การทดสอบสําหรับการทดสอบสําหรับตัวอยางชุดเดียวตัวอยางชุดเดียว ( (I)I)

โดยโดย ผศผศ.. ดรดร.. สุคนธสุคนธ ประสิทธ์ิวัฒนเสรีประสิทธ์ิวัฒนเสรีภาควิชาสถิติภาควิชาสถิติ คณะวิทยาศาสตรคณะวิทยาศาสตร

มหาวิทยาลัยเชียงใหมมหาวิทยาลัยเชียงใหม

208348208348 :: สถิตินอนพาราเมตริกสถิตินอนพาราเมตริก

2

เนื้อหาเนื้อหา• การทดสอบซึ่งใชการแจกแจงทวินามเปนหลัก• ขีดจํากัดที่ยอมรับได• การทดสอบแบบไคสแควร• การทดสอบซึ่งอาศัยหลักสถิติของโคลโมโกรอฟ-สเมอรนอฟ

• การทดสอบซึ่งอาศัยหลักของรันส

3

การทดสอบบางอยางซึง่ใชการการทดสอบบางอยางซึง่ใชการแจกแจงทวนิามเปนหลกัแจกแจงทวนิามเปนหลกั

• บทนํา• การทดสอบแบบทวินาม (Binomial test)• ชวงความเชื่อมั่นของความนาจะเปน• การทดสอบควอนไทล (Quantile test)• ชวงความเชื่อมั่นของควอนไทล

4

บทนําบทนํา• การทดสอบบางอยางซึ่งใชการแจกแจงแบบทวินามเปนหลัก จะใชในการวิเคราะหขอมูลแบบทวิภาค (Dichotomous)

• ขอมูลแบบทวิภาค คือขอมูลในมาตรวัดนามบัญญัติซ่ึงมีเพียง 2 กลุมเทานัน้โดยปกติมักกําหนดเปน– กลุมที่สนใจ หรือสําเร็จ– กลุมที่ไมสนใจ หรือลมเหลวหากสนใจจํานวนสมาชิกในกลุมที่สนใจ (X) มักพบวา X จะมีการแจกแจงแบบทวินาม

5

บทนําบทนํา• การแจกแจงทวินาม (Binomial Distribution)การทดลองทวินาม– เปนการทดลองซ้ํา ๆ กัน n ครั้ง โดยท่ีการทดลองแตละครั้งเปนอิสระกัน

– ในแตละครั้งของการทดลองเกิดผลลัพธที่เปนไปได 2 อยาง คือ ผลลัพธที่สนใจ (success, S) และผลลัพธที่ไมสนใจ (failure, F)

– ในแตละครั้งของการทดลอง มีคาความนาจะเปนที่จะเกิดผลลัพธที่สนใจคือ P(S) = p (P(F) = q = 1-p)

– สนใจตัวแปรสุม X จํานวนครั้งที่เกิดผลลัพธที่สนใจ โดยคาของ X ที่เปนไปไดคือ 0, 1, 2, …, nจะไดวา X ~ b(x; n, p)อานวา X มีการแจกแจงแบบทวินาม ภายใตการทดลองซ้ํา ๆ กัน n ครั้ง โดยมี P(S) = p

6

บทนําบทนํา

• Ex : Binomial Trialพิจารณาการศึกษาตอไปนี้วาเปนการทดลองทวินามหรือไม– ในการผาตัดรักษาผูปวยโรคชนิดหนึ่ง มีโอกาสสําเร็จ 85% ถาแพทยทําการผาตัดดังกลาวกับผูปวย 8 ราย สนใจจํานวนครั้งที่ประสบผลสําเร็จในการผาตัดเปนการทดลองทวินาม โดย X ~ b(x;n = 8, p=0.85)

7

บทนําบทนํา• Binomial Probabilitiesจากการทดลองทวินาม ความนาจะเปนที่จะเกิดผลลัพธที่สนใจ x ครั้ง จากการทดลอง n ครั้ง คํานวณไดจากสูตรตอไปนี้

xnx ppxn

xP −−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= )1()(

โดยที่ 0 < P(xi) < 1 และ ∑P(xi) = 1

E(X) = np

V(X) = npq

Probability mass function

8

ExEx :: Finding binomial distributionFinding binomial distribution

• ทอดลูกเตาเที่ยงตรง 1 ลูก จํานวน 3 ครั้ง จงหาความนาจะเปนที่ลูกเตาขึ้นหนา 6 เพียง 1 ครั้ง

X = จํานวนลูกเตาขึ้นหนา 6

= 0, 1, 2, 3

X ~ b(x,n = 3, p = 1/6)

P(x=1) = 3C1(1/6)1(5/6)2

= 3(1/6)(5/6)2

9

Table : Binomial Dist.Table : Binomial Dist.

