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Introspeccin a los fenmenos electromagneticos a travs de PDEs

Francisco A. Sandoval N. 2

Contenidos:

CONTENIDOS: .............................................................................................................. 2 INTRODUCCIN: ......................................................................................................... 4 I. PRIMERA PARTE: VISIN GENERAL ........................................................... 5

INSTALACIN: .......................................................................................................... 5 ASPECTOS GENERALES: ......................................................................................... 5 MODULOS .................................................................................................................. 7 Chemical Engineering Module: ....................................................................... 7 Earth Science Module: ..................................................................................... 7 Electromagnetics Module: ................................................................................ 7 Heat Transfer Module: ..................................................................................... 8 MEMS Module: ................................................................................................ 8 Structural Mechanics Module: ......................................................................... 8

EJEMPLOS VARIOS: .................................................................................................. 9 Generador en 3D: ............................................................................................. 9 Distribucin de un modelo de Spice de un transistor bipolar integrado: ........ 9 Efectos trmicos dentro de un conductor electrnico: ................................... 10 Enlace de las conexiones en un chip .............................................................. 10 H-bend microwave waveguide........................................................................ 10 Adaptador de gua de onda ............................................................................ 11 Antena monocnica R ..................................................................................... 11 Antena con dipolo magntico: ........................................................................ 12 Potencial electrosttico entre cilindros .......................................................... 12 Imn permanente en forma de U. ................................................................... 13

II. SEGUNDA PARTE: ELECTROMAGNETISMO. CONOCIMIENTOS TERICOS ................................................................................................................... 14

MODO DE APLICACIN ELECTROMAGNTICO .............................................. 14 FUNDAMENTOS DE ELECTROMAGNETISMO: ................................................. 15 En el vaco, sin cargas ni corrientes .............................................................. 17 Densidad de carga y campo elctrico ............................................................ 18 La estructura del campo magntico ............................................................... 19 Variacin de flujo magntico y campo elctrico ............................................ 20 La fuente del campo magntico ...................................................................... 20 Condiciones Lmites ....................................................................................... 21 Interfase entre un dielctrico y un conductor perfecto................................... 22 Variables para el modo de aplicacin (en Femlab) ....................................... 22

III. TERCERA PARTE: EJEMPLOS RESULTOS EN FEMLAB ................... 30 ELECTROSTTICA: ....................................................................................................... 30 Funcin potencial de la regin dentro de un tanque rectangular .................. 30

Definicin del Problema: ............................................................................ 30



Modelacin En Comsol Multiphysics ........................................................ 35 Potencial Elctrico entre cilindros concntricos: .......................................... 41 Modelacin Un Capacitor Esfrico Utilizando Femlab Con Matlab ............ 47

Introduccin: ............................................................................................... 47 Definicin del Problema: ............................................................................ 51 Modelacin En Comsol Multiphysics ........................................................ 51

TEMPERATURA ............................................................................................................ 63 Temperatura Y Anlisis Matemtico Por El Mtodo De Las Diferencias Finitas ..................................................................................................................... 63

Introduccin: ............................................................................................... 63 Definicin del Problema: ............................................................................ 64

Solucin: ................................................................................................................. 64 La ecuacin laplaciana en diferencias ........................................................... 66 Variables secundarias: ........................................................................................... 69

Modelacin En Comsol Multiphysics ........................................................ 71 MAGNETOSTTICA ...................................................................................................... 87 Modelacin De Imanes Permanentes ............................................................. 87


ELECTROMAGNETISMO ................................................................................................ 96 Gua De Onda Rectangular ............................................................................ 96


MULTIFSICA ............................................................................................................. 104 Tarjeta Magntica Como Medicamento En Terapia Contra El Cncer ...... 104

Introduccin: ............................................................................................. 104 Definicin del Problema: .......................................................................... 105 Modelacin En Comsol Multiphysics ...................................................... 105

BIBLIOGRAFA: ....................................................................................................... 115



INTRODUCCIN: Los fenmenos fsicos que se suscitan en nuestro entorno son muy variados y provocados por diferentes fuentes, mas un punto en comn entre muchos de ellos, es que estos, pueden ser analizados a travs de PDEs (parcial differencial equations). De forma general podemos manifestar que FEMLAB es un ambiente interactivo, que permite modelar y resolver toda clase de problemas de carcter cientfico o de ingeniera basados en PDEs, a travs del FEM (finite element method). Este software es una herramienta de ingeniera que nos permite realizar anlisis multifsico en un ambiente interactivo. Al hablar de multifsica nos referimos al hecho de poder introducir cuestionamientos de diferente ndole en un mismo problema, por ejemplo, cuando se desea analizar el campo elctrico a travs de un cable coaxial y a la vez conocer la transferencia de calor en el mismo. Como se intuye, abarca dos campos diferentes de la fsica, la electrosttica y la transferencia de calor, los cuales pueden ser analizados en forma dual. FEMLAB esta diseado con el propsito de permitir la modelacin y simulacin de los fenmenos fsicos tan fcil como sea posible. Para lo cual el usuario pude acceder de forma independiente a cada una de las PDEs base, o utilizar los modelos de aplicacin especializados que presenta el programa. Estos modelos fsicos consisten en plantillas predefinidas e interfaces de usuario preparadas con las ecuaciones y variables para las reas de la aplicacin especfica. A lo largo de este texto se tratar de ampliar estos conceptos generales del programa y dar a conocer al lector la plataforma FEMLAB, su manera de uso, sus aplicaciones y algunos ejemplos que permitan complementar la explicacin. A la par se incluyen varios conceptos complementarios, tanto fsicos como de anlisis numrico que se creen darn una visin ms completa del uso de esta herramienta. Los ejemplos han sido escogidos de varios libros que se detallan en el transcurso del folleto, y tambin se han elegido de los propuestos en los diferentes documentos que se adjuntan al programa el momento de la instalacin, con el afn de que el lector pueda comparar sus resultados con los ya formulados.

Como se podr dar cuenta en el transcurso del texto, las diferentes secciones han sido creadas de manera independiente, pretendiendo que, el lector pueda beneficiarse de una parte en concreto, sin tener que leer en secuencia todo el libro.



I. Primera Parte: Visin General

INSTALACIN: FEMLAB trae consigo una gua que instruye en el proceso de instalacin. Este software puede trabajar en conjunto con otros programas como MATLAB incluyendo Simulink, C, C++. Con el proceso de instalacin adems de la plataforma general del programa, tambin se almacenan en el computador otros importantes archivos como son la seccin de documentos que instruyen al usuario en todas las capacidades del programa desde una vista muy general en el documento Quick Start, hasta un detallado anlisis de cada seccin en el Users Guide y los dems papers. De igual manera se incluye el paquete Model Library que contiene varios modelos completos que pueden ser utilizados en diferentes campos de ingeniera. Cada modelo incluye un documento, donde existe una discusin tcnica del mismo, de los resultados y se indica como configurar los parmetros necesarios.

ASPECTOS GENERALES: FEMLAB es una potente herramienta, la cual sin embargo no requiere de profundos conocimientos de matemticas o anlisis numrico. El proceso para la evaluacin de un fenmeno fsico comienza por la definicin del plano a utilizar ya sea 1D, 2D, 3D el cual puede ser en coordenadas cartesianas o cilndricas, luego es necesario definir los tipos de fsica a utilizar a travs de la seleccin por medio de los mdulos bsicos que para la versin 3.1 son los siguientes:

Mdulo de Ingeniera Qumica Mdulo de ciencia de la tierra Mdulo de electromagnetismo Mdulo de transferencia de calor Mdulo MEMS Mdulo de estructuras mecnicas.

A continuacin se ingresa a una plataforma CAD, donde se disea en forma grfica la estructura necesaria para efectuar el anlisis, se coloca los respectivos lmites que deben ir acordes con la ecuacin diferencial parcial utilizada y el problema planteado, se procede a realizar la malla de la estructura, a resolver el problema y por ltimo se presenta la etapa de postproceso, donde se pueden analizar los resultados obtenidos a travs de varias herramientas que pone a disposicin del usuario la interfase. Este procedimiento se apreciar de mejor manera con los ejemplos, en lo posterior. Cabe aclarar que todo este proceso para desarrollar el problema, se lo puede implementar



directamente, a travs del uso de la interfaz que para el hecho provee FEMLAB, o por medio de programacin en MATLAB. Internamente, luego de que se introducen las propiedades de los materiales, cargas, fuentes o dems parmetros que se incluyen en las PDEs utilizadas, FEMLAB compila un juego de PDEs que representa el problema ingresado, es decir, un sistema de ecuaciones diferenciales parciales, para lo cual FEMLAB presenta tres caminos para describir PDEs a travs de los modos de aplicacin matemticos:

Forma de Coeficientes: conveniente para los modelos lineales o casi lineales. Forma General: Conveniente para los modelos no lineales. Forma Dbil: para modelos con PDEs en lmites, bordes o puntos, o para modelos

usando trminos con mezcla de derivadas de espacio y tiempo. (Esta forma presenta muchos beneficios adicionales)

Usando estos modos de aplicacin, usted puede realizar varios tipos de anlisis que incluye:

Estacionario y el anlisis de dependencia del tiempo. Lineal y anlisis no lineal. Eigefrecuencia y el anlisis modal.

