1

1

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1

Vežba br.2

2

KONCEPTPRORAČUNAAB PRESEKA

TEORIJA DOPUŠTENIH

NAPONA

TEORIJAGRANIČNIH

STANJA

PREDAVANJA !

2

3TEORIJA DOPUŠTENIH NAPONA

σ ≤ σdoz

- Osnovni princip ovog proračuna je da napon u eksploataciji konstrukcije (σ), pri najnepovoljnijoj kombinaciji opterećenja, ne smeju da pređu odgovarajuće dopuštene napone (σdoz), utvrđene propisima.

4TEORIJA DOPUŠTENIH NAPONAOsnovne pretpostavke:1. Beton i armatura su homogeni elastični materijali za koje

važi Hukov zakon (linearna veza σ−ε)

σ = E×εσ

ε

σb = Eb×εb

σa = Ea×εa

2. Važi Bernulijeva hipoteza – presek i nakon deformacije ostaje ravan i upravan na deformisanu osu nosača

3

5

TEORIJA DOPUŠTENIH NAPONA

=a b

a bE Eσ σ

3. Dilatacije na spoju betona i armature su iste.

4. Zanemaruje se nosivost betona u zoni zatezanja tj. celokupnu silu zatezanja prihvata armatura.

εb = εaσb = Eb×εb

σa = Ea×εa

εb = εa

10= ⋅ = ⋅ = =a aa b b

b b

E En n

E Eσ σ σ

n- broj ekvivalencije

6DOPUŠTEN NAPONIDOPUŠTEN NAPONI u betonu (član 122. Pravilnika BAB 87)

- MB

- vrste napona (središnji ili ivični)

- dimenzije elementa

- stanja napona (pravo ili koso savijanje)

orjentacione vrednosti iznose:σs=0,25 MBσr=0,40 MB

4

7DOPUŠTEN NAPONI

DOPUŠTEN NAPONI u armaturi (član 124. Pravilnika BAB 87)

- dimenzije elementa

- σdop za GA zavisi od prečnika šipke

- σdop za RA i MA zavise od kvaliteta betona

8CENTRIČNO PRITISNUTI ELEMENTI

d

b

A a 1

G b

A a 2 σ a / n

σ b ε b = ε a

N

5

9

CENTRIČNO PRITISNUTI ELEMENTI

( )

1

1

= ⋅ ⋅ + ⋅

= ⋅ ⋅ + ⋅

ab b

b

b b

AN A n

A

A n

σ

σ µ

N = σb · Ab + σa · Aa= =σb · Ab + n · σb · Aa== σb · (Ab + n · Aa)== σb · Ai

N=Ng + Np

Ai – idealizovana površina presekaAi=(Ab + n · Aa)

-koeficijent armiranja= a

b

AA

µ

10

CENTRIČNO PRITISNUTI ELEMENTI

= ×µ, . , .a potr b potrA A

(1 )≥

⋅ + ⋅bs

NAnσ µ

iz uslova: σb ≤ σdoz i σdoz = σs

= a

b

AA

µ -koeficijent armiranja

( )b bN A n= ⋅ ⋅ + ⋅1σ µ

6

11MINIMALNI PROCENTI ARMIRANJA

Ø CENTRIČNI PRITISAK:

,max .

15min . min ( , )

30

=

u

Øe b d

cm

,0,6%max

4 12 , .6 12=

Φ Φ

b potra

AA

za pravougaone tj za kružne preseke

µmin= 0.6 % podužna armatura Aa:

poprečna armatura (uzengije):

µµmmaxax= 6 %= 6 %

12

CENTRIČNO PRITISNUTI ELEMENTIiλ =

li

- λ ≤50 proračun se radi bez uticaja izvijanja

- 50 < λ ≤ 120 uzima se u obzir uticaj izvijanja

=b

IiA

λ - vitkostli - dužina izvijanja koja zavisi od uslova oslanjanja i - poluprečnik inercije elementa u odnosu na osu oko

koje se izvijanje vrši

7

13

OJLEROVI SLUČAJEVI IZVIJANJA

14

CENTRIČNO PRITISNUTI ELEMENTI

Ø Usvojena podužna armatura Aa raspoređuje se jednako PO OBIMU PRESEKA;

Ø Uzengije se raspoređuju tako da svaka šipka podužne armature bude obuhvaćena ćoškom uzengije.

