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7/25/2019 dimenstonnent p15.pdf

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Cours IN103 Projet Matlab 2014-2015

Patrice Paricaud, ENSTA-ParisTech.

Email : [email protected]

Optimisation Technico-conomique dun Procd de Fabrication

du Biothanol.

I. Introduction

La production de biothanol ncessite un apport dnergie important notamment lors de ltape de

sparation, entranant non seulement des cots de production mais galement des missions de gaz

effet de serre. Il convient donc de dassurer que la fabrication du biocarburant ncessite le moins

possible dnergie et quelle respecte au mieux lenvironnement. Maltab va nous permettre de raliser

de manire automatique loptimisation dune partie du procd de fabrication du biothanol, tenant

compte des dpenses nergtiques, des cots de maintenance et des contraintes environnementales

(quotas dmission de CO2). Nous verrons notamment, au cours de ce projet, comment Matlab permet

doptimiser une fonction paramtres multiples, de rsoudre une quation non linaire, grer des

fichiers en entre-sortie, et utiliser les fonctions graphiques. Un problme dquations diffrentielles

non linaires est galement propos dans la partie 3.

Le procd doit fabriquer 80 000 tonnes dthanol par an. La figure 1 montre le schma

simplifi du procd utilisant la betterave sucre comme matire premire. On suppose que la solution

en sortie du fermenteur a une fraction molaire xF = 0.03 en thanol (correspondant un degr

alcoolique de 10% en vol.). Cette solution aqueuse dthanol est envoye dans une colonne de

distillation atmosphrique (Pression = 760mmHg). On doit obtenir de lthanol de fraction molaire

xD= 0.84 en tte de colonne. Le mlange est ensuite dshydrat pour obtenir le biothanol 99%. Au

bouilleur, la sortie basse de la colonne, le flux sortant a une fraction molaire de xB=0.0001 en

thanol.


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2

Au cours de ce projet, nous allons nous intresser uniquement au dimensionnement et

loptimisation conomique de la colonne de distillation (Fig. 1 et 2). Cette optimisation doit tenir

compte des exigences environnementales, conomiques, et des contraintes de puret des produits en

sortie du procd de sparation. Nous ferons lhypothse que les solutions ne contiendront que de

leau et de lthanol, donc nous ngligerons la prsence dautres rsidus (sucre, bactries, produits

annexes.).

La colonne de distillation doit permettre de faire concentrer une solution eau+thanol

contenant 3% en mole dthanol pour obtenir une solution 84% en mole dthanol. Pour cela, nous

ferons certaines hypothses de modlisation et utiliseront la mthode de McCabe et Thiele. Lors de

loptimisation du cot, on tiendra compte des missions de CO2 venant des dpenses nergtiques.

Notez que dans le descriptif du projet, les objectifs et algorithmes du projet sont bien mis en

valeur et encadrs. Nous conseillons vivement de suivre lordre de ce descriptif, afin de dcomposer

le programme en sous-taches et davancer plus rapidement dans le projet, le but tant que les lves

avancent rapidement et utilisent un maximum de fonction matlab.

I. Premire partie du Projet : Etude des Equilibres Liquide-Vapeur du

Mlange Eau - Ethanol

1.1 Diagramme de phase temprature - composition pression fixe.

La colonne de distillation fonctionne selon lquilibre liquide-vapeur du mlange eau-thanol la

pression atmosphrique P= 760 mmHg (on suppose que P est constante le long de la colonne pour les

calculs dquilibre). Il est donc ncessaire de bien comprendre le comportement thermodynamique de

