chapter 1

[SAMI-HUST]Vin Toán ng dng và Tin hc, ĐHBK Hà Ni

Chương 1: S kin ngu nhiên và phép tính xác

sut

Trn Minh Toàn(1)

Hà Ni, tháng 8 năm 2012

(1)Email: [email protected]

Trn Minh Toàn () Xác sut thng kê Hà Ni, tháng 8 năm 2012 1 / 52

Gii tích kt hp Quy tc nhân

1.1 Quy tc nhân

Quy tc nhân

Nu có m cách chn đi tưng x, và sau đó ng vi mi cách chn x như th có n cách

chn đi tưng y, khi đó có m× n cách chn đi tưng "x và y".

Tng quát: Nu có m1 cách chn đi tưng x1, vi mi cách chn đi tưng x1 ta có

m2 cách chn đi tưng x2, . . . , vi mi cách chn x1, x2, . . . , xn−1 như th có mn

cách chn xn. Khi đó có m1 ×m2 × · · ·×mn cách chn đi tưng “x1, x2, . . . và xn”.

Chú ý 1.1

Có th phát biu quy tc nhân theo cách sau: Mt công vic đưc chia làm n giai đon:

giai đon th nht có m1 cách gii quyt,

giai đon th 2 có m2 cách gii quyt,

. . .

giai đon th n có mn cách gii quyt.

Khi đó có m1 ×m2 . . .×mn cách gii quyt công vic trên.


Gii tích kt hp Gii tích kt hp

Gii tích kt hp

Chnh hp lp

Bài toán

Ta có mt tp hp gm n phn t, t n phn t này ta s chn ra k phn t. Tuỳ vào

điu kin chn các phn t như th nào (có th t, có lp) thì s cách chn k phn t

cũng có s khác nhau.

Đnh nghĩa 1.1

Chnh hp lp chp k ca n phn t là mt nhóm có th t gm k phn t chn t n

phn t đã cho, trong đó mi phn t có th đưc chn nhiu ln. Ký hiu s chnh hp

lp chp k ca n phn t bi Akn.

Công thc tính

Akn = n

k. (1.1)



Gii tích kt hp

Chnh hp lp

Ví d 1

Xp 5 cun sách vào 3 ngăn. Hi có bao nhiêu cách xp?

Gii :

Mi ln xp mt cun sách lên là tương đương vi vic chn mt trong 3 ngăn đ cho

sách vào. Mi ngăn có th đưc chn nhiu ln. Do đó s cách xp 5 cun sách vào 3ngăn là mt chnh hp lp chp 5 ca 3 phn t. Vy s cách xp là: A

53 = 35 = 243.

Ví d 2

T 5 ch s 1, 2, 3, 4, 5 lp đưc bao nhiêu s có 3 ch s?

Gii :

Mi s đưc lp nên là mt cách ly 3 ch s có th t và có th ging nhau t 5 ch

s đã cho. Do đó s các s có 3 ch s đưc lp nên là: A35 = 53 = 125.



Gii tích kt hp

Chnh hp

Đnh nghĩa 1.2

Chnh hp chp k ca n phn t là mt nhóm gm k phn t có th t và khác nhau

chn t n phn t đã cho (điu kin: k ≤ n). Ký hiu s chnh hp chp k ca n phn

t bi Akn.

Công thc tính

Akn = n(n− 1) . . . (n− k + 1) =

n!(n− k)!

. (1.2)

Ví d 3

Mt bui hp gm 10 ngưi tham d, hi có my cách chn 1 ch to và 1 thư ký?

Gii :

Ta thy 2 ngưi đưc chn làm ch to và thư ký là mt cp (A,B) có th t và khác

nhau đưc chn t 10 ngưi d hp. Do đó s cách chn là A210 = 10.9 = 90 (cách).



Gii tích kt hp

Hoán v

Đnh nghĩa 1.3

Hoán v ca n phn t là mt nhóm có th t có n phn t gm đ mt n phn t đã

cho. Ký hiu s hoán v ca n phn t bi Pn.

Chú ý 1.2

Hoán v là mt trưng hp đc bit ca chnh hp khi k = n (Pn = Ann).

Công thc tính

Pn = n! . (1.3)



Gii tích kt hp

T hp

Đnh nghĩa 1.4

T hp chp k ca n phn t (k ≤ n) là mt nhóm không phân bit th t gm k phn

t khác nhau chn t n phn t đã cho. Ký hiu s t hp chp k ca n phn t là Ckn

Công thc tính

Ckn =

Akn

k!=

n!k!(n− k)!

