1 數 學 甲

1 前 言

依據大考中心統計資料，104 年指考報考人數 57237 人，其中報考數學甲的有 25331 人，報

考數學乙的有 45991 人。

近年來指考報考人數大幅下降 ( 表一 )，除了少子化，也因為推甄 ( 包括個人申請、繁星 )

名額增加，今年推甄比例更是突破 60％，按照這種趨勢，今年指考報考人數有可能低於 5 萬人。

表一：99～105 年學測與指考報名人數 ( 資料來源：大考中心 )

學年度 99 100 101 102 103 104 105 指考報名人數 84007 82271 75934 66068 62109 57237 4xxxx? 學測報名人數 142129 146302 154560 150030 147478 146035 135583

2 測驗內容

根據大考中心的測驗說明，將各章節分別標示為3顆星、2顆星、1顆星，3顆星是主要的測驗

內容。這裡整理數學甲3顆星的章節 ( 表二 )。

表二：數學甲3顆星的章節

冊 主題 子題 註

數 學 I

一、數與式 2.數線上的幾何 二、多項式函數 2.多項式的運算與應用

3.多項式方程式 三、指數、對數函數 1.指數 換底公式不宜牽涉太過技巧性

與不實用的問題 2.指數函數 3.對數 4.對數函數 5.指數與對數的應用

年指考 趨 勢 預 測 105 數學甲 文／ 蕭健忠老師

南一大考教學誌 2 指考特輯

數 學 II

機率 2.機率的定義與性質

3.條件機率與貝氏定理

數 學 III

一、三角 3.正弦定理、餘弦定理 4.差角公式 5.三角測量

二、直線與圓 1.直線方程式及其圖形 3.圓與直線的關係

三、平面向量 1.平面向量的表示法 2.平面向量的內積 3.面積與二階行列式

數 學 IV

一、空間向量 1.空間概念 2.空間向量的坐標表示法 3.空間向量的內積 4.外積、體積與行列式

二、空間中的平面與 直線

1.平面方程式 2.空間直線方程式 3.三元一次聯立方程組

三、矩陣

1.線性方程組與矩陣 2.矩陣的運算 3.矩陣的應用 4.平面上的線性變換與二階

方陣

數 學 甲 I

一、機率統計Ⅱ 1.隨機的意義 2.二項分布

二、三角函數 1.一般三角函數的性質與圖 形

不含橢圓的參數式

2.三角函數的應用 3.複數的幾何意涵

數 學 甲 II

一、極限與函數 1.數列及其極限 2.函數的極限

二、多項式函數的 微積分

1.微分 2.函數性質的判定 3.積分的意義 4.積分的應用

3 數 學 甲

3 指考數學甲準備方向

先看看 102 年、103 年、104 年數學甲試題配分表 ( 表三 )。

表三：102~104 年數學甲試題配分表

單元 102年配分 103年配分 104年配分 數與式 多項式函數 3 12 指數與對數函數 6 6 6 機率 3 6 8 三角 6 14 4 直線與圓 12 6 8 平面向量 8 空間向量 11 14 空間中的平面與直線 8 8 6 矩陣 12 12 6 機率統計Ⅱ 6 8 3 三角函數 14 4 13 極限與函數 8 3 16 多項式函數的微積分 14 16 10

