chapter 4

11

CHAPTER 4CHAPTER 4

TOPIK TOPIK DALAM TEORI FUNGSIDALAM TEORI FUNGSI

Rolando DanaoRolando Danao

22

4.1 Konsep Topologi dalam R4.1 Konsep Topologi dalam Rnn

Analisis fungsi yang dinyatakan pada Analisis fungsi yang dinyatakan pada subset Rsubset Rnn membutuhkan konsep dari teori membutuhkan konsep dari teori himpunan tertentu yang membahas tentang himpunan tertentu yang membahas tentang posisi titik-titik dalam ruang (space).posisi titik-titik dalam ruang (space).

Contoh :Contoh :

Dalam kalkulus, teorema menyatakan bahwa Dalam kalkulus, teorema menyatakan bahwa jika suatu fungsi dari real variabel adalah jika suatu fungsi dari real variabel adalah differentiabel dan f mempunyai maxima pada differentiabel dan f mempunyai maxima pada titik interior x* dari domainnya, maka f’(x*) = titik interior x* dari domainnya, maka f’(x*) = 0. Syarat x* menjadi interior adalah 0. Syarat x* menjadi interior adalah necessary; sebaliknya teorema tidak berlaku.necessary; sebaliknya teorema tidak berlaku.


33

4.1.1 Definisi4.1.1 DefinisiAndaikan x Andaikan x R Rnn. Euclidean norm dari X, . Euclidean norm dari X, dinotasikan dengan || x || didefenisikan sebagai dinotasikan dengan || x || didefenisikan sebagai berikut :berikut :

||x|| = (x||x|| = (xttx)x)1/2 1/2 = (= ( x xjj22))1/21/2 …… (4.1) …… (4.1)

Andaikan x, y Andaikan x, y R Rnn. Euclidean distance (ED) . Euclidean distance (ED) diantara x dan y, dinotasikan dengan d(x,y), diantara x dan y, dinotasikan dengan d(x,y), didefenisikan sebagai berikut:didefenisikan sebagai berikut:

n

j=1

d(x,y) = ||x - y|| = [d(x,y) = ||x - y|| = [ (x (xj j – y– yjj))2 2 ]]1/21/2 …… (4.2) …… (4.2) n

j=1

Himpunan RHimpunan Rnn yang diisi dengan ED disebut yang diisi dengan ED disebut euclidean n space dan elemen dari Reuclidean n space dan elemen dari Rn n biasanya biasanya disebut titik (titik dan vektor akan digunakan disebut titik (titik dan vektor akan digunakan bergantian).bergantian). Rolando DanaoRolando Danao

44

4.1.2 Remarks4.1.2 RemarksPada real line RPada real line R11 (R saja), jarak antara dua titik (R saja), jarak antara dua titik X dan Y adalah nilai absolute dari X dan Y adalah nilai absolute dari perbedaannya (selisih), yaitu d(X,Y) = |X – Y|. perbedaannya (selisih), yaitu d(X,Y) = |X – Y|. Pada plane RPada plane R22, distance adalah jarak yang , distance adalah jarak yang diperoleh dengan pythagorean theorem, i.e.diperoleh dengan pythagorean theorem, i.e.

d(x,y) = [(xd(x,y) = [(x11-y-y11))22 + (x + (x22-y-y22))22]]1/21/2

Gambar 4.1Gambar 4.1

Distance in RDistance in R11 and R and R22

d(x,y)

x yRR11

y2

0

RR22

y1

x1 x2

x1 – y1

x2 – y2

d(x,y) x


55

4.1.3 Definisi4.1.3 DefinisiLet x Let x R Rnn dan r > 0. Himpunan titik dalam R dan r > 0. Himpunan titik dalam Rnn yang memiliki distance dari x kurang dari r yang memiliki distance dari x kurang dari r disebut open neighborhood dari x dan disebut open neighborhood dari x dan dinotasikan dengan Ndinotasikan dengan Nrr (x), i.e. (x), i.e.

NNrr(x) = {y (x) = {y R Rnn| d(x,y) < r} …… (4.3)| d(x,y) < r} …… (4.3)

4.1.4 Contoh4.1.4 ContohPada riil line R, NPada riil line R, Nrr(x) adalah interval terbuka (x-r, (x) adalah interval terbuka (x-r, x+r). Untuk Rx+r). Untuk R22, N, Nrr(x) adalah disk dalam lingkaran (x) adalah disk dalam lingkaran dari radius r dengan pusat r (gambar 4.2)dari radius r dengan pusat r (gambar 4.2)

Open neighborhood in ROpen neighborhood in R1 and 1 and RR22

x-r x x+r

R1 R2


66

4.1.5 Definisi4.1.5 DefinisiAndaikan S Andaikan S R Rnn. Suatu titik x adalah boundary . Suatu titik x adalah boundary point dari S jhj point dari S jhj NNr r (x) berisi setidaknya satu titik (x) berisi setidaknya satu titik dalam S dan titik lain di luar S. Himpunan dalam S dan titik lain di luar S. Himpunan boundary point dari S disebut boundary dari S.boundary point dari S disebut boundary dari S.

x

S

Gbr. 4.3 Interior and Boundary Points in R2

Interior point

Boundary point

yy


77

4.1.6 Definisi4.1.6 Definisi Andaikan S Andaikan S R Rnn. Titik S yang bukan . Titik S yang bukan boundary point dari S disebut interior point boundary point dari S disebut interior point dari S. Equivalently x adalah interior point dari S. Equivalently x adalah interior point dari S jhj terdapat suatu open dari S jhj terdapat suatu open NNrr(x) seperti (x) seperti NNrr(x) (x) S S. Interior S adalah himpunan titik . Interior S adalah himpunan titik interior dari S dan dinotasikan dengan int (S).interior dari S dan dinotasikan dengan int (S).

4.1.7 Definisi4.1.7 Definisi

Let S Let S R Rn n . Closure S adalah union dari S . Closure S adalah union dari S dan titik boundarynya dinotasikan dengan dan titik boundarynya dinotasikan dengan C1 (S).C1 (S).


88

1)1) Andaikan S = (a,b) adalah interval terbuka Andaikan S = (a,b) adalah interval terbuka dalam R. Maka semua titik S adalah interior dalam R. Maka semua titik S adalah interior point dan titik a dan b adalah titik point dan titik a dan b adalah titik boundary. Semua titik ini bukan milik S. boundary. Semua titik ini bukan milik S. Himpunan T = (a,b) memiliki titik interior Himpunan T = (a,b) memiliki titik interior dan boundary point yang sama dengan S. dan boundary point yang sama dengan S. Tetapi dalam kasus ini a adalah T dan b Tetapi dalam kasus ini a adalah T dan b tidak dalam T. tidak dalam T. Catatan: C1(S) = [a, b] = C1(T).Catatan: C1(S) = [a, b] = C1(T).

2)2) Andaikan S = {xAndaikan S = {xRR22|x|x1122 + x + x22

22 ≤ 1} ≤ 1}Disk dengan pusat pada origin dengan Disk dengan pusat pada origin dengan radius 1. Int (S) terdiri dari titik dalam radius 1. Int (S) terdiri dari titik dalam lingkaranlingkaran

C={xC={xRR22|x|x1122+x+x22

22 = 1} = 1}maka boundary pointnya adalah titik C.maka boundary pointnya adalah titik C.Catatan bahwa semua titik milik S Catatan bahwa semua titik milik S C1(S) C1(S) = S= S

4.1.8 Contoh4.1.8 Contoh


99

3) 3) Andaikan S = {xAndaikan S = {xRR22|x|x1122 + x + x22

22 = 1} = 1}Lingkaran dengan radius 1 dengan pusat origin. S Lingkaran dengan radius 1 dengan pusat origin. S tidak memiliki interior point. Semua titiknya adalah tidak memiliki interior point. Semua titiknya adalah boundary point. Seperti C dalam kasus ini C1(S) = boundary point. Seperti C dalam kasus ini C1(S) = S.S.4.1.9 Definisi4.1.9 Definisi

Suatu himpunan S Suatu himpunan S R Rnn adalah terbuka jhj setiap titik S adalah terbuka jhj setiap titik S adalah interior point. A set S adalah interior point. A set S R Rnn adalah tertutup jhj S adalah tertutup jhj S terdiri dari semua boundary point.terdiri dari semua boundary point.

4.1.10 Contoh4.1.10 ContohOpen SetsOpen Sets

(1) (1) NNrr(x) = {y (x) = {y R Rn n | d(x,y) < r}| d(x,y) < r}(2) Interior dari suatu himpunan(2) Interior dari suatu himpunan(3) R(3) Rnn

(4) S = {x(4) S = {xRRnn | p | pttx < x < }. Himpunan ini disebut an open }. Himpunan ini disebut an open half-half- space. In R, S adalah open half-line; in Rspace. In R, S adalah open half-line; in R22 an open an open half-plane.half-plane.

(5) R(5) Rnn++++

= {x= {xRRn n | x > 0}. Ini disebut positive orthant. In R| x > 0}. Ini disebut positive orthant. In R adalah positive line; in Radalah positive line; in R22 adalah positive quadrant. adalah positive quadrant.


1010

Closed setClosed set

(1) (1) NNrr(x) = {y (x) = {y R Rnn | d(x,y) ≤ r} | d(x,y) ≤ r}(2) Closures of sets.(2) Closures of sets.(3) R(3) Rnn

(4) H(4) H-- = {x = {x R Rn n | p| pttx ≤ x ≤ }. Himpunan ini disebut }. Himpunan ini disebut closedclosed half-space. In R, ini disebut a close half-line; in Rhalf-space. In R, ini disebut a close half-line; in R22

adalah closed half-plane.adalah closed half-plane.

(5) R(5) Rnn++

= {x = {x R Rn n | x ≥ 0}. Himpunan ini disebut non-| x ≥ 0}. Himpunan ini disebut non- negative orthant. In R adalah non-negative line; negative orthant. In R adalah non-negative line; in Rin R22

adalah non-negative quadrant.adalah non-negative quadrant.(6) H = {x (6) H = {x R Rn n | p| pttx = x = }. Ini disebut a hyperplane. }. Ini disebut a hyperplane. In R,In R,

ini adalah titik xini adalah titik x11= = /p/p11; in R; in R22 adalah line given adalah line given dengandengan

persamaan ppersamaan p1 1 xx11 + p + p2 2 xx2 2 = = ; in R; in R3 3 adalah the adalah the planeplane

didefinisikan dengan pdidefinisikan dengan p1 1 xx11+ p+ p2 2 xx2 2 ++ pp3 3 xx3 3 = = ..


1111

4.1.11 Komentar4.1.11 Komentar(1)Suatu himpunan bisa terbuka atau tertutup (1)Suatu himpunan bisa terbuka atau tertutup

tergantung space yang berisi subset. Contoh, tergantung space yang berisi subset. Contoh, suatu interval terbuka adalah himpunan suatu interval terbuka adalah himpunan terbuka dari subset R tetapi tidak terbuka terbuka dari subset R tetapi tidak terbuka untuk subset Runtuk subset R22. .

(2)Adalah mungkin untuk setiap himpunan tidak (2)Adalah mungkin untuk setiap himpunan tidak terbuka dan tidak tertutup. Contoh : himpunan terbuka dan tidak tertutup. Contoh : himpunan [0,1] = {x[0,1] = {xR|0≤x<1} adalah tidak terbuka dan R|0≤x<1} adalah tidak terbuka dan tidak tertutup dalam R. tidak tertutup dalam R. (3)Memungkinkan suatu himpunan untuk (3)Memungkinkan suatu himpunan untuk

keduanyakeduanya

terbuka dan tertutup. Contoh, Rterbuka dan tertutup. Contoh, Rn n adalah adalah keduanyakeduanya

terbuka dan tertutup dalam Rterbuka dan tertutup dalam Rn n . . Rolando DanaoRolando Danao

1212

4.1.12 Definisi4.1.12 DefinisiAndaikan (xAndaikan (xk k | k = 1,2, …) merupakan suatu | k = 1,2, …) merupakan suatu sequence dari titik-titik dalam Rsequence dari titik-titik dalam Rnn. Kita katakan . Kita katakan bahwa (xbahwa (xk k | k = 1,2, …) menuju ke x| k = 1,2, …) menuju ke xooRRnn jhj jhj setiap open neighborhood dari xsetiap open neighborhood dari xoo, , NNrr(x(xoo) berisi ) berisi semua tetapi suatu finite number dari term of semua tetapi suatu finite number dari term of sequence. Dalam kasus ini, ditulis sequence. Dalam kasus ini, ditulis

lim xlim xkk = x = xoo

4.1.13 Contoh4.1.13 Contoh(1) Sequence (1, ½. (1) Sequence (1, ½. 11//33, ¼, ……), ¼, ……) menuju ke 0 sejak setiap open neighborhood (yaitu menuju ke 0 sejak setiap open neighborhood (yaitu openopen interval) berisi 0 tetapi finite number dalam bentuk interval) berisi 0 tetapi finite number dalam bentuk sequence. sequence. (2) Sequence (2) Sequence

tidak converge.tidak converge.

k

12

14

34

18

78

116

1516, , , , , , , …


1313

Meskipun beberapa term of sequence converge Meskipun beberapa term of sequence converge ke 0 dan beberapa ke 1.ke 0 dan beberapa ke 1.

4.1.14 Theorema4.1.14 Theorema(i) (i) Intersection dari himpunan tertutup Intersection dari himpunan tertutup

adalah tertutupadalah tertutup(ii)(ii) Suatu set S Suatu set S R Rn n adalah tertutup jhj adalah tertutup jhj

setiap converge sequence dalam S setiap converge sequence dalam S mempunyai limit dalam S.mempunyai limit dalam S.