Fig. 1: Schma de procd. Fabrication du biothanol Fig. 2: colonne de distillation

thanolx=0.99

Jus de betterave+ rsidus sucrs

CO2

Fermentation

32C

Colonne de

Distillation

Eau

eau

EthanolxF=0.03

thanolxD=0.84

EthanolxB=0.0001

Lavages

Dshydratation

Recyclage partiel

thanolx=0.99


CO2

Fermentation

32C

Colonne de

Distillation

Eau

eau

EthanolxF=0.03

thanolxD=0.84

EthanolxB=0.0001

Lavages

Dshydratation

Recyclage partiel


CO2

Fermentation

32C

Colonne de

Distillation

Eau

eau

EthanolxF=0.03

thanolxD=0.84

EthanolxB=0.0001

Lavages

Dshydratation

Recyclage partiel

chaleur + CO2 mis

Produits

A et B

Sortie richeen A

Sortie richeen B

tage avecquilibre liquidevapeur

Produits

A et B

Sortie richeen A

Sortie richeen B


Fig. 1: Schma de procd. Fabrication du biothanol Fig. 2: colonne de distillation

thanolx=0.99


CO2

Fermentation

32C

Colonne de

Distillation

Eau

eau

EthanolxF=0.03

thanolxD=0.84

EthanolxB=0.0001

Lavages

Dshydratation

Recyclage partiel

thanolx=0.99


CO2

Fermentation

32C

Colonne de

Distillation

Eau

eau

EthanolxF=0.03

thanolxD=0.84

EthanolxB=0.0001

Lavages

Dshydratation

Recyclage partiel


CO2

Fermentation

32C

Colonne de

Distillation

Eau

eau

EthanolxF=0.03

thanolxD=0.84

EthanolxB=0.0001

Lavages

Dshydratation

Recyclage partiel

chaleur + CO2 mis

Produits

A et B

Sortie richeen A

Sortie richeen B


Produits

A et B

Sortie richeen A

Sortie richeen B



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3

ce mlange cette pression pour tout le domaine de composition. Pour cela, on tudie le diagramme

de phase temprature compositiondu mlange binaire eau+thanol la pression P = 760 mmHg.

Ce diagramme fournit les compositions des deux phases liquides et vapeur et la temprature

dbullition du mlange lquilibre, la pression P =760 mmHg : la phase liquide contenant une

fraction molaire xliq en thanol est en quilibre avec une phase vapeur ayant une fraction molaire ygaz

en thanol (Fig. 3). Ce diagramme comporte un azotrope autour de xliq=0.9, qui va limiter la

sparation des deux produits. Le premier but du projet va tre dutiliser matlab afin dajuster un

modle thermodynamique (modle NRTL) sur les points exprimentaux. Ce modle nous servira par

la suite pour le dimensionnement de la colonne de distillation.

1.2Rsolution de lquilibre liquide-vapeur

On suppose que lthanol est le compose 1, et leau le compose 2. La rsolution de lquilibre de phaseva consister rsoudre les quations suivantes :

a) Equations dquilibre

- Egalit des potentiels chimiques des constituants dans les deux phases ( )liqigaz

i = :

110

11 xPPy = (1)

220

22 xPPy = (2)

350

355

360

365

370

375

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x ethanol

T/K

xliq ygaz

Tsat

Vapeur

Liquid

azeotrope

Fig. 3: Diagramme temperature- composition du mlange binaire ethanol-eau.

+ points exprimentauxmodle ajust

350

355

360

365

370

375

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x ethanol

T/K

xliq ygaz

Tsat

Vapeur

Liquid

azeotrope

Fig. 3: Diagramme temperature- composition du mlange binaire ethanol-eau.

+ points exprimentauxmodle ajust


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4

avec :

P: pression du systme

21,xx : fractions molaires des composs 1 et 2 dans la phase liquide ( avec )121 =+xx

21,yy : fractions molaires des composs 1 et 2 dans la phase vapeur ( avec )121 =+yy .

02

01 ,PP : pressions de vapeur des composs purs 1 et 2.

02

01 , PP sont des fonctions de T.

21, : coefficients dactivits des composs 1 et 2 dans la phase liquide. 21, sont des fonctions de

la temprature Tet des fractions molaires 21,xx .

- Egalit de la pression dans les deux phases la pression fixe P= 760 mmHg. (3)

b) Pressions de vapeur des composs purs

Les pressions de vapeur 020

1 , PP pour lthanol et leau sont donnes par la corrlation suivante:

210

010 Log/Log TETDTCTBAP iiiiii ++++= (4)

T : temprature en Kelvin

0i

P : pression de vapeur en mmHg

Avec pour lthanol :

A1= 23.8442 ; B1= - 2864.2 ; C1= - 5.0474; D1= 3.7448E-11 ; E1= 2.7361E-07 ;

Pour leau :

A2= 29.8605 ; B2= - 3152.2 ; C2= - 7.3037 ; D2= 2.4247E-09 ; E2= 1.809E-06

10Log : logarithme en base 10

Travail sous matlab :on criera une fonction p0 = psat(T), ayant en variable dentre la temprature

T (scalaire) et en sortie le vecteur p0 de dimension 2, contenant les valeurs des deux pressions de

vapeur la temprature T.

Test de la fonction matlab pour les pressions de vapeur : T= 300K, vrifiez que les pressions de

vapeur de lthanol et de leau sont respectivement P01 = 65.8370 mmHg, P02=26.5355 mmHg.


