12장 1/54

Chapter 12

질점의 운동학질점의 운동학

(Kinematics of a Particle )(Kinematics of a Particle )

12.1 서론

역학(Mechanics) : 정지해있거나운동하는물체에작용하는힘과그물체의운동혹은변형상태와의관계를연구하는 물리학의한분야

공업역학(Engineering mechanics) : 공학특히기계, 토목공학분야에직접적용될수 있는역학으로서물체의크기가원자나분자보다는월등히크고

(양자역학)

물체의속도가광속보다는월등히작은경우를주로연구한다

(양자역학)

(상대성역학)

정역학(Statics) : 정지해있거나일정한속도를가진물체에작용하는힘의평형상태를 연구

동역학(Dynamics) : 움직이는물체에작용하는힘과그운동의변화와의관계를연구 (원인) (결과)

공업역학정역학 (Statics)동역학 (Dynamics) 운동학(Kinematics) : 물체의운동의표현에만관심((

위치, 속도, 가속도

운동역학(Kinetics) : 운동과그원인이되는힘과의관계에관심

(

공업역학에서다루는물체

1. 질점 : 질량은있으나크기는무시할수있는물체. 물체를한점으로이상화하고그위치 (3개의좌표)를시간의함수로써표현하면운동상태는결정된다위치 (3개의좌표)를시간의함수로써표현하면운동상태는결정된다.Ex)지구궤도를도는우주선의운동을고려할때의우주선

2. 강체 : 질량과크기는있으나변형은무시할수있는물체로서그위치 (3개의좌표)와자세(3개의좌표)를시간의함수로써 표현하면운동상태는결정된다물체의크기가문제해결에중요한물체

Ex) 지구에착륙시의우주선3.변형체 : 질량, 크기, 변형이모두있는물체로서고체, 유체(액체와기체) 등이그예가된다

12 2 직선운동학 연속운동

12장 6/54

12.2 직선운동학 : 연속운동(Rectilinear Kinematics : Continuous Motion)

위치벡터(Position Vector)s: 직선좌표축직선상에서운동하는질점이특정순간에위치한점 P의, 기준점 O로부터의위치위치벡터 ir

rrs=위치벡터

Where s: 점 P의좌표i: 오른쪽방향의단위벡터

ir s=

( )(a)

Fig. 12-1

점 P가 O의오른쪽에위치하면 s: positive 왼쪽에위치하면 s: negative

12장 7/54

(t' )변위 (displacement)

- 위치의변화질점이 에서 (위치벡터 )으로이동했을때변위P P′

r(t' )==질점이 에서 (위치벡터 ) 으로이동했을때변위

질점의최종위치 ( )가초기위치( )의

P P

PP′

r(t)

=

t

t' = t+Δt

질점의최종위치 ( )가초기위치( )의오른쪽에위치하면 :왼쪽에위치하면 :

PP′sΔsΔ (b)

i 12 1Fig. 12-1

Note: 질점이 이동한 거리 (distance traveled)

rΔ sΔalways positive scalar변위 (벡터)와 는 다르다운동방향이 바뀌지 않은 경우 이동거리 = 운동방향이 바뀐 경우 변위는 얼마 안돼도 이동거리는 길다운동방향이 바뀐 경우 변위는 얼마 안돼도 이동거리는 길다

속도 (Velocity)

(12-1) 12장 8/54

속도 (Velocity)시간 동안에 의변위를가진질점의tΔ rΔ

irrrvts

ttttavg

ΔΔ

=−Δ+

−′=

ΔΔ

=)(

속도평균

ii

iiirrv

ds

sdtd

dtdss

dtd

dtd

t

ttttt

t+==≡

ΔΔ

=

ΔΔ+Δ

→Δ)(lim

)(

0 속도순간

( 는방향도크기도변하지않는단위벡터이므로 )

i(c)

Fig. 12-1

ii vdt

≡=

v-질점이 오른쪽으로움직이면 : positive

왼쪽 : negative v

-위치가일정하면속도는 0. Why?

0ivir ==∴= )( CC rdr 0ivir ∴ )( CC rdt

r

12장 9/54

-속력(Speed)magnitude of the velocity (속도의크기) positive scalar

vvsp == v

stΔ질점이 시간 동안에이동한거리

m/sec

평균속력 ts

ttv T

avgsp Δ=

ΔΔ

=)(질점이 시간 동안에이동한거리

변위

평균속도 iirvtPP

ts

tavg Δ′−

=ΔΔ

=ΔΔ

=)(

속도의방향이바뀌는경우평균속력 평균속도의크기≠

(d)

Fig 12-1

평균속도와평균속력Note.

