數學甲考科 1

數學甲考科

指考試題 關鍵解析

105 年

台南一中／蕭健忠 老師

105 年指考共有 50871 人報名，報名數學甲考生有 23922 人，報名數學乙考生有

39500 人，人數續創新低。

一般認為今年數學甲試題難易適中，評估五標與去年差不多。

一、試題配分：

下表是 105 年數學甲試題配分表，測驗內容只列出 3 顆星的部分。

105 年數學甲試題配分表

數學甲測驗內容 題 型

配分 單選題 多選題 選填題 非選擇題

數學 I

數與式 ( 數線上的幾何 )

多項式函數 ( 多項式的運算與應用、多項式方程式 )

指數、對數函數 第 1 題 ( 6 分 ) 6 分

數學 II 數列與級數 ( 等比數列 )

第 7 題 ( 6 分 ) 6 分

機率 ( 機率的定義與性質、條件機率與貝氏定理 )

第 A 題 ( 7 分 ) 7 分

數學 III

三角 ( 正弦定理、餘弦定理、差角公式、三角測量 )

第 3 題 ( 2 分 ) 2 分

直線與圓 ( 直線方程式及其圖形、圓與直線的關係 )

第一題(1) ( 4 分 ) 4 分

平面向量 第 3 題 ( 4 分 )

第一題(2) ( 5 分 ) 9 分

數學Ⅳ

空間向量 第 B 題 ( 7 分 )

7 分

空間中的平面與直線 第 5 題 ( 8 分 )

8 分

矩 陣 第 6 題 ( 8 分 ) 8 分

前 言

2 105年指考試題關鍵解析

數學甲Ⅰ

機率統計Ⅱ ( 隨機的意義、二項分布 )

第 D 題 ( 7 分 ) 7 分

三角函數 ( 不含橢圓的參數式 )

第 2 題 ( 6 分 )

第 C 題 ( 7 分 ) 13 分

數學甲Ⅱ

極限與函數 ( 數列及其極限、函數的極限 )

第 7 題 ( 2 分 ) 2 分

多項式函數的微積分 第 4 題 ( 6 分 )

第二題 ( 15 分 ) 21 分

1. 今年單選題 4 題、多選題 3 題、選填題 4 題，非選擇題 2 題。多選題題數減少 ，整份試卷的閱讀量也大大降低。

2. 各單元配分大致平均，選修部分占 43 分。 3. 三角部分，第二冊部分幾乎沒考，選修部分考了複數坐標 ( 第 C 題 ) 與廣義角

三角比的定義 ( 第 2 題 )。重要內容如正餘弦定理、和角公式、三角函數圖形、正餘弦疊合、複數極式、棣美弗定理等等，今年都不受命題者的青睞。

4. 已經連續四年考線性變換 ( 第 6 題 )。同樣屬於學測不考部分，空間中點到直線 距離較不受重視。

二、個別試題探討： 1. 第 1 題考對數方程式，加上二次方程式根的判別，沒有陷阱。 2. 第 2 題考廣義角三角比的定義，這一題有難度。角度剛好與 18°有關，記得

sin18°的考生得利，果然有「背」無患。 3. 第 3 題考向量的內積的定義，須先考慮∠A 是鈍角或銳角，小陷阱，這題有鑑

別度，是好試題。 4. 第 4 題考二次函數的切線問題，計算量不多。這題可以聯立方程式，再以判別

式為 0 解之；但是，二次函數與直線的關係並不在課綱內。 5. 第 5 題考空間中的平面與直線方程式，很基本。 6. 第 6 題考平面上的線性變換、矩陣乘法。觀察歷年考題，將 Mu1＝v1，Mu2＝v2

合併寫成 M [ u1 , u2 ]＝[ v1 , v2 ] 經常出現，可見命題教授對此概念的重視。今年 更隱約提醒線性變換的性質：M (－u )＝－M u。

7. 第 7 題考等比級數的和，除了計算小心一點，沒甚麼好說的。 8. 第 A 題考條件機率，需分類討論，很標準的題目，是好試題。 9. 第 B 題考空間向量的外積與三階行列式，不難，是好試題。

