chƯƠng 3 (tiếp theo) ng d ng nguyÊn hÀm - tÍch phÂn · Ứng dỤng nguyÊn hÀm - tÍch...

HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

CHƯƠNG 3 (Tiếp theo)

ỨNG DỤNG NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

Chủ đề 3 : (tiếp theo)

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH – THỂ TÍCH

Bài 49: Thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép

quay xung quanh trục Ox của hình giới hạn bởi trục Ox

và đường ( )sin , 0y x x = . Ta được kết quả:

A. 2

.2

B.

2

.4

C. 2

.6

D.

2

.2

Giải:

Ta có: 2

2

0 0 0

1 cos2 sin 2sin

2 2 2 2

x xV xdx dx x

−

= = = − =

Chọn A.

Bài 50: Cho đường cong có phương trình, trong đó ( )g y là hàm số liên tục trê đoạn ;e d . Xét hình

giới hạn bởi đường cong ( )x g y= , đường cong ,y e y d= = và 0x = . Quay hình đó xung quanh trục

tung 0x = ta được một khối tròn xoay có thể tích bằng:

A. ( )3

d

e

g x dx . B. ( )d

e

g y dy . C. ( )2

d

e

g x dx . D. ( )2

d

e

g y dy .

Giải:

Theo công thức SGK. D đúng

Chọn D.

Bài 51: Gọi K là phần mặt phẳng được giới hạn bởi hai trục tọa độ, đường thẳng 1x = và đường cong

có phương trình 2

2 6

xy

x x=

−. Khi đó, diện tích hình K là:

A. . B . .2

C. .

3

D. .

4

Giải:

x

y

π

2

π

1

O

https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/



Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ta có: 1 2

2 60

4

xS dx

x x

= =

− .

Chọn D.

Bài 52: Cho hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, trục tung và các đường 21;x y xe= = . Thể tích của

vật thể tròn xoay khi cho hình này quay xung quanh trọc Ox là:

A. 41.

3e B. ( )2 1e + . C. ( )3e − . D. ( )2 3e + .

Giải:

Thể tích cần tính: ( )1

22 4

0

1

3V xe dx e = = .

Chọn A.

Bài 53: Gọi K là hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và đường parabol 23 3 6y x x= − + + . Cho Q quay

xung quanh trục Oy, ta nhận được hình tròn xoay có thể tích bằng:

A. 10,5 . B. 66 . C. 68,9 . D. 72,9 .

Giải:

Phương trình hoành độ giao điểm 2

13 3 6 0

2

xx x

x

= −− + + =

=

Thể tích cần tính ( )2

22

1

3 3 6 72,9V x x dx −

= − + + = .

Chọn D.

Bài 54: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh trục Oy của hình giới hạn bởi

đường hypebol 2

xy

= , đường thẳng 1, 4y y= = và 0x = . Kết quả tình được là:

A. 3 . B. 5 . C. 8 . D. 10 .

Giải:

24

1

23V dy

y

= =

.

Chọn A.




Bài 55: cho hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, trục tung và các đường , sin4

y y x

= = . Thể tích của

vật thể tròn xoay khi cho hình này quay xung quanh trục Ox là:

A. ( )2 . − B. ( )2 .8

− C. ( )1

2

− . D.

1.

3 2

−

Giải:

Ta có: ( ) ( )4 4 4

2

0 0 0

sin 2sin 1 cos2 2

2 2 2 8

xV xdx x dx x

= = − = − = −

.

Chọn B.

Bài 56: Cho hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, trục tung và các đường cos ,4

y x x

= = . Thể tích của

vaath thể tròn xoay khi cho hình này quay xung quanh trục Ox là:

A. 23

.7

B.

216

15

. C. ( )2

8

+ . D.

( )2

3 1.

4

+

Giải:

Ta có: ( )4

2

0

cos 28

V xdx

= = + .

Chọn C.




Bài 57: Cho đường cong có phương trình

( )x g y= trong đó ( )x g y= là một hàm số

liên tục trên đoạn ;a b . Nếu hình giới hạn

bởi các đường ( ), ,x g y y a y b= = = và

0x = quay xung quanh trục Oy thì thể tích

V của vật thể tròn xoay sinh ra được tính

theo công thức:

A. 2

b

a

V y dy=

B. 2

b

a

V y dy= .