평균속력 평균속도의크기≠ Fig. 12-1

가속도(Acceleration)12장 10/54

시간 동안에 의속도변화를가진질점의tΔ vΔ

)( tv

ttttavg

ΔΔ

=ΔΔ

=−Δ+

−′= ivvva 가속도 평균

2

2

2

0 )( lim

)(

sd

adt

sddtds

dtd

dtdv

dtd

t

ttttt

t≡===≡

ΔΔ

=

ΔΔΔ+

→Δiiiivva 가속도 순간

2 dt

sda =

vv >′ 0>−′=Δ vvv— if , then 가속도벡터오른쪽 (가속: acceleration)

vv <′ 0<−′=Δ vvv— if , then 가속도벡터왼쪽 (감속 : deceleration)

( ) 0ii d0—속도가일정하면가속도는

( ) 0iaiv ==∴= CC vdtdv

12장 11/54Acceleration as a function of position coordinate s

가속도가위치의좌표 s의함수인경우엔다음의관계식을사용할수있다.

dvdsdvdvU i h i l vdsdtdsdt

a ===Using chain rule

useful

1. 속도를시간의함수로나타내려면 (v=f(t))

For a constant acceleration motion (등가속도운동)Caa =

using and initial velocity dtdvaC = 00

vvt

==

dtadv t

C

v

v ∫∫ =00

dvdtaC =

tavtv C+= 0)(

12장 12/54

2. 위치를시간의함수로나타내려면 (s = f (t) )

using and initial position 00ss

t=

=

tt

dtdsv =

dttavdtvds C

tts

s)(

0 000

+== ∫∫∫

3. 속도를위치의함수로나타내려면 (v = f(s))using and initial conditions 00 & vvss ==dvvdsaC =

dsadvvs

s C

v

v ∫∫ =00

예제 12-1 (Example 12-5)

12장 13/54

예제 12 1 (Example 12 5)A particle moves along a horizontal path with a velocity of ,where t is the time in seconds. If it is initially located at the origin O, determine the distance traveled in 3.5s, and the particle’s average velocity

m/s)63( 2 t-tv =

문제의요지

and average speed during the time interval.

2속도가 인경우 동안에이동한

거리 , 평균속도 ,평균속력 를구하는문제

풀이

m/s)63( 2 ttv −=Ts avgv avgspv )(

s5.3

(a)

풀이

1. 우선물체의위치 s를시간의함수로나타내야하므로

2 )6(3 dtttdss t

∫ ∫23

0 0

3

)6(3

tts

dtttds

−=

−=∫ ∫(b)

Fi 12 6Fig. 12-6

체의이 거리 하기위해 선운 경

12장 14/54

물체의이동거리 를구하기위해우선운동경로를

알아야한다. Fig. 12-6b에서 에서 이므로,

에서속도의방향 을바꾼다

Ts

st 2= 0=vm4128

2−=−=

ts )( 부호의v

( ) ( ) ( ) ( ) ( )4125.60425.302 +=−+−= −−−−sssssT

2=t )( 부의v이므로 m .s

t1256

5.3=

=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )m1.14=

2평균속도

ANS.

( ) ( )→=−

=−−

=ΔΔ

= m/s75.15.3

0125.605.3

)0(5.32.

sstsvavg

평균속도

ANS.

m/s0441.14)(

3.sv T

평균속력

ANSm/s04.45.3

)( ==Δ

=t

v Tavgsp ANS.

12.3급변하는직선운동( Rectilinear Kinematics : Erratic Motion )

12장 17/54

12.3 급변하는직선운동( Rectilinear Kinematics : Erratic Motion )

질점의운동이급변하는경우(예, 속도나가속도가불연속인경우)에는그운동을하나의연속함수로나타낼수가없으므로, 미분과적분이함수의그래프에서각각기울기와면적을나타낸다는점을감안하여도식적으로해결하는편이편리각각기울기와면적을나타낸다는점을감안하여도식적으로해결하는편이편리

하다. 그자세한내용은미적분의응용에해당하므로본강의에선생략하기로한다.

s-t그래프가주어졌을때 v-t그래프그리기

,vds= s-t그래프의기울기 =속도,v

dts t 래 의기울기 속

(a) (b)Fi 12 27Fig. 12-27

그래프가주어졌을때 그래프그리기

12장 18/54

v - t그래프가주어졌을때 a - t그래프그리기

adv= v-t그래프의기울기 =가속도,a

dt= v-t그래프의기울기 = 가속도

(a) (b)

Fi 12 28Fig. 12-28

예제 12-3 (Example 12-6)A bi l l i h d h h i i i i d ib d b h h

12장 19/54

A bicycle moves along a straight road such that its position is described by the graph shown in Fig. 12-9a. Construct the v-t and a-t graphs for .

