chƢƠng 1 tÍch phÂn bỘi -...
TRANSCRIPT
CHƢƠNG 1
TÍCH PHÂN BỘI
I. Tích phân kép (Tích phân bội 2)
II. Tích phân bội 3.
1. Định nghĩa.
2. Các tính chất.
3. Cách tính tích kép.
4. Ứng dụng của tích phân kép
I. TÍCH PHÂN KÉP
I. TÍCH PHÂN KÉP
1. Đinh nghia tich phân kép.
Cho ( , )z f x y xac đinh trong miên đong , bi
chăn D. Ta chia miên D tuy y thanh n manh
nho Di có diên tich la , 1,iS i n va đương
kinh là di tương ứng. Lây tuy y điêm i iM D .
Ta lập tông
1
( , ).n
n i i ii
I f x y S
đươc goi la tông tich phân cua ham sô ( , )f x y
trong miên D.
I. TÍCH PHÂN KÉP
I. TÍCH PHÂN KÉP
1. Đinh nghia tich phân kép.
Tich phân kép cua ham sô ( , )z f x y theo
miên D là giới hạn cua tông tích phân khi
max 0id va đươc ki hiêu la:
1max 0
( , ) lim ( , ).
i
n
i i inidD
f x y dS f x y S (*)
trong đo, D là miền lấy tích phân, f đươc goi
là hàm dƣới dấu tích phân, dS đươc goi là yếu
tố diện tích.
I. TÍCH PHÂN KÉP
1. Đinh nghia tich phân kép
Chú ý 1.
i) Nếu tích phân bên VT(*) tồn tại, thì ta nói hàm ( , )f x y kha tích trong D .
ii) Nếu ( , )f x y liên tục trong miên đong, bi chăn D thì giới hạn bên VP(*)
tồn tại không phụ thuộc vào cách chia miên D và cách chon điêm Mi.
iii) Nếu ( , )f x y = 1, ( , )x y D thì diên tích cua D cho bởi công thức
D
D
S dS
iv) Nếu ( , )f x y liên tục, không âm ( , )x y D thì thê tích hình trụ xét
ở trên tính cho bởi công thức
( , )D
D
V f x y dS
I. TÍCH PHÂN KÉP
1. Đinh nghia tich phân kép
Chú thích.2.
Do tích phân kép không phụ thuộc vào cách chia
miên D nên ta có thê chia miên D bởi cac đương
thẳng song song với trục Oy (cach đêu nhau 1
khoang x ) va cac đương thẳng song song với
trục Ox (cach đêu nhau 1 đoạn y ). Khi đo
dS dxdy . Nên ta thương dùng ký hiêu:
( , ) ( , )D D
f x y dS f x y dxdy
I. TÍCH PHÂN KÉP
2. Các tính chất của tích phân kép Gia sư ( , )f x y va ( , )g x y kha tich trên D va , . Khi đo
1) Nếu ( , )f x y = 1, ( , )x y D thì diên tích miên D là
D
D
S dS
2) ( , ) ( , )D
f x y g x y dS
( , ) ( , )D D
f x y dS g x y dS
3) Nếu chia D thành các miên D1, D2 không dẫm lên nhau thì
1 2
( , ) ( , ) ( , )D D D
f x y dS f x y dS f x y dS
I. TÍCH PHÂN KÉP
2. Các tính chất của tích phân kép
4) Nếu ( , ) ( , ), ( , )f x y g x y x y D , thì
( , ) ( , )D D
f x y dS g x y dS
5) Nếu ( , ) , ( , )m f x y M x y D va m ,M- const, thì
( , )D D
D
mS f x y dS MS ,
6) Nếu ( , )f x y liên tục trong miên bi chăn, đong D thì trong D
có ít nhât một điêm ( , )x y sao cho
( , ) ( , )D
D
f x y dS f x y S
I. TÍCH PHÂN KÉP
3. Cách tính tích phân kép
3.1. Trong hệ tọa độ Đề Các
Trƣờng hợp 1. Nếu D=[ , ] [ , ]a b c d thì
( , ) ( , ) ( , )b d d b
D a c c a
f x y dxdy dx f x y dy dy f x y dx
Chú ý. Đăc biêt nếu ( , ) ( ) ( )f x y x y thì
( , ) ( ) ( )b d
D a c
f x y dxdy x dx y dy
I. TÍCH PHÂN KÉP
3. Cách tính tích phân kép
3.1. Trong hệ tọa độ Đề Các
Trƣờng hợp 2. Nếu D = 1 2
{( , ) : , ( ) ( )}x y a x b y x y y x , thì
2
1
( )
( )
( , ) ( , )y xb
D a y x
f x y dxdy dx f x y dy
I. TÍCH PHÂN KÉP
3. Cách tính tích phân kép
3.1. Trong hệ tọa độ Đề Các
Trƣờng hợp 3. Nếu D = 1 2
{( , ) : , ( ) ( )}x y c y d x y x x y , thì
2
1
( )
( )
( , ) ( , )x yb
D a x y
f x y dxdy dy f x y dx
I. TÍCH PHÂN KÉP
Phương pháp tính:
B1. Vẽ miền lấy tích phân D.