pn y .05 .10 … .451 0 .9500 .9000 … .5500

1 1.0000 1.0000 … 1.0000

2 0 … .30251 … .79752 … 1.000

…

P(Y < 1)

10

ตัวอยางตัวอยาง• โรงเรียนแหงหนึ่งมีนักเรียนสวมแวนสายตาสั้น 15% ถาสุมนักเรียนจํานวน 10 คน จงหาความนาจะเปนก. ไดนักเรียนสวมแวนสายตาสั้น 3 คนข. ไดนักเรียนสวมแวนสายตาสั้นอยางมาก 3 คนค. ไดนักเรียนสวมแวนสายตาสั้นมากกวา 3 คน

ให X = จํานวนนักเรียนทีส่วมแวนสายตาสั้น

= 0, 1, 2, …, 10

X ~ b(x;n = 10, p = 15% = 0.15)

ก. P(x=3) = 10C3(0.15)3(0.85)7

= 0.9500 – 0.8202 = 0.1298

ข. P(x<3) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3)

= 0.95

11

ตัวอยางตัวอยางให X = จํานวนนักเรียนทีส่วมแวนสายตาสั้น

= 0, 1, 2, …, 10

X ~ b(x;n = 10, p = 15% = 0.15)

ค. P(x > 3) = P(x=4) + P(x=5) + P(x=6) +… + P(x=10)

= 1 – 0.95 = 0.05

จาก ∑P(xi) = 1

ดังน้ันP(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)+…+P(x=10) = 1

จะไดวา P(x=4) + ... + P(x=10) = 1 – P(x<3)

12

การทดสอบทวินามการทดสอบทวินาม (Binomial Test)(Binomial Test)

• จุดเดน– เปนการทดสอบที่งายและสะดวก– ใชกับขอมลูทุกมาตรวัด– มีกําลังในการทดสอบที่ดี– ใชสําหรับทดสอบคาสัดสวนของเหตุการณที่สนใจ

13

Binomial TestBinomial Test• ขอมูล (Data)

– ผลจากการทดลอง n ครั้ง แตละการทดลองไดผลเปน “สําเร็จ (S)” หรือ “ลมเหลว (F)”

– ให O1 = จํานวนครั้งที่สําเร็จ

O2 = จํานวนครั้งที่ลมเหลว

– O1 + O2 = n

• ขอตกลงเบื้องตน (Assumption)– การทดลอง n ครั้งไมเกิดขึ้นรวมกนั (Mutually exclusive)

– ความนาจะเปนที่จะไดผลสําเร็จในแตละการทดลอง = p

14

Binomial TestBinomial Test• สมมุติฐานทางสถิติ (Statistical hypothesis)

– การทดสอบ 2 ทาง (2 tailed test)

H0 : P = p* vs. H1 : P ≠ p*

– การทดสอบทางเดียวดานมาก

H0 : P < p* (หรือ P = p*) vs. H1 : P > p*

– การทดสอบทางเดียวดานนอย

H0 : P > p* (หรือ P = p*) vs. H1 : P < p*

• สถิติทดสอบ (Statistical Test)

T = จํานวนครั้งที่ไดผลสําเร็จ = O1

เมื่อ p* = คาคงที่ โดย 0 < p* < 1

15

Binomial TestBinomial Test• อาณาเขตวิกฤต (Critical Regions)ที่ระดับนัยสําคัญ α

– กรณีการทดสอบ 2 ทางจะกําหนดคาวิกฤตทั้งดานซาย (t1) และขวา (t2) น่ันคือ

เขตวิกฤต : T < t1 หรือ T > t2• สําหรับตัวอยางขนาดเล็ก (n < 20)ใชตารางทวินามที่คา p* และ n ทําการพิจารณาคาที่ทําให α1 ≈ α2

P(Y < t1) = α1

และ P(Y > t2) = α2 หรือ P(Y < t2) = 1 - α2

• สําหรับตัวอยางขนาดใหญประมาณคา t1 = np* + zα/2√np*(1 - p*) และ

t2 = np* + z1-α/2√np*(1 - p*)

Acception Acception regionregion

1 - α α/2

Yt2

α/2

t1

16

Binomial TestBinomial Test• Critical Regions (ตอ) ที่ระดับนัยสาํคัญ α

– กรณีการทดสอบทางเดียวดานมาก จะกําหนดคาวิกฤตเฉพาะดานขวา นั่นคือ

เขตวิกฤต : T > t• สําหรับตัวอยางขนาดเล็ก (n < 20)ใชตารางทวินามที่ p*, n ทําการพิจารณาคา

P(Y > t) = α หรือ P(Y < t) = 1 - α

• สําหรับตัวอยางขนาดใหญประมาณคา t = np* + z1- α √np*(1-p*)

