chƢƠng v ĐẠi sỐ bulƠ (boole) - wordpress.com...2 ĐẠi sỐ bulƠ 1. Định nghĩa và...
TRANSCRIPT
GV: Nguyễn Tiến Thịnh Page 1
CHƢƠNG V
ĐẠI SỐ BULƠ (Boole)
§. 1 NỬA DÀN VÀ DÀN
1. Nửa dàn sup, nửa dàn Inf
Tập đƣợc sắp (E, ≤ ) gọi là dàn nửa sup (hay nửa dàn cận trên) nếu
mọi cặp (x,y) E E đều có cận trên đúng Sup (x,y) và gọi là nửa dàn Inf
(hay nửa dàn cận dƣới) nếu mọi cặp phần tử (x, y) E E đều có cận dƣới
đúng Inf(x,y)
Dàn là một tập đƣợc sắp, đồng thời vừa là nửa dàn Sup, vừa là nửa
dàn Inf.
Giả sử (E, ≤) là một nửa dàn Sup.Ta có thể định nghĩa một phép toán
hai ngôi trên E nhƣ sau:
x y = Sup x, y (1)
Phép toán hai ngôi (1) gọi là phép toán liên kết với các cấu trúc nửa
dàn Sup của E.
Tƣơng tự với nửa dàn Inf ta có phép toán hai ngôi liên kết cấu
trúc nửa dàn Inf xác định bởi:
x y = Inf x, y (2)
Theo định nghĩa với mỗi dàn (E, ≤) ta có thể xác định hai phép toán
hai ngôi và liên kết cấu trúc dàn của E.
Dễ thấy rằng nếu tập E với quan hệ thứ S là một nửa dàn Sup thì với quan hệ
thứ tự ngƣợc S-1
, E là một nửa dàn Inf và ngƣợc lại.
Mệnh đề 5.1:
Giả sử tập đƣợc sắp (E, ≤) là một nửa dàn Sup. Khi đó phép toán hai
ngôi liên kết với cấu trúc nửa dàn Sup của E là giao hoán, kết hợp và lũy
đẳng (tức là mọi x E, xx = x).
Ngƣợc lại mỗi phép toán hai ngôi kết hợp giao hoán và lũy đẳng
trên E là một phép toán liên két với cấu trúc nửa dàn Sup trên E xác định bởi
quan hệ thứ tự:
x ≤ y nếu x y =y (3)
Chứng minh:
Dễ thấy rằng phép toán hai ngôi xác định bởi (1) là giao hoán, lũy
đẳng. Đối với mọi x,y,z E theo định nghĩa cận trên đúng ta có:
u = (x y) z x y ≤ và z ≤ u và t E nếu x y ≤ t
và z ≤ t thì u ≤ t.
x ≤ u, y≤ u, z ≤ u và t E nếu x ≤ t, y ≤ t và z ≤ t thì u ≤ t.
GV: Nguyễn Tiến Thịnh Page 2
x ≤ u, y z x (y z) u và t E nếu x ≤ t, y z ≤ t thì u ≤ t.
u = x (y z)
Vậy ( x y) z = x (y z)
Để chứng minh điều khẳng định ngƣợc lại ta cần chứng tỏ quan hệ
xác định bởi (3) là một quan hệ thứ tự.
Vì x = x x nên x ≤ x,do đó quan hệ thứ tự có tính phản xạ. Giả sử
x ≤ y và y ≤ z. Ta có y = x y, z = y z.Do đó z = (x y) z = x (y
z) = x z. Vậy có x ≤ z, quan hệ có tính bắc cầu.
Giả sử x ≤ y và y ≤ x.
Ta có x = y x = x y = y. Vậy quan hệ đang xét có tính phản đối xứng.
Ta cần chứng tỏ phép toán là phép toán liên kết với cấu trúc nửa
dàn Sup của (E, ≤ ). Ta có y ≤ x y vì (x y ) y = x (y y) = x y
Tƣơng tự x ≤ x y .Nếu z là một cận trên của x và y ta có z = x z,
z = y z.