Al resolver las PDEs, FEMLAB, como ya se lo mencion, utiliza el mtodo del elemento finito. El software ejecuta el anlisis del elemento finito junto con la malla adaptable y el control de error usando una variedad de soluciones numricas. Las PDEs forman la base para las leyes de ciencia y permiten modelar una gama muy amplia de fenmenos en el rango de la ciencia y la ingeniera. Por consiguiente usted puede usar FEMLAB en muchas reas de aplicacin, como por ejemplo:

Acstica Biociencia Reacciones qumicas Difusin Electromagnetismo Dinmica de fluidos Celdas de combustible y electroqumica Geofsica Transferencia de calor Sistemas de Microelectromecnica (MEMS) Ingeniera de microondas ptica Flujo en medios porosos Mecnica quntica Componentes de radio frecuencia Dispositivos semiconductores Mecnica estructural Propagacin de ondas



Adems de esto, muchas aplicaciones en el mundo real implican acoplamientos simultneos de un sistema de PDEs, multifisica. Por ejemplo, la resistencia interna de un conductor vara a menudo con la temperatura.

MODULOS

Como ya se ha manifestado, el paquete de FEMLAB incluye una serie de libreras o mdulos especializados para diferentes campos de la fsica los cuales encierran las leyes fundamentales, es decir, las PDEs y las caractersticas principales que las enmarcan. Estos mdulos son la base fundamental para la mayora de los problemas que pueda plantearse el usuario. A continuacin se detalla a breves rasgos cada uno de los mdulos principales que presenta el software, dichos comentarios son tomados de la pgina Web del programa1.

Chemical Engineering Module: Mdulo para ingeniera qumica que

proporciona una manera poderosa de modelar procesos y equipos en el campo de ingeniera qumica por medio de una interfaz interactiva de uso grfico. Se caracteriza por sus aplicaciones para transporte de masa, calor y momentum agrupados con reacciones qumicas en geometra 1D, 2D y 3D. El mdulo de ingeniera qumica aplica la tecnologa ms reciente para solucionar ecuaciones parciales diferenciales (PDEs) a su experiencia en ingeniera qumica.

Earth Science Module: Este mdulo consta de un gran nmero de interfaces de

modelado predefinidas y listas para usar para el anlisis de flujos subsuperficiales. Estas interfaces permiten la rpida aplicacin de las ecuaciones de Richard, ley de Darcy, la extensin de Brinkman de la ley de Darcy para flujos en medios porosos y las ecuaciones de Navier-Stokes para flujo libre. Adems, el mdulo puede modelar el transporte y reaccin de solutos as como el transporte de calor en medios porosos.

Electromagnetics Module: mdulo de electromagntica que proporciona un

entorno nico para la simulacin de propagacin de ondas y electromagntica AC-DC en 2D y 3D. Aplica la tecnologa ms reciente a su experiencia en electromagntica.

El mdulo de electromagnetismo se usa para el diseo de componentes en casi todas las reas donde se necesita la simulacin de campos electromagnticos:

Componentes de sistemas de electricidad. Sistemas microelectromagnticos (MEMS).

1 http://www.comsol.com



Antenas. Guas de ondas y resonadores de cavidad en ingeniera de microondas. Fibras pticas. Guas de ondas fotnicas. Cristales fotnicos. Dispositivos activos en fotnica. Dispositivos semiconductores.

El Mdulo de Electromagnetismo proporciona formulaciones e interfaces adaptadas a problemas de las siguientes reas (para la ltima versin 3.2b):

Electroesttica Magnetoesttica Electromagnetismo de baja frecuencia Propagacin de ondas en-plano Propagacin de ondas axisimtricas Completa propagacin de ondas con vectores en 3D Anlisis completo de modo de vectores en 2D y 3D

Heat Transfer Module: Este mdulo resuelve problemas que involucran

cualquier combinacin de fenmenos de conduccin, conveccin y radiacin. Una amplia variedad de interfaces para el modelado permiten por ejemplo realizar estudios de radiacin superficie a superficie, flujo no isotrmico, transferencia de calor en tejidos vivos y transferencia de calor en capas finas y corazas. Los detallados modelos ilustran ejemplos para diversas reas de aplicacin como enfriamiento electrnico y sistemas de potencia, procesado y produccin trmica o tecnologa mdica y bioingeniera.

MEMS Module: Incluye aplicaciones listas para usar que cubren aspectos como

microfludica ms electromagntico estructurales, interacciones trmico estructurales y fludico estructurales. La librera de modelos adjunta aporta detallados ejemplos que muestran como modelar mecanismos microelectromecnicos como actuadores, sensores, y dispositivos microfludicos. Los modelos, a menudo, tratan deformaciones grandes de piezas slidas, que el software tiene en cuenta para los contornos mviles.

Structural Mechanics Module: Mdulo de mecnica estructural que proporciona

un entorno de modelacin especializado donde se complementa el poder de anlisis de elementos finitos con su experiencia en mecnica estructural. Combinado con la modelacin a base de ecuaciones de FEMLAB, ofrece combinaciones multifsicas ilimitadas y anlisis tradicional de mecnica estructural en 2D y 3D.

A la par con estas mdulos se incluye una serie de modelos, como ya se insinu, que no son ms que ejemplos de aplicaciones para los diferentes mdulos, los cuales incluyen cada uno, un documento donde se encuentra el anlisis tcnico, la formulacin analtica del problema, las indicaciones para plantear el problema en el software y la comparacin con los resultados obtenidos. Pero de igual manera en caso de no



encontrar uno que se adapte a las caractersticas de su planteamiento puede crear sus propios modelos a travs de programacin en MATLAB o utilizando la interfaz grfica.

EJEMPLOS VARIOS: A continuacin se exponen a breves rasgos algunos ejemplos concernientes al campo de la electrnica y las telecomunicaciones extrados de la pgina web de COMSOL2, con la intencin de dar una visin superficial al lector de la capacidad que tiene FEMLAB para la simulacin y de algunas de las cosas que es posible hacer con este programa:

Generador en 3D:

Un rotor con imanes permanentes y un material magntico no lineal, est rotando dentro de un estator del mismo material magntico. El voltaje generado en los embobinados alrededor del estator es calculado como una funcin de tiempo. FEMLAB modela la rotacin con la expulsin...

Figura I.1. Generador en 3D

Distribucin de un modelo de Spice de un transistor bipolar integrado:

La velocidad de transicin de un transistor bipolar integrado se investiga, como una simulacin tiempo-dependiente y tiempo-armnica. El transistor se fabrica del carburo de Silicn y est bien preparado para las aplicaciones que incluyen transiciones.

2 http://www.comsol.com/



Figura I.2. Transistor Bipolar integrado

Efectos trmicos dentro de un conductor electrnico:

Figura I.3. Conductor Elctrico

Enlace de las conexiones en un chip

Figura I.4. Conexiones en un chip

H-bend microwave waveguide Este ejemplo involucra a una gua de onda rectangular para microondas con curvatura de 90. nicamente la componente del campo H no es cero en la direccin de propagacin por esto se la conoce como H-curvatura.



Figura I.5. H-bend microwave waveguide

Adaptador de gua de onda

Figura I.6. Adaptador de gua de onda

Antena monocnica RF Las antenas cnicas son tiles para muchas aplicaciones debido a sus caractersticas de banda ancha y simplicidad relativa. Se estudia la impedancia de la antena y modelo de radiacin como las funciones de frecuencia para una antena monocnica con una tierra finita.

Figura I.7. Antena monofnica RF



Antena con dipolo magntico:

Un dipolo magntico consiste en su forma ms simple en transportar corriente a travs de una bobina. Tres embobinados acoplaros juntos en un circuito de CA, constituye un sistema de radiacin. Cambiando las fases de los embobinados, usted puede alterar el ngulo de la transmisin de las ondas....

Figura I.8. Antena con dipolo magntico

Potencial electrosttico entre cilindros Este modelo consiste en dos cilindros con potencial electrosttico opuesto. La diferencia de potencial entre estos induce un campo elctrico en el vaco. En el grfico resultante se muestra la distribucin de potencial electrosttico y las lneas de campo elctrico.

Figura I.9. Potencial electrosttico entre cilindros



Imn permanente en forma de U.

Figura I.10. Imn permanente en forma de U

Como estos, son muchas las simulaciones de situaciones prcticas que pueden hacerse en este software y no solo en el campo del electromagnetismo, sino, como ya se lo ha mencionado, en muchos otros campos de la fsica.



II. Segunda Parte: Electromagnetismo. Conocimientos Tericos

En esta seccin se presentan como estudio introductorio, una revisin de los conceptos bsicos de la teora electromagntica, necesarios para comprender el anlisis posterior; en el cual se presentan diversos ejemplos, debidamente detallados, los cuales se encuentran agrupados dentro de las diferentes ramas de la fsica a las cuales corresponden. A la par con las respectivas explicaciones que permitan desarrollar los ejemplos en la plataforma, se incluyen conceptos tanto de carcter fsico, que faciliten el entendimiento del problema como tal, como de carcter de anlisis numrico, que permitan comprender los clculos que nos facilita esta herramienta computacional. Si usted ya ha estudiado anteriormente estos conceptos, le recomiendo pasar directamente a la seccin III .