10. 第 C 題考複數平面、絕對值表距離，不是創新題。高中老師與學生在複數極式 奮戰，結果命題者卻如此輕描淡寫，真是情何以堪！

11. 第 D 題考隨機變數的期望值，只要列出所有情形即可。本題是好試題，但計算 稍多。

12. 非選第一題第(1)小題考圓外一點到圓的切線段長相等，被認為是國中試題；第 (2)小題考向量的分點公式，背公式就好了。此題只考皮毛，實在是很不好的題

目。此題捨內切圓而取傍切圓，也可以算是有做些推廣，其實如果改問傍切圓 的半徑，是不是有意思一些？ 13. 非選第二題考微積分，包含三次函數圖形的描繪、導數與極值、微積分基本定

理、定積分計算，這都是高中微積分的重點，這題是好試題。

數學甲考科 3

第壹部分：選擇題（單選題、多選題及選填題共占 76 分）

一、單選題（占 24 分）

說明︰第 1 題至第 4 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 6 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

1. 請問下列選項中哪一個數值 a 會使得 x 的方程式 log a－log x＝log ( a－x ) 有兩相異實數解？ (1) a＝1 (2) a＝2 (3) a＝3 (4) a＝4 (5) a＝5

【答 案】(5) 【概念中心】對數方程式 【命題出處】南一版數學第一冊第 3 章指數、對數函數 【試題解析】log a－log x＝log ( a－x )

log a x ＝log ( a－x )

a x ＝a－x x

2－ax＋a＝0，

有兩個相異實根 a2－4a＞0， 故選(5)。

2. 下列哪一個選項的數值最接近 cos ( 2.6π)？

(1) sin ( 2.6π) (2) tan ( 2.6π) (3) cot ( 2.6π) (4) sec ( 2.6π) (5) csc ( 2.6π)

【答 案】(3) 【概念中心】廣義角的三角函數 【命題出處】南一版選修數學上冊 ( 甲版 ) 第 2 章三角函數 【試題解析】2.6π＝2π＋0.6π＝360°＋108°。

cos 108°＝－cos 72°＝－sin 18°＝－ 5 －1

4 －0.3。

sin 108°＝sin 72°＞sin 60°＝ 3

2 0.8＜sin 108°＜1。

tan 108°＝－tan 72°＜－tan 60°＝－ 3 。 cot 108°＝－cot 72°＝－tan 18°＞－1 －1＜cot 108°＜0。

sec 108°＝ 1

cos 108° ＝－ 4

5 －1 ＝－( 5 ＋1 ) －3.2。

csc 108°＝ 1

sin 108° ＞1。

可知 cot 108°最接近 cos 108°，故選(3)。

試題詳解與分析

4 105年指考試題關鍵解析

3. 假設三角形 ABC 的三邊長分別為 AB ＝5、 BC ＝8、 AC ＝6。請選出和向量 AB 的內積為最大的選項。 (1) AC (2) CA (3) BC (4) CB (5) AB

【答 案】(4) 【概念中心】向量的內積、餘弦定理 【命題出處】南一版數學第三冊第 3 章平面向量

【試題解析】cos A＝ 52＋62－82 2×5×6 ＝－

1 20 ＜0 ∠BAC＞90°，

設 H 是 C 在直線 AB 上的投影點，

(1) AC ． AB ＜0 且(3) BC ． AB ＜0。 (2) CA ． AB ＝－AC ． AB ＝ AH × AB 。 (4) CB ． AB ＝－BC ． AB ＝ BH × AB 。 (5) AB ． AB ＝ AB × AB 。 BH ＞ AB ＞ AH ，故選(4)。

4. 假設 a，b 皆為非零實數，且坐標平面上二次函數 y＝ax2＋bx 與一次函數 y＝ax＋b 的圖形

相切。請選出切點所在位置為下列哪一個選項。 (1) 在 x 軸上 (2) 在 y 軸上 (3) 在第一象限 (4) 在第四象限 (5) 當 a＞0 時，在第一象限；當 a＜0 時，在第四象限

