15장 1 / 51

Chapter 15

질점의질점의동역학동역학 ::충격량과충격량과운동량운동량질점의질점의동역학동역학 : : 충격량과충격량과운동량운동량(Kinetics of a Particle : (Kinetics of a Particle :

Impulse and Momentum )Impulse and Momentum )

15장 2 / 5115.1 선충격량과 선운동량의 원리

(Principle of Linear Impulse and Momentum)(Principle of Linear Impulse and Momentum)

질점의 운동방정식

∑ dvF∑ ==dtdmm vaF (15-1)

t 에 대해 적분하면

(15-2)122

1

2

1

2

1

vvvFFv

vmmdmdtdt

t

t

t

t−=== ∫∫ ∑ ∑ ∫

선운동량(L = mv)의 변화선충격량 I (벡터량) ( )선충격량 I (벡터량)

Linear impulse

선충격량과 선운동량의 원리

Linear momentum : v와 같은 방향을 갖는벡터(kg m/s)

: 질점에 작용한 힘의 선충격량은 질점의 선운동량의 변화와 같다.

Principle of Linear Impulse and Momentum (선충격량과 선운동량의 원리 )

초기속도와 질점에 주어진 힘을 알면 일정시간이 흐른 후의 속도 v2를 직접2

구할 수 있다 (힘, 속도, 시간에 관계된 문제 풀때 유용)

Eq. (15-2) can be rewritten

∑ ∫2t (15 3)∑ ∫ =+2

121 t

mdtm vFv (15-3)

15장 3 / 51∑ ∫ =+

2

121

t

tmdtm vFv

@ t2@ t1

질점의 초기의 선운동량 + 선충격량 = 최종상태의 선운동량

pitched ball + impact given by the bat hit = flying ball in different direction!

스칼라 방정식(Scalar Equations)

++=∑ ∫ ∑ ∫2

1

2

1

)(t

t

t

t zyx dtFFFdt kjiF

⎪⎧ =+

++=

∑ ∫

∑ ∫∑ ∫∑ ∫2

2

1

2

1

2

1

21 )()(

)()()(

t

xxx

t

t z

t

t y

t

t x

vmdtFvm

dtFdtFdtF kji

⎪⎪

⎪⎪

⎨ =+

∑ ∫

∑ ∫

∑ ∫

2

2

1

1

21

21

)()(

)()(

)()(

t

t

t yyy

t xxx

dtF

vmdtFvmPrinciple of Linear Impulse and Momentum in x, y, z directions

respecitvely⎪⎩

=+ ∑ ∫1

21 )()(t zzz vmdtFvm

15장 4 / 51Ex 15.2)

문제의 요지 : 시간의 함수인 힘 P = 100t 이 250 N의 상자(초기속도 v1)에2초 동안 가해진 직후의 속도 v2를 구하라.

1. 힘, 속도, 시간의 문제 충격량과 운동량의 원리를 이용한 해법

∑ ∫ =+2

21 )()(t

t xxx vmdtFvm ∑ ∫1t

ji

WjiiF

)30()30i( oo WNWFP

NFP c

++

++−=∑ji )30cos()30sin( WNWFP c −++−=

o30cos0 WNmaF cyy =⇒==∑

dtWNtdtFt

t cx∑ ∫ ∫ +−=2

1

2

0)30sin3.0100( o

[ ] 2

2

02 81.9250)250)(30sin30cos3.0(100)/s1(

9.81m/s250 vdttmN

=+−++ ∫ oo /s6.132 mv =∴

15장 5 / 512. 운동방정식을 이용한 해법

ji

WjiiF

)30cos()30sin( oo WNWFP

NFP

c

c

−++−=

++−=∑

maF xx =∑∑ xF

3562924381.9

250)250)(30sin30cos3.0(100

ta

at

xx

+=

=+−+

∑oo

356.2924.3

2

dtdva

ta

v

=

+=

∫∫

이므로

)356.2924.3(2

012

2

0

2

1

dttvv

dtadvv

v

++=

=

∫

∫∫

/s56.1356.121m=

+=

Two different methods, but the same results. Why?충격량-운동량 원리도 운동방정식으로부터 유도된 것!

15장 6 / 51

이렇게 같은 결과를 줄 바에야 충격량-운동량원리의 의의는 무엇이란 말인가?

충격의 경우와 같이 큰 힘이 매우 짧은 시간에 작용하는 경우엔 그 힘을 측정하거나

시간의 함수로 표현하기가 어려우므로 힘의 효과(충격량)를 운동의 변화(운동량의

변화)로 대체하는 것이 편리하다.

2 F dtt

∑ ∫ 121

vvF mmdtt

−=∑ ∫

15장 7 / 51

15.2 질점계의 선충격량-선운동량의 원리(Principle of Linear Impulse and Momentum for a System of Particles)

∑∑ =n

ii

n

i dtdm vF

== ii dt11

External forces only! ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ =∑=

lawrdsNewtonfn

ii 3',0

1Q

Integrating over dt gives

21 )()( 2

1∑∑ ∑ ∫ =+ ii

t

t iii mdtm vFv 내부충격량(내력에의한 충격량) = o

miIntegrating over dt gives

초기의운동량의

총합

외력의충격량의

총합

최종상태의운동량의

총합

= 0관성기준계

Fig. 15-7∑ ∫=

n

i

t

t i dt1

2

1

f

mi = m : 질점계의 총질량

miri = mrG : 질점계의 질량중심 G ∑

∑mivi = mvG

질점계의 운동량의 총합 = 질점계의 총 질량 X 질량중심의 속도

(모든 질량이 질량중심에 몰려있다고 보고 계산한 운동량과 같다.)