B2. Dựa vào miền D để xác đinh cận.
Nếu miền D phức tạp thì ta chia
miền D thành những miền nhỏ
không có phần trong chung.
B3. Áp dụng công thức Fubini và các
tính chất tích phân để tính.
I. TÍCH PHÂN KÉP
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tính 2 2(16 2 )D
I x y dxdy , với [0,2] [0,2].D
Ví dụ 2. Tính lnD
xI ydxdy
y, với [0,2] [1, ].D e
Ví dụ 3. Tính
D
I xydxdy ,
với miên D giới hạn bởi 22 , .y x y x
Ví dụ 4. Tính ( )D
I x y dxdy , D là OAB với O(0,0), A(1,1),
B(2,0).
Ví dụ 5. Tính 2| |
D
I y x dxdy , với [ 1,1] [0,1].D
I. TÍCH PHÂN KÉP
VÍ DỤ
Ví dụ 6. Tính 2
1 1
0
x
y
I dy e dx ,
Ví dụ 7. Tính
1 13
0
sin( 1)y
I dy x dx ,
Phương pháp thay đổi thứ tự lấy tích phân
B1. Xac đinh miên D.
B2. Vẽ miên D.
B3. Thay đôi thứ tự (viết kết qua)
I. TÍCH PHÂN KÉP
Ví dụ 8. Thay đổi thứ tự lấy tích phân của các
tích phân sau
a)
21
0 0
( , )y y
dy f x y dx
b)
2
2
2 16
0 8
( , )x
x x
dx f x y dy
c)
2
2
2 43
3 12
( , )y
y
dy f x y dy
I. TÍCH PHÂN KÉP 3. Cách tính tích phân kép
3.2. Đổi biến
Trƣờng hợp 1. Sang toạ độ cong ( , ), ( , )x x u v y y u v (* )
Gia sư rằng:
i) ( , ), ( , )x x u v y y u v là các hàm liên tục va cac đạo hàm riêng liên
tục trong miên đong D’ cua măt phẳng uvO .
ii) Các công thức (*) xac đinh một song ánh từ D lên D’
3i) Đinh thức Jacobi J =
( , )0
( , )
u v
u v
x xD x y
D u v y y trong D’.
Khi đo
'
( , ) ( ( , ), ( , ))D D
f x y dxdy f x u v y u v J dudv
I. TÍCH PHÂN KÉP
VÍ DỤ
Ví dụ 9. Tính 3( )
D
x y dxdy , với D là miên giới hạn bởi
1, 3; 2, 5.x y x y x y x y
Ví dụ 10 . Tính
D
xy dxdy , với D là miên giới hạn bởi
2 2 2 2, 2 , , 3 y x y x x y x y
Ví dụ 11 . Tính arcsinD
x y dxdy ,
với { 0, 1, 1, 1}.D x y x y y y
I. TÍCH PHÂN KÉP Trƣờng hợp 2. Sang toạ độ cực. Xét miên D như hình vẽ.
Vẽ 2 tia OA, OB tiếp xúc với miên D và
, ; ,Ox OA Ox OB .
Khi đo 1 2
,
OM OM OM
M DOx OM
Đăt cos
sin
x r
y r 0 2 .
Đinh thức Jacobi J = r trong D’ , với D’:
1 2( ) ( )r r r
Khi đo '
( , ) ( cos , sin )D D
f x y dxdy f r r rdrd
I. TÍCH PHÂN KÉP
Chú ý 1. Ta chỉ đôi sang hê toa độ cực khi:
- Ham dưới dâu tich phân co chứa 2 2x y , đồng
thơi miên D giới hạn bởi cac đương thẳng đi qua O.
- Miên lây tich phân D la hình tròn, hình tròn lêch,
giới hạn cua hai hình tròn, hoăc đương cong co chứa
2 2x y .
I. TÍCH PHÂN KÉP
Chú ý 2.