Acception Acception regionregion

1 - α α

Yt

17

Binomial TestBinomial Test• Critical Regions (ตอ) ที่ระดับนัยสาํคัญ α

– กรณีการทดสอบทางเดียวดานนอย จะกําหนดคาวิกฤตเฉพาะดานซาย นั่นคือ

เขตวิกฤต : T < t• สําหรับตัวอยางขนาดเล็ก (n < 20)ใชตารางทวินามที่ p*, n ทําการพิจารณาคา

P(Y < t) = α

• สําหรับตัวอยางขนาดใหญประมาณคา t = np* + zα √np*(1-p*)

Acception Acception regionregion

1 - α

Yα

t

18

• ทดลองหาคาวกิฤต– จงหาคาวิกฤตของการทดสอบ 2 ทาง เมือ่กําหนด α = 0.05, p* = 0.5 และ n = 10P(Y < 1) = 0.0107 P(Y < 2) = 0.0547P(Y < 8) = 0.9893 P(Y < 7) = 0.9453ดังน้ัน เขตวิกฤตคือ T < 1 หรือ T > 7 (T > 8)

– จงหาคาวิกฤตของการทดสอบทางเดียวดานมาก เมื่อกําหนด α = 0.05, p* = 0. 5 และ n = 10P(Y < 8) = 0.9893 P(Y < 7) = 0.9453ดังน้ัน เขตวิกฤตคือ T > 7

Binomial TestBinomial Test

P(Y<t1)=.025

P(Y<t2)=.975

P(Y<t)=.95

19

Binomial TestBinomial Test

• การตดัสนิใจจะปฏิเสธ H0 เมื่อคา Tcal ที่คํานวณไดตกอยูในเขตวิกฤต

20

ตัวอยางตัวอยาง 11เครื่องจักรเครื่องหนึ่งยังสามารถทํางานได ถา 5% หรือนอยกวาของสวนประกอบ (ชิ้นสวน) เสีย แตถาเสียมากกวา 5% ก็ตองไดรับการซอมแซมถาหยิบชิ้นสวนมา 10 ชิ้นจากเครื่องจักรหนึง่ แลวพบชิ้นสวนเสยีหรือชํารุด 1 ชิ้น จะสรุปผลไดอยางไร

• พิจารณาลักษณะขอมูล– เปนขอมูลทดลองหยิบช้ินสวน 10 ช้ิน ตรวจสอบแตละช้ินไดผลเปน ดี หรือเสีย => การทดลองทวินาม

– ขอมูลอยูในมาตรนามบญัญัติ– ตองการทดสอบสัดสวนที่เสียเกินกวา 5% หรือไมน่ันคือ P > .05 ?

21

• HypothesisH0 : P = .05H1 : P > .05

• Statistical TestTcal= จํานวนชิ้นสวนที่เสีย

= 1 [n=10]

ขอสงสัยคือ P > .05 ?

• Critical Region กําหนด α = 0.05ทดสอบทางเดียวดานมาก, n = 10, p* = .05จากตารางทวินาม P(Y < 1) = 0.9139เขตวิกฤต คือ T > 1

• Conclusion

จาก Tcal ไมตกในเขตวิกฤต จึง Accept H0 นั่นคือ

ที่ α = 0.05 เครื่องจักรนี้ยังสามารถทํางานไดอยู

22

ตัวอยางตัวอยาง 22ในการผสมพันธุพืช 2 ชนิด ภายใตทฤษฎีอยางงายของ Mendel จะไดวา ¼ ของตนไมจะเปนพันธุเต้ีย และ ¾ ของตนไมจะเปนพันธุสูง ในการทดลองเพื่อทดสอบดูวา ขอสมมติตามทฤษฎีดังกลาวจะเปนจริงหรือไม พบวามีตนไมพันธุเต้ีย 243 ตน และพันธุสูง 682 ตน ทานจะสรุปผลอยางไร ที่ระดับนัยสําคัญ 0.05• พิจารณาลักษณะขอมลู

– เปนขอมูลทดลองปลูกไม 925 ตน ผลการปลูกแตละตนเปน ตนเตี้ย หรือตนสูง => การทดลองทวินาม

– ขอมูลอยูในมาตรนามบญัญัติ– ตองการทดสอบวา ทฤษฎี Mendel เปนจริงหรือไม สัดสวนตนเตี้ย (P) = ¼ ? สัดสวนตนสูง (Q) = ¾ ?

23

• HypothesisH0 : P = .25H1 : P ≠ .25

• Statistical TestTcal= จํานวนตนเตี้ยที่ได

= 243 [n=925]

ขอสงสัยคือ P = ¼ = .25 ?

