chƯƠng 4

CHƯƠNG 4CHƯƠNG 4

TRỊ RIÊNG. VECTƠ RIÊNG.TRỊ RIÊNG. VECTƠ RIÊNG.CHÉO HÓA MA TRẬNCHÉO HÓA MA TRẬN

----------

Nội dung

1. Trị riêng. Vectơ riêng.

2. Không gian đặc trưng.

3. Vấn đề chéo hóa một ma trận vuông.

Chương 4Chương 4

1. Trị riêng. Vectơ riêng:


Ví dụ: 12/197

Bước 1: Lập phương trình đặc trưng

0l- =A I

( )

( ) ( )2

3

3

0 3 0 3

0

l l

l l l

l l

ll

l ll

l

l l

1- 2 - 2 - 2 - 2

Û - 2 5- - 2 = 3- 5- - 2

- 6 6 - 3- 0 6 - 3-

- 2 - 23- 0

= - = -6 - 3-

0 6 - 3-

= 3- - 3- =


a) Phương trình đặc trưng:

( ) ( ) 0l l2

3- - 3- =

b) Trị riêng, vectơ riêng tương ứng:

3l =Trị riêng:

Vectơ riêng ứng với trị riêng 3l =

1 2 3

1 2 3

2

2 2 2 2 2 2 2 0

6

, , , , 1,0,1 1,1,0 ,T T T T

x x x

v x x x b a ba a b a b

é ù- 2 - 2ê úê ú é ùÛ - 2 - 2 ® - - Û - + - =ê ú ê úë ûê ú- 6 6 -ê úë û

é ù é ù é ù é ùÞ = = - = - + " Îê ú ê ú ê ú ê úë û ë û ë û ë û R

Chọn a=1 và b=1 ta được 2 vectơ riêng ứng với trị riêng 1,0,1 1,1,0

T Té ù é ù- Ùê ú ê úë û ë û


Bước 2: Giải pt đặc trưng:

Bước 3:

3l = -Trị riêng:

Vectơ riêng ứng với trị riêng 3l = -

3 22 1

3/ 2

1 2 3

4 44 2 2

8 0 9 30 9 3

0 0 18 6

, , , ,3 1,1,3

d dd d

T T Tv x x x a a a a a

-+

é ù é ù2 - 2 2 - 2ê ú ê ú é ù-ê ú ê ú ê úÛ - 2 - 2 ¾¾¾¾® - ®ê ú ê ú ê ú-ê ú ê ú ê úë û- 6 6 -ê ú ê úë û ë ûé ù é ù é ùÞ = = = " Îê ú ê ú ê úë û ë û ë û R

Chọn a=1 ta được vectơ riêng ứng với trị riêng 1,1,3Té ùê úë û


Nội dung





2. Không gian đặc trưng:


Ví dụ: 12/197

( ) { } { }{ }

3 3

31 2

3 | 3 | 1,0,1 1,1,0

|

T T

T T

E v v v v a b

v av bv

é ù é ù= Î = = Î - +ê ú ê úë û ë û

= Î +

AR R

R

Không gian riêng ứng với trị riêng 3l =

Các vec tơ v1 và v2 độc lập tuyến tính với nhau, tạo thành một cơ

sở của không gian riêng E(3). Do đó số chiều của E(3) bằng 2

hay dim(E(3))=2.


( ) { } { }{ }

3 3

33

3 | 3 | 1,1,3

|

T

T

E v v v v a

v av

é ù- = Î = - = Î ê úë û

= Î

AR R

R

Không gian riêng ứng với trị riêng 3l = -

Có thể thấy rằng các vectơ v1, v2, v3 độc lập tuyến tính với nhau.

Vì vậy bộ ba vectơ riêng của A tạo nên một cơ sở của KGVT R3.

Các vec tơ v3 độc lập tuyến tính với nhau, tạo thành một cơ sở

của không gian riêng E(-3). Do đó số chiều của E(-3) bằng 1 hay

dim(E(-3))=1.


Nội dung





3. Vấn đề chéo hóa một ma trận vuông:



Ví dụ: 12/197

( ) { }31 2

3 | T TE v av bv= Î +R

Các không gian đặc trưng:

có:

( ) ( )dim 3 dim 3 3E E+ - =

( ) { }33

3 | TE v av- = Î R

và

có:

( )dim 3 1E - =

Theo định lý 7:

suy ra ma trận A chéo hóa được.

( )dim 3 2E =

Chéo hóa ma trận A:


1- =P AP D

Vì A chéo hóa được, tức là A đồng dạng với một ma trận chéo D, nên

tồn tại ma trận P khả nghịch, sao cho

trong đó:

1 2 3

1 1 1

, , 0 1 1

1 0 3

v v v

é ù-ê úê úé ù= = ê úê úë û ê úê úë û

P

1 1 2

3 0 0

diag , , 0 3 0

0 0 3

l l l

é ùê úê úé ù= = ê úê úë û ê ú-ê úë û

D


Tính Ak:

( )

{ { {

( )

1 1 1

1 1 1 1 1

1 2, , ,

k

k

k k km

kVT

VP diag l l l

- - -

- - - - -

=

= =

=I I I

P AP P AP P AP D

P APP APP PP AP P A P

K1444444444442444444444443

K

K

( )1 11 2, , ,k k k k k

mdiag l l l- -Þ = =A PD P P PK

Đề cương ôn tập thi cuối học kỳ môn Đề cương ôn tập thi cuối học kỳ môn Đại Số CĐại Số C

• Nội dung: Gồm 3 chương

Chương 2: Định thức và hệ phương trình ĐSTT• Hạng ma trận• Hệ phương trình thuần nhất: Tìm nghiệm tổng quát, nghiệm cơ sở.

Chương 3: Không gian vectơ• Tổ hợp tuyến tính. Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính.• Không gian con, cơ sở, số chiều của không gian con sinh bởi một hệ các vectơ.• Tọa độ vectơ trong cơ sở. Ma trận chuyển cơ sở. Hệ thức liên hệ tọa độ vectơ giữa hai cơ sở.

Chương 4: Trị riêng. Vectơ riêng. Vấn đề chéo hóa ma trận• Trị riêng. Vectơ riêng. Không gian đặc trưng. • Sự chéo hóa ma trận. Tìm ma trận chéo trong trường hợp chéo hóa được.

• Hình thức thi: Tự luận. Thi phần bài tập. Cần nắm lý thuyết để giải bài tập.

chƯƠng 4

Documents