12장 1/54

Chapter 12

질점의 운동학질점의 운동학

(Kinematics of a Particle )(Kinematics of a Particle )

12.1 서 론

역학(Mechanics) : 정지해 있거나 운동하는 물체에 작용하는 힘과 그 물체의 운동

혹은 변형상태와의 관계를 연구하는 물리학의 한 분야

공업역학(Engineering mechanics) : 공학 특히 기계, 토목공학 분야에 직접 적용될

수 있는 역학으로서 물체의 크기가 원자나 분자보다는 월등히 크고(양자역학)

물체의 속도가 광속보다는 월등히 작은 경우를 주로 연구한다

(양자역학)

(상대성역학)

정역학(Statics) : 정지해 있거나 일정한 속도를 가진 물체에 작용하는 힘의

평형상태를 연구 0=∑ F

동역학(Dynamics) : 움직이는 물체에 작용하는 힘과 그 운동의 변화와의 관계를

연구 (원인) (결과)

maF =∑∑

공업역학정역학 (Statics)동역학 (Dynamics) 운동학(Kinematics) : 물체의 운동의 표현에만 관심((

위치, 속도, 가속도

운동역학(Kinetics) : 운동과 그 원인이 되는 힘과의

관계에 관심

(

공업역학에서 다루는 물체

1. 질점 : 질량은 있으나 크기는 무시할 수 있는 물체. 물체를 한점으로 이상화하고 그

위치 (3개의 좌표)를 시간의 함수로써 표현하면 운동상태는 결정된다위치 (3개의 좌표)를 시간의 함수로써 표현하면 운동상태는 결정된다.Ex)지구궤도를 도는 우주선의 운동을 고려할 때의 우주선

2. 강체 : 질량과 크기는 있으나 변형은 무시할 수 있는 물체로서 그 위치 (3개의 좌표)와자세(3개의 좌표)를 시간의 함수로써 표현하면 운동상태는 결정된다

물체의 크기가 문제해결에 중요한 물체

Ex) 지구에 착륙시의 우주선

3. 변형체 : 질량, 크기, 변형이 모두 있는 물체로서 고체, 유체(액체와 기체) 등이 그

예가 된다

12장 5/54

역학의 간략한 역사

Aristotele : 무거운 돌은 가벼운 돌보다 먼저 떨어진다

Archimedes : 부력의 원리

Galileo Galilei : 동역학을 이성적 관점으로 보기 시작 즉 역학을 이해하는 데Galileo Galilei : 동역학을 이성적 관점으로 보기 시작. 즉, 역학을 이해하는 데

실험과 관찰의 중요성을 인식. 세 개의 중요한 관찰 : 자유낙하운동, 경사면에서의 운동, 진자 운동

Kepler : 행성운동에 관한 세 법칙 - 뉴턴이 운동법칙과 미적분을 발견하는데 결

(1564 - 1642)

Kepler : 행성운동에 관한 세 법칙 - 뉴턴이 운동법칙과 미적분을 발견하는데 결

정적으로 기여

Newton : 만유인력의 법칙과 질점 운동법칙의 발견(1642 - 1727)

Euler : 강체의 운동방정식 유도

D’Alembert : 벡터량(힘, 가속도)이 아니라 스칼라량(일, 에너지)으로 동역학을

해석 시도 해석역학 (뉴턴의 벡터역학에 대응하는 용어)의 출발Lagrange

(1642 1727)

해석 시도 - 해석역학 (뉴턴의 벡터역학에 대응하는 용어)의 출발Lagrange

12 2 직선운동학 연속운동

12장 6/54

12.2 직선운동학 : 연속운동(Rectilinear Kinematics : Continuous Motion)

위치벡터(Position Vector)s: 직선 좌표축

직선상에서 운동하는 질점이 특정순간에위치한 점 P의, 기준점 O로부터의 위치

위치 벡터 irrr

s=위치 벡터Where s: 점 P의 좌표

i: 오른쪽 방향의 단위벡터

ir s=

( )(a)

Fig. 12-1

점 P가 O의오른쪽에 위치하면 s: positive 왼쪽에 위치하면 s: negative

12장 7/54

(t' )변위 (displacement)

- 위치의 변화

질점이 에서 (위치벡터 ) 으로 이동했을 때 변위P P′

r(t' )==

벡터!

질점이 에서 (위치벡터 ) 으로 이동했을 때 변위

질점의 최종위치 ( )가 초기위치( )의

P P

PP′

r(t)

=

t

t' = t+∆tiirrr sss Δ=−′=−′=Δ )(

질점의 최종위치 ( )가 초기위치( )의오른쪽에 위치하면 :positive 왼쪽에 위치하면 :negative

PP′sΔsΔ (b)

i 12 1Fig. 12-1

Note: 질점이 이동한 거리 (distance traveled)

rΔ sΔsΔ

always positive scalar변위 (벡터)와 는 다르다운동방향이 바뀌지 않은 경우 이동거리 = 운동방향이 바뀐 경우 변위는 얼마 안돼도 이동거리는 길다운동방향이 바뀐 경우 변위는 얼마 안돼도 이동거리는 길다

속도 (Velocity)

(12-1) 12장 8/54

속도 (Velocity)시간 동안에 의 변위를 가진 질점의tΔ rΔ

irrrvts

ttttavg

ΔΔ

=−Δ+

−′=

ΔΔ

=)(

속도평균

ii

iiirrv

ds

sdtd

dtdss

dtd

dtd

t

ttttt

t+==≡

ΔΔ

=

ΔΔ+Δ

→Δ)(lim

)(

0 속도순간

( 는 방향도 크기도 변하지

않는 단위벡터이므로 )i

iiv vdtds

==

(c)

Fig. 12-1

ii vdt

≡=

v- 질점이 오른쪽으로 움직이면 : positive

왼쪽 : negative v

dt

- 위치가 일정하면 속도는 0. Why?