• Critical Region กําหนด α = 0.05ทดสอบ 2 ทาง, n = 925, p* = .25ประมาณ

t1 = 925(.25) – 1.96√925(.25)(.75) = 205.44t2 = 925(.25) + 1.96√925(.25)(.75) = 257.06

เขตวิกฤต คือ T < 205.44 หรือ T > 257.06

• Conclusion

จาก Tcal ไมตกในเขตวิกฤต จึง accept H0 น่ันคือ

ที่ α = 0.05 ทฤษฎี Mendel เปนจริง

*)1(**21 pnpznpt −±= −α

24

ชวงความเชื่อมั่นของความนาจะเปนชวงความเชื่อมั่นของความนาจะเปน (Confidence Interval for a Probability)(Confidence Interval for a Probability)

• จุดเดน– เปนการประมาณคาแบบชวงของคาสัดสวนประชากร– ใชกับขอมลูทุกมาตรวัด– อาศัยหลักการของการทดสอบทวินามชวยในการประมาณคาแบบชวง

Population

P = ?

Sample

p = Y/n

(1-α)100% CI ของ P

PL < P < PU

25

C.I. of ProbabilityC.I. of Probability• ขอมูล (Data)

– ผลจากการทดลอง n ครั้ง แตละการทดลองไดผลเปน “สําเร็จ (S)” หรือ “ลมเหลว (F)”

– ให Y = จํานวนครั้งที่สําเร็จ

• ขอตกลงเบือ้งตน (Assumption)– การทดลอง n ครั้งไมเกิดขึ้นรวมกัน (Mutually

exclusive)

– ความนาจะเปนที่จะไดผลสําเร็จในแตละการทดลอง = p

26

C.I. of ProbabilityC.I. of Probability• วิธีการประมาณคาแบบชวง

– ใชตารางของ Clopper & Pearson (ตารางที่ 2)

สําหรับกรณี• (1-α) = 0.99, 0.98, 0.95, 0.90, 0.80

• n < 10– ใชกราฟในตารางที่ 4 เมื่อ (1-α) = 0.99, 0.95

– ใชตารางทวินาม (ตารางที่ 1) เมื่อ• (1-α) ≠ 0.99, 0.95

• n < 20

– ใชสตูร large sample approximate เมื่อ n > 20

27

C.I. of ProbabilityC.I. of Probability• ใชตารางของ Clopper & Pearsonที่ระดับความเชื่อมั่น (1-α)100% คาประมาณของ P คือ

PL < P < PU หรือ L < P < U

โดยท่ี คา L และ U หาไดจากตารางที่ 2

n = 1

B α pL(α) pU(α)

0 .010 .0000 .9950

.020 .0000 .9900

.050 .0000 .9750

.100 .0000 .9500

…

Table 2 Selected CI for the probability of success

n = ขนาดตัวอยาง

B = Y = จน. SuccesspL(α) = L

pU(α) = U

28

C.I. of ProbabilityC.I. of Probability• ตัวอยางถาสุมตัวอยางน.ศ. มช. มา 8 คน พบวาเปนน.ศ.ที่มีภูมิลําเนาใน จ.เชียงใหม จํานวน 2 คน จงหาชวงความเชื่อมั่น 98% ของสัดสวนของน.ศ.ที่มีภูมิลําเนาอยูในเชียงใหม

n = 8

B α pL(α) pU(α)

2 .010 .0137 .7422

.020 .0197 .7068

.050 .0319 .6509

…

Table 2

ให P = สัดสวนของน.ศ.ที่มีภูมิลําเนาในเชียงใหม

n = 8, Y = จน.น.ศ. ทีม่ีภูมิลําเนาในเชียงใหม = 2

98% CI ของ P คือ L < P < Uโดยที่ คา L และ U หาจากตารางที่ 2

ดังน้ัน 98% CI ของ P คือ

.0197 < P < .7068

29

C.I. of ProbabilityC.I. of Probability

• ใชกราฟในตารางที่ 4– เลือกระดับความเชื่อมั่น– จาก p = Y/n

• p<.50 ดูจากดานลาง

• p>.50 ดูจากดานบน

– ลากเสนตดัเสนโคง n

– อานคา L และ U

เชน ที่ n = 12, p = .40

จะได L = .14

U = .71L

U

n

30

C.I. of ProbabilityC.I. of Probability• ใชตารางทวินาม

ที่ ขนาดตัวอยาง = n และ จน. success = Y– ประมาณคา L โดยหาคา P(X < Y-1) = p1 ≈ 1 - α/2

