Punoi: Igli HakaMars 2015

Mbledhja dhe perpunimi i informacioneve mbi temen e dheneMenaxhimi i veprimtarive per te zbatuar njohurite e marra gjate oreve mesimore ne projektZbulimi, kuptimi dhe nxjerrja e lidhjeve te matematikes me lende te tjera si fizike, ekonomi, kimi etj.

Histori e shkurter e Analizes matematikoreKuptimi i derivatitShembuj: Zbatime te derivatit ne fusha te tjera

Ne gjysmen e pare te shek. XVII, matematikanet ishin te interesuar te gjenin tangentet ne cdo pike te grafikut te nje funksioni (per te gjetur vleren me te vogel dhe me te madhe) kurse fizikantet interesoheshin per te gjetur shpejtesine dhe pershpejtimin e nje pike kur dime ekuacionin e vendodhjes se saj.

Ne 1666, fizikanti anglez Isak Njuton paraqiti metoden qe kishte zbuluar per te gjetur derivatin e nje funksioni. Ai dha dhe kuptimin e derivatit si: Koeficienti i tangentes se grafikut te funksionit y=f(x) ose si shpejtesi e castit te nje objekti vendodhja e te cilit jepet me funksionin s=f(t). Derivati i funksionit f(x) ai e llogariti si limit:

Disa vite me vone, matematikani gjerman Gotfrid Lajbnic, duke punuar ne menyre te pavarur, paraqiti idene e tij e cila e lejonte gjithashtu te llogariste sakte derivatin e nje funksioni pa perdorur limitin. Ai percaktoi derivatin e y=f(x) si raport diferencialesh dy/dx.

Metoda e Lajbnicit me e perdorura deri ne shek.XIX. Me pas, ishte matematikani Euler, i cili beri nje pune te madhe duke aplikuar metoden e tij edhe ne matematike e shkence.Ne fund te viteve 1700, disa matematikane si Berkli, Koshi, Vajershtras filluan te kritikojne standartet e Analizes Matematike dhe metoden e sugjeruar nga Lajbnic. Me 1826, Koshi paraqiti dhe shpjegoi ne Paris nje version te permiresuar te metodes se Njutonit.Me 1965, me zhvillimin nga amerikani A.Robinson te bashkesise se numrave reale, u arrit te shpjegohej plotesisht saktesia e metodes se Lajbnicit.\Histori e shkurter e Analizes matematikore

Dilema shekullore:Ka pasur mjaft debate mbi faktin se cili shkencetar (dhe cili shtet) do te mund te mburrej mbi zbulimet ne analizen matematikore pasi edhe Njutoni, edhe Lajbnici punuan ne te njejten kohe.Ishte Njutoni ai qe arrite ne perfundime te sakta me pare, por Lajbnici i publikoi rezultatet e punes se vet kerkimore me pare.

Le te jete x=f(t), funksioni qe tregon vendodhjen e nje pike ne castin e kohes t.Derivati na lejon te gjejme shpejtesine e pikes ne castin t=a, si limit i shpejtesise mesatare te ndryshimit te funksionit nga t=a ne t=a+h, kur h0.Pra shpejtesia v ne castin a eshte:

v=

Shembull konkret, zbatim numerik:Vendodhja e nje topi qe leviz jepet nga s(t) = t2 +10, ku s zhvendosja(cm) dhe t-koha (sekonda). Gjej shpejtesine e topit kur t=5 sek. Shpejtesia =

Ne castin t=5s, topi leviz me shpejtesi casti 10cm/sek.

Me poshte jepet grafiku f I funksionit s=f(t) (mgjyre blu) te zhvendosjes se nje pike.Per te gjetur ne grafik vleren e shpejtesise ne castin t=a, duhet te paraqesim shprehjen [f(a+h)-f(a)] / h] ne grafik.Marrim pikat A dhe B ne grafik qe jane shpejtesite ne castin t=a dhe t=a+h. (Formohet trekendeshi portokalli)Keshtu vlera e shprehjes [f(a+h)-f(a)] / h] = [AB] Koeficienti kendor i drejtezes AB = mAB. Po te marrim vlera sa me te vogla te h1duke iu afruar pikes A, atehere shpejtesia mesatare do jete sa koeficienti kendor i drejtezes AB1(Formohet trekendeshi blu)Pra, per ( h 0), tangentja ne cdo pike te grafikut, i afrohet me shume tangentes ne piken A, pra dhe koeficienti msec mtan .

lim [ f(a+h)-f(a)] / h] = f (a) = mtan = koef. i tangentes ne x=a..h 0

Derivatet kane perdorim te gjere ne zgjidhjen e shume problemave matematikore por dhe ne fusha te tjera. Fillimisht na duhet te per permendim keto teorema ku bazohemi:Nese funkson f eshte i derivueshem ne segmentin [a,b]: kur f(x) >0, funx. eshte rrites, kur f(x)

Shembull: Na eshte dhene nje tel rrethues per nje fushe 200 metra i gjate dhe duam te rrethojme prane nje muri nje siperfaqe ne forme drejtkendeshi. Duke perdorur kete material, gjeni siperfaqen me te madhe qe mund te rrethosh.Murixy yZgjidhje: Shenojme x, y permasat e drejtkendshit qe duam. Gjatesia totale e telit rrethues do jete: = x+2y =200 x=200-2yDhe siperfaqja e rrethuar nga ky drejtkendes= xyA = (200-2y)y=200y-2y2Na duhet vlera maksimale e A, pra gjejme derivatin e ketij funksioni: f(A)=200-4yZgjidhim ekuacionet: 200 = x+2y gjejme intervalin y= ]0,100[ dhe ekuacioni: 200-4y =0, gjejme y=50 (pika e vetme kritike) Pra, siperfaqja me e madhe e mundshme rrethohet kur gjatesia y=50 m. Kjo siperfaqe ka vlere me te madhe A=5000 m2

y A=200y-2y2. 0 100. 50. 0 . 0 5000Zbatime te derivateve

Shembull nga ekonomia: Nje kompani prodhimi makinash I duhen $18,000 per te prodhuar nje makine.Cmimi i shitjes se makines ndryshon sipas funksionit p(x)=30,000 60x, ku x nr.i makinave te shitura. Kostoja fikse e prodhimit, pavaresisht sasise se prodhuar, eshte $25,000. Sa makina duhet te prodhoje kompania cdo jabe qe te arrije te kete fitim maksimal?Te ardhurat nga shitja e makinave: R(x)=(30000 60x )xKostoja totale e kompanise eshte: C(x)= 18000 x +25000Zgjidhje: Shenojme x nr e makinave qe do prodhoje cdo jave.Pra fitimi I kompanise eshte: P(x)= Te ardhura Kosto= R(x)-C(x) = 30000x-60x2 (18000x+25000) Vlera kritike x=100

P(x) = -60x2 +12000x - 25000P(x)= -120x +12000 P(x) = -120 0 , P(x) e ka vleren me te madhe x=100Meqe kjo vlere eshte e vetmja vlere kritike te ky interval, eshte maksimum.Fitimi eshte maksimal kur kompania prodhon 100 makina cdo jave. Zbatime te derivateve

Matematika X-XIIEkonomia XIIWikipediahttp://sq.wikipedia.org/wiki/Analiza_matematikoreFotot: www.google.comwww.Slideshare.net

****