確定度的分析方法與評估
結果。
3.2 試驗作業說明
一般紙張厚度試驗程序如下：
1.本實驗以厚度 0.12mm標準片作為量
測試片 。
2.試驗環境 20℃，65％ R.H.。
3.以 TMI 49-70-01-0001厚度計進行量
測，量測前已先進行歸零。
4.測試試片共測試 20點。
由於本試驗以自動化儀器測試，故只
要技術人員依儀器標準作業程序操作，可
合理推測其對結果所造成的誤差很小，可
忽略不計。環境溫濕度造成的影響，因量
測環境經嚴謹的控制，亦可忽略不計。
試驗機不確定因子的來源分析有：
1.標準片的不確定度。
2.試驗機的準確度。
3.試驗機解析度。
4.重複試驗的變異。
3.3 試驗之不確定度評估數學模式
以 H表示厚度試驗的量測值，並假設
每次試驗值讀值均為 h，則可表示為 H=h，
再加上三項應修正之變異：
Es 標準試片的本身的不確定度
Emr 試驗機解析度所產生的變異
Emv 試驗機準確度所產生的變異
Erp 試驗機重複量測時所產生的變異
修正為：
H = h ＋ Es ＋ Emr ＋ Emv ＋ Erp
再依據量測不確定度傳播定律
uH2 ＝ uh
2 ＋ uEs2 ＋ uEmr
2 ＋ uEmv2＋ uErp
2
3.4 分項標準不確定度評估
3.4.1 標準試片之不確定度 uEs
本項變異係由標準試片本身之均質性
所影響。所使用之 0.12mm標準試片，其校
正報告上為 95％ 信賴水準，擴充係數為
2.0，不確定度為 0.00006mm，若引用校正
報告上之不確定度數值來計算，則標準不
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確定度為：
uEs ＝ U/k ＝ 0.00006/2.0 ＝ 0.00003
3.4.2 試驗機因解析度限制所產生的變異 uEmr
解析度為 0.001mm，呈矩形分佈，其
半寬為 0.0005，則標準不確定度為：
uEmr ＝ 0.0005 / √3 ＝ 0.000289
3.4.3 試驗機準確度（容許誤差）所產生的
變異 uEmv
查閱儀器手冊，出廠測試以 Gauge
block在 0.10~0.254mm時，容許誤差為±
0.003mm，按矩形分佈，則標準不確定度
為：
uEmv ＝ 0.003 / √3 ＝ 0.00173
3.4.4 試驗機重複量測時所產生的變異 uErp
以試驗機對標準試片重複試驗 20次，
測得以下數據：
得到平均值：0.12055，標準差為
0.000589 ，則標準不確定度為：
uErp ＝ S/ √n＝0.000589/ ＝0.000186
3.5. 組合標準不確定度
將各項標準不確定與敏感係數帶入，
計算組合組合不確定度，如表 5所示，組
合標準不確定度計算結果為 0.0017（mm）。
3.6 擴充不確定度
在 95％信心水準下，擴充係數 k=2
時，擴充不確定度為 0.0017×2＝ 0.0034
（mm）。
4. 結論
在現今社會，從產品的製程、產出到
商品的販售、流通、出口等，皆需仰賴
「量測」作業的進行，因此測試 /校正實驗
室之測試能力與量測值間的溝通能力顯得
格外的重要。量測不確定的估算，目前在
國際間已廣被接受與運用，雖然對於不同
的量測系統（化學量測、物理量測），目前
量測不確定度評估程序，雖有不足或需補
正之處，但卻是目前唯一在測試 /校正實驗
室間唯一的「共通語言」。因此如何分析評
估量測結果之不確定度，是測試分析 /校正
人員需積極了解與研究的課題。
表 4、量測數值表
0.122 0.121 0.121 0.121 0.120
0.120 0.120 0.121 0.121 0.120
0.121 0.121 0.121 0.121 0.120
0.120 0.120 0.120 0.120 0.120
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參考文獻
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度評估之研究，逢甲大學土木工程研究
所碩士論文
2. 何達仁（2004），校正曲線的不確定度
評估，長庚大學企業管理研究所碩士論
文。
3. 江容（2004），實驗室認證系統實施效
益之研究，國立成功大學工業與資訊管
理學系碩士在職專班碩士論文
4. 財團法人全國認證基金會（2005），測
試結果量測不確定度評估指引：文件編
號 : TAF-CNLA-G03(1)
5. 方冠權、郭晃銘、蔡森南，材料抗拉
強度量測不確定度與誤差分析問題的探
討，經濟部標準檢驗局，2010.03.18取
自：http://210.69.140.1/wSite/public/Data/
f1200276364672.pdf
6. 陳育達（2004），加州載重比試驗不確
定度評估，逢甲大學土木工程研究所碩
士論文
7. 台灣通訊，「量測不確定度簡介」，第
十五期，2005，2010.05.12取自：
http://www.ul.com.tw/news_nl/2005-
Issue15/page12.htm
吳惠敏 /中央印製廠
表 5、不確定度計算表
不確定因子 不確定度 機率分配 分配係數 標準不確定度 敏感係數 Ci
Ui × C
i （Ui × C
i）2
標準試片 0.00003 常態 1 0.00003 1 0.00003 9.0×10-10
解析度 0.005 矩形 √3 0.000289 1 0.000289 0.000000083521
準確度 0.003 矩形 √3 0.00173 1 0.00173 0.0000029929
重複量測 0.000186 常態 1 0.000186 1 0.000186 0.000000034596
∑（Ui × C
i）2= 0.000003111017
uf = 0.001763808（mm）
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