doktorature artur stringa, fakulteti i shkencave i natyrore

UNIVERSITETI I TIRANËS

FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS

DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS

PROGRAMI I STUDIMIT : ANALIZË DHE ALGJEBËR

TEZË DOKTORATURE

DISA ASPEKTE GJEOMETRIKE NË HAPËSIRAT VEKTORIALE

TOPOLOGJIKE TË 2 - NORMUARA

Doktoranti: Udhëhoqi:

Artur STRINGA Prof. Dr. Xhezair TELITI

Tiranë, 2013

UNIVERSITETI I TIRANËS

FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS

DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS

Disertacion

i

paraqitur nga :

Z. Artur Stringa

për marrjen e gradës shkencore

DOKTOR

Programi i studimit : Analizë dhe Algjebër

Tema:

Disa aspekte gjeometrike në hapësirat vektoriale topologjike të 2 – normuara.

Miratohet më datë ________________________ para jurisë

1. ____________________________________ Kryetar

2. ____________________________________ Anëtar (Oponent)

3. ____________________________________ Anëtar (Oponent)

4. ____________________________________ Anëtar

5. ____________________________________ Anëtar

ii

FALENDERIME

Falenderoj udhëheqësin tim shkencor Prof.Dr.Xhezair Teliti, për angazhimin e tij të

palodhur, që ky punim të ishte sa më i arrirë.

U jam shumë mirënjohës kolegëve të mi të Departamentit të Matematikës dhe në veçanti

atyre të Seksionit të Analizës, të cilët më kanë qëndruar pranë me mbështetjen dhe

sugjerimet e tyre, gjatë gjithë kohës së punimit të tezës së doktoratës.

Në fund, falenderoj familjen time për përkrahjen morale që më ka dhënë.

iii

PËRMBAJTJA

Falenderime........................................................................................................................ii

Përmbajtja.........................................................................................................................iii

Hyrje..................................................................................................................................iv

Kapitulli 1 HAPËSIRAT VEKTORIALE TË 2 – NORMUARA.LIDHJA E TYRE HAPËSIRAT VEKTORIALE TË NORMUARA…1

Kapitulli 2 KONVEKSITETI RIGOROZ

2.1. Njohuri paraprake………………………………………………………………19

2.2. Disa karakterizime ekuivalente të konceptit të konveksitetit rigoroz për hapësiratvektoriale të 2 – normuara, me anën e konceptit të p – gjysmë – prodhimit tëbrëndshëm………………………………………………………………………23

2.3. Disa karakterizime ekuivalente të konceptit të konveksitetit rigoroz për hapësiratvektoriale të 2 – normuara, me anën e konceptit të pasqyrimit dual për hapësiratvektoriale të 2 – normuara….………………………………………………….36

Kapitulli 3 KONVEKSITETI 2 – RIGOROZ

3.1. Njohuri paraprake….…………………………………………………………...46

3.2. Disa karakterizime ekuivalente të konceptit të konveksitetit 2 – rigoroz përhapësirat vektoriale të 2 – normuara, me anën e koncepteve të p – gjysmë –prodhimit të brëndshëm dhe pasqyrimit dual për hapësirat vektoriale të2 – normuara……………………………………………………………………49

Kapitulli 4 KONVEKSITETI UNIFORM4.1. Njohuri paraprake….……………………………………………………………56

4.2. Disa karakterizime të konceptit të konveksitetit uniform për hapësirat vektoriale të

2 – normuara, me anën e konceptit të pasqyrimit dual për hapësirat vektoriale të2 – normuara…………………………………………………….........................60

Përfundime.......................................................................................................................67

Bibliografia….…………………………………………………………………………..71

iv

HYRJE

Studimi i hapësirave vektoriale të 2 – normuara përbën këto 50 vitet e fundit një objekt

studimi atraktiv për shumë matematicienë sot në botë.

Struktura e përafërt e funksioneve 2 – normë dhe 2 – prodhim i brëndshëm përkatësisht

me funksionet normë dhe prodhim i brëndshëm kanë iniciuar ndërmarrjen e studimeve

konkrete me aspekte topologjike dhe gjeometrike në hapësirat vektoriale të 2 – normuara,

të cilat janë shoqëruar me fitimin në mënyrë sistematike të një sërë rezultatesh me interes

teorik dhe aplikativ.

Në veçanti, shumë studime aktuale në hapësirat vektoriale të 2 – normuara lidhen me

trajtimin në këto hapësira të problematikave të konveksitetit si :

konveksiteti rigoroz, konveksiteti 2 – rigoroz dhe konveksiteti uniform.

Trajtimi i këtyre koncepteve përbën objektin kryesor të punimit të kësaj doktorate, në të

cilën synohet që krahas një analize të detajuar të arritjeve të sotme në botë, të

prezantohen një sërë rezultatesh të reja individuale të fituara në këtë drejtim.

Punimi është i ndarë në katër kapituj.

Në kapitullin e parë trajtohet koncepti i funksionit 2 – normë, i përkufizuar për herë tëparë nga matematicieni gjerman Siegfried Gähler në vitin 1965, që shënon nga ana e tijnjë koncept dy përmasor, të ngjashëm me konceptin e funksionit normë.Është i njohur fakti se çdo hapësirë vektoriale e 2 – normuar është një hapësirë vektorialee normuar, e për rrjedhojë hapësirat e 2 – normuara përbëjnë një përgjithësim tëmëtejshëm të hapësirave të normuara. Studime bashkëkohore përcaktojnë rrugë konkretetë përftimit të një funksioni normë nga një funksion 2 - normë dhe në kapitull trajtohengjithashtu disa problematika lidhur me marrëdhëniet që ekzistojnë përkatësisht ndërmjetkonvergjencës dhe plotësisë në një hapësirë vektoriale të 2 – normuar të dhënë dhekonvergjencës dhe plotësisë në një hapësirë vektoriale të normuar, norma e së cilës ështëpërftuar nga 2 – norma e dhënë. Në veçanti, tregohet se për një hapësirë vektoriale të2 – normuar të dhënë mund të përftojmë një normë nga funksioni 2 – normë, që tëgarantojë njëvlershmërinë e konvergjencës dhe plotësësisë në lidhje me 2 – normën mekonvergjencën dhe plotësinë në lidhje me normën përkatëse të përftuar.Është vërtetuar edhe një teoremë mbi pikën fikse.

Kapitulli i dytë i kushtohet trajtimit të konceptit të konveksitetit rigoroz për hapësiratvektoriale të 2 – normuara, i iniciuar për herë të parë në vitin 1974 nga C. Diminnie,S. Gähler dhe A. White. Ky koncept është një koncept 2 – përmasor, i ngjashëm mekonceptin e konveksitetit rigoroz për hapësirat vektoriale të normuara.Fillimisht, në kapitull, tregohet se si shtrihet koncepti i konveksitetit rigoroz nga hapësiratvektoriale të normuara në hapësirat vektoriale të 2 – normuara dhe materiali vazhdon mëtej me dhënien e disa karakterizimeve të njëvlershme për konceptin e konveksitetitrigoroz për hapësirat vektoriale të 2 – normuara, të njohura në literaturën bashkëkohore.Në vazhdim, në kapitull, pasi tregohet se si ndërtohen konceptet e p – gjysmë – prodhimittë brëndshëm dhe të pasqyrimit dual për hapësirat vektoriale të 2 – normuara, paraqitendisa rezultate të reja në hapësirat vektoriale të 2 – normuara rigorozisht konvekse, tëfituara nga ana jonë. Këto rezultate japin disa karakterizime të njëvlershme të konceptit të

v

konveksitetit rigoroz për hapësirat vektoriale të 2 – normuara, me anën e koncepteve tëp – gjysmë – prodhimit të brëndshëm dhe të pasqyrimit dual për hapësirat vektoriale të2 – normuara.

Materiali i trajtuar në kapitullin e tretë lidhet me probleme analoge të kapitullit të dytë,por që kanë të bëjnë me konceptin e konveksitetit 2 - rigoroz për hapësirat vektoriale të2 – normuara. Ky koncept është futur për herë të parën nga C. Diminnie, S. Gähler dheA. White në vitin 1979 dhe është një përgjithësim i natyrshëm i konceptiti tëkonveksitetit rigoroz për hapësirat vektoriale të 2 – normuara.Në kapitull, fillimisht, tregohet se si ndërtohet koncepti i konveksitetit 2 – rigoroz përhapësirat vektoriale të 2 – normuara, duke vazhduar më tej me dhënien e disakarakterizimeve të njëvlershme të këtij koncepti, të njohura në literaturën bashkëkohore.Në vazhdim, në kapitull, paraqiten dy rezultate të reja në hapësirat vektoriale të2 – normuara rigorozisht 2 – konvekse, të fituara nga ana jonë. Këto rezultate japinkarakterizime të njëvlershme të konceptit të konveksitetit 2 – rigoroz për hapësiratvektoriale të 2 – normuara, me anën e koncepteve të p – gjysmë – prodhimit tëbrëndshëm dhe të pasqyrimit dual për hapësirat vektoriale të 2 – normuara.

Në kapitullin e katërt, tregohet se si shtrihet koncepti i konveksitetit uniform ngahapësirat vektoriale të normuara në hapësirat vektoriale të 2 – normuara, duke vazhduarmë tej me dhënien e disa karakterizimeve të njëvlershme të këtij koncepti, të njohura nëliteraturën bashkëkohore.Koncepti i konveksitetit uniform për hapësirat vektoriale të 2 – normuara është ndërtuarnga M.E.Newton në vitin 1969 dhe është një koncept 2 – përmasor, i ngjashëm mekonceptin e konveksitetit uniform për hapësirat vektoriale të normuara.Në kapitull, paraqiten disa rezultate të reja në hapësirat vektoriale të2 – normuara uniformisht konvekse, të fituara nga ana jonë. Këto rezultate japin disakarakterizime të konceptit të konveksitetit uniform për hapësirat vektoriale të2 – normuara, me anën e konceptit të pasqyrimit dual për hapësirat vektoriale të2 – normuara.

KAPITULLI 1

HAPËSIRAT VEKTORIALE TË 2 – NORMUARA.LIDHJA E TYRE ME HAPËSIRAT VEKTORIALE TË NORMUARA.

Në këtë kapitull, fillimisht, jepet koncepti i funksionit 2 – normë dhe i hapësirësvektoriale të 2 – normuar. Është i njohur fakti se çdo hapësirë vektoriale e 2 – normuarështë një hapësirë vektoriale e normuar. Janë paraqitur disa rrugë të përgjithëshme, tënjohura në literaturën bashkëkohore, me anë të së cilave duke u nisur nga një funksion içfarëdoshëm 2 – normë mund të ndërtojmë një funksion normë.Së dyti, në këtë kapitull, trajtohen disa problematika lidhur me marrëdhëniet qëekzistojnë përkatësisht ndërmjet konvergjencës dhe plotësisë në një hapësirë vektoriale të2 – normuar të dhënë dhe konvergjencës dhe plotësisë në një hapësirë vektoriale tënormuar, norma e së cilës është përftuar nga 2 – norma e dhënë. Në veçanti, në disa rastetë veçanta, tregohet se për një hapësirë vektoriale të 2 – normuar të dhënë mund tëpërftojmë një normë nga 2 – norma, e tillë që konvergjenca dhe plotësia në lidhje me2 – normën të jetë ekuivalente me konvergjencën dhe plotësinë në lidhje me normën epërftuar. Është vërtetuar edhe një teoremë mbi pikën fikse.

Hapësirat vektoriale(lineare) të 2 – normuara janë hapësira vektoriale mbi fushën enumrave realë realë, në të cilat është përcaktuar një funksion me vlera reale, i quajturfunksion 2 – normë (ose shkurt 2 – normë).Koncepti i funksionit 2 – normë është futur për herë të parë nga matematicieni gjermanSiegfried Gähler në vitin 1965[15] dhe është një një koncept dy përmasor, i ngjashëm mekonceptin e funksionit normë.

Shënojmë me fushën e numrave realë.PËRKUFIZIM 1.1.[15]

Le të jetë X një hapësirë vektoriale reale, me përmasë më të madhe se 1.

Funksioni , : X , i cili plotëson kushtet e mëposhtëme :

(2N1) Për çdo dy vektorë ,x y X , kemi që :

(i) , 0 ;x y

(ii) , 0x y x dhe y janë linearisht të varur,

(2N2) Për çdo dy vektorë ,x y X kemi që :

, , , x y y x

(2N3) Për çdo dy vektorë ,x y X dhe për çdo skalar , kemi që :

, , ,x y x y

(2N4) Për çdo tri vektorë , ,x y z X , kemi që :

, , , , x y z x z y z

quhet funksion 2 – normë në X.

Në këtë rast, çifti i rradhitur , ,X quhet hapësirë vektoriale e 2 – normuar.

- 2 -

Nq.s. , ,X është një hapësirë vektoriale e 2 – normuar dhe , , x y z X ,

atëhere kanë vend pohimet e mëposhtëme[18] :

, ,x y y x y , për çdo dy numra , .

N.q.s. x, y dhe z janë linearisht të varur, kemi që :

, , , x y z x z y z (ose , , , ).x y z x z y z

SHEMBULL 1.1.[19]

Shembulli klasik i një hapësire vektoriale të 2 – normuar është 2 , , , ku

, është një funksion 2 – normë, i përcaktuar në hapësirën euklidiane reale 2 ,

sipas barazimit :

1 2

2

, . . ,

x xx y v l a b s

y y 2

1 2 1 2, , , .x x x y y y

Gjeometrikisht, kjo 2 – normë mund të interpretohet si syprina e paralelogramit tëndërtuar mbi vektorët x dhe y.

SHEMBULL 1.2.[18]

Le të jetë ,X është një hapësirë prodhim i brëndshëm, ku X është një hapësirë

vektoriale reale me përmasë më të madhe se 1.

Ndërtojmë funksionin , :S

X , sipas barazimit :

,S

x x x yx y

y x y y

, , .x y X

Funksioni , S

është një funksion 2 – normë në X dhe quhet 2 – norma standarte

në hapësirën vektoriale X, ndërsa vetë hapësira , ,S

X quhet një hapësirë

vektoriale e 2 – normuar standarte.

PËRKUFIZIM 1.2.[42]

Një varg 1n nx

nga hapësira vektoriale e 2 – normuar , ,X quhet një

varg konvergjent (në lidhje me 2 – normën , ), n.q.s. gjejmë një vektor x X , i tillë

që lim , 0 ,

n

nx x z për çdo vektor z X .