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5

c) Coefficients dactivit

Les coefficients dactivits isont donns par le modle thermodynamique NRTL selon:

( )

++

+= 2

1212

1212

2

2121

2121221ln GxxG

GxxGx (5)

( )

++

+= 2

2121

2121

2

1212

1212

212ln

Gxx

G

Gxx

Gx

(6)

avecRT

gij

ij = et )3.0exp( ijijG = , R= 8.314510 J/mol

tels que 02211 == gg . Les paramtres 012 g et 021 g sont les deux paramtres du modle

NRTL qui caractrisent le mlange tudi et doivent tre optimiss sur les donnes exprimentales.

Travail sous matlab : on criera une fonction NRTL(T,x,g), ayant en entre la temprature T, le

vecteur de composition x(i) de dimension 2 et la matrice de paramtre g(i,j), et en sortie, le vecteur

gamma(i) tel que

gamma=NRTL(T,x,g)

gamma(1)=

gamma(2)=

Test de la fonction NRTL :

Pour T= 300,x1= 0.3,x2= 0.7, g12 = 100, g21= - 200 (paramtres de test), vrifiez que :

9799.01 = et 9964.02 = .

d) Algorithme de calcul dquilibre composition et Pfixe.

Il est possible de montrer partir des quations (1), (2) et (3) que lon doit rsoudre une quation non

linaire 1 inconnue (linconnue est la temprature T), donne par :

( ) 0)(

,1)(2,1

0

== =i

iiii

P

TPxTxTf (7)

Le problme est donc de trouver la temprature Ttelle que la fonction f(T) = 0, pour une pression P

donne et une composition liquidexifixe.


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6

Une fois Tdtermine et lEq. (7) rsolue, lesyisont alors obtenus par ( )P

TPxTxy i

iiii

)(,

0

= (8)

Le problme consiste rsoudre une quation non linaire ayant une inconnue T : pour cela on va

utiliser la fonction intgre Matlab fzero , qui est base sur une mthode numrique de type

Newton-Raphson.

Travail sous matlab : on criera une fonction [y,T] = tsatur(x,g,P), ayant en entre la temprature P,

le vecteur de composition liquide x et la matrice g de paramtres NRTL. En sortie, cette fonction

donnera la temprature T et le vecteur de composition y.

Il sagit de rsoudre un systme non linaire une quation (Eq. (7)) et une inconnue (T). On dfinira

une fonction f=fsys1(T) qui aura en entre la temprature T et en sortie la valeur f de la fonction

annuler. On utilisera la fonction matlab fzeroet des variables globales.

Voici dessous lalgorithme dtaill du calcul dquilibre T et x fixes:

Dfinir une fonction [y,T] = tsatur(x,g,P) dans le fichier tsatur.m

Dans le fichier tsatur.m :

- dfinir les variables globales gcom, xcom, ycom, et pcom

- Sauvegarder g, x et p dans gcom, xcom et pcom

- initialiser T0 = 300- appeler la fonction matlab T = fzero(@fsys1,T0)

- y = ycom

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Dans le fichier fsys1.m :

Dfinir la fonction f = fsys1(T)

Dfinir les variables xcom, gcom, ycom et pcom en variables globalesAppeler la fonction psat(T) pour calculer les pressions de vapeur p0(i) la temprature T

Appeler la fonction NRTL(T,x,g)

Calculer pour i =1,2 ycom(i) = xcom(i) *p0(i)*gamma(i)/pcom

Calculer f = 1- somme sur i des ycom(i) (voir lquation (7))


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7

Test de lalgorithme:

1) pour P = 760 mmHg, x1=0.3, x2=0.7. g12 = 100, g21= - 200, vrifier que T = 364.8054, y1=0.4860

2) Tracer le diagrammex-T;y-T et x-y avec les mmes valeurs de g12=100 et g21=-200

(voir la procdure de traage ci-dessous).

Algorithme de traage des diagrammes P et g donnes:

On pourra utiliser une fonction tracage(P,g) ayant comme variable dentre P et g. Dans cette

fonction on crira:

i=0

Pour x1 = 0 x1 = 1, avec un pas de 0.01

i = i +1

x(1)=x1 et x(2)=1-x1

Calculer y1 et T pour chaque valeur de x1 en appelant la fonction tsatur selon [y,T]=tsatur(x, g, P)

Enregistrer les valeurs de x1, y1 et T dans des vecteurs xcal(i), ycal(i), Tcal(i)

Fin de boucle

Tracer sur le mme diagramme T = f(x1), T = f(y1) laide des vecteurs xcal, ycal, Tcal et de lafonction matlab plot. Tracer sur une autre figure le diagramme y1 = y1(x1).