Ø Maksimalni razmak šipki podužne armature Aa u preseku je 40 cm;

Ø Minimalni prečnik šipke podužne armature Aa u stubovima iznosi 12 mm, a u zidnim nosačima 8 mm;

8

15

CENTRIČNO PRITISNUTI ELEMENTI

16

CENTRIČNO PRITISNUTI ELEMENTI

9

17PRIMER 1

Dimenzionisati centrično pritisnuti stub (ne uvodeći u proračunizvijanje), ukoliko je presek opterećen silama Ng i Np:

a) pravougaoni, zadate širine b = 30cm,

b) kružnog oblika.

GA 240/360MB 30Np = 1000 kNNg = 500 kN

MB 30 ⇒ σs = 8 MPa = 0,8 kN/cm2

18PRIMER 1a)

2 2, 0.6 10 1769 10.61−= × = × × =a b potrA A cmµ

(1 )=

⋅ + ⋅bs

NAnσ µ

N=Ng+Np=500+1000=1500 kN

usvajamo: µmin= 0.6 % ⇒ 22

1500 17690.8 (1 10 0.6 10 )−

= =× + × ×bA cm

, 1769 5930 30

= = =b potrpotr

Ad cm

⇒ usvajamo: d=60 cm

⇒ usvajamo: 8Ø14 (12,32 cm2)

10

19PRIMER 1a)

,max.

15 15 1.4 21min. min( , ) 30 21

30

= × = = = =

u

Ø cme b d cm cm

cm

ua a cmΦ= + Φ + = + + =0

1.42.5 0.8 4.02 2

⇒⇒ usvojeno: UØ8/20

20PRIMER 1b)

⇒ usvojeno:

D=50cm-2 2

,2

0,6% 0.6 10 1769 10.61 cmmax

6 12 6.78cm

= ⋅ ⋅ == =

b potra

AA

Ø

potr. b,potr.4 4D A 1769 47.6cm= × = × =π π

⇒ usvojeno:6Ø16(12.06 cm2)

11

21PRIMER 2

Dimenzionisati centrično pritisnuti stub (ne uvodeći u proračun izvijanje), ukoliko je presek pravougaoni, zadatihdimenzije b/d = 30/50 cm, opterećen silama Ng i Np.

b/d=30/50 cm

MB 30 ⇒ σs = 8 MPa = 0.8 kN/cm2

GA 240/360MB 30Np = 1000 kNNg = 500 kN

22PRIMER 2

1

= ⋅ ⋅ + ⋅

ab b

b

AN A n

Aσ

N=Ng+Np=500+1000=1500 kN

usvajamo: µmin= 0.6 %

− ×=

×b s

as

N AA

nσ

σ

⇒ usvajamo: 8Ø25 (39,27 cm2)

21500 30 50 0.8 37.510 0.8− × ×

= =×aA cm

⇒⇒ usvojeno:UØ8/30

,max .

15 15 2.5 37.5min. min( , ) 30 30

30

= × = = = =

u

Ø cme b d cm cm

cm

⇒

12

23PRIMER 2

ua a cmΦ= + Φ + = + + =0

2.52.5 0.8 4.552 2

24PRIMER 3

Stub pravougaonog poprečnog preseka, armiran prema skici, napregnut je silama pritiska usled stalnog, odnosno povremenog opterećenja. Potrebno je sračunati napone i dilatacije u betonu i armaturi (trenutak t=0) usled ukupnog opterećenja.

Np = 1000 kNGA 240/360

Ng = 500 kNMB 30

13

25

N =σb · Ai

Napomena:• Formulacija t=0 – podrazumeva ne uzimati u obzir tečenje i skupljanje• Pri proračunu napona i dilatacija sračunava se stvarna vrednost

parametra n

PRIMER 3

210 6.6731.5

= = =a

b

EnE

Ai = (Ab + n · Aa)

230 60 6.67 12.32 1882= + × = × + × =i b aA A n A cm

Aa = 8Ø14=12,32 cm2

MB 30 ⇒ Eb = 31,5 GPa

26PRIMER 3

037.96 0.253

31.5 10= = = % = =

×b a

b ab aE E

σ σε ε

6.67 7.96 53.1= × = × =a bn MPaσ σ

230 60 6.67 12.32 1882= + × = × + × =i b aA A n A cm

21500 0.796 / 7.961882

= = = =bi

N kN cm MPaA

σ

14

27PRIMER 4

Dimenzionisati konzolni stub, visine 3.0 m, pravougaonog poprečnog preseka, širine 30 cm, opterećen silama pritiska usled stalnog, odnosno povremenog opterećenja.

GA 240/360MB 30Np = 1000 kNNg = 500 kN

MB 30 ⇒ σs = 8 MPa = 0.8 kN/cm2

28PRIMER 4

pretpostavljamo: b=30 cm < d=?

