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Disentildeo Oacuteptimo de Vigas de Hormigoacuten Armado Sometidas a Flexioacuten Disentildeo Integral Costo vs Resistencia

Ciencia Sur Vol 2 Nordm 2 ISSN 2518 - 4792 Paacuteg 28 - 40 Junio 2016

DISENtildeO OacutePTIMO DE VIGAS DE HORMIGON ARMADO SOMETIDAS A FLEXIONDISENtildeO INTEGRAL COSTO vs RESISTENCIA

OPTIMUM DESIGN OF REINFORCED CONCRETE BEAMS SUBJECTED TO BENDING INTEGRAL DESIGN COST VS STRENGTH

Aacutelvarez Gozalvez Ernesto 1

1 Docente de la Carrera de Ingenieriacutea Civil ndash Departamento de Estructuras ndash Carrera de Ing Civil Facultad de Ciencias y Tecnologiacutea ndash Universidad Autonoma ldquoJuan Misael Sarachordquo

Correo electroacutenico ernesto-217hotmailcom

RESUMEN

El presente trabajo trata sobre el disentildeo de vigas de hormigoacuten armado mediante un modelo matemaacutetico que permite minimizar el costo de una viga plana o losa maciza unidireccional una viga rectangular y una viga de seccioacuten T simplemente reforzadas todas sometidas a flexioacuten Se propone un procedimiento de disentildeo simultaacuteneo que integra la relacioacuten costo con la resistencia a la flexioacuten de la viga Para lograr este objetivo se recurre a teacutecnicas de optimizacioacuten matemaacutetica dentro del caacutelculo diferencial basadas principalmente en la aplicacioacuten de la teoriacutea de maacuteximos y miacutenimos ademaacutes de los requisitos de disentildeo recomendados por la norma ACI 318-08 Mediante este procedimiento de maacuteximos y miacutenimos la solucioacuten se obtiene cuando la funcioacuten costo se convierte en tangente en el punto de oacuteptima solucioacuten de la funcioacuten de restriccioacuten y dentro del rango del dominio permisible Finalmente los resultados encontrados son comparados y validados con los resultados obtenidos mediante el disentildeo tradicional

Palabras Clave restriccioacuten variable de disentildeo dominio permisible costo resistencia flexioacuten

ABSTRACT

This paper discusses the design of reinforced concrete beams using mathematical model that minimizes the cost of single beam unidirectional solid slab and a rectangular simply reinforced T-beam all subjected to bending stresses It proposes a procedure of concurrent design that integrates the cost to the bending of the beam To achieve this goal we take out optimization techniques based mainly on the application of the theory of maximum and minimum as well as the design requirements recommended by the ACI ndash 318-08 standard is used Through this procedure of

maximum and minimum the solution is obtained when the function cost converts in tangent in the point of optimal solution of the function of restriction and within the range of the domain permissible Finally the results are compared and validated with the results obtained using the traditional design

Key words restriction design variable permissible dominium cost strength flexion

INTRODUCCION

Por muchos antildeos el disentildeo en ingenieriacutea estructural ha estado basado en un procedimiento conocido como el de ldquoprueba y errorrdquo (Borda FJ) es decir que si un determinado elemento estructural era seleccionado para cumplir una determinada funcioacuten estructural el procedimiento consistiacutea en transitar paso a paso dentro del proceso de disentildeo llevando adelante ciertos cambios en las variables de disentildeo y que finalmente por comparacioacuten entre el disentildeo precedente y el uacuteltimo con la respectiva verificacioacuten de las condiciones impuestas se podiacutea decidir se habiacutea alcanzado el disentildeo deseado caso contrario el procedimiento continuaba con una nueva comparacioacuten y asiacute sucesivamente hasta encontrar el disentildeo considerado por el proyectista como el suficientemente aceptable

Hoy todaviacutea el disentildeo de estructuras se realiza siguiendo este proceso iterativo se parte de un disentildeo inicial que es analizado para conocer su respuesta a las acciones exteriores y luego se comprueba si esta es segura y adecuada Si la comprobacioacuten resulta satisfactoria se finaliza el disentildeo en caso contrario se realiza una fase de siacutentesis que a partir de los resultados encontrados se procede a un nuevo disentildeo Este disentildeo se analiza de nuevo y el proceso se repite hasta alcanzar un disentildeo satisfactorio Este meacutetodo denominado de prueba y error presenta