Vậy z = x z = x ( y z) =( x y) z. Do đó x y ≤ z và x y = Sup
x, y .
Theo 3 x ≤ y y = Sup x, y .
Hệ quả: và
Giả sử (E, ≤ ) là một dàn. Khi đó các phép toán liên kết ( x y) = Sup x,
y , x y = Inf x, y là kết hợp, giao hoán , lũy đẳng và đối với mọi
cặp (x,y) E ta có
Y = x y x = x y (4)
ngƣợc lại nếu tập E đợc trang bị hai phép toán hai ngôi và kết hợp,
giao hoán luỹ đẳng thoả mãn điều kiện (4) . Khi đó và là các phép toán
liên kết với cấu trúc dàn duy nhất trên E xác định bởi quan hệ thứ tự:
x ≤ y nếu y = x y (hoặc x = x y) (5)
2. Đồng cấu dàn
Giả sử (E, ≤),(E’, ≤) là các dàn. Ánh xạ h: E →E’ đƣợc gọi là một
đồng cấu từ dàn E vào dàn E’ nếu thoả mãn các điều kiện sau đây:
h( x y) = h(x) h(y)
h( x y) = h(x) h(y) (6)
Theo (6) h là một đồng cấu nửa nhóm đối với các phép toán hai hai
ngôi liên kết với cấu trúc dàn .
Mệnh đề 5.2:
Mỗi đồng cấu dàn h: E → E’ là môt ánh xạ bảo toàn thứ tự (ánh xạ
tăng).
Chứng minh:
GV: Nguyễn Tiến Thịnh Page 3
X ≤ y y = x y h(y) = h(x y) = h(x) h(y) h(x) ≤ h(y)
Chú ý: Nếu E, E’ là các dàn, một ánh xạ bảo toàn thứ tự từ E vào E’
có thể không phải là một đồng cấu dàn
Mỗi dàn (E, ≤ ) có thể xem nhƣ một tập đƣợc trang bị phép toán hai
ngôi và thoả mãn điều kiện (4). Do đó mỗi dàn con của dàn (E, ≤) có
thể xem là một tập con L E ổn định đối với các phép toán và . Giao
các dàn con chứa, một tập gọi là dàn con sinh bởi một tập đó . Mỗi tƣơng
đẳng trên dàn (E, ≤ ) là một quan hệ tƣơng đƣơng trên E tƣơng thích đối với
các phép toán , . Do đó ta có thể xây dựng dàn tƣơng thích, tích các
dàn,…
Khái niệm khoảng:
Giả sử a, b là các phần tử của tập đƣợc sắp xếp (E, ≤ ), a ≤ b. Khoảng
[a, b] là một tập con xác định bởi :
[a, b] = [x E:a ≤ x ≤ b] (7)
Dễ thấy rằng nếu (E; ≤ ) là một dàn thì mỗi khoảng [a, b] là một dàn
con của E.
3. Dàn phân phối và dàn môđula
Một dàn (E; ≤) gọi là dàn phân phối nếu các phép toán liên kết và
phân phối với nhau, tức là:
x (y z) = (x y) ( x z)
x (y z) = ( x y) ( x z) (8)
Có thể chỉ ra nhiều ví dụ về dàn phân phối. Chẳng hạn N, Z Q, R đối
với thứ tự thông thƣờng: P(X) đối với thự tự bao hàm là các dàn phân phối.
Nhƣng cũng có những dàn quan trọng không phải là dàn phân phối. Chẳng
hạn dàn các không gian con của một không gian vectơ có số chiều > 1. Do
đó ngƣời ta đã đi đến khái niệm dàn môđula đòi hỏi điều kiện yếu hơn điều
kiện phân phối.
