dio_dva

JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet

Teoretske osnove za izradu zadataka u narednom poglavlju nalaze se u knjizi «Otpornost materijala sa teorijom elastičnosti», autora Dr sci. Sadudina Hodžića, redovnog profesora na Rudarsko-geološko-građevinskom fakultetu u Tuzli, na stanicama broj 95 do 118.

63


5. Naprezanje na savijanje Zadatak 5.1 Greda prikazana na slici 46. izrađena je od čelika i ima dozvoljeno naprezanje na savijanje σdf=15kN/cm2. Popriječni presjek grede, prikazan je na slici 47. Dimenzionisati gredu, tj. odrediti parametar (a), uz zanemarivanje sopstvene težine grede. l=10m; q=10kN/m

Q+F

Presjek A-A

A

q=10kN/m F=300kN

BA 0,4l

l=10m

A 0,6l

Slika 46. 4a 10a

2a2a

4a

2a

2a

6,3a

4a

5,3a

5,

2a

Slika 47. Određivanje koordinate težišta

Tabela 9. 2

1 1895,1018 aaaA ⋅=⋅⋅⋅= ay ⋅= 25,51 31 25,992 aS x ⋅=

22 4,23

292,5 aaaA ⋅−=⋅⋅⋅

= ay ⋅= 73,12 32 48,40 aS x ⋅=

23 20210 aaaA ⋅−=⋅⋅⋅= ay ⋅= 5,93 3

3 190 aS x ⋅= 2

4 28227 aaaA ⋅−=⋅⋅⋅⋅= ay ⋅= 5,74 34 210 aS x ⋅=

25 28

2414 aaaA ⋅−=⋅⋅⋅

= ay ⋅= 97,45 35 139 aS x ⋅=

226 4,23

292,5 aaaAA ⋅−=⋅⋅⋅

== ay ⋅= 73,16 36 48,40 aS x ⋅=

64


Zbog simetrije aaxT ⋅=⋅

= 92

18

T

y

y T=5

,6a

A2

A6

A5

A4

A3

y 5

4a 10a 4a

y 3

y 4

y 2

Slika 48. Površina popriječnog presjeka:

aya

aaaaaay

ASSSSSSy

aAAAAAAA

T

T

xxxxxxT

⋅=⋅

⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅=

=−−−−−

=

⋅=−−−−−=

6,52,66

48,4013921019048,4025,992

2,66

2

333333

654321

2654321

T

y4a 10a 4a

3,3a

2a

2a

2a

2,9a

5,

6a

4,9a

xo

Slika 49.

65


Određivanje momenata inercije za osu (x):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

⋅⋅

⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅⋅−

−⋅⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅−

−⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅

=

23

3322

322

333

87,32

2,5936

2,592

123,377,52

34,07,129,128

122149,320

12210

36,518

39,418

aaaaa

aaaaaa

aaaaaaaaaaIx

34

max

4

444444444

26,956,55,533

5,533

7706,343,01013,92,3047,67,10539,705

aaa

yIW

aI

aaaaaaaaaI

xx

x

x

⋅=⋅⋅

==

⋅=

⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅+⋅=

axa

xo

o ⋅=⋅

=⇒⋅

= 77,54

3,373,34

7

Otpori oslonaca:

kNlllqQ 5010552

102

=⋅=⋅=⋅

=⋅

=

kNlFlFlQlF

MkNlF

FQFlFlQlF

M

B

B

A

A

A

A

B

5,1961801065,118065,106,033,0

05,1531201035,312035,3

4,067,004,067,0

0

=+⋅=+⋅==⋅⋅+⋅⋅+⋅−

=Σ=+⋅=+⋅=

⋅+⋅==⋅⋅−⋅⋅+⋅

=Σ

Maksimalni momenat savijanja je ispod sile (F), pošto na tome mjestu, transverzalna sila mijenja predznak.

kNllqlqlqQ

mkNqq

lq

lq

8108,08,008,02

4,04,02

4,0

4104,04,0

4,0

=⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅

=⋅⋅′

=′

=⋅=⋅=′

⋅′

=

FB FA

F0,4l

l=10m

0,33l A B

Q

B

Slika 50.

q´

q

A

0,6l 0,4l

l=10m

A

Slika 51.