0ivir ==∴= )( CC rdr 0ivir ∴ )( CC rdt

r

12장 9/54

-속력(Speed)magnitude of the velocity (속도의 크기) positive scalar

vvsp == v

stΔ질점이 시간 동안에 이동한 거리

m/sec

평균속력 ts

ttv T

avgsp Δ=

ΔΔ

=)(질점이 시간 동안에 이동한 거리

변위

평균속도 iirvtPP

ts

tavg Δ′−

=ΔΔ

=ΔΔ

=)(

속도의 방향이 바뀌는 경우평균속력 평균속도의 크기≠

(d)

Fig 12-1

평균속도와 평균속력Note.

평균속력 평균속도의 크기≠ Fig. 12-1

가속도(Acceleration)12장 10/54

시간 동안에 의 속도변화를 가진 질점의tΔ vΔ

)( tv

ttttavg

ΔΔ

=ΔΔ

=−Δ+

−′= ivvva 가속도 평균

2

2

2

0 )( lim

)(

sd

adt

sddtds

dtd

dtdv

dtd

t

ttttt

t≡===≡

ΔΔ

=

ΔΔΔ+

→Δiiiivva 가속도 순간

2 dt

sda =

vv >′ 0>−′=Δ vvv— if , then 가속도 벡터 오른쪽 (가속: acceleration)

vv <′ 0<−′=Δ vvv— if , then 가속도 벡터 왼쪽 (감속 : deceleration)

( ) 0ii d0— 속도가 일정하면 가속도는

( ) 0iaiv ==∴= CC vdtdv

12장 11/54Acceleration as a function of position coordinate s

가속도가 위치의 좌표 s의 함수인 경우엔 다음의 관계식을 사용할 수 있다.

dvdsdvdvU i h i l dd∴vdsdtdsdt

a ===Using chain rule dvvdsa =∴useful

1. 속도를 시간의 함수로 나타내려면 (v=f(t))

For a constant acceleration motion (등가속도 운동)Caa =

using and initial velocity dtdvaC = 00

vvt

==

dtadv t

C

v

v ∫∫ =00

dvdtaC =

tavtv C+= 0)(

이용하여를 ,, dvvdsadtdsv

dtdva CC ===

12장 12/54

2. 위치를 시간의 함수로 나타내려면 (s = f (t) )

using and initial position 00ss

t=

=

tt

dtdsv =

dttavdtvds C

tts

s)(

0 000

+== ∫∫∫21 tatvss ++= (12 5)00 2

tatvss C++= (12-5)

3. 속도를 위치의 함수로 나타내려면 (v = f(s))using and initial conditions 00 & vvss ==dvvdsaC =

dsadvvs

s C

v

v ∫∫ =00

( )020

2 2 ssavv C −+= (12-6)

예제 12-1 (Example 12-5)

12장 13/54

예제 12 1 (Example 12 5)A particle moves along a horizontal path with a velocity of ,where t is the time in seconds. If it is initially located at the origin O, determine the distance traveled in 3.5s, and the particle’s average velocity

m/s)63( 2 t-tv =

문제의 요지

and average speed during the time interval.

2속도가 인 경우 동안에 이동한

거리 , 평균속도 ,평균속력 를 구하는 문제

풀이

m/s)63( 2 ttv −=Ts avgv avgspv )(

s5.3

(a)

풀이

1. 우선 물체의 위치 s를 시간의 함수로 나타내야 하므로

ds→=

dtdsv dtttdtvds )6( 23 −==

2 )6(3 dtttdss t

∫ ∫23

0 0

3

)6(3

tts

dtttds

−=

−=∫ ∫(b)

Fi 12 6Fig. 12-6

체의 이 거리 하기 위해 선 운 경

12장 14/54

물체의 이동거리 를 구하기 위해 우선 운동경로를

알아야 한다. Fig. 12-6b에서 에서 이므로,

에서 속도의 방향 을 바꾼다

Ts

st 2= 0=vm4128

2−=−=

ts )( 부호의v

( ) ( ) ( ) ( ) ( )4125.60425.302 +=−+−= −−−−sssssT

2=t )( 부의v이므로 m .s

t1256

5.3=

=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )m1.14=

2평균속도

ANS.

( ) ( )→=−

=−−

=ΔΔ

= m/s75.15.3

0125.605.3

)0(5.32.

sstsvavg

평균속도

ANS.

m/s0441.14)(

3.sv T

평균속력

ANSm/s04.45.3

)( ==Δ

=t

v Tavgsp ANS.

예제 12 2 (Problem 12 34)

12장 15/54Skip

예제 12-2 (Problem 12-34)As a body is projected to a high altitude above the earth’s surface, the variation of the acceleration of gravity with respect to altitude y must be taken into account. Neglecting air resistance, this acceleration is determined from the formula [ ],)/( 22

0 yRRga +−=g Rwhere is the constant gravitational acceleration at sea level, is the radius of the

earth, and the positive direction is measured upward. If Determine the minimum initial velocity (escape velocity) at which a projectile should be shot vertically from the earth’s surface so that it does not fall back to the earth.

og Rkmandm/s 635681.9 2

0 == Rg

문제의 요지

yHint: This requires that .∞→= yv as0

2Ry

물체의 가속도가 고도 y의 함수 인 경우의 탈출

속도(escape velocity) 즉, 물체가 다시 지구로 돌아 올 수 없도록

지구표면에서의 물체가 가져야 하는 초기 속도를 구하는 문제.

20 )( yRRga+

−=

R

가속도가 위치의 함수로 주어졌으므로

풀이

d

지구

를 이용하면

지구로부터 무한히 먼 곳 즉, 에서의 속도 는 0 이면 충분

(지구로 돌아오지 못하기에)하므로

dyadvv = ∫∫∞

+−=∞

0 22

0 )( yRdyRgdvv

v

v esc

∞=y ∞v(지구로 돌아오지 못하기에)하므로

1102 ∞

12장 16/54

)1(12

20

0

20

2

RRg

yRRgv

escv

−=+

=

km/s2.112 0 ==∴ Rgvesc ANS.