C. 22

b

a

V y dy= .

D. 2

b

a

V x dy= .

Giải:

2

b

a

V x dy= .

Chọn D.

Bài 58: Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình elip 2 2

1x y

a b+ = khi elip này quay xung quanh trục

Ox là:

A. 6. B. 13. C. 24

3ab . D. 22.

Giải:

Ta có: ( )3

2 2 32 2 2 2

2 2

0

22

3

a a

a b

b b xV y dx a x dx a x

a a

−

= = − = −

2 33 2

2

2 4

3 3

b aa ab

a

= − =

.

Chọn C.

x = g(y)

x

y

a

O

b




Bài 59: a)

Cho D là miền kín giới hạn bởi các đường

, 2y x y x= = − và 0.y = Diện tích của miền D là:

A. 1

.2

B. 3

.2

C. 7

.6

D. 8

.7

Giải:

Hoành độ giao điểm của hai đường thẳng , 2y x y x= = − là 0 1x = . Ta có: D B C= +

, trong đó B là miền kín giới hạn bởi các đường , 1, 0y x x y= = = và C là miền kín giới hạn

bởi các đường 2 , 1, 0y x x y= − = =

Diện tích miền B

1

0

2(dvdt)

3xdx= =

Diện tích miền C 1

(dvdt)2

= .

Vậy diện tích miền D là 7

6 (đvdt).

Chọn C.

Bài 59: b)

Cho D là miền kín giới hạn bởi các đường , 2y x y x= = − và 0.y = Thể tích vaath thể tạo thành khi

ta quay D quanh trục Oy là:

A. 32

.15

B.

7.

4

C.

5

3

. D.

9.

4

Giải:

Đặt ( ) ( ) ( )0;1 , 1;1 , 2;0 ,M N P Gọi 1V là thể tích của vật thể sinh ra khi quay hình thang

OMNP quanh trục Oy (xem hình ở đề bài), 2V là thể tích của vật thể sinh ra khi quay phần mặt

phẳng giới hạn bởi các đường ; 0; 0; 1y x x y y= = = = và V là thể tích cần tìm, Ta có:

1 2V V V= −

1

7

3V

= (đvtt).

1

2

2

05

V y dy

= = (đvtt)

x

y

P

MN

O




32

15V

= (đvtt).

Chọn A.

Bài 60: Tính diện tích S của miền phẳng giới hạn bởi các đường 2sin sin 1y x x= + + ;

0; 0; .2

y x x

= = =

A. 3

.4

S = B. 3

.4

S

= C. 4 3

3S

+= . D. Đáp án khác.

Giải:

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng Ta có: ( )2

2

0

sin sin 1S x x dx

= + + .

Chọn B.

Bài 61: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường 1

; 0; 0;1 cos 2

y y x xx

= = = =

+.

A. 2

S

= . B. 1S = . C. 4

S

= . D. 1

3S = .

Giải:

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng Ta có: 2

0

1

1 cosS dx

x

=+

.

Chọn D.

Bài 62: thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi các hình phẳng giới hạn bởi các đường 1

2 2 ; 1; 2; 0x

y x e x x y= = = = . Khi nó quay xung quanh trục Ox là:

A. 22 e . B. 23 e . C. 24 e . D. 2e .

Giải:

Áp dụng CT tính thể tích khi quay hình phẳng xung quanh trục Ox Ta có: 22 1 1

22 2

1

V x e dx e

= = .

Chọn D.

Bài 63: Gọi M là hình phẳng tạo bởi trục hoành và các đường ln , 1, 2, 0y x x x y= = = = . Khi cho hình

M quay xung quanh trục Ox. Ta được khối tròn xoay có thể tích là:




A. ( )22 ln 2ln 2 1x − + . B. ( )ln 2 ln 4 1 − + .

C. ( )ln 2 1 + . D. ( )2 ln 2 3 − .

Giải:

Áp dụng công thức tính thể tích khi quay hình phẳng xung quanh trục Ox ta có:

( )2

2 2

1

lnV x dx e = = .