문제의요지

s300 ≤≤ t

t=10s에서운동의성격이변하는, 사이의 s - t 그래프가주어졌을때

그래프와 그래프를구하기

문제의요지

s300 ≤≤ tv - t 그래프와 a - t 그래프를구하기

1. v - t그래프그리기

tdsvtst 6030100 2 ===≤≤

(a)

tdt

vtst 6.03.0100 ===≤≤

63063010 ==−=≤<dtdsvtst

2. a - t그래프그리기dt

6.06.0100 ===≤≤dtdvatvt

(b)

dt

063010 ===≤<dtdvavt

(c)Fig. 12-9

(c)

12장 20/54

t = 10s에서, s - t그래프는연속이고미분가능(미분값이연속이므로)그래프는연속이고미분불가능 미분값이불연속이므로

Note.

v - t그래프는연속이고미분불가능(미분값이불연속이므로)a - t그래프는불연속 (물론미분불가능)

이예에서알수있다시피함수는미분하면그성질이나빠지고적분하면

좋아진다.

12.4 일반적인곡선운동 (General Curvilinear Motion)

12장 21/54

( )

시간 t일때 P에위치한질점이시간 Δ t후에 P΄로이동한경우를생각해보자

물체의

위치벡터(Position vector) rr =)(t

rr ′=Δ+ )( tt

물체의이동거리

rr =Δ+ )( tt

(a)

변위 (Displacement)

) ( 상대위치벡터대한에의 PP ′

(b)rΔsΔ : arc length

: straight line between P and P’

속도(Velocity)Δ

=−′

=rrrv속도평균tttt

avgΔ

=−Δ+

=v)(

속도평균

drrΔli)( 속도순간dtd

ttv =

Δ=

→Δ 0lim )( 속도순간

rΔ0→ΔtAs , approaches the tangent to the curve at point P

곡선운동에서 속도 의 방향: P 에서 접선방향 (운동경로의 접선방향)v

원래 dr은직선 ds는곡선으로서로원래 dr은직선, ds는곡선으로서로다르지만극한값을취하면 dr ds 같아진다.

dsdrrΔ

dtd

tt

rrv =ΔΔ

=→Δ 0

lim )( 속도순간:)speed:(속력크기

방향 : P 에서접선방향

dtds

dtdr

trv

t==

ΔΔ

=→Δ 0

lim

가속도( l ti )

12장 23/54

시간 일때 ( 에서) 속도가 인질점이시간 후에 ( 에서) 속도가

로변한경우

가속도(acceleration)

vΔ′

P P ′t tΔ

ttttavg

ΔΔ

=−Δ+

−′=

vvva)(

가속도평균

로변한경우vvv Δ+=′

tttt ΔΔ+ )(

두개의속도벡터들의시작점이

(vector calculus requires the same reference point)

Hodograph두개의속도벡터들의시작점이고정점 O’에위치하고화살표는곡선상의점에접하게그린커브즉, 속도벡터의궤적을나타낸다

Fig. 12-16(d) (e)

Path

g

2

)(li)(dddd rrvvΔ

가속도순간

12장 24/54

20)( lim )(

dtdtdtdttta ===

Δ=

→Δ가속도순간

가속도의방향 :

Fig. 12-16(f) (g)

가속 의방향가속도는속도의변동경로즉 hodograph의접선방향을가진다.

c.f. 속도는경로에접선방향

가속도와속도의방향 :일반적으로가속도는속도와방향이같지않다. 즉, 일반적으로가속도의방향은경로의접선방향이아니다. 직선운동의경우엔가속도와속도의방향이같을수도있다 (부호가같으면).

12.5 곡선운동 : 직각성분 (Curvilinear Motion : Rectangular Components)

12장 25/54

— Describe the motion of a particle using a fixed x, y, z frame of reference

위치(Position)에위치한질점의위치벡터:

: 직교하는세축의좌표 와그축방향으로의단

P( )zyx ,,

: 각각시간 의함수

: 축박향으로의단위벡터( )kji ,,

zyx ,,,r t

의크기 :

)(,)(,)(),( tzztyytxxt ==== rr

r 이고222 zyxr ++=

O

( 가원점 로부터떨어진거리)

r

P

방향의단위벡터: Fig. 12-17

(a)O

12.2절에서직선운동의축을 축으로삼으면 이고 인x 0== zysx =경우가되므로, 직선운동은곡선운동의특수한경우에불과하다.