MODO DE APLICACIN ELECTROMAGNTICO Para simular modelos dentro del campo del electromagnetismo, FEMLAB ofrece cuatro modos de aplicacin bsicos, de los cuales, los tres primeros comprenden simulaciones estticas. Los modos son los siguientes:

Electrostatics Conductive media DC Magnetostatics AC Power Electromagnetics

Estos modelos, son muy tiles al momento de tratar de resolver diversos problemas, pero en caso de que estos, no se adapten a la estructura bsica de nuestro problema, es posible utilizar como alternativa las estructuras bsicas de PDEs, dispuestas por el programa y construir si es necesario nuevos modelos para posteriores simulaciones. Esto se evidencia con mayor claridad en lo posterior donde se detalla la simulacin de una gua de onda rectangular. A continuacin se introducen algunos conceptos de electromagnetismo, al igual que la definicin de ciertas cantidades de electromagnetismo que es necesario tomar en cuenta al momento de pretender utilizar los modelos planteados para definir los lmites y en si, para plantear adecuadamente los problemas.



FUNDAMENTOS DE ELECTROMAGNETISMO: El anlisis de problemas de electromagnetismo en nivel macroscpico se realiza a travs de las ecuaciones de Maxwell, sujeto a las condiciones de contorno. Las ecuaciones de Maxwell pueden ser expresadas en forma diferencial o integral, las cuales se resumen a continuacin3:

Nombre Forma diferencial Forma integral

Ley de Gauss:

Ley de Gauss para el campo magntico (ausencia de monopolos magnticos):

Ley de Faraday:

Ley de Ampre generalizada:

Donde la siguiente tabla proporciona el significado de cada smbolo y su unidad de medida en el SI:

Smbolo Significado Unidad de medida SI

campo elctrico volt por metro

campo magntico ampere por metro

densidad de campo elctrico coulomb por metro cuadrado

3 www.wikipedia.com



densidad de campo magntico

tesla, o equivalentemente, weber por metro cuadrado

densidad de carga elctrica coulomb por metro cbico

densidad de corriente ampere por metro cuadrado

vector del elemento diferencial de superficie normal a la superficie S metros cuadrados

elemento diferencial de volumen encerrado por la superficie S metros cbicos

vector del elemento de longitud del contorno que limita la superficie S metros

divergencia por metro

rotacional por metro

La segunda ecuacin es equivalente a afirmar que el monopolo magntico no existe. La fuerza ejercida sobre una partcula cargada por los campos elctricos y magnticos viene dada por la ecuacin de la Fuerza de Lorentz:

Donde es la carga de la partcula y es la velocidad de sta.

Las ecuaciones de Maxwell se aplican generalmente a escalas macroscpicas de los campos, que varan enormemente a escalas microscpicas cercanas al tamao atmico.

En medios lineales, la polarizabilidad o polarizacin elctrica (en culombios por metro cuadrado) y la magnetizacin o polarizacin magntica (en amperios por metro) vienen dadas por:

y los campos y estn relacionados con y por:



Donde:

e es la susceptibilidad elctrica del material, m es la susceptibilidad magntica del material, es la permitividad elctrica del material, y es la permeabilidad magntica del material

En medios no-dispersivos e istropos, y son escalares que no dependen del tiempo, por lo que las ecuaciones de Maxwell se reducen a:

En un medio homogneo, y son constantes independientes de la posicin.

En general, y pueden ser tensores de rango 2 (matrices 3x3) describiendo medios anistropos. Adems, aunque en general suele ignorar la dependencia con el tiempo (y la frecuencia) de estas constantes, todo material real posee cierta dispersin por la que y/o dependen de la frecuencia (y la casualidad obliga a esta dependencia a cumplir las relaciones de Kramers-Kronig).

En el vaco, sin cargas ni corrientes

El vaco es un medio lineal, homogneo, istropo y no dispersivo. Las constantes de proporcionalidad en el vaco son 0 y 0.

Como no hay ni corriente ni carga elctrica en el vaco, las ecuaciones de Maxwell en espacio libre son:



Estas ecuaciones tienen soluciones sencillas para ondas planas sinusoidales, con campos elctricos y magnticos con direcciones ortogonales entre ellos y ortogonales a la direccin de propagacin. Su velocidad de propagacin es

Maxwell descubri que esta cantidad c era simplemente la velocidad de la luz en el vaco, por lo que la luz es una forma de radiacin electromagntica. Los valores aceptados actualmente para la velocidad de la luz y para la permitividad y permeabilidad se resumen en la siguiente tabla:

Smbolo Nombre Valor numrico Unidad de medida SI Tipo

Velocidad de la luz metros por segundo definido

Permitividad farads por metro derivado

Permeabilidad henrys por metro definido

Densidad de carga y campo elctrico

, Donde es la densidad de carga libre (en C/m3), sin incluir cargas de los dipolos, y es el campo de desplazamiento elctrico (en C/m2). Esta ecuacin corresponde a la ley de Coulomb para cargas estacionarias en el vaco.

La forma integral equivalente se obtiene con el teorema de la divergencia y se conoce como la ley de Gauss:

Donde es un elemento diferencial del rea A sobre la cual se realiza la integral, y Qencerrada es la carga encerrada por la superficie. En un medio lineal, est directamente relacionado con el campo elctrico mediante una constante dependiente del material llamada permitividad, :



.

Cualquier material se puede suponer como linear siempre que el campo elctrico no sea demasiado grande. La permitividad en el vaco se escribe como 0 y aparece en:

Donde, t es la densidad de carga total. puede escribirse tambin como , donde r es la permitividad relativa del material o su constante dielctrica.

La estructura del campo magntico

es la densidad de flujo magntico (en teslas, T), tambin llamada induccin magntica.

Su forma integral equivalente:

Como en la forma integral del campo elctrico, esta ecuacin slo funciona si la integral est definida en una superficie cerrada.

Esta ecuacin indica que las lneas de los campos magnticos deben ser cerradas. Esto expresa que sobre una superficie cerrada, sea cual sea sta, no seremos capaces de encerrar una fuente o sumidero de campo. As pues, esto expresa la no existencia del monopolo magntico. En caso que algn da se encontrase evidencias de la existencia del monopolo magntico, la Ley de Gauss para el campo magntico quedara como

Donde m correspondera a la densidad de monopolos magnticos. Esta densidad de

carga lleva aparejada una densidad de corriente , la cual obliga a modificar la ley de Faraday, que pasara a escribirse como

Asimismo, habra que ampliar la expresin de la Ley de Fuerza de Lorentz, para incluir la fuerza sobre cargas magnticas



Con y el campo magntico y el desplazamiento elctrico en el vaco.

Variacin de flujo magntico y campo elctrico

Su forma integral equivalente es:

donde

Donde

B es el flujo magntico a travs del rea A descrita por la segunda ecuacin E es el campo elctrico generado por el flujo magntico l es la curva cerrada por la cual la corriente es inducida.

La fuerza electromotriz (a veces escrita como , que no debe confundirse con la permitividad) es igual al valor de esta integral.

Esta ley corresponde a la ley de Faraday de la induccin electromagntica.

El signo negativo es necesario para mantener la conservacin de la energa. Es tan importante que tiene nombre: Ley de Lenz.

Esta ecuacin relaciona los campos elctrico y magntico, pero tiene tambin muchas otras aplicaciones prcticas. Esta ecuacin describe cmo los motores elctricos y los generadores elctricos funcionan. Ms precisamente, demuestra que un voltaje puede ser generador variando el flujo magntico que atraviesa una superficie dada.

La fuente del campo magntico



donde es la intensidad de campo magntico (en A/m), relacionada con la densidad de campo magntico por una constante llamada permeabilidad (B = H), y es la densidad de corriente.

En el vaco, la permeabilidad es = 0 = 410-7 W/Am y la permitividad es 0. Por lo que la ecuacin queda como:

Su forma integral equivalente:

Irodeada es la corriente rodeada por la curva .

En algunos casos, esta forma integral de la ley de Ampre-Maxwell aparece como:

Siendo

La corriente de desplazamiento.

Si la densidad de flujo elctrico no vara rpidamente, el segundo trmino de la parte derecha es despreciable y la ecuacin se reduce a la ley de Ampre.

Condiciones Lmites Para obtener una descripcin total de los problemas de electromagnetismo, es necesario especificar las condiciones lmite en la interfaz entre materiales y los lmites fsicos. La interfase entre dos medios puede ser matemticamente expresada a travs de las condiciones lmite, las cuales se presentan a continuacin:



En estas cuatro ecuaciones, nicamente dos son independientes.

Interfase entre un dielctrico y un conductor perfecto. Un conductor perfecto presenta una conductividad infinita y como tal no tiene ningn campo elctrico interior. Por otra parte producira una densidad actual infinita segn la tercera relacin constitutiva fundamental. En una interfase entre un dielctrico y un conductor perfecto, la condicin lmite para los campos E y D se simplifica. Asumiendo que el subndice 1 corresponde a un conductor perfecto; entonces D1 = 0 y E1 = 0 en la relacin dada anteriormente. Si, adems, usted est considerando un caso variante en el tiempo, entonces B1 = 0 y H1 = 0, tambin, como consecuencia de las ecuaciones de Maxwell. El resultado es el juego siguiente de condiciones lmite para los campos en el medio del dielctrico para el caso tiempo-variante:

Variables para el modo de aplicacin (en Femlab) En las tablas que a continuacin se presentan se exponen las diferentes variables utilizadas en FEMLAB para definir los campos electromagnticos4. Para campos elctricos en 2D:

4 Usted puede encontrar esta informacin con mayor detalle en el documento FEMLAB Modeling Guide, el cual se adjunta a FEMLAB el momento de la instalacin.