以下是一些淺見：

1. 每個單元都有可能出題，考生不能偏食；因為每個單元都只考一題，所以一定考該單元的基

本且主要的概念。

2. 一到四冊學測以外的範圍，例如：空間中點到直線距離 ( 歪斜線距離 )、三階行列式、三平面

相關位置判斷、線性變換，要列為重點。

3. 數學甲 ( I、II ) 佔 40 分以上，機率 ( 偏重二項分布 )、三角函數 ( 疊合、複數極式 )、微積

分 ( 極限、微分應用、積分應用 )，每個單元都會考。

4. 正餘弦疊合、旋轉體體積這三年都沒考，今年要注意。

5. 三次函數圖形的類型要精熟。

南一大考教學誌 4 指考特輯

4 結語

104 年指考甲題目雖然被認為較為簡單，但平均分數並沒有增加。推甄申請比例增加，應試

人數減少，會是命題者拿捏難易度的參考因素。

最辛苦的是考生，繼續奮鬥的成為少數了！流汗播種的必歡呼收割，加油。

5 數 學 甲

105 學年度指定科目考試模擬試題

數學甲考科

作答注意事項

考試時間：80 分鐘

題型題數： ● 單選題共 3 題

● 多選題共 5 題

● 選填題共 3 題

● 非選擇題共 2 題

作答方式： ● 選擇題答案請填入後面之答案欄中

● 非選擇題用黑色或藍色筆，在「作答區」上作答

◎註：1. 答錯不倒扣

2. 此份試題本為模擬指定科目考科之測驗形式，

作答方式仍以未來實際之測驗形式為準

版權所有 請勿翻印

教師用

南一大考教學誌 6 指考特輯

第壹部分：選擇題（單選題、多選題及選填題共占 76 分）

一、單選題（占 18 分）

說明：第 1 題至第 3 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請在「選

擇（填）題答案區」作答。各題答對者，得 6 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項

者，該題以零分計算。

(5) 1. 指數方程式 16 log x＝10 x 的解 x 最接近下列哪一個選項？ ( log2～～0.3010，log3～～0.4771，log7～～0.8451 ) (1) 7.99 (2) 79.9 (3) 799 (4) 7990 (5) 79900

(1) 2. 設多項式 x6 ( x＋2 )5 除以 ( x＋1 ) ( x－1 ) 的商式為 Q (x)，則 Q (－2 ) 之值為何？

(1) 40 (2) 20 (3) 0 (4) －20 (5) －40

(2) 3. 若數列〈an〉滿足 a1＝1，且 an＋1＝ 1 6 ( 7an－18 ) ( an－1 )，其中 n ≥ 1。設 Sn＝

k＝1

n

an，則

limn→∞

Sn n 之值為何？

(1) 0 (2) 4 3 (3)

7 6 (4) 3 (5) 極限不存在

1. 16 log x＝10 x，兩邊取 log ( log x ) ( log16 )＝log10＋log x ( 4 log 2－1 )‧log x＝1 log x＝

1 4log 2－1

～～ 1

4×0.301－1 ＝ 1

0.204 ～～4.902

由 log x 首數為 4，x 的整數部分是五位數，而尾數 0.902 約為 log 8，故選(5)

2. 設 x6 ( x＋2 )5＝( x＋1 ) ( x－1 ) Q (x)＋ax＋b…(＊) x＝1 代入(＊) a＋b＝243………○1 x＝－1 代入(＊) －a＋b＝1 ……○2 解○1 ○2 得 a＝121，b＝122 x＝－2 代入(＊) 0＝3Q (－2 )－2a＋b 3Q (－2 )＝2a－b＝2×121－122＝120 Q (－2 )＝40， 故選(1)

3. 計算數列的前幾項：a1＝1，a2＝0，a3＝3，a4＝1＝a1，即〈an〉＝〈1 , 0 , 3 , 1 , 0 , 3 ,…〉

將 n 分成 3k、3k＋1、3k＋2 討論， Sn n ＝

4k 3k ，n＝3k

4k＋1 3k＋1 ，n＝3k＋1

4k＋1 3k＋2 ，n＝3k＋2

，故limn→∞

Sn n ＝

4 3 ，故選(2)

7 數 學 甲

二、多選題（占 40 分）

說明：第 4 題至第 8 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請在「選擇（填）

題答案區」作答。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 8 分；答錯 1 個選項

者，得 4.8 分；答錯 2 個選項者，得 1.6 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答

者，該題以零分計算。

4. 袋中有六張卡片，分別編號 1、1、1、2、2、3。從袋中任意取 1 張卡片，假設每張卡片被

選中的機率相同，隨機變數 X 表示取中卡片的編號。令 X 的期望值為 E ( X )、標準差為 σ( X )，則下列選項哪些正確？

(1) E ( X )＝ 4 3 (2) E ( X 2 )＝

10 3 (3) σ( X )＝

5 3

(4) E ( 2X＋1 )＝2E ( X )＋1 (5) σ( 2X＋1 )＝4σ( X )