【答 案】(1) 【概念中心】導數與切線 【命題出處】南一版選修數學下冊 ( 甲版 ) 第 2 章多項式函數的微積分 【試題解析】方法一：

設切點為 ( x0 , y0 )，

y＝ax2＋bx y′＝2ax＋b 切線斜率 2ax0＋b＝a x0＝ a－b 2a …○1

計算切點的 y 坐標，

a ( a－b 2a )

2＋b ( a－b 2a )＝a (

a－b 2a )＋b ( a＋b )

2＝0 a＋b＝0 b＝－a

代入○1 ，得 x0＝ a－(－a )

2a ＝1，而 y0＝ax0＋b＝a＋b＝0，

切點為 ( 1 , 0 )，在 x 軸上，故選(1)。 方法二： ax2＋bx＝ax＋b…○2 有重根 x0，判別式 ( b－a )2＋4ab＝0 b＝－a 代入○2 ，ax2－ax＝ax－a x2－x＝x－1 x＝1，接下來同方法一。

數學甲考科 5

二、多選題（占 24 分）

說明︰第 5 題至第 7 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，

得 8 分；答錯 1 個選項者，得 4.8 分；答錯 2 個選項者，得 1.6 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

5. 在坐標空間中，點 P ( 2 , 2 , 1 ) 是平面 E 上距離原點 O ( 0 , 0 , 0 ) 最近的點。請選出正確的選項。 (1) 向量 v ＝ ( 1,－1 , 0 ) 為平面 E 的法向量 (2) 點 P 也是平面 E 上距離點 ( 4 , 4 , 2 ) 最近的點 (3) 點 ( 0 , 0 , 9 ) 在平面 E 上 (4) 點 ( 2 , 2 ,－8 ) 到平面 E 的距離為 9 (5) 通過原點和點 ( 2 , 2 , －8 ) 的直線與平面 E 會相交

【答 案】(2)(3) 【概念中心】空間中的平面與直線方程式 【命題出處】南一版數學第四冊第 2 章空間中的平面與直線 【試題解析】平面 E 的法向量 n ＝OP＝( 2 , 2 , 1 )，

平面 E 的方程式為 2．( x－2 )＋2．( y－2 )＋1．( z－1 )＝0 2x＋2y＋z＝9…○1 (1) ×：法向量須平行 ( 2 , 2 , 1 )。 (2) ○：設 Q ( 4 , 4 , 2 )，PQ＝( 2 , 2 , 1 ) 垂直平面 E。 (3) ○：由○1 ，( 0 , 0 , 9 ) 在平面 E 上。

(4) ×： | 2．2＋2．2＋(－8 )－9 |

22＋22＋12 ＝3。

(5) ×：設 R ( 2 , 2 ,－8 )，OR． n ＝( 2 , 2 ,－8 )．( 2 , 2 , 1 )＝0 直線 OR 平行平面 E。 故選(2)(3)。

6 105年指考試題關鍵解析

6. 坐標平面上一矩形，其頂點分別為 A ( 3 ,－2 )、B ( 3 , 2 )、C (－3 , 2 )、D (－3 ,－2 )。設二階方陣 M 為在坐標平面上定義的線性變換，可將 A 映射到 B 且將 B 映射到 C。請選出正確的選項。 (1) M 定義的線性變換是鏡射變換