Para campos magnticos en 2D:



III. Tercera Parte: Ejemplos Resultos en FEMLAB

Electrosttica:

Funcin potencial de la regin dentro de un tanque rectangular

Definicin del Problema:

El problema que se expone a continuacin, al igual que la resolucin matemtica del mismo, ha sido extrado del libro Elementos de Electromagnetismo de Matthew N. O. Sadiku5, un folleto bastante comn para los estudiantes de electrnica en nuestra universidad. El problema, textualmente, expone lo siguiente:

a) Determine la funcin de potencial de la regin dentro del tanque rectangular de longitud cuya seccin transversal aparece en la Figura III.1

b) Respecto de V0 = 100 V y b = 2a, halle el potencial en x= a/2, y= 3a/4.

Figura III.1. Potencial V(x,y) debido a un tanque conductor rectangular.

Solucin: a) En este caso la funcin de potencial V depende de x y y. La ecuacin de Laplace se convierte en:

022

2

22 =

+=

yV

xVV (1)

5 Elementos de Electromagnetismo, Matthew N. O. Sadiku, Tercera Edicin, pgina 211 a la 218 (Tema: Procedimiento general para resolver la ecuacin de Poisson )



Esta ecuacin debe resolverse en sujecin a las siguientes condiciones en la frontera:

V(x = 0, 0 y a) = 0 (2a) V(x = b, 0 y a) = 0 (2b) V(0 x b, y = 0) = 0 (2c) V(0 x b, y = a) = Vo (2d)

La ecuacin (1), se resuelve por el mtodo de separacin de variables; es decir, se busca una solucin de producto de V. Sea

V (x,y) = X(x) Y(y) (3) Cuando X slo es una funcin de x y Y slo es una funcin de y. La sustitucin de la ecuacin (3) en la ecuacin (1) resulta en:

XY + YX = 0 (4)

La divisin entre XY y la separacin de X respecto de Y produce:

YY

XX '''' = (5a)

Puesto que el miembro izquierdo de esta ecuacin es slo una funcin de x y el miembro derecho es slo una funcin de y, para que la igualdad se sostenga ambos miembros deben ser iguales a una constante ; es decir.

==YY

XX '''' (5b)

La constante se llama constante de separacin. Con base en la ecuacin (5b) se obtiene:

X + X = 0 (6a) Y Y = 0 (6b)

Separadas las variables, las ecuaciones anteriores reciben el nombre de ecuaciones separadas. X(x) y Y(y) se despejan por separado, tras de lo cual las soluciones se sustituyen en la ecuacin (3). Para ello es necesario separar, de ser posible, las condiciones en la frontera de la ecuacin (2), de esta forma:

V(0,y) =X(0)Y(y) = 0 X(0) = 0 (7a) V(b,y) =X(b)Y(y) = 0 X(b) =0 (7b) V(x,0) =X(x)Y(0) = 0 Y(0) = 0 (7c) V(x,a) =X(0)Y(a)= Vo (inseparable) (7d)



Para despejar X(x) y Y(y) en la ecuacin (6), se imponen las condiciones en la frontera de la ecuacin (7). Se considera posibles valores de que satisfagan tanto las ecuaciones separadas de la ecuacin (6) como las condiciones de la ecuacin (7). Para lo cual se considera para el anlisis tres valores posibles de : 0, >0 y 0, digamos = 2, la ecuacin (6a) se convierte en:

X + 2X = 0 Es decir,

(D2 + 2)X = 0 o DX = jX (8a) Donde j = -1. La solucin para esta ecuacin es:

X(x)= C0 ejx + C1 e-jx Puesto que ejx = cos x + j sen x y e-jx = cos x - j sen x, la ecuacin (8a) puede expresarse como

X(x) = g0 cos x + g1 sen x (8b)

Donde g0 = C0 + C1 y g1 = C0 jC1

En vista de las condiciones de frontera dadas, es preferible usar la ecuacin (8b). La imposicin de las condiciones de las ecuaciones (7a) y (7b) resulta en

X(x=0) = 0 0 = g0 (1) + 0 g0=0

X(x=b) = 0 0 = 0 + g1 sen b

Supongamos que g1 1 (pues de lo contrario obtendramos una solucin trivial); en consecuencia

Sen b = 0 = sen n

= n / b, n = 1,2,3,4 (9) La ecuacin (8b) se convierte en



Xn(x) = gn sen bxn (10)

Habiendo determinado X(x) y

= 2 = 222

bn (11)

Se resuelve la ecuacin (6b), la cual es ahora

Y 2Y = 0 La solucin a esta ecuacin es:

Y(y) = h0 cosh y + h1 senh y

La condicin en la frontera de la ecuacin (7c) implica que

Y(y=0) = 0 0 = h0 (1) + 0 o h0 De ah que la solucin de Y(y) se convierta en

Yn(y) ho senh bxn (12)

La sustitucin de las ecuaciones (10) y (12), soluciones separadas de la ecuacin (6) nos permite observar que existirn muchas posibles soluciones para los diferentes valores de n. Por lo cual la combinacin lineal de dichas soluciones segn el teorema de la superposicin, es tambin solucin para la ecuacin de Laplace. As la solucin de la ecuacin (1) es:

V(x,y) = =1n

n bynsenh

bxnsenc (13)

Donde cn = gnhn son los coeficientes por determinar con la condicin e la frontera de la ecuacin (6d). La imposicin de esta condicin resulta en:

V(x,y=a) = V0 = =1n

n bansenh

bxnsenc (14)

Lo cual es un desarrollo en series de Fourier de V0. Luego de resolver esta expresin e3s posible llegar a la conclusin de que:



=

==

parn

imparn

bansenhn

V

cn

,0

,4 0

(15)

La sustitucin de esta expresin en la ecuacin (13) da como resultado la solucin final

=

=5,3,1

04),(n

bannsenh

bynsenh

bxnsenVyxV

(16)

b) Respecto de x = a/2 y y = 3a/4, tenemos

=

=5,3,1

0

2/8/34/4)

43,

2(

n nsenhnnsenhsennVaaV

= 0.6374V0 Como ejemplo ilustrativo y factible para la representacin en la plataforma COMSOL se considera el caso especial en el que a = b = 1m y V0 = 100V. Los resultados obtenidos se presentan en las siguientes grficas:

43.2

18.2

6.80

54.0 43.2

6.80

25.0

9.54

18.2

01.0

1.0

0

0 0

100V

Figura III.2. Clculo de V(x,y) en algunos puntos



Figura III.3Diagrama de lneas de flujo y lneas equipotenciales.

Modelacin En Comsol Multiphysics

En la plataforma Comsol, si bien es cierto, no podremos encontrar la solucin matemtica reflejada en la ecuacin (16), es posible hallar valores de la diferencia de potencial o el campo elctrico para puntos especficos, al igual que es permisible apreciar la distribucin de potencial elctrico en el cuadrado y las lneas de campo elctrico, lo cual en mltiples ocasiones es necesario y en realidad es el fin al cual se busca llegar, al pretender hallar la respuesta matemtica. Es por esta razn, que resulta muy til la funcionalidad de la plataforma COMSOL, ya que sin mucho esfuerzo nos permite hallar resultados eficientes. Con este prembulo, nos adentramos a la simulacin del ejemplo ilustrativo en el cual a = b = 1m y V0 = 100V.

Definicin del modelo: El primer paso es definir un modelo global y construir su geometra. Este modelo consiste en un cuadrado de un metro de lado, en el cual tres de sus lados poseen potencial igual a 0V y el restante, igual a 100V. Por lo tanto es evidente que se inducir un campo elctrico, es por esto que se pretende hallar la distribucin de campo y potencial elctrico.



Resultados

La grfica final se muestra en la Figura III.4. En ella se puede apreciar una combinacin de una grfica de contorno y lneas de campo. Las lneas de contorno representan la distribucin de potencial elctrico y presenta diferentes asignaciones de color para dismiles valores de potencial. Las lneas de campo, como se aprecia, se expanden desde el lado de mayor potencial hacia los dems lados y de igual forma presentan asignaciones de colores para los diferentes valores.

Figura III.4.Potencial elctrico (contorno), lneas de campo elctrico.

Figura III.5Ampliacin

Modelacin usando la interfaz grfica. Para empezar, ingrese al navegador de modelos de FEMLAB, haciendo clic en el icono que generalmente se encuentra en el escritorio, o accediendo a travs de inicio/programas/FEMLAB.

Model Navigator: Para este modelo se utiliza el modo de aplicacin de Electrosttica. 1) En el Model Navigator haga clic en la etiqueta new. 2) Seleccione 2D en la lista de Space Dimension.



3) En la lista de modos de aplicacin, abra la carpeta FEMLAB, luego la de electromagnetismo y seleccione electrosttica.

4) Acepte la opcin por defecto (cuadratic Lagrange elements) para el tipo de elementos.

5) Clic Ok

Figura III.6Model Navigator

El modo de aplicacin de electrosttica, provee la ecuacin predefinida y las condiciones lmites lo cual facilita la creacin del modelo, pero se debe incluir algunos detalles propios del problema.