Chọn A.

Bài 64: Gọi M là hình được sinh ra bởi phép

quay xung quanh Oy của hình giới hạn bởi các

đường 2

2

xy = , 2y = ; 4;y = và 0x = . Thể

tích của hình M là:

A. 6 .

B. 12 .

C. 32 .

D. 34 .

Giải:

Ta có: ( )4

42

22

2 12V ydy y = = = .

Chọn B.

Bài 65:

Gọi M là phần mặt phẳng hữu hạn

được giới hạn bởi hai trục tọa độ,

đường thẳng 1x = và đường cong

có phương trình 2

1

1y

x=

+. Thể

tích khối tròn xoay sinh ra khi M

quay quanh trục Oy là:

A. ln3 .

B. ln 4 .

C. 0,2 .

D. ln 2 .

x

yy=

1

2x2

2

4

O

x

y

y=1

(1 + x2)1/2

O 1




Giải:

Phương trình 2

1

1y

x=

+ 2 1

1xy

= −

Gọi V là thể tích cần tìm, Ta có: V X Y= + với X là thể tích hình trụ tròn xoay bán kính đáy

bằng 1 và chiều cao bằng 1

2 , ta có

2X

= và

1

0.5

1 11 ln 2

2Y dx

y

= − = −

.

Vậy 1

ln 2 ln 2(dvdt)2 2

V

= − + =

.

Chọn D.

Bài 66: Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường 22y x= và

3y x= xung quanh trục Ox là:

A. 2

. B.

123

7

. C.

4

. D.

256

35

.

Giải:

Ta có: 2 3

02

2

xx x

x

==

=

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 22 3 4 6

0 0 0 0

2 4V x dx x dx x dx x dx

= − = −

.

25 7

0

4 256

5 7 35

x x

= − =

. chọn D.

Bài 67: Một dòng điện xoay chiều 0

2sini I t

T

= +

chạy qua một đoạn mạch có điện trở thuần R.

Nhiệt lương Q tỏa ra trên mạch đó trong thời gian một chu kì T là:

A. 2

032

I . B.

2

0

2

RI . C.

2 2

0

4

R IT . D.

2

0

2

RIT .

Giải:

Ta có: 2 2

0

0 0

2sin .

T T

Q Ri dt RI t dtT

= = +

12

2 00

0 0

21 cos2 .

2sin 2 .

2 2 4 4

T tRI TT

RI dt t tT

− + = = − + =

.




Chọn D.

Bài 68: Đường cong trong hình vẽ bên có phương trình 2 3y x= . Cho ( )1;1A và ( )0;1B . Gọi H là phần

gạch chéo.

Hình:

Khi cho hình H quay xung quanh trục Ox, ta được khối tròn xoay có thể tích là:

A. 3

. B.

4

. C.

5

. D.

6

.

Giải:

Ta có:

11 1 42 3

0 0 04 4

xV y dx x dx

= = = = .

Chọn B.

Bài 69: Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 2;y x x y= = quay quanh trục

Ox là:

A. 3

19

. B.

3

16

. C.

3

13

. D.

3

10

./

Giải:

Ta có: 2x y x y= = . Phương trình hoành độ giao điểm 2

0

1

xx x

x

==

= . Trên [0;1] ta

luôn có ( ) ( )2 2

2x x . do đó thể tích cần tìm là:

( ) ( )1 1

2 22

0 0

V x dx x dx = − .

Chọn D.

x

y

-1

1

BB

O 1




Bài 70: Tính (bằng cm2) diện tích phần giới hạn bởi parabol có phương trình 2y x= và đường thẳng

1y = .

A. 28

3cm . B. 216

3cm . C. 24

3cm . D. 21

3cm .

Giải:

Phương trình hoành độ giao điểm 2 1 1x x= = , do đó diện tích cần tính là: 1

2

1

41

3S x dx

−

= − = .

Chọn C.

Bài 71: Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi hai đường biểu diễn của các hàm số 2

1 4y x= −

và 2

2 2y x x= − .