Định nghiã:
Dàn (E, ) gọi là hàm môđula hay dàn Đêđêkind nếu thoả mãn điều
kiện:
x ≤ z x (y z) = (x y) z. (9)
4. Dàn nguyên tử
Giả sử dàn (E, ) có phần tử nhỏ nhất, kí hiệu là 0 và phần tử lớn nhất
kí hiệu là 1. Khi đó với mọi x E ta có:
Vì 0 x do đó 0 x = 0, 0 x = x.
GV: Nguyễn Tiến Thịnh Page 4
Vì x 1 do đó x 1 = x, x 1 = 1.
Nguyên tử của dàn:
Giả sử (E, ) là một dàn có phần tử bé nhất 0. Khi đó mỗi phần tử tối
thiểu của tập đƣợc sắp (E – 0, ) gọi là một nguyên tử của dàn (E, ).
Tức là ≠ 0, sao cho nếu x thì x = 0 hoặc x = .
Mệnh đề 5.3:
Giả sử dàn (E, ) có phần tử nhỏ nhất 0. Khi đó hai nguyên tử phân
biệt 1,2 của dàn (E, ) là rời nhau, tức là 1 2 = 0.
Chứng minh:
Nếu 1, 2 ≠ 0, ta có 1 = 1 2 = 2 .
Giả sử (E, ) là một dàn có phần tử bé nhất 0 và là một tập các
nguyên tử của dàn (E, ). Dàn (E, ) đƣợc gọi là dàn nguyên tử nếu E trùng
với dàn con sinh bởi tập .
Ví dụ trong dàn (P(X), ) các nguyên tử là tập con của một phần tử
x, x X. Khi đó = x: x X. Dàn con sinh bởi tập là gồm tất cả
các tập con hữu hạn của tập X. Do đó nếu X là một tập hữu hạn thì (P(X),
) là một dàn nguyên tử.
5. Dàn có phần bù
Giả sử dàn (E, ) có phần tử bé nhất 0 và phần tử lớn nhất 1. Phần tử
x E gọi là có phần bù nếu tồn tại x’ E phần tử thoả mãn:
x x’ = 0, x x’ = 1.
Phần tử x’ gọi là phần bù của phần tử x.
Dàn (E, ) gọi là dàn có phần bù nếu mọi phần tử của E đều có phần
bù.
Trong trƣờng hợp tổng quát chúng ta không thể khẳng định gì về sự
tồn tại và tính duy nhất của phần bù của một phần tử. Đối với dàn phân phối
ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 5.4:
Giả sử (E, ) là một dàn phân phối có phần tử nhỏ nhất là 0 và phần
tử lớn nhất là 1. Khi đó nếu phần tử x E có phần bù x’ thì phần tử đó là
duy nhất.
Chứng minh:
Giả sử x’1 E là một phần bù khác của x. Ta có x x’1 = 0,
x x’1 = 1. Theo (8) ta có:
x’ x’1 = (x’ x’1 ) (x x’1 )= (x’x ) x’1 = 1 x’1 = x’1 .
Tƣơng tự ta có x’ x’1 = x’. Vậy x’1 = x’.
GV: Nguyễn Tiến Thịnh Page 5
GV: Nguyễn Tiến Thịnh Page 6
§2 ĐẠI SỐ BULƠ
1. Định nghĩa và tính chất
Đại số Bulơ là một hệ thống (E, +, ., ’, 0, 1) trong đó 0, 1 là các phần
tử của tập E, “+”, “.”. Là các phép toán hai ngôi trên E, “ ’ ” là phép toán
một ngôi trên E, tức là ánh xạ tƣơng ứng mỗi phần tử x E với mỗi phần tử
x’ E, phần tử x’ gọi là phần bù của phần tử x, sao cho các điều kiện sau
đƣợc thoả mãn:
1) 0 ≠ 1.
2) (x’)’ = x” = x.
3) 0’ = 1.
4) x + x’ = 1.
5) (x + y)’ = x’y’.