=n(n− 1) . . . (n− k + 1)

k!. (1.4)

Chú ý 1.3

Qui ưc 0! = 1;

Ckn = C

n−kn ;

Ckn = C

k−1n−1 + C

kn−1.



Gii tích kt hp

T hp

Ví d 4

Mi đ thi gm 3 câu hi ly trong 25 câu hi cho trưc. Hi có th lp đưc bao nhiêu

đ thi có ni dung khác nhau?

Gii :

S đ thi có th lp nên là: C325 =

25.24.233!

= 2300.

Ví d 5

Khai trin nh thc Newton

(a+ b)n =n

k=0

Ckna

n−kbk = C

0na

n + C1na

n−1b+ · · ·+ C

n−1n ab

n−1 + Cnnb

n,

trong đó a, b ∈ R và n ∈ N.


S kin và các phép toán Phép th và s kin

Phép th và s kin

Mun bit đng xu ra mt nào thì tung đng xu lên, hành đng tung đng xu là

mt phép th.

Mun bit bn như th nào thì phi thc hin bn vào bia, hành đng bn súng

vào bia là mt phép th.

. . .

Đnh nghĩa 2.1

Vic thc hin mt nhóm các điu kin cơ bn đ quan sát mt hin tưng nào đó đưc

gi là mt phép th. Các kt qu có th xy ra ca phép th gi là s kin.

Ví d 6

Gieo mt con xúc xc đ quan sát s chm xut hin (đây là mt phép th). Các kt

qu sau đu là các s kin:

“Xut hin mt k chm ”, k = 0, 1, .., 6

“Xut hin mt chn”

“Xut hin mt có s chm không vưt quá 2”


S kin và các phép toán Phép th và s kin

Phép th và s kin

Như vy s kin ch có th xy ra nu ta thc hin phép th.

S kin sơ cp: Là s kin không th phân tích đưc na

S kin chc chn: Là s kin luôn xy ra trong phép th, ký hiu là Ω

S kin không th: Là s kin không bao gi xy ra khi thc hin phép th. Ký hiu là

∅.S kin ngu nhiên: Là s kin có th xy ra cũng có th không xy ra khi thc hin

phép th.

Phép th ngu nhiên: Phép th mà các kt qu ca nó là các s kin ngu nhiên.

Đ thun tin, các s kin thưng đưc ký hiu bng ch in hoa: A,B,C, . . .

Ví d 7

Gieo mt con xúc xc, khi đó

Ω= “Gieo đưc mt có s chm ≤ 6 và ≥ 1 ” là s kin chc chn;

∅= “Gieo đưc mt 7 chm” là s kin không th;

A = “Gieo đưc mt chn” là s kin ngu nhiên.


S kin và các phép toán Quan h và phép toán ca các s kin

Quan h và phép toán ca các s kin

Gi s A và B là hai s kin trong cùng mt phép th.

Quan h kéo theo

S kin A đưc gi là kéo theo s kin B, ký hiu A ⊂ B (hoc A ⇒ B), nu A xy ra

thì B xy ra.

Quan h tương đương

Hai s kin A và B đưc gi là tương đương vi nhau nu A ⊂ B và B ⊂ A và ký hiu

là A = B.

S kin tng

S kin C đưc gi là tng ca 2 s kin A và B, ký hiu là C = A+B, nu C xy ra

khi và ch khi ít nht mt trong 2 s kin A và B xy ra.

Ví d 8

Hai ngưi th săn cùng bn mt con thú. Nu gi A là s kin ngưi th nht bn trúng

con thú và B là s kin ngưi th 2 bn trúng con thú, khi đó C = A+B là s kin

con thú b bn trúng.Trn Minh Toàn () Xác sut thng kê Hà Ni, tháng 8 năm 2012 13 / 52



Chú ý 2.1

A1 +A2 + · · ·+An là s kin xy ra khi có ít nht mt trong n s kin đó xy ra

Mi s kin ngu nhiên đu có th biu din dưi dng tng ca mt s s kin sơ

cp nào đó.

S kin chc chn Ω là tng ca mi s kin sơ cp có th. Do đó Ω còn đưc gi

là không gian các s kin sơ cp.