Labelliser les diagrammes avec les fonctions matlab set, xlabel et ylabel

E) Optimisation des donnes exprimentales

Optimiser des donnes exprimentales laide dun modle dpendant de plusieurs paramtres est une

tache trs courante pour un ingnieur en R&D. Matlab permet de raliser facilement cette tache grce

ses fonctions intgres doptimisation (fminsearch, ), et permet de visualiser rapidement les

rsultats. Ici, nous allons optimiser les paramtres g12 et g21 du modle NRTL sur les donnes

exprimentales (voir Tableau 1).


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8

Tableau 1 : Donnes dquilibres liquide-vapeur du mlange thanol-eau P=760mmHg

x thanol = x1 y thanol = y1 T en Kelvin

0 0 373.15

0.05 0.3372 363.150.1 0.4521 359.08

0.15 0.5056 357.12

0.2 0.5359 356.05

0.25 0.5589 355.29

0.3 0.5794 354.67

0.35 0.5987 354.14

0.4 0.6177 353.67

0.45 0.6371 353.25

0.5 0.6558 352.9

0.55 0.6765 352.57

0.6 0.6986 352.28

0.65 0.725 352

0.75 0.784 351.57

0.8 0.8167 351.45

0.85 0.8591 351.37

0.9 0.8959 351.35

0.95 0.9474 351.391 1 351.48

Tlcharger le fichier de donne sur la page web: http://ucp.ensta.fr/enseignement/matlab.htm. Pour

optimiser les paramtres, nous utiliserons la fonction objective fobj(par) telle que

( ) ( )2exp,,npointsexp

1

2exp,,1,1 kkcal

k

kkcal TTyyfobj += =

(9)


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9

Algorithme de loptimisation :

1. Tlcharger le fichier ethanol_eau.dat (voir lien si dessus) contenant les donnes du Tableau

1.

2. Dans un programme principal prin.m (script principal):

- enregistrer les donnes partir du fichier ethanol_eau.dat dans une matrice DAT (utiliser la

fonction matlab load.DAT sera dfinie en variable globale dans prin.m et dans fobj.m

- dfinir un vecteur de dimension 2 (vecteur par0) qui contiendra les paramtres initiaux g12

et g21.

- faire appel la fonction parnew = fminsearch(@fobj, par0), o fobj est le nom de la

fonction objectif optimiser, et parnew le nouveau vecteur de paramtres aprs

optimisation.

- modifier la fonction tracage(P,g) pour tracer sur le mme graphique les courbes x-t , y-t

calcules et les donnes exprimentales (comme sur la Fig 3). Faite de mme avec le graphique x-y.

On fera appel a la fonction tracage(P,g), avec les nouvelles matrice g optimise.

3. Ecrire la fonction f=fobj (par) : dans cette fonction, on aura :

La matrice DAT sera mis en variable globale ici en commun avec prin.m

Utiliser la fonction size pour connatre la dimension de DAT et le nombre de point

exprimentaux

g12=par(1), g21=par(2)

P = 760

f =0

Pour k = 1 npointexp

Fixer la composition x(1) = DAT(k,1) et x(2) = 1-x(1)

Calculer y et T en faisant appel la fonction [y,T] = tsatur(x,g,P)f = f + (T DAT(k,3) )2+ (y(1)-DAT(k,2))2 selon lquation (9)

Fin de boucle

II. Deuxime partie du Projet: dimensionnement et optimisation de la

colonne, en utilisant la mthode de McCabe et Thiele.

La figure 4 dcrit le systme tudier et les variables du problme.


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10

Fig. 4 : schma de la colonne de distillation.

Les variables et donnes du problme sont :

F: dbit molaire total en entre (en kmol/h). On suppose que Fest liquide saturation, et L = L + F.

xF: fraction molaire en thanol dans le dbit dentreD. On fixe xf = 0.03.

D: dbit de distillat (en kmol/h).Dest tel queD = 295.43 kmol/h(correspondant aux 100 000 tonnes

dthanolproduites par an).

xD: fraction molaire en thanol dans le dbit de distillatD. On fixexD=0.84.

B: dbit en sortie de bouilleur (en kmol/h)

xB: fraction molaire en thanol dans le dbit de sortie du bouilleur B. On fixe xB=0.0001.

xk,yk: fractions molaires en thanol du liquide et de la vapeur en quilibre ltage k.

Tk: temprature ltage k.Tketykdpendent dexkvia lquilibre liquide vapeur.

N: nombre dtages de la colonne.QB: puissance fournie au bouilleur (grce un changeur de chaleur avec de la vapeur surchauffe)

P: pression constante tout le long de la colonne :P=760 mmHg.