Proof : Simmons (1963)Proof : Simmons (1963)

0 1/16 1/8 1/4 1/2 3/4 7/8 15/16 1


1414

4.1.16 Definisi4.1.16 DefinisiA set S A set S R Rn n adalah compact jhj dia closed and adalah compact jhj dia closed and bounded.bounded.

4.1.17 Remark4.1.17 RemarkCompact set adalah penting untuk eksistensi Compact set adalah penting untuk eksistensi maxima dan minima dari suatu fungsi maxima dan minima dari suatu fungsi continuous.continuous.


A set S A set S R Rn n adalah bounded above jhj terdapat adalah bounded above jhj terdapat suatu suatu > 0 yaitu untuk setiap x > 0 yaitu untuk setiap x S dan untuk S dan untuk semua i = 1,2, …, n, kita memiliki xsemua i = 1,2, …, n, kita memiliki x ii < < . S is . S is bounded below jhj bounded below jhj > 0 untuk setiap x > 0 untuk setiap x S dan S dan i = 1,2, … , n; kita miliki – i = 1,2, … , n; kita miliki –<x<xii. S is bounded if . S is bounded if and only if it bounded above and bounded and only if it bounded above and bounded below.below.


15150 /p1 x1

x2

/p2

Compact set closed and bounded


Himpunan : X = {x Himpunan : X = {x R Rnn | p | pttx ≤ x ≤ , x ≥ 0, p > 0, , x ≥ 0, p > 0, > > 0}0}

adalah tertutup sejak merupakan intersection dari adalah tertutup sejak merupakan intersection dari closed set Hclosed set H-- = {x = {x R Rnn| p| pttx ≤ x ≤ }}

RRnn++

= {x = {x R Rnn| x ≥ 0}| x ≥ 0}

X adalah bounded sejak untuk setiap x X adalah bounded sejak untuk setiap x X, kita X, kita memiliki 0 ≤ memiliki 0 ≤ x1 ≤ ≤ /p/pii. Jadi X adalah compact. . Jadi X adalah compact.

Gambar. 4.5. Shows X on the plane RGambar. 4.5. Shows X on the plane R22


1616

4.2 Function of 4.2 Function of MappingsMappings

4.2.1 Definisi4.2.1 DefinisiSuatu fungsi atau pemetaan dari himpunan S ke Suatu fungsi atau pemetaan dari himpunan S ke

himpunan T adalah a rule that himpunan T adalah a rule that associates setiap element S associates setiap element S dengan suatu unique element dengan suatu unique element T. Himpunan S disebut domain T. Himpunan S disebut domain dari fungsi dan subset T yang dari fungsi dan subset T yang diasosiasikan dengan elemen S diasosiasikan dengan elemen S disebut range of function.disebut range of function.

4.2.2 Notasi4.2.2 NotasiFungsi f dari S ke T dinotasikan dengan f : SFungsi f dari S ke T dinotasikan dengan f : ST atau T atau SST. Jika x T. Jika x S, elemen dari T diasosiasikan dengan S, elemen dari T diasosiasikan dengan x di bawah f dinotasikan dengan f(x) dan disebut x di bawah f dinotasikan dengan f(x) dan disebut image x di bawah f.image x di bawah f.

Jika xJika xRRnn, kita juga tuliskan f(x) = f(x, kita juga tuliskan f(x) = f(x11, … x, … xnn).).

S T

f


1717

4.2.3 Contoh dari Fungsi4.2.3 Contoh dari Fungsi

(1) f : R(1) f : R33 R R22 dimana : dimana :

f(x, xf(x, x22, x, x33) = ) =

(2) g : R(2) g : R22 R R2 2 dimana :dimana :

g(xg(x11, x, x22) =) =

(3) u : R(3) u : R22 R dimana : u(x R dimana : u(x11, x, x22) = x) = x11xx22

(4) q : R(4) q : R22++ R R++

dimana : q(K,L) = Kdimana : q(K,L) = K LL1-1-

x12 + x2

2 + x32

x1 + x2 + x3

x1 + x2

x1x2


1818


Grafik dari fungsi f adalah himpunan Grafik dari fungsi f adalah himpunan titik atau vektor [x,f(x)] dimana x ada titik atau vektor [x,f(x)] dimana x ada dalam domain dari f.dalam domain dari f.

4.2.4 Remark4.2.4 RemarkKetika fungsi adalah himpunan bahagian Ketika fungsi adalah himpunan bahagian dari himpunan bilangan real, maka dari himpunan bilangan real, maka fungsi itu disebut real-valued function.fungsi itu disebut real-valued function.


1919


(1) (1) f : R f : R R+ diperoleh dengan y = f (x R+ diperoleh dengan y = f (x11) = x) = x1122

Grafik f adalah set vektor (x,y) dimana xGrafik f adalah set vektor (x,y) dimana x11R’ dan R’ dan y = xy = x11

22 gambar R gambar R22 adalah parabola. adalah parabola.

(2) (2) Let D adalah disk dengan radius 1 dengan pusat Let D adalah disk dengan radius 1 dengan pusat origin. Disk ini dinyatakan pada xorigin. Disk ini dinyatakan pada x11xx22-plane dengan -plane dengan vektor (xvektor (x11,x,x22))tt memenuhi x memenuhi x11

22 + x + x2222 ≤1. Pertimbangan ≤1. Pertimbangan

fungsi f : D fungsi f : D R defined by R defined by

y = f(xy = f(x11,x,x22) = (1- (x) = (1- (x1122 + x + x22

22))1/2 1/2

y

0 x

y = f(x1) = x12


2020

4.3.1 The Linier function4.3.1 The Linier function

The function f : R The function f : R R R defined bydefined byy = f(x) = a + bxy = f(x) = a + bx ...... (4.4)...... (4.4)

4.3.2 Fungsi Kuadrat4.3.2 Fungsi Kuadrat

The function f : R The function f : R R R defined bydefined byy = f(x) = a + bx + cx2 (c ≠ 0)y = f(x) = a + bx + cx2 (c ≠ 0)

is called a quadratic function. Its graph is a is called a quadratic function. Its graph is a parabola when c>0, the parabola is U-shape when parabola when c>0, the parabola is U-shape when c<0, it has an inverted U shape (c<0 adalah c<0, it has an inverted U shape (c<0 adalah ).).

y f

xy = f(x) = c

4.3. Beberapa Bentuk Fungsi4.3. Beberapa Bentuk Fungsi


2121

4.3.3 Fungsi Polynomial4.3.3 Fungsi PolynomialFungsi linier dan fungsi kuadrat belong to the Fungsi linier dan fungsi kuadrat belong to the class of polynomial function f : R class of polynomial function f : R R given byR given byy = f(x) = ay = f(x) = a00 + a + a11xx11 + … + a + … + an-1n-1xxn-1n-1 + a + annxxn n (a (ann≠0) ≠0) ……(4.6)……(4.6)

This expression is called a polynomial of degree This expression is called a polynomial of degree n. It is characterized by the fact that the equation n. It is characterized by the fact that the equation f(x) = 0 has n roots which may be real or f(x) = 0 has n roots which may be real or complex numbers.complex numbers.

4.3.4 Rational function4.3.4 Rational functionThe polynomial functions belong to a larger set of The polynomial functions belong to a larger set of functions called the rational function h is defined functions called the rational function h is defined byby

h (x) = h (x) = g(x) ≠ 0 g(x) ≠ 0 ……(4.7) ……(4.7)

f (x)g (x)


2222


Fungsi biaya :Fungsi biaya :Biaya produksi naik dengan T output tetapi dengan Biaya produksi naik dengan T output tetapi dengan tingkat kenaikan yang menurun (konsisten dengan tingkat kenaikan yang menurun (konsisten dengan decreasing MC).decreasing MC).Jika FC adalah nol dan c represents cost, then Jika FC adalah nol dan c represents cost, then

c = ac = a11q+aq+a22qq22+a+a33qq3 3 , (a, (a33>0>0))

AC = =AC = =

= a= a1 1 + a+ a22q + aq + a33qq33

TCq

aa11q+aq+a22qq22+a+a33qq33 q

MC = = aMC = = a11 + 2a + 2a22q + 3aq + 3a33qq22TCQ


2323

CTC

q q

MC

AC

ACMC

Loge (x)= ln x

4.3.8 Theorem4.3.8 Theorem(1) Log a (uv) = log a (u) + log a (v)(1) Log a (uv) = log a (u) + log a (v) ……(4.9) ……(4.9)(2) Log a (u/v) = log a (u) – log a (v)(2) Log a (u/v) = log a (u) – log a (v) ……(4.10) ……(4.10)(3) Log a (u(3) Log a (ukk) = k log a (u)) = k log a (u) ……(4.11) ……(4.11)(4) Log a (a) = 1 (4) Log a (a) = 1 log 2 (2) = 1 log 2 (2) = 1 ……(4.12) ……(4.12)

(5) Log a (1) = 0(5) Log a (1) = 0 ……(4.13) ……(4.13)

(6) Log a (u) = log a (v) (6) Log a (u) = log a (v) u = v u = v ……(4.14) ……(4.14)Rolando DanaoRolando Danao

2424

(7) Untuk a > 1 :Log a (u) < log a (v) (7) Untuk a > 1 :Log a (u) < log a (v) u < v …… u < v ……(4.15)(4.15)

(8) Untuk a < 1 :Log a (u) < log a (v) (8) Untuk a < 1 :Log a (u) < log a (v) u > v …… u > v ……(4.16)(4.16)(9) Log a (u) = (9) Log a (u) = ln (u)ln (u) ln (a)ln (a) ……(4.17) ……(4.17)(10) U(10) Uk k = e= ek ln (u)k ln (u)

……(4.18)……(4.18)4.3.9 Remark4.3.9 RemarkLogaritma digunakan untuk mentransfer beberapa Logaritma digunakan untuk mentransfer beberapa fungsi non-linier ke linier fungsi non-linier ke linier Contoh : fungsi produksi Cobb Douglas Contoh : fungsi produksi Cobb Douglas Q = A LQ = A L . . kk , A > 0 , A > 0 …… ……(4.19) (4.19) Ln Q = Ln A + Ln Q = Ln A + Ln L + Ln L + Ln K Ln K Setting : y = ln QSetting : y = ln Q

a = ln Aa = ln A xx11 = ln L = ln L xx22 = ln K = ln K

makamaka y = f (x y = f (x11, x, x22) = a + ) = a + xx11 + + xx22 Rolando DanaoRolando Danao

2525

4.4. Fungsi dari Fungsi 4.4. Fungsi dari Fungsi LainnyaLainnya

4.4.1 Definisi4.4.1 DefinisiLet f : S Let f : S T dan g : T T dan g : T U dimana T adalah range f. U dimana T adalah range f.Fungsi h : S Fungsi h : S U didefinisikan dengan h(s) = g[f(s)] disebut U didefinisikan dengan h(s) = g[f(s)] disebut komposisi f dan g dan dinotasikan gof, i.e.,komposisi f dan g dan dinotasikan gof, i.e.,

gof (x) = g [f(x)]gof (x) = g [f(x)] hh

S T US T U f gf g

4.4.2 Contoh4.4.2 Contoh f(x) = xf(x) = x22, g(x) = ln(x), g(x) = ln(x)gof(x) = g[f(x)] = ln[f(x)] = ln(xgof(x) = g[f(x)] = ln[f(x)] = ln(x22))fog(x) = f[g(x)] = f[ln(x)] = [ln(x)]fog(x) = f[g(x)] = f[ln(x)] = [ln(x)]22


2626

4.4.3 Remark4.4.3 RemarkUrutan adalah penting untuk fungsi komposisi. Contoh Urutan adalah penting untuk fungsi komposisi. Contoh dari point 4.4.2,dari point 4.4.2,

gof (x) = ln(xgof (x) = ln(x22) = 2ln(x) = ln(x) + ln(x)) = 2ln(x) = ln(x) + ln(x)fog (x) = [ln(x)]fog (x) = [ln(x)]22 = (ln x) (ln x) = (ln x) (ln x)

4.4.4 Definisi4.4.4 DefinisiLet f : D Let f : D R dan g : D R dan g : D R adalah fungsi dari domain D R adalah fungsi dari domain D yang sama. Fungsi penjumlahan, dinotasikan dengan f+g, yang sama. Fungsi penjumlahan, dinotasikan dengan f+g, adalahadalah- Fungsi (f + g) : D - Fungsi (f + g) : D R adalah R adalah (f+g)(x) = f(x) + g(x)(f+g)(x) = f(x) + g(x)- Fungsi produksi, dinotasikan dengan perkalian fg, - Fungsi produksi, dinotasikan dengan perkalian fg, adalah fungsi fg adalah fungsi fg : D adalah fungsi fg adalah fungsi fg : D R adalah R adalah (fg)(x) = f(x) g(x)(fg)(x) = f(x) g(x)- Quotient function, dinotasikan dengan Pembagian f/g, - Quotient function, dinotasikan dengan Pembagian f/g, adalah fungsi f/g : D adalah fungsi f/g : D R diperoleh R diperoleh (f/g)(x) = f(x) / g(x), g(x) ≠ 0(f/g)(x) = f(x) / g(x), g(x) ≠ 0Rolando DanaoRolando Danao

2727

4.4.5 Contoh4.4.5 Contoh Let f : R Let f : R R dimana f(x) = 2x R dimana f(x) = 2x22

g : R g : R R dimana g(x) = 5x+1 R dimana g(x) = 5x+1kemudian kemudian

(f+g) (x) = f(x) + g(x) = 2x(f+g) (x) = f(x) + g(x) = 2x22+5x+1+5x+1(fg (x)) = f(x) g(x) = 2x(fg (x)) = f(x) g(x) = 2x22(5x+1)(5x+1)(f/g) (x) = f(x)/g(x) = 2x(f/g) (x) = f(x)/g(x) = 2x22/5x+1 /5x+1 x ≠ -1/5 x ≠ -1/5

4.4.6 Definisi4.4.6 DefinisiSuatu fungsi f dikatakan one-to-one jhj x ≠ y Suatu fungsi f dikatakan one-to-one jhj x ≠ y dinotasikan dinotasikan f(x) ≠(y).f(x) ≠(y).