Ví d 9

Tung mt con xúc xc. Ta có 6 s kin sơ cp Ai (i = 1, 6), trong đó Ai là s kin xut

hin mt i chm i = 1, 2, . . . , 6.

A= “Xut hin mt có s chm chn”, ta suy ra A = A2 +A4 +A6

B = “Xut hin mt có s chm không vưt quá 3”, ta suy ra B = A1 +A2 +A3.

Khi đó C = A+B = A1 +A2 +A3 +A4 +A6.




S kin tích

S kin C đưc gi là tích ca 2 s kin A và B, ký hiu C = A.B (hoc AB),

nu C xy ra khi và ch khi c A và B cùng xy ra.

Tích ca n s kin A1.A2 . . . An là s kin xy ra khi c n s kin cùng xy ra.

Ví d 10

Hai ngưi th săn cùng bn mt con thú. Nu gi A là s kin ngưi th nht bn trưt

con thú và B là s kin ngưi th 2 bn trưt con thú, khi đó C = A.B là s kin con

thú không b bn trúng.




S kin đi lp

S kin đi lp vi s kin A, ký hiu là A, là s kin xy ra khi A không xy ra. Ta có

Ví d 11

Gieo mt con xúc xc mt ln, khi đó

A = “Gieo đưc mt chn” suy ra A= “Gieo đưc mt l”

A = “Gieo đưc mt 1 chm” suy ra A= “Gieo không đưc mt 1 chm”




S kin hiu

Hiu ca 2 s kin A và B, ký hiu là A−B, là s kin xy ra khi và ch khi A xy ra

nhưng B không xy ra. Thông thưng ngưi ta ít s dng s kin hiu, mà thưng bin

đi nó thành s kin tích như sau: A−B = A.B.

Hai s kin xung khc

Hai s kin A và B đưc gi là xung khc vi nhau nu chúng không đng thi xy ra

trong mt phép th. A và B xung khc khi và ch khi A.B = ∅.

Ví d 12

Mt x th bn 1 viên đn vào bia. Gi A là s kin x th đó bn trúng vòng 8 và B là

s kin x th đó bn trúng vòng 10. Khi đó ta thy ngay AB = ∅ tc là A,B là 2 s

kin xung khc vi nhau.




Picture1.png

Hình 1: Sơ đ Venn th hin các phép toán s kin


Các đnh nghĩa xác sut Xác sut ca mt s kin

Xác sut ca mt s kin

Đnh nghĩa 3.1

Xác sut ca mt s kin là mt s nm gia 0 và 1, s này đo lưng kh năng xut hin

ca s kin đó khi phép th đưc thc hin. Ký hiu xác sut ca s kin A là P (A).

Mt s tính cht cơ bn

0 ≤ P (A) ≤ 1;

P (Ω) = 1; P (∅) = 0;

P (A) + PA= 1.


Các đnh nghĩa xác sut Đnh nghĩa xác sut theo c đin

Đnh nghĩa xác sut theo c đin

Đnh nghĩa 3.2

Xét mt phép th có hu hn kt qu có th xy ra (có n kt qu), đng thi các kt

qu này là đng kh năng xut hin; trong đó có m kt qu thun li cho s kin A.

Khi đó:

P (A) =m

n=

S trưng hp thun li cho A

S trưng hp có th xy ra. (3.1)

Ví d 13

Mt ngưi gi đin thoi nhưng li quên 2 ch s cui ca s đin thoi cn gi mà ch

nh là 2 ch s đó khác nhau. Tìm xác sut đ ngưi đó chn ngu nhiên 1 s đ gi thì

trúng s cn gi.

Gii :

Gi A = “Ngưi đó chn ngu nhiên 1 s gi thì trúng s cn gi”.

S các kt qu có th xy ra khi chn 2 ch s cui là: n = A210 = 90;

S kt qu thun li cho vic chn đưc đúng s cn gi là m = 1;

Vy P (A) =m

n=

190

.


Các đnh nghĩa xác sut Đnh nghĩa xác sut theo c đin

Đnh nghĩa xác sut theo c đin

Ví d 14

Trong hp có 4 viên bi trng và 6 viên bi đ cùng kích c. Ly ngu nhiên đng thi ra

2 viên bi. Tính xác sut xy ra s kin:

1 A = “Đưc 2 viên bi trng”;

2 B = “Đưc ít nht 1 viên bi đ”.

Gii :

S cách ly ra 2 bi t hp là n = C210 = 45.