จะได L = คา p ในแถวบนสดุของ p1

– ประมาณ U โดยหาคา P(X < Y) = p2 ≈ α/2

จะได U = คา p ในแถวบนสดุของ p2

n Y p = .05 .10 .15 ... .75 .80

8 0 .6634 .4305 .2725 .0000 .0000

1 .9428 .8131 .6572 .0004 .0001

2 .9942 .9619 .8948 .0042 .0012

3 .9996 .9950 .9786 .0273 .0104

…

Table 1เชน n = 8, Y = 3ประมาณคา L ⇒ P(X<2)=.9619⇒ ≈ .975

ประมาณคา U⇒ P(X<3)=.0273⇒ ≈ .025

= .10

= .75

31

C.I. of ProbabilityC.I. of Probability• ใชสูตร large sample approximate

ที่ ขนาดตัวอยาง = n และ จน. success = Y ดังน้ัน p = Y/n

ประมาณคา L และ U โดย

หรือ

หรือ

npqzpL

2α+=

npqzpU

21 α−+=

32

)(n

YnYnY zL −+= α

32

)(1 n

YnYnY zU −

−+= α

32

ตัวอยางตัวอยาง• จากการสุมโรงเรยีนมัธยม 20 แหง เพ่ือดูวามีมาตรฐานการศึกษาหรือไม พบวา มี 7 แหงที่มีมาตรฐานที่ดี จงหาชวงความเชื่อมั่น 95% ของ P โดยท่ี P คือสัดสวนของโรงเรยีนทั้งหมดที่มีมาตรฐานที่ดี

ตองการหา 95% CI ของ P

เมื่อ n = 20, Y = 7

33

• ใชกราฟในตารางที่ 4ที่ n = 20,

p =7/20= .35

จะได L = .15

U = .59

ดังน้ัน 95% CI ของ P

.15 < P < .59

L

U

34

C.I. of ProbabilityC.I. of Probability• ใชตารางทวินาม

n Y p = .05 .10 .15 .20 ... .55 .60

20 …

5 .9997 .9887 .9327 .8042 .0064 .0016

6 1.0000 .9976 .9781 .9133 .0214 .0065

7 1.0000 .9996 .9941 .9679 .0580 .0210

…

Table 1

n = 20, Y = 7ประมาณคา L ⇒P(X < 6)=.9781 ≈ .975

ประมาณคา U⇒P(X < 7)=.0210 ≈ .025ดังน้ัน 95% CI ของ P คอื .15 <P< .60

= .15

= .60

35

C.I. of ProbabilityC.I. of Probability• ใชสูตร large sample approximateที่ n = 20 และ Y = 7 ดังนั้น p = 7/20 = .35

ประมาณคา L และ U โดย

npqzpL

2α+=

npqzpU

21 α−+=

14.96.135. 20)65(.35. =−=

56.96.135. 20)65(.35. =+=

จากตาราง z ที่ α = .05

จะได z.025 = -1.96 และ z.975 = 1.96

ดังนั้น 95% CI ของ P คือ .14 < P < .56

36

การทดสอบควอนไทลการทดสอบควอนไทล (Quantile test)(Quantile test)

• จุดเดน– เปนการทดสอบที่อาศัยหลักการเดียวกับการทดสอบแบบทวินาม

– ทําการทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับคาควอนไทลของขอมูล หรือคาตําแหนงของขอมูล

– ขอมูลตองอยูในมาตรวัดเรียงลําดับ

37

ควอนไทลควอนไทล (Quantile)(Quantile)• เปนคาตําแหนงของขอมูล ภายใตการแบงขอมูลออกเปนสวน ๆ

• เทอมของควอนไทลที่รูจักกันดี– median = คาที่แบงขอมูลเปนสองสวนเทา ๆ กัน– quartile : Qr = คา Xr(n+1)/4 ที่มีขอมลูมีคาต่ํากวาอยู r/4 – decile : Dr = คา Xr(n+1)/10 ที่มีขอมูลมีคาต่ํากวาอยู r/10– percentile : Pr = คาที่มขีอมูลมีคาต่าํกวาอยู r/100

3 4 5 6 7 8 9 10 11= 4.25 Q1 = X1(12+1)/4 = X3.25

X

38

ควอนไทลควอนไทล (Quantile)(Quantile)สําหรับการคาํนวณคาควอนไทลใด ๆ ของตัวแปรสุม X• ให X เปนตัวแปรสุมไมตอเน่ืองที่มีฟงกชันความหนาแนนความนาจะเปน (Probability density function, pdf) f(x)

f(x) = P(X = x)สามารถเขียนฟงกชันการแจกแจงสะสม (Cummulative distribution function, cdf) F(x)

F(x) = P(X < x)• ให xp = คาควอนไทลที ่p ซึ่งแสดงวา โอกาสทีค่าตัวแปรสุมมี

คานอยกวา xp ไมเกิน p (0 < p < 1) น่ันคือP(X < xp) < p และ P(X > xp) < 1 - p

x

f(x)

1/4

1 2 3 4x

F(x)

.5

1 2 3 4

x.2 = ?

.2

1

x.5 = ?2 < x.5 <3

39

ควอนไทลควอนไทล (Quantile)(Quantile)

• จาก xp = คาควอนไทลที่ p ดงันั้นP(X < xp) < p และ P(X > xp) < 1 - p

x

F(x)

.75

1 2 3 4

x.75 = ?