2828


(1) (1) S = { 1, 2, 3, 4}S = { 1, 2, 3, 4} R R R R f : S f : S T T T = { 1, 4, 9, 16}T = { 1, 4, 9, 16} f(x) = xf(x) = x22

Fungsi g bukan one-to-one Fungsi g bukan one-to-one U = {1,-1, 2,-2, 3,-3, 4,-4}U = {1,-1, 2,-2, 3,-3, 4,-4}V = { 1, 4, 9, 16}V = { 1, 4, 9, 16}

f(x) = xf(x) = x22

U U V V R R R R

(2) Fungsi f : R(2) Fungsi f : R+ + RR+ + defined by g(x) = xdefined by g(x) = x2 2 adalah adalah bukan bukan one-to-one. f dan g are different since their one-to-one. f dan g are different since their domainsdomains differ.differ.


2929

fungsi one to onefungsi one to one

fungsi not one to onefungsi not one to one

Perbedaan Perbedaan berbeda berbeda domaindomain

4.4.8 Remark4.4.8 RemarkConsider the following fungsi one-to-one :Consider the following fungsi one-to-one :

S = { SS = { S11, S, S22, S, S33, S, S44}} ff

T = {f(ST = {f(S11), f(S), f(S22), f(S), f(S33), f(S), f(S44)})}

f(x1)

f(x2)

0 x2 x1

g(x1)=g(x2)

x2 x1 0


3030

Dapat diperoleh suatu fungsi fDapat diperoleh suatu fungsi f--1 --1 : T : T S dengan S dengan membalikkan anak panahmembalikkan anak panah

S = { SS = { S11, S, S22, S, S33, S, S44}} ff--1--1

T = {f(ST = {f(S11), f(S), f(S22), f(S), f(S33), f(S), f(S44)} )} ff--1--1 = f(s) = S disebut inverse f. = f(s) = S disebut inverse f.

4.4.9. Definisi4.4.9. DefinisiLet f : S Let f : S T be a one-to-one function yaitu T adalah T be a one-to-one function yaitu T adalah range dari f. Maka frange dari f. Maka f--1--1 : T : T S S

ff--1--1[f(s)] = S disebut inverse f[f(s)] = S disebut inverse f

4.4.10. Remark4.4.10. RemarkJelas, invers dari [fJelas, invers dari [f-1-1]]-1-1 = f = fInverse dari real value adalah fungsi satu variabel. Inverse dari real value adalah fungsi satu variabel.


3131

4.5 Limit dari 4.5 Limit dari FungsiFungsi

Andaikan f : D Andaikan f : D R, dimana D R, dimana D RRnn dan x dan xo o R Rnn jika jika f(x) mendekati f(x) mendekati sebagaimana x mendekati x sebagaimana x mendekati xoo maka maka dapat dikatakan dapat dikatakan adalah limit dari f(x) dimana x adalah limit dari f(x) dimana x mendekati xmendekati xoo dan ditulis dan ditulis f(x) = f(x) =

f(x) mungkin akan mendekati berbagai nilai seperti f(x) mungkin akan mendekati berbagai nilai seperti x cenderung xx cenderung xoo. Contoh fungsi pengiriman surat.. Contoh fungsi pengiriman surat.

1.0001.000 0 < W ≤ 20 0 < W ≤ 202.0002.000 20 < W ≤ 4020 < W ≤ 40

C = f(w) = C = f(w) = 3.0003.000 40 < W ≤ 6040 < W ≤ 604.0004.000 60 < W ≤ 8060 < W ≤ 80etcetc

Lim x xo


3232

4

3

2

1

C

W

Figure (4.16)Step Function

Contoh lain : f(x1,x2) = Let xo = (0,0)t .

On the line x2 = x1 , f(x1,x2) 0 as x xo

On the x1-axis , f(x1,x2) 1 as x xo

On the x2-axis , f(x1,x2) -1 as x x0

x12 – x2

2

x12 + x2

4.5.1 Definisi4.5.1 Definisi lim f(x) = lim f(x) =

x x x xoo

Jhj given Jhj given ЄЄ > 0 dimana a > 0 dimana a > 0 that > 0 that d (f(x),d (f(x),) < ) < ЄЄ wherever d(x,x wherever d(x,xoo) < ) < Rolando DanaoRolando Danao

3333

4.5.2 Remark4.5.2 Remark(1) Dalam R(1) Dalam Rn n , x , x y means x y means xjj y yjj for each j. for each j.(2) Statement f”(x(2) Statement f”(x00) = ) = ” dan f(x) = ” dan f(x) = ” adalah dua ” adalah dua statement statement yang berbeda.yang berbeda.Dalam kenyataannya suatu fungsi tidak didefinisikan Dalam kenyataannya suatu fungsi tidak didefinisikan pada x = xpada x = xoo tetapi mempunyai limit x tetapi mempunyai limit x x xoo..Contoh: Contoh:

f(x) = f(x) = Untuk x = 1 tidak didefenisikanUntuk x = 1 tidak didefenisikan

Tetapi f(x) = 2Tetapi f(x) = 2

Sejak nilai x mendekati 1 tetapi tidak sama dengan 1Sejak nilai x mendekati 1 tetapi tidak sama dengan 1

f(x) = = x+1f(x) = = x+1

lim x-xo

X2 – 1X – 1

LimX1

(x-1)(x+1)(x – 1) f(x)

0 x

Gambar 4.17


3434

4.5.3 Teorema4.5.3 Teorema

(i) Jika f(x) = c , a constant, maka f(x) = c (i) Jika f(x) = c , a constant, maka f(x) = c …………(4.22)(4.22)

(ii) (f(x) ± g(x) = f(x) + g(x)(ii) (f(x) ± g(x) = f(x) + g(x) …………(4.23)(4.23)

(iii) f(x) g(x) = ( f(x)) ( g(x))(iii) f(x) g(x) = ( f(x)) ( g(x)) ……(4.24)……(4.24)

(iv) (iv) …………

(4.25)(4.25)

LimXxo

LimXxo

LimXxo

LimXxo

LimXxo

LimXxo

LimXxo

LimXxo

f(x)g(x)

=

LimXxo f(x)

LimXxo

g(x) g(x) ≠ 0

LimXxo


3535

4.5.5 Corollary4.5.5 Corollary

Let r (x) = adalah fungsi rational dimana q (xLet r (x) = adalah fungsi rational dimana q (x00) ≠ ) ≠ = 0 = 0

sehinggasehingga

r (x) = = = r(xr (x) = = = r(xoo))

p(x)q(x)

Limxxo

Limxxo

p(x)q(x)

p(xo)q(xo)

4.5.4 Corollary4.5.4 CorollaryLimit dari polynomial pada x = xo adalah nilai Limit dari polynomial pada x = xo adalah nilai dari polynomial pada x = xo, contohdari polynomial pada x = xo, contoh

(b(bnnxxnn + … + b + … + b11x + bx + b00) = b) = bnnxx00nn + b + b11xx00 + b + b00Lim

xxo


3636

4.6 4.6 ContinuityContinuity

Suatu fungsi boleh saja tidak Suatu fungsi boleh saja tidak didefinisikan pada titik xdidefinisikan pada titik xoo tetapi memiliki tetapi memiliki suatu batas (lihat gambar 4.17) juga suatu batas (lihat gambar 4.17) juga mungkin untuk suatu fungsi f didefinisikan mungkin untuk suatu fungsi f didefinisikan pada xpada xoo tetapi x mendekati x tetapi x mendekati xoo, f(x) mungkin , f(x) mungkin mendekati nilai yang berbeda tergantung mendekati nilai yang berbeda tergantung pada x mendekati xpada x mendekati xoo (lihat gambar 4.16). (lihat gambar 4.16). Jadi nilai fungsi loncat sehingga dikatakan Jadi nilai fungsi loncat sehingga dikatakan discontinuous. Fungsi akan continu jika tidak discontinuous. Fungsi akan continu jika tidak ada gap (loncat).ada gap (loncat).


3737

4.6.1 Definisi4.6.1 DefinisiLet D Let D Rn and let f : D Rn and let f : D R. Fungsi f adalah continuous R. Fungsi f adalah continuous at xat x00 D jhj D jhj f(x) = f(xo) f(x) = f(xo) Jika f adalah continuous pada setiap point pada domain Jika f adalah continuous pada setiap point pada domain D dan f disebut continuous on D. Dalam bentuk D dan f disebut continuous on D. Dalam bentuk sequence, sequence, f is continuous pada xf is continuous pada x00 jhj setiap sequence (x jhj setiap sequence (xkk D| k = D| k = 1,2,…)1,2,…) xxkk xo => f(x xo => f(xkk) ) f(x f(x00))

Limxxo


1. f(x) = 1. f(x) =

Is not continuous pada x = 0 Is not continuous pada x = 0 f(0) = tidak f(0) = tidak didefenisikandidefenisikan

1x


3838

2. Fungsi pada gambar 4.16 adalah continuous 2. Fungsi pada gambar 4.16 adalah continuous pada pada w = 20,40,60, dstw = 20,40,60, dst3. f(x) = 3x+13. f(x) = 3x+1 adalah continue pada x = 2 adalah continue pada x = 2

f (x) = (3x+1) = 7 = f (2)f (x) = (3x+1) = 7 = f (2)

4. Fungsi H : R 4. Fungsi H : R {0, ½ , 1) defined by {0, ½ , 1) defined by 0 , 0 , x < 0x < 0

H (x) =H (x) = ½ , ½ , x = 0x = 0 1 ,1 , x > 0 x > 0

adalah continuous pada R kecuali x = 0adalah continuous pada R kecuali x = 0

Limx2

Limx2


3939

5. Fungsi biaya (c) dan jumlah yang diproduksi (q)5. Fungsi biaya (c) dan jumlah yang diproduksi (q) c : f(q) = 100 + 0,2 qc : f(q) = 100 + 0,2 q22 , untuk q < 30 , untuk q < 30 Untuk q ≥ 30 perlu untuk menyewa tambahan Untuk q ≥ 30 perlu untuk menyewa tambahan ruanganruangan untuk menaikkan fixed costs by 50 sehingga untuk menaikkan fixed costs by 50 sehingga c = f(q) = 150 + 0,2qc = f(q) = 150 + 0,2q22 , untuk q ≥ 30 , untuk q ≥ 30 pada q = 30 fungsi tidak continuouspada q = 30 fungsi tidak continuous

4.6.3. Theorema4.6.3. TheoremaJika f dan g adalah continuous pada titik xJika f dan g adalah continuous pada titik xoo sehingga sehingga f + g, fg, dan f/g demikian pula untuk g(xf + g, fg, dan f/g demikian pula untuk g(x00) ≠ 0.) ≠ 0.

4.6.4. Theorema4.6.4. TheoremaJika f adalah continuous pada xJika f adalah continuous pada xoo dan g adalah dan g adalah continuous pada f(xcontinuous pada f(xoo) sehingga komposisi gof adalah ) sehingga komposisi gof adalah continuous pada xcontinuous pada xoo.. Rolando DanaoRolando Danao

4040

4.7 4.7 DerivativeDerivative

4.7.1 Definisi4.7.1 DefinisiLet f adalah real-valued function diperoleh Let f adalah real-valued function diperoleh pada open interval I dan xpada open interval I dan xoo I. The I. The derivative dari f pada xderivative dari f pada xoo dinotasikan f’(x dinotasikan f’(xoo) ) diperoleh dengan diperoleh dengan

f’(xf’(xoo) = ) = ……(4.26)……(4.26)

Jika ada limit dapat dikatakan bahwa f adalah Jika ada limit dapat dikatakan bahwa f adalah differentiable at xdifferentiable at xoo dan proses mendapatkan dan proses mendapatkan derivative adalah differentiation.derivative adalah differentiation.

Limxxo

f(x) – f(xo)x - xo


4141

4.7.3 Definisi4.7.3 DefinisiSuatu real-valued function f, defined pada subset Suatu real-valued function f, defined pada subset R, adalah continuous differentiable pada xR, adalah continuous differentiable pada x00 jhj f jhj f adalah differentiable pada xadalah differentiable pada x00 dan f’ adalah dan f’ adalah continuous pada xcontinuous pada x00..

4.7.2 Remark4.7.2 RemarkDefinisi derivative mendorong f’ real memiliki Definisi derivative mendorong f’ real memiliki domain yang terdiri dari semua titik pada f yang domain yang terdiri dari semua titik pada f yang differentiable.differentiable.