1 S cách ly đưc 2 bi trng là C24 = 6. Vy P (A) =

645

=215

.

2 Ta có B = "không có bi đ nào", suy ra B = A. Do đó

P (B) = 1− P (B) = 1− P (A) = 1− 215

=1315

.


Các đnh nghĩa xác sut Đnh nghĩa xác sut theo quan đim hình hc

Đnh nghĩa xác sut theo quan đim hình hc

Đnh nghĩa 3.3

Gi s tp hp vô hn các kt qu đng kh năng ca mt phép th có th biu th bi

mt min hình hc Ω có đ đo (đ dài, din tích, th tích, . . . ) hu hn khác 0, còn tp

các kt qu thun li cho s kin A là mt min A. Khi đó xác sut ca s kin A đưc

xác đnh bi:

P (A) =Đ đo ca min A

Đ đo ca min Ω. (3.2)

Khái nim đng kh năng trên Ω có nghĩa là đim gieo có th rơi vào bt kỳ đim nào

ca Ω và xác sut đ nó rơi vào mt min con nào đó ca Ω t l vi đ đo ca min y.


Các đnh nghĩa xác sut Đnh nghĩa xác sut theo quan đim hình hc

Đnh nghĩa xác sut theo quan đim hình hc

Ví d 15

Đưng dây đin thoi ngm ni mt tng đài vi mt trm dài 1km. Tính xác sut đ

dây đt cách tng đài không quá 100m.

Gii

Rõ ràng nu dây đng cht thì kh năng b đt ti mt đim bt kỳ trên dây là như

nhau, nên tp hp các kt qu có th xy ra có th biu th bng đon thng ni tng

đài vi trm dài 1km. Còn s kin A := “Dây b đt cách tng đài không quá 100m”

đưc biu th bng đ dài 100m. Khi đó ta có

P (A) =1001000

= 0.1.


Các đnh nghĩa xác sut Đnh nghĩa xác sut theo tn sut (theo thng kê)

Đnh nghĩa xác sut theo tn sut (theo thng kê)

Do tính đng kh năng là rt khó có đưc trong thc t, nên cn có mt cách khác đ

xác đnh xác sut ca mt s kin.

Đnh nghĩa 3.4

Gi s mt phép th có th thc hin lp li nhiu ln trong nhng điu kin ging

nhau. Nu trong n ln thc hin phép th trên có mln xut hin s kin A, khi đó t l

fn(A) =m

nđưc gi là tn sut xut hin ca s kin A trong n phép th.

Cho s phép th tăng lên vô hn, tn sut xut hin A dn ti mt gii hn xác đnh,

gii hn đó đưc đnh nghĩa là xác sut ca A:

P (A) = limn→∞

fn(A) = limn→∞

m

n.

Thc t P (A) đưc tính xp x bi tn sut fn(A) vi n đ ln.


Các đnh nghĩa xác sut Đnh nghĩa xác sut theo tn sut (theo thng kê)

Đnh nghĩa xác sut theo tn sut (theo thng kê)

Ví d 16

Đ xác đnh xác sut ca mt ngưi đàn ông 25 tui s b cht trong 1 năm sp ti,

ngưi ta theo dõi 100000 nam thanh niên 25 tui và thy rng có 138 ngưi cht trong

vòng 1 năm sau đó. Vy xác sut cn tìm xp x bng:

138100000

= 0.00138.

Chú ý 3.1

Đnh nghĩa này ch dùng đưc cho các phép th ngu nhiên có th lp li nhiu ln mt

cách đc lp trong các điu kin ging nhau. Ngoài ra đ xác đnh mt cách tương đi

chính xác giá tr ca xác sut ta phi tin hành mt s đ ln các phép th, mà vic này

đôi khi không th thc hin đưc do hn ch v thi gian và kinh phí.


Mt s công thc tính xác sut Công thc cng xác sut

Công thc cng xác sut

Nu A và B là hai s kin xung khc thì

P (A+B) = P (A) + P (B) . (4.3)

Chng minh.

Ta chng minh cho trưng hp đơn gin là phép th có n s kin đng kh năng có th

xy ra, trong đó có mA kh năng thun li cho s kin A và mB kh năng thun li cho

s kin B. Do A và B là 2 s kin xung khc nên AB = ∅, do đó s kh năng thun li

cho s kin A+B là m = mA +mB . Do đó ta có

P (A+B) =m

n=

mA +mB

n=

mA

n+

mB

n= P (A) + P (B).