Geometry Modeling 1) Dibuje un cuadrado de un metro de lado, esto puede hacerlo de varias formas, una

de ellas, es a travs del men Draw, escogiendo la opcin Draw objects, y luego Rectangle/Square. Y luego moviendo el cursor de forma adecuada de acuerdo a la medida establecida para los lados. El cuadrado debe apreciarse como el la Figura III.7.

Figura III.7Geometra 2D



Physics Settings

Ingrese las condiciones lmites. Para lo cual acceda a travs del men Physics a Boundary Settings y en la parte izquierda del cuadro de dilogo, ubquese en Boundary selection y elija con la tecla ctrl. pulsada los nmero 1, 2 y 4 y asgneles la opcin ground en Boundary condition. Luego seleccione el nmero 3 de la lista y escoja para el mismo la opcin Electric Potencial de Boundaty condition y luego ingrese el valor de 100V en V0. Haga clic en ok para confirmar los datos ingresados.

Figura III.8. Boundary settings

Mesh Generation: Inicialice la malla.

Figura III.9. Mesh

Computing the solution Clic en el botn solve. Luego de finalizar el proceso usted deber visualizar la siguiente grfica:



Figura III.10. Surface Plot

Postprocessing and visualization El usuario puede combinar varios tipos de representacin en grficas para los resultados y si lo desea obtener algunos valores numricos pertinentes. A continuacin se da los pasos a seguir para visualizar de mejor manera los resultados. 1) En el men Postprocessing, seleccione Plot Parameters. 2) Desactive el surface plot, suprimiendo el visto bueno del cuadro correspondiente. 3) Seleccione los cuadros contour y streamlines para activarlos. (Debe apreciarse como

en la Figura III.11).

Figura III.11. Plot Parameters 4) Clic en la barra streamlines 5) Asegrese de que Predefined quantities este seleccionada la opcin Electric field.



6) Ingrese el valor de 15 en el campo de edicin de Number of Start points. 7) Seleccione Use expression to color streamlines en la seccin de streamline color. 8) Clic ok para confirmar los datos ingresados. El grfico debe visualizarse como se muestra en la Figura III.4. Usted tambin puede obtener el valor preciso de diferentes variables, como lo es la diferencia de potencial V dentro del cuadrado para puntos especficos. Por ejemplo, para el valor de x = 0.5 y y = 0.25 obtendremos un potencial V = 9,541137. Lo cual coincide con el valor encontrado por el mtodo matemtico. Para conseguir esta informacin, lo nico que debe hacer es: 1) En el men postprocessing escoja la opcin data display. 2) Asegrese de que cantidad predefinida para la operacin sea la adecuada. 3) Ingrese las coordenadas en las cual desea hallar el valor numrico, en este caso: x =

0,5 y y = 0,25.

Figura III.12. Data Display

4) Clic ok. 5) El valor resultante se visualizar en la parte inferior de la pantalla. Para finalizar, usted puede crear un reporte a cerca de todo el trabajo realizado de manera sencilla seleccionando del men file, la opcin generate report. Este puede crearse en formato html o ser impreso directamente. En este informe se incluyen automticamente todos los datos, variables, grficos y dems aspectos importantes del diseo. Si desea que en el reporte aparezcan datos generales como nombre del diseo, al igual que del autor y la organizacin a la pertenece, etc. Seleccione en el men file la opcin model properties y modifique los datos antes de general el reporte.



Potencial Elctrico entre cilindros concntricos:

Definicin del modelo: El primer paso es definir un modelo global y construir su geometra. Este modelo consiste en dos cilindros concntricos los cuales presentan diferente densidad de carga superficial, lo cual induce un campo elctrico, por lo tanto se pretende hallar la distribucin de campo y potencial elctrico. El potencial escalar electrosttico est relacionado con el campo elctrico a travs de la conocida expresin: E = -V. Como ( ) = E , tenemos: ( ) = V . Donde:

es la permitividad y es la densidad de carga superficial.

Resultados

La grfica final se muestra en la Figura III.13. En ella se puede apreciar una combinacin de una grfica de superficie y lneas de campo. La superficie representa la distribucin de potencial elctrico y presenta diferentes asignaciones de color para dismiles valores de potencial. Las lneas de campo, como se aprecia, se expanden de afuera hacia adentro y de igual forma presentan asignaciones de colores para los diferentes valores.

Figura III.13.Potencial elctrico (superficie), lneas de campo elctrico.



Modelacin usando la interfaz grfica.

Para empezar, ingrese al navegador de modelos de FEMLAB, haciendo clic en el icono que generalmente se encuentra en el escritorio, o accediendo a travs de inicio/programas/FEMLAB.

Model Navigator: Para este modelo se utiliza el modo de aplicacin de Electrosttica. 6) En el Model Navigator haga clic en la etiqueta new. 7) Seleccione 3D en la lista de Space Dimension. 8) En la lista de modos de aplicacin, abra la carpeta FEMLAB, luego la de

electromagnetismo y seleccione electrosttica. 9) Acepte la opcin por defecto (cuadratic Lagrange elements) para el tipo de

elementos. 10) Clic Ok

Figura III.14. Model Navigator

El modo de aplicacin de electrosttica, provee la ecuacin predefinida y las condiciones lmites lo cual facilita la creacin del modelo, pero se debe incluir algunos detalles propios del problema.

Options and Settings: Del men opciones, escoja constants, e ingrese la siguiente variable:

NAME EXPRESSION Q0 5e-12



Geometry Modeling 2) Del men Draw seleccione la opcin Work Plane Settings, utilice las opciones por

defecto, es decir, un plano xy con z=0. Esto le permite trabajar en un plano 2D. 3) Dibuje un crculo con radio 0.19 centrado en (0,0) 4) Dibuje un crculo con radio 0.05 centrado en (0,0)

Figura III.15. Geometra 2D

5) En el men Draw, escoja extrude, utilice por el momento las opciones por defecto.

Esto le permite acceder a una figura 3D similar a dos cilindros concntricos de altura igual a la distancia ubicada en extrude, es decir 1m.




Physics Settings

Ingrese las condiciones lmites acordes con la siguiente tabla:

Figura III.17. Boundary mode

Subdomain Settings En este modelo son utilizados los materiales de la librera para definir los parmetros del material. 1) Abra el cuadro de dilogo Subdomain Settings y seleccione el subdomain 1. 2) Clic en el botn cargar para abrir la librera de materiales. 3) Seleccione Glass(quartz) de la lista de materiales y clic en Ok 4) Clic ok.



Mesh Generation: Inicialice la malla.

Figura III.18. Mesh

Computing the solution Clic en el botn solve.

Postprocessing and visualization El potencial electrosttico resultante es cero en el cilindro exterior y positivo en el interior. El usuario puede combinar varios tipos de representacin en grficas para los resultados y si lo desea obtener algunos valores numricos pertinentes. A continuacin se da los pasos a seguir para visualizar de mejor manera los resultados. 9) En el men Postprocessing, seleccione Plot Parameters.



10) Desactive el slice plot, suprimiendo el visto bueno del cuadro correspondiente. 11) Seleccione los cuadros boundary y streamlines para activarlos. (Debe apreciarse

como en la Figura III.19).

Figura III.19. Plot Parameters

12) Clic en la barra streamlines 13) Asegrese de que Predefined quantities este seleccionada la opcin Electric field. 14) Ingrese el valor de 50 en el campo de edicin de Number of Start points. 15) Seleccione tube en el cuadro de edicin de line type y coloque el valor del radio de

los mismos en 0.4 Debido a que el surface plot obstruye la vista de las lneas de campo elctrico, es necesario ocultar parte de la superficie para poderlas apreciar, para lo cual hacemos lo siguiente: 1) En el men options, seleccione supress y a continuacin supress boundaries. 2) Seleccione los lmites que desea eliminar de la Boundary list, utilizando la tecla ctrl,

si es ms de uno. 3) Clic ok para cerrar el cuadro de dilogo. El grfico debe visualizarse como se muestra en la Figura III.13. Para finalizar, usted puede crear un reporte a cerca de todo el trabajo realizado de manera sencilla seleccionando del men file, la opcin generate report. Este puede crearse en formato html o ser impreso directamente. En este informe se incluyen automticamente todos los datos, variables, grficos y dems aspectos importantes del diseo. Si desea que en el reporte aparezcan datos generales como nombre del diseo, al igual que del autor y la organizacin a la pertenece, etc. Seleccione en el men file la opcin model properties y modifique los datos antes de general el reporte.



Modelacin Un Capacitor Esfrico Utilizando Femlab Con Matlab

Introduccin:

En este ejemplo, se analiza la manera de simular un capacitor esfrico, haciendo nfasis en la posibilidad de utilizar Matlab para desarrollar un diseo completo de Femlab sin utilizar la interfaz grfica. Los condensadores o capacitares, son elementos pasivos de dos terminales, formados por dos placas o lminas conductoras separadas por un dielctrico entre las cuales circula una intensidad que es proporcional a la tensin aplicada entre los bornes.