4.7.4. Notasi4.7.4. NotasiThe following Leibniz notations are commonly The following Leibniz notations are commonly used for derivatives. Let y = f (x).used for derivatives. Let y = f (x).

f’(x) f’(x) == == (x) (x) == ==

The derivative as a Rate of ChangeThe derivative as a Rate of Change

df(x)dx

dfdx

dydx

dydx


4242

The difference quotientThe difference quotient

The Derivative as Slope of a CurveThe Derivative as Slope of a Curve

f(x) – f(xo)x – xo

P

Po

xo x x

PS

f(x)-f(xo)

T

Figure 4.18

Of the secant S through PPOf the secant S through PP00 is is

Ms = Ms = S mendekati T tangens pada PS mendekati T tangens pada P00

Slop S mendekati slope TSlop S mendekati slope T



4343

Mt = , Ms = = f ’(xMt = , Ms = = f ’(x00))

(a) is differentiable (b) is not differentiable (a) is differentiable (b) is not differentiable

LimPPo

Limxxo


xo x xox

(a)(b)

0 0

f’(x)<0decreasing

f’(x)>0increasing

Figure 4.20


4444


f be a real-valued function defined on an f be a real-valued function defined on an interval Iinterval I

(i) f adalah non decreasing on I jhj (i) f adalah non decreasing on I jhj x x11,x,x22 II

xx11 < x < x22 => f(x => f(x11) ≤ f(x) ≤ f(x22))

(ii) f adalah increasing on I jhj (ii) f adalah increasing on I jhj x x11,x,x22 I I

xx11 < x < x22 => f(x => f(x11) < f(x) < f(x22))

(iii) f adalah non increasing on I jhj (iii) f adalah non increasing on I jhj x x11,x,x22 I I

xx11 < x < x22 => f(x => f(x11) ≥ f(x) ≥ f(x22))

(iv) f adalah decreasing on I jhj (iv) f adalah decreasing on I jhj x x11,x,x22 I I

xx11 < x < x22 => f(x => f(x11) > f(x) > f(x22))


4545

4.7.6 Theorema4.7.6 TheoremaThe real-valued function f adalah The real-valued function f adalah

continuous pada closed interval (a,b) continuous pada closed interval (a,b) dan differentiable pada (a,b).dan differentiable pada (a,b).

(i) Jika f’(x) ≥ 0 for all x (i) Jika f’(x) ≥ 0 for all x (a,b) , (a,b) , f adalah non decreasing on (a,b)f adalah non decreasing on (a,b)

(ii) Jika f’(x) > 0 for all x (ii) Jika f’(x) > 0 for all x (a,b) , (a,b) , f adalah increasing on (a,b)f adalah increasing on (a,b)(iii) Jika f’(x) ≤ 0 for all x (iii) Jika f’(x) ≤ 0 for all x (a,b) , (a,b) , f adalah non increasing on (a,b)f adalah non increasing on (a,b)(iv) Jika f’(x) < 0 for all x (iv) Jika f’(x) < 0 for all x (a,b) (a,b) f adalah decreasing on (a,b)f adalah decreasing on (a,b)

Differentiability and Continuity Differentiability and Continuity Rolando DanaoRolando Danao

4646

4.7.8. Remark 4.7.8. Remark lawan theorem 4.7.7 adalah tidak benar.lawan theorem 4.7.7 adalah tidak benar.Contoh, f(x) = |x|. Fungsi ini continuous pada x = 0 Contoh, f(x) = |x|. Fungsi ini continuous pada x = 0 tetapi tidak differentiable.tetapi tidak differentiable.

4.7.7 Theorema4.7.7 TheoremaIf f is differentiable at point xIf f is differentiable at point x00 dan f is continuous dan f is continuous at xat x00..Proof : ….Proof : ….

4.8. Kaidah Differensiasi4.8. Kaidah Differensiasi

4.8.1 Theorema4.8.1 Theorema(i) If f(x) = c, a constant, then f’(x) = 0 …….. (i) If f(x) = c, a constant, then f’(x) = 0 …….. (4.27)(4.27)(ii) If f(x) = x, then f’(x) = 1(ii) If f(x) = x, then f’(x) = 1 …….. …….. (4.28)(4.28)

Sum, Difference, Product and Quotient RulesSum, Difference, Product and Quotient Rules


4747

4.8.2 Theorema4.8.2 Theorema (i) ((i) (f)’ (x) = f)’ (x) = f’ (x)f’ (x) …….. (4.29)…….. (4.29)

(ii) (f ± g)’ (x) = f’ (x) ± g’ (x)(ii) (f ± g)’ (x) = f’ (x) ± g’ (x) …….. …….. (4.30)(4.30)(iii) (fg)’ (x) = f(x) g’(x) + f’(x) g(x) (iii) (fg)’ (x) = f(x) g’(x) + f’(x) g(x) …….. (4.31)…….. (4.31)

(iv) (f/g)’ (x) = , g(x) ≠ 0 (iv) (f/g)’ (x) = , g(x) ≠ 0 …….. …….. (4.32)(4.32)

The Chain RuleThe Chain Rule

f’(x) g(x) – f(x) g’(x)fg(x)2

4.8.3 Theorema (Chain Rule)4.8.3 Theorema (Chain Rule)Katakan f adalah differentiable pada xKatakan f adalah differentiable pada x00 dan g adalah dan g adalah differentiable pada f (xdifferentiable pada f (x00). Komposisi gof adalah ). Komposisi gof adalah differentiable pada xdifferentiable pada x00 dan dan (gof)’ (x(gof)’ (x00) = g’ [(f(x) = g’ [(f(x00)] f’ (x)] f’ (x00) …….. ) …….. (4.33)(4.33)Proof :Proof :


4848

4.8.4 Remark4.8.4 RemarkLet y = f(x), z = g(y) , i.e., z = g[f(x)] = gof(x)Let y = f(x), z = g(y) , i.e., z = g[f(x)] = gof(x)

Then = f ’ (x) = g’(y) ,Then = f ’ (x) = g’(y) ,

And = (gof)’ (x) = g’ [f(x)] f ’(x)And = (gof)’ (x) = g’ [f(x)] f ’(x) = g’ (y) f ’(x)= g’ (y) f ’(x)

hence , = hence , = …….. (4.34) …….. (4.34)

The Inverse Function RuleThe Inverse Function Rule

dydx

dzdy

dzdx

dzdx

dzdy

dydx


4949

4.8.5 Theorema (inverse function4.8.5 Theorema (inverse function theorem)theorem)Andaikan y = f(x) dari f adalah one-to-one real-Andaikan y = f(x) dari f adalah one-to-one real-valued function dengan derivative continuous pada valued function dengan derivative continuous pada interval terbuka I yang berisi xinterval terbuka I yang berisi xoo yaitu f’(x) ≠ 0. yaitu f’(x) ≠ 0.

Andaikan yAndaikan yoo = f(x = f(xoo) maka terdapat suatu interval ) maka terdapat suatu interval terbuka Iterbuka Iyy yang berisi y yang berisi yoo yaitu f yaitu f-1-1 memiliki suatu memiliki suatu derivative continuous pada Iderivative continuous pada Iyy..

4.8.6 Theorema (inverse function 4.8.6 Theorema (inverse function rule)rule)Let y = f(x) dimana f memiliki kondisi inverse Let y = f(x) dimana f memiliki kondisi inverse function theorem, maka function theorem, maka

(f(f-1-1)’(y) = atau =)’(y) = atau =

dydx

1dy/dx

1f’(x)


5050

Proof :Proof :x = fx = f-1 -1 (y) dan y = f (x)(y) dan y = f (x)

Defferentiating with respect to x, using the Chain Defferentiating with respect to x, using the Chain Rule,Rule,We get We get 1 = (f1 = (f-1-1)’ (y) f’ (x) ;)’ (y) f’ (x) ;Hence,Hence, (f (f -1-1)’(y) = 1/f’(x))’(y) = 1/f’(x)

Atau Atau = =

dydx

1dy/dx

4.8.7 Example. Demand Function4.8.7 Example. Demand Function q = f(p) = a – bp q = f(p) = a – bp (a,b > 0)(a,b > 0)Inverse function dapat ditulis Inverse function dapat ditulis

p = fp = f-1-1(q) = - q(q) = - q

Note that ,Note that , = -b dan =- = -b dan =-

ab

1b

dqdp

dpdq

1b


5151

The Derivative of the Logarithmic FunctionThe Derivative of the Logarithmic Function

4.8.8 Theorem4.8.8 Theorem

Ln’(x) = Ln’(x) = …….. (4.37)…….. (4.37)

Proof :Proof :

1x

4.8.9 Corollary4.8.9 Corollary

Ln’[f(x)] =Ln’[f(x)] = …….. (4.38) …….. (4.38)

Proof :Proof : let y = ln(u) and u = f(x) let y = ln(u) and u = f(x)By the chain rule,By the chain rule,

f’(x)f(x)

dydx

dydu

dudx

1u

dudx

f ’(x)f(x)= . = . =


5252

4.8.10 Theorema4.8.10 Theorema

= e= exx …….. (4.39)…….. (4.39)

Proof :Proof : Let f(x) = eLet f(x) = exx then ln[f(x)] = x. by Corollary 4.8.9 then ln[f(x)] = x. by Corollary 4.8.9

= 1 ; hence f’(x) = f(x) = e= 1 ; hence f’(x) = f(x) = exx

d(ex)dx

f’(x)f(x)

4.8.11 Corrollary4.8.11 Corrollary

= e= ef(x)f(x)f’(x)f’(x) …….. (4.40)…….. (4.40)

The Derivative of the Power FunctionThe Derivative of the Power Function

d(ef(x))dx


5353

4.8.12 Theorem4.8.12 Theorem

= = xx-1 -1 , x > 0, x > 0 ……. (4.41)……. (4.41)

Proof :Proof :Let f(x) = xLet f(x) = x . Then in [f(x)] = . Then in [f(x)] = ln (x) and so, ln (x) and so,

= = hence , hence , f’(x) = = = f’(x) = = = xx-1-1

d(x)dx

f’(x)f(x)

1x

f’(x)f(x)

x

x


5454

DIFFERENTIATION RULES - DIFFERENTIATION RULES - Instant ReplayInstant Replay

ff f ’ f ’

cucu cu’ (C any constant)cu’ (C any constant)uunn nunun-1n-1u’ (n adalah bil. bulat : u ≠ 0 if n u’ (n adalah bil. bulat : u ≠ 0 if n < 0)< 0)uu uu -1 -1 u’ (u’ ( constant : constant : > 0) > 0)uvuv u’v + uv’u’v + uv’u + vu + v u’+v’u’+v’u-vu-v u’-v’u’-v’u u u’v – uv’u’v – uv’vv v v22

u . vu . v (u’ . v)v’(u’ . v)v’Ln(u)Ln(u) u’u’

uu (u > 0) (u > 0)eeu u eeu u u’u’uu-1-1 1 1

u’. uu’. u-1-1

aauu aau u ln(a)u’ln(a)u’


5555

Implicit DifferentiationImplicit Differentiation

Jika variabel y dinyatakan secara eksplisit dalam Jika variabel y dinyatakan secara eksplisit dalam bentuk x, maka dapat diperoleh derivatif dy/dx dengan bentuk x, maka dapat diperoleh derivatif dy/dx dengan menggunakan kaidah differentiation.menggunakan kaidah differentiation.Contoh :Contoh :

y = f(x) = y = f(x) = (4-42)(4-42)

MakaMaka = =

==

Persamaan (4.42) dapat ditulis dalam bentukPersamaan (4.42) dapat ditulis dalam bentukxx22y + y – xy + y – x33 = 0 = 0

Dalam bentuk ini y menjadi implisit terhadap x. Dalam bentuk ini y menjadi implisit terhadap x. Turunan dy/dx dapat diperoleh dengan menemukan Turunan dy/dx dapat diperoleh dengan menemukan turunan tiap terms with respect to x.turunan tiap terms with respect to x.

x3

x2+1

dydx

(x2 + 1) (3x2) – x3(2x)(x2+1)2

x4 + 3x2

(x2+1)2


5656

Jadi :Jadi :xx2 2 + (2x)y + - 3x+ (2x)y + - 3x22 = 0 = 0

(x(x22+1) + 2xy – 3x+1) + 2xy – 3x22 = 0 = 0

= =

==

==

dydx

dydx

dydx

dydx

3x2 – 2xyx2+1

dydx

3x2 – 2x

x2+1

x3

x2+1

x4+3x2

(x2+1)2

4.8.13. Remark4.8.13. RemarkRolando DanaoRolando Danao

5757

4.8.14. Contoh4.8.14. Contoh 1) 1) y = x y = xx x , , x > 0x > 0

ln (y) = x ln (x)ln (y) = x ln (x) u vu v

= x + ln (x)= x + ln (x)

= [1 + ln(x)] x= [1 + ln(x)] xxx

2) 2) y = a y = axx

ln (y) = x ln (a)ln (y) = x ln (a)

= ln (a)= ln (a)

= y ln (a) = a= y ln (a) = axx ln (a) ln (a)

dydx

1y

1x

dydx

dydx

1y

dydx Rolando DanaoRolando Danao

5858

Higher – Order DerivativesHigher – Order Derivatives

f ’ adalah juga fungsi disebut derivative dan second f ’ adalah juga fungsi disebut derivative dan second order derivative f ”. Proses ini dapat berlanjut order derivative f ”. Proses ini dapat berlanjut sampai tak terhingga.sampai tak terhingga.

f ”(x) = f(3)(x) = , …, f(n)(x) =f ”(x) = f(3)(x) = , …, f(n)(x) =d2ydx2

d3ydx3

dnydxn

4.9. Kaidah L’ Hospital4.9. Kaidah L’ HospitalKaidah L’Hospital adalah suatu teknik untuk Kaidah L’Hospital adalah suatu teknik untuk mengevaluasi limit dari bentukmengevaluasi limit dari bentuk

lim f(x)xx0 g(x)

Dimana f(x) dan g(x) keduanya mendorong ke nol Dimana f(x) dan g(x) keduanya mendorong ke nol atau ke ~ as x atau ke ~ as x x x0. Rolando DanaoRolando Danao

5959

4.9.1. Theorem4.9.1. TheoremLetLet f(x) = f(x) = g(x) = 0 g(x) = 0

(i) If = (i) If = , then = , then =

(ii) If = ~, then = ~(ii) If = ~, then = ~

lim xx0

lim xx0

lim xxo

f’(x)g’(x)

lim xx0

f(x)g(x)

lim xx0

f ’(x)g’(x)

lim xx0

f(x)g(x)

4.9.2. Theorem4.9.2. Theorem

Let Let f(x) = f(x) = g(x) = ~ g(x) = ~

(i) If = (i) If = , then = , then =

(ii) If = ~, then = ~(ii) If = ~, then = ~

lim xx0

lim xx0

lim xx0

lim xx0

lim xx0

lim xx0

f(x)g(x)

f(x)g(x)

f ’(x)g’(x)

f ’(x)g’(x)


6060

4.9.3. Remark4.9.3. RemarkCatatan kaidah L’ Hospital mensyaratkan mencari Catatan kaidah L’ Hospital mensyaratkan mencari derivative dari f dan g secara terpisah dan derivative dari f dan g secara terpisah dan mengevaluasi pembangian limit f’(x)/g’(x) serta tidak mengevaluasi pembangian limit f’(x)/g’(x) serta tidak menggunakan quotient rule pada f(x)/g(x).menggunakan quotient rule pada f(x)/g(x).