Në këtë rast, vektori x quhet limiti i vargut 1n nx

dhe thuhet se ky varg konvergjon

sipas 2 – normës , tek vektori x. Simbolikisht faktin që x është limiti i vargut

1n nx

e shënojmë lim

n

nx x (në lidhje me 2 – normën , )[42].

Çdo varg konvergjent nga hapësira vektoriale e 2 – normuar , ,X konvergjon

(sipas 2 – normës , ) tek një limit i vetëm[42].

- 3 -


Një varg 1n nx

nga hapësira vektoriale e 2 – normuar , ,X quhet një

varg Koshi n.q.s. gjemë dy vektorë linearisht të pavarur ,a b X , të tillë që kanë vend

barazimet :

,lim , 0

n mm n

x x a dhe,

lim , 0.n mm n

x x b


Hapësira vektoriale e 2 – normuar , ,X , në të cilën çdo varg Koshi është një

varg konvergjent quhet një hapësirë e 2 – Banahut ose një hapësirë e plotë

(në lidhje me 2 – normën , ).

Në vitin 1969, është treguar nga R.E.Ehret[11] se n.q.s. , ,X është një

hapësirë vektoriale e 2 – normuar dhe 1 2,a a është një bashkësi linearisht e pavarur

nga hapësira X, atëhere barazimi

1 2, ,x x a x a , ,x X (1)

përcakton një normë në hapësirën vektoriale X.Pra, çdo hapësirë vektoriale e 2 – normuar, në veçanti çdo hapësirë vektoriale e2 – normuar me përmasë të fundme, është një hapësirë vektoriale e normuar[11].

Në vitin 2001, në një punim mbi hapësirat vektoriale të 2 – normuara me përmasë tëfundme, të publikuar nga H.Gunawan dhe M.Mashadi[18], duke ndjekur një rrugë tëndryshme nga ajo që rekomandohet tek[11], është treguar se çdo hapësirë vektoriale e2 – normuar me përmasë të fundme është një hapësirë vektoriale e normuar.

Më konkretisht, n.q.s. , ,X , është një hapësirë vektoriale e 2 – normuar, e

tillë që 2 dim X m dhe 1 2, , ..., ma a a është një bazë e hapësirës X, atëhere

barazimet :

x

m ax , 1, 2 , ..., ix a i m , ,x X (2)

x

1

1

, , 1 ,

pmp

ii

x a p

,x X (3)

përcaktojnë një normë në hapësirën vektoriale X[18].Në këtë rast, meqenëse hapësira vektoriale X është me përmasë të fundme, atëhere

theksojmë se normat

dhe janë ekuivalente[18].

Ka vend kjo teoremë :TEOREMË 1.1.[18]

Konditë e nevojshme dhe e mjaftueshme që një varg pikash nga hapësira vektoriale e

2 – normuar me përmasë të fundme , ,X të konvergjojë sipas 2 – normës

, tek një vektor x X , është që ky varg të konvergjojë tek vektori x sipas njërës

prej normave

ose .

- 4 -

Po në vitin 2001, është publikuar një tjetër punim nga H.Gunawan dhe M.Mashadi[19],në të cilin përgjithësohen rezultate të fituara më parë në hapësirat vektoriale të2 – normuara me përmasë të fundme[18], duke mundësuar rezultate të reja në hapësiratvektoriale të n – normuara, ku n dhe 2.n Në [19], duke ndjekur një rrugë tëndryshme nga ajo që rekomandohet tek [11], është treguar çdo hapësirë vektoriale e2 – normuar është një hapësirë vektoriale e normuar. Më konkretisht, n.q.s

, ,X është një hapësirë vektoriale e 2 – normuar dhe 1 2,a a është një

bashkësi linearisht e pavarur nga hapësira X, atëhere barazimet :

m ax , 1, 2

ix x a i , ,x X (4)

p

x2

1

, ,

pp

ii

x a

1 , ,p x X (5)

përcaktojnë një normë në hapësirën vektoriale X[19].

N.q.s normat

dhe p

ndërtohen duke përdorur të njëjtën bashkësi linearisht të

pavarur nga hapësira X, atëhere ato janë ekuivalente[19].

Le të jetë , ,X një hapësirë vektoriale e 2 – normuar. Konsiderojmë normën

,

e përftuar në hapësirën X nga 2 – norma , në lidhje me një bashkësi

linearisht të pavarur 1 2,a a nga kjo hapësirë, sipas barazimit (4).

Ka vend kjo teoremë :TEOREMË 1.2.[19]

Le të jetë 1n nx

një varg pikash nga hapësira vektoriale e 2 – normuar

, ,X . N.q.s. vargu 1n nx

konvergjon tek pika x X sipas 2 – normës

, , atëhere ai konvergjon tek pika x edhe sipas normës .

Në [39] është fituar një rezultat të ngjashëm me rezultatin e teoremës 1.2.

Le të jetë , ,X një hapësirë vektoriale e 2 – normuar. Konsiderojmë normën

,p

e përftuar në hapësirën X nga 2 – norma , në lidhje me një bashkësi

linearisht të pavarur 1 2,a a nga kjo hapësirë, sipas barazimit (5).

TEOREMË 1.3[39]

Le të jetë 1n nx


, ,X . N.q.s. vargu 1n nx

konvergjon tek pika x X sipas 2 – normës

, , atëhere ai konvergjon tek pika x edhe sipas normës p

.

VËRTETIM. Nga kushti rrjedh kanë vend barazimet lim , 0, 1,2.n in

x x a i

Mund të shkruajmë që :

2

1

lim lim ,

pp

n n ip nn i

x x x x a

- 5 -

2 2

1 1

lim , lim , 0,

pp pp

n i n in ni i

x x a x x a

nga ku nxjerrim se vargu 1n nx

konvergjon sipas normës p

tek vektori . ▄

Natyrshëm mund të lindë kjo pyetje :- A kanë vend pohimet e anasjellta të teoremave 1.2. dhe 1.3.?

Është e qartë se n.q.s. hapësira vektoriale e 2 – normuar , ,X është me

përmasë të fundme, atëhere nga teorema 1.1. rrjedh se pohimet e anasjellta të teoremave1.2. dhe 1.3. janë pohime të vërteta.

N.q.s. hapësira vektoriale e 2 – normuar , ,X është me përmasë të

pafundme, atëhere në përgjithësi nuk mund të deklarojmë me siguri nëse kanë vend apojo pohimet e e anasjellta të teoremave 1.2. dhe 1.3. Për më tepër, në [19] është theksuar se

n.q.s. hapësira vektoriale e 2 – normuar , ,X është me përmasë të pafundme,

atëhere në përgjithësi mbetet një problem i hapur fakti se si duhet vepruar për të përftuarnjë normë nga 2 – norma e dhënë, e tillë që konvergjenca në lidhje me 2 – normën të jetëekuivalente me konvergjencën në lidhje me normën e përftuar.

Megjithatë, në [38] ne kemi treguar se n.q.s hapësira vektoriale e 2 – normuar me

përmasë të pafundme , ,X gëzon një cilësi të caktuar, që quhet vetia (K),

atëhere pohimet e anasjellta të teoremave 1.2. dhe 1.3. janë pohime të vërteta.


Hapësira vektoriale e 2 – normuar , ,X thuhet se gëzon vetinë (K), n.q.s.

është i vërtetë ky pohim :

N.q.s. për vargun e pikave 1n nx

nga hapësira X dhe për vektorin x X ekzistojnë

vektorët , ,a b X të tillë që :

, 0 ,a b lim , 0 lim , 0,n nn n

x x a dhe x x b

atëhere vargu 1n nx

konvergjon tek pika x X sipas 2 – normës , .

TEOREMË 1.4.[38]

Le të jetë 1n nx


, ,X , e cila gëzon vetinë (K). Konsiderojmë normën

, e përftuar në

në hapësirën vektoriale X me anën e 2 – normës , , në lidhje me një bashkësi

linearisht të pavarur 1 2,a a nga kjo hapësirë, sipas barazimit (4). N.q.s. vargu

1n nx

konvergjon tek pika x X sipas normës

, atëhere ai konvergjon tek

pika x edhe sipas 2 – normës , .

- 6 -

VËRTETIM. Meqenëse vargu 1n nx

konvergjon sipas normës

tek

vektori x X , atëhere rrjedh se ka vend barazimi lim 0 .nn

x x


lim 0nn

x x

lim max , / 1, 2 0,n in

x x a i

nga ku nxjerrim se lim , 0

nn

x x a dhe lim , 0.nn

x x a

(6)

Meqenëse vektorët 1 2,a a janë linearisht të pavarur dhe hapësira vektoriale e

2 – normuar , ,X gëzon vetinë (K), atëhere nga barazimet (6) vargu

1n nx

konvergjon tek pika x sipas 2 – normës , . ▄

TEOREMË 1.5.[38]

Le të jetë 1n nx


, ,X , e cila gëzon vetinë (K). Konsiderojmë normën p

, e përftuar në

hapësirën vektoriale X me anën e 2 – normës , , në lidhje me një bashkësi

linearisht të pavarur 1 2,a a nga kjo hapësirë, sipas barazimit (5). N.q.s. vargu

1n nx

konvergjon tek pika x X sipas normës p

, atëhere ai konvergjon tek

pika x edhe sipas 2 – normës , .

VËRTETIM. Meqenëse vargu 1n nx

konvergjon sipas normës p

tek

vektori x X , atëhere rrjedh se ka vend barazimi l im 0 .n pnx x


2

1

lim 0 lim , 0

lim , 0, 1, 2,

ppn n ipn n i

pn i

n

x x x x a

x x a i

nga ku nxjerrim se lim , 0

nn

x x a dhe lim , 0.nn

x x a

(7)

Meqenëse vektorët 1 ,a 2a janë linearisht të pavarur dhe hapësira vektoriale e

2 – normuar , ,X gëzon vetinë (K), atëhere nga barazimet (7) vargu

1n nx

konvergjon tek pika x X sipas 2 – normës , . ▄

Supozojmë se ,X është një hapësirë prodhim i brëndshëm, e pajisur me

2 – normën standarte , S

. Shënojmë me S

normën shoqëruese të prodhimit

të brëndshëm . Le të jetë 1 2,e e një sistem ortonormal nga hapësira

- 7 -

,X . Në lidhje me bashkësinë 1 2,e e , ndërtojmë në hapësirën vektoriale X

normën

:

m ax , 1, 2

i Sx x e i , .x X (8)

Ka vend kjo teoremë:TEOREMË 1.6.[19]

(i) Në hapësirën vektoriale të 2 – normuar standarte , ,S

X , normat

dhe

Sjanë ekuivalente. Për më tepër, për çdo vektor x X , është i

vërtetë mosbarazimi :

2 .S

x x x

(9)

(ii) Konditë e nevojshme dhe e mjaftueshme që një varg pikash nga hapësira vektoriale e

2 – normuar standarte , ,S

X të konvergjojë sipas 2 – normës

, S

tek një vektor x X , është që ky varg të konvergjojë tek vektori x sipas

njërës prej normave

dhe S

.

Supozojmë tani se ,X është një hapësirë prodhim i brëndshëm, separabël dhe

e pajisur me 2 – normën standarte , S

. Shënojmë me S

normën shoqëruese

të prodhimit të brëndshëm dhe me I bashkësinë 1 , . . . , m , n.q.s.

m dimX ose bashkësinë e numrave natyrorë , n.q.s. X është e

numërueshme. Le të jetë /ie i I një bazë ortonormale nga hapësira ,X .

Në lidhje me bashkësinë /ie i I , barazimi :

x

s u p , i Sx e i I , .x X (10)

përcakton një normë në hapësirën vektoriale X[18].

Në lidhje me bashkësinë 1 2,e e , ndërtojmë në hapësirën vektoriale X normën 2

:

2x

2 2

1

, ,i Si

x e

.x X (11)

Ka vend kjo teoremë:TEOREMË 1.7.[18]

(i) Në hapësirën vektoriale të 2 – normuar standarte dhe separabël , ,S

X ,

normat

,2

dhe S

janë ekuivalente. Për më tepër, për çdo vektor

x X , është i vërtetë mosbarazimi :

22 .

Sx x x x

(12)

- 8 -

(ii) Konditë e nevojshme dhe e mjaftueshme që një varg pikash nga hapësira vektoriale e

2 – normuar standarte separabël , ,S

X të konvergjojë sipas

2 – normës , S

tek një vektor x X , është që ky varg të konvergjojë tek

vektori x sipas njërës prej normave

,2

dhe S

.

Në [39] janë fituar rezultate të ngjashme me rezultatet e teoremave 1.6. dhe 1.7..

Supozojmë se ,X është një hapësirë prodhim i brëndshëm, separabël ose jo, e

pajisur me 2 – normën standarte , S

. Shënojmë me S

normën shoqëruese të

prodhimit të brëndshëm . Le të jetë 1 2,e e një sistem ortonormal nga

hapësira ,X . Në lidhje me bashkësinë 1 2,e e , ndërtojmë në X normën

p

:

p

2

1

, ,

pp

i Si

x e

1 , .p x X (13)

TEOREMË 1.8.[39]

(i) Në hapësirën vektoriale të 2 – normuar standarte , ,S

X , normat

,

pdhe

Sjanë ekuivalente. Për më tepër, për çdo vektor x X ,

është i vërtetë mosbarazimi :

8p

S p Sx x x

. (14)

(ii) Në hapësirën vektoriale të 2 – normuar standarte dhe separabël , ,S

X ,

normat ,

p

,

,2

dhe S

janë ekuivalente.

(iii) Konditë e nevojshme dhe e mjaftueshme që një varg pikash nga hapësira vektoriale e


X , separabël ose jo, të konvergjojë sipas

2 – normës , S

tek një vektor x X , është që ky varg të konvergjojë tek

vektori x sipas normës .p

VËRTETIM.(i) Le të jetë ,x X çfarëdo.

N.q.s. 0x , atëhere mosbarazimi (14) është i vërtetë.Supozojmë se x 0. Le të jetë 1 1 2 2 , e e e i tillë që :

1S

e dhe .e x

Duke u bazuar në përkufizimin e normës shoqëruese të prodhimit të brëndshëm,

meqenëse 1S

e , atëhere do të nxjerrim se 21 2 1.

Prej këndej, nga mosbarazimi Cauchy – Schvarz, do të marrim që :

- 9 -

22 21 2 1 2 1 21 1 .