Esta constante de proporcionalidad se denomina capacidad del componente y se define como la carga elctrica que puede ser almacenada por el condensador cuando es sometido a la diferencia de potencial de un voltio. La capacidad de un condensador en el vaco, con una carga Qf viene dada por:

La unidad en el S.I. es el Faradio (F), en honor al ilustre Henry Faraday, y los valores usuales se encuentran siempre por debajo de l, por lo que se utilizan submltiplos del tipo micro (E-6), nano (E-9) y pico (E-12) Faradios. El smbolo aceptado internacionalmente es el siguiente:

Como sabemos, un dielctrico es un material aislante que tiene la propiedad de poder establecer en su interior un campo elctrico sin prdida de energa, como consecuencia de la polarizacin dielctrica interna. Esto origina, en la prctica, que si introducimos un material de este tipo entre las placas o lminas de un condensador, aumentemos su capacidad debido al efecto multiplicador que realiza el material; con las ventajas que esto representa en la construccin de condensadores con capacidades elevadas.



La tensin en extremos de un condensador est en relacin directa con la diferencia de potencial aplicada en el vaco y con la permitividad relativa del medio que existe entre las placas conductoras, de esta manera si tenemos situado un dielctrico en este lugar ser la permitividad del dielctrico la que relacione las magnitudes anteriores de la siguiente forma:

De esta forma podemos calcular la capacidad de un condensador en funcin de la capacidad en vaco del mismo:

Es decir la capacidad se multiplica por R veces, que es la permitividad del dielctrico. Desde un punto de vista constructivo podemos conocer la capacidad de un condensador en funcin de sus dimensiones geomtricas. As si poseemos un condensador plano formado por dos placas planas enfrentadas y conductoras, de rea A=a*b y con una distancia d que las separa, la capacidad ser de:

Figura III.20. Capacitor placas paralelas

Vemos como es posible variar la capacidad de un condensador modificando bien el rea de las placas, la distancia que las separa o la permitividad del dielctrico que interponemos entre ellas. De igual forma podemos calcular la capacidad de un condensador cilndrico o esfrico en funcin de sus caractersticas geomtricas:



Siendo DE el dimetro exterior, Di dimetro interno, RE radio externo y Ri radio interno del condensador cilndrico y esfrico respectivamente.6 Estas ecuaciones para la capacitancia se deducen de la siguiente manera: Suponga que tiene dos conductores esfricos de radio a y b, respectivamente tienen cargas Q y Q, como se muestra en la Figura III.21.

Figura III.21. Capacitor esfrico

Para obtener la capacitancia para este sistema, encontramos el campo elctrico utilizando la ley de Gauss, con lo cual es posible establecer que el mismo est confinado a la regin entre los conductores y cumple las siguientes funciones:

Remplazando E, en la ecuacin de la densidad de energa, se obtiene:

6 Componentes pasivos: resistencias, condensadores y bobinas. Abarca A. Cano J. M. y De la Casa J. Coleccin Apuntes de la Universidad. Servicio Publicaciones de Universidad de Jan. 1995. Materiales y componentes electrnicos pasivos Alvarez Santos R. Editorial Editesa. Barcelona 1995



Y como la densidad de energa es la energa por unidad de volumen:

Dado que el campo elctrico solo depende de r, se puede tomar como elemento de volumen un cascarn esfrico de radio r, y espesor dr, tal que: Remplazando y simplificando:

Integrando y evaluando:

En general se estableci que la energa almacenada por un condensador se puede calcular por:

Remplazando en la ecuacin anterior se obtiene:

7

7 Capacidad, Profesores m. Cecilia fuentes v. jaime o. Cartes m. alfonso llancaqueo h.




En FEMLAB, un capacitor esfrico puede ser resuelto usando una geometra 2D asimtrica en el modo de aplicacin de Electrosttica. Ecuaciones del Dominio El potencial elctrico escalar V, se ve reflejado en la ecuacin de Poisson:

Donde 0 es la permitividad del espacio vaco, r es la permitividad relativa y es la densidad de carga espacial. El campo elctrico es obtenido del gradiente de V:

Condiciones en los lmites Las condiciones en una superficie de carga estn determinadas por:


En este ejemplo se presenta una forma alternativa de realizar las diferentes simulaciones, en ocasiones podra resultar ms efectivo puesto que es posible combinar las herramientas de Comsol Multiphysics y Matlab e inclusive simulink. La demostracin de la implementacin de este ejercicio a travs de la interfaz grfica de Comsol Multiphysics se exhibe en el documento Model Library que se adjunta al momento de instalar el programa.

Definicin del modelo: Este modelo consiste en dos conductores esfricos de radio 0.19m y 0.05m, respectivamente que tienen cargas 0 (ground) y Q = 5e-12 .



Resultados

La grfica final se muestra en la Figura III.22. En ella se puede apreciar una superficie codificada con colores, que nos deja ver la distribucin de potencial elctrico. Con las herramientas del post-proceso, es posible determinar la capacitancia (esto se explica al final del ejemplo).

Figura III.22. Capacitor Esfrico

Figura III.23.Ampliacin

Modelacin usando Matlab

En esta ocasin se implementar el modelo en Matlab, utilizando un M-File como base del diseo. Tenga en cuenta que es posible realizar todo o parte del diseo a travs de palabras reservadas y escritura de un M-file. Es posible realizar una parte del diseo en la interfaz grfica y luego completarlo en Matlab, siempre y cuando se siga el estndar para escribir los M-File de tal forma que Femlab pueda reconocer el texto.



De igual manera usted podra hacer la operacin inversa, es decir, empezar el diseo en Matlab y concluirlo en la interfaz grfica. Para abrir un archivo M-File en Femlab, lo nico que debe hacer es ir a File/open y escoger en la parte de tipo de archivo la opcin Model M-File (.m). Para exportar un diseo que halla realizado en la interfaz grfica a Matlab, usted debe ir a File/Export/FEM estructure has fem. Y si desea visualizar el archivo .m de su diseo, al momento de guardarlo escoja este tipo de archivo. A continuacin se presenta el M-File del diseo: % FEMLAB Model M-file flclear fem % Femlab version clear vrsn vrsn.name = 'FEMLAB 3.1'; vrsn.ext = ' snapshot'; vrsn.major = 0; vrsn.build = 139; vrsn.rcs = '$Name: $'; vrsn.date = '$Date: 2004/10/06 13:08:24 $'; fem.version = vrsn; % Constants fem.const={'Q0','5e-12'}; % Geometry g1=circ2('0.19','base','center','pos',{'0','0'},'rot','0'); g2=circ2('0.05','base','center','pos',{'0','0'},'rot','0'); g3=rect2('0.2','0.4','base','corner','pos',{'-0.2','-0.2'},'rot','0'); g4=geomcomp({g1,g2,g3},'ns',{'C1','C2','R1'},'sf','C1-(C2+R1)','edge','none'); clear s s.objs={g4}; s.name={'CO1'}; s.tags={'g4'}; fem.draw=struct('s',s); fem.geom=geomcsg(fem); % Initialize mesh fem.mesh=meshinit(fem); % Refine mesh fem.mesh=meshrefine(fem, ... 'mcase',0, ... 'rmethod','regular');



% Application mode 1 clear appl appl.mode.class = 'Electrostatics'; appl.mode.type = 'axi'; appl.assignsuffix = '_es'; clear bnd bnd.rhos = {0,0,'Q0/(4*pi*0.05^2)'}; bnd.type = {'V0','ax','r'}; bnd.ind = [2,2,1,3,3,1]; appl.bnd = bnd; clear equ equ.epsilonr = 'mat1_epsilonr'; equ.ind = [1]; appl.equ = equ; fem.appl{1} = appl; fem.sdim = {'r','z'}; fem.border = 1; % Library materials clear lib clear mat1 mat1.type = 'material'; mat1.name = 'Glass (quartz)'; mat1.sigma = '1e-14'; mat1.n = '2.05'; mat1.epsilonr = '4.2'; mat1.mur = '1'; lib.mat1 = mat1; fem.lib = lib; % Multiphysics fem=multiphysics(fem); % Extend mesh fem.xmesh=meshextend(fem); % Solve problem fem.sol=femlin(fem, ... 'solcomp',{'V'}, ... 'outcomp',{'V'}); % Save current fem structure for restart purposes fem0=fem; % Plot solution postplot(fem, ... 'tridata',{'V','cont','internal'}, ... 'trimap','jet(1024)', ... 'title','Surface: Electric potential', ... 'refine',3, ... 'axis',[-0.265107913669065,0.265107913669065,-0.2,0.2,-1,1]); % Integrate I1=postint(fem,'V/(0.05*pi)', ... 'dl',[4,5], ... 'edim',1)



% Integrate I2=postint(fem,'2*pi*r*(We_es)', ... 'dl',[1]) Como podr notar el texto est divido en varias secciones secuenciales, que coinciden con el flujo de diseo en la interfaz grfica, es decir, como usted ya sabr: especificaciones generales, realizacin de la geometra, definir parmetros, lmites, etc., etc. Es importante tener presente esta estructura a la hora de realizar un diseo, puesto que de otra manera podramos tener inconvenientes al momento de pretender abrir el M-File en la interfaz grfica. A continuacin se detalla a breves rasgos las diferentes partes del diseo. En caso de que no est muy familiarizado con el entorno de Matlab, lo primero que debe hacer es crear un nuevo M-File, para lo cual ingrese a File/new/M-File. Para encontrar ayuda a cerca de las palabras reservadas que debe utilizar a lo largo de la elaboracin del modelo, utilice la ayuda de Matlab o escriba en el command windows help femlab o help seguido de la palabra reservada que pretende conocer ms. Por ejemplo help circ2. Femlab Version La primera parte del modelo denominada Femlab version, en realidad no es obligatoria ni muy necesaria, pero permite describir las caractersticas bsicas de la versin de Femlab utilizada para la implementacin del diseo. Constants Luego seguimos con la definicin de las constantes, en caso de que existieran. En esta ocasin se ha considerado el valor de la carga.