4.9.4. Contoh4.9.4. Contoh1. = = = -1. = = = -

Note : Kaidah L’ Hospital digunakan dua kali disini.Note : Kaidah L’ Hospital digunakan dua kali disini.

lim x0

x+1-ex

x2

lim x0

1-ex

2xlim

x0

-ex

212

2. = = 2x2. = = 2x22 = ~ = ~

3. = = 03. = = 0

Note : Kaidah L’ Hospital tidak dapat digunakan disini Note : Kaidah L’ Hospital tidak dapat digunakan disini sebabsebab limit pembaginya bukan nol.limit pembaginya bukan nol.

limx~

limx~

limx~

2x1/x

x2

ln(x)

limx1

2x3-5x2+6x-3 X3-2x2+x-1

0-1


6161

4.10. Marginal and Average 4.10. Marginal and Average Functions,Functions, Elasticity, and Rates of Elasticity, and Rates of GrowthGrowth4.10.1. Definisi4.10.1. Definisi

Given a function f : D Given a function f : D R dimana D R dimana D R. Derivative f’ R. Derivative f’ disebut fungsi marginal (MF) dan fungsi didefinisikan disebut fungsi marginal (MF) dan fungsi didefinisikan dengan f (x)/x disebut average fungsi (AF).dengan f (x)/x disebut average fungsi (AF).

4.10.2. Contoh4.10.2. Contoh1) 1) Jika c adalah fungsi biaya untuk produksi output q Jika c adalah fungsi biaya untuk produksi output q

dan dc/dq adalah marginal cost, c/q adalah average dan dc/dq adalah marginal cost, c/q adalah average cost.cost.

2) 2) Jika r adalah total revenue berhadapan dengan Jika r adalah total revenue berhadapan dengan penjualan x penjualan x

unit komoditi, dan dr/dx adalah marginal revenue, unit komoditi, dan dr/dx adalah marginal revenue, r/x adalah average revenue.r/x adalah average revenue.

3) 3) Jika C adalah total pengeluaran konsumsi Jika C adalah total pengeluaran konsumsi berhubungan dengan pendapatan nasional Y, dC/dY berhubungan dengan pendapatan nasional Y, dC/dY adalah marginal consumption (Marginal Propensity adalah marginal consumption (Marginal Propensity to Consume/MPC), C/Y adalah average consumption. to Consume/MPC), C/Y adalah average consumption.


6262


Let f : RLet f : R++++ R differetiable on R R differetiable on R++++

= {x= {xR|x>0}R|x>0}

(i) > 0 jhj MF (x) > AF (x)(i) > 0 jhj MF (x) > AF (x)

(ii) = 0 jhj MF (x) = AF (x)(ii) = 0 jhj MF (x) = AF (x)

(iii) < 0 jhj MF (x) < AF (x)(iii) < 0 jhj MF (x) < AF (x)

Proof : By definitionProof : By definition AF (x) = AF (x) =

Then Then = = [f’(x) - ]= = [f’(x) - ]

= [MF(x) – AF(x)]= [MF(x) – AF(x)]

MF = AF MF = AF

dAF(x)dx

dAF(x)dx

dAF(x)dx

f(x)x

dAF(x)dx

xf’ (x) - f (x)x2

1x

f(x)x

1x


6363

4.10.4. Contoh4.10.4. Contoh

Cost : C = qCost : C = q33 - q - q22 + q + + q +

AC : AC(q) = = qAC : AC(q) = = q22 - q + + - q + +

MC : MC(q) = = qMC : MC(q) = = q22 - q + - q +

16

43

113

13

cq

16

43

113

13q

dcdq

12

83

113

0

C

q

MC

AC


6464

4.10.5. Definisi4.10.5. DefinisiLet y = f(x) dimana f:RLet y = f(x) dimana f:R++++RR++ ++ adalah differentiable adalah differentiable pada Rpada R++++. . Point elasticity dari y with respect to x didefinisikan Point elasticity dari y with respect to x didefinisikan sebagaisebagai

ЄЄyx = = yx = = (4-45)(4-45)

> 1 > 1 elastik elastikJika |Jika |ЄЄyx| = = 1 yx| = = 1 unit elastik unit elastik < 1 < 1 In elastik In elastik

dy/dxy/x

xy

dydx

4.10.6. Remark4.10.6. Remark(1) Point elasticity y with respect to x measures the (1) Point elasticity y with respect to x measures the responsiveness of y to changes in x atau .responsiveness of y to changes in x atau .

(2) (2) ЄЄyxyx (point elasticity) tergantung y,x dan dy/dx; dan (point elasticity) tergantung y,x dan dy/dx; dan tidak tidak konstan disepanjang kurva supplykonstan disepanjang kurva supply

q = -3 + 3pq = -3 + 3p Eqp = . = (3) =Eqp = . = (3) =

%y%x

dqdp

pq

p-3+3P

pP-1Rolando DanaoRolando Danao

6565

Pada p = 2 Pada p = 2 ЄЄqp = 2qp = 2Pada p = 3 Pada p = 3 ЄЄqp = 3/2qp = 3/2

3) Elastisitas pada umumnya tidak konstan sepanjang 3) Elastisitas pada umumnya tidak konstan sepanjang kurva. kurva. Terdapat kelas fungsi yang elastisitasnya constant.Terdapat kelas fungsi yang elastisitasnya constant.

y = y = xxββ ((, , ββ konstan; konstan; > 0) > 0)4.10.7. Theorem4.10.7. TheoremLet f adalah real valued-function defined on an open Let f adalah real valued-function defined on an open interval I such that f’(x)=0 on I. Then there is a constant interval I such that f’(x)=0 on I. Then there is a constant c such that f(x)= c on I.c such that f(x)= c on I.

4.10.8. Theorem4.10.8. TheoremLet f dan g adalah real valued-function defined and Let f dan g adalah real valued-function defined and differentiable on an open interval I suppose f’(x)=g’(x) differentiable on an open interval I suppose f’(x)=g’(x) on I. Then there is a constant c such that f(x) = g(x) + c on I. Then there is a constant c such that f(x) = g(x) + c on I.on I.4.10.9. Theorem4.10.9. TheoremThe point elasticity The point elasticity ЄЄyx in a constant k jhj y = yx in a constant k jhj y = xxk k where where is a positive constant. is a positive constant. Proof :Proof : Rolando DanaoRolando Danao

6666

Proof :Proof : = = kxkxk-1k-1

ЄЄyx = = yx = = .kx.kxk-1k-1

= = k= = k

dydx

xy

dydx

xxk

x . k . xk-1

xk

4.10.10. Theorem4.10.10. TheoremLet u = f(x) dan v = g(x) dimana f dan g are Let u = f(x) dan v = g(x) dimana f dan g are differentiable on Rdifferentiable on R++++. Then. Then

(i) (i) ЄЄu+v, xu+v, x = = (4-49) (4-49)

(ii) (ii) ЄЄuv,xuv,x = = ЄЄuxux + + ЄЄvxvx (4-50)(4-50)

(iii) (iii) ЄЄu/v,xu/v,x = = ЄЄuxux – – ЄЄvxvx (4-51)(4-51)

d (ln y)d (ln x)

4.10.11. Theorem4.10.11. TheoremLet y = f(x) where f:RLet y = f(x) where f:R++++RR++ ++ is differentiable on Ris differentiable on R++++. . ThenThen ЄЄyx = yx = (4-52)(4-52)

uЄЄux + vЄЄvx

u + v


6767

Proof : Proof : let u = ln y, v = ln x (or x = elet u = ln y, v = ln x (or x = evv)) Applying the Chain Rule, we haveApplying the Chain Rule, we have

= . . = . .

= = . e= = . evv = . = = . = ЄЄyxyx

dudv

dudy

dydx

dxdv

d(ln y)d(ln x)

dudv

1y

dydx

xy

dydx

4.10.12. Komentar4.10.12. KomentarMenarik untuk menyimak point elasticity karena Menarik untuk menyimak point elasticity karena ketika ln(y) dinyatakan sebagai fungsi linier dari ketika ln(y) dinyatakan sebagai fungsi linier dari ln(x), maka koefisien dari ln(x) adalah point ln(x), maka koefisien dari ln(x) adalah point elasticity elasticity ЄЄyx.yx.4.10.13. Contoh4.10.13. Contoh Let Let q = q = ppββ , , > 0 > 0Dimana q adalah quantity demanded dan p Dimana q adalah quantity demanded dan p adalah harga.adalah harga.


6868

zy

dydz

zx

xy

dydx

dxdz

xy

dydx

zx

dxdz

4.10.15. Contoh4.10.15. ContohLet q = f(p) adalah fungsi demand dimana f Let q = f(p) adalah fungsi demand dimana f differentiable on Rdifferentiable on R++++. Jika r adalah total revenue . Jika r adalah total revenue makamaka = p (1 + )= p (1 + )

drdq

1ЄЄqp

4.10.14. Theorem4.10.14. Theorem Let y = f(x) and x = g(x) then Let y = f(x) and x = g(x) then ЄЄyx = yx = ЄЄyxyxЄЄxzxz Proof :

ЄЄyz =yz = = = = = = = ЄЄyxyxЄЄxzxz

Ln (q) = ln (Ln (q) = ln () + ) + ln (p) ln (p)

ЄЄqp = = qp = = d (ln q)d (ln p)


6969

Rates of GrowthRates of Growth

4.10.16. Definisi4.10.16. Definisi Let y = f (t) dimana f:R+Let y = f (t) dimana f:R+R is differentiable and R is differentiable and t denotes time.t denotes time.

rryy = = . = = . (4-53) (4-53)dy/dt y

1y

dydt

4.10.17. Remark 4.10.17. Remark (dari Corollary 4.8.9.)(dari Corollary 4.8.9.)

rryy = = = ln’ f(t) = = = ln’ f(t) (4-54)(4-54)dy/dt y

f’(t) f(t)

4.10.18. Theorem4.10.18. Theorem (i) r(i) ruvuv = r = ruu + r + rvv (4-55)(4-55)

(ii) r (ii) ru/vu/v = r = ruu – r – rvv

(4-56)(4-56)Rolando DanaoRolando Danao

7070

Proof :Proof : (i) Let y = uv.(i) Let y = uv.

Then ln (y) = ln (u) + ln (v). Hence,Then ln (y) = ln (u) + ln (v). Hence,

= += +

rryy = r = ruu + r + rvv

dydt

1y

dudt

1u

dvdt

1v

4.10.19. Contoh4.10.19. ContohJika rate of growth income (Y) adalah rJika rate of growth income (Y) adalah ryy , dan , dan

Jika rate of growth populasi (N) adalah rJika rate of growth populasi (N) adalah rNN , then , then

Jika rate of growth per capita income adalah rJika rate of growth per capita income adalah ryy – r – rNN . .

4.11. Partial Derivatives4.11. Partial Derivatives

Ceteris paribus (hal-hal lain tetap)Ceteris paribus (hal-hal lain tetap)Rolando DanaoRolando Danao

7171

4.11.1. Definisi4.11.1. Definisi

ff11’(x’(xoo) = ) =

Jika the limit exists, jika setiap partial derivative Jika the limit exists, jika setiap partial derivative ff11’(x) exists, (i = 1,2, … n) then the vector’(x) exists, (i = 1,2, … n) then the vector

ff11’(x)’(x)

ff22’(x)’(x) .. ..

..ffnn’(x)’(x)

is called the gradient of f at x.is called the gradient of f at x.

Lim xixi

o

f (x1o,…, xi,…xn

o) – f(x1o,…, xi

o,… xno)

xi – xio

f ’ (x) =


7272

4.11.2. Notasi 4.11.2. Notasi If y = f(x) dimana x If y = f(x) dimana x R Rn n

,,, then f, then fii’(x) ’(x) Ξ If y = f (u, v, …);If y = f (u, v, …); fu = , fv = fu = , fv =

∂y∂xi∂y

∂u∂y∂v

4.11.3. Remarks4.11.3. Remarks(i) f(i) fii’(x) diperoleh dengan menganggap variabel lain ’(x) diperoleh dengan menganggap variabel lain konstankonstan

(ii) f(ii) fii’(x) (i=1,2, …, n) adalah tingkat perubahan f(x) ’(x) (i=1,2, …, n) adalah tingkat perubahan f(x) as xas xi i

(iii) Setiap f(iii) Setiap fii’ adalah suatu fungsi ’ adalah suatu fungsi variabel x variabel x11, x, x22, …, , …, xxnn..

