CHƯƠNG III : NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

§3 : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

I - TÍNH DiỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

HOẠT ĐỘNG 1 : Hãy tính diện tích hình thang vuông giới hạn bởi các

đường thẳng : y = – 2x – 1 ; y = 0 ; x = 1 ; x = 5

S1=SABCD= (AD+BC)xAB/2 = 28

Ở Hđ1 bài 2 ta đã tính diện tích S của hình thang vuông giới hạn bởi các đường thẳng :

y = 2x + 1 ; y = 0 ; x = 1 ; x = 5.

y = – 2

x – 1

y =

2x

+ 1

S

S1

Các em hãy so sánh diện tích hai hình S và S1, cho nhận xét.

28)12( : viêt có nên ta

28230)12(

: ðó khi trong

28230)12(

: có Ta

5

1

1

5

1

25

1

5

1

25

1

dxxSS

xxdxx

xxdxxS

1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành :

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục , nhận giá trị không âm trên đoạn [a ; b] .

O x

y

a b

A

B

Được biết cách tính diện tích hình thang cong y = f(x) ; trục hoành và x = a , x = b

1b

a

S f x dxTrường hợp f (x) âm trên đoạn [a ; b] Thì - f(x) > 0

và diện tích hình thang cong aABb bằng diện tích hình thang cong

B’

A’

aA’B’b là hình đối xứng của

hình thang đã cho qua trục hoành . Do đó :

S ' ' 2b

aABb aA B b

a

S S S f x dx Trường hợp tổng quát :

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) liên tục , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b ( hình vẽ bên)

O x

y

a b

y = f(x) Được tính theo công thức :

b

a

S = f x dx 3

Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x3 , trục hoành và hai đường thẳng x = - 1 , x = 2

Giải :

Ta có x 3 < 0 trên đoạn [- 1 ; 0]

x 3 ≥ 0 trên đoạn [ 0 ; 2 ]

Áp dụng công thức có :

23

1

S x dx

0 2

3 3

1 0

x dx x dx

0 24 4

1 04 4

x x

17

4

2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong :

Cho hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x) liên tục trên đoạn [a ; b] . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đó và các đường x = a ; x = b .

O x

y

a b

y = f1(x)

y = f2(x)

D

Xét trường hợp f1(x) ≥ f2(x) với mọi x [a ; b]

Gọi S1 , S2 là diện tích hai hình thang cong giới hạn bởi trục hoành , x = a , x = b và các đường cong y = f1(x) , y = f2(x) tương ứng .

Khi đó diện tích D sẽ là :

1 2 1 2

b b

a a

S S S f x dx f x dx

trường hợp tổng quát và có

1 b

2

a

S = f x f x dx 4

Chú ý : Khi áp dụng công thức (4) , cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân . Ta phải giải phương trình : f1(x) – f2(x) trên đoạn [a ; b] . Giả sử có 2 nghiệm c < d . Khi đó f1(x) – f2(x) không đổi dấu trên các đoạn [a ; c] ; [c ; d] ; [d ; b]. Ví dụ trên [a ; c] thì :

1 2 1 2 .c c

a a

f x f x dx f x f x dx

Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = cos x ; y = sin x , và hai đường thẳng x = 0 , x = .

Giải :

Đặt f1 (x) = cos x ; f2 (x) = sin x

Ta có : f1 (x) - f2 (x) = cosx - sin x = 0

4x

0;x

Vậy diện tích hình phẳng đã cho là :

0

cos sinS x x dx

/ 4

0 / 4

cos sin cos sinx x dx x x dx

/ 4

0 / 4

cos sin cos sinx x dx x x dx

/ 4

0 / 4cos sin cos sinx x x x

2 2

Ví dụ 3 : Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đường cong y = x3 – x và y = x – x2

Giải :Ta có : f1 (x) - f2 (x) = (x3 – x) – (x – x2 ) = 0 3 2

1 2 32 0 2; 0; 1x x x x x x Vậy diện tích hình phẳng đã cho là :

13 2

2

2S x x x dx

0 1

3 2 3 2

2 0

2 2x x x dx x x x dx

0 1

3 2 3 2

2 0

2 2x x x dx x x x dx

0 1

4 3 4 32 2

2 04 3 4 3

x x x xx x

8 5 37

3 12 12

II - TÍNH THỂ TÍCH

Hoạt động 2Nhắc lại công thức tính thể tích hình lăng trụ có diện tích đáy bằng B , đường cao h ?