(2) M

3 3

－2 2 ＝

3 －3

2 2

(3) M 定義的線性變換將 C 映射到 D 且將 D 映射到 A (4) M 的行列式值為－1 (5) M 3＝－M

【答 案】(2)(3)(5) 【概念中心】二階方陣與平面上的線性變換 【命題出處】南一版數學第四冊第 3 章矩陣

【試題解析】M

3

－2 ＝

3

2 ，M

3

2 ＝

－3

2 M

3 3

－2 2 ＝

3 －3

2 2 …○1

M＝

3 －3

2 2

3 3

－2 2

－1

＝

3 －3

2 2 ． 1 12

2 －3

2 3 ＝

0 － 3 2

2 3 0

。

(1) ×：M 不是鏡射矩陣。 (2) ○：如○1 。

(3) ○：M

－3

2 ＝M (－

3

－2 )＝－M

3

－2 ＝－

3

2 ＝

－3

－2 ，

同理 Ｍ

－3

－2 ＝－M

3

2 ＝－

－3

2 ＝

3

－2 。

(4) ×：det M＝1。

(5) ○：M 3＝

0 － 3 2

2 3 0

0 － 3 2

2 3 0

0 － 3 2

2 3 0

＝

－1 0

0 －1

0 － 3 2

2 3 0

＝

0 3 2

－ 2 3 0

＝－M。

選(2)(3)(5)。

數學甲考科 7

7. 在實數線上，動點 A 從原點開始往正向移動，動點 B 從 8 的位置開始往負向移動。兩個動點每一秒移動一次，已知第一秒 A、B 移動的距離分別為 1、4，且 A、B 每次移動的距

離分別為其前一次移動距離的 1 2 倍、

1 3 倍。令 cn 為第 n 秒時 A、B 的中點位置。請選出正

確選項。

(1) c1＝ 5 2

(2) c2＞c1 (3) 數列〈cn＋1－cn〉是一個等比數列

(4) limn→∞

cn＝2

(5) c1000＞2

【答 案】(1)(4) 【概念中心】等比級數的和、數列的極限 【命題出處】南一版數學第二冊第 1 章數列與級數、 南一版選修數學下冊 ( 甲版 ) 第 1 章極限與函數 【試題解析】設 an 為第 n 秒時 A 的位置，bn 為第 n 秒時 B 的位置：

an＝1＋ 1 2 ＋

1 22 ＋…＋

1 2n－1 ＝2－

1 2n－1 ，

bn＝8－( 4＋4． 1 3 ＋4．

1 32 ＋…＋4．

1 3n－1 )＝8－

4 ( 1－ 1 3n )

1－ 1 3

＝8－6 ( 1－ 1 3n )＝2＋2．

1 3n－1

∴ cn＝ an＋bn

2 ＝2－ 1 2n ＋

1 3n－1

(1) ○：c1＝2－ 1 2 ＋1＝

5 2 。

(2) ×：c2＝2－ 1 22 ＋

1 3 ＝

25 12 ＜

5 2 ＝c1。

(3) ×：cn＋1－cn＝( 2－ 1

2n＋1 ＋ 1 3n )－( 2－

1 2n ＋

1 3n－1 )＝

1 2n＋1 －

2 3n 不是等比數列。

(4) ○：limn→∞

cn＝limn→∞

( 2－ 1 2n ＋

1 3n－1 )＝2。

(5) ×：c1000＝2－ 1

21000 ＋ 1

3999 ，很明顯 3999＞21000

1 3999 －

1 21000 ＜0

∴ c1000＜2 故選(1)(4)。

8 105年指考試題關鍵解析

三、選填題（占 28 分）

說明︰1. 第 A 至 D 題，請將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號 ( 8–21 )。 2. 每題完全答對給 7 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 投擲一枚均勻銅板 8 次。在最初兩次的投擲中曾經出現過正面的條件下，8 次投擲中恰好

出現 3 次正面的條件機率為○8

○9 ○10 _________。( 化成最簡分數 )

【答 案】 3 16

【概念中心】條件機率 【命題出處】南一版數學第二冊第 3 章機率 【試題解析】設 A 表示在最初兩次的投擲中曾經出現過正面的事件，

B 表示在 8 次投擲中恰好出現 3 次正面的事件。

(1) P (A)＝1－ 1 2 ．

1 2 ＝

3 4 。

(2) 求 P ( A∩B )：

○1 前 2 次都正面且後 6 次恰一正面：( 1 2 )

2．C 61 ( 1 2 )

6＝ 6 28 。

○2 前 2 次一正面一反面且後 6 次恰 2 正面：C 21 ( 1 2 )

2．C 62 ( 1 2 )

6＝ 30 28 。

由○1 ○2 P ( A∩B )＝ 6 28 ＋

30 28 ＝

9 64 ，

所求條件機率 P ( B | A )＝ P ( A∩B )