6) (E, +, 0) là một vị nhóm giao hoán luỹ đẳng.
7) x.(y + z) = x.y + x.z.
8) x = x + y y = x.y.
Các tính chất sau suy ra từ định nghĩa:
a) 3*: 1’ = 0.
Suy ra từ (2) và (3)
b) 4*: xx’ = 0.
Theo (5), (4) và (3*) ta có:
xx’ = (x’ + x)’ = 1’ = 0.
c) 5*: (x.y)’ = x’ + y’.
Theo (5) ta có: (x’ + y’)’ = x”y” = xy. Vậy (x.y)’ = (x’ + y’)” = x’ + y’.
d) 6*: (E, ., 1) là một vị nhóm giao hoán luỹ đẳng.
Theo (5) và (6) ta có:
GV: Nguyễn Tiến Thịnh Page 7
- (x.y).z = (x’ + y’).z = ((x’ + y’) + z’ )’.
= (x’ + (y’ + z’))’ = (x’ + (y’ . z’))’ = x.(y.z ).
- x.y = x”y” = (x’ + y’)’ = (y’ + x’)’ = y.x .
- Vì (1.x)’ = 1’ + x’ = 0 + x’ = x’ do đó 1.x = x.
- Vì (x.x’)’ = x’ + x’ = x’ do đó x.x = x.
e) 0.x = 0.
Vì 0.x = 1’.x = (x + x’)’.x = (x’.x).x = x’.x = 0.
g) x + 1 = 1.
Vì 1 + x = (x’ + x) + x = x’ + x = 1.
h) 7*: x + y.z = (x + y).(x + z).
Thật vậy, theo (6*) và (7) thì phép toán “.” Phân phối hai phía đối với
phép toán cộng “+”. Theo (4) và (g) ta có:
(x + y).(x + z) = x.x + y.x + x.z + y.z.
= x + x.y + x.z + y.z.
= x(1 + y + z) + y.z = x + y.z.
i) Phần bù x’ của phần tử x đƣợc xác định duy nhất bởi hệ phƣơng
trình:
x + x’ = 1 và x.x’ = 0.
Thật vậy, giả sử có a E thoả mãn x + a = 1 và x.a = 0. Ta có:
x’.a = x’.a + x’.x = x’(a + x) = x’.1 = x’.
Tƣơng tự ta có x’.a = a. Vậy a = x’.
2. Đồng cấu đại số Bulơ.
Một đồng cấu đại số Bulơ (E, +, ., ’, 0, 1) vào đại số Bulơ (F, +, ., ’, 0,
1) là một ánh xạ ƒ: E → F thoả mãn các điều kiện:
GV: Nguyễn Tiến Thịnh Page 8
.1)1(,0)0(
).().().(
).()()(
hh
yhxhyxh
yhxhyxh
(1)
Mệnh đề 5.5:
Nếu h là một đồng cấu đại số Bulơ (E, +, ., ’, 0, 1) vào đại số
(F, +, ., ’, 0, 1) thì ta có:
h(x’) = h(x)’ (2)
Chứng minh:
Vì x + x’ = 1, x.x’ = 0.
Theo (1) ta có h(x) + h(x’) = 1, h(x).h(x) = 0. Theo tính chất (i) ta có
h(x’) = h(x)’ .
Mệnh đề 5.6:
Ánh xạ h: E → F là một đồng cấu đại số Bulơ nếu và chỉ nếu các điều
kiện sau đƣợc thoả mãn:
)'.()'(
).()()(
xhxh
yhxhyxh (3)
Chứng minh:
Điều kiện cần suy từ định nghĩa và mệnh đề 5.5.
Điều kiện đủ: Ta cần phải chứng tỏ h(x.y) = h(x).h(y), h(1) = 1 và
h(0) = 0.
Ta có h(x.y)’ = h((x.y)’) = h(x’ + y’) = h(x’) + h(y’).
