vi tÍch phÂn a1 chƯƠng 3. phÉp tÍnh tÍch phÂn hÀm …

VI TÍCH PHÂN A1

CHƯƠNG 3.PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Lê Hoài Nhân

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 1 / 41

Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến

1 Nguyên hàm

2 Tích phân xác địnhĐịnh nghĩaĐịnh lý cơ bản của phép tính tích phânCông thức Newton - Leibniz

3 Tích phân suy rộngTích phân suy rộng loại ITích phân suy rộng loại II

4 Ứng dụng của tích phânGiá trị trung bìnhDiện tích hình phẳngThể tích vật thểĐộ dài cungDiện tích mặt tròn xoay


Nguyên hàm

Định nghĩa 1.1 (Nguyên hàm)Hàm số F (x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng(a, b) nếu F ′(x) = f (x) với mọi x ∈ (a, b)

Mọi nguyên hàm của hàm số f (x) đều có dạng F (x) + C với F (x) làmột nguyên hàm của f (x) và C là hằng số tích phân.

Ký hiệu∫

f (x)dx là tập hợp tất cả các nguyên hàm của f (x).

Ta có∫

f (x)dx = F (x) + C


Tích phân xác định

Định nghĩa 2.1Cho hàm số f (x) xác định trên đoạn [a, b].

Phân hoạch đoạn [a, b] bởi các điểm chia a = x0 < x1 < ... < xn = b.

Trên mỗi đoạn [xi−1; xi ] ta chọn điểm ξi và lập tổng

In =

n∑

i=1

f (ξi ).∆xi .

Cho n → ∞ sao cho max∆xi → 0. Nếu limn→∞

In = I không phụ thuộc

vào cách phân hoạch đoạn [a, b] và cách chọn ξi thì ta nói f khả tíchtrên đoạn [a, b] và I gọi là tích phân xác định của hàm f trên đoạn[a, b].


Định lý cơ bản của phép tính tích phân

Định lý 2.1 (Định lý cơ bản của phép tính tích phân)

Cho f liên tục trên đoạn [a, b]. Nếu F (x) =

x∫

a

f (t)dt với x ∈ [a, b] thì

F ′(x) =ddx

x∫

a

f (t)dt = f (x).

Hệ quả 2.1

Nếu F (x) =ϕ(x)∫

ψ(x)

f (t)dt thì F ′(x) = f (ϕ(x)).ϕ′(x) − f (ψ(x)).ψ′(x).



Ví dụ 2.1Tính F ′(x) biết rằng:

1 F (x) =

x2∫

0

√

1 + t2dt. 2 F (x) =

x3∫

x2

14√

1 + t2dt.

Ví dụ 2.2

1 Cho H(x) = x .

x2∫

4

e−√

tdt. Tính H ′(2).

2 Cho f (x) =

sin x∫

0

√

1 + t2dt và g(y) =

y∫

3

f (x)dx . Tìm g ′′(π

6

)

.



Ví dụ 2.3Tìm hàm số liên tục thỏa phương trình sau

1 f (x) = π

1 +

x∫

1

f (t)dt

. 2 f (x) = 1 −x

∫

1

f (t)dt.



Ví dụ 2.4Dùng quy tắc L’Hospital tính giới hạn

1 limx→0

x∫

0

cos tdt

x. 2 lim

x→−∞

x∫

0

arctan2 tdt√

x2 + 1.

Ví dụ 2.5Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

F (x) =

2x−x2∫

0

cos1

1 + t2dt.



Định lý 2.2 (Công thức Newton - Leibniz)Cho f liên tục trên đoạn [a, b]. Nếu Φ(x) là một nguyên hàm của f (x)

trên đoạn [a, b] thì

b∫

a

f (x)dx = Φ(b) − Φ(a)

Ví dụ 2.6Dùng các phương pháp đã biết tính các tích phân

1 I1 =

1∫

0

arcsin xdx

2 I2 =

√3

∫

0

x arctan xdx

3 I3 =

0∫

− 1

2

x − 1x2 + x + 1

dx


Tích phân suy rộng loại I

Định nghĩa 3.1 (Tích phân suy rộng loại I)1 Cho hàm số f (x) liên tục trên khoảng [a,+∞), ta định nghĩa

+∞∫

a

f (x)dx = limb→+∞

b∫

a

f (x)dx

2 Nếu f (x) liên tục trên khoảng (−∞, a] thì

a∫

−∞

f (x)dx = limb→−∞

a∫

b

f (x)dx

Nếu các giới hạn trên tồn tại thì ta nói tích phân suy rộng hội tụ. Tíchphân không hội tụ được gọi là tích phân phân kỳ



Cho f (x) liên tục trên R, ta định nghĩa

+∞∫

−∞

f (x)dx =

0∫

−∞

f (x)dx +

+∞∫

0

f (x)dx

nếu các tích phân ở vế phải đều hội tụ.