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Aacutelvarez Gozalvez Ernesto


el inconveniente de que las modificaciones dependen de la experiencia del disentildeador o de datos iniciales suficientemente cerca del resultado final y de esta manera se obtiene soluciones que no siempre son las mejores y ademaacutes con un alto costo de tiempo del disentildeador

Con el uso de planillas de caacutelculo electroacutenicas preparadas expresamente para el disentildeo de estructuras asiacute como de alguacuten software especializado los ingenieros dedicados al disentildeo estructural en su mayoriacutea estaacuten casi siempre tentados en asumir y validar los resultados de un determinado disentildeo estructural luego de haber establecido la correspondiente verificacioacuten del comportamiento estructural a traveacutes de su resistencia y funcionalidad Sin embargo un paraacutemetro tambieacuten determinante de todo disentildeo es el costo econoacutemico de la estructura para su factibilidad de ejecucioacuten situacioacuten que en un procedimiento de caacutelculo tradicional siempre se aborda como la etapa final de todo disentildeo

Este trabajo pretende mostrar que con el uso de las teacutecnicas de optimizacioacuten basados en el caacutelculo diferencial y la teoriacutea de maacuteximos y miacutenimos se plantean algoritmos matemaacuteticos claramente definidos y manejados a traveacutes de planillas electroacutenicas que hacen posible integrar en el disentildeo estructural la relacioacuten costo-resistencia Para el caso de los requisitos y restricciones al comportamiento de vigas sometidas a flexioacuten se recurre a las especificaciones de disentildeo seguacuten la Norma Americana ACI-318-08 que especifica los criterios y requisitos de disentildeo basados en el comportamiento a la resistencia uacuteltima

Los procedimientos de optimizacioacuten aplicados al disentildeo estructural resultan una alternativa a la metodologiacutea mencionada en liacuteneas arriba Este se basa fundamentalmente en una formulacioacuten precisa del proceso de disentildeo donde se establece una funcioacuten objetivo en la que intervienen

simultaacuteneamente todas las demaacutes variables de disentildeo con sus respectivas restricciones las mismas que pueden ser impuestas por las normas de disentildeo yo construccioacuten asiacute como por las propiedades mecaacutenicas de los materiales empleados en el disentildeo

FORMULACION GENERAL DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACION

A partir del planteamiento general que se tiene sobre un disentildeo en ingenieriacutea estructural se establece la existencia de un nuacutemero de propiedades estructurales a las que podemos denominarlas variables de disentildeo y que con la finalidad de alcanzar la configuracioacuten ldquoidealrdquo estas pueden ser modificadas a lo largo de todo el proceso cuidando en todo momento que no se violenten las condiciones iniciales del problema (Hernaacutendez S) Por lo tanto este juego de variables se define como el conjunto de las variables de disentildeo que cumplen con alguna condicioacuten de restriccioacuten

Por otro lado cierta clase de optimizacioacuten requiere establecer la propiedad estructural que se pretende optimizar Esta condicioacuten es usualmente llamada la funcioacuten objetivo Por lo tanto la formulacioacuten matemaacutetica de la optimizacioacuten estructural usualmente se expresa de la siguiente manera

Optimice

Sujeto a

El procedimiento descrito y expresado matemaacuteticamente por la ecuacioacuten (1) puede ser resuelto recurriendo a meacutetodos numeacutericos para optimizacioacuten (Pike R W) junto a un proceso iterativo como el que se muestra en el figura Nordm 1

Figura 1 Diagrama de Flujo ndash Optimizacioacuten estructural

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PROCEDIMIENTO DE OPTIMIZACION PROPUESTO

El procedimiento de optimizacioacuten propuesto para el disentildeo estructural de vigas sometidas a flexioacuten resulta ser una alternativa a la metodologiacutea tradicional Estaacute basado fundamentalmente en una formulacioacuten precisa de una funcioacuten objetivo en la que intervienen simultaacuteneamente todas las variables de disentildeo y que a la vez son controladas por sus respectivas restricciones las mismas que pueden ser impuestas por las normas de disentildeo establecidas en el coacutedigo ACI-318-08 (Morales MR) asiacute como por las propiedades mecaacutenicas de los materiales empleados en el disentildeo