= h(x)’ + h(y)’ = (h(x) . h(y))’.
Do đó ta có h(x.y) = h(x).h(y).
h(0) = h(x.x’) = h(x) . h(x’) = 0.
h(1) = h(x + x’) = h(x) + h(x’) = h(x) + h(x’) = 1.
3. Đại số con của một đại số Bulơ
GV: Nguyễn Tiến Thịnh Page 9
Định nghĩa:
Tập con M E gọi là đại số của đại số Bulơ (E, +, ., ’, 0, 1) nếu thoả
mãn các điều kiện sau:
a) 0 M, 1 M.
b) Với mọi x, y M x + y M, x.y M, x’ M.
Dễ thấy rằng mỗi đại số con của đại số Bulơ là một đại số Bulơ.
Mệnh đề 5.7:
Tập con M E là một đại số con của đại số Bulơ (E, +, ., ’, 0, 1) khi
và chỉ khi thoả mãn một trong hai điều kiện sau đây:
) 0 M: x, y M x + y M, x + y M, x’ M.
) 1 M: x, y M x + y M, x.y M, x’ M.
Chứng minh:
Điều kiện cần là hiển nhiên:
Điều kiện đủ:
a) 1 = 0’ M.
Với x, y M ta có (x.y)’ = x’ + y’ M.
Do đó x.y = ((x.y)’)’ M.
b) 0 = 1’ M.
x + y = (x’)’ + (y’)’ = (x’.y’) M.
4. Tính chất đối ngẫu
Từ định nghĩa và các tính chất đã đƣợc chứng minh trên đây của đại
số Bulơ, ta nhận thấy rằng: Nếu hệ thống (E, +, ., ’, 0, 1) là một đại số Bulơ
thì hệ thống (E, ., +, ’, 0, 1) cũng là một đại số Bulơ. Ánh xạ h(x) = x’ là một
đẳng cấu của đại số Bulơ (E, +, ., ’, 0, 1) lên đại số (E, ., +, ’, 0, 1). Do đó
mỗi tính chất của đại số Bulơ (E, +, ., ’, 0, 1) liên kết với một tính chất “đối
GV: Nguyễn Tiến Thịnh Page 10
ngẫu” bằng cách thay đổi dấu “+” thành dấu “.” và dấu “.” bởi “+”, mỗi
phần tử bởi phần bù của nó.
5. Các ví dụ
a) Đại số Bulơ hai phần tử:
Tập Z2 = 0, 1 là một đại số Bulơ đối với các phép toán xác định nhƣ
sau:
0 + 1 = 1 + 0 = 1, 0 + 0 = 0.
1 . 0 = 0 . 1 = 0 . 0 = 0, 1 . 1 = 1.
0’ = 1, 1’ = 0.
Đó là cấu trúc đại số Bulơ duy nhất trên Z2 .
b) Đại số Bulơ P (X)
Giả sử X là một tập khác rỗng. Dễ dàng thấy rằng P (X) là một đại
số Bulơ đối với các phép toán sau đây:
XAXA
BABABABA
1,0,'
.,
Nếu X là tập có một phần tử, khi đó P (X) là một đại số Bulơ có hai
phần tử ở ví dụ (a). Giả sử X1 , X2 là các tập khác rỗng và ƒ: X1 → X2 , khi
đó ánh xạ h: P (X1) → P (X2) xác định bởi: h(D) = ƒ-1
(D), D P (X2) là
một đồng cấu của đại số Bulơ P (X2) vào đại số Bulơ P (X1).
6. Thứ tự trong đại số Bulơ
Giả sử (E, +, ., ’, 0, 1) là một đại số Bulơ. Theo hệ quả của mệnh đề
5.1 tập E với quan hệ thứ tự
X y nếu y = x + y (hoặc x = x.y).
là một dàn, các phép toán “+”, “.” là các phép toán liên kết với cấu trúc dàn.