R : taux de reflux.R = L/D

L : dbit de liquide renvoy dans ltageN, avecL = RD. Le dbitLest suppos constant tout le long

de la colonne au-dessus de lalimentation F.

V: dbit de vapeur sortant de ltage N. On sait que : V = L + D. Le dbit Vest suppos constant tout

le long de la colonne au-dessus lalimentation F.

L : dbit de liquide rentrant dans le bouilleur, avec L = L + F. Le dbitLest suppos constant toutle long de la colonne au-dessous lalimentation F.

Schma des plateaux clapets

F,xF

V

j

B, xB

D, xD

Q

L et V constants sur les etages de nf N

V

Taux de reflux R=L/D

bouilleur

Condenseur total: yn=xD

N

1

2

Pompe Qp

LL

VL

V L

L et V constants sur les etages de 1 nf

F,xF

V

j

B, xB

D, xD

Q

L et V constants sur les etages de nf N

V

Taux de reflux R=L/D

bouilleur

Condenseur total: yn=xD

N

1

2

Pompe Qp

LL

VL

V L

L et V constants sur les etages de 1 nf

B


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11

V : dbit de vapeur sortant du bouilleur avec V = V. V=Vest suppos constant tout le long de la

colonne etL = V + B = F + L

Qp: puissance fournie par la pompe en sortie de condenseur.

QC: Puissance rcuprable au condenseur.

Il est possible de montrer, xD,xB, Pet Dfixs, quelunique degr de libert restant du problme

est le taux de reflux R. Le but de ce projet est alors de calculer le cot de revient annuel de la

colonne, pour un taux de refluxRdonn, puis de trouver la valeur optimale deR(voir Fig. 5).Rminest

le taux de refluxRminimal en dessous duquel la colonne ne peut pas fonctionner.

!! Attention : la figure ci-dessus ne correspondant pas ce que vous devez trouver (figure trace avec

dautres donns dentres), mais les courbes doivent avoir la mme allure.

2.1 Mise en quations du problme

Bilan total en nombre de moles sur la colonne : dbit total molaire entrant = somme des dbits

molaires sortant

F = B + D (10)

Bilan en nombre de mole dthanol sur la colonne : dbit molaire en thanol entrant = dbits molaires

en thanol sortants

DBF DxBxFx += (11)

- Bilan molaire sur le condenseur : V = L + D

Cot total

Dpense

snergti

ques(fue

l)

Cotsdemaintenanceetdinvestissement

Quotas de CO2 mislectricit (pompe)

Ropt/Rmin

()

Cot total

Dpense

snergti

ques(fue

l)



Ropt/Rmin

Cot total

Dpense

snergti

ques(fue

l)



Ropt/Rmin

()

Fig.5 : Diffrents cots en fonction du rapport R/Rmin et valeur optimale de RminR


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12

- Bilan molaire sur le bouilleur : L = V + B.

Soit le taux de reflux R avec R=L/D (12)

- Bilan molaire en thanol sur la partie haute de la colonne, sur les tages au-dessus de lalimentation

(voir Fig. 6 ci-dessous). On montre que

Dkk xV

Dx

V

Ly +=

+1 (13)

:ky fraction molaire en thanol de la phase vapeur ltage k.

:1+kx fraction molaire en thanol de la phase liquide ltage k+1.

:Dx fraction molaire en thanol du distillat (sortie tte de colonne et condenseur)

Daprs les Eq. (12) et (13),

Dkkx

Rx

R

Ry

+

+

+

=+ 1

1

1 1 (14)

Lquation (14) dfinit la droite opratoire suprieurereliant 1+kx ky .

Fig. 6 : Partie haute de la colonne, au-dessus de ltage dalimentation. Bilan de matire sur la partie

encadre (moles en entre = moles en sortie). On en dduit les Eq. (13) et (14).

D, xD

V, ykL, xk+1

L=R/D

V=D(1+R)

D, xD

V, ykL, xk+1

L=R/D

V=D(1+R)

L=R D


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13

Fig. 7 : Partie basse de la colonne, au-dessous de ltage dalimentation

- Bilan molaire en thanol sur la partie basse de la colonne, sur les tages au-dessous de lalimentation

F(voir Fig. 6 ci-dessous). On montre que

Bkk xV

Bx

V

Ly =

+1

' (15)

:ky fraction molaire en thanol de la phase vapeur ltage k.

:1+kx fraction molaire en thanol de la phase liquide ltage k+1.

:Bx fraction molaire en thanol en sortie de bouilleur.

