chapter 2
TRANSCRIPT
บทท 2 ความเครยด (Strain)2.1 เกรนนา2.2 แผนผงความเคน – ความเครยด 2.3 กฎของฮค : การเสยรปในแนวแกน2.4 อตราสวนปวซอง : การเสยรปใน 2 และ 3 แกน2.5 ชนสวนทไมสามารถวเคราะหไดดวยวธทางสถตยศาสตร2.6 ความเคนเนองจากการเปลยนแปลงอณหภม
กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 1
2.1 เกรนนา (Introduction)• วสดทมความยดหยน จะมการเปลยนแปลงรปทรงหรอเสยรปได ภายใตการกระทาของแรงภายนอกชนดตางๆ
• การยดหรอหดตว เนองจากแรงในแนวแกน (Axial loads)• การบดตว เนองจากผลของแรงบด (Torsion)• การแอนตว เนองจากผลของโมเมนตดด (Bending moments)• การขยายหรอหดตว เนองมาจากการเปลยนแปลงอณหภม• การโกงเดาะ (Buckling) ของเสา ฯลฯ
• ในการออกแบบ จะตองคานงถงการยดหยน (Stiffness) ของวสด ควบคไปกบความแขงแรง (Strength) ดวย
กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 2
2.2 แผนผงความเคน – ความเครยด• พนฐานในการหาคาความยดหยนของวสด ทาไดดวยการทดสอบการดง (Tension test)
• ทาการวาดกราฟระหวางคาความเคน และอตราสวนระหวางระยะทางทยดออกตอความยาวเดม ซงเรยกวา ความเครยด (Strain) ซงเขยนเปนสมการไดเปน
(2.1)ความเครยด เปนปรมาณทไมมหนวย
oLδε =
กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 3
• สมการ (2.1) เปนคาเฉลยตลอดความยาว• คาทแทจรงเปนคาเฉพาะจด หรอเขยนเปนสมการไดวา
(2.1 ก)
สมการ (2.1) ถอวาถกตอง ถาเปนไปตามเงอนไขก. หนาตดชนงานคงท ข. ทาจากวสดเนอเดยว ค. แรงอยในแนวแกน
dLdδε =
กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 4
จดสาคญในกราฟของความเคน – ความเครยด ประกอบดวยB - Proportional Limit : เปนจดสดทายทกราฟเปนเสนตรง C – Elastic Limit : เปนจดสดทายทวสดจะกลบคนสสภาพเดมเหมอนกอนมแรง
กระทา (ยาวเทาเดม) ถานาแรงกระทาออกไป บางกรณจะเรยกวาเปน Upper yield point
D – Yield point : เปนจดทวสดจะเกดการคลาก หรอมการยดออกโดยระยะยดไมสมพนธกบคาแรงกระทา (ในความเปนจรง แรงลดลงจากจด Elastic limit) – การคลากนเกดขนเฉพาะกบวสดทเปนเหลกกลา (Steel) เทานน
F – Ultimate strength : เปนจดสงสดบนกราฟG – Rupture strength : เปนจดทชนงานขาดออกจากกน (ตามความเปนจรง
กราฟควรจะเปนไปตามเสนประ และเกดการขาดทจด Gt เพราะพนทหนาตดจรงจะลดลง เนองจากการเกดคอคอด หรอ Necking)
กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 5
• สาหรบวสดอนทไมใชเหลกกลา • ไมมจดคลาก• ไมมการเกดคอคอด
ถาตองการใชคาของจดคลากไปใชในการออกแบบ จะใชวธเยองศนย 0.2%(Offset 0.2%) โดยการลากเสนจากจดทมความเครยด 0.002 หรอ 0.2% ขนานกบเสนตรงของกราฟในชวง Proportional limit
กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 6
• ความเคนทางาน (Working stress) และ คาเผอความปลอดภย (Factor of Safety)
• ความเคนทางาน คอ ความเคนจรงในวสดขณะทมแรงกระทา ในบางกรณ กจะเรยกวา ความเคนทยอมรบได (Allowable stress) ซงในทางปฏบตแลว ความเคนทยอมรบไดน จะตองไมเกนจด Proportional Limit เพราะมฉะนนแลวจะละเมดกฎของฮค• เนองจาก Proportional Limit หาไดยาก จงใชคาของ Yield Point หรอUltimate strength ซงหาไดงายกวาแทน
