Chapter 4

连续时间信号与系统的频域分析

Continuous-Time Signals & Systems Analysis in

Frequency-Domain

• 连续时间 LTI 系统的特征函数

•　周期信号与连续时间傅里叶级数

• 连续时间信号的傅里叶变换

• 常用信号的频谱及傅里叶变换的性质

• 连续时间 LTI 系统的频域分析方法

• 采样和采样定理

• 傅里叶分析在工程中的应用—通信系统

本章主要内容：

傅里叶的生平：•1768 年生于法国•1807 年提出“任何周期函数都可用正弦函数级数表示”•拉格朗日反对发表•1822 年首次发表在“热的分析理论”一书中•1829 年狄里赫利第一个给出收敛条件1768—1830

傅里叶最主要的两个贡献——

“周期函数都可以表示为成谐波关系的正弦函数的加权和”——傅里叶的第一个主要论点。

“ 非周期函数都可以用正弦函数的加权积分表示”——傅里叶的第二个主要论点。

4.0 引言 （ Introduction ） 时域分析方法的基本思想：

1. 将信号在时域分解成 或 的线性组合。( )t ( )n

( )h t

( )h n

2. 利用 LTI 系统的线性与时不变性，得出系统

的响应可以表示为单位冲激响应 或单位脉冲响

应 的线性组合—— 卷积积分与卷积和。

频域分析的基本思想与此相同，即：设法将任意信号分解成复指数单元信号的线性组合，利用 LTI

系统的线性与时不变性求得系统的响应。其响应应该是系统对复指数单元信号的响应的线性组合。

1. 本身简单，以便 LTI 系统对它的响应能简便得到。

2. 具有普遍性，能够用其构成相当广泛的信号。

• 从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满足两个要求：

4.1 连续时间 LTI 系统的特征函数( The Eigenfunction of Continuous-time LTI Systems )

考查 LTI 系统对复指数信号 的响应ste

( ) ( )ste h t y t

由时域分析方法， ( )( ) ( ) ( ) ( )s t st s sty t e h d e h e d H s e

( ) ( ) stH s h t e dt

其中：

ste 可见 LTI 系统对复指数信号的响应是很容易

求得的。说明 符合对单元信号的第一项要求。

特征函数（ Eigenfunction ）

如果系统对某一信号的响应只不过是该信号乘

以一个常数，则称该信号是这个系统的特征函数。

系统对该信号加权的常数称为该系统与特征函

数相对应的特征值 ( eigenvalue ) 。

复指数函数 是一切连续时间 LTI 系统的特征函数。 是系统与复指数信号相对应的特征值。

ste

( )H s

不同的 LTI 系统可能会有不同的特征函数，但只有复指数函数才能成为一切 LTI 系统的特征函数。

( ) is ti

i

x t a e ( ) ( ) is ti i

i

y t a H s e若： 则：

可见，只要能实现将信号分解为 的线性组合，系统对任何信号的响应就迎刃而解了。

ste

本章先研究 时的情况。s j

4.2 周期信号与连续时间傅里叶级数（ Periodic signals & Continuous-time Fourier Series )

成谐波关系的复指数信号集 :

其中，每个信号都是以 为周期的，公共周期为 ，且该集合中所有的信号都是彼此独立的。

0( ) { }jk tk t e

0

2

k

02 / | |

显然 也以 为周期，该级数就是傅里叶级数。( )x t0

2

若将该信号集合中所有的信号线性组合起来，有0( ) jk t

kk

x t A e

.