Geometry A continuacin se implementa la geometra a analizar. Para esto se cuenta con todas las herramientas disponibles en la interfaz grfica. De igual manera es posible exportar la geometra.



Las funciones que usted puede utilizar se detallan a continuacin8:

8 Ms detalle a cerca de las funciones en los documentos propios del FEMLAB: Comand Referente y MATLAB Interface Guide.



Para ms informacin respecto a las variables que debe utilizar para emplearlas o la funcin que realizan, refirase al documento Comand Referente o a la ayuda de Matlab, como ya se lo indic anteriormente. En esta ocasin se debe construir dos crculos de 0.05 y 0.19 de radio y un rectngulo con esquinas opuestas situadas en (-0.2,-0.2) y (0,0.2). Luego es necesario crear un objeto compuesto determinado por la frmula: c1-(c2+r1), donde c1 representa el crculo de mayor radio. El resultado debe ser similar a la Figura III.24:

-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Figura III.24. Capacitor Esfrico. Geometra

Como podr suponer existen varias maneras para llegar a este resultado, por ejemplo: % Geometra--------------------------------------- c1 = circ2(0.19); %Crear un crculo de radio 0.19 centrado en (0,0) c2 = circ2(0.05); %Crear un crculo de radio 0.05 centrado en (0,0) r1 = rect2(-0.2,0,-0.2,0.2); %Crear un rectngulo de esquinas opuestas(-0.2,-0.2) y (0,0.2) cap1 = c1-(c2+r1); %Creando objeto compuesto geomplot(cap1) El comando geomplot, permite graficar la estructura. Initialize mesh Las funciones que es posible utilizar al momento de realizar la malla se detallan en la tabla siguiente9.

9 Ms detalle a cerca de las funciones en los documentos propios del FEMLAB: Comand Referente y MATLAB Interface Guide.



Para visualizar la malla, utilice el comando meshplot(), introduciendo dentro del parntesis el nombre de la malla (en este caso fem). A continuacin se muestra la malla sin refinar.

Figura III.25. Malla sin refinar

Application mode 1 En esta parte, se introducen algunas caractersticas bsicas del diseo, como la clase (electrosttica), el tipo (asimtrica), etc. Luego se define los lmites (boundaries), los cuales se almacenan en la variable bnd, estos en el modelo se ven definidos por las cantidades: rhos: {[0] [0] 'Q0/(4*pi*0.05^2)'} type: {'V0' 'ax' 'r'}



ind: [2 2 1 3 3 1]

Figura III.26. Boundary Mode

En este caso en rhos, estamos almacenando los valores de s para los diferentes lmites. El tipo describe: V0 (Ground o tierra), ax (axial symetry), r (surface charge). En el vector ind se acredita a los lmites un valor, en este modelo, se asigna de la siguiente manera:

Library materials En esta seccin, en caso de utilizar opciones de la librera de materiales deben adjuntarse. Para este modelo se utilizan las caractersticas del vidrio.

Parameter ValueConductivity (sigma) 1e-14Relative permeability (mur) 1Relative permittivity (epsilonr) 4.2 Refractive index (n) 2.05



Solve problem Aqu, se soluciona el problema para los parmetros antes programados. Los comandos que puede utilizar para esto son:

Plot solution Ingresamos al post-proceso. En este caso se mantiene el estndar de graficar en modo surface plot. Integrate Esto es parte del post-proceso y se lo ha hecho para encontrar la capacitacia de la estructura. Como sabemos existen varias formas de hacerlo:

Para calcular C1, es necesario obtener la diferencia de potencial V, lo cual se logra en I1: I1=postint(fem,'V/(0.05*pi)', ... 'dl',[4,5], ... 'edim',1) El resultado obtenido es: 0.1577 Para calcular C2, Es necesaria la densidad de energa elctrica (We), la cual se halla y se almacena en I2. % Integrate I2=postint(fem,'2*pi*r*(We_es)', ... 'dl',[1]) El valor obtenido es: 3.9419e-013



Con estos valores, y recordando que la carga es 5e-12, calculamos la capacitacia que da como resultado:

Para compararlo con el resultado analtico, utilizamos la frmula:

Que nos da como resultado:

En caso de pretender realizar esto en la interfaz grfica, lo nico que tenemos que hacer es recurrir a postprocessing/boundary integrator para el primer caso (I1) y a postprocessing/Subdomain integrator para I2.



Temperatura

Temperatura Y Anlisis Matemtico Por El Mtodo De Las Diferencias Finitas

Introduccin:

La solucin numrica que solicita el problema, que a continuacin expondr, para su resolucin, se considera dentro del mtodo numrico conocido como diferencias finitas para ecuaciones elpticas. En ingeniera, las ecuaciones elpticas se usan comnmente para caracterizar problemas en estado estacionario con valores en la frontera. Este ejemplo permite deducir un caso simple (la ecuacin de Laplace), a partir de un problema fsico. Como es de conocimiento del lector, para resolver PDEs complejas se utilizan los mtodos numricos y la programacin en computador, es as, como ya se lo ha mencionado anteriormente, que el programa COMSOL utiliza el mtodo de elementos finitos. Es por esto que se plantea este ejemplo para dar al lector una idea, con uno ejercicio muy bsico, del anlisis que realiza el programa con el cual estamos realizando las simulaciones. En el mtodo de diferencias finitas el dominio de la solucin se divide en una malla con puntos discretos o nodos. Entonces se aplica la PDE en cada nodo, donde las derivadas parciales se remplazan por diferencias finitas divididas. Aunque tal aproximacin por puntos es conceptualmente fcil de entender, tiene varias desventajas. En particular es difcil de aplicar con una geometra irregular, con condiciones de frontera no usuales o de composicin heterognea. Es all donde ingresa el mtodo de elementos finitos, el cual ofrece una alternativa ms adecuada para tales sistemas. La tcnica del elemento finito divide el dominio de la solucin en regiones con formas sencilla o elementos. Se puede desarrollar una solucin aproximada de la PDE para cada uno de estos elementos. La solucin total se genera uniendo, o ensamblando, las soluciones individuales, teniendo cuidado de asegurar la continuidad de las fronteras entre los elementos. De este modo la PDE se satisface por secciones. El uso de elementos, en lugar de una malla rectangular, proporciona una mejor aproximacin para sistemas con forma irregular. Adems se pude generar continuamente valores de las incgnitas a travs de todo el dominio de la solucin en lugar de puntos aislados. Ojal estas acotaciones den una percepcin ms clara de el trabajo que realiza por nosotros el programa COMSOL y sus potencialidades para resolver PDEs




El ejercicio a desarrollar en esta ocasin, se refiere a una placa calentada donde las temperaturas frontera se mantienen a niveles constantes, lo cual se conoce como frontera de Dirichlet. El cual fue extrado, tanto el enunciado como la resolucin matemtica, del libro Mtodos Numricos para Ingenieros, de los autores: Steven C. Chapra y Raymond P. Camale10. El problema, textualmente, plantea lo siguiente: Con el mtodo de Liebmann (Gauss-Seidel) calcule la temperatura de la placa calentada de la Figura III.27. Emplee la sobrerrelajacin con un valor 1.5 para el factor de ponderacin, e itere hasta s = 1%.

(3,3)(2,3)(1,3)

(1,2) (2,2) (3,2)

(1,1) (2,1) (3,1)

100C

50C

0C

75C

Figura III.27. Una placa calentada donde las temperaturas frontera se mantienen a

niveles constantes. Solucin: Aunque estemos considerando un problema de temperaturas, el tratamiento que se da para su resolucin, es muy similar al que habra que realizar para dar solucin a un problema de electrosttica, en donde en vez de valores de frontera de temperatura, ubicramos valores de diferencia de potencial. Esto debido a que la solucin del problema involucra la ecuacin de Laplace, la cual se expresa de la siguiente manera:

022

2

2

=+

yT

xT (1)

10 Mtodos Numricos para Ingenieros, Steven C. Chapia y Raymond P. Camale. Captulo 29: Diferencias finitas ecuaciones elpticas. Pginas 858 a la 940.



Donde:

T= temperatura (C)

Y se define como:

CVHT =

Donde: H = calor (cal)

C = capacidad calorfica del material [cal/(g C)] = densidad del material (g/cm3) V = volumen (cm3)

Igual que en electrosttica, usted puede observar que en caso de que halla fuentes o prdidas de calor dentro del dominio bidimensional, la ecuacin asumir la forma de la ecuacin de Poisson. En la solucin numrica, las representaciones por diferencias finitas basadas en tratar la placa como una malla de puntos discretos (Figura III.28) se sustituyen por las derivadas parciales en la ecuacin (1). Como se describe a continuacin, la PDE se transforma en una ecuacin algebraica en diferencias.

x

y

)( yyq +

)( xxq +)(xq

)(yq

y

x

Figura III.28. Placa delgada de espesor z. Se muestra un elemento, con el cual se hace el balance de calor.



y

x

i , j + 1

i +1 , ji - 1 , j

i , j - 1

0 ,0m + 1,0

0, n + 1

i, j

Figura III.29. Malla usada para la solucin por diferencias finitas de las PDEs

elpticas en dos variables independientes, como la ecuacin de Laplace.