5. 已知方陣 A＝

1 a

b 1 所定義的平面變換把直線 L1：x－2y＝2 變換到直線

L2：3x＋4y＋10＝0，且點 P 是 L1 與 L2 的交點，則下列選項哪些正確？ (1) a＋b＞0 (2) b＜0 (3) A 將 P 變換到 P

(4) det A＞0 (5) 若 A－1＝

x z

y w，則 y＝－

2 5

x 1 2 3

f (x) 1 2

1 3

1 6

4. X 的機率分配表如右：

(1) ×：E ( X )＝1× 1 2 ＋2×

1 3 ＋3×

1 6 ＝

5 3

(2) ○：E ( X 2 )＝12×

1 2 ＋22×

1 3 ＋32×

1 6 ＝

10 3

(3) ○：σ2 ( X )＝E ( X 2 )－〔E ( X )〕2＝

10 3 －(

5 3 )2＝

5 9

σ( X )＝ 5

3 (4) ○

(5) ×：σ( 2X＋1 )＝2σ( X ) 故選(2)(3)(4)

5. L1 上的點可表為 ( 2t＋2 , t )，

1 a

b 1

2t＋2

t＝

( a＋2 ) t＋2

( 2b＋1 ) t＋2b 為 L2：3x＋4y＋10＝0 上的點，

故 3〔( a＋2 ) t＋2〕＋4〔( 2b＋1 ) t＋2b〕＋10＝0 ( 3a＋8b＋10 ) t＋( 8b＋16 )＝0， 上式對任意 t 都成立 3a＋8b＋10＝0 且 8b＋16＝0 a＝2，b＝－2 (1) ×：a＋b＝0 (2) ○ (3) ×：det A≠0，若 A 將 P 變換到 P，P 只能是原點，但 L1 與 L2 的交點不是 ( 0 , 0 ) (4) ○：det A＝5

(5) ×：A－1＝ 1 5

1 －2

2 1 y＝

2 5

故選(2)(4)

(2)(4)

(2)(3) (4)

南一大考教學誌 8 指考特輯

6. 設 f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d 是實係數三次多項式，已知 f (x)＝0 有重根，則下列哪些選項

是正確的？ (1) 方程式 f (x)＝0 沒有虛根 (2) 方程式 f (x)＝0 有三重根 (3) f ()＝0 (4) b2－3ac＝0 (5) 函數 f (x) 沒有極值

7. 令 ω＝cos 2π 7 ＋i sin

2π 7 ，選出正確的選項。

(1) | ω2 |＝| ω5 | (2) | 1－ ω2 |＞| 1－ ω3 | (3) | 1－ ω2 |＝| 1－ ω5 | (4) | 1－ ω |＜1 (5) ω2＜ω3

8. 兩平面向量 u 、 v ，已知 | u |＝1，| v |＝2，則下列哪些角度可能是 u ＋ v 與 u － v 的夾

角？

(1) π 3 (2)

π 2 (3)

2π 3 (4)

5π 6 (5) π

6. f (x)＝0 有重根，則 f (x)＝3a ( x－ )2 f (x)＝a ( x－ )3＋k，k 是常數 (1) ×：若 k≠0，f (x)＝0 有一實根二虛根 (2) ×：若 k≠0，f (x)＝0 沒有重根 (3) ○ (4) ○：f (x)＝3ax2＋2bx＋c＝0 有重根 判別式＝0 ( 2b )2－4 ( 3a ) c＝0 b2－3ac＝0 (5) ○：f (x) 是單調函數 故選(3)(4)(5)

7. 在複數平面上，1、ω、ω2、ω3、ω4、ω5、ω6 等分單位圓 (1) ○：| ω2 |＝| ω5 |＝1

(2) ×：1 到 ω3 的距離較長 (3) ○：ω2 與 ω5 對稱 x 軸

(4) ○：考慮 0、1、ω 為頂點的等腰三角形，

底角 1 2 (π－

2π 7 )＝

5π 14 大於頂角

2π 7 | 1－ ω |＜1

(5) ×：虛數不比較大小 選(1)(3)(4)

8. 設 u 、 v 的夾角為 α， u ＋ v 與 u － v 的夾角為 θ： | u ＋ v |2＝| u |2＋2 | u | | v | cosα＋| v |2＝5＋4cosα， | u － v |2＝| u |2－2 | u | | v | cosα＋| v |2＝5－4cosα， ( u ＋ v )‧( u － v )＝| u |2－| v |2＝－3， 由 ( u ＋ v )‧( u － v )＝| u ＋ v | | u － v | cosθ