∑differentiate

( )

∑ ∫ =+2

121 )()(

t

t GiG mdtm vFv

15장 8 / 51

예제 15-2(Problem 15-16)A train consists of a 50-Mg engine and three cars, each having a mass of 30 Mg. If it takes 80 s for the

train to increase its speed uniformly to 40 km/h, starting from rest, determine the force T developed at thecoupling between the engine E and the first car A. The wheels of the engine provide a resultant frictional tractive force F which gives the train forward motion, whereas the car wheels roll freely. Also, determineF action on the engine wheels.

문제의 요지 : 한 대의 기관차가 세 대의 화물차량을 끌고 있다. 정지상태에서 일정한

가속도로 속도가 증가하여(increase uniformly) 40km/h의 속도에 도달하는 데

Fig.15-16

가속도로 속도가 증가하여(increase uniformly) 40km/h의 속도에 도달하는 데

80초가 걸린다면 기관차와 선두화물차 사이의 인장력 T 을 구하라. 또한

기관차의 바퀴에 작용하는 마찰견인력 F(frictional tractive force)를 구하라.

세 화물차 : T (유일한 외력)

∫∑ ∫ ∑∑ =+ 21)()( xiixixii vmdtFvm

15장 9 / 51

화물차의 가속도가 일정하므로 작용하는 인장력 T 도 일정하다.또한 (vx)2 = 40 km/h = 11.11 m/s

0 + T (80) 3 (30) (103 k ) (11 11 / )0 + T (80) = 3 (30) (103 kg) (11.11 m/s)T = 12.5 kN

열차 전체 : 기관차, 세 화물차 사이에 작용하는 힘(예 T )은 내력이므로 유일한 외력은 기관차의

바퀴에 작용하는 마찰견인력 F 이다. 또한 가속도가 일정하므로 F 도 일정하다.

0 + F (80) = [ 50 + 3 (30) ] (103) (11.11)

F = 19.44 kN

12.5/3 12.5/312.5/3 19.44 – 12.5외력의 크기 :

12.5/3 : 12.5/3 : 12.5/3 : 19.44 – 12.5 = 30 : 30 : 30 : 50 즉 질량비의 관계이다.

4대의 차량의 가속도가 동일하므로 작용하는 힘의 비는 질량비와 같다.

15장 10 / 51

15.3 질점계의 선운동량 보존(Conservation of Linear Momentum for a System of Particles)

∑∑ ∫∑nn tn

dt )()( 2 F (15 6)∑∑ ∫∑===

=+i

iii

t ii

ii mdtm1

211

1 )()(1

vFv (15-6)

초기의 운동량의

총합

외부 충격량의총합

최종상태의 운동량의총합

외부 충격량(external impulse) 의 총합이 0이면

(15 8))()( ∑∑ mm vv (15-8)21

)()( ∑∑ = iiii mm vv

Conservation of Linear Momentum (선운동량 보존의 원리)

질량중심의 정의에 따라 ∑ ∑ == GiiGii mmmm vvrr ,

2121 )()()()( GGGG mm vvvv =→=

선운동량 보존 질점계의 질량중심의 속도는 불변

(15-9)

F

∑ ∑

평균충격력(average impulsive force)dtF

tt

t∫Δ+

Favg

After the impulse is calculated and i 가 작용한 시간∆t mm − 12 vv

tF t

avg Δ=∫

tt t+∆t

impuse가 작용한 시간∆t를 알고 있을때 t

mmΔ

= 12 vv

If f(t) is known If not

15장 11 / 51

예제 15-3 (Example 15-4)The 15-Mg boxcar A is coasting at 1.5 m/s on the horizontal track when it encounters a 12-Mg

tank car B coasting at 0.75 m/s toward it as shown in Fig. 15-8a. If the cars meet and coupletogether, determine (a) the speed of both cars just after the coupling, and (b) the average forceb t th if th li t k l i 0 8between them if the coupling takes place in 0.8 s.

Fig 15 8

문제의 요지 : 화물차와 유조차가 각각 1.5 m/s와 0.75 m/s의 속력으로 연결하기 위해 서로

다가 오고 있다. (a) 연결(충돌)한 후에 두 차량의 속도와 (b) 연결이 완료되는

Fig. 15-8

데 0.8초 걸렸다면 평균충격력은 ?

(a) 두 차량을 하나의 질점계로 보면 연결시의 충격력은 내력이 되므로 외부

충격량은 영이므로 운동량이 보존된다.

