7/28/2019 conosur_2013

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Versin espaol

Duracin: 4 horas

Cada problema vale 10 puntos

Asuncin, 4 de junio de 2013

Da 1

Problema 1

Sobre una recta marcamos cuatro puntos distintos. Para cada punto marcado secalcula la suma de las distancias de dicho punto a los tres restantes, obtenindose ascuatro valores.Decidir si es posible que estos cuatro valores sean, en algn orden:

a) 29, 29, 35, 37 ; b) 28, 29, 35, 37 ; c) 28, 34, 34, 37.

Problema 2

En un tringulo , sean el punto medio del lado e la interseccin de susbisectrices. Si , determinar el menor valor posible para la medida del ngulo .

Problema 3

Sinciclolandia es un pas con 500 ciudades y 2013 vas de doble sentido, cada unaconectando directamente dos ciudades. Dos ciudades A y B se llaman vecinas si

existe una va que las conecta y dos ciudades A y B se llaman casi-vecinas si existeuna ciudad C tal que A es vecina de C y C es vecina de B.Sabemos que en Sinciclolandia no existen dos ciudades conectadas directamente porms de una va y no existen cuatro ciudades A, B, C y D tales que simultneamente Aes vecina de B, B es vecina de C, C es vecina de D y D es vecina de A.Demostrar que existe una ciudad que es casi-vecina de por lo menos 57 ciudades.

7/28/2019 conosur_2013

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Versin espaol

Duracin: 4 horas

Cada problema vale 10 puntos

Asuncin, 5 de junio de 2013

Da 2

Problema 4

Sea el conjunto de los nmeros enteros de 1 a 2013 inclusive.A cada uno de los subconjuntos de se le asigna uno de colores disponibles, con lanica condicin de que si dos conjuntos distintos, digamos y , cumplen que

, entonces a los conjuntos y se les asignan colores distintos. Cul es elmenor valor que puede tomar ?

Problema 5

Sea el nmero de divisores positivos del entero . Un nmero es equilibradocuando:

1 1o 1 1.

Demostrar que existen infinitos nmeros equilibrados.

Problema 6

Sea un cuadriltero convexo. Sea 2 un nmero entero. Demostrar que

existen tringulos de misma rea con todas las siguientes propiedades:

Sus interiores son disjuntos, es decir, los tringulos no se superponen; Cada tringulo est contenido en o en su interior; La suma de las reas de los tringulos es por lo menos

del rea del

cuadriltero .