Negáció

Salamon bölcs.Minden politikus hazudik.

Salamon egy szamár.Minden politikus igazat mond.

Salamon nem bölcs.Nem minden politikus hazudik.

ellentét

negáció = tagadás

p nem pigaz hamishamis igaz

Konjunkció

p q p és qigaz igaz igazigaz hamis hamishamis igaz hamishamis hamis hamis

és, de, míg, noha, bár, habár, nemcsak … hanem is, jóllehet, pedig, ugyanakkor, mégis, stb.

nem nem p p

p és q p, qp, q p és q

A konjunkció tagadása: Nem igaz, hogy esik az eső és a sáros az utca.nem Nem esik az eső és nem sáros az utca.hanem Nem esik az eső vagy nem sáros az utca.

Variációk a „vagy”-ra 1.

Este olvasok vagy tévézek.Fej vagy írás.Iszol vagy vezetsz.

Megengedő vagy (alternáció): legalább az egyik igaz.Kizáró vagy (diszjunkció): pontosan az egyik igaz.Összeférhetetlenség: legfeljebb az egyik igaz.

Melyik „vagy”-gyal érvényes? p p vagy qp vagy q, nem p qp vagy q, p nem q

Csak a megengedővel.A megengedővel és a kizáróval.A kizáróval és az összeférhetetlenségivel.

Melyik „vagy”-gyal fejezhető ki a konjunkció tagadása?

A megengedővel vagy a kizáróval.Milyen „vagy” szerepel az előző megoldásban? Megengedő

.

p q megengedő kizáró összeférhetetlenségiigaz igaz igaz hamis hamisigaz hamis igaz igaz igazhamis igaz igaz igaz igazhamis hamis hamis hamis igaz

Variációk a „vagy”-ra 2.: Mi a baj?

A híd túlterheltség vagy szerkezeti hiba miatt szakadt le. A túlterheltség ténye megállapítást nyert. Ezért érthetetlen, miért vizsgálja a szakhatóság az építők felelősségét.

A kormány azt ígérte, hogy idén növeli a felsőoktatás támogatását és emeli a nyugdíjakat is. A pénzügyi szakértők szerint a kettő együtt nem megy. A névtelenségükhöz ragaszkodó bennfentesek szerint a kormány letett a nyugdíjak emeléséről. Eszerint a felsőoktatás magasabb támogatásra számíthat.

Kedves asszonyom, önnek választania kell. Vagy megvásárolja cégünk vadonatúj termékét, a hupikék erőt rejtő mosóport, mely tisztít és növeli az önbizalmat, vagy kénytelen lesz továbbra is nélkülözni a tiszta ruhákat.

Hamis dilemma

Ha …, akkor … 1.

Mikor igaz? Ha esik az eső, Schumacher nyer.

Esett az eső, és Sch. nyert.Esett az eső, de nem Sch. nyert.Nem esett az eső, de Sch. nyert.Nem esett az eső, és nem Sch nyert.

igazhamisigazigaz

Közös premissza: Ha esik az eső, Schumacher nyer.Esett. Sch. nyert. Nem esett. Nem Sch. nyert.Sch. nyert. Esett. Nem Sch nyert. Nem esett.

érvényes

ha p, akkor q.pq

modus ponens

érvénytelen

ha p, akkor q.qp

következmény állítása

érvénytelen

ha p, akkor q.nem pnem q

előzmény tagadása

érvényes

ha p, akkor q.nem qnem p

modus tollens

p q ha p, akkor q

igaz igaz igazigaz hamis hamishamis igaz igazhamis hamis igaz

Ha …, akkor … 2.

p q ha p, akkor qigaz igaz igazigaz hamis hamishamis igaz igazhamis hamis igaz

Melyik mondat igaz pontosan azokban az esetekben, mint az alábbi? Ha esik az eső, Schumacher nyer. Ha Schumacher nyer, akkor esik az eső. Ha Schumacher nem nyer, akkor nem esik az eső.

Ha p, akkor q. Ha nem q, akkor nem p. kontrapozícióHa p, akkor q. Ha q, akkor p. a feltételes állítás megfordítása

Két mondat logikailag ekvivalens: kölcsönösen következnek egymásból.

Ha szeretem Lulut, Lulu is szeret engem.Ha Lulu szeret engem, Dr. Schön féltékeny rám.Ha szeretem Lulut, Dr. Schön féltékeny rám.

Ha p, akkor q. hipotetikus szillogizmusHa q, akkor r. (láncszabály)Ha p, akkor r.

Ha …, akkor … 3.Melyik érvényes?

Csak akkor kaphatsz jelest, ha szorgalmasan készülsz.Nem készülsz szorgalmasan.Nem fogsz jelest kapni.