这表明：用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号。即 : 连续时间周期信号可以分解成无数多个谐波分量。

.壹 连续时间傅里叶级数（ CTFS):（ Continuous-time Fourier Series )

0( ) jk tk

k

x t A e

若 是实信号，则： ( ) ( )x t x t( )x t

k kA A

kk AA

或

( )x t 0 0 0jk t jk t jk tk k k

k k k

A e A e A e

将级数改写，可得到：

—— 傅里叶级数的三角函数形式。

令 可得到另一种三角函数形式 :kkk jbaA

0 00

1

( ) [ ]jk t jk tk k

k

x t A A e A e

kk

jkA A e

k kA A

是实数0A

0 01

2 cos( )k kk

A A k t

0 0

0

01

01

[ ]

2 Re[ ]

jk t jk tk k

k

jk tk

k

A A e A e

A A e

1000 )sincos(2)(

kkk tkbtkaAtx

由 : 和 可推得： kk AA

kjk kA A e

kk AA kk

kA

kA

表明： 的模是偶函数 , 的相角是奇函数。

,k k k ka a b b kkk jbaA

kk AA

由： 和 可推得：

kA

表明 : 的实部是偶函数 , 的虚部是奇函数。kA

对 LTI 系统，当输入周期信号时，由于

h(t)

tje 0 00( ) j tH j e

tjke 0 00( ) jk tH jk e

k

tjkkeAtx 0)(

00( ) ( ) jk t

kk

y t A H jk e

显然 , 也是一个傅里叶级数表达式 , 其系数是

0( )kA H jk( )y t

二 . 傅里叶级数的系数 :

如果以 为周期的信号 可以表示为傅里叶级数 :( )x t0T

00( ) ( ) jk tH jk h t e dt

其中 :

0( ) jk tk

k

x t A e

0 02 /T

0 0( )( ) jn t j k n t

kk

x t e A e

0 0

0 0( )

0 0( )

T Tjn t j k n tk

k

x t e dt A e dt

dteT tnkj0 0

0)( nk 0

0T k n0

000

( )T jn t

nx t e dt A T 0

0

00

1( )

T jn tnA x t e dtT

0

00

1( ) jk t

k TA x t e dt

T

三 . 频谱的概念 : （ Spectral ） 研究 中的每一个信号，它们除了成谐波关系外，每一个信号随时间 的变化规律都是一样的，差别仅仅是频率不同。

( )k tt

在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分量）间的区别也仅仅是幅度（可以是复数）和频率不同。 因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅度，用线段所在的位置表示其相对应的频率。

0

00

1( ) jk t

k TA x t e dt

T

0( ) jk t

kk

x t A e

1

0

1

2

1

2

00 0

如：分量 可表示为0j te

这样绘出的图称为 —— 频谱图

0 00

1cos ( )

2j t j tt e e

因此，当把周期信号 表示成傅里叶级数

时，就可以将 表示为

( )x t

( )x t0( ) jk tk

k

x t A e

00

0A1A

2A3A3A

2A1A

…… ……

020-2

频谱图其实就是将 随频率的分布表示出来，也即 的关系。由于信号的频谱完全代表了信号，研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，这种表示信号的方法称为频域表示法。

kA

~kA

四 . 周期性矩形脉冲信号的频谱 :

22 00T0T

t

( )x t1

0 0

2 2 022

0 0 0 0 0

2sin( 2)1 1jk t jk tk

kA e dt e

T jk T k T

00

0 0 0 0 0

sin( 2)Sa( 2) sinc( )

2

kk k

T k T T T

其中 sinSa( )

xx

x

sinsinc( )

xx

x

根据 可绘出 的频谱图。 称为占空比。( )x t0T

kA

Sa( )x

2

1

x0

Sinc( )x

x

1

1

2

1

20

0

1

2T

0

1

4T

0

1

8T

不变 时0T

0

1

2T

0

1

4T

0

1

8T

不变 时0T

周期性矩形脉冲信号的频谱特征： 1. 离散性 2. 谐波性 3. 收敛性考查周期 和脉冲宽度 改变时频谱的变化：0T

1.当 不变，改变 时，随 使占空比减小， 谱线间隔变小，幅度下降。但频谱包络的形状不

变，包络主瓣内包含的谐波分量数增加。 2. 当 改变， 不变时，随 占空比减小，谱线

间隔不变，幅度下降。频谱包络的主瓣变宽。包络主瓣内包含的谐波数量也增加。

0T

0T

0T

几点说明：1.关于负频率。 在频谱图中有的谱线对应的是负频率。在现实中，负频率当然是不存在的。但由于频率正、负对称的两个周期性复指数函数才代表一个实际存在的正弦函数，因此，在指数形式的傅里叶级数中就出现了负的频率分量。这只是数学表示的需要。在三角函数形式的级数中就不会有这种现象。