))()(()()()( 222211 이므로vvvvmmvmvm BABABBAA ==+=+ ))()(()()()( 222,211 이므로vvvvmmvmvm BABABBAA ++

15장 12 / 51

(1500 kg) (1.5 m/s) + (12000 kg) (– 0.75 m/s) = (27000 kg) v2

v = 0 5 m/sv2 = 0.5 m/s

(b) 화물차만을 떼어내면 자유물체도로부터

21)( vmdtFvm AxAA =+ ∑ ∫∫

(15000 kg) (1.5 m/s) + (–Favg) (0.8 s) = (15000 kg) (0.5 m/s)

평균충격력 Favg = 18.8 kN

15장 13 / 51

예제 15-4 (Problem 15-51)A boy A having a weight of 80 lb and a girl B having a weight of 65 lb stand motionless at the ends of the

toboggan, which has a weight of 20 lb. If they exchange positions, A going to B and then B going to A’s original position, determine the final position of the toboggan just after the motion. Neglect friction.

문제의 요지 : 무게가 각각 80 lb와 65 lb인 소년과 소녀가 무게

20 lb인 썰매위에 정지하고 있다가 서로의 위치를 차례로

(먼저 A B, 후에 B A) 바꾸기 위해 움직이기 시작한다. 위치를 바꾼 직후의 썰매의 최종위치를 구하라. 단 썰매와

얼음판 사이의 마찰은 무시하라.

소년(A), 소녀(B), 썰매(T)를 하나의 질점계로 보면 A, B와 T 사이의 마찰력은 내력이 되고

주위환경 (눈)이 T 에 작용하는 마찰력은 외력이지만 무시되므로 외부충격량은 0 이다

Fig. 15-51

주위환경 (눈)이 T 에 작용하는 마찰력은 외력이지만 무시되므로 외부충격량은 0 이다. 따라서 x방향의 운동량은 보존된다.

① 먼저 A B 일때 :xB

x①

BBTAA

iiii

vmmvm

vmvm

)(0

)()( 21

++=

=∑∑ TAA vm

A B

xA

BBTAA vmmvm )(0 ++

처음엔 정지 BBT vmm )( +

15장 14 / 51

v 와 v 가 시간에 따라 어떻게 변화하는가는 중요하지 않다 ∫∫ = dxdtv

적분하면))(()(0 1212 BBBTAAA xxmmxxm −++−=

vA와 vB가 시간에 따라 어떻게 변화하는가는 중요하지 않다. ∫∫ = AA dxdtv

T 와 B가 오른쪽으로 이동한 거리를 xTB라 두면 ( xB2 – xB1 = xTB)

B 가 오른쪽으로 이동한 거리

T 와 B가 오른쪽으로 이동한 거리를 xTB라 두면 ( xB2 xB1 xTB)

A가 오른쪽으로 이동한 거리는 xA2 – xA1 = 4 + xTB .

왜냐하면 xB1 – xA1 = 4 이고 xB2 = xA2 이므로 두 식을 서로 빼면

xB2 – xB1 + xA1 = xA2 – 4 , xA2 – xA1 = 4 + (xB2 – xB1) = 4 + xTB 이다.

+++= ))(()4(0 xmmxm

←=−=++

−=

++−

=∴

+++=

ft939.1939.1206580

)80(44))(()4(0

TBA

ATB

TBBTTBA

mmmmx

xmmxm

② 그 후 B A 일 때

여전히 운동량은 원래와 같으므로

AATBB vmmvm )(0 ++=

15장 15 / 51

적분하면

))(()(0 1212 AAATBBB xxmmxxm −++−=

T 와 A가 오른쪽으로 이동한 거리를 xTA라 두면 (xA2 – xA1 = xTA)B가 오른쪽으로 이동한 거리는 (xB2 – xB1) = xTA – 4 이다B가 오른쪽으로 이동한 거리는 (xB2 xB1) xTA 4 이다.

왜냐하면 xB1 = xA1 이고 xA2 – xB2 = 4 이므로

두 식을 서로 합하면 xB1 + xA2 – xB2 = xA1 + 4

.4)(4)( 1212 이다−=−+−=−∴ TAAABB xxxxx

++−= ))(()4(0 TAATTAB xmmxm

→=++

=++

= ft576.1206580

)65(44

TBA

BTA mmm

mx

썰매가 두 과정(A B 그리고 B A) 동안( )이동한 거리는 xTB + xTA = – 1.939 + 1.576 = – 0.364 ft

= 0.364 ft

즉 썰매는 0 364 ft 왼쪽으로 이동한다즉 썰매는 0.364 ft 왼쪽으로 이동한다.

1. 질량중심의 위치는 불변이다. 왜 그럴까?2. 먼저 B A 후에 A B 의 순서로 위치를 바꾸면 결과는 어떻게 될까?