V = B h

1. Thể tích của vật thể :

Cho một vật thể (Hình vẽ)

O x

Cắt vật thể bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x = a và x = b ( a < b)

PQ

a b

Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại điểm x ( a x b) , cắt hình đã cho theo thiết diện có diện tích S(x) .

x

S(x)

Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a ; b]

Người ta đã chứng minh được : Thể tích V của phần vật thể trên giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) được tính bởi công thức :

b

a

V = S x dx 5

Ví dụ 4 : Tính thể tích khối lăng trụ , biết diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h .

Giải :

O

x

h

Chọn trục Ox song song đường cao của khối lăng trụ , còn hai đáy nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với Ox tại x = 0 và x = h .

Cho mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox .cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích không đổi bằng B ( S(x) = B với 0 x h )

xS(x) = B

Áp dụng công thức (5) có :

0 0

h h

V S x dx Bdx

0

hBx Bh

2. Thể tích khối chóp và khối chóp cụt :

a) Cho khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B .

Chọn trục Ox vuông góc với mặt phẳng đáy tại điểm I

B

O

x

I

sao cho điểm O trùng với đỉnh của khối chóp và hướng xác định bởi véc tơ OI

''''''''''''''

h

Lúc đó OI = h Một mặt phẳng () vuông góc với Ox tại x

( 0 x h) cắt khối chóp theo thiết diện có diện tích là S(x) .

xS(x)Ta có :

2

2.x

S x Bh

Và thể tích V của khối chóp là :2

20

.h x

V B dxh

3

2

03

h

B x

h

3

Bh

2. Thể tích khối chóp và khối chóp cụt :

b) Cho khối chóp cụt tạo bởi khối chóp đỉnh S , có diện tích đáy là B , B’ và đường cao h

Chọn trục Ox vuông góc với mặt phẳng đáy lớn (P) tại điểm I . Mp đáy nhỏ (Q) tại I’ .

B

S O

x

I

Đặt đỉnh S trùng với O . OI = b ; OI’ = a ( a < b)

h

Gọi V là thể tích khối chóp cụt , ta có :

Q

I’B’

2

2.

b

a

xV B dx

b

3 323

Bb a

b

2 2

2. .

3

b a a ab bB

b

PVì :2

2' .

aB B

b và h = b – a

nên ' '3

hV B B BB

III - THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

Bài toán :

Giả sử một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục Ox và hai đường thẳng x = a , x = b ( a < b) , quay xung quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay .

x

Hãy tính thể tích V của nó .

Giải :Thiết diện của khối tròn xoay trên tạo bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x (a x b) là hình tròn

O

yy = f(x)

a bx

có bán kình : |f(x)|Nên diện tích thiết diện là : S(x) = .f 2

(x)

Vậy theo công thức (5) có :

b

2

a

V = f x dx 6

Ví dụ 5 : Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = sin x , trục hoành và hai đường thẳng x = 0 , x = . Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình này xung quanh trục Ox .

Giải :

O

yy = sinx

x x

Áp dụng công thức (6) có :

2

0

sinV xdx

0

1 cos 22

x dx

0

1sin 2

2 2x x

2

2

Ví dụ 6 : Tính thể tích hình cầu bán kính R .

O

y

x- R R

Giải :

Hình cầu bán kính R là khối tròn thu được khi quay nửa hình tròn giới hạn bởi đường 2 2y R x

( - R x R ) , và đường thẳng y = 0 xung quanh trục Ox .

Vậy 22 2

R

R

V R x dx

2 2R

R

R x dx

3

2

3

R

R

xR x

34

3R

Củng cố: Cho (C) : y = f(x) ; các em hãy viết công thức tính diện tích các hình phẳng sau (không còn dấu trị

tuyệt đối)

S1

S2

f(x)dx [-f(x)]dx f(x)dx [-f(x)]dxS .)]([ .)(c

b

b

2

2

a

a

0

5

1

2

5

1

1

dxxfSdxxfS

Cho hai đường cong (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x); các em hãy viết công thức tính diện tích các hình phẳng

sau (không còn dấu trị tuyệt đối)

y = f(x

)

y = g(x)

y = g(x)

y = f(x

)

)]()([)]()([ )]()([0

b

a

ab

a

dxxgxfxfxgSdxxgxfS

THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

O

yy = f(x)

a bx

b

2

a

V = f x dx