2.关于负振幅。 现实中当然不会有负的振幅存在。如果某个分量在频谱图中呈现为负振幅，就表明该分量拥有 的相位。

五 . 信号对称性与傅里叶级数的关系 :

对实信号 ，有( )x t kk AA

1 若 ( ) ( )x t x t 则：0 0 0( ) ( )

jk t jk t jk t

k k kk k k

x t A A x t Ae e e

k kA A 表明 关于 是偶对称的；

kA k

*kkA A

由于 表明 是实函数。

k kA A

kA

0 0

0

0

2 20020 0

1 2( ) ( ) cos

T Tjk t

TkA x t e dt x t k tdtT T

3 e o( ) ( ) ( )x t x t x t

k k kA a jb

则有：

e o( ) , ( )k kx t a x t jb

表明：实信号的偶部对应于 的实部；奇部对应于 的虚部。kA

kA

2 若 ( ) ( )x t x t 则有：k kA A

k kA A表明 关于 是奇对称的 ，且是纯虚数。

kA k

0 0

0

0

2 20020 0

1 2( ) ( )sin

T Tjk t

TkA x t e dt j x t k tdtT T

;k k k ka a b b

4.3 非周期信号与连续时间傅里叶变换：（ Aperiodic signals & Continuous-time Fourier

Transform )

一 .从傅里叶级数到傅里叶变换：

在工程应用中有相当广泛的信号是非周期信号，对非周期信号应该如何进行分解，什么是非周期信号的频谱表示，就是这一节要解决的问题。

在时域可以看到，如果一个周期信号的周期趋于无穷大，则周期信号将演变成一个非周期信号；反过来，如果将非周期信号进行周期性延拓，就一定能形成一个周期信号。

我们把非周期信号看成是周期信号在周期趋于无穷大时的极限，从而考查连续时间傅里叶级数在 T0

趋于无穷大时的变化，就应该能够得到对非周期信号的频域表示方法。

周期性矩形脉冲信号的傅里叶级数系数为：

0

0 0

sin( 2)

2k

kA

T k

当 增大时，频谱的幅度随 的增大而下降；谱线间隔随 增大而减小；频谱的包络形状不变。

0T 0T

0T

00

2

T

当 时 , 周期性矩形脉冲信号将演变成为非周期的单个矩形脉冲信号。

0T

当 时 , 00

2,d

T

0k 0T

由于 也随 增大而减小，并最终趋于 0 。0

0 0

sin( 2)

2k

kA

T k

0T

考查 的变化，它在 时应该是有限的。0 kT A

0T

于是 ,我们推断出 : 当 时 ,离散的频谱将演变成连续的频谱。

0T

00

0

/2

0 /2( )

T jk tk T

T A x t e dt

由

00lim ( )k

TT A X j

如果令 则有

( ) ( ) j tX j x t e dt

—— 连续时间傅里叶变换

与周期信号的傅里叶级数相比较有：

00

1( )kA X jk

T

这表明：周期信号的频谱就是与它相对应的非周期信号频谱的等间隔样本。

根据傅里叶级数表示：

0 0

0

00

0 0

1( ) ( )

1( )

2

jk t jk tk

k k

jk t

k

x t A e X jk eT

X jk e

当 时，0T ( ) ( )x t x t

00

2d

T

0k 于是有：

这表明，非周期信号可以分解成无数多个频率连续

分布的、幅度为 的复指数信号之和。 1

( )2X j d

1( ) ( )

2j tx t X j e d

—— 傅里叶反变换

( )X j

由于 具有频谱随频

率分布的物理含义，因而称 为频谱密度函数。0 0 0

0 0, 0

( ) lim lim ( / )k kT T f

X j T A A f

二 . 常用信号的傅里叶变换：( ) ( ), 0atx t e u t a 1.