Ha nyer a csapat, három pontot kap.A csapat három pontot kapott.A csapat nyert.

Ha Bush nyer, Kerry visszavonul a politikától.Ha Kerry meghal, Bush nyer.Ha Kerry meghal, akkor visszavonul a politikától.Időben ott leszek, kivéve ha valami közbejön.Elkéstem.Valami közbejött.

Csak akkor p, ha q ha p, akkor q, Nem: ha q, akkor p!!!

p, kivéve ha q ha nem p, akkor q

Fejezze ki „ha, akkor” formában!

A szükséges feltétele B-nek.A elégséges feltétele B-nek.

Négy kártya

E K 4 7

Tudjuk, hogy minden kártya egyik oldalán betű, a másikon szám található. Döntse el a lehető legkevesebb kártya megfordításával, hogy igaz-e az alábbi állítás:Ha egy kártya egyik oldalán magánhangzó van, a másikon páros szám áll.

Tudjuk, hogy minden csekk egyik oldalán az értéke szerepel, a másik oldal pedig az aláírás helye. Tudjuk azt is, hogy 100Ft értékhatár alatt minden csekk érvényes, 100 Ft fölött viszont csak az, amelyiknek a hátoldala alá van írva. Melyik csekkeket kell megfordítania, hogy eldöntse, érvényes-e?

500Ft 50Ft Fg

p = magánhangzó q = páros számp= 100 Ft-nál több q = alá van írva

p q ha p, akkor qigaz igaz igazigaz hamis hamishamis igaz igazhamis hamis igaz

Akkor és csak akkor

Ha Ödönke szájal, kap egy nagy pofont.Ödönke kapott egy nagy pofont.Nyilván szájalt.

Ödönke akkor és csak akkor kap egy nagy pofont, ha szájal.Ödönke kapott egy nagy pofont.Nyilván szájalt. p q p, akkor és

csak akkor ha qigaz igaz igazigaz hamis hamishamis igaz hamishamis hamis igaz

p akkor és csak akkor ha q, p q q p nem p nem q nem q nem p

Krokodil: Akkor és csak akkor adom vissza, ha kitalálod, mit fogok vele csinálni.

V acsah K, K acsah nem VAnya: Nem fogod visszaadni.

Anya: Fel fogod falni. V acsah K, ha F, akkor nem V

k li ii hh ih h

k l ha k, akkor li i ii h hh i ih h i

Az igazságtáblázatok módszere 1.

Ha a komornyik igazat mondott, a lord a gyilkos.A komornyik igazat mondott. A lord a gyilkos

Ha a komornyik igazat mondott, a lord a gyilkos.A lord a gyilkos. A komornyik igazat mondott.

Ha k, akkor l.kl

Ha k, akkor l.lk

1. Azonosítsd a logikai formát.2. Vedd fel az elemezhetetlen kijelentések

lehetséges igazságértékeit.3. Számítsd ki az összetett kijelentések

igazságértékeit az összes esetre.4. Húzd ki azokat a sorokat, amelyekben

valamelyik premissza hamis.5. A következtetés akkor érvényes, ha a konklúzió

minden megmaradó sorban igaz.

P K P

K P P

Az igazságtáblázatok módszere 2.

Ha okos vagyok, akkor, ha szép vagyok, akkor okos vagyok

Vagy ha szép vagyok, akkor okos is vagyok, vagy ha nem vagyok okos, akkor szép sem vagyok.

Ha o, akkor, ha s, akkor o

Vagy ha s, akkor o, vagy ha nem o, akkor nem s

logikai igazság =minden sorban igaz =mindenből következik

ellentmondás =minden sorban hamis =minden következik belőle

o s ha s, akkor o ha o, akkor, ha s akkor oi i i ii h i ih i h ih h i i

o s ha s, akkor o i i ii h ih i hh h i

o si ii hh ih h

o s i ii hh ih h

o s ha s, nem o nem s ha nem o, vagy…, akkor o akkor nem s vagyi i i h h i hi h i h i i hh i h i h h hh h i i i i h

o s ha s, nem o nem s ha nem o, akkor o akkor nem si i i h h ii h i h i ih i h i h hh h i i i i

E H

Univerzális és egzisztenciális állítások

Minden ember halandó.Szókratész ember.Szókratész halandó.

Némely ember hülye.Szókratész ember.Szókratész hülye.

s

Minden E H.s E.s H.

Némely E H.s E.s H.

Individuumnevek: Szókratész,Platón mestere, a miniszterelnök,kedvenc zeném, az ország leg-nagyobb bankja

Predikátumok: filozófus, miniszterelnök, fut, szép,szereti, magasabb mint, között van

A következtetés érvényes: ha a konklúzió Venn-diagramja látható a premisszákén. Ha nem látható, akkor érvénytelen.