Lquation (15) constitue la droite opratoire infrieure. Supposons que lon fixe les fractions

molairesxD, xB, le taux de refluxR = L/D, et le dbitD. On peut alors en dduire les autres valeurs F,

B,L, VetL, partir des quations de bilan de masse tablies auparavant (Eq. (10) , (11) et (12)):

Flux de matire :

BF

BD

xx

xxDF

= (16)

BF

FD

xx

xxDDFB

== (17)

RDL = (18)

( )RDV += 1 (19)

FLL +=' (20)

Pour ce projet, on fixe les fractions molaires en thanol:

V, ykL, xk+1

B, xB

L=L+F

V, ykL, xk+1

B, xB

L=L+F


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15/23

15

a) Description de la mthode graphique:

1) On place tout dabord xBet xDsur la droite y = x.

2) On trace la droite verticale passant par xF. Pour une valeur de R choisie > Rmin (voir comment

dterminer Rmin dans la section .3 b)), on trace les deux droites opratoires passant par les

points (xD, xD), (xB, xB), et de pentes respectives L/V = R/(1+R) et L/V (voir la figure 8).

les trois droites doivent se couper au mme point.

3) On trace la courbe dquilibre y = f(x).

4) Partant de xB, on dtermine la composition yB de la vapeur en quilibre au bouilleur (yB =

f(xB), obtenue avec la fonction [y,T] = tsatur(x, g, P).). Le bouilleur correspond ltage 1 de

la colonne. La composition du liquide x2 ltage 2 est donne par la droite opratoire

infrieure. La composition de la vapeur y2 ltage 2 est donne par la courbe dquilibre y2

= f(x2).

5) On itre de cette manire jusqu' ce que x i> xF. On obtient alors le nombre dtage en dessous

de lalimentation F.

6) On utilise la droite opratoire suprieure pour obtenir obtient xi+1 partir de yi. Puis yi+1est

obtenu par la courbe dquilibre yi+1=f(xi+1).

7) On itre jusqu' ce que xi> xD. On obtient alors le nombre total dtage N avec xN>xD. Pour le

dernier tage, xNnest pas exactement gale la consigne xD: cela est tout fait normal car le

nombre dtage est un nombre entier et il est impossible dobtenir exactement xD.

b) Dtermination du taux de reflux minimal Rmin

Daprs les Figures 8 et 9, il existe un taux de reflux minimal correspondant un nombre dtages

ncessaires infinis pour respecter les consignes de composition xBet xD en sortie de colonne. Il sagit

donc dans un premier temps de dterminer Rmin. Le taux Rminest obtenu lorsque les droites opratoires

se croisent au point (xF, yF) de la courbe dquilibre liquide vapeur y = f(x) (voir la figure 9). On

obtient donc Rminselon la formule:

FF

FD

xy

yxR

=min (22)


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16

c) Dtermination des dimensions relles de la colonne

Une fois le nombre de plateaux (ou tages) thoriques dtermin, il est possible de dterminer

les dimensions relles de la colonne (hauteur et diamtre intrieur). On dfinit alors une hauteur

quivalente de plateaux thoriques HETP, telle que la hauteur relle Hde la colonne vaut

H = HETP Ndec (23)

Ndectant donne par lquation (21). Ici, on prendra des plateaux ayant une HETP de 0.7 mtres.

Les colonnes ne doivent pas tre trop hautes : H < 70m, sinon la colonne nest pas concevable.

Le diamtre optimal Diamopt est dtermin selon les proprits hydrodynamiques de la

colonne (tude de mcanique des fluides), afin dviter les phnomnes dengorgement et permettre

une efficacit optimale. Le diamtre dpend de la vitesse de circulation de la vapeur dans la colonne et

donc du dbit V. Des tudes exprimentales sur pilote montrent que dans notre cas

V1.0Diamopt = (24)o V est le dbit de vapeur exprim en kmol/heure. Le diamtre varie en gnral entre 2 et 6m.

d) Calcul des cots annuels

Une fois le nombre de plateaux (ou tages) dtermins pour un taux de reflux R > Rmin

donn, nous devons calculer les cots dinvestissement et de fonctionnement dune telle colonne.

Ensuite, nous minimiserons ces cots en faisant varier R.

Le cot total en euros par an, Ctot, est estim selon la formule suivante :

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x ethanol

y

ethanol

xD

xBxF

pente =

Rmin/(1+Rmin)

Fi ure 9 : Dtermination du taux de reflux minimal Rmin


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17

2COelecenerinvtot CCCCC +++= (25)

avec :

:invC prix dachat et de montage de la colonne divis par 10 (amortissement sur 10 ans) plus cot de

maintenance. On suppose que le cot invC est proportionnel au volume de la colonne.