P (A) ＝ 9 64

3 4

＝ 3 16 。

B. 設 u ＝( 1 , 2 , 3 )、 v ＝( 1 , 0 ,－1 )、w＝( x , y , z ) 為空間中三個向量，且向量w 與向量

u × v 平行。若行列式

1 2 3

1 0 －1x y z

＝－12，則w ＝( ○11_______ , ○12 ○13_________ , ○14_______ )。

【答 案】( 1 ,－2 , 1 ) 【概念中心】空間向量的外積、三階行列式 【命題出處】南一版數學第四冊第 1 章空間向量

【試題解析】 u × v ＝( 1 , 2 , 3 )×( 1 , 0 ,－1 )＝(

2 3

0 －1 ,

3 1

－1 1 ,

1 2

1 0 )

＝(－2 , 4 ,－2 )＝2 ( －1 , 2 ,－1 )， 由w // ( u × v )＝2 (－1 , 2 ,－1 )，設w ＝( x , y , z )＝(－t , 2t ,－t )，

由

1 2 3

1 0 －1x y z

＝－12

1 2 3

1 0 －1－t 2t －t

＝－12 t＝－1，故w ＝( 1 ,－2 , 1 )。

數學甲考科 9

C. 在所有滿足 z－ z ＝－3i 的複數 z 中 ( 其中 z 為 z 的共軛複數，i＝ －1 )，| 7 ＋8i－z |

的最小值為 ○15 ○16

○17 _________。( 化成最簡分數 )

【答 案】 19 2 【概念中心】複數平面

【命題出處】南一版選修數學上冊 ( 甲版 ) 第 2 章三角函數 【試題解析】設 z＝x＋yi，

由 z－ z ＝－3i ( x＋yi )－ x＋yi ＝－3i

( x＋yi )－( x－yi )＝－3i y＝－ 3 2 ，

即 z 是複數平面上直線 y＝－ 3 2 上的點。

| 7 ＋8i－z | 表示 7 ＋8i 與 z 的距離，

故其最小值為 8－(－ 3 2 )＝

19 2 。

D. 一圓盤分成標有數字 0、1 的兩區域，且圓盤上有一可轉動的指針。已知每次轉動指針後，

前後兩次指針停在同一區域的機率為 1 4 ，而停在不同區域的機率為

3 4 。遊戲規則為連續轉

動指針三次，計算指針在這三次所停區域的標號數字之和。若遊戲前指針的位置停在標號

數字為 1 的區域，則此遊戲的期望值為○18 ○19 ○20 ○21 _________

。( 化成最簡分數 )

【答 案】 21 16 【概念中心】隨機變數的期望值

【命題出處】南一版選修數學上冊 ( 甲版 ) 第 1 章機率統計 II 【試題解析】列出所有的情形：

0

1 0

1 4

3 4

1 4

3 4

0 0

1

3 4

1 4

1

0

1 0

1 4

3 4

3 4

1 4

1 0

1

3 4

1 4

1

1

3 4

1 4

總和 機率

0 3 4 ． 1 4 ．

1 4 ＝

3 64

1 3 4 ． 1 4 ．

3 4 ＝

9 64

1 3 4 ． 3 4 ．

3 4 ＝

27 64

2 3 4 ． 3 4 ．

1 4 ＝

9 64

1 1 4 ． 3 4 ．

1 4 ＝

3 64

2 1 4 ． 3 4 ．

3 4 ＝

9 64

2 1 4 ． 1 4 ．

3 4 ＝

3 64

3 1 4 ． 1 4 ．

1 4 ＝

1 64

期望值

＝0． 3 64 ＋1．

9 64 ＋1．

27 64 ＋2．

9 64 ＋1．

3 64 ＋2．

9 64 ＋2．

3 64 ＋3．

1 64 ＝

21 16 。

10 105年指考試題關鍵解析

第貳部分：非選擇題（占 24 分）

說明︰本部分共有二大題，答案必須寫在「答案卷」上，並於題號欄標明大題號（一、二）

與子題號（(1)、(2)、……），同時必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分甚至零分。作答務必使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫，且不得使用鉛筆。每一子題配分

標於題末。

一、如圖，已知圓 O 與直線 BC、直線 AC、直線 AB 均相切， 且分別相切於 D、E、F。又 BC ＝4， AC ＝5， AB ＝6。 (1) 假設 BF ＝x，試利用 x 分別表示 BD ， CD 以及 AE ，