Matemaacuteticamente el proceso se basa en expresar tanto la funcioacuten objetivo como la funciones de restriccioacuten como una sola expresioacuten de las variables de disentildeo identificadas en el problema se escoge una como la variable de disentildeo principal mientras que las otras son expresadas en funcioacuten de esta y son controladas por las condiciones de restriccioacuten impuestas y la condicioacuten de no negatividad esta uacuteltima garantiza la condicioacuten de miacutenimo alcanzado (Martiacute P) Si se verifica el dominio de la funcioacuten principal y si se cumplen las condiciones de restriccioacuten para todas las demaacutes variables se asegura haber alcanzado el miacutenimo del problema propuesto

Los siguientes pasos resumen el problema de optimizacioacuten con maacuteximos y miacutenimos

1 Identificar todas las variables de disentildeo a determinar

2 Identificar y escribir la funcioacuten objetivo para la variable de disentildeo principal que se quiere hacer miacutenima

3 Identificar y escribir la funcioacuten de restriccioacuten que relaciona la variable de disentildeo principal con el resto de las variables dependientes

4 Escribir la funcioacuten objetivo en funcioacuten de la variable de disentildeo principal

5 Identificar el dominio de la funcioacuten objetivo y que los liacutemites de las condiciones impuestas esteacuten dentro del rango de las restricciones del problema

6 Aplicar la teoriacutea de maacuteximos y miacutenimos para calcular el miacutenimo de la funcioacuten resultante

DISENtildeO INTEGRAL COSTO vs RESISTENCIA

Se plantea el disentildeo de vigas de hormigoacuten armado sometidas a flexioacuten considerando que las losas macizas unidireccionales son tambieacuten vigas planas en una direccioacuten se las incluye tambieacuten en el anaacutelisis respectivo por lo que el presente trabajo se reduce al anaacutelisis y disentildeo de los siguientes grupos

bull Losa maciza unidireccional o viga de ancho ldquobrdquo conocido

bull Viga rectangular simplemente reforzadabull Viga T simplemente reforzada

FORMULACION DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIOacuteN

Funcioacuten Objetivo-

Se plantea la funcioacuten objetivo como la minimizacioacuten del costo de la viga de hormigoacuten armado por unidad de longitud expresada en funcioacuten de tres variables de disentildeo como son la base ldquobrdquo de la viga el peralte ldquodrdquo efectivo y el aacuterea de refuerzo por flexioacuten ldquoAsrdquo Empleando estas variables de disentildeo la funcioacuten objetivo de manera general se expresa de la siguiente forma

(2)

Donde

Cs Costo del acero de refuerzo incluyendo la mano de obra e impuestos en $UScm3

Cc Costo del hormigoacuten incluyendo la mano de obra e impuestos en $UScm3

Ce Costo del encofrado incluyendo la mano de obra e impuestos en $UScm2

bd Base y peralte efectivo de la viga en cm respectivamente

As Aacuterea del acero de refuerzo en cm2

Restricciones Geomeacutetricas y de Resistencia a la flexioacuten-De acuerdo con el Coacutedigo del Instituto Americano del Concreto (ACI 318-08) se asumen las siguientes hipoacutetesis (ACI)

bull El concreto no podraacute desarrollar una fuerza de compresioacuten mayor a la de su resistencia frsquoc

bull El concreto tiene una resistencia a la traccioacuten muy pequentildea y sufre Fisuracioacuten cuando esta alcanza aproximadamente el 10 de su resistencia frsquoc por lo que se asume que el acero absorbe toda la fuerza de traccioacuten

bull La relacioacuten esfuerzo-deformacioacuten del concreto se considera lineal aproximadamente hasta que alcanza el 50 de su resistencia

bull Las secciones planas antes de la flexioacuten permanecen planas y perpendiculares al eje neutro despueacutes de la flexioacuten

bull La deformacioacuten unitaria maacutexima del concreto en la rotura es de ξ = 0003

Seguacuten el meacutetodo de los factores de carga y resistencia para el disentildeo es importante conocer la distribucioacuten de los esfuerzos normales dentro de la zona criacutetica en compresioacuten del hormigoacuten

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Seguacuten Whitney (Morales MR) la distribucioacuten de esfuerzos en la zona de compresioacuten del bloque de concreto en la zona criacutetica de manera praacutectica se

asume como rectangular cuyas caracteriacutesticas se muestran en la figura Nordm 2

Figura 2 Distribucioacuten de esfuerzos y deformacioacuten unitaria en una seccioacuten de HordmAordm