- Với những miên lây tich phân nao ma bạn co thê vẽ
hình đươc thì nên vẽ ra vì như thế sẽ dễ dang xac
đinh cận lây tich phân hơn.
- Trước khi chuyên cận, bạn nên chú ý xem miên D
và hàm lây tích phân có tính chât đôi xứng không?
Điêu này sẽ giúp ta thu hẹp miên lây tích phân:
- Đê xac đinh chính xác cận tích phân, ta phai xét
trong toa độ cực thông thương, không xét trong toa
độ cực mở rộng. Nghĩa la: 0, 0 2r .
I. TÍCH PHÂN KÉP
VÍ DỤ
Ví dụ 12. Tính ( )D
x y dxdy ,
với 2 2 2 2{ 1, 4, 0, }.D x y x y y y x
Ví dụ 13. Tính 2 24
D
x y dxdy ,
với 2 2{ 4, , 3, }.D x y y x y x y x
Ví dụ 14. Tính 2 2
D
x y dxdy , 2 2{ 2 , }.D x y x y x
Ví dụ 15. Tính ( )D
x y dxdy ,2 2 2 2{ 2 , 2 }.D x y x x y y
I. TÍCH PHÂN KÉP
3. Cách tính tích phân kép
Trƣờng hợp 3. Sang toạ độ cực mở rộng.
Dạng 1. Miên D là hình tròn 2 2 2( ) ( )x a y b R
Đăt cos
sin
x a r
y b r 0 ,0 2r R .
Khi đo, đinh thức Jacobi
cos sin
sin cos
r
r
x x rJ r
y y r
Khi xac đinh cân cua r, ta xem như gôc toa độ trùng với tâm I(a,b).
I. TÍCH PHÂN KÉP
3. Cách tính tích phân kép
Trƣờng hợp 3. Sang toạ độ cực mở rộng.
Dạng 2. Miên D là hình Elipse 2 2
2 21, 0, 0
x ya b
a b
Đăt
cos
sin
xr
a
yr
b
0 1,0 2r .
Khi đo, đinh thức Jacobi
cos sin
sin cos
r
r
x x a arJ abr
y y b br
I. TÍCH PHÂN KÉP
VÍ DỤ
Ví dụ 16. Tính (2 )D
x y dxdy ,
với 2 2{( 1) ( 2) 4, 1}.D x y x
Ví dụ 17. Tính ( 1)D
x dxdy ,
với 2 2
{ 1, 0, 0}.9 4
x yD x y
Ví dụ 18. Tính
D
x dxdy , với 2 2
{ 1, , 0}.3 1
x yD x y y
I. TÍCH PHÂN KÉP
4. Ứng dụng của tích phân kép
4.1. Ứng dụng hình học
a) Diện tích miền D. D
D
S dxdy
b) Tính thể tích vật thể
i) Vật thê đươc giới hạn trên bởi ( , )z f x y , giới hạn dưới bởi
miên D và giới hạn xung quanh bởi cac đương thẳng song song với Oz,
tựa trên biên D.
( , )D
D
V f x y dxdy
ii) Vật thê đươc giới hạn trên bởi 1 1
( , )z f x y , giới hạn dưới
bởi 2 2
( , )z f x y và giới hạn xung quanh bởi cac đương thẳng song
song với Oz, tựa trên biên D.
1 2[ ( , ) ( , )]
D
D
V f x y f x y dxdy .
I. TÍCH PHÂN KÉP
VÍ DỤ
Ví dụ 19. Tính diên tích hình phẳng giới hạn bởi cac đương
2 2 2 2, 2 , , 3 y x y x x y x y .
Ví dụ 20: Tính thê tích vật thê V giới hạn bởi: 2 2 2 2 1; và 1.x y x y z z
Ví dụ 21: Tính thê tích vật thê V giới hạn bởi phân hinh tru 2 2 1x y va hai măt phẳng 5 0, 2.x y z z
Ví dụ 22. Tính thê tích vật thê V giới hạn bởi phân hinh tru 2 2 2x y y nằm trong hinh câu 2 2 2 4x y z .
I. TÍCH PHÂN KÉP
4. Ứng dụng của tích phân kép
4.1. Ứng dụng hình học
c) Diện tích mặt cong
Măt cong S trơn, co phương trình ( , )z f x y . Hình chiếu vuông
góc cua S trên Oxy la D. Khi đo diên tích măt S đươc tính theo công
thức:
2 21 x y
D
S z z dxdy
VÍ DỤ
Ví dụ 23. Tính diên tích phần măt 2 24 z x y nằm trong hình trụ
2 2 2x y .