1.0

2

ตัวอยาง

x P(X = x)0 0.251 0.252 0.333 0.17

F(x)0.250.500.831.00

ตรวจสอบความถูกตอง

p = 0.75 => 1 – p = 0.25

P(X < 2) = 0.5 (นอยกวา p)

P(X > 2) =0.17 (นอยกวา 1-p)

40

Quantile TestQuantile Test

• ขอมูล (Data)– ทําการศึกษาในตัวอยางขนาด n

– กําหนดให x1, x2, ..., xn คือคาของขอมลู n ตัว

• ขอตกลงเบือ้งตน (Assumption)– Xi เปนตัวอยางที่ไดจากการสุม

– มาตรวัดของ Xi อยางนอยตองเปนมาตรเรียงลําดับ

41

Quantile TestQuantile Test• สมมติฐานทางสถติิ (Statistical hypothesis)

– การทดสอบ 2 ทาง (2 tailed test)

H0 : Xp* = x* vs. H1 : Xp* ≠ x*

H0 : P(X < x*) > p* and P(X < x*) < p*

H1 : P(X < x*) < p* or P(X < x*) > p*

– การทดสอบทางเดียวดานมาก

H0 : Xp* > x* (หรือ Xp* = x*) vs. H1 : Xp* < x*

H0 : P(X < x*) < p* vs. H1 : P(X < x*) > p*

– การทดสอบทางเดียวดานนอย

H0 : Xp* < x* (หรือ Xp* = x*) vs. H1 : Xp* > x*

H0 : P(X < x*) > p* vs. H1 : P(X < x*) < p*

• ขยายความสมมติฐานทางสถิติ– การทดสอบทางเดียวดานนอย

H0 : Xp* < x* (หรือ Xp* = x*) vs. H1 : Xp* > x*

H0 : P(X < x*) > p* vs. H1 : P(X < x*) < p*

42

Quantile TestQuantile Test

x

F(x)

p*

p0

xp*P(X > xp*) < 1 - p* x*

P(X > x*) < 1 - p0

p0 < 1 - P(X > x*)

p0 < P(X < x*)

ดังนั้น P(X < x*) > p0

เนื่องจาก p0 > p* เสมอ

จะได P(X < x*) > p*

ภายใต H0

• ขยายความสมมติฐานทางสถติิ

– การทดสอบทางเดียวดานมาก

H0 : Xp* > x* (หรือ Xp* = x*) vs. H1 : Xp* < x*

H0 : P(X < x*) < p* vs. H1 : P(X < x*) > p*

43

Quantile TestQuantile Test

x

F(x)

p*

p0

xp*

P(X < xp*) < p*

x*

P(X < x*) < p0

เนื่องจาก p0 < p* เสมอ

จะได P(X < x*) < p*

ภายใต H0

44

Quantile TestQuantile Test

• สถติิทดสอบ (Statistical Test)T2 = จํานวนคาสังเกตซึ่งมีคานอยกวา x*

T1 = จํานวนคาสังเกตซึ่งมีคานอยกวาหรือเทากับ x*

หมายเหตุ

T1 จะเทากับ T2 ถาไมมีจํานวนคาสังเกตที่มีคาเทากับ x*

45

QuantileQuantile TestTest• อาณาเขตวิกฤต (Critical Regions)ที่ระดับนัยสําคัญ α

– กรณีการทดสอบ 2 ทาง (2 tailed test)จะกําหนดคาวิกฤตทั้งดานซาย (t1) และขวา (t2) น่ันคือ

เขตวิกฤต : T1 < t1 หรือ T2 > t2• สําหรับตัวอยางขนาดเล็ก (n < 20)ใชตารางทวินามที่คา p* และ n ทําการพิจารณาคาที่ทําให α1 ≈ α2

P(X < t1) = α1

และ P(X > t2) = α2 หรือ P(X < t2) = 1 - α2

• สําหรับตัวอยางขนาดใหญประมาณคา t1 = np* + zα/2√np*(1 - p*) และ

t2 = np* + z1-α/2√np*(1 - p*)

46

Quantile TestQuantile Test• Critical Regions (ตอ)

– กรณีการทดสอบทางเดียวดานมาก จะกําหนดคาวิกฤตเฉพาะดานขวา นั่นคือ

เขตวิกฤต : T2 > t2• สําหรับตัวอยางขนาดเล็ก (n < 20)ใชตารางทวินามที่ p*, n ทําการพิจารณาคา

P(X > t2) = α หรือ P(X < t2) = 1 - α

• สําหรับตัวอยางขนาดใหญประมาณคา t2 = np* + z1- α √np*(1-p*)

47

Quantile TestQuantile Test• Critical Regions (ตอ)

– กรณีการทดสอบทางเดียวดานนอย จะกําหนดคาวิกฤตเฉพาะดานซาย นั่นคือ

เขตวิกฤต : T1 < t1• สําหรับตัวอยางขนาดเล็ก (n < 20)ใชตารางทวินามที่ p*, n ทําการพิจารณาคา

P(X < t1) = α

• สําหรับตัวอยางขนาดใหญประมาณคา t1 = np* + zα √np*(1-p*)