Phần tử 0 là phần tử nhỏ nhất, phần tử 1 là phần tử lớn nhất và (E, ) là dàn
có phần bù.
GV: Nguyễn Tiến Thịnh Page 11
Theo thuật ngữ của lý thuyết tập, nếu x y ta nói phần tử x bị chứa
trong phần tử y hoặc phần tử y chứa phần tử x và nếu x.y = 0 ta nói các phần
tử x và y rời nhau. Nếu x = x1 + ... + xn ta nói rằng họ x1 + ... + xn là một
cái phủ của x và nếu thoả mãn điều kiện x1xj = 0, i ≠ j ta viết
x = x1 ... xn .
Mệnh đề 5.8:
Trong đại số Bulơ E ta có:
x y y’ x’ .
Chứng minh:
x y x = x.y x’ = x’ + y’ y’ x’ .
Mệnh đề 5.9:
Trong đại số Bulơ E ta có:
a x và b y a.b x.y và a + b x + y.
Chứng minh:
a x và b y ta có a.x = a, b.y = b.
Do đó (a.b)(x.y) = a.b, vậy a.b x.y.
(a + b)(x + y) = ax + bx + ay + by.
= a + ay + b + by.
= a(1 + y) + b(1 + x) = a + b.
Vậy a + b x + y.
Các nguyên tử trong đại số Bulơ:
Mệnh đề 5.3 vẫn đúng trong đại số Bulơ. Mệnh đề sau vẫn đúng đối
với dàn phân phối có phần tử bé nhất.
Mệnh đề 5.10:
Giả sử w là một nguyên tử của đại số Bulơ E, nếu w x + y thì w x
hoặc w y.
GV: Nguyễn Tiến Thịnh Page 12
Ta có wy = wy + wx = w(x + y) = w. Vậy w y.
Hệ quả:
Giả sử E là một đại số Bulơ và w là một nguyên tử của E. Khi đó đối
với mọi x E ta có w x hoặc w x’.
7. Cấu trúc vành của đại số Bulơ
a) Vành Bulơ: Vành A gọi là vành Bulơ nếu mọi phần tử là luỹ đẳng,
tức là a2 = a, a A.
Trong vành Bulơ A, mọi phần tử a A thoả mãn 2a = 0 (tức là
a = -a). Thật vậy ta có:
2a = (2a)2 = 4a
2 = 4a.
Vậy 2a = 0.
Vành Bulơ là một vành giao hoán. Thật vậy, ta có:
x + y = (x + y)2 = x + x.y + y.x + y.
Do đó xy + yx = 0 hay xy = - yx= yx.
b) Vành Bulơ liên kết với đại số Bulơ:
Giả sử (E, +, ., ’, 0, 1) là một đại số Bulơ. Hiệu đối xứng của các phần
tử x, y E, kí hiệu x y, đƣợc xác định bởi:
x y = x.y’ + x’.y.
Dễ dàng chứng minh rằng (E, , ., 0, 1) là một vành Bulơ và gọi là
vành Bulơ liên kết với đại số Bulơ (E, +, ., ’, 0, 1).
Ví dụ: Vành Bulơ liên kết với đại số Bulơ hai phần tử là trƣờng Z2 .
Mệnh đề 5.11:
a) Giả sử h: E → F là một đồng cấu của đại số Bulơ (E, +, ., ’, 0, 1)
vào đại số Bulơ (F, +, ., ’, 0, 1). Khi đó h là một đồng cấu vành (E, , ., 0, 1)
vào vành (E, , ., 0, 1).
GV: Nguyễn Tiến Thịnh Page 13
b) Ngƣợc lại nếu h: E → F là một đồng cấu của vành (E, , ., 0, 1)
vào vành (F, , ., 0, 1) thoả mãn h(1) = 1 thì h là một đồng cấu của đại số
Bulơ (E, +, ., ’, 0, 1) vào đại sô Bulơ (F, , ., 0, 1).