Donde

As Aacuterea del acero de refuerzo a optimizard Peralte efectivo de la viga a optimizarb Ancho de la viga a optimizart Relacioacuten entre el recubrimiento (r) y el peralte

efectivo (d) t = rdfy Esfuerzo de fluencia en el acerofrsquoc Resistencia a la compresioacuten en el hormigoacutenc Profundidad del Eje Neutro en la seccioacuten

rectangulara Profundidad del bloque de compresioacuten a=β1c

con β1= 085 para resistencias del concreto menor a 280 Kgcm2

ζc Deformacioacuten unitaria en el hormigoacutenζs Deformacioacuten unitaria en el acero

Para el disentildeo por flexioacuten se debe saber que el tipo de falla deseable es la falla duacutectil con la cual la seccioacuten desarrolla grandes deformaciones En estas condiciones el Coacutedigo ACI-318-08 establece los liacutemites para la cantidad de acero tomando control mediante la cuantiacutea balanceada la misma que estaacute definida de acuerdo con la siguiente relacioacuten

(3)

La cuantiacutea geomeacutetrica estaacute relacionada directamente con el aacuterea de acero ldquoAsrdquo e inversamente con el peralte efectivo de la seccioacuten rectangular de la viga ldquodrdquo a traveacutes de la siguiente relacioacuten

(4)

Cuantiacutea maacutexima (5)

Cuantiacutea miacutenima

Para vigas y losas en una direccioacuten se tomaraacute el mayor de los dos siguientes valores

(6)

y donde fc y fy estaacuten en Kgcm2

Por lo tanto de esta restriccioacuten establecida por el Coacutedigo se desprende la primera restriccioacuten de caraacutecter geomeacutetrico impuesta al disentildeo y se puede expresar de la siguiente manera

(7)

Por otro lado las dimensiones de la seccioacuten transversal ldquobrdquo y ldquodrdquo de la viga pueden manejarse como dos variables de disentildeo independientes sin embargo para fines praacutecticos y con la finalidad de reducir el nuacutemero de estas variables se establece la siguiente relacioacuten

(8)

Seguacuten el ACI 318-08 el ancho ldquobrdquo de la viga no debe ser menor que el maacutes pequentildeo de 030h y 25 cm tomando el primero se genera la restriccioacuten de la relacioacuten ldquoβrdquo entre el ancho y el peralte efectivo

(9)

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APLICACIOacuteN A VIGAS SOMETIDAS A FLEXION

Caso I- Losa maciza unidireccional o viga simplemente reforzada VSR I de ancho ldquobrdquo conocido-

En este caso se asume la variable ldquobrdquo constante e igual a 100 cm de ancho dejando como variables de disentildeo las otras dos variables ldquodrdquo y ldquoAsrdquo Entonces el problema de optimizacioacuten se plantea de la siguiente manera

Optimice (2-a)

Sujeto a (13-a)

(7-a)

Las inecuaciones (13-a) y (7-a) corresponden a las restricciones impuestas sobre una losa maciza unidireccional sometida a flexioacuten ambas se derivan de las inecuaciones (13) y (7) reemplazando en ambas b=100 Ordenando los teacuterminos y cuantificando los coeficientes numeacutericos se obtiene una expresioacuten matemaacutetica para minimizar de la forma

Minimice (2-b)

Sujeto (13-b)

Donde

Los coeficientes numeacutericos

El Coacutedigo ACI 318-08 tambieacuten establece un criterio fundamental de disentildeo basado en los factores de carga y de resistencia el mismo que se expresa de acuerdo con la siguiente expresioacuten

(10)

Para vigas de hormigoacuten armado sometidas a flexioacuten establece que el factor de reduccioacuten ldquoφrdquo que afecta al momento nominal ldquoMnrdquo debe ser igual a 090 mientras que el momento uacuteltimo ldquoMurdquo es calculado multiplicando la carga de servicio por sus respectivos factores de mayoracioacuten de esta manera la expresioacuten (9) queda de la siguiente manera

(11)

Donde

MDL Momento por carga muerta (en nuestro caso se considera como tal el peso propio de la viga) en Kgcm

MLL Momento por carga viva actuando sobre la viga en Kgcm

La profundidad ldquoardquo del bloque de compresioacuten se establece a partir del equilibrio de fuerzas internas entre las resultantes de Tensioacuten y Compresioacuten de donde se obtiene con ayuda de la figura Nordm 2

(12)

Finalmente la restriccioacuten de comportamiento a flexioacuten queda expresada de la siguiente forma

(13)

Donde

α Coeficiente del momento y depende de las condiciones de apoyo de la viga(α = 0125 para viga simplemente apoyada)