Šta se menja kada je stub vitak?Ø Mora se smanjiti dopušteni napon u betonu

Ø Mora se povećati zahtevani minimalni procenat armiranja

min 0.4 0.6 (%)50

= − ≥λµ

1.4 0.4 ( 1)125

= × − − − i s s MPaλσ σ σ

i 502 2 300 69.31208.66

>× ×= = = = <

λb b

l Hi i

3

3012 8.6612 12

×

= = = = =×

b

b

b dI bi cmA b d

15

29PRIMER 4

pretpostavljeno b=30 cm < d=65 cm

69.3min 0.4 0.4 0.986% 0.6 (%)50 50

= − ≥ − = >λµ

69.31.4 0.4 ( 1) 1.4 8 0.4 (8 1) 6.92125 125

= × − − − = × − − − =i s s MPaλσ σ σ

, 1973 65.8830

≥ = =b potrpotr

Ad cm

b

2 2, . , . 0.986 10 1973 19.45−= × = × × =a potr b potrA A cmµ

2, 2

min

500 1000 1973(1 ) 0.692 (1 10 0.986 10 )−

+≥ = =

⋅ + ⋅ × + × ×b potri

NA cmnσ µ

⇒ usvajamo: d=65 cm

⇒ usvajamo: 8Ø20 (25,13 cm2)

30PRIMER 4

,max.

15 15 2.0 30min. min( , ) 30 30

30

= × = = = =

u

Ø cme b d cm cm

cm⇒⇒ usvojeno: UØ8/30

Usvojeno d=65 cm⇒Ab=30*65=1950 cm2 <Ab,potr=1973 cm2 ?Međutim usvojeno je nešto veća površina armature:

Aa,usv=25,13cm2 > Aa,potr=19.45 cm2

pa je napon u betonu u dopuštenim granicama.

230 65 10 25.13 2201= + × = × + × =i b aA A n A cm

21500 0.681 / 0.6922201

= = = ≤ =b ii

N kN cm MPaA

σ σ

16

31

CENTRIČNO ZATEZANJE

ØLUK SA ZATEGOMØZATEGNUT POJAS REŠETKI

ØUKUPNU SILU ZATEZANJA PRIHVATA ARMATURA !

,Z

= × ⇒ = ≤a a a a dopa

Z AA

σ σ σ

,

Z≥a

a dop

Aσ

32

eH ≥ 5 cm

e V ≥

3 c

m

Na primer za:

m = 5

n = 3

Ø20

b ≥ 2×2.5 + 2×0.8 + 5×2.0 + (5-1)×5.0 = 36.6 cm ⇒ b = 40 cmd ≥ 2×2.5 + 2×0.8 + 3×2.0 + (3-1)×3.0 = 18.6 cm ⇒ d = 20 cm

CENTRIČNO ZATEZANJE

b ≥ 2a0 + 2Øu + m×Ø + (m-1)×eHd ≥ 2a0 + 2Øu + n×Ø + (n-1)×eV

17

33

CENTRIČNO ZATEZANJE

7.52x8=16

5.5

40

4.5

4.5

5.5

4.5

20

4.57.5

UØ8/305Ø20

5Ø20

5Ø20

aI = a0 + Øu + Ø/2 = 2.5 + 0.8 + 2.0/2 = 4.3 cm ⇒ usv. aI = 4.5 cm

34PRIMER 5

Odrediti potrebnu površinu armature i oblikovati poprečnipresek pravougaonog oblika centrično zategnutog elementa.

GA 240/360Zp = 400 kNZg = 300 kN

GA 240/360 ⇒ σa = 140 MPa = 14 kN/cm2

18

35

Ø RAČUNSKI STATIČKI UTICAJI:

Z= Zg + Zp = 300 + 400=700 kN

PRIMER 5

b ≥ 2×2.5 + 2×0.8 + 4×2.5 + (4-1)×5.0 = 31.6 cm

d ≥ 2×2.5 + 2×0.8 + 3×2.5 + (3-1)×3.0 = 20.1 cm

usvojeno: 12Ø25 (58,90 cm2)

Ø 2700 50.014.0

= = =aa

ZA cmσ

usvojeno: b/d=35/20 cm

36PRIMER 6

Sračunati napon i dilataciju za usvojeni presek iz prethodnog primera.

03

118.8 0.566210 10

= = = %×

aa

aEσε

300 400 700= + = + =g pZ Z Z kN

2700 11.88 / 118.858.90

= = = =aa

Z kN cm MPaA

σ

Aa=58,90 cm2 (12Ø25)