－3＝ 5＋4 cosα 5－4cosα cosθ cosθ＝ －3

25－16cos2α

因為 0 ≤ cos2α ≤ 1 3 ≤ 25－16 cos2α ≤ 5，故－1 ≤ cosθ≤－ 3 5 ，選(4)(5)

(3)(4) (5)

(1)(3) (4)

(4)(5)

9 數 學 甲

三、選填題（占 18 分）

說明：1. 第 A 至 C 題，在「選擇 ( 填 ) 題答案區」上作答。 2. 每題完全答對給 6 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 坐標平面上三點 A ( 0 , 0 )、B ( 4 , 0 )、C ( 0 , 3 )。以 AB 為直徑做一圓，此圓與線段 BC 的交

點有兩個，除了 B 點以外，另一個點設為 D 點，則 D 點的坐標為 ( ○9 ○10 ○11 ○12 ,

○13 ○14 ○15 ○16 )

_______________。

B. 擲一個公正骰子三次，在最大點數是最小點數 2 倍的條件下，擲出的三個點數都不同的機率

為 ○17 ○18 _______

。

A. 如右圖， BC ＝5，設 CD ＝x，

由 AC 2＝ CD × BC 9＝5x x＝ 9 5 ，而 BD ＝5－

9 5 ＝

16 5

BD ： CD ＝16：9，由分點公式

故 D 點的坐標為 ( 4×9＋0×16

16＋9 , 0×9＋3×16

16＋9 )＝( 36 25 ,

48 25 )

B. ( i ) 最大點數是 6、最小點數 3： 三個點數都不同：( 6 , 5 , 3 ) 或 ( 6 , 4 , 3 )，共有 2×3！＝12 ( 種 )

有相同點數：( 6 , 6 , 3 ) 或 ( 6 , 3 , 3 )，共有 2× 3！

2！＝6 ( 種 )

(ii) 最大點數是 4、最小點數 2： 三個點數都不同：( 4 , 3 , 2 )，共有 3！＝6 ( 種 )

有相同點數：( 4 , 4 , 2 ) 或 ( 4 , 2 , 2 )，共有 2× 3！

2！＝6 ( 種 )

(iii) 最大點數是 2、最小點數 1： 三個點數都不同：0 種

有相同點數：( 2 , 2 , 1 ) 或 ( 2 , 1 , 1 )，共有 2× 3！

2！＝6 ( 種 )

所以，最大點數是最小點數 2 倍的情形有 12＋6＋6＋6＋6＝36 ( 種 )

其中三個點數都不同的情形有 12＋6＋0＝18 ( 種 )，故機率為 18 36 ＝

1 2

南一大考教學誌 10 指考特輯

C. 如圖，BAC＝CDM＝DFA＝FED＝90，且 E、M 分別為

BC 、 AC 的中點。設BCA＝，則 cos＝ ○19 －○20

○21 _____________。

第貳部分：非選擇題（占 24 分）

說明：本部分共有二大題，答案必須寫在「答案卷」上，並於題號欄標明大題號（一、二）

與子題號（(1)、(2)、……），同時必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分甚至給

零分。作答務必使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫，且不得使用鉛筆。每一子題配分

標於題末。

一、已知 A (－1 , 1 )、B ( 2 , 4 ) 是拋物線 ：y＝x2 上兩點，設直線 L 平行直線 AB 且與 相切

於點 P。 (1) 求 AB 與拋物線 所圍區域的面積。 （6 分） (2) 求△ABP 的面積。 （6 分）

C. 如右圖，設 CM ＝a，則 CD ＝a cosθ， BC ＝2a secθ，

DF ＝ DN ＋ NF ＝ DM sinθ＋a＝a sinθ‧sinθ＋a＝a ( 1＋sin2θ)，

DE ＝ DF cosθ＝a ( 1＋sin2θ) cosθ，

又 CE ＝ CD ＋ DE a secθ＝a cosθ＋a ( 1＋sin2θ) cosθ 消去 a、同乘 cosθ 1＝cos2θ＋( 1＋sin2θ) cos2θ 由 sin2θ＝1－cos2θ cos4θ－3 cos2θ＋1＝0

cos2θ＝ 3± 5

2 ，但 0 ≤ cos2θ≤ 1，所以 cos2θ＝ 3－ 5

2

故 cosθ＝ 3－ 5

2 ＝ 5 －1

2

一. (1) 直線 AB 斜率＝ 1－4

－1－2 ＝1，直線 AB 方程式為 y＝x＋2，

AB 與 所圍區域的面積

＝∫2－1 ( x＋2－x2 ) dx＝(

1 2 x

2＋2x－ 1 3 x

3 ) |2－1

＝( 2＋4－ 8 3 )－(

1 2 －2＋

1 3 )