γc Peso por unidad de volumen del hormigoacuten en Kgcm3

t Relacioacuten del recubrimiento al peralte efectivo de la viga (t = rd)

L Longitud entre apoyos de la viga en cmφ Factor de reduccioacuten de resistencia (090

para flexioacuten)

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El problema puede ahora ser resuelto matemaacuteticamente la solucioacuten oacuteptima se obtiene cuando la funcioacuten objetivo se expresa en funcioacuten de la variable de disentildeo principal en este caso la variable ldquoyrdquo corresponde al aacuterea de refuerzo ldquoAsrdquo de la losa mientras que la variable de disentildeo dependiente representa ser ldquoxrdquo el peralte efectivo de la losa ldquodrdquo La condicioacuten de restriccioacuten impuesta al problema se identifica a partir de la relacioacuten Asd valor que debe caer dentro de los liacutemites establecidos por ρmin y ρmax y de este modo se habraacute encontrado la solucioacuten oacuteptima del problema (14)

(15)

Donde los coeficientes c1 c2 m n r valen respectivamente

Resolviendo la ecuacioacuten cuadraacutetica (15) y reemplazando su valor positivo en la ecuacioacuten (14) se obtienen los valores oacuteptimos del aacuterea de refuerzo y peralte efectivo cumpliendo de esta manera con el disentildeo integral de costo-resistencia Como ejemplo numeacuterico aplicando este procedimiento a una losa maciza unidireccional simplemente apoyada y de acuerdo con los datos de la tabla Nordm 1 se obtienen los siguientes resultados

Tabla 1 Datos para el problema de optimizacioacuten ndash Caso I

Los caacutelculos previos se resumen en las siguientes tablas

Precios Unitarios Se asumen los precios unitarios del mercado de la construccioacuten probablemente con ligeras variaciones aunque esto no representa un oacutebice para el efecto demostrativo que se

le quiere dar al presente trabajo Estos precios podriacutean tambieacuten incluir costo de mano de obra equipos y hasta impuesto sin embargo estos costos praacutecticamente son fijos y por lo tanto no influyen de manera determinante en la funcioacuten costo (Borda FJ)

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Coeficientes numeacutericos De acuerdo con los datos del problema planteado y los caacutelculos previos se obtienen los coeficientes numeacutericos que se utilizaraacuten en el proceso de optimizacioacuten y disentildeo integral costo-resistencia Tabla 3 Coeficientes numeacutericos ndash Caso I

Finalmente el problema estaacute representado en el graacutefico Nordm 1 en eacutel se observa la zona de disentildeo permisible limitada por las restricciones geomeacutetricas y de resistencia a flexioacuten La solucioacuten oacuteptima se encuentra a partir de que la funcioacuten costo se convierte en tangente a la funcioacuten de restriccioacuten dentro del rango de dominio permisible

Figura 3 representacioacuten del proceso de optimizacioacuten de una losa maciza unidireccional

Este punto se identifica como el punto de solucioacuten oacuteptima y es el punto donde la pendiente de

Tabla 2 Precios de los iacutetems componentes del HordmAordm para la funcioacuten costo

la recta iguala a la pendiente de la funcioacuten de restriccioacuten verificando que el valor de As se encuentra dentro de los liacutemites establecidos por Asmin y Asmax se concluye indicando haber encontrado la solucioacuten oacuteptima del problema Matemaacuteticamente se llega a los mismos resultados resolviendo las ecuaciones (14) y (15) los mismos que son coincidentes con los del graacutefico Nordm 1

A objeto de comparar resultados se ha resuelto la misma losa maciza unidireccional mediante el procedimiento prueba y error recomendado por el Coacutedigo del ACI 318-08 los resultados se presentan en tabla Nordm 4 Tabla 4 Cuadro Comparativo de resultados finales

Los valores de ldquoAsrdquo y ldquodrdquo encontrados anteriormente son reemplazados en la ecuacioacuten (2-b) y se consigue el costo miacutenimo de la seccioacuten C = 2557 $usm o lo que es lo mismo para la losa unidireccional de ancho b = 1 m y altura h = 110 d = 110754 = 829 cm C = 30844 $usm3 = 214677 Bsm3

Caso II- Viga rectangular simplemente reforzada VSR II de ancho ldquobrdquo desconocido-