Duke u bazuar në përkufizimin e normës shoqëruese të prodhimit të brëndshëm,në vetitë e funksionit 2 – normë dhe në mosbarazimin Cauchy – Schvarz,mund të shkruajmë që :

1 1 2 2 1 1 2 2, , , ,

S S S S S

x x e x e e x e x e

2 2 2

1 1 1

, , ,

pp

i i i iS S Si i i

x e x e x e

2

1

2 , ,

ppp

i pSi

x e x

nga ku nxjerrim se 8

S p

x x . (15)

Nga ana tjetër mund të shkruajmë që :

22

, , , 1, 2,i i iS SS Sx e x e x e x i

nga ku nxjerrim se :2

1

,

p p

i SSi

x e x

2

1

, .

p pp

pi S p SS

i

x e x x x (16)

Përfundimisht, nga mosbarazimet (15) dhe (16), rrjedh vërtetësia e mosbarazimit (14).

N.q.s. në hapësirën vektoriale të 2 – normuar standarte , ,S

X , krahas

normës p

do të konsiderojmë edhe normën ,

të përftuar me anën e

2 – normës ,S

sipas barazimit (8), atëhere nga mosbarazimi (14) dhe teorema

1.6., rrjedh se normat ,

p

dhe S

janë ekuivalente.

Theksojmë se në hapësirën vektoriale të 2 – normuar standarte , ,S

X ,

ekuivalenca e normave

dhe p

nuk varet nga fakti se cili është sistemi

ortonormal, që zgjidhet për ndërtimin e secilës prej këtyre normave.(ii) N.q.s. në hapësirën vektoriale të 2 – normuar standarte dhe separabël

, ,S

X , krahas normave ,

2

dhe S

do të konsiderojmë

edhe normat

dhe p

të përftuar me anën e 2 – normës ,S

përkatësisht sipas barazimieve (8) dhe (13), atëhere nga vërtetësia e teoremave 1.7. dhe

1.8., do të marrim se normat ,

p

, ,

2

dhe S

janë

ekuivalente.

- 10 -

(iii) Nga vërtetësia e teoremave 1.6.,1.7. dhe nga vërtetësia e pikave (i), (ii), rrjedh sevërtetësia e pikës (iii) është evidente. ▄

Duke përmbledhur, mund të pohojmë se :


fundme, atëhere mund të përftojmë një normë nga 2 – norma e dhënë, e tillë qëkonvergjenca në lidhje me 2 – normën të jetë ekuivalente me konvergjencën në lidhje menormën e përftua[18].

N.q.s. hapësira vektoriale e 2 – normuar standarte , ,S

X , separabël ose

jo, është me përmasë të pafundme, atëhere mund të përftojmë një normë nga 2 – norma edhënë, e tillë që konvergjenca në lidhje me 2 – normën të jetë ekuivalente mekonvergjencën në lidhje me normën e përftuar[18],[19],[39].

N.q.s. hapësira vektoriale e 2 – normuar jostandarte , ,X është me

përmasë të pafundme, por ndërkohë kjo hapësirë gëzon vetinë (K), atëhere mund tëpërftojmë një normë nga 2 – norma e dhënë, e tillë që konvergjenca në lidhje me2 – normën të jetë ekuivalente me konvergjencën në lidhje me normën e përftuar[38].


përmasë të pafundme dhe kjo hapësirë nuk gëzon vetinë (K), atëhere mbetet një problemi hapur fakti se si duhet vepruar në këtë rast, për të përftuar një normë nga 2 – norma edhënë, e tillë që konvergjenca në lidhje me 2 – normën të jetë ekuivalente mekonvergjencën në lidhje me normën e përftuar[19].Megjithatë, ka shembuj hapësirash vektoriale të 2 – normuara me përmasë të pafundme,2 – norma e të cilave nuk është një 2 – normë standarte dhe të tilla që këto hapësira nukgëzojnë vetinë (K), ku mund të përftohen norma nga 2 – norma e dhënë, e tillë qëkonvergjenca në lidhje me 2 – normën të jetë ekuivalente me konvergjencën në lidhje menormën e përftuar [19].

Rezultatet e mësipërme, që tregojnë lidhjen që ekziston ndërmjet konvergjencës sipas

2 – normës , në një hapësirë vektoriale të 2 – normuar të dhënë

, ,X dhe konvergjencës sipas normës në hapësirën vektoriale të

normuar ,X , ku funksioni normë është përftuar nga funksioni

2 – normë , , ndihmojnë për të zbuluar lidhjen ndërmjet hapësirave Banah dhe

hapësirave 2 – Banah.

Kanë vend këto teorema:TEOREMË 1.9.[19]

Çdo hapësirë vektoriale e 2 – normuar me përmasë të fundme është një hapësirë2 – Banah.

- 11 -

TEOREMË 1.10.[19]

Supozojmë se ,X është një hapësirë prodhim i brëndshëm, e pajisur me

2 – normën standarte , S

. Konsiderojmë normën

, e përftuar në hapësirën

vektoriale X nga 2 – norma standarte , ,S

sipas barazimit (8). Le të jetë S

norma shoqëruese e prodhimit të brëndshëm. Atëhere, konditë e nevojshme dhe e

mjaftueshme që hapësira vektoriale e 2 – normuar , ,S

X të jetë një

hapësirë 2 – Banah është që një nga hapësirat vektoriale të normuara ,

X dhe

, S

X të jetë një hapësirë Banah.

TEOREMË 1.11.[18]

Supozojmë se ,X është një hapësirë prodhim i brëndshëm, separabël dhe e

pajisur me 2 – normën standarte , S

. Konsiderojmë normat

dhe2

,

të përftuara në hapësirën vektoriale X nga 2 – norma standarte , ,S

përkatësisht

sipas barazimeve (10) dhe (11). Le të jetë S

norma shoqëruese e prodhimit të

brëndshëm. Atëhere, konditë e nevojshme dhe e mjaftueshme që hapësira vektoriale e

2 – normuar , ,S

X të jetë një hapësirë 2 – Banah është që një nga hapësirat

vektoriale të normuara ,X

, ,

2X dhe ,

SX të jetë një

hapësirë Banah.

Në [38] është fituar një rezultat, i cili është një rrjedhim i teoremës 1.6., teoremës 1.7.teoremës 1.10 dhe i teoremës 1.11..Ka vend kjo teoremë :

TEOREMË 1.12.[38]

Supozojmë se , ,S

X është një hapësirë vektoriale e 2 – normuar standarte,

separabël ose jo. Konsiderojmë normën p

, e përftuar në hapësirën vektoriale X nga

2 – norma standarte ,S

. Atëhere, konditë e nevojshme dhe e mjaftueshme që

hapësira vektoriale e 2 – normuar , ,S

X të jetë një hapësirë 2 – Banah

është që hapësira vektoriale e normuar , p


Gjithashtu në [38] janë fituar rezultatet e mëposhtme :LEMË 1.1.[38]

Supozojmë se 1n nx


, ,X , e cila gëzon vetinë (K). Ka vend implikimi :

N.q.s. 1n nx

është një varg Koshi, atëhere,

lim , 0n mm n

x x z

, .z X

- 12 -

VËRTETIM. Supozojmë se 1n nx

është një varg Koshi nga hapësira

vektoriale e 2 – normuar , ,X . Në bazë të përkufizimit gjemë dy vektorë

linearisht të pavarur ,a b X , të tillë që kanë vend barazimet :

,lim , 0n m

m nx x a

dhe

,lim , 0n m

m nx x b

Le të jetë m një indeks natyror i fiksuar, jashtëzakonisht i madh.Nga mosbarazimet e mësipërme marrim që :

lim , 0n mn

x x a

dhe lim , 0 .n mn

x x b

Meqenëse a dhe b janë linearisht të pavarur, atëhere , 0a b .

Nga fakti që hapësira vektoriale e 2 – normuar , ,X gëzon vetinë (K), rrjedh

se :lim , 0, ,n m

n

x x z z X

nga ku nxjerrim se,lim , 0 , .n m

m nx x z z X

▄

TEOREMË 1.13.[38]

Le të jenë , ,X një hapësirë vektoriale e 2 – normuar, që gëzon vetinë (K).

Konsiderojmë normën

, e përftuar në në hapësirën vektoriale X me anën e

2 – normës , , në lidhje me një bashkësinë linearisht të pavarur 1 2,a a nga kjo

hapësirë, sipas barazimit (4). Konditë e nevojshme dhe e mjaftueshme që hapësira

vektoriale e 2 – normuar , ,X të jetë një hapësirë 2 – Banah është që

hapësira vektoriale e normuar ,


VERTETIM. Supozojmë se hapësira vektoriale e 2 – normuar , ,X

është një hapësirë 2 – Banah dhe le të jetë 1n nx

një varg Koshi nga hapësira

vektoriale e normuar ,

X . Atëhere, për çdo 0 , gjejmë një indeks natyror

,p p i tillë që ka vend implikimi :

,n mn m p x x

ose, në mënyrë të njëvlershme,,

lim 0 .

n mm n

x x

Për çdo dy indekse natyrore n dhe m, mund të shkruajmë që :

n mx x

max , 1, 2 , n m ix x a i

nga ku nxjerrim se :

1,

n m n mx x a x x

dhe 2, .

n m n mx x a x x

(17)

Duke kaluar në limit tek mobarazimet (17) kur , m n , do të marrim që :

1 2, ,lim , 0 dhe lim , 0

n m n mm n m n

x x a x x a

. (18)

- 13 -

Nga fakti që vektorët 1a dhe 2a janë linearisht të pavarur, prej barazimeve (18), do të

nxjerrim që vargu 1n nx

është një varg Koshi nga hapësira vektoriale e 2 – normuar

, ,X . Meqenëse hapësira vektoriale e 2 – normuar , ,X është

një hapësirë 2 – Banah, vargu 1n nx

konvergjon tek një pikë x X në lidhje me

2 – normën , . Nga teorema 1.2., vargu 1n nx

konvergjon tek pika x edhe

lidhje me normën

. Nga fakti se vargu i çfarëdoshëm Koshi 1n nx

, nga

hapësira vektoriale e normuar ,

X , konvergjon sipas normës

tek një pikë

x X , rrjedh se kjo hapësirë është një hapësirë Banah.

Anasjelltas, supozojmë se hapësira ,

X është një hapësirë Banah dhe le të jetë

1n nx

një varg Koshi nga hapësira vektoriale e 2 – normuar , ,X .

Atëhere, në bazë të Lemës 1.1., do të marrim që,

lim , 0

n mm n

x x z

, .z X

Nga barazimi i mësipërm rrjedh se,lim , 0, 1, 2,n m i

m nx x a i

nga ku

nxjerrim që :

,

lim n mm n

x x

,

lim m ax , 1, 2 0.n m im n

x x a i

(19)

Nga barazimi (19) do të marrim që vargu 1n nx


vektoriale e normuar ,

X . Meqenëse hapësira vektoriale e normuar ,

X

është një hapësirë Banah, vargu 1n nx


normën

. Nga teorema 1.4., vargu 1n nx

konvergjon tek pika x edhe lidhje

me 2 – normën , . Nga fakti se vargu i çfarëdoshëm Koshi 1n nx

, nga

hapësira vektoriale e 2 – normuar , ,X , konvergjon sipas 2 – normës

, tek një pikë x X rrjedh se kjo hapësirë është një hapësirë 2 – Banah. ▄

TEOREMË 1.14.[38]

Le të jenë , ,X një hapësirë vektoriale e 2 – normuar, që gëzon vetinë (K).

Konsiderojmë normënp

, e përftuar në në hapësirën vektoriale X me anën e

2 – normës , , në lidhje me një bashkësinë linearisht të pavarur 1 2,a a nga kjo

hapësirë, sipas barazimit (5). Konditë e nevojshme dhe e mjaftueshme që hapësira

vektoriale e 2 – normuar , ,X të jetë një hapësirë 2 – Banah është që

hapësira vektoriale e normuar ,p


- 14 -

VERTETIM. Supozojmë se hapësira vektoriale e 2 – normuar , ,X

është një hapësirë 2 – Banah dhe le të jetë 1n nx

një varg Koshi nga hapësira

vektoriale e normuar ,p

X . Atëhere, për çdo 0 , gjejmë një indeks natyror

,r r i tillë që ka vend implikimi :

n m r ,n m px x

ose, në mënyrë të njëvlershme,

l im 0 .n m pm n

x x

Për çdo dy indekse natyrore n dhe m, mund të shkruajmë që :

n m px x

2

1

,

pp

n m ii

x x a


1,n mx x a n m px x dhe 2,n mx x a .n m p

x x (20)

Duke kaluar në limit tek mobarazimet (20) kur , m n , do të marrim që :

1 2, ,lim , 0 dhe lim , 0n m n m

m n m nx x a x x a

. (21)

Nga fakti që vektorët 1a dhe 2a janë linearisht të pavarur, prej barazimeve (21), do të

nxjerrim që vargu 1n nx

është një varg Koshi nga hapësira vektoriale e 2 – normuar

, ,X . Meqenëse hapësira vektoriale e 2 – normuar , ,X është

një hapësirë 2 – Banah, vargu 1n nx


2 – normën , . Nga teorema 1.3., vargu 1n nx

konvergjon tek pika x edhe

lidhje me normën p

. Nga fakti se vargu i çfarëdoshëm Koshi 1n nx

, nga

hapësira vektoriale e normuar ,p

X , konvergjon sipas normës p

tek një pikë

x X , rrjedh se kjo hapësirë është një hapësirë Banah.

Anasjelltas, supozojmë se hapësira ,p

X është një hapësirë Banah dhe le të jetë

1n nx

një varg Koshi nga hapësira vektoriale e 2 – normuar , ,X .

Atëhere, në bazë të Lemës 1.1., do të marrim që,

lim , 0

n mm n

x x z

, .z X

Nga barazimi i mësipërm rrjedh se,lim , 0, 1, 2,n m i

m nx x a i

nga ku nxjerrim

që :

2

, , 1

lim lim , 0 .

pp

n m n m ipm n m n i

x x x x a

(22)

Nga barazimi (22) do të marrim që vargu 1n nx


- 15 -

vektoriale e normuar ,p

X . Meqenëse hapësira vektoriale e normuar ,p

X

është një hapësirë Banah, vargu 1n nx


normën p

. Nga teorema 1.5., vargu 1n nx

konvergjon tek pika x edhe lidhje

me 2 – normën , . Nga fakti se vargu i çfarëdoshëm Koshi 1n nx

, nga

hapësira vektoriale e 2 – normuar , ,X , konvergjon sipas 2 – normës

, tek një pikë x X , rrjedh se kjo hapësirë është një hapësirë 2 –Banah. ▄

Duke përmbledhur, mund të pohojmë se :


fundme, atëhere ajo është një hapësirë 2 – Banah[19].