E H

A kategorikus állítások fajtái

Minden F (tulajdonságú dolog) G (tulajdonságú dolog).Minden beteg ember jogosult a gyógykezelésre.Az összes kutya tud ugatni.Aki kíváncsi, hamar megöregszik.Ami repül, az le is esik.

Van olyan F (tulajdonságú dolog), amely G (tulajdonságú dolog).Némely hazugság nagyon hihető.Néhány gyógyszer kiütést okoz.Vannak repülő halak.Legalább egy beteg már felépült.

Egyetlen F (tulajdonságú dolog) sem G (tulajdonságú dolog). Egyetlen politikus sem éretlen gyermek.Nincs bicikliző hal.Senki nem értheti ezt, aki nem élte át.

Van olyan F (tulajdonságú dolog), amely nem G (tulajdonságú dolog).Van olyan, politikus, aki nem hazafi.Néhány kutya nem harap.Pár feladat nem nehéz.

A

E

I

O

Kategorikus állítás:két predikátumot tartalmazó univerzálisvagy egzisztenciálisállítás

Ekvivalenciák

Nem minden F G. Van olyan F, amelyik nem G.Nem minden madár énekel. Van olyan madár, amelyik nem énekel.Nem az összes elítélt bűnös. Néhány elítélt ártatlan.

Egyetlen hal sem hazudik. nem ekvivalens azzal, hogyMinden hal igazat mond.

ellentét vs. tagadás!

Melyik igaz?

Minden F G. Egyetlen F sem nem-G.Minden új TV színes. Egyetlen új TV sem fekete-fehér.A szélhámosok becstelenek. Nincs olyan szélhámos, aki becsületes.

Minden F G. Minden G F.

Némely F G. Némely G F.

Egyetlen F sem G. Egyetlen G sem F.

Némely F nem G. Némely G nem F.

F G

A kategorikus állítások ábrázolása Venn-diagramokkal

Minden F (tulajdonságú dolog) G (tulajdonságú dolog).

Van olyan F (tulajdonságú dolog), amely G (tulajdonságú dolog).

Egyetlen F (tulajdonságú dolog) sem G (tulajdonságú dolog).

Van olyan F (tulajdonságú dolog), amely nem G (tulajdonságú dolog).

A

E

I

O

1. 2. 3.1. Azok a dolgok, amelyek F-ek, de nem G-k.2. Azok a dolgok, amelyek F-ek és G-k is.3. Azok a dolgok, amelyek G-k, de nem F-ek.

F G

F G

F G

F G

C

A

C

A

Következtetések ellenőrzése Venn-diagramokkal 1.

Minden beteg ember jogosult a gyógykezelésre.Minden gyógykezelésre jogosult megfelelő ellátásban részesül.Minden beteg ember megfelelő ellátásban részesül.

Minden A B.Minden B C.Minden A C.

A

C

B

1. Átlátható formára hozzuk a következtetést.2. Felrajzoljuk a premisszák Venn-diagramját.3. Ha a konklúzió Venn-diagramja látható a premisszákén, a következetés érvényes. Ha nem látható, akkor érvénytelen.Vagy: megpróbáljuk rávinni a konklúzió tagadását a premisszák Venn-diagramjára: ha ez lehetséges, a következtetés érvénytelen.

A

C

B

Következtetések ellenőrzése Venn-diagramokkal 2.

Vannak erős birkózók.A birkózók mind sportolók.Vannak erős sportolók.

A

C

B

Vannak tisztességes emberek.Egyes emberek nők.Vannak tisztességes nők.

Ahol satírozás van, ott nem lehet vonal. Ezért előbb satírozzunk, azután vonalazzunk.

A létezésvonal átmegy az érintett tartomány minden részén. A létezésvonal jelentése: valahol a vonal mentén van legalább egy individuum. Az egy résztartományba húzott vonal jelentése: pontosan abban a résztartományban van valami.

Az egzisztenciális súly problémája

NDK kocsi

környezetszennyező

kétütemű

Minden hétfejű sárkány prímszámú fejű. Igaz vagy hamis?

1. lehetőség: igaz, mert nincs rá ellenpélda.2. lehetőség: hamis, mert nincs rá példa.3. lehetőség: letiltjuk az üres predikátumokat, és nem válaszoljuk meg a kérdést.

Modern predikátumlogika

arisztotelészi szillogisztika most ezt használjuk

Az arisztotelészi szillogisztikában az üres körök úgy értendők, hogy van bennük egy vonal.

Minden NDK kocsi kétütemű.Minden kétütemű kocsi környezetszennyező.Némely NDK kocsi környezetszennyező.