15장 16 / 51

15.4 충돌 (Impact) F( p )

두 물체가 매우 짧은 시간에 걸쳐 부딪힘으로써 상대적

으로 큰 충격력(impulsive force)을 일으키는 운동

망치 박 때 럽 칠 때

매우크다

F

Ex) 망치로 못을 박을 때, 골프 클럽으로 공을 칠 때

충돌선(line of impact) : 충격력의 작용선t

(t )충돌 직전 직후(t )질량중심을 연결한 선 즉, 법선

중심충돌(central impact) : 충돌하는 물체의운동

(t1)충돌 직전 직후(t2)

t – t = Δt≈0

•

tm :충격력이 최대가

되는 시간

충돌의 종류

중심충돌(central impact) : 충돌하는 물체의운동

방향이 충돌선과 일치하는 경우

경사충돌(oblique impact) : 충돌하는 물체의 운동

t2 – t1 = Δt≈0

(접선)

방향이 충돌선과 경사각을 이루는 경우

중심충돌은 경사충돌의 특수한 경우이다

(법선)

중심충돌은 경사충돌의 특수한 경우이다.

Fig. 15-13충돌하는 물체는 질점도 강체도 아니고 변형체이다.

15장 17 / 51

표면이 매끈한 두 물체의 충돌

중심충돌(Central Impact)1. 충돌직전의 조건 : (vA)1 > (vB)1(이 조건이 만족되지 않으면 어떻게 @ t1

될까?), (vA)1 과 (vB)1은 충돌직전의 두 물체의 충돌선 방향의 속도 성분

A가 B의 왼쪽에 위치해 있음과 속도가 오른쪽을 향할 때

@ 1

가 의 쪽에 위치해 있 과 속 가 쪽을 향할 때

양의 성분을 가짐을 유의하라.

2 물체는 질점도 강체도 아닌 변형체로서 변형기( i d f d f i )2. 물체는 질점도 강체도 아닌 변형체로서 변형기(period of deformation)에 A와 B에 작용한 충격력(impulsive force)을 각각 –P와 P라고 두면 이

힘들에 의한 변형 충격량(deformation impulse)은

. 11

된다가와 ∫∫−mm t

t

t

tdtdt PP

3. 최대변형(maximum deformation)의 순간엔 속도가 같다.

vvv ≡= )()(

@ tm

Fig. 15-14

vvv mBmA ≡= )()(

15장 18 / 51

4. 반발기(period of restitution) 혹은 회복기(period of restoration)에 A와B에 작용한 충격력을 – R과 R이라고 두면 이 힘들에 의한 반발충격량(restitution impulse)은( p )

. 22이다와 ∫∫ −

ttdtdt RR

F

RP∫∫ tt mm

tt1 tm t2

변형충격량 ≥ 반발충격량 즉 ∫∫ ≥2

1

t

t

t

t m

m dtRdtP

5. 충돌직후의 조건 (vB)2 > (vA)2 (이 조건이 만족되지 않으면 어떻게 될까?) t2

Fi 15 14

대부분의 충돌문제에서 충돌직전의 속도는 주어지므로 미지수

는 충돌직후의 속도인 (vA)2 와 (vB)2 2개이므로 2개의 방정식이

필요하다 Fig. 15-14필요하다.

15장 19 / 51

두 물체에 작용하는 충격력은 내력이므로 질점계의 총운동량은 보존된다 따라서

Two equations두 물체에 작용하는 충격력은 내력이므로 질점계의 총운동량은 보존된다. 따라서

2211 )()()()( BBAABBAA vmvmvmvm +=+ (a)

Note. 대부분 실제적인 문제에서 충격선이 중력방향이라 하더라도

식(a)은 성립한다. 왜 그럴까? 중력은 분명히 외력인데.∫ ≈mt

tdtmg

1

0

아주 짧은 시간 동안만 작용하므로 매우 큰 힘이 아니면 거의 효과 없음

최대변형시간과 그 순간의 속도

(tm – t1 ≈0)

질량 mA

변형기 : 1)(1

AAA

t

tvmvmdtPm

−=− ∫t

∫회복기 : vmvmdtR AAA

t

tm

−=− ∫ 2)(2

변형기 : 1)( BBB

tvmvmdtPm

−=∫질량 mB

1)(1

BBBt∫회복기 : vmvmdtR BBB

t

tm

−=∫ 2)(2

여기서 v = vA(tm)= vB (tm ) : 최대변형시의 A와 B의 속도

15장 20 / 51Let’s define 반발계수(COR: Coefficient of restitution)

∫t

충격량변형기의

충격량반발기의

1

2

==∫∫

m

m

t

t

t

t

dtP

dtRe

11

22

1

2

1

2

)()()()(

)()(

)()(

AB

AB

B

B

A

A

vvvv

vvvv

vvvve

−−

−=−

−=

−−

=DBCA

DC

BA

−−

==Q (b)

= –충돌직후(분리시)의 상대속도

충돌직전(접근시)의 상대속도

완전탄성충돌(perfectly elastic impact) : e = 1

Two equations (a) & (b) solve for (vA)2 와 (vB)2

완전탄성충돌(perfectly elastic impact) : e 1

∫∫ =m

m

t

t

t

tdtPdtR

1

2

완전소성충돌(perfectly plastic impact) : e = 0

2속도동일충돌직후

t

∫ !:)()(,0 222

속도동일충돌직후BAtvvdtR

m

==∫(i.e. Move together!)