0,6l

( )

kNmlllllM

lqlllQlFM B

6,7251056,0107256,0721,066,072

01,04,065,118013,04,02222

max

2max

=⋅+⋅=⋅+⋅=⋅−⋅+⋅=

⋅⋅−⋅⋅⋅+=⋅⋅′−⋅⋅=

66


cmlla

llalla

WM

d

79,3)1056,01072(07,0)56,072(07,0

100)56,072(1429100)56,072(26,9515

3 23 2

23

23

max

=⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅=

⋅⋅+⋅=⋅

⋅⋅+⋅=⋅⋅

=σ

Zadatak 5.2 Za gredu prikazanu na slici 52. upotrijebiti za osnovni nosač, standardni I profil, čiji otporni momenat zadovoljava 1/3 potrebne nosivosti. Ostatak od 2/3 potrebne nosivosti, nadopuniti čeličnim lamelama. Dozvoljeno naprezanje na savijanje je: σdf=15kN/cm2. Lamele će se spajati za pojas osnovnog nosača sa zakovicama, čije je dozvoljeno naprezanje na smicanje: τdf=15kN/cm2 (slika 53.). Odrediti: -potrebni osnovni nosač (I), -debljinu i dužinu lamela, -razmak zakovičnih spojeva po dužini grede. Za zakivanje lamela, koristit će se zakovice čiji je priječnik: d=20mm.

l=10m

BA

F=300kN

0,6l 0,4l

Slika 52.

Slika 53. Otpori oslonaca:

kNF

kNF

FF

B

A

A

180

12010

43000410

=

=⋅

=

=⋅−⋅

67


Maksimalni momenat savijanja je ispod sile F:

kNcmkNmFM A 720007206max ==⋅= Potrebni otporni momenat nosača:

3max

max

480015

72000 cmWW

WW

dfxp

xpdf

===

=

σ

σ

Prema zadatku, osnovni nosač treba da ima 1/3 nosivosti, pa je: W 316004800333,0 cmxo =⋅≥

Odabran je iz tabela, normalni I profil I4221 ili I42,5 sa otpornim momentom Wxo=1740cm3 sa

Ixo=36970cm4.

Slika 54.

h=42

,5cm

b=16cm

Dopuna otpornog momenta: ∆Wx= Wxp-Wxo =4800-1740=3060cm3

Potrebna dužina lamela:

aFWWM

Axo

xo

⋅=⋅

=

σ

σ

B

xo

A

xo

FWb

FWa

⋅=

⋅=

σ

σ

68


69

F=300kN

a ll b A B

0,6l 0,4l Mo Mo

l=10m

Slika 55. Kada se ustanovi stvarno naprezanje na savijanje određuje se dužina lamela. Dužina lamela: ll=l-a-b Širina lamela je određena širinama pojasa (b=16cm). Određivanje debljine lamele:

Slika 56.

b=16cm

h=42

,5cm

δ

21,2

5cm

( ) xxlxl

xl

xl

WI

yI

W

I

∆=+

==

+⋅⋅+

⋅⋅=

δ

δδδ

25,21

225,2116

12162

max

23


( )

)1.........(....................60773,106455,6365025113886807,10

3060650258680144487,2

30602

25,211612

1625,212

23

23

323

23

=⋅+⋅+

=⋅+⋅+⋅

⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅

=

+⋅⋅+

⋅⋅

+

δδδ

δδδ

δδδδδ

δδδδ

.

Jednačinu (1) riješit ćemo grafo-analitičkom metodom. Desnu stranu jednačine (1), označit ćemo sa (K). Uzmimo proizvoljno (δ1) i izračunavamo (K). Crtamo krivu liniju: δ=f(K). Za (δ), koje zadovolji K=6077, imamo traženi korijen jednačine, tj (δ3). Iz grafika je očitana veličina: δ=4,45cm. Usvaja se standardna debljina lima: δ=4,5cm. Momenat inercije lamela:

( ) ( ) xxlxl

xl

xl

WcmIyIW

cmI

∆==+

=+

==

=

+⋅⋅+

⋅⋅=

3

max

423

30985,425,21

7976725,21

7976725,425,215,416

125,4162

δ

0

1

2

3

4

5

6

0 1000 2000 3000 4000 5000

K

δ

δ=4,45

Slika 57.

Otporni momenat presjeka obje lamele: Wxl=3098cm3 Otporni momenat osnovnog nosača: Wxo=1740cm3 Otporni momenat ojačanog nosača: W= Wxl+Wxo=4838cm3

Tabela 10
δ K
1,0 1128,85 2,0 2390,8 3,0 3791,85 4,0 5338 5,0 7035,3

6000 7000 8000

6077

70


Stvarno naprezanje na savijanje: 2max 0,1588,14

483872000

cmkN

WM

<===σ

Dakle određena debljina lamele, zadovoljava. Usvojeni su standardni priječnici zakovica: d=20mm.