Ví dụ 3.1Tính các tích phân suy rộng sau:

1 I =

∞∫

0

e−xdx

2 I =

∞∫

1

ln xdx

3 I =

0∫

−∞

xexdx

4 I =

+∞∫

−∞

dx1 + x2



Ví dụ 3.21 Tính diện tích của miền

phẳng nằm phía trên đườngthẳng y = 0, phía dưới đường

cong y =ln xx2

và bên phải

đường thẳng x = 1.

2 Tính diện tích của miềnphẳng nằm phía trên trục Ox ,bên phải đường thẳng x = 1và phía dưới đường cong

y =4

2x + 1− 2

x + 2.



Ví dụ 3.31 Tính diện tích miền phẳng

nằm phía dưới đường congy = e−x , phía trên đườngcong y = e−2x và bên phảitrục x = 0.

2 Tính diện tích miền phẳngnằm phía dưới đường congy = x−2e−

1

x , phía trên trụcOx và bên phải trục Oy .



Ví dụ 3.4

Cho biết+∞∫

0

e−x2

dx =√π

2. Bằng

phương pháp tích phân từngphần, tính

1 I =

+∞∫

0

x2e−x2

dx

2 J =

+∞∫

0

x4e−x2

dx



Ví dụ 3.5 (Hàm Gamma)Hàm Gamma là hàm được cho bởi tích phân suy rộng

Γ(x) =

∞∫

0

tx−1e−tdt

1 Chứng minh rằng tích phân trên hội tụ với mọi x > 0.2 Dùng công thức tích phân từng phần chứng minh rằng

Γ(x + 1) = xΓ(x).

3 Chứng minh rằng Γ(n + 1) = n! với n = 0, 1, 2, ....

4 Chứng minh rằng Γ

(

12

)

=√π và Γ

(

32

)

= 1

2

√π.


Tích phân suy rộng loại II

Định nghĩa 3.21 Cho hàm số f (x) liên tục trên nửa khoảng (a, b] và lim

x→a+f (x) = ∞.

Ta định nghĩab

∫

a

f (x)dx = limc→a+

b∫

c

f (x)dx

2 Cho hàm số f (x) liên tục trên nửa khoảng [a, b) và limx→b−

f (x) = ∞.

Ta định nghĩab

∫

a

f (x)dx = limc→b−

c∫

a

f (x)dx



Ví dụ 3.6Tính các tích phân suy rộng sau:

1 I =

1∫

0

1√xdx

2 J =

1∫

0

1xdx

3 K =

1∫

0

ln xdx

4 L =

π

2∫

0

cos xsin2 x

dx

5 M =

2∫

0

1√2x − x2

dx



Định lý 3.1 (p - integrals)Nếu 0 < a <∞ thì

1

+∞∫

a

1xp

dx

hội tụ vềa1−p

p − 1nếu p > 1

phân kỳ đến ∞ nếu p ≤ 1

2

a∫

0

1xp

dx

phân kỳ đến ∞ nếu p ≥ 1

hội tụ vềa1−p

1 − pnếu p < 1



Ví dụ 3.7

Tính tích phân I =

2∫

0

f (x)dx trong đó

f (x) =

1√x

nếu 0 ≤ x ≤ 1

x − 1 nếu 1 < x ≤ 2



Ví dụ 3.81 Tính diện tích của miền

phẳng nằm phía dưới đườngthẳng y = 0, phía trên đườngcong y = ln x và bên phải trụcOx .

2 Tính diện tích của miềnphẳng nằm phía dưới đườngcong y = 1√

x−2, phía trên trục

hoành và giữa hai đườngthẳng x = 2 và x = 5


Giá trị trung bình tích phân

Định nghĩa 4.1Cho hàm số f (x) khả tích trên đoạn [a, b]. Giá trị

f =1

b − a

b∫

a

f (x)dx

được gọi là giá trị trung bình của hàm số f (x) trên đoạn [a, b].