＝ 9 2

(2) 設 P ( a , a2 )，由 y'＝2x，

切線 L 的斜率為 2a 2a＝1 a＝ 1 2 ，得 P 的坐標為 (

1 2 ,

1 4 )；

PA ＝(－ 3 2 ,

3 4 )， PB ＝(

3 2 ,

15 4 )，

△ABP 的面積＝ 1 2 |

－

3 2

3 4

3 2

15 4

|＝ 27 8

11 數 學 甲

二、已知 A ( 2 , 1 , 1 )、B (－2 , 1 , 3 ) 與 P 是平面 E：x＋2y＋2z＝6 上三點。 (1) 若平面 E 與 xy 平面的夾角為 θ，求 sinθ。 ( 6 分 ) (2) 若 PA ＝ PB 且△ABP 的面積為 30，求 P 的坐標。 ( 6 分 )

二. (1) 平面 E 的法向量n1 ＝( 1 , 2 , 2 )，xy 平面的法向量n2 ＝( 0 , 0 , 1 )

cosθ＝± n1 ‧ n2

n1n2 ＝± 2 3 sinθ＝

5 3

(2) 如右圖，設 M 是 AB 的中點 M ( 0 , 1 , 2 )

AB ＝(－4 , 0 , 2 )， AB ＝2 5

△ABP 的面積為 30 1 2 ×2 5 × MP ＝30 MP ＝6 5

由 MP AB 且 MP n1 MP // ( AB ×n1 )＝(－4 , 0 , 2 )×( 1 , 2 , 2 )＝(－4 , 10 ,－8 )＝－2 ( 2 ,－5 , 4 ) 設 MP ＝t ( 2 ,－5 , 4 )，| MP |＝3 5 | t | t＝±2， 故 P 的坐標＝( 0 , 1 , 2 )±2 ( 2 ,－5 , 4 )＝( 4 ,－9 , 10 ) 或 (－4 , 11 ,－6 )

南一大考教學誌 12 指考特輯

答 案

第壹部分：選擇題

1. 5 2. 1 3. 2 4. 234 5. 24 6. 345 7. 134 8. 45 9. 3 10. 6

11. 2 12. 5 13. 4 14. 8 15. 2 16. 5 17. 1 18. 2 19. 5 20. 1

21. 2

第貳部分：非選擇題

1. (1) 9 2 ；(2)

27 8 。

2. (1) 5

3 ；(2) ( 4 ,－9 , 10 ) 或 (－4 , 11 ,－6 )。

解 析

第壹部分：選擇題 一、單選題 1. 答案 5

解析 16 log x＝10x，兩邊取 log ( log x ) ( log16 )＝log10＋log x ( 4log2－1 )‧log x＝1

log x＝ 1

4log2－1 ～～

1 4×0.301－1

＝ 1

0.204 ～～4.902，

由 log x 首數為 4，x 的整數部分是五位數， 而尾數 0.902 約為 log 8， 故選(5)。

2. 答案 1 解析 設 x6 ( x＋2 )5

＝( x＋1 ) ( x－1 ) Q (x)＋ax＋b……(＊) x＝1 代入(＊) a＋b＝243………○1 x＝－1 代入(＊) －a＋b＝1 ……○2

解○1 ○2 得 a＝121，b＝122， x＝－2 代入(＊) 0＝3Q (－2 )－2a＋b 3Q (－2 )＝2a－b＝2×121－122＝120 Q (－2 )＝40，故選(1)。

3. 答案 2 解析 計算數列的前幾項：

a1＝1，a2＝0，a3＝3，a4＝1＝a1， 即〈an〉＝〈1 , 0 , 3 , 1 , 0 , 3 ,…〉， 將 n 分成 3k、3k＋1、3k＋2 討論，