Chứng minh:
a) Giả sử h: E → F là một đồng cấu đại số Bulơ. Theo mệnh đề 5.5 ta
có:
h(x’) = h(x)’.
Với mọi x, y ta có:
h(x y) = h(x’y + xy’) = h(x’y) +h(xy’).
= h(x’)h(y) + h(x)h(y’) = h(x)’h(y) + h(x)h(y)’.
= h(x) h(y).
Vậy h là một đồng cấu vành.
b) Giả sử h: E → F là một đồng cấu của vành (E, , ., 0, 1) vào vành
(F, , ., 0, 1) thoả mãn h(1) = 1. Ta có:
h(x y) = h(x) h(y), h(x.y) = h(x).h(y).
Do đó h(x’y + xy’) = = h(x’)h(y) + h(x)h(y’).
Với y = 1, ta có h(x’) = h(x)’, x E.
h(x + y) = h((x’y’)’) = h(x’y’)’ = (h(x’)h(y’))’.
= (h(x’)h(y’))’ = h(x) + h(y).
Theo mệnh đề 5.6 h là một đồng cấu đại số Bulơ.
Nhờ mối liên hệ giữa đại số Bulơ và vành Bulơ liên kết, ta có thể áp
dụng vào đại số Bulơ nhiều khái niệm tính chất về vành.
Tập con J E đƣợc gọi là một Iđêan của đại số Bulơ E nếu J là một
Iđêan của vành Bulơ liên kết, ta cũng kí hiệu là J E.
Có thể chứng minh đƣợc rằng:
GV: Nguyễn Tiến Thịnh Page 14
Điều kiện cần và đủ để tập con J E là một Iđêan của đại số Bulơ
(E, +, ., ’, 0, 1) là:
0 J, x, y J x + y J, x.E J.
Mỗi quan hệ S trên E tƣơng đẳng đối với cấu trúc đại số Bulơ của E
đƣợc xác định một cách duy nhất bởi một Iđêan thực sự J E.
Y S(x) nếu y x J (hoặc y x J).
Nếu J là một Iđêan thực sự của đại số Bulơ E thì tập thƣơng
J
E = x = x J : e E.
là một đại số Bulơ đối với các phép toán thƣơng:
.11,00
.')'(
J..)J).((
.)()J()(
JJ
JxJx
yxyJx
JyxyJx
GV: Nguyễn Tiến Thịnh Page 15
BÀI TẬP CHƢƠNG V
Bài 1) Xét tập E = 1, 2, 3, 6 các cấu trúc dàn trên E tƣơng ứng với
các quan hệ: S là quan hệ chia hết, R là quan hệ thứ tự thông thƣờng. Chứng
tỏ rằng ánh xạ đồng nhất idE: (E, S) → (E, R) là một ánh xạ bảo toàn thứ tự
nhƣng không phải là một đồng cấu dàn.
Bài 2) Chứng minh rằng một tập với hai phép toán hai ngôi và
giao hoán, kết hợp và thoả mãn x (x y) = x và x (x y) = x là một
dàn.
Bài 3) Nếu quan hệ R là một tƣơng đẳng trên một dàn thì ta có:
(x, y) R (x y, x y) R.
Bài 4) Trong một dàn, nếu y z thì ta có:
x y x z; x y x z, y (x z) z (x y).
Bài 5) Chứng minh rằng trong một dàn ta có:
x (y z) (x y) (x z), x (y z) (x y) (x z).
Bài 6) Giả sử (E, ), (E’, ) là các dàn. Chứng minh rằng tập EE
với quan hệ sau đây là một dàn:
(x, x’) (y, y’) nếu x y và x’ y’.
Bài 7) Giả sử n = p11
, ... , p ss
, pi, i = 1, ... là các số nguyên tố
khác nhau. Ta kí hiệu L() là dàn các số nguyên 0, 1, ... , với thứ tự
thông thƣờng. Chứng minh rằng dàn các nhóm con (với thứ tự bao hàm) của
nhóm Zn đẳng cấu với dàn tích L(1) ... L(s).