15장 21 / 51

충돌시 에너지 손실 = E2 – E1 = ( T2 + V2 ) – ( T1 + V1 )충돌시 위치변화는 없으므로 V2 = V1

에너지 손실(energy loss) = T2 – T1

2222 )(1)(1)(1)(1 vmvmvmvm ⎥⎤

⎢⎡ +⎥

⎤⎢⎡ +=

[ ][ ] [ ][ ]12121212

1122

)()()()(21)()()()(

21

)(2

)(2

)(2

)(2

BBBBBAAAAA

BBAABBAA

vvvvmvvvvm

vmvmvmvm

−++−+=

⎥⎦⎢⎣+−⎥⎦⎢⎣

+=

[ ] [ ]1212

2211

)()()()()()()()(

AAABBB

BBAABBAA

vvmvvmvmvmvmvm

−−=−⇒+=+

운동량 보존 식 (a)로 부터

[ ][ ]

[ ][ ]112212

121212

)()()()()()(21

)()()()()()(21

BABAAAA

BBAAAAA

vvvvvvm

vvvvvvm

−+−−=

−−+−=

= 0 if e = 1 (완전탄성 충돌)

완전탄성충돌 = 에너지 보존

2

완전탄성충돌 = 에너지 보존

15장 22 / 51

경사충돌 (Oblique Impact)경사충돌 후 미지의 속도로 미지의 방향으로움직인다.

미지수 : (vAx)2, (vAy)2, (vBx)2, (vBy)2 등 4개

여기서 x방향은 충격선방향(A B)이다.

움직인다.

(vAx)2 와 (vBx)2 는 중심충돌의 (vA)2 와 (vB)2 와 역할이 같다.

–

따라서

1. x방향(충격선방향)으로의 운동량보존에서

2211 )()()()( BxBAxABxBAxA vmvmvmvm +=+ (15-10)´

2 반발계수 22 )()( AxBx vve −−= (15-11)´

x 방향

2. 반발계수11 )()( AxBx vv

e−

= (15-11)

Only in x-direction!

15장 23 / 51– 충돌이 일어나는 동안 각 물체에 y방향으로 작용한 힘은 없으므로 –

3. mA 의 y 방향운동량은 보존 즉 mA (vAy)2 = mA (vAy)1

(vAy)2 = (vAy)1y 방향

4. mB 의 경우도 마찬가지로 (vBy)2 = (vBy)1

∫x방향 : 각 물체에 대해선 운동량이 보존되지 않지만 전체로는 보존된다.

)()()()( vmvmvmvm ≠≠

∫ dtFdue to

이므로내력→∫ dtF

2211

2121

)()()()()()(,)()(

BxBAxABxBAxA

BxBBxBAxAAxA

vmvmvmvmvmvmvmvm

+=+≠≠

y방향 : 각 물체에 대해서 운동량이 보존되므로 전체로도 보존된다.

이므로내력 →∫ dtF

y

2211

2121

)()()()()()(,)()(

ByBAyAByBAyA

AxAByBAyAAyA

vmvmvmvmvmvmvmvm

+=+

==

∫ dtFNo external impulse

경사충돌이든 중심충돌이든 반발은 충격선 방향으로의 반발을 의미한다.

∫

15장 24 / 51

경사충돌의 경우 x-방향은 운동량 보존과 반발계수를 사용하여 속도를 구하고

y-방향은 충돌전 속도의 y-성분이 충돌 후에도 그대로 유지된다.

결국 중심 충돌이든 경사충돌이든 운동량 보존과 반발계수만 이용하면 속도를 구할 수 있다.

15장 25 / 51

예제 15 5예제 15-5

바닥으로부터 h 만큼 높은 위치의 물체가 자유낙하하여 바닥에 충돌한 후 h/2 만큼

튀어 올랐을 때 반발계수를 구하라.

물체 A로부터 바닥 B로 향하는 충격선의 방향을 x방향이라고 잡으면

운동이 축(충격선)상에서만 일어나므로 중심충돌임을 알 수 있다

h

운동이 x축(충격선)상에서만 일어나므로 중심충돌임을 알 수 있다.

충돌직전의 속도 : 0)(2)( h

)(2 122

1 oo ssavv −+=

0

3h

ymA

충돌직전의 속도 : 0)(,2)( 11 == BA vghv

충돌 직후의 속도 : mA (vA)1 = mA (vA)2 ghv A 2)( 2 =1 2

3

0)(, 2 =BvyA

mB

x충돌 후 h/2에서의 속도 : )(2 23

22

23 ssavv −+=

ghhgghv =−+= )2/)((223

반발계수 701.022

21

20)(0

)()()()(

11

33 ===−

−−−=

−−

−=ghgh

vvvve

AB

AB

15장 26 / 51

e>1 과 e<0 의 경우는 각각 폭발과 관통을 의미하므로(왜 그럴까?) 보통의

충돌에선 0 1이다충돌에선 0<e<1이다.

반발계수는 물체의 재료, 크기, 형상, 표면의 거칠기 뿐만 아니라 속도에도

영향을 받는 값으로서 실험을 통해서만 구해진다 즉 실험없이 해결할 수영향을 받는 값으로서 실험을 통해서만 구해진다. 즉, 실험없이 해결할 수

없기 때문에 충돌문제가 엔지니어의 손을 더 필요로 한다.