Slika 58.

e

d=20cm

23,5

cm

Razmak između zakovica “e”:

kNdN

SFINne

d

lT

xu

2274

24

22

=⋅=⋅=

⋅⋅⋅

=

πτπ

Broj zakovica u jednom presjeku lamele: n=2 Maksimalna transverzalna sila: FT=FB=180kN Statički momenat površine jedne lamele: 316925,235,4165,23 cmbSl =⋅⋅=⋅⋅= δUkupni momenat inercije presjeka, ojačan lamelama:

41167377976736970 cmIII xlxoxu =+=+=

cme 8,161801692

116737222=

⋅⋅⋅

=

Dakle na razmaku e=16,8cm, nalazit će se zakovice po dužini grede. Dužina lamela:

cmFWb

cmFWa

B

xo

A

xo

144180

174088,14

215120

174088,14

=⋅

=⋅

=

=⋅

=⋅

=

σ

σ

Dakle, lamele imaju dužinu: ll=l-a-b=1000-215-144=641cm

71


Zadatak 5.3 Za gredu prikazanu na slici 59. provjeriti maksimalno naprezanje na savijanje. Presjek grede je prikazan na slici 60. Greda je od čelika. R=25cm

q=50kN/m

B

F=50kN

A

l/3

l=50⋅R

2/3l

Slika 59.

RR

x

0,23

R

0,35 R

2,46

R

0,77

R

0,77

R

2,35R0,428R

0,428R

y

Slika 60.

( ) ( ) ( ) ( )4444444

22443

7656252596,196,1164,0003,0785,091,2

77,04

42,024

214,02412

46,235,2

cmRRRRRI

RRRRRRI

x

x

=⋅=⋅=⋅−⋅−⋅−⋅=

⋅⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅

−⋅

−⋅⋅⋅

=πππ

72


kNRF

RRlF

RFlqlF

M

A

A

A

B

83,34533,3325,0125033,331250

05,16662

25005050

033,332

0

2

2

=+⋅=+⋅=

=⋅−⋅⋅

−⋅⋅

=⋅⋅−⋅

−⋅

=Σ

( ) 067,162

2

=⋅−⋅−⋅

−⋅= RxFxqxFM Ax

Uvjet maksimalnog momenta savijanja: FT=0; FT=dMf/dx=0

mRxxR

FxqFdx

dM

A

f

916,5334,025,025334,0250505033,331250

0

0

=−⋅=−⋅==−⋅−+⋅

=−⋅−

=

Smjenom “x” u Mx

kNmRRM 75,1083325,075,41625,015625375,41615625 22max =+⋅+⋅=+⋅+⋅=

2max

3334

max

36,424844

108375

248442559,159,123,196,1

cmkN

WM

cmRRR

yIW

xf

xx

===

=⋅=⋅=⋅⋅

==

σ

Dakle maksimalno naprezanje na savijanje iznosi: 2max 36,4cmkN

f =σ

Zadatak 5.4 Dimenzionirati gredu od čelika, prikazanu na slici 61., ako je dozvoljeno naprezanje na savijanje: σdf=12kN/cm2. Popriječni presjek grede, prikazan je na slici 62.

F=20kN q=15kN/m

B A

F=30kN

0,3l

l=10m

0,5l 0,2l

Slika 61.

73

JU UNIVERZITET U TUZLI đevinski fakultet Rudarsko-geološko-gra

74

2δ δ

10δ

δ

7δ

10δ Slika 62.

Određivanje momenata inercije i otpornog momenta popriječnog presjeka

( ) ( ) ( )

34

4444

333

19,27810

9,278110

9,27813,13335,25517,666612

10444

97212

2010

δδδ

δ

δδδδ

δδδδδδ

⋅=⋅⋅

=⋅

=

⋅=⋅−⋅−⋅=

⋅⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅=

xx

x

x

IW

I

I

Reakcije u osloncima

kNFF

FFlqlF

M

A

A

A

B

10004021075010

0272

0

21

2

==−−−⋅

=⋅−⋅−⋅

−⋅

=Σ

Maksimalni momenat savijanja: Pošto transverzalna sila mijenja predznak u drugom polju, tražimo momenat savijanja u drugom polju:

( ) 03,02 1

2

=⋅−⋅−⋅

−⋅= lxFxqxFM AII

0=dx

dM II


mx

xFxqFA

67,41570

0301510001

==

=−⋅−=−⋅−

( ) kNcmkNmM 253606,253103,067,4302

67,41567,41002

max ==⋅−⋅−⋅

−⋅=

cm

cmW

cmW

WM

x

x

xf

97,16,7

3,21132,278

3,211312

25360

3

33

3

max

==

=⋅=

==

=

δ

δ

σ

Usvaja se standardni broj: δ=2cm

75


Teoretske osnove za izradu zadataka u narednom poglavlju nalaze se u knjizi «Otpornost materijala sa teorijom elastičnosti», autora Dr sci. Sadudina Hodžića, redovnog profesora na Rudarsko-geološko-građevinskom fakultetu u Tuzli, na stanicama broj 124 do 127.