속도 (Velocity)

12장 26/54

속도 (Velocity)

( ) ( ) ( ) ( )kjikjirv zdtdy

dtdx

dtdzyx

dtd

dtd

++=++==

( )dtdx

dtdxx

dtd iii +=

0kji===

dtd

dtd

dtd

kjirv zyx vvvdtd

++==

,,, zdtdzvy

dtdyvx

dtdxv zyx &&& ======

222zyx vvvv ++==v

vvelocitymagnitude :

direction:

v /v v vu =( 방향단위벡터 운동경로의접선방향의단위벡터)

가속도(Acceleration)

12장 27/54

가속도(Acceleration)

kjikjiva zyxzyx aaavvvdtd

dtd

++=++== )(

2

2

dtxdxva xx === &&&

dtdt

2

2

dtydyva yy === &&&

2

2

dtzdzva zz === &&&

Fig. 12-17

(c)222zyx aaaa ++==a

방향의단위벡터 hodograph의접선방향의단위벡터/a a au =a

12.6 투사체 (발사체)운동 (Motion of a Projectile) 12장 28/54

Free-flight motion of a projectile useful to represent in rectangular components acceleration always acts in the vertical direction

Consider a projectile launched at (x0, y0) with

acceleration always acts in the vertical direction

initial velocity v0 & constant downward

acceleration (a = g = 9.81 m/s2 =

32 2ft/ 2)

ja g−=32.2ft/s2)

수평운동 (Horizontal Motion)

( )이므로jjia gaaa yxx −=+== Q0

00 vtavv =+=Fig. 12-20

horizontal velocity always remains constant 00 xxxx vtavv +

tvxtatvxx xxx 002

00 2

1+=++=

y yduring the motion

2200

20

2 )(2 xxxx vxxavv =−+=

12장 29/54

수직운동 (Vertical Motion)

gtvtavv yyyy −=+= 00gyyyy 00

200

200 2

1

2

1 ttvytatvyy gyyy −+=++=22

)(2)(2 02

002

02 yygvyyavv yyyy −−=−+=

공식이많아서복잡한듯보이지만서로독립된두개의초기치문제

002

2

)0(,)0(,0 xvxxxdt

xd=== &

)

Note.

의해에불과하다.dt

002

2

)0(,)0(, yvyyygdt

yd==−= &

)

예제 12-4 (Problem 12-77)

12장 30/54

The motorcycle travels with constant speed along the path that, for a short distance, take the form of a sine curve. Determine the x and y components of its velocity at any instant on the curve.

0v

일정한속력 를가진오토바이의 i 곡선경로

문제의요지 속도가너무빠르지않아붕떠서떨어지는경우말고계속지면과접촉하는경우가정

일정한속력 v0를가진오토바이의 sine 곡선경로에서의속도의 x, y성분을구하라.

jvivv yx +=22

0 yx vvvv +==

xcyL

πsin=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=+= )(cos)( 222222

0 1 xcvvvvLLxyxππ

Prob 12-77⎦⎣ LL

21

−⎤⎡

21

220 )(cos)(1

−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ += xcvv

LLxππ

( 는언제나양)xv

Prob. 12-77

2220 cos)(cos 1 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ += xcxcvv

LLLLyππππ ( 위치에따라 는음이될수도있다.)yv

ANS.

노즐로부터 16m/s의 유속으로 분출되는 물이10 떨어진 벽에 쏘아 올릴 수 있는 최대 높이?10m떨어진 벽에 쏘아 올릴 수 있는 최대 높이?Sol)Vertical motion

0819sin16+ ttavv θ 최고점에서수직방향속도 0081.9sin160

=−=+= ttavv cyy θ 최고점에서수직방향속도 = 0

t81.9sin16 =θ

Horizontal motion

10)cos16(00 =+=+= ttvss c θ

10θcos16

10=t

θθ

cos161081.9sin16 =

383200i θθ )2i (i2 θθθ 배각공식38320.0cossin =θθ )2sin(cossin2 θθθ = 배각공식

76641.0)2sin( =θ o0.25=θ

10 11sec6897.0

25cos1610

== ot 33.2)6897.0(25sin160 2200max )6897.0(81.9

21

21

=−+=−+= oy ttvyy g

33.333.21max0 =+=+= yyh

예제

12장 31/54

예제The fireman standing on the ladder wishes to direct the flow of water from his hose to the fire at B. Determine two possible angles and at which this can be done. Water flows from the hose at = 300 ft/s .Av 1θ 2θbe done. Water flows from the hose at 300 ft/s .Av

x

y

300

θ

60

30300

문제의요지Prob. 12-86

노즐로부터 300ft/s의유속으로분출되는물이 (60, -30)에위치한불길을잡기위한노즐각 는?