N.q.s. hapësira vektoriale e 2 – normuar standarte , , S

X , separabël ose

jo, është me përmasë të pafundme, atëhere mund të përftojmë një normë nga 2 – norma edhënë, e tillë që plotësia në lidhje me 2 – normën të jetë ekuivalente me plotësinë nëlidhje me normën e përftuar[18],[19],[38].


përmasë të pafundme, por ndërkohë kjo hapësirë gëzon vetinë (K), atëhere mund tëpërftojmë një normë nga 2 – norma e dhënë, e tillë që plotësia në lidhje me 2 – normën tëjetë ekuivalente me plotësinë në lidhje me normën e përftuar[38].


përmasë të pafundme dhe kjo hapësirë nuk gëzon vetinë (K), atëhere mbetet një problemi hapur fakti se si duhet vepruar në këtë rast, për të përftuar një normë nga 2 – norma edhënë, e tillë që plotësia në lidhje me 2 – normën të jetë ekuivalente me plotësinë nëlidhje me normën e përftuar[19].

Duke përfunduar, le të paraqesim një rezultat të rëndësishëm.TEOREMË 1.15.[19]

Le të jetë , ,X një hapësirë 2 – Banah, standarte ose me përmasë të fundme.

Supozojmë se T : X X është një pasqyrim kontraktiv në lidhje me 2 – normën

, , d.m.th. supozojmë se gjejmë një konstante 0,1k , e tillë që :

, ,x y T z k x y z , , ,x y z X .

Atëhere, pasqyrimi T ka një pike të vetme fikse nga X.

Në [38] është fituar një rezultat të ngjashëm me rezultatin e teoremës 1.15.

- 16 -

TEOREMË 1.16.[38]

Le të jenë , ,X një hapësirë 2 – Banah, që gëzon vetinë (K). Supozojmë se

:T X X është një pasqyrim kontraktiv në lidhje me 2 – normën , .

Atëhere, pasqyrimi T ka një pike të vetme fikse nga X.VERTETIM. Le të jetë 1 2,a a një bashkësi linearisht e pavarur nga hapësira X.

Konsiderojmë normën p , e përftuar në hapësirën vektoriale X me anën e

2 – normës , , në lidhje me bashkësinë 1 2,a a .

Në bazë të teoremës 1.14., rrjedh se hapësira vektoriale e normuar ,p

X është

një hapësirë Banah. Nga ana tjetër, nga kushti në teoremë, për çdo x X , mund tëshkruajmë që :

T , , , 1, 2i ix y a k x y a i

,

2 2

1 1

T , ,p pp

i ii i

x y a k x y a

2 2

1 1

T , , ,

p pp p

i ii i

x y a k x y a

nga ku nxjerrim se Tp p

x y k x y . (23)

Mosbarazimi (23) tregon që T : X X është një pasqyrim kontraktiv në lidhje me

normën p . Meqenëse në hapësirën vektoriale të normuar ,

pX , për çdo

,x y X , barazimi ,p

d x y x y përcakton një funksion largesë në X, nga

teorema e pikës fikse e Banahut, rrjedh se ekziston pika 0 ,x X e cila është e vetme,

e tillë që 0 0 .T x x ▄

Po paraqesim tani një rezultat shumë interesant për hapësirat vektoriale të 2 – normuara.

Supozojmë tani se , ,X është një hapësirë vektoriale e 2 – normuar dhe le të

jetë 0c X . Shënojmë me cX hapësirën herës /X c . Për çdo x X ,

shënojmë me cx klasën e ekuivalencës me përfaqësues vektorin x. cX është një

hapësirë vektoriale reale, në të cilën veprimet e mbledhjes dhe shumëzimit me skalarpërcaktohen sipas barazimeve :

c c cx y x y dhe c c

x x ,

Ndërtojmë në cX funksioninc

, sipas barazimit ,c c

x x c

, x X .

Funksionic

është një normë në X [14].

- 17 -

Në mbyllje të këtij paragrafi le të tregojmë se si ndërtohet koncepti i hapësirës sëbivektorëve mbi një hapësirë vektoriale reale, i cili luan një rol të rëndësishëm nëzbulimin e disa lidhjeve që ekzistojnë ndërmjet hapësirave vektoriale të normuara dhehapësirave vektoriale të 2 – normuara, si dhe në studimin e disa aspekteve gjeometrike nëhapësirat vektoriale të 2 – normuara.Koncepti i hapësirës së bivektorëve mbi një hapësirë vektoriale reale është ndërtuar ngaGähler[15]. Le të jetë X një hapësirë vektoriale reale, me përmasë më të madhe se 1.

Shënojmë me XB¹ bashkësinë e gjithë shprehjeve formale të trajtësn

i ii

x y

, ku

, , 1 ,2 ,...,n ,i ix y i janë n vektorë të hapësirës X. Përcaktojmë në XB¹ relacionin “ ~ “

sipas skemës :n

i ii

x y

~m

j jj

z w atëhere dhe vetëm atëhere kur për çdo dy funksione

vektoriale T dhe G në X ka vend barazimi

n m

.

i i i i i i i ii j

T x G y T y G x T z G w T w G z

Relacioni ~ është një relacion ekuivalence në XB¹ [14].

Shënojmë me XB hapësirën herës XB¹ ~, në lidhje me relacionin ~.

Elementët e hapësirës XB quhen bivektorë mbi hapësirën X dhe elementët e bashkësisë

XB¹që i përkasin një bivektori quhen përfaqësues të këtij bivektori[14].

Bivektori me përfaqësuesn

i ii

x y

, shënohet me simbolinn

i ii

b x y

[14].

N.q.s. një bivektor ka një përfaqësues të formës1

i ii

x y

1 1x y , atëhere ai quhet i

thjeshtë. Vetëm në rastin kur hapësira X ka përmasë jo më të madhe se 3, atëhere çdo

bivektor mbi hapësirën X është i thjeshtë. Bivektori 0 0b quhet bivektor zero. [14].

Përcaktojmë në XB veprimet e mbledhjes dhe shumëzimit me skalar sipas barazimeve :

n m m n

i i i n i n i ii i i

b x y b x y b x y

,

, .n n

i i i ii i

b x y b x y

Bashkësia XB së bashku me veprimet e mësipërme formon një hapësirë vektoriale

reale, të cilën e quajmë hapësira e bivektorëve mbi hapësirën vektoriale X[14].Duke shfrytëzuar konceptin e bivektorëve, të ndërtuar si më sipër, nëpërmjet pohimeve tëmëposhtëm tregohen disa lidhje ndërmjet hapësirave vektoriale të normuara dhehapësirave vektoriale të 2 – normuara.

- 18 -

Kanë vend këto teorema :

TEOREMË 1.17.[14]

N.q.s është një normë në hapësirën XB , atëhere barazimi :

,x y b x y , , x y X ,

përcakton një 2 – normë në hapësirën X.

TEOREMË 1.18.[14]N.q.s. të gjithë bivektorët mbi hapësirën X janë të thjeshtë, d.m.th. n.q.s. hapësira X ështëme përmasë jo më të madhe se 3, atëhere për çdo 2 – normë , në X, ekziston një

normë në XB , e tillë që është i vërtetë barazimi ,b x y x y , , x y X .

Ekziston një shembull[14], me anë të të cilit tregohet se n.q.s. , ,X është një

hapësirë vektoriale e 2 – normuar, e tillë që përmasa e X është më e madhe se 3, atëhere

nëpërgjithësi nuk sigurohet një normë në XB , e tillë që është i vërtetë barazimi :

,b x y x y , për çdo dy pika , x y X .

- 19 -

KAPITULLI 2

KONVEKSITETI RIGOROZ

Në këtë kapitull, fillimisht, tregohet se si shtrihet koncepti i konveksitetit rigoroz ngahapësirat vektoriale të normuara në hapësirat vektoriale të 2 – normuara, duke vazhduarmë tej me dhënien e disa karakterizimeve ekuivalente për konceptin e konveksitetitrigoroz për hapësirat vektoriale të 2 – normuara, të njohura në literaturën bashkëkohore.Së dyti, në këtë kapitull, paraqiten disa rezultate të reja në hapësirat vektoriale të2 – normuara rigorozisht konvekse, të fituara nga ana jonë. Këto rezultate japin disakarakterizime ekuivalente të konceptit të konveksitetit rigoroz për hapësirat vektoriale të2 – normuara, me anën e koncepteve të p – gjysmë – prodhimit të brëndshëm dhe tëpasqyrimit dual për hapësirat vektoriale të 2 – normuara.

&2.1. NJOHURI PARAPRAKE.Shënojmë me fushën e numrave kompleksë ose fushën e numrave realë dhe letë jetë X një hapësirë vektoriale mbi fushën e skalarëve .

PËRKUFIZIM 2.1.1.[ 17]Hapësira vektoriale e normuar ,X quhet rigorozisht konvekse n.q.s. është i

vërtetë pohimi :

N.q.s. x y x y dhe 1 x y , atëhere x y.

Disa nga karakterizimet ekuivalente më të njohura të konceptit të konveksitetit rigorozpër hapësirat vektoriale të normuara janë dhënë në [17] :

(2) N.q.s. x y x y dhe , ,x y atëhere ekziston , e tillë që y x.

(1) N.q.s. 1x y dhe x y atëhere 1x y .

Duke patur si qëllim studimin e hapësirave të Banahut me anën e koncepteve të ndërtuarnë hapësirat Hilbertiane, Lumer[28] ndërtoi në një hapësirë vektoriale konceptin egjysmë – prodhimit të brëndshëm. Gjysmë – prodhimet e brëndshme, të cilët mund tëpërcaktohen natyrshëm në hapësirat e normuara, luajnë një rol të rëndësishëm përpërshkrimin e vetive gjeometrike të këtyre hapësirave.

PËRKUFIZIM 2.1.2.[28]

Funksioni : X X , i cili plotëson kushtet e mëposhtëme :

(SIP1) Për çdo tri pika , , x y z X , kemi që

x + y z x z y z ,

(SIP2) Për çdo dy pika , x y X dhe për çdo skalar , kemi që

x y x y ,

(SIP3) Për çdo pikë x X dhe 0x , kemi që 0x x >

,

(SIP4) Për çdo dy pika , , x y z X , kemi që2

x y x x y y

,

quhet një gjysmë – prodhim i brëndshëm në X. Në këtë rast, çifti i rradhitur

,X quhet një hapësirë gjysmë – prodhim i brëndshëm.

- 20 -

Në [28] është treguar lidhja që ekziston ndërmjet hapësirave vektoriale të normuara dhehapësirave gjysmë – prodhim i brëndshëm :N.q.s. ,X është një hapësirë gjysmë – prodhim i brëndshëm, atëhere

barazimi1 / 2

x x x , x X , përcakton një normë në X. Në këtë rast, norma

quhet norma shoqëruese e gjysmë – prodhimit të brëndshëm .

Anasjelltas, çdo hapësirë vektoriale e normuar ,X mund të shndërrohet

(në përgjithësi në një pafundësi mënyrash të ndryshme) në një hapësirë gjysmë – prodhimi brëndshëm. Në këtë rast, gjysmë – prodhimi i brëndshëm i ndërtuar gëzon vetinë

2x x x

, x X dhe thuhet se është i pajtueshëm me normën e dhënë .

Natyrshëm lindin dy pyetje[28] :1) Kur një hapësirë gjysmë – prodhim i brëndshëm është një hapësirë Hilbertiane?

2) Kur në një hapësirë vektoriale të normuar ,X gjysmë – prodhimi i

brëndshëm , i lindur nga norma , është i vetëm?

Përgjigjen e këtyre pyetjeve e jep teorema e mëposhtëme :TEOREMË 2.1.1.[28]

Çdo hapësirë Hilbertiane mund të shndërrohet (në një mënyrë të vetme) në njëhapësirë gjysmë – prodhim i brëndshëm. Një gjysmë – prodhim i brëndshëm është njëprodhim i brëndshëm atëhere dhe vetëm atëhere kur norma shoqëruese egjysmë – prodhimit të brëndshëm kënaq rregullin e paralelogramit.

Në [2] dhe [40] janë fituar disa karakterizime ekuivalente të konceptit të konveksitetitrigoroz për hapësirat vektoriale të normuara me anën e konceptit të gjysmë – prodhimit tëbrëndshëm :

(1) N.q.s.

x y x y dhe , x y atëhere gjejmë një , e tillë që y x.

(2) N.q.s. y z y dhe z y atëhere 0z .

(3) N.q.s. y z y dhe

z y atëhere 0z .

Charles Diminnie, Siegfried Gähler dhe Albert White[7], në vitin 1974, ndërtuankonceptin e konveksitetit rigoroz për hapësirat vektoriale të 2 – normuara dhe prezantuandisa karakterizime ekuivalente të këtij koncepti.Që nga ajo kohë, në vitet në vazhdim, janë fituar shumë rezultate të rëndësishme nëhapësirat vektoriale të 2 – normuara rigorozisht konvekse [3], [4], [8], [10], [12], [13],[20], [21], [22], [24], [25], [26], [43],etj.Le të japim tani përkufizimin e hapësirave vektoriale të 2 – normuara rigorozishtkonvekse dhe le të verejmë se si karakterizimet e dhëna më sipër mbi konveksitetinrigoroz në hapësirat vektoriale të normuara shtrihen edhe në hapësirat vektoriale të2 – normuara.Koncepti i konveksitetit rigoroz për hapësirat vektoriale të 2 – normuara është njëkoncept 2 – përmasor dhe i ngjashëm me konceptin e konveksitetit rigoroz për hapësiratvektoriale të normuara.

- 21 -

N.q.s. X është një hapësirë vektoriale dhe , ,...,x y z X , atëhere me simbolin

, ,...,x y z shënojmë nënhapësirën vektoriale të X, e lindur nga vektorët , , ...,x y z


Supozojmë se , ,X është një hapësirë vektoriale e 2 – normuar dhe le të jenë

, , x y z X . Hapësira , ,X quhet rigorozisht konvekse n.q.s. është i vërtetë

pohimi :

N.q.s. , , , , , 1x y z x z y z x z y z dhe ,z V x y ,

atëhere x y.

SHEMBULL 2.1.1.[14]

Ndërtojmë funksionin , : X X , ku3 X , sipas barazimit :

2 2 21 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1,x y a b a b b c b c a c a c ,

1 1 1 2 2 2, , , , , .x a b c y a b c X

Funksioni , është një 2 – normë në X dhe hapësira vektoriale e 2 – normuar

, ,X është rigorozisht konvekse.

Duke shfrytëzuar konceptin e bivektorëve, të ndërtuar në kapitullin 1, në [14] janë dhënëdisa lidhje ndërmjet hapësirave vektoriale të normuara rigorozisht konvekse dhehapësirave vektoriale të 2 – normuara rigorozisht konvekse.Supozojmë se X është një hapësirë vektoriale reale me përmasë më të madhe se 1.