76


6. Koso savijanje

Zadatak 6.1 Za konzolu prikazanu na slici 63. odrediti maksimalnu silu koju konzola može nositi, ako je dozvoljeno naprezanje na savijanje: σdf=15kN/cm2. Konzola je od čelika i njen je popriječni presjek prikazan na slici 64. Tražena sila (F) djeluje u težištu presjeka, ali zauzima ugao ϕ=50°, u odnosu na težišnu osu (x). R=10cm; E=21000kN/cm2

Slika 63.

R

R

3R

4R

F

ϕ=50°

l=6m

F

Slika 64.

Pošto se radi o ekscentričnom presjeku, potrebno je naći koordinate težišta xT i yT, zatim momenat inercije za osu (x), momenat inercije za osu (y), centrifugalni momenat inercije za ose x i y.

Za ovaj zadatak, iskoristit ćemo gotova rješenja, jer je upravo ovaj popriječni presjek urađen kao primjer u poglavlju 4. (Momenti inercije i glavni momenti inercije).

Naravno, za neki drugi oblik popriječnog presjeka, moraju se izračunati gore navedeni momenti inercije. Dakle, za ovaj primjer su:

°−===

==

===

8,3328,12;27,22

319000;1049000

337000;545000;832000

21

42

41

444

αcmicmi

cmIcmI

cmIcmIcmI xyyx

77


Naprezanje na savijanje kada sila djeluje koso:

( ) ([ ]yIIxIIIM

xyyxyxn

ff ⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅⋅= ϕϕϕϕσ cossinsincos

2

)

In2-druga invarijanta momenata inercije

811222 1035,3337000545000823000 cmIIII xyyxn ⋅=−⋅=−⋅=

Momenat savijanja M=F⋅l=600⋅F (kNcm) cos50°=0,642 sin50°=0,766 x i y su koordinate tačke popriječnog presjeka konzole, koja je najviše udaljena od neutralne ose. U toj tački će djelovati maksimalni napon na savijanje, a u našem slučaju to je dozvoljeni napon na savijanje: σdf=σfmax=15kN/cm2. A(39;22,5)

Slika 65.

+

—

n

n

(2)

(2)

(1)

(1)

F

x/ m=28,5cm

-x

R

R

T

A

y

ϕ=50°ϕ1=83,8°

α=-33,8° x

σfmax=15kN/cm2

78


Da bi našli ovu tačku, određujemo jednačinu neutralne ose:

( )

xxy

xctgIIy

′⋅−=′⋅⋅−=′

°=+=−−=

′⋅⋅−=′

357,01086,0319000

10490008,838,33501

12

1

αϕϕ

ϕ

xy ⋅−= 357,0 jedanačina neutralne ose.

Tabela11. Iz jednačine neutralne linije, nacrtana je neutralna x/ y/

10 -3,57 30 -10,7 40 -14,28

linija slika 65. (x uzimamo proizvoljno, y izračunavamo). Grafičkom metodom, određena je tačka (A) čije su koordinate očitane sa crteža (slika 65.).

( ) ([ ]5,22642,0337000766,054500039766,0337000642,08230001035,3

60015 11 ⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅

=F )

kNF

F

544091,0

153,31035,3

10091,015 11

11

=⋅

=

⋅⋅⋅

=

Dakle tražena sila je: F=544kN Napomena: Prethodni zadatak se može riješiti i na drugi način. Ako se uzmu glavne ose inercije (1) i (2) kao koordinatne ose, i glavni momenti inercije I1 i I2, pri čemu treba voditi računa da je ugao pod kojim djeluje sila (F) ugao između sile i glavne ose (1), a to je ugao ϕ1=83,8°, slijedi:

322

311

1

1

2

1maxmax

111935,28

319000

2558541

1049000

sincos

cmx

IW

cmy

IW

WWM

m

m

ff

==′=

==′=

+=

ϕϕσ

79


kNFF

F

536028,015

2558599,0

111931,060015

=⋅=

+⋅⋅=

ym´ i xm´ -očitane veličine sa crteža. Manje odstupanje u rezultatu (1,47%) je dozvoljeno, a nastalo je kao posljedica očitavanja veličina sa crteža. Ugib konzole u pravcu ose (1):

cmIE

lFy 76,11049000210003

99,06005443

sin 3

1

13

1 =⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅⋅

=ϕ

Ugib konzole u pravcu ose (2):

cmIE

lFy 58,0319000210003

1,06005443

cos 3

2

13

2 =⋅⋅

⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅

=ϕ

Rezultirajući ugib:

cmyyy 85,158,076,1 2222

21 =+=+=

80

dio_dva

Documents