문제의요지

θ

θcos300)0(,0)0(0 === xxx &&&

θsin300)0(,0)0( −==−= yygy &&&

인초기치문제를풀면

12장 32/54

60cos3000)0()0( =+=+= θttxxx &

3021)sin300(0

21)0()0( 22 −=−−+=−+= gttgttyyy θ&

22

)cos300

60(sin300)cos300

60)(2.32(2130 2

θθ

θ+=

644.0cossin60cos30 2 += θθθ

cos300cos3002 θθ

θθθ 2222 cos)cos1(60)644.0cos30( −=−

두고로 2cos z=θ

zzz )1(60)644.030( 2 −=−

z에대한 2차방정식을풀면z에대한 2차방정식을풀면

°= 261θ

(수평선으로부터상향)

ANS.

°489θ

(수평선으로부터하향)

(수평선으로부터상향)°−= 4.892θ

12.7 곡선운동 : 법선및접선성분12장 33/54

(Curvilinear Motion : Normal and Tangential Components)

•평면위의곡선: 곡률과곡률중심이제각기다른원호들의조합•곡선위의질점운동의표현:운동의 진행방향즉경로의접선방향의단위벡터 와

질점으로부터곡률중심을향하는방향의단위벡터 로표현P

질점으로부터곡률중심을향하는방향의단위벡터 로표현 r위치

(a)ρ(r) : 곡률반경 (radius of curvature)

1/ρ : 곡률(curvature)

원운동과직선운동을곡률반경이각각원의반경

과무한대인곡선운동이라고볼수있다nu

과무한대인곡선운동이라고볼수있다.

tuu

tu

Fi 12 24

(b)곡률반경 nu

Otu

nu

Fig. 12-24

반경 ρ 을갖는원의일부분 원운동 직선운동

속도( l it )

12장 34/54

속도(velocity)- Velocity of a particle that moves along the path

Always tangent to the path

)(tss =

속도

(c)

Fig. 12-24

속도

가속도 (Acceleration)속도의크기변화에 속도의방향변화에

12장 35/54

크기같은와

방향같은과

)1(

θΔnu

기인한항속 의방향변화에기인한항

(12-17)Δ

크기같은와)1( θΔ

ttt vv

dtvd

uuu

va &&& +===)(

단위벡터의미분

d tt Δ==

uuu lim& Δu'n

tdt tt Δ→Δu

0lim

)1(:크기 θΔ{tuΔ u't(d)

tuΔ

nu:방향{tu

θθ&

ΔΔ }li{}{li nutt uu Δ+

tuΔ

u t

ntntt

dtt

uu

uuu

θθ &==

Δ=

Δ=∴

→Δ→Δ}lim{}{lim

00( 는극한과무관하므로)nu

tuθΔ

nndtuu θ==

( )반경이 1인원

vv uuva θ&&& +== (e)

Fig. 12-30nt vv uuva θ+==

12장 36/54

dtd

dtds θρ=

θρθρ && ==⇒= vsdds ρρθ vs

==&&

2&ntntnt

vvsvvvv uuuuuuvaρρ

θ2

+=+=+== &&&&&

nntt aa uua +=∴

Where

⎞⎛ dddd⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ====

dsdvv

dtds

dsdv

dtdvva t &Q

22nt aaa +=Magnitude of

acceleration

12장 37/54

직선운동

가속도의접선및법선성분은각각속도의크기및방향변화에기인한성분들

이다 따라서직선운동은방향을바꾸지않으므로 적어도연속적으로는 접선이다. 따라서직선운동은방향을바꾸지않으므로(적어도연속적으로는) 접선성분만가진다.

원운동

속도

(When particle moves with a constant speed)

가속도

속도

2

nt

t

vv

v

uu

uv

aρ

& +

=

=

tu

ρ

일정하므로가경우원운동의

이므로

)0(vv

ρρθρθρθρθρ

ρ

&

&&&&&&& &

==+= =

nuρ

0

구심방향은

2

n

nt

uuua θρθρ &&& +=∴

(centripetal)

Ex 12.15)

삼차원곡선운동 (Th Di i l C ili M ti )

12장 38/54

삼차원곡선운동 (Three - Dimensional Curvilinear Motion)

normal tangential bi i l

nutu

binomial

과 가만드는평면 : osculating plane

bu

nu tu

12.8 곡선운동 : 원주성분

12장 39/54

(Curvilinear Motion : Cylindrical components)