Sn n ＝

4k 3k ，n＝3k

4k＋1 3k＋1 ，n＝3k＋1

4k＋1 3k＋2 ，n＝3k＋2

，

故 limn→∞

Sn n ＝

4 3 ，故選(2)。

數學甲 指定科目考試模擬試題

13 數 學 甲

二、多選題 4. 答案 234

解析 X 的機率分配表如下：

(1) ×：E ( X )＝1× 1 2 ＋2×

1 3 ＋3×

1 6 ＝

5 3 。

(2) ○：E ( X 2 )＝12× 1 2 ＋22×

1 3 ＋32×

1 6

＝ 10 3 。

(3) ○：σ2 ( X )＝E ( X 2 )－〔E ( X )〕2

＝ 10 3 －(

5 3 )2＝

5 9

σ( X )＝ 5

3 。

(4) ○。 (5) ×：σ( 2X＋1 )＝2σ( X )。 故選(2)(3)(4)。

5. 答案 24 解析 L1 上的點可表為 ( 2t＋2 , t )，

1 a

b 1

2t＋2

t＝

( a＋2 ) t＋2

( 2b＋1 ) t＋2b

為 L2：3x＋4y＋10＝0 上的點， 故 3〔( a＋2 ) t＋2〕＋4〔( 2b＋1 ) t＋2b〕＋10 ＝0 ( 3a＋8b＋10 ) t＋( 8b＋16 )＝0， 上式對任意 t 都成立 3a＋8b＋10＝0 且 8b＋16＝0 a＝2，b＝－2。 (1) ×：a＋b＝0。 (2) ○。 (3) ×：det A≠0，若 A 將 P 變換到 P，P 只能是原點，但 L1 與 L2 的交點 不是 ( 0 , 0 )。 (4) ○：det A＝5。

(5) ×：A－1＝ 1 5

1 －2

2 1 y＝

2 5 。

故選(2)(4)。

6. 答案 345 解析 f (x)＝0 有重根，則 f (x)＝3a ( x－ )2

f (x)＝a ( x－ )3＋k，k 是常數。 (1) ×：若 k≠0，f (x)＝0 有一實根二虛根。 (2) ×：若 k≠0，f (x)＝0 沒有重根。 (3) ○。 (4) ○：f (x)＝3ax2＋2bx＋c＝0 有重根 判別式＝0 ( 2b )2－4 ( 3a ) c＝0 b2－3ac＝0。 (5) ○：f (x) 是單調函數。 故選(3)(4)(5)。

7. 答案 134 解析 在複數平面上，

1、ω、ω2、ω3、ω4、 ω5、ω6 等分單位圓。 (1) ○：| ω2 |＝| ω5 |＝1。

(2) ×：1 到 ω3 的距離較長。 (3) ○：ω2 與 ω5 對稱 x 軸。

(4) ○：考慮 0、1、ω 為頂點的等腰三角形，

底角 1 2 (π－

2π 7 )

＝ 5π 14 大於頂角

2π 7

| 1－ ω |＜1。 (5) ×：虛數不比較大小。 選(1)(3)(4)。

8. 答案 45 解析 設 u 、 v 的夾角為 α， u ＋ v 與 u － v 的夾

角為 θ： | u ＋ v |2＝| u |2＋2 | u | | v | cosα＋| v |2 ＝5＋4 cosα， | u － v |2＝| u |2－2 | u | | v | cos＋| v |2 ＝5－4 cosα，

( u ＋ v )‧( u － v )＝| u |2－| v |2＝－3， 由 ( u ＋ v ) (‧ u － v ) ＝| u ＋ v | | u － v | cosθ －3＝ 5＋4 cosα 5－4 cosα cosθ

cosθ＝ －3

25－16 cos2α ，

因為 0 ≤ cos2α ≤ 1 3 ≤ 25－16 cos2α ≤ 5，

故－1 ≤ cosθ≤－ 3 5 ，

選(4)(5)。

三、選填題

A. 答案 ( 36 25 ,

48 25 )

解析 如右圖， BC ＝5，

設 CD ＝x，

由 AC 2＝ CD × BC

9＝5x

x＝ 9 5 ，而 BD ＝5－

9 5 ＝

16 5

BD ： CD ＝16：9，由分點公式，

故 D 點的坐標為

( 4×9＋0×16

16＋9 , 0×9＋3×16

16＋9 )