• แตเนองจากความเคนของทง 2 จด มคาสงกวา จงตองหารดวยคาเผอความปลอดภย (N) หรอเขยนเปนสมการไดวา
หรอ yp
ypw
Nσσ =
ult
ultw
Nσσ =
กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 7
2.3 กฎของฮค (Hooke’s Law)• การเสยรปในแนวแกน (Axial deformation)• จากชวงเสนตรงของกราฟความเคน – ความเครยด ความชนของกราฟ คอ อตราสวนของความเคนตอความเครยด มชอเรยกวาเปน สมประสทธของการยดหยน (Modulus of Elasticity: E) โดย หรอเขยนในอกรปแบบหนงวา
(2.3) ซงมชอเรยกเปนทางการวา กฎของฮค • หนวยของ E เหมอนกบของความเคน (Pa) แตจะมขนาดอยในระดบ
GPa (109 Pa)
εσ
=E
εσ E=
กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 8
• จากกฎของฮค เมอแทนคาตามนยามของความเคนและความเครยดจะได
(2.4)
• โดยมเงอนไขอย 3 ประการ คอ• แรงอยในแนวแกนความยาว และตรงศนย (ผานจดเซนทรอยด)• วตถตองมขนาดพนทหนาตดคงทตลอดความยาว และเปนวสดเนอเดยว (Homogeneous)• คาความเคนตองไมเกน Proportional Limit
EL
AEPL σδ ==
กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 9
• การเสยรปแบบเฉอน (Shearing deformation)• แรงเฉอนทาใหเกดการเสยรปแบบเฉอน โดยจะเกดการเปลยนแปลงเชงมม แตมขนาดความยาวของดานคงเดม• การเปลยนแปลงเชงมมจรงในชวงการยดหยนเกดขนนอยมาก (ระยะหรอมมเอยง มคานอยมาก)
• ประมาณการไดวา
• หรอเขยนเปนสมการไดเปน (2.5)
sδγ
γδ
γ ≈=L
stan
Lsδγ =
กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 10
• สามารถใชกฎของฮคมาประยกตกบกรณของการเฉอนได โดย(2.6)
• โดยท G เปนคาสมประสทธความแขงเกรงของวสด (Modulus of Rigidity)
• ความสมพนธระหวางแรงเฉอนกบการเสยรปจากการเฉอน คอ
(2.7)
γτ G=
GAVL
s
s =δ
กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 11
ตวอยางท 2.1ใหหาระยะยดตวทงหมดของวตถยาว 10 เมตร ทมแรงดงทปลายทง 2 ดานขนาด P = 100 kN โดยทาจากวสดทมคาสมประสทธการยดหยน E = 200 GPa แทงวตถนเปนแทงแบน หนา 20 มม. และมขนาดความสงลาดเอยงลงจาก 120 มม. จนถง 40 มม. ดงรป
กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 12
ตวอยางท 2.2แทงเหลกกลา AB และ BC ประกอบเปนโครงสราง โดยมแรงกระทาทขอตอจด B ขนาด P = 30 kN ดงรป กาหนดใหพนทหนาตดของ AB และ BC มคาเปน 300 และ 500 ตร.มม. ตามลาดบ และเหลกกลามคา E = 200 GPa ใหหา ระยะทจด B จะเคลอนทไปจากเดมทงในแนวราบและแนวดง
กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 13
ตวอยางท 2.2 (ตอ)
กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 14
2.4 อตราสวนปวซอง (Poisson’s Ratio)การเสยรปใน 2 และ 3 แกน (Biaxial and Triaxial deformations)• จากการทดลองการดง พบวาเมอวตถมความยาวยดออกนน จะมขนาดมตของดานทเปนหนาตดลดลง ซงถาหากความเคนยงอยในชวง Proportional limit ปวซองพบวา อตราสวนของความเครยดแนวขวางตอแนวยาวจะมคาคงท และสามารถเขยนเปนความสมพนธไดวา
(2.8)
โดยเครองหมาย ลบ หมายถง ขนาดดานขวางลดลง เมอความยาวเพมขนในกรณของการดง (หรอกลบกน ในกรณของการกด)• ตามทฤษฎ อตราสวนปวซองจะมคาไมเกน 0.50• มคาจรงโดยประมาณ 0.25 – 0.30 สาหรบเหลกกลา สวนโลหะอนๆ จะมคาประมาณ 0.33 และของคอนกรต ประมาณ 0.20
x
z
x
y
εε
εε
ν −=−=
กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 15
• ในกรณทวตถมแรงกระทา 2 แนว (เชน x และ y) สามารถเขยนกฎของฮคโดยใชประโยชนจากอตราสวนปวซองได โดยความเครยดรวมในแนวยาว (แกน x) เกดจากผลโดยตรงในแนวแกน x และผลโดยออมจากความเคนในแนวขวาง (แกน y) โดย
(2.9)
• ในทานองเดยวกน ความเครยดรวมในแนวขวาง (แกน y) คอ(2.10)
• สามารถเขยนสมการ (2.9) และ (2.10) ในรปของการหาคาความเคนได โดย(2.11)
EEyx
x
σνσε −=
EExy
y
σνσ
ε −=
22 1)(
;1
)(ννεε
σννεε
σ−+
=−+
=EE xy
y
yx
x
กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 16
• ในกรณทวตถมแรงกระทา 3 แนว (เชน x, y และ z) โดยหลกการเดยวกน จะไดวา
(2.12)
• สมการทงหมดในหวขอน ถอวาความเคนเรมตนทงหมดเปน ความเคนดง(เครองหมาย บวก) ในกรณทความเคนเรมตนใดๆเปนความเคนกด ใหแทนคาดวยเครองหมาย ลบ• ความสมพนธระหวางคาคงท E, G และอตราสวนปวซอง เขยนเปนสมการได
(2.10)
[ ]
[ ]
[ ]⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
+−=
+−=
+−=
)(1
)(1
)(1
yxzz
xzyy
zyxx
E
E
E
σσνσε
σσνσε
σσνσε
)1(2 ν+=
EG
กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 17
ตวอยางท 2.3ใหหาคาอตราสวนปวซองทางทฤษฎทสงทสด จากการทดสอบวตถทอยภายใตสภาพความเคนในสามมต ซงมคาเทากนทงสามแกน
กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 18
ตวอยางท 2.4แทงอลมเนยมกลมขนาด 80 มม. สอดอยภายในทอเหลกกลา โดยมความหลวมเลกนอย ถาออกแรงกดขนาด 400 kN ททงสองปลายของแทงอลมเนยม ทอเหลกกลาจะตองมเสนผาศนยกลางภายในอยางนอยเทาใด ถงจะทาใหผวแทงอลมเนยมสมผสกบผนงดานในของทอเหลกกลาไดพอดกาหนดให อลมเนยมมคา E = 70 GPa และอตราสวนปวซอง = 1/3
กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 19
2.5 ชนสวนทไมสามารถวเคราะหไดดวยวธทางสถตยศาสตร (Statically Indeterminate Members)• มปญหาบางชนดทสมการสมดลมไมเพยงพอทจะใชในการวเคราะหหาแรงปฏกรยาภายนอกไดครบถวน เพราะมการบงคบการเคลอนทไวมากเกนไป อนเนองมาจากตองการใหระบบมความแขงเกรงมากขน
• จงมความจาเปน ตองหาสมการเพมเตม ซงไดมาจากการเขยนสมการความสมพนธของการเสยรปของชนสวนทเกยวของ (ถอวาวตถมความยดหยน ไมใชเปนวตถเกรงอกตอไปแลว)
กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 20
• ขนตอนการแกปญหาของชนสวนทไมสามารถวเคราะหไดดวยวธทางสถตยศาสตร
1. เขยนแผนผงวตถอสระ (FBD) ของวตถหรอระบบทสนใจ ตามหลกการในวชาสถตยศาสตร
2. เขยนสมการสมดลทเกยวของ3. วาดรปแสดงตาแหนงสดทายของวตถหรอระบบหลงเกด
การเสยรป เทยบกบตาแหนงเรมตน4. เขยนสมการความสมพนธของการเสยรปของวตถหรอ
ระบบ
กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 21
ตวอยางท 2.5เสาคอนกรตสนเสรมการรบแรงดวยเหลกเสน 6 เสน ทมขนาดพนทหนาตดเสนละ 600 ตร.มม. โดยมแรงกดขนาด P = 1000 kN กระทาผานแผนครอบหวเสาซงถอวาเปนวตถเกรง ถากาหนดให Es = 200 GPa และ Ec = 14 GPa แลว ใหหา ความเคนทเกดขนในเนอคอนกรตและเหลกเสน
กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 22
ตวอยางท 2.6จากตวอยาง 2.5 ถากาหนดใหความเคนสงสดทยอมรบไดในคอนกรตและเหลกเสนเปน 6 MPa และ 120 MPa ตามลาดบแลว ใหหาแรงกด P สงสดทกระทา โดยเสายงอยในสภาพปลอดภย
กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 23
ตวอยางท 2.7แทงทองแดงสอดอยในทออลมเนยมกลวง โดยมปลายดานบนโผลเลยขนมาจากปลายของทอ 0.130 มม. ดงรป ใหหาแรงกด P สงสดทกระทาผานแผนรบแรงซงเปนวตถเกรง โดยทวสดทงสองชนดยงอยในสภาพปลอดภย กาหนดให พนทหนาตด ความเคนสงสดทยอมรบได และคา E ในทองแดงและอลมเนยมเปน 1200 กบ 1800 ตร.มม., 140 MPa กบ 70 MPa และ 120 กบ 70 GPa ตามลาดบ
กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 24
ตวอยางท 2.8คานไมคดมวล อยในแนวราบพอดกอนทจะมแรงภายนอกมากระทา จดรองรบท A ถอวาเปนสลกทแขงเกรง สวนแทงเหลกกลากบแทงบรอนซมความยดหยน ใหหา คาความเคนทเกดขนจรงในแทงวตถทงสอง กาหนดให พนทหนาตด ความเคนท proportional limit และคา E ในเหลกกลากบบรอนซเปน 600 กบ 300 ตร.มม.,240 MPa กบ 140 MPa และ 200 กบ 83 GPa ตามลาดบ
กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 25
2.6 ความเคนเนองจากการเปลยนแปลงอณหภม(Thermal stress)
• เมอมการเปลยนแปลงอณหภมเกดขน วตถทกชนดจะเกดการเปลยนแปลงขนาด โดยจะขายายตวเมออณหภมสงขน และหดตวเมออณหภมลดลง• ปรมาณการเสยรปในแนวความยาวใดๆ เขยนเปนสมการไดวา
(2.14)
โดย เปนสมประสทธการขยายตวเชงเสนของวสด• ถาวตถสามารถเสยรป (ขยายหรอหดตว) ไดอยางอสระ กจะไมเกดแรงกระทาหรอความเคนเพมขนในวตถแตอยางใด• แตถามการบงคบการเสยรป (ทงหมดหรอบางสวน) จากจดรองรบ จะทาใหเกดแรงตานขนภายในวตถ ทาใหเกด ความเคนเนองจากการเปลยนแปลงอณหภมขน
)( TLT ∆=αδ
α
กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 26
• ขนตอนการแกปญหาทเกยวของกบความเคนเนองจากการเปลยนแปลงอณหภม
1. นกภาพวาทกชนสวนสามารถเกดการเสยรปไดอยางอสระ (เสมอนไมมจดรองรบหรอการบงคบการเคลอนทใดๆ)
2. เขยนแผนผงการเสยรปดงกลาว โดยเขยนใหมากเกนจรง เพอทจะไดมองภาพความสมพนธไดชดเจน
3. นกภาพวาตองมแรงมาบงคบใหวตถทเสยรปน กลบไปส ตาแหนงทควรจะเปน เขยนแรงดงกลาวและระยะการเสยรปเนองจากแรงนลงในแผนผงตามขอ 2
4. เขยนแผนผงวตถอสระ (FBD) ของวตถหรอระบบตามหลกการในวชาสถตยศาสตร และเขยนสมการสมดลทเกยวของ
5. เขยนสมการความสมพนธของการเสยรปของวตถหรอระบบกลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 27
ตวอยางท 2.9แทงเหลกกลายาว 2.5 เมตร ยดอยางแนนหนาเขากบผนง 2 ดาน โดยเมอเรมตนทอณหภม นน ไมมแรงใดๆกระทาตอแทงเหลก กาหนดใหแทงเหลกม A = 1200 ตร.มม. E = 200 GPa และ
ใหหา ความเคนในแทงเหลกเมออณหภมลดลงไปเปน ถา(ก) ผนงทงสองดานอยกบท(ข) ผนงสามารถเลอนเขามาหากนไดเปนระยะทางรวม 0.500 มม.
C°20
)./(7.11 Cmm °= µα C°− 20
กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 28
ตวอยางท 2.10แทงวตถแขงเกรงมมวล 5 Mg มลวด 3 เสน ดงไวใหอยในแนวระนาบ ณ อณหภมปกตดงรป ใหหาความเคนในลวดแตละเสน หลงจากอณหภมเพมขนจากเดมอกกาหนดใหลวดเหลกแตละเสนม A = 500 ตร.มม. E = 200 GPa และ สวนบรอนซม A = 900 ตร.มม. E = 83 GPa และ
C°40
)./(7.11 Cmm °= µα)./(9.18 Cmm °= µα
กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 29
ตวอยางท 2.11จากตวอยางท 2.10 ใหหาอณหภมททาใหลวดเหลกรบแรงเพยงอยางเดยว
กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 30