4.11.4. Contoh4.11.4. Contoh(1) Marginal Cost. Let (1) Marginal Cost. Let C = f (x C = f (x11, x, x22,…, x,…, xnn))

Masing-masing fMasing-masing fii’ (i=1,2,…,n) adalah marginal ’ (i=1,2,…,n) adalah marginal costcost function.function.


7373

(3) Marginal Product. Let consumer’s utility (3) Marginal Product. Let consumer’s utility function function

y = f (xy = f (x11, x, x22, …, x, …, xnn) )

dimana y = output dan [xdimana y = output dan [xii, x, x22, …, x, …, xnn]]tt adalah adalah vektorvektor input konsumsi barang n. input konsumsi barang n.

MPMPii = = ; i = (1, 2, …, n); i = (1, 2, …, n)(4) Marginal Utility. Let consumer’s utility (4) Marginal Utility. Let consumer’s utility functionfunction

u = U (xu = U (x11, x, x22, …, x, …, xnn))

dimana u = utility dan [xdimana u = utility dan [xii, x, x22, …, x, …, xnn]]tt adalah adalah vektorvektor input konsumsi barang n.input konsumsi barang n.

MUMUi i = = ; i = (1, 2, …, n); i = (1, 2, …, n)

∂y∂xi

∂u∂xi

(2) Marginal demand. Let q(2) Marginal demand. Let q ii = f (p = f (p11, p, p22, …, p, …, pnn) ; ) ; i = (1, 2, …, n)i = (1, 2, …, n) Marginal demandMarginal demand

∂q∂pi


7474

Partial ElasticityPartial Elasticity4.11.5. Definisi4.11.5. DefinisiLet y = f (xLet y = f (x11, x, x22, …, x, …, xnn). The partial elasticity of y ). The partial elasticity of y with respect to xwith respect to xi i is defined asis defined as ЄЄyxyxii ΞΞ . .

Xi

y∂u∂xi

4.11.6. Contoh. 4.11.6. Contoh. Price Elasticity of Demand.Price Elasticity of Demand. Let demand Let demand function ffunction fii by by

qqii = f = fii (p (p11, p, p22, …, p, …, pnn) ) ;; i = 1,2,…,ni = 1,2,…,n

Dimana qDimana qi i dan pdan pi i = q= qd d dan qdan qp p untuk komoditi i. untuk komoditi i. Maka priceMaka priceElasticity of demand untuk komoditi i adalahElasticity of demand untuk komoditi i adalah

ЄЄqqiippii = . = . ;; i = 1,2,…,ni = 1,2,…,n

pi

qi

∂qi

∂pi


7575

Contoh : Contoh : qq11 = 100 – 2(p = 100 – 2(p11))3/23/2+3p+3p22-p-p33

PP11 = 4, P = 4, P22 = 5, P = 5, P33 = 10 = 10

EqEq11pp11 = . [-3(p = . [-3(p11))1/21/2]]

= = = =

= = –– 0,27 0,27

ЄЄqqiippjj = , i ≠ j = , i ≠ j

Jika Jika ЄЄqqiippjj < 0, then ∂q < 0, then ∂qii/∂p/∂pjj < 0 (brg < 0 (brg complement). complement).

Jika Jika ЄЄqqiippjj > 0, then ∂q > 0, then ∂qii/∂p/∂pjj > 0 (brg substitusi). > 0 (brg substitusi).

ЄЄqq11pp2 2 == (3)(3)

P1

100 – 2(P100 – 2(P11))3/23/2+3P+3P2 2 –– PP33

-3(P1)3/2

100 – 2(P100 – 2(P11))3/23/2+3P+3P2 2 –– PP33

(-3)(4)3/2

100 – 2(4)100 – 2(4)3/23/2+3(5) +3(5) –– 1010

Pj

qi

∂qi

∂Pj

P2

100 – 2(P100 – 2(P11))3/23/2+3P+3P2 2 ––

PP33Rolando DanaoRolando Danao

7676

==

= 0,17= 0,17

Artinya 1% Artinya 1% PP22 qq11 sebesar 0,17% sebesar 0,17% brg brg substitusisubstitusi

Differentiability, Partial Derivatives and ContinuityDifferentiability, Partial Derivatives and Continuity

3(5)100 – 2(4)100 – 2(4)3/23/2+3(5)+10+3(5)+10

4.11.7. Definisi4.11.7. DefinisiLet f adalah real-valued function on neighborhood Let f adalah real-valued function on neighborhood Nr(x), xNr(x), xoo R Rnn. The function f is said to be . The function f is said to be differentiable at xdifferentiable at xoo jhj there exists a vector a such jhj there exists a vector a such that that = 0 (4-59)= 0 (4-59)

Lim xxo

f(x) – f(xo) - t(x-xo)||x – xo||


7777

4.11.8. Remark4.11.8. RemarkHubungan antara differentiability dan existensi Hubungan antara differentiability dan existensi partial derivative ada pada theorem partial derivative ada pada theorem berikutnya.berikutnya.

4.11.9. Theorem4.11.9. TheoremLet f adalah real-valued function Let f adalah real-valued function Nr(x), x Nr(x), x Rn.Rn. (i) If f differentiable at x, then f is continuous at (i) If f differentiable at x, then f is continuous at x andx and f’(x) exists. f’(x) exists. (ii) If f has continuous partial derivative at x (i.e., (ii) If f has continuous partial derivative at x (i.e., f’(x) exists and is continuous at x), f’(x) exists and is continuous at x), then f is differentiable at x.then f is differentiable at x. Rolando DanaoRolando Danao

7878

Higher – Order Partial DerivativesHigher – Order Partial Derivatives

Let y = f(xLet y = f(x11, x, x22, …, x, …, xnn). Since the partial ). Since the partial derivatives fderivatives fii

(i = 1, 2, …, n) are functions of x(i = 1, 2, …, n) are functions of x11, x, x22, …, x, …, xn n ; ; SecondSecond

order partial derivative :order partial derivative :

ΞΞ i, j = 1, 2, i, j = 1, 2, …, n…, n

ΞΞ f” f”ijij (x (x11, x, x22, …, x, …, xnn))

∂2f∂xj∂xi

∂∂xj

∂f∂xi

4.11.10. Example4.11.10. Example

Let Let z = f (x,y) = xz = f (x,y) = xyy ; then ; then

f’f’xx (x,y) = (x,y) = xx-1-1yy f’ f’yy(x,y) = (x,y) = xxyy-1-1

f”f”xxxx(x,y) = (x,y) = ((-1)x-1)x-2-2yy f” f”xyxy(x,y) = (x,y) = xx-1-1yy-1-1

f”f”yvyv(x,y) = (x,y) = xx-1-1yy-1-1 f” f”yyyy(x,y) = (x,y) = ((-1)x-1)xyy-2-2Rolando DanaoRolando Danao

7979

4.11.11. Remark4.11.11. Remark

Contoh 4.11.10., f”xy = f”yx tidak benar pada Contoh 4.11.10., f”xy = f”yx tidak benar pada

umumnya. It is true for functions dimana umumnya. It is true for functions dimana

second-order partial derivatives are continuous. second-order partial derivatives are continuous.

This is known as young’s theorem.This is known as young’s theorem.

4.11.12. Theorem (Young)4.11.12. Theorem (Young)

Let f : D Let f : D R have continuous second-order R have continuous second-order

partial derivatives on D partial derivatives on D Rn. Then Rn. Then f”ij (x) = f”ji (x) ; I,j = 1,2,…,nf”ij (x) = f”ji (x) ; I,j = 1,2,…,n


8080

4.11.13. Remark4.11.13. RemarkAssuming that f has continuous higher-order Assuming that f has continuous higher-order partial derivatives, repeated application of partial derivatives, repeated application of Young’s TheoremYoung’s Theorem

y = f (xy = f (x11, x, x22, x, x33, x, x44))

ThenThen yy123123 = f = f(12)3(12)3 = f = f(21)3(21)3 = f = f213213 = f = f2(13)2(13)

= f= f2(13)2(13) = f = f2(31)2(31) = f = f231231 , etc. , etc.4.12. Total Derivatives 4.12. Total Derivatives dan dan Total DifferentialsTotal Differentials

y = f (xy = f (x11, x, x22, x, x33, …, x, …, xnn))

dengan asumsi variabel lain dengan asumsi variabel lain constant.constant.

∂y∂xi


8181

4.12.1. Definisi4.12.1. DefinisiLet y = f (x) dimana x Let y = f (x) dimana x ЄЄ R. R.

dy = f’ (x) dxdy = f’ (x) dx

4.12.2. Remark4.12.2. Remark1) a = (tan 1) a = (tan θθ)dx = f’ (x)dx = dy)dx = f’ (x)dx = dy

a= dy

x+dx

x

2) dy = f’ (x) dx2) dy = f’ (x) dx

= f’ (x)= f’ (x)∂y∂x

θ

Gbr. The Differential dy


8282

3) Definisi dari Differentials dapat dinyatakan 3) Definisi dari Differentials dapat dinyatakan dalam fungsi beberapa variabel. Letdalam fungsi beberapa variabel. Let

y = f (x) , x y = f (x) , x R Rnn

dimana f mempunyai first-order partial dimana f mempunyai first-order partial derivatives sehingga fderivatives sehingga f11’, f’, f22’, …, f’, …, fnn’. Sekarang, jika ’. Sekarang, jika ff11’(x) berada dalam y per unit perubahan x’(x) berada dalam y per unit perubahan x ii. . Konsekuensinya fKonsekuensinya fii’dx’dxii adalah suatu approximasi adalah suatu approximasi dari perubahan y karena perubahan x dari perubahan y karena perubahan x dx dxii. . Maka penjumlahanMaka penjumlahan

f’f’11dxdx11+ f’+ f’22dxdx2 2 + … + f’+ … + f’nndxdxnn

dapat dilakukan untuk approximasi dari dapat dilakukan untuk approximasi dari perubahan dalam y pada kombinasi perubahan perubahan dalam y pada kombinasi perubahan dxdx11, dx, dx22, …, dx, …, dxnn..


8383

4.12.3. Definisi4.12.3. Definisiy = f(x) dimana x y = f(x) dimana x R Rnn dan f mempunyai first- dan f mempunyai first-order partial derivatives. Given dxorder partial derivatives. Given dx11 (i = 1, 2, (i = 1, 2,…,n), total differential dy is defined as…,n), total differential dy is defined as

dy = dy = f’ f’ii (x) dx (x) dxii

n

i=1

4.12.4. Theorem (Rule of differential)4.12.4. Theorem (Rule of differential)Let u = f(x) dan v = g(x), dimana x Let u = f(x) dan v = g(x), dimana x R Rnn dan f & dan f & g adalah first-order partial derivatives. Makag adalah first-order partial derivatives. Maka(i) d(u+v) = du + dv(i) d(u+v) = du + dv(ii) d(uv) = udv + vdu(ii) d(uv) = udv + vdu

(iii) d(u/v) = (iii) d(u/v) = vdu – udv v2

Jika c adalah constan thenJika c adalah constan then(iv) dc = 0(iv) dc = 0 Rolando DanaoRolando Danao

8484

4.12.5. Definisi4.12.5. Definisi Let y = f(x) , dimana Let y = f(x) , dimana x x R Rnn dan f mempunyai dan f mempunyai first-order partial derivatives. Let dxfirst-order partial derivatives. Let dx ii be a be a differential dalam xdifferential dalam xj j (i=1, 2, …, n). Total derivative (i=1, 2, …, n). Total derivative dari y with respect to xdari y with respect to xj j in defined as in defined as

= f’= f’ii(x) + (x) + f’ f’jj (x) (4.66) (x) (4.66)dydx

n

j≠i

dxj

dxi

4.12.6. Komentar4.12.6. Komentar(i)(i) Jika variabel XJika variabel Xjj ( (j≠i) tidak dipengaruhi oleh tidak dipengaruhi oleh

perubahan xperubahan xii, maka , maka dxj/dxi = 0 ( = 0 (j≠i); maka total maka total

derivative sama dengan partial derivative dan derivative sama dengan partial derivative dan

variabel dianggap konstan.variabel dianggap konstan.

(ii) Bagian pertama dari persamaan di atas (4.66) (ii) Bagian pertama dari persamaan di atas (4.66)

adalah efek langsung f’adalah efek langsung f’ ii(x(xii) dan bagian kedua ) dan bagian kedua

adalah indirect efek lewat variabel lain xadalah indirect efek lewat variabel lain x jj (j≠i). (j≠i).


8585

4.12.7. Theorem4.12.7. Theorem (Chain Rule)(Chain Rule) Let y = f(x) dimana x Let y = f(x) dimana x R Rnn dan f memiliki first- dan f memiliki first-

order partial derivative dan xorder partial derivative dan xi i = g= gii (t) dimana g (t) dimana gii (i = 1, 2, …, n) adalah differentiable. (i = 1, 2, …, n) adalah differentiable.