Sometimes useful to express the path of motion in terms of cylindrical coordinates (if planar motion polar coordinates are used)

zr ,,θθr

점의위치벡터방향(반경방향)의단위벡터 과

극좌표 (Polar Coordinate)u

(if planar motion, polar coordinates are used) θ,r

점의위치벡터방향( 반경방향)의단위벡터 과

그위치벡터의, 기준축으로부터의좌표인 가

증가하는방향(횡방향)의단위벡터 로표현

ruθ

θu

rur == rr r ,)(Position위치

&&& +)(V l it속도

(a)(12-22)

rr rr uurv +==)(Velocity속도

d rr Δ==

uuu lim&

θuθu′θuΔ

)(tuu =

)( ttrr Δ+=′ uu

ruΔθΔ

θ)1(:크기 Δtdt tr Δ

==→Δ

u0

lim

{uΔ

)(trr uu =θΔ

∴θu:방향

{ruΔ(b)

Fig. 12-30

∴

12장 40/54

θθθθ uuu

&

&ΔΔ

=ΔΔ

=→Δ→Δ

)lim()(lim00 tt ttr ( 는극한과무관하므로)θu∴

θθ u&= (12-23)

rru&

θθθ&& rvrv

vv rr +=∴ uuv(c)

(12-24)

(12 25)

r{

22 )()(

,

θ

θθ

&& rrv

rvrv r

+==

==

vFig. 12-30

(12-25)

(12-26)

방향 :경로의접선방향

12장 41/54

가속도 (Acceleration)

θθθθ θθθθ uuuuuuuva &&&&&&&&&&&&& rrrrrrrdrrr ++++=+== )( θθθθ θθθθ uuuuuuuva

dt rrr )(

tdtd

t ΔΔ

==→Δ

θθθ

uuu0

lim&tdt Δ

u−Δ

:)1(:

방향

크기 θruu θθ Δ−=Δ∴{θuΔ

ru:방향 θ{

(12 27)θ

θθ

θ&&

aa rr

r

+=−=

uuauu

(d)

Fig 12-30

(12-27)

(12-28)

(12 29)

222

2

)2()(

2,

θθθ

θθθ θ

&&&&&&&

&&&&&&&

rrrra

rrarrar

++−==

+=−=

a

Fig. 12 30(12-29)

(12-30)

12장 42/54

각각 각속도와각가속도라부른다을와 θθ &&& 각각 각속도와각가속도라부른다.을와 θθ(angular velocity, angular acceleration)

원운동의경우, 이므로, 따라서

0== rr &&&일정=r θuru

r

θ

θ

θθ

θ

uua

uv&&&

&

rr

r

r +−=

=2

θr

0

속도는접선성분만존재하고가속도는중심방향( 방향)성분이ru− 2θ&r( )으로서구심가속도(centripetal acceleration) 라하고 방향성분이 로

서접선가속도(tangential acceleration)라한다. 이결과는법선및접선성분에서의결과와도일치한다. 어떻게?

r

θ&&rθ

분에서의결과와 일치한다.어떻게?

(normal vector 중심: 곡률중심 – concave)

원주좌표(Cylindrical Coordinate)

12장 43/54

k =

원주좌표(Cylindrical Coordinate)3D motion polar coordinate ( , ) + ( - 평면에수직인축)θuru zu θuru

zrP zr uur +=

zr

zrrrr

zrr

uuua

uuuv&&&&&&&&&

&&&

+++=

++= θ

θθθ

θ

)2()( 2

(12-31)

zr zrrrr uuua +++−= θθθθ )2()(

d

(12-32)

( 방향이고정된 z축방향의단위벡터)zu0=zdt

d u Fig. 12-31

Ex. 12.18

문제의요지

Ex.12.18의각속도로회전하는봉에 200t 의속도로미끌어지는칼라의 1초에서의속도와가속도?

23t

180

1

1

2

/200002

100100

smmtr

mmtr

st

st

==

==

=

=

&1

2

1

3

/33

3.571801

sradt

radt

st

st

==

====

=

=

θπ

θ

&

o

21

/200002 smmrst==

=&& 2

1

1

/66 sradtst

st

===

=

θ&&

Velocity

{ } smmrr rrr /)3(100200)3(100200 θθθθ uuuuuuv +=+=+=∴ &&

smmvmagnitude /361)300()200( 22 =+== v Ans)

ooo

o

1143.563.57

3.56200300tan 1

=+=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= −

angletotal

direction δ

Ans)1143.563.57 +angletotal Ans)