Công thc cng xác sut: Nu A và B là hai s kin bt kỳ thì ta có

P (A+B) = P (A) + P (B)− P (AB). (4.4)




Công thc cng xác sut tng quát: Cho n s kin bt kỳ Ai , i = 1, n. Khi

đó ta có

P

n

i=1

Ai

=

i

P (Ai)−

i<j

P (AiAj) +

i<j<k

P (AiAjAk)− · · ·+

(−1)n−1P

i

Ai

. (4.5)

Trưng hp đc bit: Khi các s kin Ai, i = 1, n xung khc tng đôi, tc là

AiAj = ∅ ∀i = j thì ta có

P (A1 +A2 + · · ·+An) = P (A1) + P (A2) + · · ·+ P (An) . (4.6)




Ví d 17

Mt lô hàng gm 10 sn phm, trong đó có 2 ph phm. Ly ngu nhiên đng thi t lô

hàng ra 6 sn phm. Tìm xác sut đ có không quá 1 ph phm trong 6 sn phm đưc

ly ra.

Gi

A: “không có ph phm trong sn phm”

B: “có đúng 1 ph phm trong sn phm”

C: “có không quá 1 ph phm trong sn phm”

D dàng thy A và B là 2 s kin xung khc và C = A+B. Ngoài ra

P (A) =C

68

C610

=215

; P (B) =C

12C

58

C610

=815

.

Do đó P (C) = P (A+B) = P (A) + P (B) =215

+815

=23.




Ví d 18

Mt lp có 100 sinh viên, trong đó có 40 sinh viên gii ngoi ng, 30 sinh viên gii tin

hc, 20 sinh viên gii c ngoi ng ln tin hc. Sinh viên nào gii ít nht mt trong hai

môn s đưc thêm đim trong kt qu hc tp ca hc kỳ. Chn ngu nhiên mt sinh

viên trong lp. Tìm xác sut đ sinh viên đó đưc tăng đim.

Gii

Gi

A : “sinh viên đó đưc tăng đim”

N : “sinh viên đó gii ngoi ng”

T : “sinh viên đó gii tin hc”

D thy A = T +N , do đó

P (A) = P (T +N) = P (T ) + P (N)− P (TN) =30100

+40100

− 20100

=50100

= 0.5.


Mt s công thc tính xác sut Xác sut có điu kin

Xác sut có điu kin

Đnh nghĩa 4.1

Xác sut xy ra s kin A vi điu kin s kin B đã xy ra đưc gi là xác sut có điu

kin B ca s kin A. Ký hiu là P (A|B).

Ví d 19

Trong hp có 5 viên bi trng và 3 viên bi đen. Ly ln lưt ra 2 viên bi (không hoàn li).

Tìm xác sut đ ln th hai ly đưc viên bi trng bit ln th nht ly đưc viên bi

trng.

Gii

A: “ln th hai ly đưc viên bi trng”

B: “ln th nht ly đưc viên bi trng”

Xác sut cn tìm là P (A|B). Bit ln th nht ly đưc bi trng (B đã xy ra), khi đó

trong hp ch còn li 7 bi trong đó có 4 bi trng và 3 bi đen. Do đó xác sut ly đưc bi

trng ln th 2 (A xy ra) là: P (A|B) =C

14

C17

=47.




Công thc tính

P (A|B) =P (AB)P (B)

. (4.7)

Chng minh.

Ta chng minh cho trưng hp đnh nghĩa xác sut theo c đin. Gi s phép th có n

kh năng xy ra và đng kh năng, trong đó mA kh năng thun li cho s kin A, mB

kh năng thun li cho s kin B, mAB kh năng thun li cho s kin AB. Ta có

P (B) =mB

n; P (AB) =

mAB

n.

Ta đi tính P (A|B). Vì s kin B đã xy ra nên s kh năng có th xy ra ch còn là

mB , trong đó ch có mAB kh năng thun li cho s kin A. Do đó ta có:

P (A|B) =mAB

mB=

mAB

n:mB

n=

P (AB)P (B)

.




Ví d 20

T mt b bài tú lơkhơ 52 cây đã trn k rút ngu nhiên ra mt cây bài. Bit đó là cây

đen, tính xác sut đó là cây át.

Gii

Gi A "rút đưc cây át" và B “rút đưc cây đen”. Xác sut cn tính là P (A|B).