탈출속도는 질량에 무관하다.

주의

12.3 급변하는 직선운동( Rectilinear Kinematics : Erratic Motion )

12장 17/54

12.3 급변하는 직선운동( Rectilinear Kinematics : Erratic Motion )

질점의 운동이 급변하는 경우(예, 속도나 가속도가 불연속인 경우)에는 그 운동

을 하나의 연속함수로 나타낼 수가 없으므로, 미분과 적분이 함수의 그래프에서

각각 기울기와 면적을 나타낸다는 점을 감안하여 도식적으로 해결하는 편이 편리각각 기울기와 면적을 나타낸다는 점을 감안하여 도식적으로 해결하는 편이 편리

하다. 그 자세한 내용은 미적분의 응용에 해당하므로 본 강의에선 생략하기로 한

다.

s-t 그래프가 주어졌을 때 v-t 그래프 그리기

,vds= s-t 그래프의 기울기 = 속도,v

dts t 래 의 기울기 속

(a) (b)Fi 12 27Fig. 12-27

그래프가 주어졌을 때 그래프 그리기

12장 18/54

v - t 그래프가 주어졌을 때 a - t 그래프 그리기

adv= v-t 그래프의 기울기 = 가속도,a

dt= v-t 그래프의 기울기 = 가속도

(a) (b)

Fi 12 28Fig. 12-28

예제 12-3 (Example 12-6)A bi l l i h d h h i i i i d ib d b h h

12장 19/54

A bicycle moves along a straight road such that its position is described by the graph shown in Fig. 12-9a. Construct the v-t and a-t graphs for .

문제의 요지

s300 ≤≤ t

t=10s에서 운동의 성격이 변하는, 사이의 s - t 그래프가 주어졌을 때

그래프와 그래프를 구하기

문제의 요지

s300 ≤≤ tv - t 그래프와 a - t 그래프를 구하기

1. v - t 그래프 그리기

tdsvtst 6030100 2 ===≤≤

(a)

tdt

vtst 6.03.0100 ===≤≤

63063010 ==−=≤<dtdsvtst

2. a - t 그래프 그리기

dt

6.06.0100 ===≤≤dtdvatvt

(b)

dt

063010 ===≤<dtdvavt

(c)Fig. 12-9

(c)

12장 20/54

t = 10s에서, s - t 그래프는 연속이고 미분가능(미분값이 연속이므로)그래프는 연속이고 미분불가능 미분값이 불연속이므로

Note.

v - t 그래프는 연속이고 미분불가능(미분값이 불연속이므로)a - t 그래프는 불연속 (물론 미분불가능)

이 예에서 알 수 있다시피 함수는 미분하면 그 성질이 나빠지고 적분하면

좋아진다.

12.4 일반적인 곡선운동 (General Curvilinear Motion)

12장 21/54

( )

시간 t일 때 P에 위치한 질점이 시간 ∆ t 후에 P΄로 이동한 경우를 생각해 보자

물체의

위치벡터(Position vector) rr =)(t

rr ′=Δ+ )( tt

물체의이동거리

rr =Δ+ )( tt

(a)

변위 (Displacement) rrr Δ=−′

) ( 상대위치벡터대한에의 PP ′

(b)rΔsΔ : arc length

: straight line between P and P’

속도(Velocity)Δ

=−′

=rrrv속도평균tttt

avgΔ

=−Δ+

=v)(

속도평균

drrΔli)( 속도순간dtd

ttv =

Δ=

→Δ 0lim )( 속도순간

rΔ0→ΔtAs , approaches the tangent to the curve at point P

곡선운동에서 속도 의 방향: P 에서 접선방향 (운동경로의 접선방향)v

원래 dr은 직선 ds는 곡선으로 서로원래 dr은 직선, ds는 곡선으로 서로다르지만 극한값을 취하면 dr ds 같아진다.

dsdrrΔ

dtd

tt

rrv =ΔΔ

=→Δ 0

lim )( 속도순간:)speed:(속력크기

방향 : P 에서 접선방향

dtds

dtdr

trv

t==

ΔΔ

=→Δ 0

lim

가속도(acceleration)

12장 23/54

시간 일 때 ( 에서) 속도가 인 질점이 시간 후에 ( 에서) 속도가

로 변한 경우

vvvv Δ+=′

P P ′t tΔ

ttttavg

ΔΔ

=−Δ+

−′=

vvva)(

가속도평균

Hodograph두 개의 속도벡터들의 시작점이고정점 O’에 위치하고 화살표는

(vector calculus requires the same reference point)

g p고정점 O’에 위치하고 화살표는곡선상의 점에 접하게 그린 커브

즉, 속도벡터의 궤적을 나타낸다

Fig. 12-16(d) (e)Path

A B ( f )noteA

BA-B (same reference)note

2

)(li)(dddd rrvvΔ

가속도순간

12장 24/54

20)( lim )(

dtdtdtdttta ===

Δ=

→Δ가속도순간

가속도의 방향 :

Fig. 12-16(f) (g)

가속 의 방향가속도는 속도의 변동경로 즉 hodograph의 접선방향을 가진다.

c.f. 속도는 경로에 접선방향

가속도와 속도의 방향 :일반적으로 가속도는 속도와 방향이 같지 않다. 즉, 일반적으로 가속도의 방

향은 경로의 접선방향이 아니다. 직선운동의 경우엔 가속도와 속도의 방향이같을 수도 있다 (부호가 같으면).