Định lý 4.1Nếu hàm số f (x) là liên tục trên đoạn [a, b] thì tồn tại c ∈ [a, b] sao cho

f (c) = f



Ví dụ 4.1Tìm giá trị trung bình của hàm số f (x) = sin x trên đoạn [0, π]

Ví dụ 4.2Chứng minh rằng vận tốc trung bình của xe ôtô trong khoảng thời giandi chuyển [t1, t2] bằng giá trị trung bình của hàm vận tốc trên khoảngđó.

Ví dụ 4.3Tìm c trong định lý giá trị trung bình tích phân đối với hàm sốf (x) = 1 + x2 trên khoảng [−1, 2].



Tìm giá trị trung bình của hàm số trên khoảng được cho

1 f (x) = 4x − x2 trên [0, 4]

2 f (x) = sin 4x trên [−π, π]

3 f (x) = 3√

x trên [1, 8]

4 f (t) =t√

3 + t2trên [1, 3]

5 f (x) = t2(1 + t3)4 trên [0, 2]

6 f (x) = cos4 x sin x trên [0, π]

7 f (r) =3

(1 + r)3trên [1, 6]

8 f (x) = (x − 3)2 trên [0, 5]9 f (x) =

√x trên [0, 4]

10 f (x) = 2 sin x − sin 2x trên[0, π]

11 f (x) =2x

(1 + x2)2trên [0, 2].


Diện tích hình phẳng

1 Một miền D được giới hạn bởi các đường cong: y = f (x), y = g(x),x = a và x = b với a < b có diện tích được tính theo công thức:

S =

b∫

a

|f (x) − g(x)|dx

2 Một miền D được giới hạn bởi các đường cong: x = ϕ(y), x = ψ(y),y = c và y = d với a < b có diện tích được tính theo công thức:

S =

d∫

c

|ϕ(y) − ψ(y)|dy


Diện tích hình phẳng

Ví dụ 4.4Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong

1 y = sin x , y = cos x , x = 0 và x = 2π. Đs: 2√

22 y = x2 − 2x , y = 4 − x2. Đs: 9

3 x = 2y − y2, x = 0. Đs:43


Tính thể tích vật thể tổng quát bằng phương pháp cắt lớp

Tính thể tích vật thể (S) nhưhình vẽ bên.

Thiết diện của vật thể là miềnphẳng mà nó là phần giao của Svà mặt phẳng.

Ta tính thể tích vật thể bằngcách xác định diện tích các thiếtdiện của S.



Phân hoạch đoạn [a, b] bởi cácđiểm chiaa = x0 < x1 < ... < xn = b.

Các mặt phẳng Pxkcắt vật thể

thành các "lát cắt mỏng".

Ta xấp xỉ các "lát cắt mỏng"này bằng hình trụ có diện tíchđáy là A(xk) và chiều cao là∆xk .



Thể tích của vật thể V thỏa

V ≈n

∑

k=1

Vk =

n∑

k=1

A(xk).∆xk .

Phép xấp xỉ này càng "tốt" khi n cànglớn.

Vì limn→∞

n∑

k=1

A(xk).∆xk =b∫

a

A(x)dx

nên ta có

V =

b∫

a

A(x)dx



Ví dụ 4.5Một vật thể có đáy là hình tròn x2 + y2 = 1. Tất cả thiết diện vuông góctrục hoành của nó đều là hình vuông. Hãy tính thể tích vật thể.



Ví dụ 4.5Một vật thể có đáy là hình tròn x2 + y2 = 1. Tất cả thiết diện vuông góctrục hoành của nó đều là hình vuông. Hãy tính thể tích vật thể.

Để tính thể tích vật thể tổng quát bằng phương pháp cắt lớp ta cần thựchiện các bước:

Phác họa vật thể và xác định hình dáng, kích thước của thiệt diện.

Tìm biểu thức A(x) của diện tích các thiết diện của vật thể và xácđịnh các cận của x .

Tính tích phân

V =

b∫

a

A(x)dx

và suy ra thể tích của vật thể.