Bài 8) Những nhóm xyclic hữu hạn nào có dàn các nhóm con đẳng
cấu với dàn các nhóm con của nhóm Zn .
Bài 9) Giả sử A, B là các nhóm con Aben hữu hạn có cấp nguyên tố
cùng nhau. Chứng minh rằng L(A B) L(A) L(B), (L kí hiệu dàn các
nhóm con).
Bài 10) Giả sử E là một tập cho trƣớc và A P (E).
GV: Nguyễn Tiến Thịnh Page 16
Chứng minh rằng tập L = B P (E): A B là một dàn con của
P (E). Xác định tập Ω0 các nguyên tử của L. Chứng minh L P (Ω0).
Bài 11) Chứng minh rằng dàn (E, ) phân phối nếu (x z) y = (x
y) z và chỉ nếu x, y, z E.
Bài 12) Một dàn (E, ) là phân phối nếu và chỉ nếu thoả mãn điều
kiện:
x y z và x y x z.
Bài 13) Chứng minh rằng:
a) Một dàn phân phối là môđula.
b) Mỗi dàn là một môđula nếu và chỉ nếu thoả mãn diều kiện:
x y z x (z y) x = z.
Bài 14) Tập các nhóm con chuẩn tắc của một nhóm với thứ tự bao
hàm là một dàn môđula.
Bài 15) Giả sử (E, ) là một dàn môđula: a, b E, A = [a b, a],
B = [b, a b]. Hãy chứng tỏ các ánh xạ ƒ: A → B và g: B → A xác định bởi
ƒ(x) = x b, g(y) = y a là các đẳng cấu ngƣợc nhau.
Bài 16) Giả sử n > 1. Chứng minh rằng dàn các nhóm con của nhóm
Zn là một đại số Bulơ nếu và chỉ nếu n không chia hết cho bất kì bình
phƣơng của số nguyên tố nào.
Bài 17) Chứng minh rằng tập các tập vừa đóng vừa mở của một không
gian tôpô là một đại số Bulơ.
Bài 18) Tập con A Z gọi là n – tuần hoàn nếu A = A + n. Chứng
minh rằng các tập con n – tuần hoàn, n Z là một đại số Bulơ.
Bài 19) Chứng minh rằng trong một đại số Bulơ ta có:
x y xy’ = 0 x’ + y = 1.
Bài 20) Trong một đại số Bulơ ta có:
xz = yz x’y’ + xy z.
GV: Nguyễn Tiến Thịnh Page 17
Bài 21) Chứng minh rằng các Iđêan của một đại số Bulơ hữu hạn E là
Iđêan chính, nghĩa là có dạng J(a) = x E: x a, trong đó a E.
Bài 22) Chứng minh rằng Iđêan J của đại số Bulơ E là maximan nếu
và chỉ nếu E / J là đại số Bulơ hai phần tử.
Bài 23) Giả sử a, b, c là các phần tử cho trƣớc của đại số Bulơ E. Hãy
giải trong E các phƣơng trình sau:
(i) ax + bx’ = 0.
(ii) ax + b = 0.
(iii) ax = b.
(iv) ax + bx’ + c = 0.
Bài 24) Giải trong đại số Bulơ hệ phƣơng trình:
x + yz = y + xz = 1.
Bài 25) Giả sử E, E’ là các đại số Bulơ. Chứng minh rằng:
a) Ánh xạ tăng h: E → E’ thoả mãn h(0) = 0, h(1) = 1 là một đồng
cấu.
b) Mỗi ánh xạ h: E → E’ là một đẳng cấu khi và chỉ khi h là toàn ánh
và ánh xạ tăng.
Bài 26) Chứng minh rằng trong đại số Bulơ ta có:
x y (x z) + (z y).