0

1( ) at j tX j e e dt

a j

2 2

1( )X j

a

1( ) tgX ja

( )x t

t0

1

aa 0

1/ a( )X j

1 2 a

2

2

a a

( )X j

4

4

2. ( ) , 0a tx t e a

我们看到 : 实偶信号的傅里叶变换是实偶函数，此时可以用一幅图表示信号的频谱。

( ) 0X j

( )x t

t

1

00

0

2 2

( )

1 1 2

at j t at j tX j e e dt e e dt

a

a j a j a

( )X j2

a1

a

aa

0

3. ( ) ( )x t t

( ) ( ) 1j tX j t e dt

这表明 中包括了所有的频率成分 , 所有频率分量的幅度、相位都相同。因此单位冲激响应 才能完全描述一个 LTI 系统的特性， 才在信号与系统分析中具有如此重要的意义。

( )t( )h t

( )t

( )X j

0

1

0

( )t

t

（ 1 ）

4. Sgn( )t( )ate u t

( )ate u t t

1

10

( )x tSgn( )t1

1

t0

当 时 ,0a ( ) Sgn( )x t t0

0( ) at j t at j tX j e e dt e e dt

2 2

1 1 2, 0

ja

a j a j a

当 时 ,0a 2( )X j

j

2

Sgn( )tj

5. 矩形脉冲 : ( )x t 1, 2t 0, 2t

22

( )x t

t0

1

2 /2/22

1 2Sin( 2)( )

Sin( 2)Sa( 2) Sinc( )

2 2

j t j tX j e dt ej

显然，和对应的周期信号之间满足：

00

1( )kA X jk

T

( )X j

2

( 具有此频率特性的系统称为理想低通滤波器 ) ( )X j

W W

1

0

和矩形脉冲的情况相比较 , 可以发现：信号的时域特性和频域特性之间存在着一种对偶关系。

1 1( )

2 2

SinSa( ) Sinc( )

W j t j t WWW

x t e d ejt

Wt W W WtWt

t

( )x t

t

W

0

W

6. ( )X j 1 ，W

W 0，

上例的对偶关系如图 :

W W

1

0

( )X j

22 0

( )x t1

t2

( )X j

0

( )x tW

W

t0

同时可以看到，信号在时域和频域之间还有一种相反的关系，即信号在时域脉冲越窄，则其频谱的主瓣越宽，反之亦然。 对上例我们可以想到，如果 ，则 将趋于常数 1 。根据对偶关系，可以预见时域的常数 1 应该对应于频域的一个冲激函数。

( )x t

7. 若 ，则有( ) 1x t ( ) 2 ( ),X j

因为 1 1 1( ) ( )

2 2 2j te d d

所以 ( ) 1 2 ( )x t

8. ( ) ( )x t u t e o( ) ( ) ( )u t u t u t

1 1( ) ( ) ( ) ( )

2 2eu t u t u t

o

1 1( ) Sgn( )

2u t t

j

1

( ) ( )u tj

1/ 2

1/ 2

to ( )u t

01/ 2

te ( )u t

0

三 .信号的带宽： ( Bandwidth of Signals )

从信号的频谱，我们已经看到信号的主要能

量集中于低频分量。事实上， 传输信号的系统都

具有自己的频率特性。工程中在传输信号时，也

没有必要把信号的所有频率分量都有效地传输，

而只要保证将占据信号能量主要部分的频率分量

有效传输即可。因此，需要对信号定义带宽。通

常有如下定义带宽的方法 :