＝( 36 25 ,

48 25 )。

x 1 2 3

f (x) 1 2

1 3

1 6

南一大考教學誌 14 指考特輯

B. 答案 1 2

解析 ( i ) 最大點數是 6、最小點數 3： 三個點數都不同：( 6 , 5 , 3 ) 或 ( 6 , 4 , 3 )， 共有 2×3！＝12 ( 種 )。 有相同點數：( 6 , 6 , 3 ) 或 ( 6 , 3 , 3 )，

共有 2× 3！

2！＝6 ( 種 )。

(ii) 最大點數是 4、最小點數 2： 三個點數都不同：( 4 , 3 , 2 )， 共有 3！＝6 ( 種 )。 有相同點數：( 4 , 4 , 2 ) 或 ( 4 , 2 , 2 )，

共有 2× 3！

2！＝6 ( 種 )。

(iii) 最大點數是 2、最小點數 1： 三個點數都不同：0 種。 有相同點數：( 2 , 2 , 1 ) 或 ( 2 , 1 , 1 )，

共有 2× 3！

2！＝6 ( 種 )。

所以，最大點數是最小點數 2 倍的情形有 12＋6＋6＋6＋6＝36 ( 種 )， 其中三個點數都不同的情形有 12＋6＋0＝18 ( 種 )，

故機率為 18 36 ＝

1 2 。

C. 答案 5 －1

2

解析 如右圖，設 CM ＝a，

則 CD ＝a cosθ，

BC ＝2a secθ，

DF ＝ DN ＋ NF

＝ DM sinθ＋a

＝a sinθ‧sinθ＋a＝a ( 1＋sin2θ)，

DE ＝ DF cosθ＝a ( 1＋sin2θ) cosθ，

又 CE ＝ CD ＋ DE

a secθ＝a cosθ＋a ( 1＋sin2θ) cosθ， 消去 a、同乘 cosθ 1＝cos2θ＋( 1＋sin2θ) cos2θ， 由 sin2θ＝1－cos2θ cos4θ－3 cos2θ＋1＝0

cos2θ＝ 3± 5

2 ，

但 0 ≤ cos2θ≤ 1，所以 cos2θ＝ 3－ 5

2 ，

故 cosθ＝ 3－ 5

2 ＝ 5 －1

2 。

第貳部分：非選擇題

1. 答案 (1) 9 2 ；(2)

27 8

解析 (1) 直線 AB 斜率

＝ 1－4

－1－2 ＝1，

直線 AB 方程式為

y＝x＋2， AB 與

所圍區域的面積

＝∫2－1 ( x＋2－x2 ) dx

＝( 1 2 x

2＋2x－ 1 3 x

3 ) |2－1

＝( 2＋4－ 8 3 )－(

1 2 －2＋

1 3 )＝

9 2 。

(2) 設 P ( a , a2 )， 由 y'＝2x，切線 L 的斜率為 2a 2a＝1

a＝ 1 2 ，得 P 的坐標為 (

1 2 ,

1 4 )；

PA ＝(－ 3 2 ,

3 4 )， PB ＝(

3 2 ,

15 4 )，

△ABP 的面積＝ 1 2 |

－

3 2

3 4

3 2

15 4

|＝ 27 8 。

2. 答案 (1) 5

3 ；

(2) ( 4 ,－9 , 10 ) 或 (－4 , 11 ,－6 )

解析 (1) 平面 E 的法向量 n1 ＝( 1 , 2 , 2 )，

xy 平面的法向量 n2 ＝( 0 , 0 , 1 )，

cosθ＝± n1 ‧ n2

n1 n2 ＝±

2 3

sinθ＝ 5

3 。

(2) 如右圖，

設 M 是 AB 的中點

M ( 0 , 1 , 2 )，

AB ＝(－4 , 0 , 2 )， AB ＝2 5 ， △ABP 的面積為 30

1 2 ×2 5 × MP ＝30 MP ＝6 5 ，

由 MP AB 且 MP n1

MP // ( AB × n1 ) ＝(－4 , 0 , 2 )×( 1 , 2 , 2 ) ＝(－4 , 10 ,－8 ) ＝－2 ( 2 ,－5 , 4 )， 設 MP ＝t ( 2 ,－5 , 4 )， | MP |＝3 5 | t | t＝±2， 故 P 的坐標 ＝( 0 , 1 , 2 )±2 ( 2 ,－5 , 4 ) ＝( 4 ,－9 , 10 ) 或 (－4 , 11 ,－6 )。

15 數 學 甲

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