On estime que :

( ) HDiamCoptinv

220000= , (26)

o H et optDiam sont en mtres et invC en euros/an.

:elecC Consommation en lectricit pour faire fonctionner les pompes. Ces pompes permettent de

compenser les pertes de charges dans la colonne. En appliquant la loi de Poiseuille, on trouve la perte

de charge, et le cot elecC est estim

)(

HV12.2 4

2

opt

elecDiam

C = , (27)

o H et optDiam sont en mtres, V est le dbit de vapeur en kmol/h, elecC est en euros/an. Le cot

enerC correspond aux dpenses nergtiques de chauffage de la colonne. La colonne est chauffe au

bouilleur via un circuit de vapeur deau, laquelle est produite en brulant du gaz naturel. Compte tenu

du prix du gaz naturel, enerC est valu QC

ener 15.0= (28)

o enerC est en euros/ an et Qest la puissance ncessaire apporte sous forme de chaleur la colonne

(nergie entrante nergie sortante), exprime ici en kilo joule par heure.

Hypothses simplificatrices : on suppose que lenthalpie de vaporisation ne dpend pas de la

composition du mlange ni de la temprature.

vapB HVQQ == . (29)Vest le dbit de vapeur en kmol/h, et vapH = 40000 kJ/kmol.

Quotas de CO2 : Le prix de la tonne de CO2 mise latmosphre est actuellement de 6 euros par

tonne de CO2 mises. Sachant que la masse de CO2produite pour obtenir 1kJ par combustion du gaz

naturel est de 57 milligrammes, la masse (en tonnes) de CO2mis par an est de

365241057 92 =

QmCO (30)

La somme payer par an en euros est donc de


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18

22 6 COCO mC = (31)

Travail sous Matlab de la partie II du projet:

Ecrire une fonction ctot= cout(alpha) ayant en entre la variable alpha telle que alpha = R/Rmin, et en

sortie la valeur du cot.

Ordre des oprations dans le fichier cout.m:

- Fixer les variables P, xB, xD, D, xF (valeur de lnonc).

- En dduire les dbits F et B en kmol/h (Equations (16) et (17)),

- Fixer la valeur de la matrice g : paramtres NRTL optimiss obtenus dans la section I

- Faire appel la fonction tsatur pour calculer la fraction en thanol yF- En dduire la valeur de Rmin (Eq. (22))

- Calculer R = alpha * Rmin

- En dduire L, Lprim et V en kmol/h (Eq. (18), (19) et (20))

- Partir de k=0

- dfinir xk = xB

Boucle tant que xk


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19

utiliser la droite opratoire suprieure : xk = V/L*(yk -D/V*xD)

fin de la boucle

nombre entier total dtage : Ntotal = k

nombre dtages au-dessus de lalimentation : NSup = k-Nlow

Pour le calcul des cots, il vaut mieux utiliser un nombre dcimal dtages (astuce pour lisser la

courbe de cot total = f(alpha)) : Ndec = Ntotal + (xD-xstage(k))/(xk-xstage(k))

Dimensions de la colonne (utiliser Ndec) :

calculer la hauteur H : Eq. (23)

calculer le diamtre diamopt : Eq. (24)

Calculer le cot :

Cot dinvestissement et maintenance : Eq. (27)

Cot de dpenses en lectricit: Eq. (27)

Calculer la puissance nergtique de chauffage en kJoules par heure : Eq. (29)

Cot du cette puissance : Eq. (28)

Masse de CO2 mise par an : Eq. (30)

Cot de quotas de CO2 mis : Eq. (31)

Cout total ctot = Eq. (25)

Dans le fichier cout.m, on mettra en variable globale toutes les variables que lon souhaite afficher

partir du fichier principal.

!! attention : la fonction cout plante pour des valeurs de alpha infrieur ou gales 1 (boucles while

infinies). !!

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Dans le fichier principal princolonne.m

Faire un test de la fonction cout : vrifiez que les boucles while convergent pour alpha = 2.

Observez ce qui se passe pour alpha = 0.5. (Tapez contrle C pour arrter le programme).

A laide de variables globales communes princolonne.m et cout.m, tracer sur le mme graphe les

diffrents cots en fonction de alpha (Faire un graph similaire la figure 5). Utilisez le mot cleflegend pour identifier les diffrents cots sur le graph.


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20

Faire appel a fminsearch (@cout,alpha0) pour dterminer la valeur de alpha qui minimise le cout total.