충돌문제의 예 : 교통사고(항공기의 추락, 선박의 좌초), 자동차의

충돌시험, 각종 스포츠(골프, 테니스, 당구), 안전장치(헬멧), 무기(포탄), 의학(충격에 의한 인체의 손상)

15장 27 / 51

예제 15 6 (Example 15 11)예제 15-6 (Example 15-11)Two smooth disks A and B, having a mass of 1 kg and 2 kg, respectively,

collide with the velocities shown in Fig. 15-18a. If the coefficient of restitution for the disks is e = 0.75, determine the x and y componentsof the final velocity of each disk just after collision.

문제의 요지 : 경사충돌 하는 두 물체의 충돌직전 속도와

반발계수가 주어졌을 때 충돌직후의 속도를 구하라.

jiVjiV

222

222

)()()()(

ByBxB

AyAxA

vvvv

+=

+=

우선 두 물체의 중심을 연결하는 법선 즉 충격선을 그리고

A 에서 B 로 향하는 방향을 x축으로 잡고 수직축을 y축으로

잡는다.잡는다.

/7070i 451)(/7070451)(

m/s1.53sin30)(m/s6.230cos3)( 11 ====oo

ooAyAx vv

Fig 15 18m/s707.0sin451)(m/s707.045cos1)( 11 −=−=−=−= ooByBx vv Fig. 15-18

15장 28 / 51

• x 방향으로의 총운동량 보존

18.1)(2)()()()()(

22

2211

=++=+

BxAx

BxBAxABxBAxA

vvvmvmvmvm

(*1)

• 반발계수

75.0)()()()(

11

22 =−−

−=AxBx

AxBx

vvvve

m/s1 22)(m/s261)(

48.2)()( 22

=−=

=− AxBx

vv

vv(*2)

식 (*1)과 (*2)로부터

Fig. 15-18

m/s 1.22)(m/s,26.1)( 22 == BxAx vv

• y 방향으로의 운동량 보존

m/s707.0)()(m/s5.1)()(

12

12

−==

==

ByBy

AyAy

vvvv

15장 29 / 51

15 5 각운동량 (A l M t )15.5 각운동량 (Angular Momentum)

정의 점 에 대한 질점의 각운 량 질점의 선운 량의 점 에 대한 멘의 점 O에 대한 질점의 각운동량 = 질점의 선운동량의 점 O에 대한 모멘트

따라서 각운동량은 힘의 모멘트와 개념이 유사하므로 (선)운동량모멘트(moment of (linear) momentum)라고 부르기도 한다(moment of (linear) momentum)라고 부르기도 한다.

스칼라 공식(Scalar Formulation) :F

rox - y 평면내에서 운동하는 물체의 점 O에 대한 각운동량의 크기는

(Ho) = (d) (mv) 운동량의 크기

o

Mo = r × F(힘의)모멘트

모멘트의 팔 = 운동량의 작용선과 점 O의 수직거리

에 의한 멘 는 오른나사를 축방향으 나아가게mv에 의한 모멘트는 오른나사를 z축방향으로 나아가게

하므로 Ho의 방향은 z축방향이다.

Fig. 15-19즉 Ho = (d) (mv) k = r × mv

15장 30 / 51

벡터공식 (Vector Formulation)

vrH mo ×=

점 O로부터 mv의 작용점까지의 상대위치벡터

즉 여기선 m의 위치벡터

Fig. 15-20

rrrkji

H =

zyx

zyxo

mvmvmvrrrH

15장 31 / 51

15.6 힘의 모멘트와 각운동량의 관계(Relation between Moment of a Force and Angular Momentum)

뉴턴의 운동법칙에서

Lddd LLvvaF &=====∑ dtdm

dtd

dtdmm )( (15-16)

선운동량의 변화율 = 물체에 작용한 힘

o mvrH ×= 0)()( =×=×=× rrvrvr&&& mmm

dtd

그러면 각운동량의 변화율은 힘과 어떠한 관계에 있을까?

Fig. 15-21oo

o

mdtdm

dtd

dtd

MFr

vrvrHH

×

×+×==

∑

)(& (15-15)

dt

각운동량의 변화율 = 물체에 작용한 힘의 모멘트

oMFr =×= ∑

S

∑= FL&

∑&

Summary

강체의 질량중심의 운동방정식(강체의 병진운동방정식)유도에사용

질점동역학에서 보다는 강체동역학에서 더 유용하게 쓰인다.

oo MFrH ∑ =×=& 강체의 회전운동방정식사용

15장 32 / 51질점계 (System of Particles)

im 대하여에

×+×=+×=

×=

iiiiiiioi

iiioi

i

m

frFrfFrH

vrH

)()(

)(& , i = 1, 2, ···,

n

∑ ∑∑ ×+×=n

frFrH )( &

합하면대해전체에질점계

min.