곡선운동 의 표현

a. 직각성분 (Rectangular Components)a. 직각성분 (Rectangular Components)b. 법선 및 접선성분 (Normal and Tangential Components) c. 원주성분 (Cylindrical components)

12.5 곡선운동 : 직각성분 (Curvilinear Motion : Rectangular Components)

12장 25/54

— Describe the motion of a particle using a fixed x, y, z frame of reference

위치(Position)에 위치한 질점의 위치벡터:

: 직교하는 세 축의 좌표와

P( )zyx ,,

kjir zyx ++=

: 각각 시간 의 함수

: 축 방향으로의 단위벡터( )kji ,,

zyx ,,,r t

ru

의 크기 :

)(,)(,)(),( tzztyytxxt ==== rr

r 이고222 zyxr ++=

O

( 가 원점 로부터 떨어진 거리)

r

P

방향의 단위벡터: rr // rrru == Fig. 12-17

(a)O

12.2절에서 직선운동의 축을 축으로 삼으면 이고 인x 0== zysx =경우가 되므로, 직선운동은 곡선운동의 특수한 경우에 불과하다.

속 도 (Velocity)

12장 26/54

속 도 (Velocity)

( ) ( ) ( ) ( )kjikjirv zdtdy

dtdx

dtdzyx

dtd

dtd

++=++==

( )dtdx

dtdxx

dtd iii +=

0kji===

dtd

dtd

dtd

kji

kjirv

yxdtdz

dtdy

dtdx

dtd

++

++==

&&&

kjikji

zyx vvvzyx++=

++=

222zyx vvvv ++==v

v운동경로의 접선방향

velocitymagnitude :

direction:

v /v v vu =운동경로의 접선방향

( 방향 단위벡터 운동경로의 접선방향의 단위벡터)

가속도(Acceleration)

12장 27/54

가속도(Acceleration)

kjiva vvvd++ &&&

kji

kjia zyx

zdydxd

vvvdt

++

++==

222

kji

kji

zyxdtdt

ydt

++=

++=

&&&&&&

222

kjij

zyx aaay

++=

Fig. 12-17

(c)222zyx aaaa ++==a

방향의 단위벡터 hodograph의 접선방향의 단위벡터/a a au =a

12.6 투사체 (발사체) 운동 (Motion of a Projectile) 12장 28/54

Free-flight motion of a projectile acceleration always acts in the vertical directionuseful to represent in rectangular components

Consider a projectile launched at (x0, y0) with

useful to represent in rectangular components

initial velocity v0 & constant downward

acceleration (a = g = 9.81 m/s2 =

32 2ft/ 2)ja g−=

32.2ft/s2)

수평운동 (Horizontal Motion)

( )이므로jjia gaaa yxx −=+== Q0

00 vtavv =+=Fig. 12-20

horizontal velocity always remains constant 00 xxxx vtavv +

tvxtatvxx xxx 002

00 2

1+=++=

y yduring the motion

2200

20

2 )(2 xxxx vxxavv =−+=

12장 29/54

수직운동 (Vertical Motion)yyy

yy ddya

dtyd

dtd

ga ννν

===−= ,2

2

gtvtavv yyyy −=+= 00gyyyy 00

200

200 2

1

2

1 ttvytatvyy gyyy −+=++=22

)(2)(2 02

002

02 yygvyyavv yyyy −−=−+=

공식이 많아서 복잡한 듯 보이지만 서로 독립된 두 개의 초기치문제

002

2

)0(,)0(,0 xvxxxdt

xd=== &

)

Note.

의 해에 불과하다.dt

002

2

)0(,)0(, yvyyygdt

yd==−= &

)

예제 12-4 (Problem 12-77)

12장 30/54

The motorcycle travels with constant speed along the path that, for a short distance, take the form of a sine curve. Determine the x and y components of its velocity at any instant on the curve.

0v

일정한 속력 를 가진 오토바이의 i 곡선경로

문제의 요지 속도가 너무 빠르지 않아 붕떠서떨어지는 경우 말고 계속 지면과 접촉 하는 경우 가정

일정한 속력 v0를 가진 오토바이의 sine 곡선경로에서의 속도의 x, y 성분을 구하라.

jvivv yx +=22

0 yx vvvv +==

xcyL

πsin= xxcyLL

&& )(cos ππ=

ππ xdxv &==xcvvLLxyππ cos=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=+= )(cos)( 222222

0 1 xcvvvvLLxyxππ

Prob 12-77

xdt

v x ==

⎦⎣ LL

21

−⎤⎡

21

220 )(cos)(1

−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ += xcvv

LLxππ

( 는 언제나 양)xv

Prob. 12-77

2220 cos)(cos 1 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ += xcxcvv

LLLLyππππ ( 위치에 따라 는 음이 될 수도 있다.)yv

ANS.

노즐로부터 16m/s의 유속으로 분출되는 물이10 떨어진 벽에 쏘아 올릴 수 있는 최대 높이?10m떨어진 벽에 쏘아 올릴 수 있는 최대 높이?Sol)Vertical motion

0819sin16+ ttavv θ 최고점에서 수직방향 속도 0081.9sin160

=−=+= ttavv cyy θ 최고점에서 수직방향 속도 = 0

t81.9sin16 =θ

Horizontal motion

10)cos16(00 =+=+= ttvss c θ

10θcos16

10=t

θθ

cos161081.9sin16 =

383200i θθ )2i (i2 θθθ 배각 공식

Combining &

38320.0cossin =θθ )2sin(cossin2 θθθ = 배각 공식

76641.0)2sin( =θ o0.25=θ

10 11sec6897.0

25cos1610

== ot 33.2)6897.0(25sin160 2200max )6897.0(81.9

21

21

=−+=−+= oy ttvyy g

33.333.21max0 =+=+= yyh

예제

12장 31/54

예제The fireman standing on the ladder wishes to direct the flow of water from his hose to the fire at B. Determine two possible angles and at which this can be done. Water flows from the hose at = 300 ft/s .Av 1θ 2θbe done. Water flows from the hose at 300 ft/s .Av

x

y

300

θ

60

30300

문제의 요지Prob. 12-86

노즐로부터 300ft/s의 유속으로 분출되는 물이 (60, -30)에 위치한 불길을 잡기위한 노즐각 는?