並求出 x 之值。（4 分） (2) 若將AD表示成α AB ＋β AC，則α，β之值為何？（5 分）

【答 案】(1) BD ＝x， CD ＝4－x， AE ＝9－x，x＝ 3 2 ；(2)

5 8 ，

3 8

【概念中心】(1) 圓的切線段性質；(2) 向量的分點公式 【命題出處】南一版數學第三冊第 2 章直線與圓、南一版數學第三冊第 3 章平面向量 【試題解析】(1) 圓外一點到圓的切線段長相等

∴ BD ＝ BF ＝x， CD ＝ BC － BD ＝4－x

AE ＝ AC ＋ CE ＝ AC ＋ CD ＝5＋( 4－x )＝9－x，

又 AE ＝ AF 9－x＝6＋x x＝ 3 2 。

(2) x＝ 3 2 BD ＝x＝

3 2 且 CD ＝4－x＝4－

3 2 ＝

5 2 ，

BD ： CD ＝ 3 2 ：

5 2 ＝3：5，由分點公式 AD＝

5 8 AB ＋

3 8 AC，

即α＝ 5 8 ，β＝

3 8 。

二、設三次實係數多項式 f (x) 的最高次項係數為 a。已知在 0 ≤ x ≤ 3 的範圍中，f (x) 的最大值 12 發生在 x＝0，x＝2 兩處。另一多項式 G (x) 滿足 G (0)＝0，以及對任意實數 s，r

( s ≤ r )，∫rs f (t) dt＝G (r)－G (s) 恆成立，且函數 y＝G (x) 在 x＝1 處有 ( 相對 ) 極值。

(1) 試描繪 y＝f (x) 在 0 ≤ x ≤ 3 的範圍中可能的圖形，在圖上標示 ( 0 , f (0) )、( 2 , f (2) )，並由此說明 a 為正或負。（4 分）

(2) 試求方程式 f (x)－12＝0 的實數解（如有重根須標示），並利用 y＝G (x) 在 x＝1 處有極值，求 a 之值。（5 分）

(3) 在 0 ≤ x ≤ 2 的範圍中，求 G (x) 之最小值。（6 分）

【答 案】(1) 詳見解析，a＜0；(2) －12；(3) 0 【概念中心】三次函數圖形的描繪、導數與極值、微積分基本定理 【命題出處】南一版選修數學下冊 ( 甲版 ) 第 2 章多項式函數的微積分

D

數學甲考科 11

【試題解析】(1) 如右圖，可知 a＜0。 (2) f (x)－12＝0 的實數解為 0，2，2，

可設 f (x)－12＝ax ( x－2 )2…○1

由已知，∫x0 f (t) dt＝G (x)－G (0)＝G (x)， 根據微積分基本定理 G′ (x)＝f (x)， 又 G (x) 在 x＝1 處有極值 G′ (1)＝0 f (1)＝0 代入○1 ，0－12＝a．1．(1－2 )2 a＝－12。

(3) a＝－12 代回○1 G′ (x)＝f (x)＝－12x ( x－2 )2＋12 ＝－12 ( x3－4x2＋4x－1 ) ＝－12 ( x－1 ) ( x2－3x＋1 )

＝－12 ( x－1 ) ( x－ 3＋ 5

2 ) ( x－ 3－ 5

2 )。

在 0 ≤ x ≤ 2 的範圍中，G′ (x) 的最小值可能是 G (0) 或 G (1)，

G (1)＝∫10 f (t) dt＝∫10－12 ( t3－4t2＋4t－1 ) dt

＝－12 ( t4 4 －

4t3 3 ＋2t

2－t ) |10

＝－12 ( 1 4 －

4 3 ＋2－1 )＝1，

又 G (0)＝0，故最小值為 0。

今年的多選題顯得容易，而單選題卻有難度，要拿高分並不容易。 以上是個人的淺見，歡迎批評指教。

結 論

x 0 3－ 5 2

1 2 3＋ 5 2

G′ (x) ＋ 0 － 0 ＋ 0 ↗ ↘ ↗