∑ ∑∑ ×+×==

iiiii

oi frFrH1

)(

×=×= ∑∑∑∑≠≠

=1frfr

iij

jiji

n

ijj

ij

n

ii

Fig. 15-21⋅⋅⋅+×+×+×+×= 313131212121 frfrfrfr

jj

내력의 총모멘트 계산 =×−=×+× )( 1221212121 0frrfrfr

g. 5

r1

m1

f12

f f

∑ =×∴ ii 0fr두 벡터가 평행하므로

내력의 총모멘트 = 0

O

r1

r2m2

f21 = – f12 ∑ ∑∑ =×= oiiioi )()( MFrH&

점 O 에 대한 질점계의 총 각운동량의 변화율 = 질점계에점 에 대한 질점계의 총 각운동량의 변화율 질점계에

작용한 외력의 총모멘트

15장 33 / 51

Example 15-12pThe box shown in Fig. 15-22a has a mass m and is traveling down the smooth circular ramp

such that when it is at angle θ it has a speed v. Determine its angular momentum about point Oat this instant and rate of increase in its speed, i.e., at .p , , t

문제의 요지 : 원운동하는 질점의 원의 중심에 대한

각운동량을 구하고 속력의 변화율(접선가속도x

y

각운동량을 구하고 속력의 변화율(접선가속도

성분)을 구하라.

벡터해석벡터해석

kuuvrH mvrmvrm tno −=×−=×=

jn

j

θ

kMuuj

ujuFrM

θθθ

sincossin

)(

mgr

Nmgr

o

nt

nno

−=+−=

+−×−=×=이므로

tθsin

dvdtdvrmrmgoo == 이므로HM &

θsingdtdv

=∴

15장 34 / 51

운동방정식( F = ma ) 로부터 구해보면

θsindtdvmmgmaF tt ==

θsingdtdv

dt

=∴

충격량-운동량의 원리도 운동방정식으로부터 유도된 것이므로

같은 정보를 주는 다른 표현일 뿐이다.

15장 35 / 51

15 7 각충격량과 각운동량의 원리15.7 각충격량과 각운동량의 원리(Angular Impulse and Momentum Principles)

① 질량이 m 인 하나의 질점에 대하여 (합력이나 합모멘트를

나타내는 데 Σ 표현은 생략)F

에 작용한, o

oo m

dtd vrHHM ×== 로부터

Om

F V

m 에 작용한합력12

2

1

2

1ooo

t

t o ddt

dto

o

HHHMH

H−== ∫∫

각충격량 각운동량의 변화

O r

Mo = r × F

212

1o

t

t oo dt HMH =+ ∫

(angular impulse)(15-18)

t1 에서의 각운동량 + ∆t = t2 – t1동안의 각충격량 = t2 에서의 각운동량

회전하는 팽이!

15장 36 / 51

n

② 질량이 인 질점계에 대해서 (n 은 질점의 갯수)∑=

=i

imm1

×= iiiio m vrH

∑∑ ∑∫ =+ 21 )()( 2

1io

t

t ioio dt HMH(15-20)

m=×= FrM 에 작용한 외력 F 의 점 O에 대한 모멘트iiiio m=×= FrM 에 작용한 외력 Fi 의 점 O에 대한 모멘트

Summarizing principle of impulse and momentum (충격량과 운동량의 원리)

212

1

t

t

tmdtm vFv =+ ∫

(15-21)

212

1o

t

t oo dt HMH =+ ∫

6 scalar equations6 scalar equations But if 질점이 x - y 평면내에서만 운동하고 있다면?

15장 37 / 51

y i j ∫2ty

m

v = vx i + vy jF = Fx i + Fy j

dF ∫

∫=+

=+

2

1

2

1

21

21

t

t yyy

t xxx

mvdtFmv

mvdtFmv

(15-22)

r = x i + y j

dvkji

∫ =+2

121

t

t ooo HdtMH

여기서O x

kkji

vrH )(00 xy

yx

o yvxvmmvmv

yxm −==×=

mv dv = Ho

여기서

= 선운동량의 크기

×모멘트 팔

v o

kkji

FrM )(00 xy

yx

o yFxFFFyx −==×=

M = F d = 힘의 크기 × 모멘트 팔yx Mo= F dF = 힘의 크기 × 모멘트 팔

여기서 dv 와 dF 는 각각 점 O로부터 v 와 F 의 작용선까지의 (수직)거리(모멘트 팔)

Note. 평면운동하는 질점의 경우 충격량과 운동량의 원리는 3 (2+1)개의

스칼라방정식으로 표현된다스칼라방정식으로 표현된다.

15장 38 / 51

각운동량 보존 (Conservation of Angular Momentum)각운동량 보존 (Conservation of Angular Momentum)

각충격량2 0M =∫

tdt 이면각충격량

0201

1

HH

0M

=

=∫tdt

즉 각운동량이 보존된다.(15-23)

이면

Note. 물체에 전혀 힘이 작용하지 않으면 선운동량이든 각운동량이든 모두

보존되겠지만 중심력(central force : 힘의 작용선이 모멘트 중심점을 통과하는 경우)이작용하면 선운동량은 보존되지 않지만 중심력이 만드는 모멘트가 0 이므로작용하면 선운동량은 보존되지 않지만 중심력이 만드는 모멘트가 0 이므로

각운동량은 보존된다. (Fig. 15-23).