문제의 요지

θ

θcos300)0(,0)0(0 === xxx &&&

θsin300)0(,0)0( −==−= yygy &&&

인 초기치 문제를 풀면

12장 32/54

60cos3000)0()0( =+=+= θttxxx &

3021)sin300(0

21)0()0( 22 −=−−+=−+= gttgttyyy θ&

22

)cos300

60(sin300)cos300

60)(2.32(2130 2

θθ

θ+=

644.0cossin60cos30 2 += θθθ

cos300cos3002 θθ

θθθ 2222 cos)cos1(60)644.0cos30( −=−

두고로 2cos z=θ

zzz )1(60)644.030( 2 −=−

z에 대한 2차 방정식을 풀면z에 대한 2차 방정식을 풀면

°= 261θ

(수평선으로부터 상향)

ANS.

°489θ

(수평선으로부터 하향)

(수평선으로부터 상향)°−= 4.892θ

12.7 곡선운동 : 법선 및 접선성분

12장 33/54

(Curvilinear Motion : Normal and Tangential Components)

• 평면위의 곡선: 곡률과 곡률중심이 제각기 다른 원호들의 조합

•곡선 위의 질점 운동의 표현:운동의 진행방향 즉 경로의 접선 방향의 단위벡터 와

질점으로부터 곡률중심을 향하는 방향의 단위벡터 로 표현P

nutu

질점으로부터 곡률중심을 향하는 방향의 단위벡터 로 표현 rn

위치

(a)ρ(r) : 곡률반경 (radius of curvature)

1/ρ : 곡률(curvature)

원운동과 직선운동을 곡률반경이 각각 원의 반경

과 무한대인 곡선운동이라고 볼 수 있다nu

과 무한대인 곡선운동이라고 볼 수 있다.

tuu

tu

Fi 12 24

(b)곡률반경 nu

Otu

nu

Fig. 12-24

반경 ρ 을 갖는 원의 일부분 원운동 직선운동

속도( l it )

12장 34/54

속도(velocity)- Velocity of a particle that moves along the path

Always tangent to the path

)(tss =

tvuv =

ds&s

dtv ==

속도

(c)

Fig. 12-24

속도

가속도 (Acceleration)속도의 크기변화에 속도의 방향변화에

12장 35/54

크기같은와

방향같은과

)1(

θΔnu

기인한 항속 의 방향변화에기인한 항

(12-17)∆

크기같은와)1( θΔ

ttt vv

dtvd

uuu

va &&& +===)(

단위벡터의 미분

d tt Δ==

uuu lim& ∆u'n

tdt tt Δ→Δu

0lim

)1(:크기 θΔ uu θΔ=Δ∴{tuΔ u't(d)

tuΔ합동 삼각형

nu:방향nt uu θΔ=Δ∴{tu

θθ&

ΔΔ }li{}{li nutt uu Δ+

tuΔ

u t

ntntt

dtt

uu

uuu

θθ &==

Δ=

Δ=∴

→Δ→Δ}lim{}{lim

00( 는 극한과 무관하므로)nu

tuθΔ

nndtuu θ==

( )반경이 1인 원

vv uuva θ&&& +== (e)

Fig. 12-30nt vv uuva θ+==

12장 36/54

dtd

dtds θρ=

θρθρ && ==⇒= vsdds ρρθ vs

==&&

2

ntntntvvvvvvv uuuuuuvaρρ

θ2

+=+=+== &&&&&

nntt aa uua +=∴

dvvdsaorva tt == &

Where

⎞⎛ dddd

ρ

2va n =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ====

dsdvv

dtds

dsdv

dtdvva t &Q

22nt aaa +=Magnitude of

acceleration

12장 37/54

직선운동

가속도의 접선 및 법선성분은 각각 속도의 크기 및 방향변화에 기인한 성분들

이다 따라서 직선운동은 방향을 바꾸지 않으므로 적어도 연속적으로는 접선이다. 따라서 직선운동은 방향을 바꾸지 않으므로(적어도 연속적으로는) 접선

성분만 가진다.

원운동

속도

(When particle moves with a constant speed)

가속도

속도

2

nt

t

vv

v

uu

uv

aρ

& +

=

=

tu

ρ

일정하므로가경우원운동의

이므로

)0(vv

ρρθρθρθρθρ

ρ

&

&&&&&&& &

==+= =

nuρ

0

구심방향은

2

n

nt

uuua θρθρ &&& +=∴

(centripetal)

Ex 12.15)Race car C travels round the horizontal circular track that has a radius of 90 m. If the car increases its speed at a constant rate of 2.1 m/s2, starting from rest, determine the time needed for it to reach its speed at a co sta t ate of . /s , s a g o es , de e e e e eeded o o eacan acceleration of 2.4 m/s2. What is its speed at this instant?

2

ttavv ct

1.2)(0

=+=2/1.2 smat =

222

/049.0 smtvan ==ρ

given

22nt aaa += 222 )0496.0()1.2(4.2 t+=

Solving for t gives t = 4.87 s

Velocity. The speed at time t = 4.87 s is

smtv /2.101.2 ==

삼차원 곡선운동 (Th Di i l C ili M ti )

12장 38/54

삼차원 곡선운동 (Three - Dimensional Curvilinear Motion)

normal tangential bi i l

nutu

binomial

과 가 만드는 평면 : osculating plane

bu

nu tu

공업수학에서 벡터의 미분항을 복습하여

주의 Fig. 12-36

공업수학에서 벡터의 미분항을 복습하여

에서와동일과 nb

ntnt

dsds

dsd uuuuuu

τρρ11

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==&

&ρρ ⎠⎝

각각 곡률(curvature)과 비틀림(torsion)을 나타낸

다는 걸 이해해 두시길 바란다.