= = f fjj’ (x)’ (x)dxi

dtdydt

4.12.8. 4.12.8. TheoremTheorem

Let y = f(x) dimana x Let y = f(x) dimana x R Rnn dan f memiliki first- dan f memiliki first-order partial derivative dan xorder partial derivative dan xii = g = gii (t (t11, t, t22, …, t, …, tkk) ) dimana gdimana gii (i = 1, 2, …, n) memiliki first-order (i = 1, 2, …, n) memiliki first-order partial derivativepartial derivative ..= = f fjj’ (x)’ (x)

∂y∂tj

∂xi

∂tj

n

i=1

n

i=1


8686

4.12.9. Contoh4.12.9. Contoh(1)(1)z = x + 2xz = x + 2x22yy22 – 2y , x = t – 2y , x = t33 y = 1/t y = 1/t

= . + .= . + .

= (1 + 4xy= (1 + 4xy22) (3t) (3t22) + (4x) + (4x22y - 2) (-1/ty - 2) (-1/t22))

= 8t= 8t3 3 + 3t+ 3t2 2 + 2t+ 2t-2-2

(2)(2)y = f (x) = ln (xy = f (x) = ln (x1 1 + x+ x22) , x) , x1 1 = t x= t x2 2 = t= t22

= f’= f’11(x) + f’(x) + f’22(x)(x)

= += +

==

==

dzdt

∂z∂x

dxdt

∂z∂y

dydt

dydt

dxjdt

dx2

dt1

x1 + x2

2tx1 + x2

1 + 2tX1 + x2

1 + 2tt + t2


8787

(3)(3) = x = x3 3 + 3xy + y+ 3xy + y33 ; x = w ; x = w22vv , y = wv, y = wv22

= . + .= . + .

= (3x= (3x2 2 + 3y) (2vw) + (3x + 3y+ 3y) (2vw) + (3x + 3y22) v) v22

= 6 (v= 6 (v22ww4 4 + v+ v22w) vw + 3 (ww) vw + 3 (w22v + vv + v44ww22) v) v22

= 6v= 6v33ww5 5 + 9v+ 9v33ww2 2 + 3v+ 3v66ww22

∂u∂w

∂u∂x

∂x∂w

∂u∂y

∂y∂w

4.13. The Implicit Function Theorem4.13. The Implicit Function TheoremGiven the equationGiven the equation

f (xf (x11, x, x22, …, x, …, xnn, y) = 0 ,, y) = 0 ,It may be possible to express y explicitly in terms It may be possible to express y explicitly in terms of the xof the xjj’s. Jadi bisa dinyatakan secara eksplisit. ’s. Jadi bisa dinyatakan secara eksplisit. Contoh Contoh

f (xf (x11, x, x22, y) = y – x, y) = y – x1122 – x – x22

22 + 1 = 0 + 1 = 0 y = xy = x11

2 2 + x+ x2222 – 1 – 1

y = f (xy = f (x11, x, x22) = x) = x112 2 + x+ x22

22 – 1 – 1Dimana f adalah differentiable on RDimana f adalah differentiable on R22..


8888

The ease in which we wrote y in terms of xThe ease in which we wrote y in terms of x1 1 dan xdan x2 2

in the above example is, of course, not a in the above example is, of course, not a characteristic property of implicit functions. characteristic property of implicit functions. Contoh, tetapi tidak mungkin menulis y in terms Contoh, tetapi tidak mungkin menulis y in terms of x from the equation of x from the equation

f (x, y) = x – y – ln (y) + 1 = 0f (x, y) = x – y – ln (y) + 1 = 0Moreover, even if we can express y explicitly in Moreover, even if we can express y explicitly in terms of x, differentiability at certain points may terms of x, differentiability at certain points may not be assured. For example, consider the not be assured. For example, consider the equation of the unit circleequation of the unit circle

f (x, y) = yf (x, y) = y2 2 + x+ x22 – 1 = 0 – 1 = 0

Dapat diperoleh fungsi Dapat diperoleh fungsi f:Df:DRR , dimana D = (-, dimana D = (-1,1), by setting1,1), by setting y = f (x) = 1 – xy = f (x) = 1 – x22 y y22 = 1 – x = 1 – x22

Tetapi turunan f tidak exist pada x = ± 1.Tetapi turunan f tidak exist pada x = ± 1.Jadi apabila ada kondisi f (xJadi apabila ada kondisi f (x11, x, x22, …, x, …, xnn) = 0 adalah ) = 0 adalah differentiable f yaitu y = f (xdifferentiable f yaitu y = f (x11, x, x22, …, x, …, xnn) dan f (x) dan f (x11, , xx22, …, x, …, xnn) = 0 ) = 0


8989

4.13.1. Theorem (Fungsi Implisit)4.13.1. Theorem (Fungsi Implisit)Let f (x, y) diperoleh dari neighborhood U (xLet f (x, y) diperoleh dari neighborhood U (x00,y,y00).).

a) f (xa) f (x00, y, y00) = 0) = 0

b) f’b) f’yy, f’, f’xx are continuous on U dan are continuous on U dan

c) f’c) f’yy (x (x00, y, y00) ≠ 0) ≠ 0

Then there exists a function f defined on a Then there exists a function f defined on a neighborhood V neighborhood V R yang berisi x R yang berisi x00 yaitu yaitu

(i) y = f (x) pada V(i) y = f (x) pada V (ii) f [x, f(x)] (ii) f [x, f(x)] 0 pada V 0 pada V(iii) f differentiable and has a continuous(iii) f differentiable and has a continuous

derivative on V. derivative on V.

Y

x

Contoh, f (x, y) = 0 Contoh, f (x, y) = 0 tidak diperoleh y tidak diperoleh y sebagai fungsi x.sebagai fungsi x.0 X0

Y0

U

V


9090

4.13.2. Komentar4.13.2. KomentarImplicit Function Theorem menyatakan bahwa Implicit Function Theorem menyatakan bahwa f exists tetapi tidak menyatakan bagaimana f exists tetapi tidak menyatakan bagaimana secara eksplisit.secara eksplisit.

4.13.3. Theorem4.13.3. TheoremLet f (x, y) = 0 and suppose the conditions of the Let f (x, y) = 0 and suppose the conditions of the implicit function theorem hold at [ximplicit function theorem hold at [x00, y, y00]. Let f be ]. Let f be the function that satisfies y = f (x). Thenthe function that satisfies y = f (x). Then

f’ (xf’ (x00) = = - ) = = - dydx

f’x (x0,yo)f’y (x0,yo)


9191

4.13.4. Contoh4.13.4. ContohConsider the equationConsider the equation

f (x, y) = xf (x, y) = x22 + xy – 2y + xy – 2y22 = 0 = 0pada titik [xpada titik [x00, y, y00] = [1, 1].] = [1, 1].(a) f (x(a) f (x00, y, y00) = f (1,1) = 0) = f (1,1) = 0(b) f’(b) f’y y (x, y) = x – 4y dan f’(x, y) = x – 4y dan f’x x (x, y) = 2x + y (x, y) = 2x + y keduanya continuouskeduanya continuous(c) f’(c) f’y y (x(x00, y, y00) = f’) = f’y y (1,1) = -3 ≠ 0(1,1) = -3 ≠ 0Kondisi implisit theorem terpenuhiKondisi implisit theorem terpenuhi

= - = - = 1= - = - = 1dydx

f’x (1, 1)f’y (1, 1)

3-3


9292

4.13.5. Contoh4.13.5. ContohLet z = f (x, y) dimana x, y Let z = f (x, y) dimana x, y ЄЄ R. Suatu level curve R. Suatu level curve dari f dinyatakan oleh f (x, y) = zdari f dinyatakan oleh f (x, y) = zo o , dimana z, dimana zoo adalah konstan.adalah konstan.

f (x, y) = f (x, y) – zf (x, y) = f (x, y) – z00 = 0 = 0

Andaikan teorema fungsi implisit hold pada titik Andaikan teorema fungsi implisit hold pada titik (x(x00, y, y00) maka sama dengan fungsi g dan ) maka sama dengan fungsi g dan continuously differentiable pada neigborhood V continuously differentiable pada neigborhood V dari xdari xo o such that y = g (x) pada V. Pada (xsuch that y = g (x) pada V. Pada (x00, y, y00))

= - == - =

Which gives the slope of the level curve at [xWhich gives the slope of the level curve at [x00, , yy00].].

dydx

fx’ (x0, y0)fy’ (x0, y0)

-fx’ (x0, y0)-fy’ (x0, y0)


9393

- The Level curves of a production function defined The Level curves of a production function defined byby

Q = f (L, K) adalah isoquant. Slope Isoquant pada Q = f (L, K) adalah isoquant. Slope Isoquant pada titiktitik

[L[L0 0 , K, K00] adalah given by] adalah given by

The numerical value of dK/dL is called the The numerical value of dK/dL is called the marginal rate of technical substitution antar dua marginal rate of technical substitution antar dua input yaitu K dan L.input yaitu K dan L.

- Level curve of utility function defined by u = h - Level curve of utility function defined by u = h (x(x11, x, x22) )

indifference curve.indifference curve.

Slope = - Slope = - MRS MRS1.21.2

The Implicit Function Theorem for F (x, y) = 0,The Implicit Function Theorem for F (x, y) = 0,

x x R Rnn, y , y R R

dKdL

fl’ (L0,K0)fk’(L0,K0)

dx2

dx1

h1’(x1,x2)h2’(x1,x2)

= -


9494

4.13.6. Theorem (Implicit Function 4.13.6. Theorem (Implicit Function Theorem)Theorem)

Let F (x, y) be defined on a neighborhood U Let F (x, y) be defined on a neighborhood U containing containing [x[xoo, y, yoo] and ] and suppose thatsuppose that

(a) F (x(a) F (xoo, y, yoo) = 0) = 0(b) F(b) F11’, …, F’, …, Fnn’ dan F’ dan Fyy’ are continuous over U ’ are continuous over U

dandan(c) F(c) Fyy’ (x’ (xoo, y, yoo) ≠ 0) ≠ 0

Then there exist a function f defined over a Then there exist a function f defined over a neighborhood V neighborhood V R Rn n containing xcontaining xo o such thatsuch that

(i) y = f (x) on V(i) y = f (x) on V (ii) F (x, f(x)) (ii) F (x, f(x)) 0 on V 0 on V(iii)(iii) f adalah differentiable and has continuous f adalah differentiable and has continuous partial derivatives on Vpartial derivatives on V


9595


Let F (x, y) = 0 dimana x Let F (x, y) = 0 dimana x ЄЄ R Rnn. Suppose that . Suppose that conditions of the Implicit Function Theorem conditions of the Implicit Function Theorem hold at the point hold at the point [x[xoo, y, yoo]. Let f be the function ]. Let f be the function

such that y = f (x). Thensuch that y = f (x). Then = f’= f’i i (x(xoo) = -) = - , i = 1, 2, …, n , i = 1, 2, …, n

δyδxi

fi’ (xo, yo)fy’ (xo, yo)

4.13.8. Contoh4.13.8. Contoh

Fungsi produksi yang implisit given by F (L, K, Fungsi produksi yang implisit given by F (L, K, Q) = 0. Assuming the Implicit Function Theorem Q) = 0. Assuming the Implicit Function Theorem hold at [Lhold at [Loo, K, Koo, Q, Qoo], we can get Marginal Product ], we can get Marginal Product at [Lat [Loo, K, Koo] : ] : δQ

δKf’k (Lo, Ko, Qo)f’Q (Lo, Ko, Qo)

= -

δQδL

f’L (Lo, Ko, Qo)

f’Q (Lo, Ko, Qo)

= - Rolando DanaoRolando Danao

9696

4.13.9. Contoh4.13.9. ContohThe Balance BudgeThe Balance Budgett Theorem Theorem

Consider the following simple model of income Consider the following simple model of income determination :determination :

y = C + I + G (1)y = C + I + G (1)C = g (Z) (2) 0 < g’ (Z) < 1 C = g (Z) (2) 0 < g’ (Z) < 1 MPCMPCZ = Y – T (3)Z = Y – T (3)

Given IGiven Ioo, G, Goo, T, Too terdapat Y terdapat Yoo, C, Coo dan Z adalah solusi dan Z adalah solusi Eq.Eq.

Subtitusi persm. (2) (3) ke (1)Subtitusi persm. (2) (3) ke (1)Y = g (Y - T) + I + GY = g (Y - T) + I + G

(4)(4)Adalah Adalah

F (I, G, T, Y) = Y – g (Y – T) – I – GF (I, G, T, Y) = Y – g (Y – T) – I – G (5)(5)

We observe the following : We observe the following : (a)(a) F (IF (Ioo, G, Goo, T, Too, Y, Yoo) = 0 since the point [I) = 0 since the point [Ioo, G, Goo, T, Too, ,

YYoo]] satisfies persm. (4) satisfies persm. (4)


9797

(b) F(b) FII’, F’, FGG’, F’, FTT’ dan F’ dan FYY’ are continuous as seen ’ are continuous as seen below : below :

FFII’ (I, G, T, Y) = -1’ (I, G, T, Y) = -1FFGG’ (I, G, T, Y) = -1’ (I, G, T, Y) = -1FFTT’ (I, G, T, Y) = g’ (Y – T)’ (I, G, T, Y) = g’ (Y – T)FFYY’ (I, G, T, Y) = 1 - g’ (Y – T)’ (I, G, T, Y) = 1 - g’ (Y – T)

(c) F(c) FYY’ (I’ (Ioo, G, Goo, T, Too, Y, Yoo) = 1 – g’ (Y) = 1 – g’ (Yo o – T– Too) ≠ 0) ≠ 0The conditions of the Implisit Function Theorem The conditions of the Implisit Function Theorem hold; hence, there is a function f defined and hold; hence, there is a function f defined and differentiable on some neighborhood V containing differentiable on some neighborhood V containing [I[Ioo, G, Goo, T, Too] such that] such that Y = f (I, G, T) on VY = f (I, G, T) on VThe rate of change of Y with respect to any The rate of change of Y with respect to any exogenous variable (while holding the other exogenous variable (while holding the other exogenous variables constant) is called a exogenous variables constant) is called a multiplier. Specifically, multiplier. Specifically, δδY/Y/δδI, I, δδY/Y/δδG dan G dan δδY/Y/δδTT are are called the investment multiplier, the government called the investment multiplier, the government expenditure multiplier, and the tax multiplier, expenditure multiplier, and the tax multiplier, respectively.respectively.