Ta có P (B) =2652

=12; P (AB) =

252

, suy ra

P (A|B) =P (AB)P (B)

=113

.


Mt s công thc tính xác sut Công thc nhân xác sut

Công thc nhân xác sut

T công thc xác sut có điu kin ta suy ra công thc nhân xác sut

P (AB) = P (A).P (B|A) = P (B).P (A|B) .

Đnh nghĩa 4.2

Hai s kin A và B đưc gi là đc lp vi nhau nu vic xy ra hay không xy ra s

kin này không làm nh hưng ti vic xy ra hay không xy ra s kin kia. Tc là ta có:

P (A) = P (A|B) = P (A|B)

P (B) = P (B|A) = P (B|A).

Hai s kin A và B đc lp vi nhau khi và ch khi

P (AB) = P (A).P (B).

Chú ý 4.1

Nu A và B đc lp thì các cp sau cũng đc lp: A và B ; A và B ; A và B




Tng quát

Cho n s kin A1, A2, . . . , An. Khi đó xác sut tích đưc tính như sau:

P (A1A2 . . . An) = P (A1) .P (A2|A1) .P (A3|A1A2) . . . P (An|A1A2 . . . An−1) .

Đnh nghĩa 4.3

Các s kin A1, A2, . . . , An đưc gi là đc lp (hay đc lp trong tng th) nu vic

xy ra hay không xy ra ca mt nhóm bt kỳ k s kin (1 ≤ k ≤ n) không làm nh

hưng ti vic xy ra hay không xy ra ca các s kin còn li.

Khi đó ta có: P (A1.A2 . . . An) = P (A1).P (A2) . . . P (An)




Ví d 21

Có 4 que thăm, trong đó có 3 que thăm dài bng nhau và 1 que thăm ngn hơn. Bn

ngưi ln lưt lên rút ngu nhiên mt que thăm. Tính xác sut ngưi th i rút đưc

thăm ngn (i = 1, 2, 3, 4).

Gii

Gi Ai: “Ngưi th i rút đưc thăm ngn” vi i = 1, 2, 3, 4. Ta có

P (A1) =14;

P (A2) = PA1

.P

A2|A1

=

34.13=

14;

P (A3) = PA1A2A3

= P

A1

PA2|A1

PA3|A1A2

=

34.23.12=

14;

P (A4) =14.

Vy kh năng rút đưc thăm ngn ca 4 ngưi là như nhau và bng14.




Ví d 22

Ba x th đc lp vi nhau, mi ngưi bn mt viên đn vào bia vi xác sut bn trúng

ca tng ngưi tương ng là 0.7; 0.8 và 0.9. Tính xác sut:

1 Có đúng 2 ngưi bn trúng;

2 Có ít nht 1 ngưi bn trúng.




Gii

Gi Ai: "ngưi th i bn trúng bia" vi i = 1, 2, 3. Theo bài ra ta có A1, A2, A3 đc lp

và P (A1) = 0.7; P (A2) = 0.8; P (A3) = 0.9.

1 Gi A: "Có đúng hai ngưi bn trúng", khi đó

A = A1A2A3 +A1A2A3 +A1A2A3. Do ba s hng trong tng đôi mt xung

khc và các s kin A1, A2, A3 đc lp nên ta có:

P (A) = PA1A2A3 +A1A2A3 +A1A2A3

= PA1A2A3

+ P

A1A2A3

+ P

A1A2A3

= P (A1)P (A2)PA3

+ P (A1)P

A2

P (A3) + P

A1

P (A2)P (A3)

= 0.7× 0.8× (1− 0.9) + 0.7× (1− 0.8)× 0.9 + (1− 0.7)× 0.8× 0.9 = 0.398.

2 Gi B: “Có ít nht 1 ngưi bn trúng bia” suy ra B: “Không có ai bn trúng”. Ta

có B = A1A2A3, suy ra

P (B) = 1−P (B) = 1−PA1A2A3

= 1−P

A1

PA2

PA3

= 1−0.3×0.2×0.1 = 0.994.


Mt s công thc tính xác sut Công thc Bernoulli

Công thc Bernoulli

Đnh nghĩa 4.4

(Dãy phép th Bernoulli) Tin hành n phép th đc lp. Gi s trong mi phép th ch

có th xy ra mt trong hai trưng hp: hoc s kin A xy ra hoc s kin A không

xy ra. Xác sut xy ra s kin A trong mi phép th luôn bng p. Đó chính là dãy phép

th Bernoulli.