은과τρ11

12.8 곡선운동 : 원주성분

12장 39/54

(Curvilinear Motion : Cylindrical components)

Sometimes useful to express the path of motion in terms of cylindrical coordinates(if planar motion polar coordinates are used)

zr ,,θθr

점의 위치벡터방향( 반경방향)의 단위벡터 과

극좌표 (Polar Coordinate)u

(if planar motion, polar coordinates are used) θ,r

점의 위치벡터방향( 반경방향)의 단위벡터 과

그 위치벡터의, 기준축으로부터의 좌표인 가

증가하는 방향(횡방향)의 단위벡터 로 표현

ruθ

θu

rur == rr r ,)(Position위치

&&& +)(V l it속도

(a)(12-22)

rr rr uurv +==)(Velocity속도

d rr Δ==

uuu lim&

θuθu′θuΔ

)(tuu =

)( ttrr Δ+=′ uu

ruΔθΔ

θ)1(:크기 Δtdt tr Δ

==→Δ

u0

lim

θ uu Δ=Δ{uΔ

)(trr uu =θΔ

∴θu:방향 θθ uu Δ=Δ r{ruΔ

(b)

Fig. 12-30

∴

θu)( ttrr Δ+=′ uu

0→Δθ uu Δ≈Δθu

)(trr uu =

ruΔ

θΔ

0→Δθas ,

크기

sr uu Δ≈Δ

θΔ=Δ≈Δ 1sr uu

방향 rr uu Δ≈Δ

12장 40/54

θθθθ uuu

&

&ΔΔ

=ΔΔ

=→Δ→Δ

)lim()(lim00 tt ttr ( 는 극한과 무관하므로)θu∴

θθ u&= (12-23)

)(Velocity속도

θ&&

&&& rr rr

+

+==∴ uurv)(Velocity속도

θ

θ

θθ

θ

&&

vvrr

rr

r

+=+=

uuuu

(c)

22 )()(

,

θ

θθ

&&

&

rrv

rvrv r

+==

==

vFig. 12-30

방향 :경로의 접선방향

가속도 (Acceleration)

12장 41/54

θθθθ θθθθ uuuuuuuva &&&&&&&&&&&&& rrrrrrrdtd

rrr ++++=+== )(

d Δtdt

dt Δ

Δ==

→Δ

θθθ

uuu0

lim&

Δ)1(:크기 θ{Δru−:

)(방향 ruu θθ Δ−=Δ∴{θuΔ

θ&&

θθθ θθθ uuuuua rrrrr rr ++++= &&&&&&&&&&

ruu θθ −=

(d)

Fig 12-30θ

θθθ

θθθ

θθθ

θθθθ

uu

uuuuu

rrrr

rrrrr

r

rr

rr

++−=

−+++=

)2()( 2

2

&&&&&&&

&&&&&&&&&

2 2 θθθ &&&&&&& rrarra +==

Fig. 12 30

θθ

θ

uu aa rr

r

+=)()(

{ 222 )2()(

2,

θθθ

θθθ θ

&&&&&&& rrrra

rrarrar

++−==

+=−=

a{

12장 42/54

각각 각속도와 각가속도라 부른다.을와 θθ &&& (angular velocity, angular acceleration)

원운동의 경우, 이므로, 따라서

0== rr &&&일정=r θuru

따라서

θθ uv &r= θr

0θθθ uua &&& rr r +−= 2

0

속도는 접선성분만 존재하고 가속도는 중심방향( 방향)성분이

으로서 구심가속도(centripetal acceleration) 라 하고 방향성분이 로

서 접선가속도( i l l i )라 한다

ru− 2θ&rθ&&rθ

서 접선가속도(tangential acceleration)라 한다. Quiz. 이 결과는 법선 및 접선성분에서의 결과와도 일치한다. 어떻게?

(normal vector 중심: 곡률 중심 – concave)( )

원주좌표(Cylindrical Coordinate)

12장 43/54

원주좌표(Cylindrical Coordinate)3D motion polar coordinate ( , ) + ( - 평면에 수직인 축)θuru zu θuru

zrP zr uur +=

zr

zrrrr

zrr

uuua

uuuv&&&&&&&&&

&&&

+++=

++= θ

θθθ

θ

)2()( 2

(12-31)

zr zrrrr uuua +++−= θθθθ )2()(

d

(12-32)

( 방향이 고정된 z축 방향의 단위벡터)zu0=zdt

d u Fig. 12-31

Ex. 12.18

문제의 요지

Ex.12.18의 각속도로 회전하는 봉에 200t 의 속도로 미

끌어지는 칼라의 1초에서의 속도와 가속도?

23t

180

1

1

2

/200002

100100

smmtr

mmtr

st

st

==

==

=

=

&1

2

1

3

/33

3.571801

sradt

radt

st

st

==

====

=

=

θπ

θ

&

o

21

/200002 smmrst==

=&& 2

1

1

/66 sradtst

st

===

=

θ&&

Velocity

{ } smmrr rrr /)3(100200)3(100200 θθθθ uuuuuuv +=+=+=∴ &&

smmvmagnitude /361)300()200( 22 =+== v Ans)

ooo

o

1143.563.57

3.56200300tan 1

=+=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= −

angletotal

direction δ

Ans)1143.563.57 +angletotal Ans)