48

ตัวอยางตัวอยาง 11ในการสอบเขามหาวิทยาลัยเอกชนแหงหนึ่ง นักเรียนจะตองทาํขอสอบชุดหนึ่ง ซึ่งใชทดสอบมาเปนเวลาหลายปแลว และเชื่อไดวา ควอไทลที่ 3 ของคะแนนเปน 193 ในการสอบครั้งใหมน้ีมีนักเรียนเขาสอบ 15 คน และไดคะแนนดังน้ี 189, 233, 195, 160, 212, 176, 231, 185, 199, 213, 202, 193, 174, 166, และ 248 จากขอมูลน้ี จะยังคงกลาวไดหรือไมวา ควอไทลที ่3 มีคาเปน 193 ที่ระดับนัยสําคัญ 0.05

• พิจารณาลักษณะขอมูล– ขอมูลอยูในมาตรอันตรภาค– ตองการทดสอบวาควอไทลที่ 3 เทากับ 193 หรือไมน่ันคือ x0.75 = 193 ?

49

• HypothesisH0 : x0.75 = 193H1 : x0.75 ≠ 193

• Statistical TestT2 = จํานวนผูที่มีคะแนน < 193 = 6

T1 = จํานวนผูที่มีคะแนน < 193 = 7[n=15]

ขอสงสัยคือ x0.75 = 193 ?

• Critical Region กําหนด α = 0.05ทดสอบ 2 ทาง, n = 15, p* = .75จากตารางทวินาม P(X < 7) = 0.0173, P(X < 13) =0.9198เขตวิกฤต คือ T1 < 7 หรือ T2 > 13

• Conclusionจาก T1 ตกในเขตวิกฤต จึง Reject H0 น่ันคอื

ที่ α = 0.05 ควอไทลที่ 3 มีคาแตกตางจาก 193

50

ตัวอยางตัวอยาง 22ในการบันทึกระยะเวลาระหวางการพุงขึ้นของน้ําพุรอนที่ชื่อ “Old Faithful” 112 ครั้ง เพื่อดูวามัธยฐาน (median interval) จะนอยกวาหรือเทากับ 60 นาที หรือจะมากกวา 60 นาทีนั้น ปรากฏวาจาก 112 ครั้งที่น้ําพุงขึ้นนัน้มี 8 ครั้ง ที่ระยะเวลาการพุงแตละครั้งจะ < 60 นาที จากผลการบันทึกนี้ทานจะสรุปไดอยางไร ที่ระดับนัยสําคัญ .05

• พิจารณาลักษณะขอมูล– ขอมูลระยะเวลาการพุงของน้ําแตละครั้ง อยูในมาตรอัตราสวน– ตองการทดสอบวามัธยฐานจะนอยกวาหรือเทากับ 60 นาที หรือไมน่ันคือ x0.5 < 60 ?

51

• HypothesisH0 : x0.5 < 60H1 : x0.5 > 60

• Statistical TestT1 = จํานวนครั้งที่ระยะเวลาการพุง < 60 นาที

= 8 [n=112]

ขอสงสัยคือ x0.5 < 60 ?

H0 : P(X < 60) > 0.5H1 : P(X < 60) < 0.5

52

• HypothesisH0 : P(X < 60) > 0.5H1 : P(X < 60) < 0.5

• Statistical TestT1 = 8

• Critical Region กําหนด α = 0.05

ทดสอบทางเดียวดานนอย, n = 112, p* = .5

ประมาณ

t1 = 112(.5) – 1.645√112(.5)(.5) = 47.30

เขตวิกฤต คือ T1 < 47.30

• Conclusion

จาก T1 ตกในเขตวิกฤต จึง Reject H0 น่ันคอื

ที่ α = 0.05 มัธยฐานของระยะเวลาการพุงมากกวา 60 นาที

*)1(** 11 pnpznpt −−= −α

53

ชวงความเชื่อมั่นของควอนไทลชวงความเชื่อมั่นของควอนไทล (Confidence Interval for a Quantile)(Confidence Interval for a Quantile)

• จุดเดน– เปนการประมาณคาแบบชวงของคาควอนไทลที่ p*

(Xp*) เมื่อ p* เปนคาคงที่ใด ๆ (0 < p* < 1)– ใชกับขอมลูมาตรวัดเรียงลําดับ

Population

XP* = ?

