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8/16/2019 ClasificacionPNL

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República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular Para la Educación Superior

Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado

Decanato de Ciencias y Tecnología

Isabel Mosquera 19.590.474 | Optimización | 11 de mayo de 2016 | Prof. Emily Vásquez

OPTIMIZACIÓNCLASIFICACIÓN PROGRAMACIÓN NO LINEAL


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INTRODUCCIÓN

Los problemas de programación no lineal se presentan de muchas formas distintas.

Al contrario del método símplex para programación lineal, no se dispone de un algoritmo que

resuelva todos estos tipos especiales de problemas. En su lugar, se han desarrollado algoritmos

para algunas clases (tipos especiales) de problemas de programación no lineal.

Se introducirán las clases más importantes y después se describirá cómo se pueden resolver

algunos de estos problemas.

Si la función objetivo f es lineal y el espacio restringido es un politopo, el problema es de

Programación lineal y puede resolverse utilizando alguno de los bien conocidos algoritmos de

programación lineal.

Si la función objetivo es cóncava (problema de maximización), o convexa (problema de

minimización) y el conjunto de restricciones es convexo, entonces se puede utilizar el método

general de Optimización convexa

Existe una variedad de métodos para resolver problemas no convexos.


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PROGRAMACIÓN NO LINEAL

Es el proceso de resolución de un sistema de igualdades y desigualdades sujetas a un conjunto de

restricciones sobre un conjunto de variables reales desconocidas, con una función objetivo a

maximizar, cuando alguna de las restricciones o la función objetivo no son lineales.

Esta característica particular de los modelos no lineales permite abordar problemas donde existen

economías o deseconomías de escala o en general donde los supuestos asociados a la

proporcionalidad no se cumplen.

De la manera general el problema de programación no lineal consiste en encontrar:

X=(X1, X2, X3, X4, XN) para

Maximizar f(X),

Sujeta a

Gi(X)0;

El campo de aplicación de la programación no lineal es muy amplio, sin embargo, hasta la fecha los

investigadores de esta rama del conocimiento no han desarrollado un método sistemático que sea

práctico para su estudio.

CLASIFICACIÓN O TIPOS DE PROBLEMAS

Las maneras de resolver problemas de Prog. No lineal son muy variadas por lo que no se pueden

resolver por método simplex, los tipos son los siguientes:

1.

Optimización no restringida: problema sin restricciones, es decir, el problema se

reduce a: max f(x).

2.

Optimización linealmente restringida: si todas las funciones de restricciones son

lineales pero la función objetivo es no lineal. Se han desarrollado extensiones del

método Sımplex. Un caso particular, con m = 0 es aquel en que hay variables no

negativas. Por ejemplo, max f(x) s.a xj ≥ 0

3. Programación cuadrática: problema restringido linealmente con función objetivo

cuadrática, ejemplo:

4.

Programación convexa: abarca una amplia clase de problemas, entre los cuales,

como casos especiales, se puede mencionar todos los tipos anteriores cuando f(x) es

una función cóncava que debe maximizarse. Los supuestos son: (i) f(x) es cóncava y (ii)

cada gi(x) es convexa. Estos supuestos aseguran que un máximo local es global, si el

problema es de minimización


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5.

Programación separable: es un caso especial de programación convexa, en donde

el supuesto adicional es: todas las funciones f(x) y gi(x) son separables. Una función

separable es una función en la que cada término incluye una sola variable, por lo que

la función se puede separar en una suma de funciones de variables individuales.

6.

Programación no convexa: incluye todos los problemas de PNL que no satisfacenlos supuestos de programación convexa. En este caso, aun cuando se tenga ´éxito en

encontrar un máximo local, no hay garantía de que sea también un máximo global. Por

lo tanto, no se cuenta con un algoritmo que garantice encontrar una solución ´óptima

para todos estos problemas; sin embargo, existen algunos algoritmos bastante

adecuados para encontrar máximos locales, en especial cuando las formas de las

funciones no lineales no se desvían demasiado de aquellas que se supuso para

programación convexa. Ciertos tipos específicos de problemas de programación no

convexa se pueden resolver sin mucha dificultad mediante métodos especiales.

7.

Programación geométrica: cuando se aplica PNL a problemas de diseño de

ingeniería, muchas veces la función objetivo y las funciones de restricción toman la

forma

Donde

En tales casos, ck y akj con frecuencia representan las constantes físicas, mientras que las

xj son las variables de diseño. Estas funciones por lo general no son ni cóncavas ni convexas, por lo

que las técnicas de programación convexa no se pueden aplicar en forma directa a estos problemas

de programación geométrica. Sin embargo, existe un caso importante en el que el problema se

puede transformar en un problema de programación convexa equivalente. Este caso es aquel en

el que todos los coeficientes ck de cada función son estrictamente positivos, es decir, las funciones

son polinomios positivos generalizados (ahora llamados posinomios), y la función objetivo se tiene

que minimizar.

8.

Programación fraccional: si la función objetivo se encuentra en la forma de una

fracción, esto es, como razón o cociente de dos funciones, estos problemas de

programación fraccional surgen, por ejemplo, cuando se maximiza la razón de la

producción entre las horas-persona empleadas (productividad), o la ganancia entre el

capital invertido (tasa de rendimiento), o el valor esperado dividido entre la desviación

estándar de alguna medida de desempeño de una cartera de inversiones (rendimiento

/ riesgo).

9.

Problema de complementariedad: Dadas las variables w1, w2, . . . , wp y z1, z2, . . . ,

zp, el problema de complementariedad encuentra una solución factible para el

conjunto de restricciones


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Que también satisface la llamada restricción de complementariedad,

Aquí, w y z son vectores columna, F es una función vectorial y el superíndice t denota la

transpuesta. El problema no tiene función objetivo, de manera que, desde un punto de vista

técnico, no es un problema de programación no lineal completo. Se llama problema de

complementariedad por las relaciones complementarias que establecen las también conocidas

como variables complementarias que

Un caso en especial importante es el problema de complementariedad lineal, donde

Donde q es un vector columna dado y M es una matriz dada de orden p × p. Se dispone de

algoritmos eficientes para resolver este problema bajo algunos supuestos adecuados sobre las

propiedades de la matriz M. Uno de ´estos requiere pivotear de una solución básica factible a la

siguiente, en forma muy parecida a la del método simplex para programación lineal. Además de

tener aplicaciones en programación no lineal, los problemas de complementariedad se utilizan en

teoría de juegos, problemas de equilibrio económico y problemas de equilibrio en ingeniería.


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CONCLUSIÓN

La programación no lineal tiene la limitante de la no existencia de un algoritmo único para cualquier

problema no lineal, así como lo hace el método Simplex en la Programación Lineal, lo cual complica

un poco más su estudio.

Los métodos de solución de programación no lineal, se pueden clasificar en términos generales

como procedimientos directos o indirectos. Es una poderosa herramienta en el proceso de

resolución de un sistema de igualdades y desigualdades, también es sumamente importante en la

modernización de los problemas de la vida real como en la teoría de matemática de amplia

aplicación, las igualdades y desigualdades están sujetas a un conjunto de restricciones sobre un

conjunto de variables reales desconocidas, con una función objetivo a maximizar.

La mayoría de los Problemas de Programación no Lineal requieren de la ayuda de Software de

computadora para poder llegar a su solución completa.

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