A. 9 đvdt. B. 36 đvdt. C. 18 đvdt. D. 9 đvdt.

Giải:

Phương trình hoành độ giao điểm 2 21

4 22

xx x x

x

= −− = −

=, do đó diện tích cần tính là:

( )1 1

2 2 2

1 1

4 2 2 2 4 9S x x x dx x x dx− −

= − − − = − − = .

Chọn D.

Bài 72: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường 2

1, x

xy y e

e

−

−= = và 1x = là:

A. 2

15

e− . B.

2 1 3

2 2

e

e+ − . C. 5e . D. 8e .

Giải:

Phương trình hoành độ giao điểm 3

2

11 0x x

xe e x

e

− −

−= = = , vậy:

( )1

1 1 2 22

2

0 0 0

1 1 3

2 2 2

xx x x x

x

e eS e dx e e dx e

e e

− − −

−

= − = − = + = + −

.

Chọn B.

Bài 73: Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường 1

, 0, 1y y xx

= = = và

( ), 1x a a= quay quanh trục Ox là:




A. 1

1a

−

. B.

11

a

−

. C.

11

a

−

. D.

11

a

−

.

Giải:

Áp dụng CT tính thể tích khi quay hình phẳng quanh trục Ox, Ta có:

2

1

11

adx

Vx a

= = −

.

Chọn C.

Bài 74: Diện tích phần mặt phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng 1; 2x x= = , trục Ox và đường

cong ( )3

1

1y

x x=

+ là:

A. 1 7

ln4 3

. B. 1 16

ln3 9

. C. 1 7

ln3 3

. D. 1 16

ln4 9

.

Giải:

Gọi S là diện tích cần tìm, Ta có: ( ) ( )

2 2 2

3 3 3

1 1

1

1 1

xS dx dx

x x x x= =

+ + .

( )( )

( ) ( )3 3 32 2 2

3 33 3

1 1 1

23

3

1

1 1

3 3 11

1 1 16ln ln (dvtt)

3 1 3 9

d x d x d xdx

x xx x

x

x

= = −

++

= =+

Chọn B.

Bài 75: Gọi H là phần mặt phẳng giới hạn bởi đường thẳng y mx= với 2m và parabol (P) có

phương trình ( )2y x x= − . H có diện tích:

A. ( ) ( )

22 2 5

6

m m− − . B.

( ) ( )2

2 5 2

6

m m− − .

C. ( )

22

6

m− . D.

( )2

2

6

m −.

Giải:

Gọi diện tích cần tính là S , Ta có: 1

1 lne

xS dx

x

+=

Đặt 1 ln ,u x= + khi 1x = thì 1,u x e= = thì 1

2,u du dxx

= =




S = ( )22 3

2

1 1

2 22 2 1

3 3udx u

= = −

.

Chọn C.

Bài 76: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường 2

1 1;

1 2y y

x= =

+ là:

A. 12

− . B. 1

2

+ . C.

51

6

+ . D.

51

6

− .

Giải:

Tính tích phân 1

2

11

dx

x−

+ bằng cách đặt tan , ;

2 2x t t

= −

hoặc có thể sử dụng máy tính cầm

tay để tìm kết quả.

Chọn A.

Bài 77: Gọi 1S là diện tích của mặt phẳng giới hạn bởi đường thẳng y mx= với m < 2 và parabol (P)

có phương trình ( )2y x x= − . Gọi 2S là diện tích giới hạn bởi (P) và Ox. Với trị số nào của m thì

1 2

1

2S S= ?

A. 32 4− . B. 32 2+ . C. 2

5 . D.

1

4 .

Giải:

Ta tính 2S trước, phương trình hoành độ giao điểm:

( )0

2 02

xx x

x

=− =

= , do đó

2

2

2

0

42

3S x x dx= − = .

Ta tính 1S , phương trình hoành độ giao điểm:

( )2 20

2 2 02

xmx x x x m x

x m

== − + − =

= − , do đó:

( )( )( )

222 2 3

2 2

1

0 0 0

22 2

3 2

mm m m xx

S x x mxdx x mx dx

−− − −

= − − = − + − = − +

.