Le të jetë një normë në XB dhe , një 2 – normë në X, të tilla që

,b x y x y , për çdo dy pika , x y X .

Kanë vend pohimet e mëposhtëme[14] :

(i) N.q.s. hapësira vektoriale e normuar ,XB është rigorozisht konvekse, atëhere

hapësira vektoriale e 2 – normuar , ,X është rigorozisht konvekse.

(ii) N.q.s X është me përmasë jo më të madhe se 3 dhe hapësira vektoriale e 2 – normuar

, ,X është rigorozisht konvekse, atëhere hapësira vektoriale e normuar

,XB është rigorozisht konvekse.

N.q.s. hapësira vektoriale reale X është me përmasë 2, atëhere hapësira vektoriale reale

XB është me përmasë 1. Meqenëse çdo hapësirë vektoriale e normuar me përmasë 1

është rigorozisht konvekse, atëhere nga vërtetësia e pohimeve të mësipërme rrjedh se çdohapësirë vektoriale e 2 – normuar me përmasë 2 është rigorozisht konvekse[14].

Nga ana tjetër, ekzistojnë hapësira vektoriale të 2 – normuara, të cilat nuk janë rigorozishtkonvekse[14](Shembullin e një hapësire të tillë do ta japim në kapitullin 4).

- 22 -

Në [7], [24] dhe [26] janë fituar disa karakterizime ekuivalente të konveksitetit rigorozpër hapësirat vektoriale të 2 – normuara. Kanë vend këto teorema :

TEOREMË 2.1.2.[7]


, , .x y z X Pohimet e mëposhtëme janë ekuivalente :

(1) , ,X është rigorozisht konvekse.

(2) Për çdo 0z X , hapësira vektoriale e normuar ,z zX është

rigorozisht konvekse.

(3) N.q.s. , , ,x y z x z y z dhe ,z x y ,

atëhere ekziston 0, e tillë që y x.

(4) N.q.s. , , , 1 , x w z x y z y w z x y z

dhe ,z V x w y w , atëhere 1w x y .

(5) N.q.s. , , 1,x z y z x y dhe ,z x y ,

atëhere , 1 .x y z

TEOREMË 2.1.3.[24],[26]




(2) N.q.s. 1, , ,

2x y z x z y z dhe ,z x y , atëhere x y.

(3) N.q.s.1

, , , 02

x y z x z y z dhe x y ,

atëhere ekziston 0, e tillë që z x y .

(4) N.q.s. , 2 ,x y z x z , ku ,z x y dhe,

,

x z

y z

,

atëhere x y .


atëhere , ,y z x x z y .

(6) N.q.s.1

, , , 02


atëhere , 0x y dhe ,

.,

x z x yz

x y

(7) N.q.s. , , 0w x z w y z , për çdo w X , atëhere x y .


atëhere ekziston 0,s e tillë që x sy .

- 23 -

& 2.2. DISA KARAKTERIZIME EKUIVALENTE TË KONCEPTIT TËKONVEKSITETIT RIGOROZ PËR HAPËSIRAT VEKTORIALE TË2 – NORMUARA, ME ANËN E KONCEPTIT TË p – GJYSMË –PRODHIMIT TË BRËNDSHËM.

Koncepti i 2 – prodhimit të brëndshëm, një koncept 2 – përmasor dhe i ngjashëm mekonceptin e prodhimit të brëndshëm, është ndërtuar nga C.Diminnie, S. Gähler dheA. White [9].

PËRKUFIZIM 2.2.1.[9]Le të jetë X një hapësirë vektoriale reale, me përmasë më të madhe se 1.

Funksioni 3: X , i cili plotëson kushtet e mëposhtëme :

(2IP1) Për çdo dy vektorë ,x y X , kemi që :

(i) , 0 x x y , (ii) , 0 x x y x dhe y janë linearisht të varur,

(2IP2) Për çdo dy vektorë ,x y X , kemi që , , x x y y y x ,

(2IP3) Për çdo tri vektorë , ,x y z X , kemi që , , x y z y x z ,

(2IP4) Për çdo tri vektorë , ,x y z X dhe për çdo , kemi që , , x y z x y z ,

(2IP5) Për çdo katër vektorë 1 2, , ,x x y z X , kemi që1 2 1 2, , , , x +x y z x y z x y z

quhet një 2 – prodhim i brëndshëm në X. Në këtë rast, çifti i rradhitur ,X

quhet një hapësirë 2 – prodhim i brëndshëm (ose një hapësirë 2 – para – Hilbertiane).

Në [9] është dhënë lidhja që ekziston ndërmjet hapësirave vektoriale të 2 – normuara dhehapësirave 2 – prodhim i brëndshëm :

N.q.s. ,X është një hapësirë 2 – prodhim i brëndshëm, atëhere barazimi :

1 / 2, , x y x x y , ,x y X ,

përcakton një 2 – normë në X, të cilën e quajmë 2 – norma shoqëruese e 2 – prodhimit të

brëndshëm . Në këtë rast, për çdo tri vektorë , ,x y z X , kanë vend

barazimet :

2 21, , ,

4x y z x y z x y z

,

2 2 2 2, , 2 , , .x y z x y z x z y z

Anasjelltas, n.q.s. , ,X është një hapësirë vektoriale e 2 – normuar, në të

cilën plotësohet kushti 2 2 2 2, , 2 , ,x y z x y z x z y z

, , ,x y z X ,

atëhere barazimi :

2 21, , ,

4x y z x y z x y z

, , ,x y z X ,

përcakton një 2 – prodhim të brëndshëm në X.

- 24 -

Duke komentuar rezultatet e mësipërme, mund të pohojmë se hapësirat 2 – prodhim ibrëndshëm janë një rast i veçantë i hapësirave vektoriale të 2 – normuara, në të cilatfunksioni 2 – normë plotëson një kusht, i ngjashëm me rregullin e paralelogramit tekhapësirat vektoriale të normuara.Gjithashtu, në [8] tregohet se hapësirat 2 – prodhim i brëndshëm janë hapësira vektorialetë 2 – normuara rigorozisht konvekse.

Koncepti i 2 – gjysmë – prodhimit të brëndshëm, një koncept 2 – përmasor dhe ingjashëm me konceptin e gjysmë – prodhimit të brëndshëm, është ndërtuar ngaA. Siddiqui dhe S. Rizvi [32].

Koncepti i p – gjysmë – prodhimit të brëndshëm, një koncept 2 –përmasor, është ndërtuarnga I. Franić [12] dhe është një përgjithësin i konceptit të 2 – gjysmë – prodhimit tëbrëndshëm.

Y.Ho dhe A.White [22], i bënë një modifikim të vogël përkufizimit të p – gjysmë –prodhimit të brëndshëm të dhënë nga I. Franić, duke bërë që të fitoheshin shumë rezultate të rëndësishme në hapësirat p – gjysmë – prodhim i brëndshëm.

PËRKUFIZIM 2.2.2.[22]Le të jetë X një hapësirë vektoriale reale , me përmasë më të madhe se 1.

Funksioni 3, : X , i cili plotëson kushtet e mëposhtëme :

(PSIP1) Për çdo dy vektorë ,x y X , kemi që :

(i) , 0x x y

; (ii) , 0x x y

x dhe y janë linearisht të varur,

(PSIP2) Për çdo tri vektorë , ,x y z X dhe për çdo , kemi që , ,x y z x y z ,

(PSIP3) Për çdo katër vektorë 1 2, , ,x x y z X , kemi që 1 2 1 2, , , , x +x y z x y z x y z

(PSIP4) Për çdo tri vektorë , ,x y z X , kemi që :

1 / 1 /, , , , 1,

p p px y z x x z y y z p

,

quhet një p – gjysmë – prodhim i brëndshëm në X. Në këtë rast, çifti i rradhitur

, ,X quhet një hapësirë p – gjysmë – prodhim i brëndshëm.

Për p = 2, p – gjysmë – prodhimi i brëndshëm nuk është gjë tjetër veçse një2 – gjysmë – prodhim i brëndshëm.

Në [22] tregohet lidhja që ekziston ndërmjet hapësirave vektoriale të 2 – normuara dhehapësirave p – gjysmë – prodhim i brëndshëm :

N.q.s. , ,X është një hapësirë p – gjysmë – prodhim i brëndshëm, që gëzon

vetinë , ,x x y y y x

, ,x y X , atëhere barazimi :

, ,

px y x x y , ,x y X ,

përcakton një 2 – normë në X, e cila e quhet 2– norma shoqëruese e p – gjysmë –

- 25 -

prodhimit të brëndshëm , .

Anasjelltas, çdo hapësirë vektoriale e 2 – normuar , ,X mund të shndërrohet

(në përgjithësi, në një pafundësi mënyrash të ndryshme) në një hapësirë p – gjysmë –prodhim i brëndëshëm. Në këtë rast, p – gjysmë – prodhimi i brëndëshëm i ndërtuar

, gëzon vetinë :

, ,p

x x y x y

, ,x y X .

dhe thuhet se është i pajtueshëm me 2 – normën e dhënë , .

Meqenëse hapësirat 2 – prodhim i brëndshëm janë një rast i veçantë i hapësirave

vektoriale të 2 – normuara dhe çdo hapësirë vektoriale e 2 – normuar , ,X

mund të shndërrohet në një hapësirë p – gjysmë – prodhim i brëndëshëm, lind pyetja :- Kur një p – gjysmë – prodhim i brëndëshëm është një 2 – prodhim i brëndëshëm ?Përgjigjen e pyetjes që ngritëm e jep teorema e mëposhtëme :

TEOREMË 2.2.1.[22]

Le të jetë , , X një hapësirë p – gjysmë – prodhim i brëndshëm.

N.q.s p – gjysmë – prodhimi i brëndshëm , , për çdo , ,x y z X dhe për çdo

, plotëson kushtet :

x y z x y z , 1 2 1 2, , ,

x y y z x y z x y z , , ,x x y y y x

,

atëhere p – gjysmë – prodhimi i brëndëshëm , është një 2 –prodhim i brëndëshëm.

Në [26] janë fituar disa karakterizime ekuivalente të konveksitetit rigoroz në hapësiratvektoriale të 2 – normuara, me anën e konceptit të 2 – gjysmë – prodhimit të brëndëshëm.Ka vend kjo teoremë :

TEOREMË 2.2.2.[26]

Le të jetë , ,X një hapësirë vektoriale e 2 – normuar dhe , një

2 – gjysmë – prodhim i brëndshëm në X, i pajtueshëm me 2 – normën e dhënë , .

Supozojmë se , , .x y z X Pohimet e mëposhtëme janë ekuivalente :


(2) N.q.s. , , ,

x y z x z y z dhe ,z x y , atëhere x y .

(3) N.q.s. , , , x y z x z y z dhe ,z x y , atëhere x y .

(4) N.q.s. , ,w x z w y z , për çdo w X dhe , ,z x y w , atëhere x y .

(5) N.q.s. ekziston 0 , e tillë që , ,x y z x z

dhe ,z x y ,

atëhere x y dhe 1 n.q.s. , ,x z y z .

- 26 -

(6) N.q.s. , , ,x y z x z y z 0 dhe x y ,

atëhere ekziston 0, e tillë që z x y .

(7) N.q.s. , , ,x y z x z y z

dhe ,z x y , atëhere , ,y z x x z y .

(8) N.q.s. , , ,x y z x z y z 0

dhe x y ,


.,

x z x yz

x y

Në [12] dhe [22] janë fituar disa karakterizime ekuivalente të konveksitetit rigoroz përhapësirat vektoriale të 2 – normuara, me anën e konceptit të p – gjysmë – prodhimit tëbrëndëshëm. Kanë vend këto teorema :

TEOREMË 2.2.3.[22]

Le të jetë , , X një hapësirë 2 – gjysmë – prodhim i brëndshëm, që gëzon

vetinë , ,x x y y y x

, ,x y X . Supozojmë se , është 2 – norma

shoqëruese e p – gjysmë – prodhimit të brëndshëm , dhe le të jenë , , x y z X .

Pohimet e mëposhtme janë ekuivalente :


(2) N.q.s. , , y z x y x dhe ,z y x

atëhere vektorët x dhe z janë linearisht të varur.

(3) N.q.s. , , y z x y x dhe ,z y x atëhere vektorët x dhe z janë linearisht të varur.

(4) N.q.s. T është një operator linear në X, tillë që w T w x w x për çdo

vektor w X dhe ,Ty y x atëhere vektorët Ty dhe z janë linearisht të varur.

TEOREMË 2.2.4.[12]


p – gjysmë – prodhim i brëndshëm në X, i pajtueshëm me 2 – normën e dhënë , .



(2) N.q.s. 1/ 1 /

, , ,p p p

x y z x x z y y z

, , ,x z y z dhe

,z x y , atëhere x y .

Shënojmë se rezultatet e fituara në teoremën 2.2.3. janë shtrirje në hapësirat vektoriale të2 – normuara rigorozisht konvekse e disa rezultateve të fituara në hapësirat vektoriale tënormuara rigorozisht konvekse[2],[40].

- 27 -

Të motivuar nga rezultatet e teoremave 2.2.2., dhe 2.2.4., po paraqesim më poshtë disarezultate të arritura nga ana jonë, të cilat janë një përgjithësim i këtyre teoremave dhejapin disa karakterizime ekuivalente të konveksitetit rigoroz në hapësirat vektoriale të2 – normuara, me anën e konceptit të p – gjysmë – prodhimit të brëndëshëm.

TEOREMË 2.2.5.[34]




(a) , ,X është rigorozisht konvekse.

(b) N.q.s. 1, , ,

p

x y z x z y z dhe ,z x y ,


VËRTETIM.Fillimisht le të tregojmë se ka vend implikimi (a) (b).Supozojmë se pohimi (a) është një pohim i vërtetë, d.m.th. supozojmë se hapësira

, ,X është rigorozisht konvekse. Le të jenë , ,x y z X , të tillë që :

1, , ,

p

x y z x z y z dhe ,z V x y .

Mund të shkruajmë që : 1 / /1

, , , ,

p p ppx y z y z x y x y z y y z

, , ,x y y z x y z y y z

1 1, , , , , ,

p p p px z y z y z x z y z y z

1 1, , , ,

p px z y z y z y z

1, , , ,

py z x z y z

nga ku rrjedh se , , ,x y z x z y z . (i)

Meqenëse , ,X është një hapësirë vektoriale e 2 – normuar dhe , ,x y z X ,

atëhere ka vend mosbarazimi , , ,x y z x z y z . (ii)

Nga mosbarazimet (i) dhe (ii) nxjerrim se , , ,x y z x z y z .