질점계의 각운동량 보존

∑∑ ∑∑ = 0201 HH

(15-24)

Fig. 15-23

15장 39 / 51Ex 15.13)

문제의 요지 : 정지된 물체에 P의 힘과 M의 모멘트가 작용할 때 4초 후의 물체의 속도?문제의 요지 : 정지된 물체에 P의 힘과 M의 모멘트가 작용할 때 4초 후의 물체의 속도?

Sol)

212

1B

t

t BB dt HMH =+ ∫Apply angular impulse and momentum principle

dtt

mvrdtPr

)5(40)43(0

)(04

2

4

0

++

×=×++

∫∫ M

smv

vdtt

/20

)5(4.0)43(0

2

20

=

=++ ∫

15장 40 / 51

예제 15-8 (Problem 14-97)If the mass of the earth is Me, show that the gravitational potential energy of a body of mass m located

a distance r from the center of the earth is Vg = – GMe m/r. Recall that the gravitational force acting between the earth and the body is F = G(Me m/r2), Eq. 13-1. For the calculation, locate the datum

D

an “infinite” distance from the earth. Also, prove that F is a conservative force.

문제의 요지 물체의 고도변화가 상당히 큰 경우엔 중력F

rmMG e =2

m

u

D 기준위치V (r = ∞) = 0

문제의 요지 : 물체의 고도변화가 상당히 큰 경우엔 중력

가속도를 더 이상 일정하다고 볼 수 없다. 이경우엔 중력위치에너지가 어떻게 표현될까?

r ur

M

r = ∞

mGMGM

rdrmGMdrFdrV

e

rer

D

g

⎤⎡

−=−=⋅= ∫∫∫∞∞

11

)( 2rrF

Merr

mGM ee −=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −∞

=

보존력이 되기 위해 ∂∂∂보존력이 되기 위해

re

re

g rmGM

rmGM

rV uu 2−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∂∂

−=∇− zyx∂

+∂

+∂

=

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

uuu

kji

θ

따라서 F = – ∇ Vg 이므로 F 는 보존력이다. zrr zr ∂+

∂+

∂uuu

θθ

15장 41 / 51

예제 15-9The two blocks A and B each have a mass of 400 g. The blocks are fixed to the horizontal rods, and

their velocity is 2 m/s in the direction shown. If a couple moment of M = 0.6 N·m is applied about CDof the frame, determine the speed of the blocks when t = 3 s. The mass of the frame is negligible, and it is free to rotate about CD. Neglect the size of the blocks.

문제의 요지 초기에 의 속력을 가지고 회전하는문제의 요지 : 초기에 2 m/s 의 속력을 가지고 회전하는 block A, B(각 질량 400 g)를 가진 Frame에 0.6 N ·m 인모멘트를 3초 동안 가한 후의 block의 속력을 구하라.

일정한 모멘트 )mN(60 ⋅= kM일정한 모멘트

2602

)mN(6.0

3

212

1

=+

=

∫

∫dt

HdtMH o

t

t oo

o kM

m/s5.9])3.0)(4.0[(23)6.0(]2)3.0)(4.0[(2

26.02

2

2

201

=∴⋅=+⋅

=+ ∫

vv

mrvdtmrv

/s5.92v

15장 42 / 51

예제 15-11 (Problem 15-103)예제 15-11 (Problem 15-103)

An earth satellite of mass 700 kg is launched into a free-flight trajectory about the earth with an initial speed of vA = 10 km/s when the distance from the center of the earth is rA = 15 Mm. If the launch angleat this position is φA = 70°, determine the speed vB of the satellite and its closest distance rB from the center of the earth. The earth has a mass Me = 5.976(1024) kg. Hint : Under these conditions, the satelliteis subjected only to the earth’s gravitational force, F = GMe m/r2, Eq.13-1. For part of the solution, useconservation of energy(see Prob. 14-97).

문제의 요지 : 발사각도 70°와 발사속도 10 km/s 으로 발사된 인공

위성이 지구주위의 타원궤도를 따라 운동하다가위성이 지구주위의 타원궤도를 따라 운동하다가

근지점(지구로부터 가장 가까운 위치)에 도달했을 때의

속력(vB)과 지구중심으로부터 근지점까지의 거리 rB를

구하라구하라.

중심력문제(central force problem) 각운동량은 보존된다.

Fig. 15-103

BBsAAAs

oo

rvmrvmHH

==

φsin21

15장 43 / 51

에너지 보존으로부터에너지 보존으로부터

BBAA

mGMmGMVTVT +=+

22 11

B

seBs

A

seAs r

mGMvmr

mGMvm −=− 22

21

21

위의 두 식으로부터 두 미지수 vB와 rB를 구하면

vB = 10.2 km/srB = 13 8 MmrB 13.8 Mm

면적속도 일정의 법칙에 부합함을 확인해 보라.

15장 44 / 51

HW #4.HW #4.

Chapter 15 연습문제

10 17 23 28 35 38 40 48 50 54 63 68 69 74 75 79 81 84 86 94 95 101 104 105 10910, 17, 23, 28, 35, 38, 40, 48, 50, 54, 63, 68, 69, 74, 75, 79, 81, 84, 86, 94, 95, 101, 104, 105, 109