Sample

xp*

(1-α)100% CI ของ XP*

X(r) < XP* < X(s)

54

C.I. of Quantile (XC.I. of Quantile (Xp*p*))• ขอมูล (Data)

– คาตัวแปรสุม X1, ..., Xn เปนอิสระตอกัน และมีการแจกแจงเหมือนกนั (iid random variable)

– ทําการเรียงลําดับขอมูลจากนอยไปหามาก โดยให

X(1)< X(2) < ... < X(r) < ... < X(s) < ... < X(n)

• ขอตกลงเบือ้งตน (Assumption)– ขอมูล X1, ..., Xn ไดจากมาอยางสุม

– ขอมูลอยางนอยตองอยูในมาตรเรียงลําดับ

55

C.I. of Quantile (XC.I. of Quantile (Xp*p*))

• วิธีการประมาณ C.I. of quantile– (1-α)100% CI ของ XP* คือ X(r) < XP* < X(s)

โดย P(X(r) < XP* < X(s)) = 1 - α

– ทําการเรยีงลําดับขอมูลจากนอยไปหามาก โดยให

X(1)<... < X(r) < ... < X(s) < ... < X(n)

– คํานวณคาตาํแหนง r และ s

– คาของขอมูลที่ตําแหนง r คือ X(r) เปนคา lower limit

– คาของขอมูลที่ตําแหนง s คือ X(s) เปนคา upper limit

56

C.I. of Quantile (XC.I. of Quantile (Xp*p*))• หาตําแหนง r และ s โดยใชตารางทวินาม (n < 20)

ที่ ขนาดตัวอยาง = n และ Prob. of success (p) = p*

– ประมาณคา r โดยหาคา P(X < r - 1) = α/2

– ประมาณคา s โดยหาคา P(X < s - 1) = 1 - α/2

n Y p = .05 .10 .15 ... .75 .80

8 0 .6634 .4305 .2725 .0000 .0000

1 .9428 .8131 .6572 .0004 .0001

2 .9942 .9619 .8948 .0042 .00123 .9996 .9950 .9786 .0273 .0104

…

7 1.0000 1.000 1.000 .8999 .8322

8 1.0000 1.000 1.000 1.000 1.000

Table 1เชน ที่ 1 - α = .95

n = 8, p* = .75ประมาณคา r ⇒ P(X<3)=.0273⇒ ≈ .025

ประมาณคา s⇒ P(X<7)=.8999⇒ ≈ .975

= 4

= 8

57

C.I. of Quantile (XC.I. of Quantile (Xp*p*))• หา r และ s โดยใชสูตรกรณี n ขนาดใหญที่ ขนาดตัวอยาง = n และ prob. of success = p*

คํานวณคา r* และ s* โดย

*)1(***2

pnpznpr −+= α

*)1(***21 pnpznps −+= −α

r = round(r*)

s = round(s*)

round คือการปรับตัวเลขทศนิยมใหเปนเลขจํานวนเต็ม

58

C.I. of Quantile (XC.I. of Quantile (Xp*p*))

• วิธีการประมาณ one-sided C.I. of quantile– Left one-sided C.I. of quantile

(1-α)100% CI ของ XP* คือ XP* > X(r)

โดย P(X(r) < XP*) = 1 - α

– Right one-sided C.I. of quantile(1-α)100% CI ของ XP* คือ XP* < X(s)

โดย P(XP* < X(s)) = 1 - α

59

ตัวอยางตัวอยางในการสุมเลือกหลอดวิทยุจํานวน 16 หลอด ทําการทดสอบและบันทึกจํานวนชั่วโมงที่ใชงานจนกระทัง้หลอดขาด ไดผลดังน้ี

• พิจารณาลกัษณะขอมลู– ขอมูลอยูในมาตรอัตราสวน– ตองการประมาณคาแบบชวงของควอไทลที่ 3 (Q3 หรือ X.75)

X(1) = 46.9 X(5) = 56.8 X(9) = 63.3 X(13) = 67.1

X(2) = 47.2 X(6) = 59.2 X(10) = 63.4 X(14) = 67.7

X(3) = 49.1 X(7) = 59.9 X(11) = 63.7 X(15) = 73.3

X(4) = 56.5 X(8) = 63.28 X(12) = 64.1 X(16) = 78.5

จงหาชวงความเชื่อมั่นของควอไทลที่ 3 โดยใชสัมประสิทธิ์ของความเชื่อมั่นใกลเคียง 90%

• 90% CI ของ X.75 คือ X(r) < X.75 < X(s)

– หาคาตําแหนง r และ s เน่ืองจาก n = 16 ใชตารางทวินาม => p* = .75

• P(X < 8) = .0271 ≈ .05 • P(X < 14) = .9365 ≈ .95

– หาคา X(r) และ X(s) จากขอมูล

n Y p = .05 ... .75 .80

16 0 .0000... ...

7 .0075

8 .0271

…

14 .936515 .9900

Table 1

⇒ r = 8 + 1 = 9⇒ s = 14 + 1 = 15⇒ X(r) = X(9) = 63.3⇒ X(s) = X(15) = 73.3

⇒ 63.3 < X.75 < 73.3

ลองใชสูตรกรณี n > 20

*)1(***2

pnpznpr −+= α

*)1(***21 pnpznps −+= −α

= 9.14 ⇒ r = 10

= 14.86 ⇒ s = 15