La ecuacin laplaciana en diferencias Las diferencias centrales basadas en la ecuacin de la malla de la Figura III.29 son:

2,1,,1

2

2 2x

TTTxT jijiji

+=

+ Y

21,,1,

2

2 2y

TTTyT jijiji

+=

+ Las cuales tienen errores de O[(x)2] y O[(y)2], respectivamente. Sustituyendo estas expresiones en la ecuacin (1) se obtiene:

022

21,,1,

2,1,,1 =

+++ ++

yTTT

xTTT jijijijijiji

En la malla cuadrada de la Figura III.29, x = y, y reagrupando trminos, la ecuacin se convierte en

Ti+1,j +Ti-1,j + Ti,j+1 + Ti,j-1 - 4Ti,j = 0 (2)



Esta ecuacin que se satisface para todos los puntos interiores de la placa, se conoce como ecuacin laplaciana en diferencias. Adems, se deben especificar las condiciones de frontera en los extremos de la placa para obtener una solucin nica. El caso ms simple es aquel donde la temperatura en la frontera es un valor fijo. sta se conoce como condicin de frontera de Dirichlet. Tal es el caso del problema que intentamos resolver. En el caso ilustrado en la Figura III.27, un balance en el nodo (1,1) es, de acuerdo con la ecuacin (2)

T21 +T01 + T12 + T 10- 4T11 = 0 (3) Si embargo T01 = 75 y T10 = 0, y, por lo tanto, la ecuacin (3) se expresa como

-4T11 +T12 + T21 = -75 Ecuaciones similares se pueden desarrollar para los otros puntos interiores. El resultado es el siguiente conjunto de nueve ecuaciones simultneas con nueve incgnitas:

4T11 T21 T12 = 75 - T11 + 4T21 T31 - T22 = 0

- T21 + 4T31 T32 = 50 - T11 + 4T12 T22 - T13 = 75 - T21 T12 + 4T22 - T32 = 0 - T31 - T22 4T32 - T32 = 50

- T12 + 4T13 T23 = 175 - T22 T13 4T23 - T33 = 100

- T32 + T23 + 4T33 = 150 (4)

El resultado, luego de resolver el sistema de ecuaciones es el siguiente:

T11 = 42.8571428571429 T21 = 33.2589285714286 T31 = 33.9285714285714 T12 = 63.1696428571429

T22 = 56.25 T33 = 52.4553571428571 T13 = 78.5714285714286 T23 = 76.1160714285714 T33 = 69.6428571428571



Esta es la solucin exacta para el problema.

78.59

63.21

43.00

76.06 69.71

33.89

56.11

33.30

52.34

100 C

50 C

0 C

75 C

Figura III.30. Distribucin de temperatura en una placa calentada, sujeta a

condiciones de frontera fijas. Nota: En la mayora de las soluciones numricas de la ecuacin de Laplace se tienen sistemas que son mucho ms grandes que la ecuacin (4). Por ejemplo con una malla de 10 por 10 se tienen 100 ecuaciones algebraicas lineales. Tambin es posible apreciar que hay un mximo de cinco incgnitas por lnea en la ecuacin (4). Para mallas grandes se encuentra que un nmero significativo de los trminos ser igual a cero. Cuando se aplican los mtodos de eliminacin con toda la matriz a estos sistemas dispersos, se ocupa una gran cantidad de memoria de la computadora, almacenando ceros. Por esta razn, los mtodos aproximados representan un mejor procedimiento para obtener soluciones de PDEs elpticas. El mtodo de Liebmann es el que generalmente se utiliza y como recordar es a travs del cual se nos peda solucionar el problema pero para nuestro objetivo, de comparar los datos obtenidos manualmente con los que presenta el programa, nos es suficiente con los valores obtenidos. En caso de que usted desee revisar el procedimiento por el mtodo de Liebmann le recomiendo remitirse al libro enunciado al principio.



Variables secundarias: En la placa calentada, una variable secundaria es el flujo de calor a travs de la superficie de la placa. Esta cantidad se calcula a partir de la ley de Fourier. Las aproximaciones por diferencias finitas centradas para las primeras derivadas se sustituyen en la ley de Fourier de conduccin del calor, la cual se expresa como:

iTCkqi

= (5) Donde: qi = flujo de calor en la direccin de la dimensin i [cal / (cm2 s)] k = coeficiente de difusividad trmica (cm2 / s) Luego de realizar la sustitucin, se obtienen los siguientes valores del flujo de calor en las dimensiones x y y:

xTT

Ckq jijix = +

2,1,1 (6)

yTT

Ckq jijiy = +

21,1, (7)

El flujo de calor resultante se calcula a partir de estas dos cantidades mediante:

22yxn qqq += (8)

Donde la direccin de qn est dada por:

=

x

y

qq1tan (9)

Aplicando estas frmulas para la placa con unas medidas para la misma de 40cm X 40cm y asumiendo que est hecha de aluminio, el libro nos presenta los siguientes resultados obtenidos.



Figura III.31. Flujo de calor en una placa sujeta a temperaturas fijas en las fronteras.

La longitud de las flechas es proporcional a la magnitud del flujo. Otras variaciones pueden considerarse dentro del mismo problema, y aunque, por pensar que no es el objetivo principal de este texto, se excluye la explicacin detallada de los clculos numricos, se exponen a continuacin los resultados que nos presenta el libro, de dos variaciones bastante interesantes, con el afn, de luego contraponer los resultados, con la solucin que nos arroje el programa, para los mismos.

Figura III.32. Temperatura y distribucin de flujo enana placa calentada sujeta a

condiciones de frontera fijas, excepto en un extremo inferior aislado.



Figura III.33. Distribucin de temperatura y flujo en una placa calentada con una

frontera circular.


Como usted ya podr imaginar, la simulacin de este ejemplo es muy parecida, a aquel en donde tratbamos un cuadrado con diferentes valores lmite de diferencia de potencial V en sus extremos. Pero utilizar este ejemplo para presentar al lector otras opciones, tambin interesantes y, adems creo tambin significativo el darnos cuenta que muchas veces aunque el anlisis de un problema se encuentre dentro de campos diferentes de la fsica y nos lleve a sacar conclusiones dismiles, el anlisis numrico y el planteamiento del problema puede ser muy parecido.

Definicin del modelo: El primer paso es definir un modelo global y construir su geometra. Este modelo consiste en un cuadrado de 4 unidades de lado, en el cual sus lados se encuentran a temperaturas constantes pero diferentes para cada uno de ellos. Se busca encontrar la distribucin de temperatura en el mismo y las lneas de flujo en el interior del cuadrado.

Resultados

La grfica final se muestra en la Figura III.34. En ella se puede apreciar una combinacin de una grfica de superficie y flechas de flujo de calor. La superficie representa la distribucin de temperatura y presenta diferentes asignaciones de color para dismiles valores de temperatura.



Figura III.34. Temperatura (superficie), flujo de calor.

Figura III.35Ampliacin

Modelacin usando la interfaz grfica. Para empezar, ingrese al navegador de modelos de FEMLAB, haciendo clic en el icono que generalmente se encuentra en el escritorio, o accediendo a travs de inicio/programas/FEMLAB.

Model Navigator: Para este modelo se utiliza el modo de aplicacin de Transferencia de calor. 11) En el Model Navigator haga clic en la etiqueta new. 12) Seleccione 2D en la lista de Space Dimension. 13) En la lista de modos de aplicacin, abra la carpeta FEMLAB, luego la de

transferencia de calor y seleccione conduccin, posteriormente, Steady-state analysis

14) Acepte la opcin por defecto (cuadratic Lagrange elements) para el tipo de elementos.



15) Clic Ok

Figura III.36. Model Navigator

Geometry Modeling 6) Dibuje un cuadrado de cuatro unidades de lado, esto puede hacerlo de varias formas,

una de ellas, es a travs del men Draw, escogiendo la opcin Draw objects, y luego Rectangle/Square. Y luego moviendo el cursor de forma adecuada de acuerdo a la medida establecida para los lados. El cuadrado debe apreciarse como el de la figura.


Physics Settings Ingrese las condiciones lmites de acuerdo al planteamiento del problema. Para lo cual acceda a travs del men Physics a Boundary Settings y en la parte izquierda del cuadro de dilogo, ubquese en Boundary selection seleccione por turnos cada uno de los segmentos y asgneles el valor de temperatura que les corresponde, seleccionando en Boundary condition la opcin temperature o zero temperature, segn sea el caso, e ingrese el valor adecuado en T0. Haga clic en ok para confirmar los datos ingresados.



Figura III.38. Boundary settings

Mesh Generation:

Inicialice la malla. Si desea mayor precisin en los datos a obtener usted puede utilizar la opcin refine mesh la cual producir una malla ms compacta lo que permite tener un nmero de puntos mayor para definir el modelo de mejor manera.

Figura III.39. Mesh

Computing the solution

Clic en el botn solve. Debe tenerse presente que es posible modificar muchas de las opciones de resolucin del modelo, para acoplarlo de mejor manera nuestras necesidades. Para ello usted puede ingresar a travs de la barra de herramientas solve a solve parameters o a solver manager. All encontrar una serie de opciones que pueden ser modificadas. Luego de finalizar el proceso usted deber visualizar la Figura III.40:

Figura III.40. Surface Plot



Postprocessing and visual

comsol - tutorial femlab

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