Colisões

O que é uma colisão?

• Processo em que duas partículas são lançadas uma contra a outra e há troca de momento linear e energia. Queremos estudar as possíveis situações finais depois que as partículas se afastam da região de interação.

Antes

Durante

Depois

Exemplos: Atmosfera

Partículas carregadas aceleradas pelas linhas de campo magnético terrestre criam a Aurora (Boreal ou Austral). A emissão é causada pela desexcitação radiativa de moléculas da atmosfera que foram ionizadas por colisões com as partículas aceleradas que se originam no vento solar.

Exemplo histórico: estrutura do átomo

• Ernest Rutherford (1911): descobriu a estrutura nuclear do átomo. Primeiro experimento de colisão de partículas sub-atômicas.

Modelo de Thomson: previa deflexão pequena das partículas

Rutherford observou grandes deflexões, sugerindo um núcleo duro e pequeno

Exemplos: Partículas elementares

• Colisões entre partículas elementares (elétron-elétron, elétron-próton, etc.) são responsáveis por quase toda a informação que temos sobre as forças fundamentais da natureza (exceto a gravitacional).• Essas colisões são geradas a partir da aceleração das partículas elementares em grandes aceleradores de partículas (CERN, FermiLab, LHC).

Criação de pares elétron-pósitron

O que faremos:

• Pode-se estudar os produtos das colisões e suas configurações finais com o intuito de investigar a natureza das forças. Essencialmente, é isso que se faz num acelerador de partículas como o Fermilab, CERN ou o LHC.

• Entretanto, existem características gerais que regem todas as colisões, que são consequências das leis de conservação de energia e momento linear. Vamos nos concentrar nessas características gerais.

Características gerais:

• Exemplo das colisões de bolhas de bilhar: as forças de contato são muito grandes e agem por curtíssimos intervalos de tempo.

• Não estamos interessados dos detalhes da força como função do tempo.

Queremos o resultado líquido de sua atuação Integral da força.

ppppp

Fp

p

if

t

t

t

t

f

i

f

i

f

i

ddtdt

ddt

Impulso:

pFJ f

i

t

t

dt

• A integral temporal da força é chamada impulso da força.

• O impulso da força total sobre um corpo durante um intervalo de tempo é igual à mudança do momento linear do corpo no intervalo.• Compare com o teorema de trabalho-energia.

Krdf

i

r

r

F

Impulso=área debaixo da curva

Força média=F=J/t

Exemplo: impulso numa colisão de bolas de bilhar:

m/s

kg

1

3,0

v

m Supomos que, ao ser atingida pela bola branca, uma bola de bilhar adquire a velocidade de 1 m/s.

A variação de seu momento linear é, em módulo:

Jvmp m/s kg 3,0

que dá o impulso transmitido pela bola branca na colisão.

Se o contato dura t 10-3 s, a força média exercida é

Nt

JF 300

Compare isso com a força peso nas bolas P=3N

Colisões elásticas e inelásticas:

Já vimos que colisões, por envolverem apenas forças internas, conservam momento linear. E a energia?

Embora a energia TOTAL seja sempre conservada, pode haver transformação da energia cinética inicial (inicialmente só há energia cinética) em outras formas de energia (potencial, interna na forma de vibrações, calor, perdas por geração de ondas sonoras, etc.).

Se a energia cinética inicial é totalmente recuperada após a colisão, a colisão é chamada de COLISÃO ELÁSTICA. Se não, a colisão é chamada de COLISÃO INELÁSTICA. Note que se houver aumento da energia cinética (quando há conversão de energia interna em cinética: explosão), a colisão também é inelástica.

fi KK Elástica Colisão

Colisões elásticas uni-dimensionais:

Lembramos que: m

pmv

mmvK

22

1

2

1 222

Assim:

2

22

1

21

2

22

1

21

2121

2222 m

p

m

p

m

p

m

p

pppp

ffii

ffii Conservação de momento linear

Conservação de energia cinética

Antes

Depois

Colisões elásticas uni-dimensionais:

2

22

1

21

2

22

1

21

2121

2222 m

p

m

p

m

p

m

p

pppp

ffii

ffii

22

22

21

21

2211

iffi

iffi

pppp

pppp

Definindo =m2/m1:

iffi

iffi

pppp

pppp

2211

2211

iffi

ififfifi

pppp

pppppppp

2211

22221111

Simplificando a 2a

Colisões elásticas uni-dimensionais:(a) massas iguais : =1

fi

fi

vv

vv

12

21As partículas trocam de velocidades!