Acceleration

2 )2()( rrrr θθθ uua ++−= &&&&&&&

[ ] [ ]{ } 2

2

/1800700

)3)(200(2)6(100)3(100200

)2()(

smm

rrrr

r

r

θ

θθθθ

uu

uu

uua

+

++−=

++=

{ } /1800700 smmr θuu +−=

222 /1930)1800()700( smmamagnitude =+== a

oooo

o

169357)768180(

7.68700

1800tan 1

+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= −

lii iti l

direction

기준

φ

1693.57)7.68180( =+−=− angleaxisrinitial 기준

예제 12 6 (P bl 12 153)

12장 44/54

예제 12-6 (Problem 12-153)The automobile is traveling from a parking deck down along a cylindrical spiral ramp at a constant speed of v = 1.5 m/s. If the ramp descends a distance of 12 m for every full revolution, rad, determine the magnitude of the car’s acceleration as itπθ 2=full revolution, rad, determine the magnitude of the car s acceleration as it moves along the ramp, r =10m.Hint : For part of the solution, note that the tangent to the ramp at any point is at an angle of from the horizontal. Use this to d t i th l it t d hi h i t d t d t i

πθ 2

)])10(2/[12(tan 1 πφ −= °= 81.10determine the velocity components and , which in turn are used to determine

and .θv zv

θ& z&

주차장에서 내려오는 경사로를 따라 일정한 속력으

문제의 요지

주차장에서 내려오는 경사로를 따라 일정한 속력으로 내려오는 자동차의 가속도의 크기를 구하라.

θvv)( zv

v

m12ϕ

)( m1022 ππ =r

Prob. 12-153

옆에서 볼때

spiral motion = circular motion + descent motion옆에서 볼때

+

)( m1022 ππ =r

vϕ :매 순간 spiral에서의 기울기m12

ϕ)( m1022 ππ =r

θvzv

v

vzvθv (circular motion, 원의 접선방향)

vdescent motion spiral motion

위에서 볼 때위에서 볼 때접선방향

12

12장 45/54

°== − 81.10)10(2

12tan 1

πϕ

rv == 이므로0&

zz

r

vvrv

uuv += θθ

이므로0

/θ&

m/s2814.081.10sin5.1sinm/s473.181.10cos5.1cos

−=°−=−===°===

ϕϕθθ

vzvvrv

z &

000)()()(

)2()( 2

======

+++−=

zrzvrvrv

zrrrr zr

&&&&&&&&&

&&&&&&&&&

θθ

θθθ

θ

θ

일정하므로가

uuua

2−=∴ r rθ& ua

0,0,0)(),(),( === zrzvrvrv zr θθθ 일정하므로가

222

2 m/s217.0)10()473.1(

====∴r

vr θθ&a ANS.

12.9 두 질점의 절대 종속운동해석

12장 46/54

12.9 두 질점의 절대 종속운동해석(Absolute Dependent Motion Analysis of Two Particles )

Dependent Motion: Motion of one particle depend on the motion of another particle 두 질점의 운동사이에 구속이 있을 경우 이 구속에 의해 그 운동들은 서

로 무관하지 않고 어떤 관계를 가지게 된다. 예를 들면 Fig. 12-36에서

두 블록 A 와 B를 연결한 (cord)의 길이가 변치 않는 경우

Fig 12-36lengthcordtotallT :letconstraint(구속조건) : inextensible cord

BCDA

CDTBCDA

dsdldsllsls

++

→=++

0

일정하다항상길이는의

Fig. 12-36T

ABBA

ABBCDA

aad

sdd

sd

vvdtdtdt

−==+

−==++

0

,0

2

2

2

2Negative sign : 만약 블럭 A가 밑으로내려가면 즉 positive SA방햐으로 가면 B는

로 올

좌표 와 의 기준점이 다르고 방향도 다르게 정의 되었음을 유의 할 것

ABdtdt 22

s Bs

위쪽 즉 negative SB쪽으로 올라간다

좌표 와 의 기준점이 다르고 방향도 다르게 정의 되었음을 유의 할 것As Bs

고정 점 이나 선, 면을 기준으로 잡는다

12장 47/54

B가 아래쪽으로 움직이면 A는 왼쪽으로속 로 움

생략식에서일정하다항상길이는붉은색부분의 →

lshs AB =++222

B의 2배의 속도로 움직인다.

수학적 표현은 다르지만ABAB aavv −=−= 2,2 수학적 표현은 다르지만

Physically the Same!

같은 문제에서 다른 결과

를 얻게 되는 이유는 ?(a)

Fig. 12-37

lshsh =++− )(2 lshsh AB =++− )(2

ABAB aavv == 2,2

(b)

기준좌표의 방향!+means increase in the direction

means A와 B의속도 모두 증가하는 방향으로

AB vv =2(b)

Fig. 12-37

속도 모두 증가하는 방향으로움직인다. 즉 A는 오른쪽, B는위쪽으로.

Ex. 12.22

길이가 변하는 2개의 줄로 구성

Ex. 12.22 21 )(2 lssslss cBBcA =−+=+

일정하다항상길이는붉은색부분의 일정하다항상길이는붉은색부분의

cB sls =− 22

21 24 llss BA +=+

04 04 =+ BA vv

)(/84) ,(/2

↓

+−=

d ddownwardvelocityupwardsmvif B 기준축

)(/84 ↓=−= downwardsmvv BA

예제 12-7 (Problem 12-178)

12장 48/54

If the hydraulic cylinder at H draws in rod BC at 2 ft/s, determine the speed of the slider at A.

Prob. 12-178 As

Consider only moving parts!

=+2 AH lss Hs

→=−=∴−=−=

4ft/sft/s4)2(22

AA

AH

vvvv

ANS.→/s/s)( AA vv ANS.