Acceleration

2 )2()( rrrr θθθ uua ++−= &&&&&&&

[ ] [ ]{ } 2

2

/1800700

)3)(200(2)6(100)3(100200

)2()(

smm

rrrr

r

r

θ

θθθθ

uu

uu

uua

+

++−=

++=

{ } /1800700 smmr θuu +−=

222 /1930)1800()700( smmamagnitude =+== a

oooo

o

169357)768180(

7.68700

1800tan 1

+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= −

lii iti l

direction

기준

φ

1693.57)7.68180( =+−=− angleaxisrinitial 기준

예제 12 6 (P bl 12 153)

12장 44/54

예제 12-6 (Problem 12-153)The automobile is traveling from a parking deck down along a cylindrical spiral ramp at a constant speed of v = 1.5 m/s. If the ramp descends a distance of 12 m for every full revolution, rad, determine the magnitude of the car’s acceleration as itπθ 2=full revolution, rad, determine the magnitude of the car s acceleration as it moves along the ramp, r =10m.Hint : For part of the solution, note that the tangent to the ramp at any point is at an angle of from the horizontal. Use this to d t i th l it t d hi h i t d t d t i

πθ 2

)])10(2/[12(tan 1 πφ −= °= 81.10determine the velocity components and , which in turn are used to determine

and .θv zv

θ& z&

주차장에서내려오는경사로를따라일정한속력으

문제의요지

주차장에서내려오는경사로를따라일정한속력으로내려오는자동차의가속도의크기를구하라.

θvv

)( m1022 ππ =r

zvvm12

ϕ)(

Prob. 12-153

12

12장 45/54

°== − 81.10)10(2

12tan 1

πϕ

rv == 이므로0&

zz

r

vvrv

uuv += θθ

이므로0

/θ&

m/s2814.081.10sin5.1sinm/s473.181.10cos5.1cos

−=°−=−===°===

ϕϕθθ

vzvvrv

z &

0,0,0,,)2()( 2

===

+++−=zrzr

zr

vvvzrrrr

&&&&&&

&&&&&&&&&

θθ

θθθθ일정하므로가

uuua,,,, zr θ 정

2−=∴ r rθ& ua

222

2 m/s217.0)10()473.1(

====∴r

vr θθ&a ANS.

12.9두질점의절대종속운동해석

12장 46/54

12.9 두질점의절대종속운동해석(Absolute Dependent Motion Analysis of Two Particles )

Dependent Motion: Motion of one particle depend on the motion of another particle 두 질점의 운동사이에 구속이 있을 경우 이 구속에 의해 그 운동들은 서

로 무관하지 않고 어떤 관계를 가지게 된다. 예를 들면 Fig. 12-36에서

두 블록 A 와 B를 연결한 (cord)의 길이가 변치 않는 경우

Fig 12-36lengthcordtotallT :letconstraint(구속조건) : inextensible cord

BCDA

CDTBCDA

dsdldsllsls

++

→=++

0

일정하다항상길이는의

Fig. 12-36T

ABBA

ABBCDA

aad

sdd

sd

vvdtdtdt

−==+

−==++

0

,0

2

2

2

2Negative sign : 만약 블럭 A가 밑으로내려가면 즉 positive SA방햐으로 가면 B는

로 올

좌표 와 의기준점이다르고방향도다르게정의되었음을유의할것

ABdtdt 22

s Bs

위쪽 즉 negative SB쪽으로 올라간다

좌표 와 의기준점이다르고방향도다르게정의되었음을유의할것As Bs

고정점이나선, 면을기준으로잡는다

12장 47/54생략식에서일정하다항상길이는붉은색부분의 →

22 수학적표현은다르지만ABAB aavv −=−= 2,2 수학적표현은다르지만

Physically the Same!

같은문제에서다른결과

를얻게되는이유는 ?(a)

Fig. 12-37

ABAB aavv == 2,2

(b)

기준좌표의방향!+means increase in the direction

means A와 B의속도모두증가하는방향으로

AB vv =2(b)

Fig. 12-37

속도모두증가하는방향으로움직인다. 즉A는오른쪽, B는위쪽으로.

Ex. 12.22

길이가변하는 2개의줄로구성

Ex. 12.22

일정하다항상길이는붉은색부분의 일정하다항상길이는붉은색부분의

cB sls =− 22

21 24 llss BA +=+

04 04 =+ BA vv

)(/84) ,(/2

↓

+−=

d ddownwardvelocityupwardsmvif B 기준축

)(/84 ↓=−= downwardsmvv BA

예제 12-7 (Problem 12-178)

12장 48/54

If the hydraulic cylinder at H draws in rod BC at 2 ft/s, determine the speed of the slider at A.

Prob. 12-178 As

=+2 AH lss Hs

→=−=∴−=−=

4ft/sft/s4)2(22

AA

AH

vvvv

ANS.→/s/s)( AA vv ANS.