Công thc Bernoulli

Xác sut đ s kin A xut hin đúng k ln trong n phép th ca dãy phép th

Bernoulli là:

pn(k) = Cknp

kqn−k

, q = 1− p; k = 0, 1, . . . , n. (4.8)



Công thc Bernoulli

Chng minh.

Có Ckn cách chn k v trí trong n phép th đ xy ra s kin A, các phép th còn li

không xy ra A. ng vi mi cách chn c đnh k v trí xy ra s kin A ta có xác sut

ca trưng hp đó tính như sau:

Ti nhng phép th xy ra s kin A thì xác sut xy ra là p;

Ti nhng phép th không xy ra s kin A thì xác sut xy ra là q = 1− p

Do có k phép th xy ra A và n− k phép th không xy ra Anên xác sut xy ra trưng

hp có k phép th c đnh xy ra A là pkqn−k

. Vy xác sut cn tính là

pn(k) = Cknp

kqn−k

.



Công thc Bernoulli

Ví d 23

Gieo mt đng tin 10 ln, đó là 10 phép th Bernoulli

Mt ngưi bn 5 viên đn, bn tng viên mt vào mc tiêu. Đó là 5 phép th

Bernoulli. Nhưng nu 5 ngưi bn, mi ngưi bn 1 viên vào mc tiêu thì nói

chung đó không phi là phép th Bernoulli.

Gieo mt con xúc xc 100 ln, A là s kin ra mt lc. Đó là 100 phép th

Bernoulli

Ví d 24

Xác sut thành công ca mt thí nghim sinh hóa là 40%. Mt nhóm gm 9 sinh viên

tin hành cùng thí nghim trên đc lp vi nhau. Tìm xác sut đ:

1 Có đúng 5 thí nghim thành công

2 Có ít nht 1 thí nhim thành công



Công thc Bernoulli

Gii

Phép th là tin hành thí nghim. A là s kin thí nghim thành công. Ta có

p = P (A) = 0.4; q = 1− p = 0.6; n = 9.

1 Xác sut cn tính: p9(6) = C69p

6q3 = C

69 (0.4)

6(0.6)3 = 0.0743.

2 Gi B là s kin “có ít nht 1 thí nghim thành công”. Ta có B: “không có thí

nghim nào thành công”. Khi đó

P (B) = 1− PB= 1− (0.6)9 = 0.9899.


Công thc xác sut đy đ và công thc Bayes Khái nim nhóm đy đ

Khái nim nhóm đy đ

Đnh nghĩa 5.1

Nhóm các s kin A1, A2, . . . , An (n ≥ 2) ca mt phép th đưc gi là mt nhóm đy

đ nu tha mãn 2 điu kin:

AiAj = ∅, ∀i = j;

A1 +A2 + · · ·+An = Ω.

Ví d 25

Xét phép th gieo mt con xúc xc 1 ln.

Gi Ai: “Gieo đưc mt i chm” vi i = 1, 2, . . . , 6. Ta có nhóm đy đ

A1, A2, . . . , A6.

Gi

A: “Gieo đưc mt chn”

B: “Gieo đưc mt 1 chm hoc 3 chm”

C: “Gieo đưc mt 5 chm”

Khi đó A,B,C là mt nhóm đy đ.


Công thc xác sut đy đ và công thc Bayes Khái nim nhóm đy đ

Khái nim nhóm đy đ

Chú ý 5.1

Đi vi mt s kin A thì ta có nhóm đy đA,A

Đi vi 2 s kin A và B thì ta có th thành lp mt nhóm đy đ như:AB,AB,AB,A.B

.


Công thc xác sut đy đ và công thc Bayes Công thc xác sut đy đ

Công thc xác sut đy đ


Gi s A1, A2, . . . , An là mt nhóm đy đ các s kin. Xét s kin H sao cho H ch

xy ra khi mt trong các s kin A1, A2, . . . , An xy ra. Nói cách khác H xy ra thì mt

s kin Ai nào đó xy ra. Khi đó ta có công thc xác sut đy đ

P (H) =n

i=1

P (Ai) .P (H|Ai) . (5.9)

Chng minh.