Mettre en place dans la fonction cout une astuce avec un if pour viter que le programme plante si la

fonction fminsearch teste une valeur de alpha infrieure ou gale 1.

Prendre comme valeur initiale alpha0=2.

Tracer les profiles de temprature et de concentration en fonction des tages, correspondant la valeur

de alpha optimale (on utilisera les tableaux Tstage(k),xstage(k) et ystage(k) et un vecteur ik = [1:k] =>

plot(ik,Tstage)

Rpondre aux questions ci-dessous.


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21

Questions :

1) Quelles sont les caractrisques de la colonne optimale : valeur du taux de reflux R, hauteur,

diamtre, nombre total dtages, position de lalimentation ( quel tage), cot annuel

correspondant ?

2) On suppose que le cot annuel propre la colonne correspond 30% du cot annuel total du

procd. Le prix actuel sur le march du bioethanol pur est de 0.9 euros /litre. Votre procd

est-il rentable et si oui, quels sont vos bnfices ? Donne : masse volumique de lthanol :

0.79g/cm3.

III. Distillation Discontinue

On tudie ici une distillation discontinue un seul tage (alambic), le but tant ici dutiliser la

rsolution dquations diffrentielles non linaires avec Matlab. Soit NA(t=0) le nombre de moles

initial dun mlange thanol-eau contenu dans un rcipient A.. On prend NA (t=0) = 100 moles. La

fraction molaire initiale xA(t=0) en thanol est de 0.05. On suppose que la pression est constante et

vaut P=760mmHg. On chauffe le rcipient A avec une puissance chauffante constante Q = 1kW. On

suppose que le mlange est dj saturant au temps t = 0 (pas besoins de prchauffage). On refroidit et

condense le dbit V de vapeur sortant, puis on le rcupre dans un autre rcipient B (voir schma ci-

dessous).

Questions :Dterminer lvolution des quantits de moles NA, NB, et des fractions molaires en thanol

xA et xBdans les deux rcipients A et B. Combien de temps faut-il distiller pour avoir une fraction

molaire en thanol gale 0.17 dans le rcipient B, correspondant un eau de vie 40% en vol.?

Quelle est alors la quantit deau de vie produite ? Tracer lvolution de la temprature en fonction du

temps.

En faisant un bilan molaire et nergtique, on montre que les

quations dcrivant le problme sont :

vap

A

H

Q

dt

dN

= avec ( )

321.0T/647.13-152.053= vapH et T=T(xA)

( )AA

vapA

A yxHN

Q

dt

dx

= avec )( AA xfy = (Equilibre L-V)

1 11

2

3

45 6

7

8

9

1 10

2

3

45 6

7

8

9

1 10

A

B1 11

2

3

45 6

7

8

9

1 10

2

3

45 6

7

8

9

1 10

A

B


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22

avecB

AAAAB

N

NxtNtxx

===

)0()0(, AAB NtNN == )0(

Voir lalgorithme ci-dessous


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Utiliser la fonction Matlab ode45base sur la mthode de Runge-Kutta pour rsoudre ce problme.

Ecriture du programme principal :

Appeler la fonction [t, z] = ode45(@odefun, trange, z0)

Avec trange = [0 2000], z0(1)=100, z0(2)=0.05.

Calculer NB(t) = NA0 - NA

xB = (NA0 xA0 NA xA) /NB

Tracer lvolution de NB, de T, et de xB en fonction du temps.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ecriture de la fonction f = odefun(t,z)

Initialiser P, la matrice g

Calculer lquilibre liquide vapeur : initialiser les xa(1) = z(2) et xa(2)=1-xa(1)

Calculer la composition ya = f(xa) et la temprature TAen appelant la fonction [ya,T] = tsatur(x,g,P)

Calculer )( Avap TH , puis crire le systme dquations diff. : f(1) = .f(2) = selon les quations du

problmes.

Droulement du projet :

Sance 1 : prsentation dtaille du projet et commencement de lcriture du programme

(criture des fonctions psat(t) et NRTL).

Sance 2 : rsoudre le problme de lquilibre liquide vapeur : fonction tsatur(x,g,P) + plus

commencement de loptimisation.

Sance 3 : optimisation des donnes exprimentales avec fminsearch(@fobj,... fin de la partie

I du projet. Commencement de la fonction cot.

Sance 4: partie II : cout(R)

Sance 5 : fin de lcriture de la fonction cot, minimisation de cout(R) et mise en place des

sorties graphiques. Dbut de la partie III.

Sance 6 : Ralisation de la partie III. Dbut de la prparation des transparents.

Sance 7 : prsentations orales des projets

dimenstonnent p15.pdf

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