Meqenëse , ,X është një hapësirë vektoriale e 2 – normuar rigorozisht

konvekse dhe ,z x y , atëhere në bazë të teoremës 2.1.2. rrjedh se ekziston 0 ,

e tillë që y x. Pra, pohimi (b) është një pohim i vërtetë.

Le të tregojmë tani se ka vend implikimi (b) (a).Supozojmë se pohimi (b) është një pohim i vërtetë, d.m.th supozojmë se :

Për , ,x y z X , n.q.s. 1, , ,

p



- 28 -

Le të jenë , ,x y z X , të tillë që , , , x y z x z y z dhe ,z x y .


, , , ,

, ,

px y z x y x y z x x y z y x y z

x x y z y x y

z

1 / 1 / 1 / 1 /, , , ,

p p p p p px x z x y x y z y y z x y x y z

1 1

1

, , , ,

, , , , .

p p

p p

x z x y z y z x y z

x y z x z y z x y z

Prej këndej rrjedh se kanë vend barazimet :1

, , ,p

x x y z x z x y z

(iii)

dhe1

, , , .p

y x y z y z x y z

(iv)

Meqenëse ka vend implikimi :

, ,z x y z x y y ,

atëhere, nga vërtetësia e pohimit (b), barazimeve (iii) dhe (iv) rrjedh se ekzistojnë numratrealë pozitivë 1 dhe 1 , të tillë që 1x y x dhe 1x y y (v).

Nga barazimet (v) nxjerrim se 11 1

1

,x y y x x

ku 1

1

0 .

Në bazë të teoremës 2.1.2. rrjedh se hapësira vektoriale e 2 – normuar , ,X

është rigorozisht konvekse, d.m.th. pohimi (a) është një pohim i vërtetë. ▄

Mund të ndjekim edhe një rrugë tjetër, për të treguar se ka vend implikimi (b) (a).Për këtë le të marrim në shqyrtim pohimin (2) tek teorema 2.2.4. Nga kjo teormë rrjedhse ka vend implikimi (2) (a). Mjafton të provojmë se ka vend implikimi (b) (2).Supozojmë se pohimi (b) është një pohim i vërtetë, d.m.th supozojmë se :

Për , ,x y z X , n.q.s. 1, , ,

p

x y z x z y z dhe ,z x y , atëhere ekziston

0, e tillë që y x.

Le të jenë , ,x y z X , të tillë që :

1 / 1 /, , ,

p p px y z x x z y y z

, , , x z y z dhe ,z x y .

Meqenëse 1/ 1 / 1

, , , , ,p p p p

x x z x z y y z y z

dhe ,z x y , atëhere,

nga vërtetësia e pohimit (b), ekziston 0, e tillë që y x. Nga ana tjetër , meqenëse

, , x z y z , 0 dhe y x , kemi se :

, , , y z x z x z

nga ku nxjerrim se x y . Pra, pohimi (2) është një pohim i vërtetë. Pra, ka vend

implikimi (b) (2). Si përfundim, ka vend implikimi (b) (a).

- 29 -

TEOREMË 2.2.6.[34]





(2) N.q.s. , , ,

x y z x z y z dhe ,z x y , atëhere .x y

(3) N.q.s. , , ,

p p


(4) N.q.s. , ,

w x z w y z , për çdo w X dhe ,z x y , atëhere .x y

(5) N.q.s. 1, , ,

px y z x z y z dhe ,z x y ,

atëhere , , y z x x z y .

VËRTETIM. Mjafton të provojmë që kanë vend këto implikime :

(1) (5) (3) (4) (1) dhe (5) (2) (1).

(1) (5)

Supozojmë se pohimi (1) është një pohim i vërtetë, d.m.th. supozojmë se hapësira


1, , ,

px y z x z y z dhe ,z x y .


1 1 1, , , , , , ,

p p px z y z y z x z y z y z y z

, , , ,x y z y y z x y y z x y y z

11 /

1

, , , ,

, , , ,

p pp p

p

x y x y z y y z x y z y z

x z y z y z

nga ku nxjerrim se , , , x y z x z y z .

Nga vërtetësia e pohimit (1), prej barazimit të mësipërm dhe supozimit që ,z x y , në

bazë të teoremës 2.1.3., do të marrim që , , .y z x x z y

Pra, pohimi (5) është një pohim i vërtetë.

(5) (3)

Supozojmë se pohimi (5) është një pohim i vërtetë, d.m.th supozojmë se :

Për , ,x y z X , n.q.s. 1, , ,

p




, , ,p p

x y z x z y z

dhe ,z x y .

Meqenëse ka vend implikimi i mëposhtëm :

- 30 -

, , , ,

p p

x z y z x z y z ,

atëhere mund të shkruajmë që :1 1

, , , , , , .

p p p

x y z y z y z y z x z y z

Nga vërtetësia e pohimit (5), prej barazimit të mësipërm dhe supozimit që ,z x y ,

do të marrim që , , .y z x x z y Meqenëse , , x z y z , rrjedh se .x y


(3) (4)


Për , ,x y z X , n.q.s. , , ,

p p


Le të jenë , ,x y z X , të tillë që , ,w x z w y z

, për çdo w X dhe , ,z x y w .

N.q.s. w x , atëhere , , .x x z x y z Në këtë rast mund të shkruajmë që :

1

1 / 1 / 1

, , , , , ,

, , , ,

p p

p p p p

x z x z x z x x z x y z x y z

x x z y y z x z y z

nga ku nxjerrim se1 1

, ,p p

x z y z

Në mënyrë të ngjashme, n.q.s. w y , atëhere do të marrim që1 1

, ,p p

y z x z

Përfundimisht, kemi që 1 1, ,

p px z y z ,

ose, gjë që është e njëvlershme, , ,p p

x z y z

. Meqenëse ka vend barazimi

, , ,p p

x y z x z y z

dhe implikimi , , ,z x y w z x y , atëhere

nga vërtetësia e pohimit (3) do të marrim që .x y


(4) (1)

Supozojmë se pohimi (1) nuk është një pohim i vërtetë, d.m.th. supozojmë se hapësira

, ,X nuk është rigorozisht konvekse. Në bazë të teoremës 2.1.3. rrjedh se, në

përgjithësi :

Për , ,x y z X , n.q.s.1

, , ,2


atëhere .x y

Të provojmë se pohimi (4) nuk është një pohim i vërtetë.Le të jenë , ,x y z X , të tillë që :

, ,w x z w y z

, për çdo w X dhe , ,z V x y w .

Duke vepruar krejt njëlloj siç vepruam në rastin kur provuam vërtetësinë e implikimit

(3) (4), do të marrim që kanë vend barazimet:

, ,x z y z dhe 1, , ,

px y z x z y z .

- 31 -


(1) (5), do të marrim që kanë vend barazimet:

1, , ,

2x y z x z y z .

Meqenëse ka vend implikimi , , ,z x y w z x y , atëhere nga supozimi i bërë në

fillim rrjedh se në përgjithësi .x y Pra, pohimi (4) nuk është një pohim i vërtetë.

(5) (2)


Për , ,x y z X , n.q.s. 1, , ,

p



Le të jenë , ,x y z X , të tillë që , , ,x y z x z y z

dhe ,z x y .

Atëhere, mund të shkruajmë që 1, , ,

p

x y z x z y z

Meqenëse ,z x y , nga vërtetësia e pohimit (5) do të marrim që , , .y z x x z y

Por, nga kushti kemi që , ,x z y z , prandaj rrjedh se .x y

(2) (1)

Supozojmë se pohimi (1) nuk është një pohim i vërtetë, d.m.th. supozojmë se hapësira

, ,X nuk është rigorozisht konvekse. Në bazë të përkufizimit 2.1.2. rrjedh se,

në përgjithësi :


, , , 12


atëhere .x y

Të provojmë se pohimi (2) nuk është një pohim i vërtetë. Le të jenë , ,x y z X , të tillë që :

, , ,x y z x z y z

dhe ,z x y .

Atëhere, ka vend implikimi i mëposhtëm :

, , , , , , .

p

x y z x z y z x y z x z y z


(1) (5), do të marrim që kanë vend barazimet1

, , , 12

x y z x z y z .

Meqenëse ,z x y , atëhere nga supozimi i bërë në fillim rrjedh se në përgjithësi .x y

Pra, pohimi (2) nuk është një pohim i vërtetë. ▄

TEOREMË 2.2.7.[37]




(a) , ,X është rigorozisht konvekse.

- 32 -

(b) N.q.s. ekziston 0 , e tillë që 1 , ,pp x y z x z

dhe ,z x y ,


(c) N.q.s. 1, , ,

px y z x z y z

dhe ,z x y ,

atëhere ekziston 0 , e tillë që x y .

(d) N.q.s. , , , 0p p

x y z x z y z

dhe x y ,

atëhere ekziston 0 , e tillë që z x y .

(e) N.q.s. , , , 0p p

x y z x z y z

dhe x y ,


.,

x z x yz

x y

VËRTETIM. Provojmë fillimisht që kanë vend këto implikime :

(e) (d) (a) (e).

(e) (d)

Supozojmë se pohimi (e) është një pohim i vërtetë, d.m.th. supozojmë se :

Për , ,x y z X , n.q.s. , , , 0p p


atëhere , 0x y dhe ,.

,

x z x yz

x y

Le të jenë , ,x y z X , të tillë që , , , 0p p

x y z x z y z dhe x y .

Nga vërtetësia e pohimit (e) rrjedh se ,.

,

x z x yz

x y

Nga ana tjetër, meqenëse

, 0p

x z

, rrjedh se , 0x z . Prej këndej duke shënuar,

,,

x z

x y

do të nxjerrim se 0 . Duke zëvëndësuar, do të marrim që z x y , ku 0 .

Pra, pohimi (d) është një pohim i vërtetë.

(a) (e)

Supozojmë se pohimi (a) është një pohim i vërtetë, d.m.th. supozojmë se hapësira


, , , 0p p

x y z x z y z

dhe x y .

Meqenëse , , , 0 ,p p

x y z x z y z atëhere nxjerrim se :

1, 0

py z

dhe 1

, , ,p

x y z x z y z

.

Mund të shkruajmë që : 1 / /1

, , , ,

p p ppx y z y z x y x y z y y z

, , ,x y y z x y z y y z

- 33 -

1 1, , , , , ,

p p p px z y z y z x z y z y z

1 1, , , ,

p px z y z y z y z 1

, , , ,p

y z x z y z

nga ku rrjedh se , , ,x y z x z y z . (i)



Nga mosbarazimet (i) dhe (ii) nxjerrim se , , ,x y z x z y z .

Meqenëse , , 0p p

x z y z

, atëhere , , 0x z y z , prandaj :

1, , , 0

2x y z x z y z .

Nga kushti kemi që x y . Atëhere, në bazë të teoremës 2.1.3., nxjerrim se , 0x y

dhe ,

.,

x z x yz

x y

Pra, pohimi (e) është një pohim i vërtetë.

(d) (a)

Supozojmë se pohimi (a) nuk është një pohim i vërtetë , d.m.th. supozojmë se hapësira

, ,X nuk është rigorozisht konvekse. Të provojmë se pohimi (d) nuk është

një pohim i vërtetë. Në bazë të teoremës 2.1.3., nga supozimi i bërë, rrjedh se, nëpërgjithësi :


, , , 02


atëhere për çdo 0, kemi që z x y .

Le të jenë , ,x y z X , të tillë që , , , 0p p

x y z x z y z dhe x y .

Duke u mbështetur në vërtetimin e implikimit (a) (e) rrjedh se :

1, , , 0

2x y z x z y z

Prej këndej, duke patur parasysh se x y , nxjerrim se në përgjithësi për çdo 0,

kemi që z x y . Pra, pohimi (d) nuk është një pohim i vërtetë.

Duke përmbledhur, mund të deklarojmë që pohimet (a), (e) dhe (d) janë ekuivalente.Le të marrim tani në shqyrtim pohimet (2),(3) dhe (5) tek teorema 2.2.6.

Të provojmë që kanë vend këto implikime : (2) (b) (5) (c) (3).

(5) (c)


Për , ,x y z X , n.q.s. 1, , ,

p




- 34 -

1, , ,

p

x y z x z y z dhe ,z x y .

Nga vërtetësia e pohimit (5) nxjerrim që , ,y z x x z y . (iii)

Nga ana tjetër, meqenëse ,z x y , rrjedh se , 0x z dhe , 0.y z

Nga barazimi (iii) marrim që x y , ku ,0 .

,

x z

y z

Pra, pohimi (c) është një pohim i vërtetë.

(c) (3)

Supozojmë se pohimi (c) është një pohim i vërtetë, d.m.th supozojmë se :


, , , p



Le të jenë , ,x y z X , të tillë që , , ,p p

x y z x z y z

dhe ,z x y .


1 1

, , , ,

, , , , , ,

p p

p p p

x z y z x z y z

x y z x z x z x z x z y z

Meqenëse ,z x y , nga vërtetësia e pohimit (c) nxjerrim se ekziston 0 , e tillë që

x y . Kanë vend implikimet e mëposhtme :

, , , , 1 .x z y z y z y z x y

Pra, Pra, pohimi (3) është një pohim i vërtetë.

(5) (b)



, , ,

p




Ekziston 0 , e tillë që 1 , ,pp x y z x z

dhe ,z x y

Mund të shkruajmë që :1

1 , , , , , .p

pp xx y z x z x y z x z z

Meqenëse : 1 / / 1

, , , , , ,

p p p px y z x y z x x z y y z x z y z ,

arrijmë në konkluzionin që , ,x

z y z . Në mënyrë të ngjashme, mund të

provojmë që , ,x

y z z

Përfundimisht, ka vend barazimi , ,x

z y z ,

nga ku nxjerrim se 1, , ,

px y z x z y z

.

- 35 -

Meqenëse ,z x y , nga vërtetësia e pohimit (5), nxjerrim se :

,, , .

,

x zy z x x z y x y

y z

Nga kushti , mund të shkruajmë që :

1 1

11

, ,, , ,

, ,

, ,, ,

,

p p p

pppp

x z x zx y x z x y z y y z

y z y z

x z y zx z y z

y z

1 ,, , .

,

p pp x zx z y z x y

y z

Është e qartë se 1 n.q.s. , ,x z y z . Pra, pohimi (b) është një pohim i vërtetë.

(b) (2)

Supozojmë se pohimi (b) është një pohim i vërtetë, d.m.th supozojmë se :

Për , ,x y z X , n.q.s. ekziston 0 , e tillë që 1 , ,pp x y z x z

dhe ,z x y ,

atëhere x y dhe 1 n.q.s. , , x z y z .