Ví dụ 24. Tính diên tích cua phần hình trụ 2 2 2 x y a bi cắtt bởi
hình trụ 2 2 2x z a .
I. TÍCH PHÂN KÉP
4. Ứng dụng của tích phân kép
4.2. Ứng dụng cơ học
a) Tính khối lƣợng của một bản phẳng không đồng chất. Cho một
ban phẳng chiếm miên D trong Oxy . Hàm khôi lương riêng ( , )x y .
Khôi lương m cua ban phẳng cho bởi công thức:
( , )D
m x y dxdy
b) Trọng tâm của bản phẳng. Cho một ban phẳng chiếm miên D trong
Oxy . Hàm khôi lương riêng là ( , )x y . Goi ( , )G G
G x y là trong tâm cua
ban phẳng. Khi đo
( , ) ( , )
; ( , ) ( , )
D DG G
D D
x x y dxdy y x y dxdy
x yx y dxdy x y dxdy
1. Định nghĩa tích phân bội 3.
2. Các tính chất tích phân bội 3.
3. Cách tính tích phân bội 3.
4. Ứng dụng tích phân bội 3.
II. TÍCH PHÂN BỘI BA
I. TÍCH PHÂN BỘI BA
1) Đinh nghia tich phân bội ba
Cho ham sô ( , , )f x y z xac đinh trong một
miên đong , bi chăn 3V . Chia miên V tuy y
thanh n m iên nho iV va thê tich cua chung la
iV
(i = 1,…,n) va đương kinh cua miên la di. Lây tuy y
một điêm ( , , )i i i iM
iV . Lập tông
1
( , , ).n
n i i i ii
I f V
Tông trên đươc goi la tông tich phân cua ham sô
( , , )f x y z theo miên V .
II. TÍCH PHÂN BỘI BA
1) Đinh nghia tich phân bội ba
Tich phân bội ba cua ham sô ( , , )f x y z theo
miên V là giới hạn cua tông tích phân khi
max 0id va đươc ki hiêu la:
max 01
( , , ) lim ( , , ).i
n
i i i idiV
f x y z dV f V
trong đo, V là miền lấy tích phân, ( , , )f x y z đươc
goi là hàm dưới dấu tích phân, dV đươc goi là yếu
tố thể tích.
II. TÍCH PHÂN BỘI BA
1) Đinh nghia tich phân bội ba
Chú ý.
i) Nếu ham ( , , )f x y z kha tich trên miên V , thì
tích phân bên vế trái tồn tại.
ii) Nếu ( , , )f x y z liên tục trong miên bi chăn, đong
V thì giới hạn bên VP tồn tại và không phu thuôc
vao cach chia miên V va cach chon điêm i iM V
iii) Nếu ( , , )f x y z liên tục trong miên bi chăn, đong
V thì nó kha tích trong miên ây.
II. TÍCH PHÂN BỘI BA
1) Đinh nghia tich phân bội ba
Chú ý.
iv) Tích phân bội ba không phụ thuộc vào cách chia miên V và cách
chon điêm Mi nên có thê chia V bởi các măt phẳng song song với các
măt phẳng toạ độ. Khi đo dV dxdydz , nên
( , , ) ( , , )V V
f x y z dV f x y z dxdydz
v) Nếu ( , , )f x y z liên tục, không âm ( , , )x y z V là hàm khôi lương
riêng cua vật thê V , thì khôi lương m cua V cho bởi công thức:
( , , )V
m f x y z dV
vi) Nếu ( , , )f x y z =1, ( , , )x y z V thì thê tích cua V cho bởi công
thức
V
V dV
II. TÍCH PHÂN BỘI BA
2. Các tính chất của tích phân bội ba
Tương tự các tính chât cua tích phân kép.
II. TÍCH PHÂN BỘI BA
3) Cách tính tích phân bội ba
3.1. Trong hệ tọa độ Đề Các
a) Nêu [ , ] [ , ] [ , ]V a b c d m n thì
( , , ) ( , , )b d h
V a c g
f x y z dxdydz dx dy f x y z dz
b) Nếu
1 2
1 2
{( , ) : , ( ) ( ),
( , ) ( , )}
V x y a x b y x y y x
z x y z z x y
thì
2 2
1 1
( ) ( , )
( ) ( , )
( , , ) ( , , )y x z x yb
V a y x z x y
f x y z dxdydz dx dy f x y z dz
II. TÍCH PHÂN BỘI BA
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tính ( )V
x y z dxdydz ,
với V = [0,1] [0,2] [0,3] .