Se establecen como variables de disentildeo el aacuterea de refuerzo ldquoAsrdquo el ancho de la seccioacuten rectangular ldquobrdquo y el peralte efectivo ldquodrdquo de la viga entre las mismas se establecen las siguientes relaciones

De esta manera se plantean las siguientes restricciones

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Sujeto (18 - a)

(16)

(17)

Se observa que el problema de optimizacioacuten planteado involucra una sola variable de disentildeo independiente ldquodrdquo Basaacutendonos en esta observacioacuten las otras variables de disentildeo pueden obtenerse usando las relaciones (16) y (17) dentro de los rangos correspondientes Ahora bien llevando la restriccioacuten (18-a) al liacutemite (f(d) = 0) se observa que el punto de interseccioacuten entre la funcioacuten costo y la funcioacuten de restriccioacuten representa el punto de tangencia comuacuten por lo tanto representa el valor oacuteptimo de la variable de disentildeo independiente ldquodrdquo Entonces igualando (18-a) y (19-a) se obtiene

(20) Esta es una ecuacioacuten de tercer grado que puede ser resuelta mediante meacutetodos numeacutericos en nuestro caso recurrimos al meacutetodo de Newton-Raphson con una aproximacioacuten al resultado no mayor 0001 es decir ξ lt 0001 Las otras variables de disentildeo se moveraacuten dentro del rango de su dominio permisible

Aplicando este procedimiento a un ejemplo concreto en la tabla Nordm 5 se resumen los datos iniciales del problema

(16)

(17)

(18)

Haciendo

La restriccioacuten de resistencia se puede expresar de la siguiente manera

(18 - a)

La funcioacuten costo se expresa en teacuterminos de las variables de disentildeo como

(19)

Haciendo

Entonces el problema de optimizacioacuten tiene la siguiente estructura matemaacutetica

Minimice (19 - a)

Tabla 5 Datos para el problema de optimizacioacuten ndash Caso II

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Coeficientes numeacutericos De acuerdo con los datos del problema planteado y los caacutelculos previos se obtienen los coeficientes numeacutericos para resolver el proceso de optimizacioacuten y disentildeo integral costo-resistencia Tabla 6 Coeficientes numeacutericos ndash Caso II

Resolviendo la ecuacioacuten (20) de tercer grado los valores numeacutericos se muestran en la tabla Nordm 7

Tabla 7 Resultados de la ecuacioacuten (20) mediante Newton-Raphson

El problema es representado en el graacutefico Nordm 2 la solucioacuten oacuteptima se encuentra en el punto de tangencia entre la funcioacuten objetivo y la funcioacuten de restriccioacuten por resistencia el mismo que se encuentra dentro del rango de dominio permisible

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C = 1831 $usm C = 32862 $usm3 = 228715 Bsm3

Caso III- Viga T simplemente reforzada VTSR -En este tipo de vigas las alas proporcionan un gran refuerzo a compresioacuten por lo que este tipo de secciones generalmente son simplemente reforzadas En el anaacutelisis de estas vigas se debe tomar en cuenta la profundidad ldquoardquo del bloque de compresioacuten puede darse que este sea menor al espesor del ala ldquohfrdquo o que sea mayor en este caso la viga tiene un comportamiento como viga T caso contrario se comporta como viga rectangular de ancho ldquobrdquo Figura 5 Seccioacuten transversal Viga T

El problema de optimizacioacuten para el costo miacutenimo se plantea de la siguiente manera

Minimice (21)Sujeto (22)

(23)

(24)

Los coeficientes numeacutericos de las funciones costo y de restriccioacuten estaacuten definidos como siguen

(25)

(26)

Figura 4 Representacioacuten del proceso de optimizacioacuten de una viga simplemente reforzada

Habiendo encontrado la solucioacuten oacuteptima es decird = 2884 cm As = 435 cm2 b =1932 cmSe verifican las restricciones geomeacutetricas impuestas

Se concluye indicando haber encontrado la solucioacuten oacuteptima del problema

Estos resultados son comparados con los encontrados mediante el procedimiento de disentildeo prueba y error recomendado por el Coacutedigo del ACI 318-08 los resultados se presentan en la tabla Nordm 8 Tabla 8 Resumen comparativo de resultados

finales

Resultados que verifican la validez del procedimiento de disentildeo integral costo-resistencia El valor del costo oacuteptimo resulta ser

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Donde ldquoCrdquo representa la fuerza resultante de compresioacuten generada por las fuerzas internas en el bloque de compresioacuten del hormigoacuten y ldquoardquo es la profundidad del mismo bloque todos los demaacutes teacuterminos han sido definidos anteriormente