( )3

32 1 4

. 2 46 2 3

mm

−= = = −

(Chú ý: muốn đường thẳng cắt parabol tại 2 điểm phân biệt thì trong tinhd huống này parabol

phải có phần chứa đỉnh nằm trên đường thẳng) .

Chọn A.




Bài 78: Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường ; 0; 0xy e y x= = = và ln 4x = . Đường thẳng

( ), 0 ln 4x k k= chia (H) thành hai phần có diện tích 1S và 2S như hình vẽ bên. Tìm k để 1 22S S=

.

A. 2

ln 43

k = . B. ln 2k = . C. 8

ln3

k = . D. ln3k = .

Trích đề Minh họa 2 - 2017

Giải:

Ta có:

ln 4ln 4

1 200

1, 4

kk

x x k x x k

kk

S e dx e e S e dx e e= = = − = = = −

Do đó: ( )1 2

92 1 2 4 3 ln3

3

k k kS S e e e k= − = − = = = .

Chọn D.

Bài 79: Ở hình bên, ta có đường parabol 2 4y x= và đường thẳng y x= . Cho phần gạch chéo quay

quanh trục Ox, ta nhận được hình tròn xoay có thể tích bằng:

A. 15

7 . B.

32

3 . C. 10 . D. 11 .

x

y

ln4

y=ex

S2

S1

O k




Giải:

Gọi 1V là thể tích vật thể sinh ra bởi “hình thang cong” (giới hạn bởi các đường: 0; 4;x x= =

0; y y x= = ) quay xung quanh trục Ox và 2V là thể tích vật thể sinh ra bởi “hình thang cong” (giới

hạn bởi các đường: 0; 4; 0; 2x x y y x= = = = ) quay xung quanh trục Ox. Ta có 2 1V V V= − , do đó:

44 4 32 2

0 0 0

324 2

3 3

xV xdx x dx x

= − = − =

.

Chọn B.

Bài 80: Ông An có một mảnh vườn hình elip có

độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng

10m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng

8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng

(như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là

100.000 đồng/m2. Hỏi ông An cần bao nhiêu

tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (số tiền được

làm tròn đến hàng nghìn).

A. 7.862.000 đồng. B. 7.653.000 đồng.

C. 7.128.000 đồng. D. 7.826.000 đồng.

Giải:

Chọn Hệ trục tọa độ Oxy, gốc tọa độ là tâm của elip.

Khi đó elip này có phương trình:

x

yy=x

y= 4x

4

4

B

O

8m




2

2 2

2

5 164

164 25

5 164

xy

x y

xy

= −

+ = = − −

.

Diện tích cần tìm: 4 2

4

2 5 1 76,52964

xS dx

−

= −

Do đó số tiền cần là: 76,529. 0,1 ~ 7.653 triệu đồng.

Chọn B.

Bài 81: Đường cong được cho bởi phương trình ( )x g y= , với đạo hàm ( )g y là hàm liên tục, gọi

( ), m n m n tương ứng là tung độ các điểm M và N thuộc đồ thị ( )x g y= . Độ dài đường cong

( )x g y= từ điểm M tới điểm N là: ( )2

1 ( )

n

m

g y dx+ . Áp dụng tính độ dài đường cong 2y x= từ ( )1;1

đến ( )2;2 .

A. 1,07. B. 1,06. C. 1. D. 2.

Giải:

Ta có: 2 1

'2

y x x y xy

= = = .

Do đó độ dài cần tính: 2

2

1

11 1.06

4dy

y+ .

Chọn B.


( ), m n m n tương ứng là tung độ các điểm M và N thuộc đồ thị ( )x g y= . Độ dài đường cong

( )x g y= từ điểm M tới điểm N là: ( )2

1 ( )

n

m

g y dx+ . Áp dụng tính độ dài đường cong 2x y= từ ( )1;1

đến ( )4;2 .

A. 1,07. B. 7,27. C. 7,2 D. 2.

Giải:

Ta có: ' 2x y=

Độ dài cần tính là: 4

1

1 2 7.27ydx+ .




Chọn B.