Ví dụ 4.6Một vật thể cao 6 (m). Thiết diện ngang cắt vật thể ở độ cao z phía trênđáy là một hình chữ nhật có các kích thước là 2 + z và 8 − z (m). Tínhthể tích vật thể.

Ví dụ 4.7Tìm diện tích thiết diện nằm ngang cắt vật thể ở độ cao z bất kỳ phíatrên đáy, nếu phần vật thể nằm dưới mặt phẳng nói trên là z3.


Thể tích vật thể tròn xoay

Cho miền D là hình thang loại 1 được giới hạn bởi các đường congy = f (x), y = g(x), x = a và x = b với a < b.

1 Nếu quay miền D quanh trục Ox ta được vật thể có thể tích là

V = π

b∫

a

∣

∣f 2(x) − g2(x)∣

∣ dx .

2 Nếu quay miền D quanh trục Oy ta được vật thể có thể tích là

V = 2π

b∫

a

x |f (x) − g(x)| dx .



Cho miền D hình thang loại 2 được giới hạn bởi các đường congx = ϕ(y), x = ψ(y), y = c và y = d với c < d .

1 Nếu quay miền D quanh trục Ox , ta được vật thể có thể tích là

V = 2π

d∫

c

y |ϕ(y) − ψ(y)| dy

2 Nếu quay miền D quanh trục Oy , ta được vật thể có thể tích là

V = π

d∫

c

∣

∣ϕ2(y) − ψ2(y)∣

∣ dy



Ví dụ 4.8Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giớihạn bởi các đường cong

1 y = 2x − x2 và y = 0 với 0 ≤ x ≤ 2 quanh trục Ox và Oy .

2 y = sin x và y = 0 với 0 ≤ x ≤ π quanh trục Ox và Oy .

3 x = y2 và y = 0, x = 1 (phần phía trên trục hoành) quanh trục Oxvà trục Oy .


Độ dài cung

Bài toán Tính độ dài cung phẳng AB của đường cong L.

Nếu L được cho bởi phương trình y = f (x) với x ∈ [a, b] thì độ dàicủa L được tính theo công thức

l =

b∫

a

√

1 + f ′2(x)dx .

Nếu L có phương trình tham số x = x(t) và y = y(t) với t ∈ [α, β]thì

l =

β∫

α

√

x ′2(t) + y ′2(t)dt.


Độ dài cung

Ví dụ 4.9Tính độ dài cung phẳng có phương trình

1 y2 = x3 tính từ gốc tọa độ đến điểm A(4, 8).

2 x = a cos3 t, y = a sin3 t với 0 ≤ t ≤ π

2.


Diện tích mặt tròn xoay

Bài toán Cho cung phẳng AB của đường cong L quay quanh mộtđường thẳng cho trước. Hãy tính diện tích mặt tròn xoay thu được.

Nếu đường cong L có phương trình y = f (x) với x ∈ [a, b] và

được quay quanh trục Ox , ta được mặt cong có diện tích

S = 2π

b∫

a

|f (x)|√

1 + f ′2(x)dx .

được quanh trục Oy , ta được mặt cong có diện tích

S = 2π

b∫

a

|x |√

1 + f ′2(x)dx .



Bài toán Cho cung phẳng AB của đường cong L quay quanh mộtđường thẳng cho trước. Hãy tính diện tích mặt tròn xoay thu được.

Nếu đường cong L có phương trình tham số x = x(t) và y = y(t) vớit ∈ [α, β] và

được quay quanh trục Ox , ta được mặt cong có diện tích

S = 2π

β∫

α

|y(t)|√

x ′2(t) + y ′2(t)dt.

được quay quanh trục Oy ta được mặt cong có diện tích

S = 2π

β∫

α

|x(t)|√

x ′2(t) + y ′2(t)dt.



Ví dụ 4.101 Tính diện tích mặt tròn xoay tạo thành khi quay cung đường cong

y = x2 với 1 ≤ x ≤ 2 quanh trục Oy .

2 Tính diện tích các mặt tròn xoay tạo thành khi quay cung đườngcong y =

√4 − x2 với −1 ≤ x ≤ 1 lần lượt quanh trục Ox và trục

Oy .


HẾT CHƯƠNG 3


Tính thể tích bằng phương pháp cắt lớp


vi tÍch phÂn a1 chƯƠng 3. phÉp tÍnh tÍch phÂn hÀm …

Documents