Ví dụ 2. Tính
V
xdxdydz ,
với { 1, 0, 0, 0}V x y z x y z .
Ví dụ 3. Tính 2
V
x dxdydz ,
với 2{ 1, , 0}V y z y x z .
Ví dụ 4. Tính ( )V
x z dxdydz ,
với 2 2 2 2{ 1, 2 , 0}V x y z x y z .
II. TÍCH PHÂN BỘI BA
3) Cách tính tích phân bội ba
3.2. Đổi biến
a) Công thức đôi biến tông quát
( , , ), ( , , ), ( , , )x x u v w y y u v w z z u v w
thì
'
( , , ) ( , , )V V
f x y z dxdydz F u v w J dudvdw
trong đo
( , , ) ( ( , , ), ( , , ), ( , , ))F u v w f x u v w y u v w z u v w
và
( , , ) 0
( , , )
u v w
u v w
u v w
x x x
D x y zJ y y y
D u v w
z z z
II. TÍCH PHÂN BỘI BA
b) sang toạ độ trụ
Công thưc đôi biên
Đăt
cos , 0,
sin , [0,2 ]
,
x r r
y r
z z
Ta có
r z
r z
r z
x x x
J y y y r
z z z
thì
'
( cos , sin , )V V
fdV f r r z rd drdz
II. TÍCH PHÂN BỘI BA
VÍ DỤ
Ví dụ 5. Tính 2 2
V
z x y dxdydz , với V là khôi hình trụ giới hạn
bởi 0z , 1z và 2 2 2 .x y y
Ví dụ 6. Tính 2 2
V
x y dxdydz , với V là khôi hình trụ giới hạn
bởi 4z , 2 21z x y và 2 2 1.x y
Vi dụ 7. Tính
V
zdxdydz trong đo V đươc giới hạn bởi các măt
2 2 = z x y và 1z .
Vi dụ 8. Tính 2 2( )V
x z dxdydz trong đo V đươc giới hạn bởi
các măt 2 2 2x z y và 2y .
II. TÍCH PHÂN BỘI BA
c) sang toạ độ cầu
Công thưc đôi biên
cos sin , 0,
sin sin , [0,2 ],
cos , [0, ].
x r r
y r
z r
Ta co
2
sin
r
r
r
x x x
J y y y r
z z z
Thì 2
'
( , , ) sinV V
f dxdydz F r r d d dr
Trong đo ( , , ) ( cos sin , sin sin , cos )F r f r r r
II. TÍCH PHÂN BỘI BA
VÍ DỤ
Ví dụ 9. Tính 2 2( )V
x y dxdydz ,
với 2 2 2 2{ , 0}V x y z R z
Ví dụ 10. Tính 2 2 2
V
x y z dxdydz ,
với 2 2 2{ }V x y z z
Ví dụ 11. Tính 2 2 2
V
x y z dxdydz ,
với 2 2 2 2 2{ , }V x y z x y z z
II. TÍCH PHÂN BỘI BA
VÍ DỤ
Vi dụ 12. Tính ( )V
y z dxdydz ,
với 2 2 2{ 0, 2 }V z x y z y
Vi dụ 13. Tính
V
z dxdydz ,
với 2 2 2{ 1, 2 }V z x y z z
Vi dụ 14. Tính 2 2
1
V
dxdydzx y
,
với 2 2 2 2 2{ 0, 1, 4}V z x y x y z
II. TÍCH PHÂN BỘI BA
4. Ứng dụng của tích phân bội 3
i) Thê tích cua vật thê V cho bởi công thức
V
V dV
Chú ý. Ta có thê sư dụng tich phân kép đê tính thê tích vật V. Như
trong một sô trương hơp ta sư dụng tích phân bội ba tinh nhanh hơn, vì
tích phân bội ba co cach đôi biến sang toa độ trụ hoăc toa độ cầu.
ii) Nếu ( , , )f x y z là hàm khôi lương riêng cua vật thê V , thì khôi lương
cua vật thê đươc cho bởi công thức:
( , , )V
m f x y z dV
II. TÍCH PHÂN BỘI BA
VÍ DỤ Vi dụ 15. Tính thê tích vật thê
2 2 2 2 2 2 2 2{ 1, 4, }V x y z x y z z x y
ĐS: (14 7 2)3
Vi dụ 16. Tính thê tích vật thê 2 2{ 2 , 3, 3}V x y x x z x z
ĐS: 4
Vi dụ 17. Tính thê tích vật thê 2 2 2 2 2 2{ 4, 4 }V x y z x y z z
ĐS: 10
3
Hết chƣơng 1