( ), m n m n tương ứng là hoành độ các điểm M và N thuộc đồ thị ( )y g x= . Độ dài đường cong

( )y g x= từ điểm M tới điểm N là: ( )2

1 ( )

n

m

g y dx+ . Tìm độ dài của đường cong 34y x= từ điểm

( )0;0 đến điểm ( )2;4 2 . Tích phân cần tính để giải bài này là:

A.

4 2

0

1 9xdx+ . B.

2

0

1 9xdx+ .

C.

4 2

3

0

1 4x dx+ . D.

25

3

0

1 4x dx+ .

Giải:

Cung cần tính là phần của đường cong nằm trong góc vuông thứ nhất. Ta có: 3

22y x= nên 1

23y x = . Độ dài cung cần tìm bằng:

2 2

2

0 0

1 1 9y dx xdx+ = + .

Chọn D.

Bài 84: Tính độ dài đường cong 3

24 2

13

y x= − , từ điểm A có hoành độ a = 0 đến điểm B có hoành

độ b = 1. Kết quả là:

A. 13

6 . B.

21

4 . C.

3

2 . D.

14

3 .

Giải:

Ta có: ( )2

( ) 2 2 , ( ) 8 .f x x f x x = = thay vào Công thức ta được

1

0

1 8T xdx= + . Đổi biến 1 8u x= + . Ta có:

Khi 0 1.

1 9

x u

x u

= =

= =

Vậy

99 3

2

1 1

1 1 2 13.

8 8 3 6T udu u= = = .

Chọn A.




Bài 85: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 2

1 1; ; ;

sin cos 3 6y y x x

x x

= = = = . Ta

được kết quả:

A. 8 3

43

− . B. 7 2

14

− .

C. 2 2 5

3

+ . D.

3

4 .

Giải:

Dễ thấy 2 2sin cos , ;6 4

x x x

và 2 2sin cos , ;4 3

x x x

Do đó diện tích hình phẳng cần tìm là:

( ) ( )

34

2 2 2 2

6 4

34

6 4

1 1 1 1

sin cos cos sin

cot tan tan cot

4 3 4 3 8 32 2

3 3 3

S dx dxx x x x

x x x x

= − + −

= − − + +

= − + + − =

.

Chọn A.

Bài 86: Cho đồ thị hàm số 2 1; 5y x y x= − = + như hình vẽ, diện tích hình phẳng giới hạn bởi các

đường 2 1y x= − và 5y x= + là:

A. 73

6 . B.

73

3 . C. 12. D. 14 .




Giải:

Phương trình hoành độ giao điểm 2 1 5 3x x x− = + = (thật ra nhìn hình ta thấy có 2 giao

điểm).

Do đó diện tích cần tìm là:

( )3 3

2 2

3 3

5 1 5 1x x dx x x dx− −

+ − − = + − −

Ta bỏ được trị tuyệt đối ngoài cùng vì đồ thị 5y x= + ở trên 1 1y x= − . Lúc này ta chỉ cần

bấm máy ra kết quả B.

Chọn B.

Bài 87:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn

bởi các đường: 2 2 2y x x= − + ;

2 4 5y x x= + + ; 1y = .

A. 3

4 . B.

7

4 .

C. 2

.3

D. 9

4 .

Giải:

x

y

M

N8

5

1

-3 3O 1

y = 1

x

y

-1

2

-2 O 1




Hoành độ giao điểm của 2 parabol đã cho là nghiệm của phương trình:

2 22 2 4 5x x x x− + = + + , cho ta 1

2x

−= .

Parabol ( ) 2: 2 2P y x x= − + có tọa độ cực tiểu là ( )1;1 và

Parabol ( ) 2: 4 5P y x x= + + có tọa độ cực tiểu là ( )2;1− .

Diện tích cần tìm là:

( ) ( )

1

122 2

12

2

94 5 1 2 2 1

4S x x dx x x dx

−

−−

= + + − + − + − = .

Chọn D.