Em particular, se a partícula alvo está inicialmente em repouso, a partícula incidente pára após a colisão, como no bilhar.

fi

fi

iffi

iffi

pp

pp

pppp

pppp

12

21

2211

2211

Antes

Depois

Colisões elásticas uni-dimensionais:(a) massas diferentes: 1

ififii

ifiifi

iffi

iffi

pppppp

pppppp

pppp

pppp

222211

211211

2211

2211

ifi

iif

ppp

ppp

221

211

112

211

iif

iif

ppp

ppp

212

211

1

1

1

21

2

1

1

iif

iif

vmm

mmv

mm

mv

vmm

mv

mm

mmv

221

211

21

12

221

21

21

211

2

2

Colisões elásticas uni-dimensionais: alvo em repouso (v2i=0)

if

if

vmm

mv

vmm

mmv

121

12

121

211

2

(a) m1<< m2:

iif

if

vvm

mv

vv

112

12

11

2

• A partícula incidente reverte sua velocidade.• A partícula alvo passa a se mover lentamente.

f1v f2v

Colisões elásticas uni-dimensionais: alvo em repouso (v2i=0)

if

if

vmm

mv

vmm

mmv

121

12

121

211

2

(a) m1>> m2:

if

if

vv

vv

12

11

2

• A partícula incidente não “sente” a colisão.• A partícula alvo passa a se mover com o dobro da velocidade da partícula incidente

i1v

Antes

f2vf1v

Depois

Colisões uni-dimensionais totalmente inelásticas:

A partícula incidente “gruda” na partícula-alvo. Pode-se provar que essa situação representa a perda máxima de energia cinética numa colisão inelástica em uma dimensão.

fii vmmvmvm 212211 CMii

f vmm

vmvmv

21

2211

Como o centro de massa coincide com as duas partículas “grudadas”, elas tem que se mover com a velocidade do centro de massa. A energia cinética final é a energia cinética associada ao movimento do CM.

Antes Depois

Pêndulo balístico:

if vmm

mv 1

21

1

Conservação de energia mecânica após a colisão: ghv f 2

ghm

mmv i 2

1

211

km/h m/s m/s

cm

kg

g

400.140005,08,9201,0

01,4

5

4

10

12

1

iv

h

m

m

Colisão totalmente inelástica:

Colisões bi-dimensionais:

Vamos considerar a partícula-alvo em

repouso v2i=0

ffi 211 ppp Conservação de momento linear

i1p

f1p f2pEsses 3 vetores definem um plano, chamado de plano de colisão. Portanto, a colisão sempre ocorre em um plano (bi-dimensional).

Antes

Depois

22

2

1

1

1

Colisões elásticas bi-dimensionais:

Da figura temos:

2211

22111

sensen0

coscos

ff

ffi

pp

ppp

Da conservação de energia cinética:

2

22

1

21

1

21

222 m

p

m

p

m

p ffi

Se tivermos m1, m2 e p1i, teremos 3 equações e 4 incógnitas (p1f, p2f, 1, 2). O sistema é indeterminado. Precisamos de mais informação. Por exemplo, o parâmetro de impacto b da colisão de bolas de bilhar.

parâmetro de impacto

Colisões elásticas bi-dimensionais: massas iguais

22

21

21

2

22

1

21

1

21

222 ffiffi ppp

m

p

m

p

m

p

• Nesse caso, podemos obter um resultado simples

ffffiffi p 212121211 ppppppp

ffffi ppp 2122

21

21 2 pp

Conservação de energia cinética

Conservação de momento linear

Igualando as duas equações

021 ff pp o9021

Será que é assim mesmo na mesa de sinuca?

??9021o

Na verdade, o movimento de rotação da bola branca, complica a análise. Embora as bolas saiam da colisão com direções perpendiculares entre si, após um curto tempo a bola branca toma um rumo diferente!!

1

o30

Exemplo: Transferência de momento linear

Numa colisão, uma partícula de massa m1=1 kg incide com velocidade

v1i=10 m/s numa partícula de massa m2=2 kg, inicialmente em repouso.

Se a colisão deflete a partícula 1 de um ângulo de =30o, qual é a velocidade da partícula 2 após a colisão? Energia é conservada. Solução abaixo incorreta.

m/s kg m/s kg

m/s kg m/s kg

5030sin101

3,11030cos1010

111

0111

yy

xx

vmp

vmp

m/s

m/s

5,2

7,0

2

2

122222fy

fxf

v

vmm pvvp

o

f

747,0

5,2

6,25,27,0 222

tan

m/s m/s v