以矩形脉冲为例，按带宽的定义，可以得出，脉宽乘以带宽等于 C ( 脉宽带宽积是一个常数 ) 。这清楚地反映了频域和时域的相反关系。

1. 将频谱幅度下降到最大值的 时对应的频率范围作为信号的带宽。此时带宽内信号分量具有的能量是信号总能量的 1/2 。

1/ 2

2. 对包络是 形状的频谱，通常将其主瓣宽度( 即频谱第一个零点内的范围 ) 的一半定义为该信号的带宽。

Sa( )x

4.4 吉布斯现象： ( Gibbs phenomenon )

本节旨在解决将信号分解成复指数信号的线性组合时，这种方法所适用的广泛性问题。

一 . 傅里叶级数的收敛 :

傅里叶级数的收敛有两层含义：• 是否存在 ; • 级数是否收敛于 .kA

( )x t

用有限个谐波分量近似 时，有：( )x t

( )x t若 以 为周期0T0( ) jk t

kk

x t A e

0 02 /T

0( )N

jk tN k

k N

x t A e

误差为 ( ) ( ) ( )N Ne t x t x t

以均方误差作为衡量误差的度量，其均方误差为：

0 0

2 2

0 0

1 1( ) ( ) ( ) ( )N N NT T

E t e t dt x t x t dtT T

0 0

0

*

0

1( ) ( )

N Njk t jk t

k kTk N k N

x t A e x t A e dtT

在均方误差最小的准则下，可以证明：此时 应满足：

kA

0

00

1( ) jk t

k TA x t e dt

T

—— 这就是傅里叶级数的系数

这表明：傅里叶级数是在均方误差最小的准则下，对周期信号的最佳近似。

傅里叶级数收敛的两组条件：

1. 平方可积条件：如果 则 必存在 。 功率有限 ， 一定存在。

0

2( )

Tx t dt kA

( )x t kA

2. Dirichlet 条件：

1) 在任何周期内信号绝对可积0

( )Tx t dt

0

0 00 0

1 1( ) ( )jk t

k T TA x t e dt x t dt

T T

3) 在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点。

这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级数收敛的充分条件。相当广泛的信号都能满足这两组条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期信号具有相当广泛的适用性。

几个不满足 Dirichlet 条件的信号

2) 在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极值为有限值。

二 . 傅里叶变换的收敛：

根据傅里叶变换与傅里叶级数的关系，可以想到，傅里叶变换的收敛条件应该和傅里叶级数的收敛条件相类似。也有相应的两组条件：

1. 若2

( )x t dt

则 存在。( )X j

表明：所有能量有限的信号其傅里叶变换一定存在。

2. Dirichlet 条件 :

a. 绝对可积条件 ( )x t dt

b. 在任何有限区间内， 只有有限个极值点，且极值为有限值。

( )x t

c. 在任何有限区间内， ( )x t 只有有限个第 1类间断点。 应当指出：这两组条件并不等价，这些条件也只是傅里叶变换存在的充分条件，

例如： 是平方可积的，但是并不绝对可积。Sin t

t

都不绝对可积，但其傅里叶变换却存在。( ),u t Sgn( )t

三 . 吉布斯现象：

满足 Dirichlet 条件的信号，其傅里叶级数是如何收敛于 的。特别当 具有间断点时，在间断点附近，如何收敛于 ？

( )x t ( )x t( )x t

1898 年 Michelson 在用谐波分析仪研究周期信号时，发现了意想不到的情况：对方波信号，用各个谐波叠加时，在信号的间断点处总有振荡和超量，而且它们并不随着所取的谐波分量数增加而减小。

1N 3N

7N 19N

100N

1899 年 Gibbs 解释了这一现象。

傅里叶级数在信号的连续点处收敛于信号本身，在间断点处收敛于间断点左右极限的平均值。用有限项傅里叶级数来表示有间断点的信号时，在间断点附近不可避免的会出现振荡和超量。超量的幅度（ 9％）不会随项数的增加而减小。只是随着项数的增多，振荡频率变高，并向间断点处压缩，从而使它所占有的能量逐步减少。 这正是由于傅里叶级数是在均方误差最小的准则下对信号的最佳近似所导致的必然结果。

Gibbs 现象表明：