Bài 88:

Tính diện tích giới hạn bởi các

đường 2 4 3 ; 3y x x y= − + = trong

mặt phẳng tọa độ Oxy. Ta có kết

quả:

A. 6 .

B. 10 .

C. 8 .

D. 12 .

Giải:

Ta có: ( )2

2

2

4 3 ,khi 1 3.4 3

4 3, khi 1 3.

x x xy x x

x x x x

− − + = − + =

− +

Dễ thấy hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là 0; 4x x= = các tung độ tương ứng là:

3; 3y y= = .

Diện tích cần tìm là: S = diện tích hình chữ nhật OMNP 1S− trong đó:

( ) ( ) ( )1 3 4

2 2 2

1

0 1 3

4 3 4 3 4 3

1 1 42. 2 3 3 6 3 2 3 3. 4(dvdt)

3 3 3

S x x dx x x dx x x dx= − + + − − + + − +

= − + + − + − + − + = =

y = 3

x

y

NM

1

432

B

O 1




Chọn C.

Bài 89: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 4

4

1

xy

x=

+ , trục hoành Ox và các đường thẳng

1; 1x x= − = là:

A. 6 . B. 3 . C. 2 . D. .

Giải:

Gọi S là diện tích cần tính, Ta có: 1

4

1

4

1

xS dx

x−

=+

0 1 1 1

4 4 4 4

1 0 0 0

4 4 4 22 4

1 1 1 1

x x x xdx dx dx dx

x x x x−

−= + = =

+ + + + .

Đặt 2 2u x du xdx= = . Suy ra

1

2

0

14 4

1S du I

u= =

+ .

Đẻ tính

1

2

0

1

1I du

u=

+ .

Ta đặt tan ,u t= Ta có: ( )

2cos

dtdu

t= . Khi 0 0; 1

4u t u t

= → = = → = .

4 4

2 2

0 0

1. .

tan 1 cos 4

dtI dt

t t

= = =

+ vậy S = .

Chọn D.

Chú ý có thể sử dung MTCT để tìm nhanh kết quả.

Bài 90:

Parabol 2 2y x= chia hình phẳng

giới hạn bởi đường tròn 2 2 8x y+ =

thành hai phần. Diện tích hai phần

đó là:

A. 4

23

+ và 4

63

− .

B. 2

và

15

2

.

C. 2

3

và

22

3

.

D. 2

23

+ và 2

63

− .

x

y

B

C

A

O




Giải:

Đường tròn này cắt trục hoành tại điểm ( )2 2;0A và cắt parabol 2 2y x= ở điểm C, B đối

xứng nhau qua Ox, với ( )2;2B .

Gọi S là diện tích tam giác cong OAB Ta có:

2 2 2

2

0 2

2 8S xdx x dx= + − .

Ta có:

2

0

82

3xdx = .

Để tính 2 2

2

2

8 x dx− , ta đặt: 2 2 sin ,4 2

x t t

= .

Lúc đó: 2 2 22 2 cos 8 8 8sin 8cos 2 2 cosdx tdt x t t t= − = − = =

Từ đó:

2 2 2 2 22 2

2

4 4 4

1 cos28 2 2 cos .2 2 cos 8 cos 8 2

2

tx dx t tdt tdt dt

+

− = = = = −

Vậy S 2

3= + .

Diện tích phần còn (OABC) là 2S = 4

23

+

Diện tích phần còn lại cần tính bằng diện tích hình tròn trừ đi 2S, tức là:

4 48 2 6 (dvdt)

3 3

− + = −

.

Chọn A.

Bài 91: Cho parabol (P) có tiêu điểm 3

2;2

F

−

và đường chuẩn D có phương trình 5

4y = − . Diện

tích hình giới hạn bởi (P) và trục Ox là:

A. 2

3 . B.

4

3 . C. 1 . D. 2 .

Giải:

Parabol là tập hợp những điểm cách đều tiêu điểm và đường chuẩn.

Do đó điểm ( ) ( );M x y P khi và chỉ khi:

( )2 2

2 23 52 4 3

4 4x y y y x x

− + + = + = − +

.




Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) với trục hoành là: 2 4 3 0x x− + =

1;

3

x

x

=

= .

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và trục Ox thì:

( )( ) ( )

( )

3 3

2 2

1 1

33

2

1

0 4 3 4 3

42 3

3 3

S x x dx x x dx

xx x dvdt

= − − + = − + −

= − − =

.