, , ,

x y z x z y z dhe ,z x y .

Mund të shkruajmë që :1, , , 1 1 , ,

ppx y z x z y z x y z x z

Meqenëse ,z x y , nga vërtetësia e pohimit (b), nxjerrim se x y .

Nga vërtetësia e teoremës 2.2.6., nxjerrim se pohimet (a), (b) dhe (c) janë pohimeekuivalente.Ky fakt kompleton vërtetimin e teoremës 2.2.7 ▄

- 36 -

& 2.3. DISA KARAKTERIZIME EKUIVALENTE TË KONCEPTIT TËKONVEKSITETIT RIGOROZ PËR HAPËSIRAT VEKTORIALE TË2 – NORMUARA, ME ANËN E KONCEPTIT TË PASQYRIMITDUAL PËR HAPËSIRAT VEKTORIALE TË 2 – NORMUARA

Të motivuar nga konceptet e funksionalit linear dhe të pasqyrimit dual për hapësiratvektoriale të normuara, A.White[42] dhe Y.Cho, K.Ha dhe W.Kim[4] ndërtuanpërkatësisht konceptet e 2 – funksionalit linear të kufizuar dhe të pasqyrimit dual përhapësirat vektoriale të 2 – normuara.

Le të jetë , ,X një hapësirë vektoriale e 2 – normuar dhe , dy

nënhapësira vektoriale të hapësirës X.

PËRKUFIZIM 2.3.1.[42]Çdo pasqyrim F , i cili plotëson kushtet :.

(1) , , , , ,F x z y w F x y F x w F z y F z w , , , ,x y z w ,

(2) , ,F x y F x y , ,x y dhe , ,

(3) Ekziston numri real jonegativ K, i tillë që ka vend mosbarazimi

, ,F x y K x y , ,x y ,

quhet një 2 – funksional linear i kufizuar.

PËRKUFIZIM 2.3.2.[42]Le të jetë F një 2 – funksional linear i kufizuar. Normë të

2 – funksionalit F quajmë numrin real jonegativ F , të përcaktuar sipas barazimit :

in f 0 / , , , ,F K F x y K x y x y .

Në [42] është treguar se n.q.s. F është një 2 – funksional linear ikufizuar, atëhere kanë vend pohimet e mëposhtëme :

(i) , ,F x y F x y , , .x y

(ii) N.q.s. ,x y dhe vektorët x,y janë linearisht të varur, atëhere , 0.F x y

Le të jetë 0 .b X Shënojmë me bX koleksionin e të gjithë 2 – funksionalëve

linearë të kufizuar, me bashkësi përcaktimi X b . Supozojmë se , bF G X .

Përcaktojmë në bX veprimet e mbledhjes dhe shumëzimit me skalar sipas barazimeve :

, , ,F G x b F x b G x b , x X dhe ,

, ,F x b F x b , x X dhe .

bX në lidhje me veprimet e përcaktuara më sipër formon një hapësirë vektoriale

reale[42].Rezultati i mëposhtëm është një rezultat i ngjashëm me teoremën Han – Banah nëAnalizën Funksionale.

- 37 -

Ka vend kjo teoremë :TEOREMË 2.3.1.[42]


, 0a b X . N.q.s. a dhe b janë linearisht të pavarur, atëhere ekziston një

2 – funksional linear i kufizuar F X b , i tillë që :

, ,F a b a b dhe 1.F

Le të kalojmë tani në ndërtimin e konceptit të pasqyrimit dual për hapësirat vektoriale të

2 – normuara. Le të jetë , ,X një hapësirë vektoriale e 2 – normuar dhe

0 .b X Shënojmë me bXP familjen e gjithë nënbashkësive të bX

.


Pasqyrimi bI X b X P , i përcaktuar sipas barazimit :

, / , ,bI x z F X F x z F x z , , , x z X b

quhet pasqyrim dual i tipit 'A .


Le të jetë një funksion gjysmë – pozitiv( dhe 0 0 ).

Pasqyrimi bJ X b X P , i përcaktuar sipas barazimit :

, / , , , ,bJ x z F X F x z F x z F x z ,

, , x z X b

quhet pasqyrim dual i tipit 'B .

Duke u mbështetur në teoremën 2.3.1. si dhe në përkufizimet 2.3.3., 2.3.4., rrjedh sepohimet e mëposhtme janë pohime të vërteta [4] :

(i) N.q.s. është një funksion gjysmë – pozitiv, atëhere , , ,J x z I x z për çdo

element , . x z X b

(ii) N.q.s , x z X b , atëhere , bI x z X .x b

(iii) , , ,I x z I cx dz për çdo , x z X b dhe për çdo dy numra realë , 0.c d

(iv) N.q.s , x z X b dhe x b , atëhere ekziston ,F I x z , e tillë që 0.F

(v) N.q.s. është një funksion gjysmë – pozitiv dhe 0 , ,F J x z ku

, x z X b dhe x b , atëhere ekziston 0c , e tillë që ,F J cx z .

- 38 -


Le të jetë , ,X një hapësirë vektoriale e 2 – normuar. Supozojmë se

0b X , , x z X b , , y z X b , x y , ,z x y dhe është një

funksion gjysmë – pozitiv syrjektiv dhe monoton rritës. Pasqyrim dual i tipit 'B

bJ X b X P quhet rigorozisht monoton n.q.s. ka vend mosbarazimi :

, 0, F G x y z 0 , F J x z , 0 , G J y z .

Në [10], [4] dhe [26] janë fituar disa karakterizime ekuivalente të konceptit tëkonveksitetit rigoroz për hapësirat vektoriale të 2 – normuara nëpërmjet konceptit tëpasqyrimit dual për hapësirat vektoriale të 2 – normuara, të ndërtuar sipas përkufizimeve2.3.3. dhe 2.3.4. Më poshtë po paraqesim disa prej tyre.Kanë vend këto teorema :

TEOREMË 2.3.2.[10],[4]


0b X . Pohimet e mëposhtme janë ekuivalente :


(2) N.q.s. 0 bF X , , x z X b , , y z X b ,

, ,F x z F y z F dhe , , 1,x z y z

atëhere ose x y ose , 0x y dhe .

,

x yz

x y

(3) N.q.s. bI X b X P është një pasqyrim dual i tipit 'A ,

, x z X b , , y z X b , , ,I x z I y z dhe ,z x y ,

atëhere ekziston 0 , e tillë që .y x

(4) N.q.s. 1 dhe 2 janë dy funksione gjysmë – pozitive syrjektive,

1 bJ X b X P dhe 2 bJ X b X

P janë dy pasqyrime duale të

tipit 'B , , x z X b , , y z X b , 1 2

, ,J x z J y z dhe

,z x y , atëhere ekziston 0 , e tillë që .y x

(5) N.q.s. është një funksion gjysmë – pozitiv syrjektiv dhe monoton rritës,

bJ X b X P është një pasqyrim dual i tipit 'B , , x z X b ,

, y z X b , , ,J x z J y z dhe ,z x y , atëhere .x y

(6) N.q.s. është një funksion gjysmë – pozitiv syrjektiv dhe monoton rritës,

atëhere pasqyrimi dual i tipit 'B bJ X b X P është rigorozisht

monoton.

- 39 -

SHËNIM 2.3.1.[26]

N.q.s. është një funksion gjysmë – pozitiv, i tillë që , , atëhere, në

këtë rast, për pasqyrimin dual të tipit 'B , bJ X b X P , përdoret shënimi J.

TEOREMË 2.3.3.[26]

Le të jetë , ,X një hapësirë vektoriale e 2 – normuar, 0b X ,

, 0,x y ,x z X b dhe , y z X b . Supozojmë se

bI X b X P dhe bJ X b X P dy pasqyrime duale, të

përcaktuar përkatësisht sipas përkufizimeve 2.3.3. dhe shënimit 2.3.1. Pohimet emëposhtme janë ekuivalente :


(2) N.q.s. , , J x z J y z dhe ,z x y , atëhere .x y

(5) N.q.s. , , I x z I y z dhe ,z x y , atëhere , , .y z x x z y

(6) N.q.s. , ,J x z J y z dhe x y , atëhere ekziston 0 , e tillë që .z x y

(7) N.q.s. , ,J x z J y z dhe x y ,


.,

x z x yz

x y

Rezultatet që do të paraqesim më poshtë janë disa rezultate të fituara nga ana jonëdhe janë të motivuar nga disa prej rezultateve të mësipërme. Ato japin disa karakterizimeekuivalente të konveksitetit rigoroz për hapësirat vektoriale të 2 – normuara,me anën e konceptit të pasqyrim dual për hapësirat vektoriale të 2 – normuara,të ndërtuar sipas përkufizimeve 2.3.3. dhe 2.3.4..

TEOREMË 2.3.4.


0b X dhe është një funksion gjysmë – pozitiv syrjektiv dhe monoton rritës.



(2) N.q.s. bJ X b X P është një pasqyrim dual i tipit 'B , , x z X b ,

, y z X b , , 0, , 0,x z y z x y dhe , ,J x z J y z ,

atëhere ekziston 0 , e tillë që .z x y

VËRTETIM.

(1) (2)



- 40 -

Le të jenë bJ X b X P është një pasqyrim dual i tipit 'B , , x z X b ,

, y z X b , , 0, , 0,x z y z x y dhe , , .J x z J y z

Marrim një , , .F J x z J y z Kanë vend ekuivalencat :

, , ,F J x z J y z F J x z dhe ,F J y z ,

, , ,F J x z F x z F x z dhe ,F x z ,

, , ,F J y z F y z F y z dhe ,F y z ,

nga ku nxjerrim se , , .F x z y z

Meqenëse është një funksion gjysmë – pozitiv dhe monoton rritës, atëhere rrjedh se

, ,x z y z . Nga ana tjetër, mund të shkruajmë se :

, , , ,

, , , ,

F x y z F x y z F x z F y z

F x z y z F x y z

nga ku meqenëse 0,F marrim se , , ,x y z x z y z . (i)



Nga mosbarazimet (i) dhe (ii) nxjerrim se :

, , , .x y z x z y z

Meqenëse1

, , , 02

x y z x z y z dhe x y , atëhere, në bazë të

teoremës 2.1.3., ekziston 0, e tillë që z x y .


(2) (1)

Supozojmë se pohimi (2) është një pohim i vërtetë, d.m.th. supozojmë se n.q.s


, y z X b , , 0, , 0 ,x z y z x y dhe , ,J x z J y z ,


Le të jetë 0 bF X , , x z X b dhe , y z X b , të tillë që,

, ,F x z F y z F dhe , , 1 .x z y z Meqenëse është një

funksion gjysmë – pozitiv syrjektiv, atëhere për numrin real pozitiv F , ekziston

numri real pozitiv a, i tillë që .a F


, , , , ,F ax z aF x z a F a x z F F ax z

, , , , ,F ay z aF y z a F a y z F F ay z

dhe

- 41 -

, , ,a x z a x z a F

, , .a y z a y z a F

Meqenëse J është një pasqyrim dual i tipit 'B , në bazë të përkufizimit 2.3.4.,

nxjerrim se , , ,F J ax z J ay z pra , , .J ax z J ay z

N.q.s. ax ay , atëhere ky fakt është i njëvlershëm me faktin që .x y

N.q.s. ,ax ay atëhere, meqenëse :

,ax z X b , ,ay z X b , , 0a x z dhe , 0,ay z

nga vërtetësia e pohimit (2), rrjedh se ekziston 0 , e tillë që

.z ax ay a x y

Meqenëse 0a , atëhere kanë vend ekuivalencat :2, 0 , 0 , 0a x a y a x y x y (iii)

dhe meqenëse , 1x z , mund të shkruajmë që :

1 , , , .x z x a x y a x y (iv)

Nga relacionet (iii) dhe (iv) nxjerrim se :

1 1.

, , ,

x yz

a x y a x y x y

Në bazë të teoremës 2.3.2., hapësira , ,X është rigorozisht konvekse.

Pra, pohimi (1) është një pohim i vërtetë. ▄

TEOREMË 2.3.5.


0b X dhe është një funksion gjysmë – pozitiv syrjektiv dhe monoton rritës






,

x z x yz

x y

VËRTETIM.

(1 (2)



Le të jenë bJ X b X P një pasqyrim dual i tipit 'B , , x z X b ,

, y z X b , , 0, , 0,x z y z x y dhe , ,J x z J y z .

- 42 -

Marrim një , , .F J x z J y z Kanë vend ekuivalencat :

, , ,F J x z J y z F J x z dhe ,F J y z ,

, , ,F J x z F x z F x z dhe ,F x z ,

, , ,F J y z F y z F y z dhe ,F y z ,

nga ku nxjerrim se , , .F x z y z

Meqenëse është një funksion gjysmë – pozitiv dhe monoton rritës, atëhere rrjedh se :

, , .x z y z

Nga ana tjetër, mund të shkruajmë se :

, , , ,

, , ,

F x y z F x y z F x z F y z

F x z y z F x y z

,

nga ku meqenëse 0,F marrim se , , ,x y z x z y z . (i)



Nga mosbarazimet (i) dhe (ii) nxjerrim se , , , .x y z x z y z

Meqenëse1

, , , 02

x y z x z y z dhe x y , atëhere, në bazë të

teoremës 2.1.3., , 0x y dhe , / , .z x z x y x y


(2) (1)

Supozojmë se pohimi (2) është një pohim i vërtetë, d.m.th. supozojmë se n.q.s


, y z X b , , 0 , , 0 ,x z y z x y dhe , ,J x z J y z ,


.,

x z x yz

x y


, ,F x z F y z F dhe , , 1 .x z y z Meqenëse është një

funksion gjysmë – pozitiv syrjektiv, atëhere për numrin real pozitiv F , ekziston

numri real pozitiv a, i tillë që .a F




, , ,a x z a x z a F

, , .a y z a y z a F

- 43 -

Meqenëse J është një pasqyrim dual i tipit 'B , nga përkufizimi 2.3.4., nxjerrim se :

, , ,F J ax z J ay z

nga ku marrim se , , .J ax z J ay z

N.q.s. ax ay , atëhere ky fakt është i njëvlershëm me faktin që .x y

N.q.s. ,ax ay atëhere, meqenëse :

,ax z X b , ,ay z X b , , 0a x z dhe , 0 ,a y z

nga vërtetësia e pohimit (2), rrjedh se :

, 0a x a y dhe ,

.,

a x z a x a yz

a x a y

Meqenëse 0a dhe , 1x z , mund të shkruajmë që :

2, 0 , 0 , 0a x a y a x y x y

dhe

, ,.