12 10 병진축을 이용한 두 질점의 상대운동해석

12장 49/54

12.10 병진축을 이용한 두 질점의 상대운동해석(Relative-Motion Analysis of Two Particles Using Translating Axes)

기준계(frame of reference) : 직교하는 세 축

한 질점의 운동을 나타내기 위하여 단 하나의 기준계를 사용할 수도 있지만

둘 혹은 그 이상의 기준계를 사용하는 것이 편리할 때가 있다. 예를 들면 헬리콥

터의 날개 끝의 운동은 헬리콥터의 운동에다가 헬리콥터에서 봤을 때 원운동하봤

는 날개 끝의 운동을 합함으로써 구해진다. 이 절에서 다루는 기준계는 고정기

준계이든지 병진기준계이다. 회전기준계에 대한 상대운동은 16장에서 언급할

것이다.것이다.

위치(Position)

rrr +

움직이는 물체A에 부착된 moving (translating) frame

Fixed frame(고정기준계) Translating frame(병진기준

ABAB /rrr += (12-33)

ed a e( 정기준계)의 원점 O에 대한 두 점 B와 A의 위치 (점 B와 A의절대위치)

g (병 기계)의 원점 A에 대한 질점 B의 위치(relative position of B with respect to A 점 B의 A에 대

(a)

respect to A 점 B의 A에 대한 상대위치) Fig. 12-42

A에서 본 B의 위치 Fixed frame

속도(V l it )

12장 50/54

속도(Velocity)By taking time derivative of position relation ABAB /rrr +=

ABAB dtd

dtd

dtd

/rrr += vB/A

dtdtdt

vvv +=

vB

vA

(b)

고정기준계에 위치한 관찰자가 병진기준계에 위치한

ABAB /vvv += (b)

Fig. 12-42

(12-34)

본 점 점 B와 A의 속도(점 B와 A의 절대속도)

관찰자가 본 점 B의 속도(점 B의 A에 대한 상대속도)

A에서 본 B의 속도

주의

12장 51/54Skip

더 자세히 설명하자면 한 벡터를 시간 t에 대해 미분할 때에는 반드시 어느 기준

계에 대한 미분인가를 언급해야 한다. 따라서

주의

dddAB

OXYZA

OXYZB

OXYZ dtd

dtd

dtd

/rrr +=

A ′′′기준계 는 병진기준계이므로

•=•′′′AOXYZ dt

ddtd

zyxA ′′′기준계 는 병진기준계이므로

(16장에서 더 자세하게 설명)′′′ zyxAOXYZ dtdt

ddd rrr +=

따라서

병진기준계의 원점 A에 위치한관찰자가 본 점 B의 속도

ABzyxA

AOXYZ

BOXYZ dtdtdt /rrr

′′′

+=

관찰자가 본 점 B의 속도

점 B의 점 A에 대한 상대속도

ABAB /vvv +=

12장 52/54

가속도(Acceleration)

dddaB/A

ABAB dtd

dtd

dtd

/vvv +=aA aB

ABAB /aaa += (c)

Fig. 12-42

(12-35)

Ex. 12.27

ABAB / =−= vvvy

속도(Velocity)

smA

/18=v

smB

/12=v smji

jij/)588.39(

)60sin60cos(1812+=

−−−− oo

ABAB vvv −=/

o60x

smv AB /69.9)588.39( 22/ =+=magnitude

θ

AB )(/magnitude

direction o7.219588.3tan

9588.3tan 1 ==→= −θθ

y taρ

2vn =a

가속도(Acceleration) 등속도 운동시 normal법선 방향 가속도

2v

222

/44.110012 smv

n ===ρ

aAaφ

2/3 sm=aABAB aaa −=/

o60x

2/

/)732.444.2(

)60sin60(cos2)344.1(

smji

jijiABAB

−−=

+−−−=−= ooaaaρv

n =a

a

φ

/3 smt =a

o7.62)440.2732.4(tan 1 == −φ

Ba 222/ /32.5)732.444.2( sma AB =+=

12장53/54Skip

예제 12-8 (Problem 12-199)At the instant shown, the car at A is traveling at 10 m/s around the curve while increasing its speed at 5 . The car at B is traveling at 18.5 m/s along the straightaway and i i it d t 2 D t i th l ti l it d l ti l ti f

2m/s2/

θρ &=x

increasing its speed at 2 . Determine the relative velocity and relative acceleration of A with respect to B at this instant.

2m/s

ρ

=ρ

x'

속력( )의 변화율이 주어진 두 차량 A와

문제의 요지

x"속력(v)의 변화율이 주어진 두 차량 A와

B의 상대속도와 상대가속도를 구하라.(기준계 Bxy는 병진기준계이다.)

운전자가 탑승한 기준계 은 A와yxA ′′′′

P b 12 199

=°−°=

BB

AA

vv

/}{

)sin(cos 4545

jiiv

jiv 함께 병진하면서 각속도 을 가지고

회전하는 기준계이다.

yθ&

Prob. 12-199

=−=−=−−=−=

BAABAB

BABA

//

/ m/s}{ 071.7429.11

vvvvjivvv ANS.

차 A의 운전자(회전과 병진을 겸하는 기준계 Ax″y″에 고정)가 본 차 B의 속도가 아니라

차 A와 함께 병진하는 기준계 Ax′y′에서 본 차 B의 속도

(16장에서 자세히 공부하게 된다)

12장 54/54

tAtnAnA aa uua +=

22 10 d 2222

)i(

m/s,m/s 51100

10

ji °°

===== AAt

AAn dt

dvavaρ

sincos)sin(cos

4545

4545

jiujiu

°−°==°+°−==

t

n

2

2

m/s

m/s}{

2

243.4828.2

ia

jia

===

−=∴

B

A

dvaa

2/ m/s}{

m/s,

24.4828.0

2

jiaaa

ia

−=−=∴

===

BABA

BBB dtaa

ANS.

운전자 B (병진하는)가 본 차 A의 가속도.

HW #1HW #1.

Chapter 2 연습문제

11, 26, 58, 72, 88, 111, 114, 132, 139, 149, 153, 158, 160, 163, 179 ,183, 189, 198, 203