9898

δδYYδδII = - FFII’’ (I, G, T, Y) (I, G, T, Y)

FFYY’’ (I, G, T, Y) (I, G, T, Y) = - -1

1 - f’ (Y-T)=

11 - f’ (Z)

δδYYδδGG= - FFGG’’ (I, G, T, Y) (I, G, T, Y)

FFYY’’ (I, G, T, Y) (I, G, T, Y) = - -1

1 - f’ (Y-T)=

11 - f’ (Z)

δδYYδδTT= - FFTT’’ (I, G, T, Y) (I, G, T, Y)

FFYY’’ (I, G, T, Y) (I, G, T, Y) = - f’ (Y-T)

1 - f’ (Y-T)= - f’ (z)

1 - f’ (Z)

Mis : Mis : dG = dT dI = 0dG = dT dI = 0Total differential dTotal differential dYY is given is given by by

dY = δδYYδδII

dI +δδYYδδGG

dG +δδYYδδTT

dT =δδYYδδGG

+ δδYYδδTT

δδYYδδGG

+ δδYYδδTT

dG

δδYYδδGG

+ δδYYδδTT

=1 – f’ (Z)1 – f’ (Z)

= 1

Sehingga, dY = dG


=

9999

The The IImplicit mplicit FFunction unction TTheorem heorem forfor SSimultaneous imultaneous EEquationquationss

FF1 1 (x(x11,, xx22, … x, … xnn ; ; yy11,, yy22,, …,…, yymm) = 0) = 0FF2 2 (x(x11,, xx22, … x, … xnn ; ; yy11,, yy22,, …,…, yymm) = 0) = 0.. .. .... .. .... .. ..FFm m (x(x11,, xx22, … x, … xnn ; ; yy11,, yy22,, …,…, yymm) = 0) = 0

The The IImplicit mplicit FFunction unction TTheoremheorem memberi kondisi memberi kondisi : :yy11 = = ff1 1 (x(x11,, xx22, … x, … xnn) = 0) = 0yy22 = = ff2 2 (x(x11,, xx22, … x, … xnn) = 0) = 0.. .. . ... .. . ... .. . .yym m = = ffn n (x(x11,, xx22, … x, … xnn) = 0) = 0


4.13.4.13.1010. . Theorem (Implicit Function Theorem)Theorem (Implicit Function Theorem)Given FGiven Fi i (x, y) , i = 1, 2, ..., m, (x, y) , i = 1, 2, ..., m, x x R Rnn, y , y R Rmm

Rolando DanaoRolando Danao 100100

Where FWhere Fi i is a real-valued function defined is a real-valued function defined on a neighborhood U on a neighborhood U RRn+m n+m containing containing [[xxoo,y,yoo]. Suppose that]. Suppose that

(a)(a) F Fi i (x(xoo,, yyoo) = 0 ) = 0 ,, i = 1, i = 1, 2,2, …,…, m m

(b) , i = 1,(b) , i = 1, 2,2, …,…, m m; ; k = 1,k = 1, 2,2, …,…, nn

, i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., m, i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., m

are continuous on U ; andare continuous on U ; and

(c) At the point [(c) At the point [xxoo,, yyoo], the Jacobian ], the Jacobian determinantdeterminant

δδFFii

δδXXkk

δδFFii

δδyyjj

101101

(c) At point (x(c) At point (xoo,y,yoo) adalah jacobian ) adalah jacobian determinant determinant δδFF11

δδyymm

…

…

…

.

.

.

≠ 0


δδFF11

δδyy22

δδFF11

δδyy11

δδFF22

δδyymm

δδFFmm

δδyymm

δδFF22

δδyy22

δδFF22

δδyy11

δδFFmm

δδyy22

δδFFmm

δδyy11

.

.

....

Then there exist real-valued functions fThen there exist real-valued functions f11, f, f22, , ..., f..., fm m defined on a neighborhood V defined on a neighborhood V RRn n

containing xcontaining xO O such that :such that :


(i) (i) y yi i = f= fii (x) on V(x) on V , , i i = 1, = 1, 2, …2, …,, m ;m ; (ii) (ii) F Fi i [x,[x, ffi i (x), …(x), …,, f fm m (x)] = 0(x)] = 0 on V , i = 1, 2, ..., m on V , i = 1, 2, ..., m ; ; (iii) (iii) ffi i (i(i == 1,1, 2,2, ……, m, m) adalah differentiab) adalah differentiablele and and hashas concontintinuuous partiaous partiall deri derivvatives atives onon V V. . Proof :Proof :

Sokolnikoff (1939)Sokolnikoff (1939)

Model contoh 4.13.9 dapat ditulisModel contoh 4.13.9 dapat ditulis : :

FF1 1 (I(I, G, T ; Y, C, Z, G, T ; Y, C, Z)) = Y – C – I – G = 0 = Y – C – I – G = 0

FF2 2 (I(I, G, T ; Y, C, Z, G, T ; Y, C, Z)) = C – g (Z) = 0 = C – g (Z) = 0

FF3 3 (I, G, T ; Y, C, Z(I, G, T ; Y, C, Z)) = Z – Y + T = 0 = Z – Y + T = 0

4.13.4.13.1111..Contoh. Balance Budget Theorem Contoh. Balance Budget Theorem AgainAgain

103103

4.16. Homogen4.16. Homogeneeous ous FunctionFunctionss

4.16.1. Def4.16.1. DefiinisinisiLet Let f : D f : D R R, , where where D D R Rnn. Fungsi . Fungsi f adalah f adalah homogenhomogeneeousous of degree r if and only if of degree r if and only if

ff ((ttx) = tx) = trr f f (x)(x) for every scalar for every scalar t > 0t > 0. Suatu . Suatu fungsi homogenfungsi homogeneeous ous

degree satu disebut lindegree satu disebut lineaearly hrly hoomogenmogeneeousous..

4.16.2. Remark4.16.2. Remarkss(1)(1) Mathematically, it is possible to define homogeneity Mathematically, it is possible to define homogeneity

that includes negative values of t but our use of that includes negative values of t but our use of homogeneous functions is confined to those whose homogeneous functions is confined to those whose domains take only non-negative values.domains take only non-negative values.

(2)(2) In some cases, it is useful to define homogeneity with In some cases, it is useful to define homogeneity with respect to a subject of the xrespect to a subject of the xjj’’ s.s.



4.16.3. Def4.16.3. Defiinisinisi

Let Let y = fy = f (x(x11,, xx22,, …,…, xxnn ;; uu11, …, u, …, umm)).. Fungsi Fungsi f f dikatakan dikatakan homogeneous degree r in homogeneous degree r in xx11,, …,…, xxnn pada (u pada (u11,, …,…, uumm))tt jhj jhj

ff (tx(tx11,, …,…, txtxnn, , uu11,, …,…, uumm) = t) = tr r ff (x(x11,, ……, , xxnn ;; uu11,, …,…, uumm))

For every scalar tFor every scalar t > 0.> 0.

105105

4.16.4. Contoh4.16.4. Contoh1. The functions defined by the following equations are 1. The functions defined by the following equations are

homogeneous with the indicated degrees :homogeneous with the indicated degrees :

(a) f(a) f (x(x11,x,x22) ) = = (degree (degree -2-2))

= = (t x= = (t x11-1-1)(tx)(tx22

-2-2) = t) = t-2-2

(b) f(b) f (x(x11,x,x22) ) == ((degree 0)degree 0)

= = tx= = tx11.t.t22-1-1 = t = too

(c) (c) ff (x(x11,x,x22) = ) = (degree ½) (degree ½)

(d) (d) ff ((LL,,KK) ) = = LLKK1-1- (degree 1)(degree 1)

(e) (e) ff (x(x11,, xx22, …,, …, xxnn) = x) = xttAx Ax (degree 2)(degree 2)

1x1x2

1tx1x2

x1

x2tx1

tx2

x13

x22

½


106106

2. 2. The The CobbCobb-D-Douglaouglass FFunctionunction is a function f:R is a function f:Rnn+ + R R

defined bydefined by

ff (x) (x) = = kk(x(x11))11(x(x22))22 … (x … (xnn))nn ; where; where kk > 0, > 0, ii > 0 > 0. . for for t > 0t > 0

ff (tx) (tx) = = kk(tx(tx11))11(tx(tx22))22 … (tx … (txnn))nn

= = kkttii(x(x11))11(x(x22))22 … (x … (xnn))nn

= t= tii f (x) f (x)

hence, f is homogeneous degree hence, f is homogeneous degree II, j, jika ika ii = 1 = 1 linlineaearly homogenousrly homogenous

3. 3. The The CES CES (C(Constanonstantt EElasticity of lasticity of SSubstitutionubstitution) is a ) is a function f:Rfunction f:Rnn

+ + R defined by R defined by

ff (x) = (x) = k k [[ i i xxii--]]-r-r//

where k > 0, r > 0, where k > 0, r > 0, > -1, > -1, 0, 0, i i > 0 (i = 1, 2, ..., > 0 (i = 1, 2, ..., n)n)

and and i i = 1= 1. for t > 0.. for t > 0.

Hence, f is homogeneous of degree r. In particular, f Hence, f is homogeneous of degree r. In particular, f is linearly homogeneous if and only if r = 1.is linearly homogeneous if and only if r = 1.

n

i=1



4.16.5. Remark4.16.5. RemarkThe The CCobbobb-D-Douglas ouglas PProdroductionuction FFunctionunction

ff (L,(L, K) = ALK) = ALKK

Where L and K are the labor and capital inputs, Where L and K are the labor and capital inputs, respectively, is homogeneous of degree respectively, is homogeneous of degree + + . In . In particular, if we double the inputs, we get particular, if we double the inputs, we get

ff (2L,(2L, 2K) = 22K) = 2++ ff (L,(L, K)K)if if ++ > 1 > 1 IIncreasing ncreasing RReturn to eturn to SScale (IRTS)cale (IRTS) ++ < 1 < 1 Decreasing Return to Scale (Decreasing Return to Scale (DRTSDRTS)) ++ = 1 = 1 Constant Return to Scale (Constant Return to Scale (CRTSCRTS))

4.16.6. Theorem4.16.6. TheoremLet y = f (Let y = f (xx1,1, xx22, , ..., ..., xxnn). If f is homogeneous of degree r, ). If f is homogeneous of degree r, then the partial derivatives are homogeneous of then the partial derivatives are homogeneous of degree r – 1.degree r – 1.

108108

4.16.4.16.88. Corollary. CorollaryJika suatu fungsi produksi adalah Constant Jika suatu fungsi produksi adalah Constant Return to Scale (CRTS), maka fungsi Marginal Return to Scale (CRTS), maka fungsi Marginal product-nya adalah homogeneous of degree zero product-nya adalah homogeneous of degree zero (homogen berderajat nol). (homogen berderajat nol).

4.16.4.16.99. Theorem (Euler’s Theorem). Theorem (Euler’s Theorem)Let Let D D R Rnn and letand let f : D f : D R adalah R adalah homogeneous homogeneous of degreeof degree r r..

Then Then

[f’[f’ (x)](x)]ttxx r r ff (x)(x)

Atau Atau

f’f’jj (x)(x) xxjj r r ff (x)(x)n

i=1



4.16.10. Contoh4.16.10. Contoh.. CobCobb-Db-Douglasouglas P Production roduction FFunctionunction defined by defined by

Q = fQ = f (K,(K, L) = KL) = K LL1-1-

is homogeneous of degree one. The marginal is homogeneous of degree one. The marginal product areproduct are f’f’K K (K,(K, L) = L) = KK-1-1LL1-1- f’f’L L (K,(K, L) = (1-L) = (1-)K)KLL--

dan udan untuk t > 0ntuk t > 0,,f’f’KK(tK,(tK, tL) = tL) = tt-1-1KK-1-1tt1-1-LL1-1- = = KK-1-1LL1-1- = f’ = f’K K (K,(K, L)L)f’f’LL(tK,(tK, tL) = (1-tL) = (1-)t)tKKtt--LL-- = (1- = (1-)K)KLL-- = f’ = f’LL(K,(K, L)L)Thus the marginal product function are Thus the marginal product function are homogeneous degreehomogeneous degree zero zero.. f’f’KK((KK,,LL)K + f’)K + f’LL(K,L)L = (K,L)L = KK--1L1L1-1-K + (1-K + (1-)K)KLL--LL

= = KKLL1-1- + (1-+ (1-)K)KLL1-1-

= K= KLL1-1- = f = f (K,L)(K,L)


4.16.17. Homothetic function4.16.17. Homothetic function

Recall that homogeneous functions Recall that homogeneous functions have the property that the slopes of have the property that the slopes of the level curves are the same at the level curves are the same at each point on a ray from the origin. each point on a ray from the origin. This property is also possessed by a This property is also possessed by a larger class of functions that contain larger class of functions that contain the homogeneous functions as a the homogeneous functions as a subclass. These are called the subclass. These are called the homothetic functions. homothetic functions.

chapter 4

Documents