La solucioacuten oacuteptima se obtiene igualando las pendientes de las ecuaciones (21) y (22) luego de algunas simplificaciones matemaacuteticas se encuentra la ecuacioacuten (27) que permite calcular el aacuterea de refuerzo ldquoAsrdquo

(27)

Donde los coeficientes m n r valen respectivamente

Y el peralte efectivo ldquodrdquo de la viga (28)

Seguidamente se verifica la profundidad ldquoardquo del bloque de compresioacuten mediante la ecuacioacuten (26) que se compara con el espesor del ala ldquohfrdquo si este es mayor la viga se comporta como viga T y se procede mediante un proceso raacutepido de convergencia a un ajuste del valor de ldquoardquo en estas condiciones se habraacute encontrado la solucioacuten oacuteptima de ldquoAsrdquo y ldquodrdquo Si la profundidad del bloque de compresioacuten es menor que el espesor del ala la viga se comporta como viga rectangular de ancho igual a ldquobrdquo y se procede como en los casos anteriores (Caso II)

Un ejemplo numeacuterico aplicando este procedimiento para una viga simplemente apoyada de seccioacuten T y de acuerdo con los datos de la tabla Nordm 9 arroja los siguientes resultados

Tabla 9 Datos para el problema de optimizacioacuten ndash Caso III

Coeficientes numeacutericos Se calcularon los coeficientes numeacutericos los mismos que se muestran en la tabla Nordm 10

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Tabla 10 Coeficientes numeacutericos ndash Caso III

Los resultados finales se encuentran luego de resolver las ecuaciones (25) y (26)

Finalmente se verifica el cumplimiento de las restricciones impuestas en el planteamiento inicial del problema tal como se observa en la tabla Nordm 11 En consecuencia se puede asegurar que se ha alcanzado la solucioacuten oacuteptima que minimiza la funcioacuten costo

Tabla 11 Verificacioacuten de las condiciones de restriccioacuten

Cuantiacutea geomeacutetrica y profundidad del bloque de compresioacuten

El costo miacutenimo C = 2052 $usm C = 36770 $usm3 = 255921 Bsm3

DISCUSION

El procedimiento de optimizacioacuten aplicado al disentildeo estructural de vigas sometidas a flexioacuten resulta ser una alternativa a la metodologiacutea tradicional Estaacute basado fundamentalmente en una formulacioacuten precisa de una funcioacuten objetivo en la que intervienen simultaacuteneamente todas las variables de disentildeo y que son controladas por sus respectivas restricciones las mismas que pueden ser impuestas por las normas y coacutedigos de disentildeo establecido

La mayoriacutea de los procedimientos o meacutetodos de optimizacioacuten que se presentan en la amplia literatura teoacuterica de optimizacioacuten asiacute como la complejidad de las funciones no lineales que se plantean para la resolucioacuten de problemas estructurales y por su lento y difiacutecil proceso de

convergencia no los hacen atractivos para una aplicacioacuten praacutectica en el campo del disentildeo estructural a no ser que estos vengan implementados en programas informatizados especializados y de los cuales el ingeniero usuario desconoce el complejo proceso que se desarrolla para su implementacioacuten Queda demostrado que el procedimiento de disentildeo estructural a traveacutes de la integracioacuten simultaacutenea de la funcioacuten costo o funcioacuten objetivo con las variables de disentildeo ingenieril se puede llevar adelante mediante la utilizacioacuten de teacutecnicas o meacutetodos de optimizacioacuten bastante simples como es el de formulacioacuten matemaacutetica de una funcioacuten a una sola variable aplicando la teoriacutea de maacuteximos y miacutenimos sin mayor complicacioacuten

Dentro del rango del dominio permisible de las variables de disentildeo los resultados alcanzados son vaacutelidos no negativos y uacutenicos por lo tanto garantizan el disentildeo integral a traveacutes del costo miacutenimo y de la resistencia a la flexioacuten en vigas sometidas a este tipo de comportamiento

Con la ayuda de planillas electroacutenicas como ldquoExcelrdquo raacutepidamente se permite implementar un proceso de disentildeo optimo integral sin maacutes complicaciones que la de formular los coeficientes numeacutericos del problema de una manera sistemaacutetica y ordenada de modo que se resuelve el problema sin mayores costos de tiempo adicionales para el disentildeador