Chọn C.

Bài 92: Giả sử hàm số 2 2 2y x x= − + có đồ thị là đường cong (P). Gọi (d) là tiếp tuyến với (P) tại

điểm ( )3;5M . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P), (d) và trục Ox là:

A. 4. B. 2. C. 5. D. 3.

Giải:

Với 2 2 2y x x= − + ta có: ( )' 2 2, 3 4y x y= − = ,

đỉnh (điểm cực tiểu) của parabol là ( )1;1 . Phương trình

tiếp tuyến tại điểm ( )3;5M là:

( )4 3 5 4 7y x x= − + = − .

Tiếp tuyến này cắt trục tung tại điểm ( )0; 7− và

cắt trục hoành tại điểm 7

;04

A

.

Gọi S là diện tích cần tìm, Ta có:

( ) ( ) ( )3

2

0

2 2S x x dx dt AMC dt OAB= − + − +

Bài 93: Thể tích vật thể tròn xoay do đường tròn ( ) ( )22 2 1x y+ − = quay quanh Ox có giá trị:

x

y

C1

A

5

3

2

1

-7

M

O

B




A. 211 . B. 29 . C. 24 . D. 2 .

Giải:

( ) ( )1 12 2

2 2 2

1 1

1 22 2 2

0 0

2 1 2 1 8 1

16 1 16 cos x 4

V x x dx x dx

x dx dx

− −

= + − − − − = −

= − = =

.

Chọn C.

Bài 94: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi elip: 2 2

19 4

x y+ = và đường tròn 2 2 9x y+ = được tính bởi

công thức nào sau đây?

A.

3

2

3

19

3x dx

−

− . B.

3

2

0

19

3x dx− . C.

3

2

0

29

3x dx− . D.

3

2

3

4 9 x dx−

− .

Giải:

Dựa vào tính chất đối xứng của elip và đường tròn thì phải có: 3 3

2 2 2

0 0

2 44 9 9 9

3 3S x x dx x dx

= − − − = −

.

Chọn B.

Bài 95: Gọi xV và yV lần lượt là thể tích khối tròn xoay tạo nên bởi phép quay hình elip

( )2 2

2 21

x ya b

a b+ . Xung quanh trục , Ox Oy . Hỏi khẳng định nào dưới đây đúng?

A. x yV V . B.

x yV V . C. x yV V= . D.

x yV V .

Giải:

22 2

22 2

2 2 22 2

2

1

1

1

xy b

ax y

a b yx a

b

= −

+ =

= −

2 3 22 2 2

2 2

0 0 0

4 42 2 1 2 .

3 3 3

aa a

x

x x ab abV y dx b dx b x b

a a

= = − = − = =




2 3 22 2 2

2 2

0 0 0

4 42 2 1 2 .a

3 3 3

bb b

y x

y x a b abV V x dx a dx a x

b a

= = = − = − = =

Vì b > a nên x yV V .

Chọn A.

Bài 96: Trong hai khẳng định sau, khẳng định nào đúng:

(1) Nếu ( ) ( ), ;f x g x x a b thì ( ) g( )

b b

a a

f x dx x dx .

(2) Nếu ( ) ( ) , ;f x g x x a b và nếu 0 0 0; : ( ) ( )x a b f x g x thì ( ) g( )

b b

a a

f x dx x dx .

A. Chỉ có (1) đúng. B. Chỉ có (2) đúng.

C. Cả hai khẳng định đều đúng. D. Cả hai khẳng định đều sai.

Giải:

Khẳng định (1) Ta có: ( ) ( ), ;f x g x x a b nên đồ thị ( )g x cao hơn f)x) trên [a;b]. do đó

diện tích tạo bởi đồ thị g(x) trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b lớn hơn diện tích tạo bởi

đồ thị f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b nghĩa là: ( ) g( )

b b

a a

f x dx x dx . Khẳng

định 2 cũng đúng.

Chọn C.


chƯƠng 3 (tiếp theo) ng d ng nguyÊn hÀm - tÍch phÂn · Ứng dỤng nguyÊn hÀm - tÍch...

Documents