Ví d 26

Xét mt lô sn phm có s lưng rt ln trong đó s sn phm do phân xưng I sn

xut chim 20%, phân xưng II sn xut chim 30%, phân xưng III sn xut chim

50%. Xác sut ph phm ca phân xưng I là 0.001; phân xưng II là 0.005; phân xưng

III là 0.006. Ly ngu nhiên 1 sn phm ca lô hàng. Tìm xác sut đ sn phm đó là

ph phm.

Gii

Gi H: “Sn phm ly ra là ph phm”; Ai: “Sn phm đó do phân xưng i sn xut”

i = 1, 2, 3. Ta có A1, A2, A3 là mt nhóm đy đ và

P (A1) = 0.2; P (A2) = 0.3; P (A3) = 0.5

P (H|A1) = 0.001; P (H|A2) = 0.005; P (H|A3) = 0.006.

Áp dng công thc xác sut đy đ ta có

P (H) = P (A1) .P (H|A1) + P (A2) .P (H|A2) + P (A3) .P (H|A3)

= 0.2× 0.001 + 0.3× 0.005 + 0.5× 0.006 = 0.0047.




Ví d 27

Có hai chung th. Chung th th nht có 3 th trng và 3 th nâu. Chung th th

hai có 6 th trng và 4 th nâu. Bt ngu nhiên 2 con th t chung th nht b vào

chung th hai ri sau đó bt ngu nhiên 1 con th t chung th hai ra. Tính xác sut

bt đưc th nâu t chung th hai.

Gii

Gi Ai: “Trong 2 con th bt t chung mt có i con th nâu” , i = 0, 1, 2. Ta có

A0, A1, A2 lp thành mt nhóm đy đ. Gi H: “Bt đưc th nâu t chung hai”. Ta có

P (A0) =C

23

C26

=15; P (A1) =

C13C

13

C26

=35; P (A2) =

C23

C26

=15

P (H|A0) =412

=13; P (H|A1) =

512

; P (H|A2) =612

=12.

Áp dng công thc xác sut đy đ:

P (H) =2

i=0

P (Ai)P (H|Ai) =15.13+

35.512

+15.12=

512

.


Công thc xác sut đy đ và công thc Bayes Công thc Bayes

Công thc Bayes

Trong công thc xác sut đy đ, H là s kin kt qu, còn các s kin

Ai i = 1, n là các s kin nguyên nhân. Nu bit nguyên nhân nào xy ra thì ta

xác đnh đưc xác sut xy ra H.

Bây gi ngưc li, ngưi ta đã bit đưc kt qu xy ra H, mun tính xác sut đ

nguyên nhân th i xy ra là bao nhiêu, tc là đi tính P (Ai|H). P (Ai) đưc gi là

xác sut tiên nghim, còn P (Ai|H) đưc gi là xác sut hu nghim.

Ta có công thc Bayes:

P (Ai|H) =P (Ai)P (H|Ai)n

j=1 P (Aj).P (H|Aj), i = 1, 2, . . . , n. (5.10)



Công thc Bayes

Chng minh.

Theo công thc xác sut có điu kin ta có:

P (Ai|H) =P (AiH)P (H)

=P (Ai).P (H|Ai)

P (H).

Mt khác theo công thc xác sut đy đ: P (H) =n

j=1P (Aj).P (H|Aj). Thay vào công

thc trên ta có đpcm.



Công thc Bayes

Ví d 28

Mt nhà máy sn xut bóng đèn có t l bóng đèn tt là 90%. Trưc khi xut ra th

trưng, mi bóng đèn đu đưc qua kim tra cht lưng. Vì s kim tra không tuyt đi

hoàn toàn nên mt bóng đèn tt có xác sut 0.9 đưc công nhn là tt, còn mt bóng

đèn hng có xác sut 0.95 b loi b.

1 Tính t l bóng qua đưc kim tra cht lưng.

2 Tính t l bóng hng qua đưc kim tra cht lưng.

Gii

Gi A: “Bóng đèn thuc loi tt”; B: “Bóng đèn thuc loi hng”. Ta có A,B là mt

nhóm đy đ và P (A) = 0.9; P (B) = 0.1. Gi H: "Bóng qua đưc kim tra cht

lưng", ta có P (H|A) = 0.9; P (H|B) = 0.05.

1 Theo công thc xác sut đy đ ta có

P (H) = P (A).P (H|A) + P (B).P (H|B) = 0.9× 0.9 + 0.1× 0.05 = 0.815.

2 Ta có P (B|H) =P (B).P (H|B)

P (H)=

0.1× 0.050.815

= 0.0061.


chapter 1

Documents