12 10병진축을이용한두질점의상대운동해석

12장 49/54

12.10 병진축을이용한두질점의상대운동해석(Relative-Motion Analysis of Two Particles Using Translating Axes)

기준계(frame of reference) : 직교하는세축한질점의운동을나타내기위하여단하나의기준계를사용할수도있지만

둘혹은그이상의기준계를사용하는것이편리할때가있다. 예를들면헬리콥터의날개끝의운동은헬리콥터의운동에다가헬리콥터에서봤을때원운동하봤

는날개끝의운동을합함으로써구해진다. 이절에서다루는기준계는고정기준계이든지병진기준계이다. 회전기준계에대한상대운동은 16장에서언급할것이다.것이다.

위치(Position)움직이는 물체A에 부착된 moving (translating) frame

Fixed frame(고정기준계) Translating frame(병진기준

(12-33)

ed a e( 정기준계)의원점 O에대한두점 B와 A의위치 (점 B와 A의절대위치)

g (병 기계)의원점 A에대한질점 B의위치(relative position of B with respect to A 점 B의 A에대

(a)

respect to A 점 B의 A에대한상대위치) Fig. 12-42

A에서본 B의위치 Fixed frame

속도(V l it )

12장 50/54

속도(Velocity)By taking time derivative of position relation ABAB /rrr +=

ABAB dtd

dtd

dtd

/rrr += vB/A

dtdtdt vB

vA

(b)

고정기준계에위치한관찰자가 병진기준계에위치한

(b)

Fig. 12-42

(12-34)

본점점 B와 A의속도(점 B와 A의절대속도)

관찰자가본점 B의속도(점 B의 A에대한상대속도)

A에서본 B의속도

12장 52/54

가속도(Acceleration)

dddaB/A

ABAB dtd

dtd

dtd

/vvv +=aA aB

(c)

Fig. 12-42

(12-35)

Ex. 12.27

ABAB / =−= vvvy

속도(Velocity)

smA

/18=v

smB

/12=v smji

jij/)588.39(

)60sin60cos(1812+=

−−−− oo

ABAB vvv −=/

o60x

smv AB /69.9)588.39( 22/ =+=magnitude

θ

AB )(/magnitude

direction o7.219588.3tan

9588.3tan 1 ==→= −θθ

y taρ

2vn =a

가속도(Acceleration) 등속도운동시 normal법선방향가속도

2v

222

/44.110012 smv

n ===ρ

aAaφ

2/3 sm=aABAB aaa −=/

o60x

2/

/)732.444.2(

)60sin60(cos2)344.1(

smji

jijiABAB

+−=

+−−−=−= ooaaaρv

n =a

a

φ

/3 smt =a

o7.62)440.2732.4(tan 1 == −φ

Ba 222/ /32.5)732.444.2( sma AB =+=

12장53/54Skip

예제 12-8 (Problem 12-199)At the instant shown, the car at A is traveling at 10 m/s around the curve while increasing its speed at 5 . The car at B is traveling at 18.5 m/s along the straightaway and i i it d t 2 D t i th l ti l it d l ti l ti f

2m/s2/

θρ &=x

increasing its speed at 2 . Determine the relative velocity and relative acceleration of A with respect to B at this instant.

2m/s

ρ

=ρ

x'

속력( )의변화율이주어진두차량 A와

문제의요지

x"속력(v)의변화율이주어진두차량 A와B의상대속도와상대가속도를구하라.(기준계 Bxy는병진기준계이다.)

운전자가탑승한기준계 은 A와yxA ′′′′

P b 12 199

=°−°=

BB

AA

vv

/}{

)sin(cos 4545

jiiv

jiv 함께병진하면서각속도 을가지고

회전하는기준계이다.

yθ&

Prob. 12-199

=−=−=−−=−=

BAABAB

BABA

//

/ m/s}{ 071.7429.11

vvvvjivvv ANS.

차 A의운전자(회전과병진을겸하는기준계 Ax″y″에고정)가본차 B의속도가아니라차 A와함께병진하는기준계 Ax′y′에서본차 B의속도

(16장에서자세히공부하게된다)

12장 54/54

tAtnAnA aa uua +=

22 10 d 2222

)i(

m/s,m/s 51100

10

ji °°

===== AAt

AAn dt

dvavaρ

sincos)sin(cos

4545

4545

jiujiu

°−°==°+°−==

t

n

2

2

m/s

m/s}{

2

243.4828.2

ia

jia

===

−=∴

B

A

dvaa

2/ m/s}{

m/s,

24.4828.0

2

jiaaa

ia

−=−=∴

===

BABA

BBB dtaa

ANS.

운전자 B (병진하는)가본차 A의가속도.