Finalmente este procedimiento ha sido planteado para el caso de vigas sometidas a flexioacuten sin embargo para futuras investigaciones este procedimiento puede ser extendido a problemas de disentildeo tales como columnas vigas sometidas a cortante problemas con control de deflexioacuten etc

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bull Pike Ralph W (1996) Optimization for Engineering Systems ndash Van Nostrand Reinhold Company ndash New York ndash USA

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el inconveniente de que las modificaciones dependen de la experiencia del disentildeador o de datos iniciales suficientemente cerca del resultado final y de esta manera se obtiene soluciones que no siempre son las mejores y ademaacutes con un alto costo de tiempo del disentildeador

Con el uso de planillas de caacutelculo electroacutenicas preparadas expresamente para el disentildeo de estructuras asiacute como de alguacuten software especializado los ingenieros dedicados al disentildeo estructural en su mayoriacutea estaacuten casi siempre tentados en asumir y validar los resultados de un determinado disentildeo estructural luego de haber establecido la correspondiente verificacioacuten del comportamiento estructural a traveacutes de su resistencia y funcionalidad Sin embargo un paraacutemetro tambieacuten determinante de todo disentildeo es el costo econoacutemico de la estructura para su factibilidad de ejecucioacuten situacioacuten que en un procedimiento de caacutelculo tradicional siempre se aborda como la etapa final de todo disentildeo

Este trabajo pretende mostrar que con el uso de las teacutecnicas de optimizacioacuten basados en el caacutelculo diferencial y la teoriacutea de maacuteximos y miacutenimos se plantean algoritmos matemaacuteticos claramente definidos y manejados a traveacutes de planillas electroacutenicas que hacen posible integrar en el disentildeo estructural la relacioacuten costo-resistencia Para el caso de los requisitos y restricciones al comportamiento de vigas sometidas a flexioacuten se recurre a las especificaciones de disentildeo seguacuten la Norma Americana ACI-318-08 que especifica los criterios y requisitos de disentildeo basados en el comportamiento a la resistencia uacuteltima

Los procedimientos de optimizacioacuten aplicados al disentildeo estructural resultan una alternativa a la metodologiacutea mencionada en liacuteneas arriba Este se basa fundamentalmente en una formulacioacuten precisa del proceso de disentildeo donde se establece una funcioacuten objetivo en la que intervienen

simultaacuteneamente todas las demaacutes variables de disentildeo con sus respectivas restricciones las mismas que pueden ser impuestas por las normas de disentildeo yo construccioacuten asiacute como por las propiedades mecaacutenicas de los materiales empleados en el disentildeo

FORMULACION GENERAL DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACION

A partir del planteamiento general que se tiene sobre un disentildeo en ingenieriacutea estructural se establece la existencia de un nuacutemero de propiedades estructurales a las que podemos denominarlas variables de disentildeo y que con la finalidad de alcanzar la configuracioacuten ldquoidealrdquo estas pueden ser modificadas a lo largo de todo el proceso cuidando en todo momento que no se violenten las condiciones iniciales del problema (Hernaacutendez S) Por lo tanto este juego de variables se define como el conjunto de las variables de disentildeo que cumplen con alguna condicioacuten de restriccioacuten

Por otro lado cierta clase de optimizacioacuten requiere establecer la propiedad estructural que se pretende optimizar Esta condicioacuten es usualmente llamada la funcioacuten objetivo Por lo tanto la formulacioacuten matemaacutetica de la optimizacioacuten estructural usualmente se expresa de la siguiente manera

Optimice

Sujeto a

El procedimiento descrito y expresado matemaacuteticamente por la ecuacioacuten (1) puede ser resuelto recurriendo a meacutetodos numeacutericos para optimizacioacuten (Pike R W) junto a un proceso iterativo como el que se muestra en el figura Nordm 1

Figura 1 Diagrama de Flujo ndash Optimizacioacuten estructural

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Donde













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Donde







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Optimice (2-a)

Sujeto a (13-a)

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Minimice (2-b)

Sujeto (13-b)

Donde



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Donde




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para flexioacuten)

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Sujeto (18 - a)

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Haciendo


(18 - a)


(19)

Haciendo


Minimice (19 - a)


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C = 1831 $usm C = 32862 $usm3 = 228715 Bsm3




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BIBLIOGRAFIacuteA




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Optimice (2-a)

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Haciendo


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diseÑo Óptimo de vigas de hormigon armado sometidas a flexion diseÑo …€¦ · ·...

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