, , ,

a x z a x a y x z x y x yz

a x a y x y x y



TEOREMË 2.3.6.


0b X dhe 1 2, janë dy funksione gjysmë – pozitive syrjektive. Pohimet e

mëposhtme janë ekuivalente :


(2) N.q.s. 1

J X b bX P dhe 2

J X b bX P janë dy

pasqyrime duale të tipit 'B , , x z X b , , y z X b , , 0x y ,

,z x y dhe 1 2

, ,J x z J y z , atëhere , , .y z x x z y

VËRTETIM.

(1) (2)



Le të jenë 1

J X b

bX P dhe 2

J X b

bX P dy pasqyrime

duale të tipit 'B , , x z X b , , y z X b , , 0x y , ,z x y dhe

1 2

, ,J x z J y z .

Shqyrtojmë pasqyrim dual të tipit 'A , .bI X b X P

- 44 -

Meqenëse 1

, ,J x z I x z dhe 2

, ,J y z I y z [4], atëhere do të marrim që :

, ,I x z I y z .

Meqenëse , 0x y dhe ,z V x y , nga teorema 2.3.2., rrjedh se , , .y z x x z y


(2) (1)

Supozojmë se pohimi (2) është një pohim i vërtetë, d.m.th. supozojmë se n.q.s,

1

J X b bX P dhe 2

J X b bX P janë dy pasqyrime

duale të tipit 'B , , x z X b , , y z X b , , 0x y , ,z x y dhe

1 2



, ,F x z F y z F dhe , , 1 .x z y z Meqenëse 1 dhe 2

janë dy funksione gjysmë – pozitive syrjektive, atëhere për numrin real pozitiv F ,

ekzistojnë numrat realë pozitivë a dhe b, të tillë që :

1 a F dhe 2 b F .




1 1 1, , ,ax z a x z a F

2 2 2, , .by z b y z b F

Meqenëse 1

J X b bX P dhe 2

J X b bX P janë dy

pasqyrime duale të tipit 'B , në bazë të përkufizimit 2.3.5., nxjerrim se

1 2

, , ,F J ax z J by z nga ku marrim se 1 2

, ,J ax z J by z .

N.q.s. ,z a x b y , atëhere, meqenëse :

,ax z X b , ,by z X b , , 0ax by dhe 1 2

, ,J ax z J by z ,

nga vërtetësia e pohimit (2), marrim që , , .b y z a x a x z b y

Meqenëse 0, 0a b dhe , , 1x z y z , mund të shkruajmë që :

, , , , .by z ax ax z by ab y z x ab x z y x y

N.q.s. ,z ax by , kemi që ekzistojnë numrat realë 1 dhe 1 , të tillë që :

1 1 ,z ax by x y ku 1a dhe 1b .

Meqenëse , , 1x z y z , atëhere kanë vend barazimet e mëposhtëme :

1 , , . ,x z x x y x y

- 45 -

dhe1 , , . , ,y z y x y x y


, 0x y dhe 1

,x y

.

Nga ana tjetër kemi që :

, , , , 2 ,F x y z F x y z F x z F y z F

nga ku nxjerrim se , , , .x y z x z y z (i)


atëhere ka vend mosbarazimi , , , 2.x y z x z y z (ii)

Nga mosbarazimet (i) dhe (ii) nxjerrim se , 2 , , ,x y z x z y z nga

ku rrjedh se

.,

x yz

x y



- 46 -

KAPITULLI 3

2 – KONVEKSITETI RIGOROZ

Në këtë kapitull, fillimisht, tregohet se si ndërtohet koncepti i konveksitetit 2 – rigorozpër hapësirat vektoriale të 2 – normuara, duke vazhduar më tej me dhënien e disakarakterizimeve ekuivalente të këtij koncepti, të njohura në literaturën bashkëkohore.Së dyti, në këtë kapitull, paraqiten dy rezultate të reja në hapësirat vektoriale të2 – normuara rigorozisht 2 – konvekse, të fituara nga ana jonë. Këto rezultate japinkarakterizime ekuivalente të konceptit të konveksitetit 2 – rigoroz për hapësirat vektorialetë 2 – normuara, me anën e koncepteve të p – gjysmë – prodhimit të brëndshëm dhe tëpasqyrimit dual për hapësirat vektoriale të 2 – normuara.

& 3.1. NJOHURI PARAPRAKE

Thuhet se hapësira vektoriale e normuar , X gëzon vetinë (H) n.q.s. ka vend

pohimi[14] :

N.q.s.1

13

x y z x y z , ku , , ,x y z X

atëhere vektorët , d h ex y z janë linearisht të varur.

Të motivuar nga faktit i mësipërm C. Diminnie, S. Gähler dhe A. White[8], në vitin 1979,ndërtuan konceptin e 2 – konveksitetit rigoroz për hapësirat vektoriale të 2 – normuara,i cili është një përgjithësim i natyrshëm i konceptiti të konveksitetit rigoroz për hapësiratvektoriale të 2 – normuara.

PERKUFIZIM 3.1.1.[8]

Hapësira vektoriale e 2 – normuar , ,X quhet rigorozisht 2 – konvekse n.q.s.

është i vërtetë implikimi :

N.q.s.1

, , , , 13

x z y z x y y z z x , ku , , ,x y z X

atëhere z x y.

Në [8] janë fituar disa lidhje të rëndësishme ndërmjet koncepteve të 2 – konveksitetitrigoroz dhe konceptit të konveksitetit rigoroz për hapësirat vektoriale të 2 – normuara.

Kështu, në [8] është treguar se çdo hapësirë vektoriale e 2 – normuar, në veçanti çdohapësirë vektoriale e 2 – normuar me përmasë 2, është gjithashtu rigorozisht2 – konvekse. Prej këndej rrjedh se çdo hapësirë 2 – prodhim i brëndshëm është njëhapësirë vektoriale e 2 – normuar rigorozisht 2 – konvekse[14].

Nga ana tjetër, në [8] është treguar se në përgjithësi një hapësirë vektoriale e 2 – normuarrigorozisht 2 – konvekse nuk është rigorozisht konvekse.

Ekzistojnë hapësira vektoriale të 2 – normuara, të cilat nuk janë rigorozisht2 – konvekse[14].

- 47 -

Në [14] janë paraqitur disa karakterizime ekuivalente të konceptit të 2 – konveksitetitrigoroz për hapësirat vektoriale të 2 – normuara, të fituara në [8] dhe [25]Kanë vend teoremat e mëposhtëme.

TEOREMË 3.1.1.[14]



(1) , ,X është rigorozisht 2 – konvekse.

(2) N.q.s. , , , 1 x y y z z x dhe ekziston një 2 – funksional linear i

kufizuar jozero , , , ,F x y z x y z , i tillë që

, , ,F x y F x z F z y F , atëhere z x y.

(3) N.q.s. , , , 1 x y y z z x , z x y dhe 0,1t ,

atëhere , 1 x t z y t z

TEOREMË 3.1.2.[14]




(2) N.q.s.1

, , , , 03

x z y z x y y z z x , atëhere z x y.

(3) N.q.s. ekziston 0, e tillë që , , 0x z y z x z dhe , , 0 x y y z ,

atëhere z x y dhe 1 n.q.s. , , .x z y z

(4) N.q.s. , , 2 , x z y z x z y z , , , 0 x z y z dhe

, , x y y z , atëhere ekziston 0, e tillë që z x y .

(5) N.q.s. ekzistojnë 0 dhe 0, të tilla që , , 0 x z y z x z dhe

, , , 0 x y y z z x , atëhere z x y dhe,

,

y z

x y

dhe

,

,

x z

x y

(6) N.q.s. , , , ,x z y z x y y z z x dhe , , , 0 x y y z z x ,

atëhere ekziston 0 dhe 0, të tilla që z x y.

(7) N.q.s. , , , , x z y z x y y z z x dhe , , , 0 x y y z z x ,

atëhere atëhere z x y , ku,

,

y z

x y

dhe

,

,

x z

x y

.

Në [26] janë fituar disa karakterizime të konveksitetit 2 – rigoroz për hapësirat vektorialetë 2 – normuara, me anën e konceptit të 2 – gjysmë – prodhimit të brëndshëm.Ka vend kjo teoremë :

- 48 -

TEOREMË 3.1.3.[26]


2 – gjysmë – prodhim i brëndshëm në X, i pajtueshëm me 2 – normën e dhënë , .



(2) N.q.s. , , , , x y y z x y x z y z dhe , , , 0 x y y z z x ,

atëhere ekzistojnë 0 dhe 0 , të tilla që z x y .

(3) N.q.s. 2 21, , , , 0

2x y y z x y y z z x

, atëhere z x y.

(4) N.q.s.1

, , , , 12 x y y z x y y z z x , atëhere z x y.

(5) N.q.s. , , , , x y y z x y x z y z dhe , , , 0 x y y z z x ,

atëhere z x y , ku ,

,

y z

x y

dhe

,.

,

x z

x y

- 49 -

& 3.2. DISA KARAKTERIZIME EKUIVALENTE TË KONCEPTIT TË2 – KONVEKSITETIT RIGOROZ PËR HAPËSIRAT VEKTORIALETË 2 – NORMUARA, ME ANËN E KONCEPTIT TË p – GJYSMË –PRODHIMIT TË BRËNDSHËM DHE PASQYRIMIT DUAL PËRHAPËSIRAT VEKTORIALE TË 2 – NORMUARA.

Të motivuar nga rezultatet e arritura në [26], më poshtë po prezantojmë disa rezultate tëfituara nga ana jonë, të cilat janë një shtrirje e rezultateve të teoremës 3.1.3. dhe japindisa karakterizime ekuivalente të konceptit të konveksitetit 2 –rigoroz për hapësiratvektoriale të 2 – normuara, me anën e konceptit të p – gjysmë – prodhimit të brëndshëm.

TEOREMË 3.2.1.[35]





(2) N.q.s. 1, , , ,

px y y z x y x z y z

dhe

, , , 0 x y y z z x , atëhere ekzistojnë 0 dhe 0 , të tilla që

. z x y

(3) N.q.s.1

, , , , 02

p p px y y z x y y z z x

,

atëhere z x y.

(4) N.q.s.1


(5) N.q.s. 1, , , ,


dhe

, , , 0 ,x y y z z x atëhere z x y , ku,

,

y z

x y

dhe

,.

,

x z

x y

VËRTETIM. Mjafton të provojmë që kanë vend këto implikime :

(1) (5) (2) (3) (4) (1).

(1) (5)


, ,X është rigorozisht 2 – konvekse.


1, , , ,


dhe , , , 0 x y y z z x .


- 50 -

1, , , ,

px y y z z x y z

1, , , ,

p px y z x y z y z

1, , , ,

p px y z x y z y z y

, , ,x y y z y y y z y x y y z

1, ,

py x y z y y z

1, ,

px z y z y z y z

1, ,

px z y z y z

1, , ,

px y z z y z y z

1, , ,

py z x y z z y z

1, , , , ,

py x z x y z z z y z

1, , , , ,

py x z x y z y z

nga ku nxjerrim se , , , , . x z y z x y y z z x

Meqenëse , , , 0 x y y z z x , atëhere nga kushti, në bazë të teoremës

3.1.2., rrjedh se z x y , ku,

,

y z

x y

dhe

,.

,

x z

x y


(5) (2)

Supozojmë se pohimi (5) është një pohim i vërtetë, d.m.th. supozojmë se n.q.s , , ,x y z X

atëhere ka vend implikimi :

N.q.s. 1, , , ,

p

x y y z x y x z y z

dhe , , , 0 x y y z z x ,

atëhere z x y , ku,

,

y z

x y

dhe

,.

,

x z

x y


1, , , ,

p

x y y z x y x z y z

dhe , , , 0 x y y z z x .

Nga kushti, nxjerrim se z x y , ku,

,

y z

x y

dhe

,.

,

x z

x y

Meqenëse , , , 0 x y y z z x , atëhere rrjedh se 0 dhe 0 .

Duke përmbledhur, ekzistojnë 0 dhe 0 , të tilla që z x y .


(2) (3)

Supozojmë se pohimi (2) është një pohim i vërtetë, d.m.th. supozojmë se n.q.s, , ,x y z X atëhere ka vend implikimi :

- 51 -

N.q.s. 1, , , ,

p

x y y z x y x z y z

dhe , , , 0 x y y z z x ,

ekzistojnë 0 dhe 0 , të tilla që z x y .

Le të jenë , ,x y z X , të tillë që

1, , , , 0

2


.

Meqenëse , , , 0 p p p

x y y z z x , atëhere do të marrim që :

, , , 0 x y y z z x ,

, , , ,x y y z z x

dhe1 1 1

, , , .

p p p

x y y z z x

Mund të shkruajmë që :1

, ,2

px y y z x y

, , , ,p p p

x y y z x y x y x y

, ,p p

x y z x

1 1, , , ,

p px y x y z x z x

1 1, , , ,

p px y y z z x y z

1, , , .

px y x z y z

Kemi që :

1, , , ,

p

x y y z x y x z y z

dhe , , , 0 x y y z z x .

Nga kushti, nxjerrim që ekzistojnë 0 dhe 0 , të tilla që z x y .

Nga ana tjetër kemi që :

, 0 x y dhe , , , , 1,x y y z y x y x y

, 0 x y dhe , , , , 1 .x y z x x y x x y

Përfundimisht, z x y. Pra, pohimi (3) është një pohim i vërtetë.

(3) (4)

Supozojmë se pohimi (3) është një pohim i vërtetë, d.m.th. supozojmë se n.q.s, , ,x y z X atëhere ka vend implikimi :

N.q.s.1

, , , , 02


,

atëhere z x y .


1, , , , 1 .

2x y y z x y y z z x

- 52 -

Meqenëse1

, , , , 12

x y y z x y y z z x , atëhere do të

marrim që1

, , , , 02


.

Nga kushti, nxjerrim që z x y . Pra, pohimi (4) është një pohim i vërtetë.

(4) (1)

Supozojmë se pohimi (1) nuk është një pohim i vërtetë , d.m.th. supozojmë se hapësira

, ,X nuk është rigorozisht 2 – konvekse. Nga supozimi i bërë, në bazë të

përkufizimit 3.1.1, rrjedh se, në përgjithësi :


, , , , 13

x z y z x y y z z x ,

atëhere z x y.


1, , , , 1

2

x y y z x y y z z x . (i)

Prej këndej rrjedh se kanë vend pohimet :

1, , , ,

p

x y y z x y x z y z

dhe , , , 0 x y y z z x .

Duke u mbështetur në arsyetimet e bëra kur provuam vërtetësinë e implikimit (1) (5),

nxjerrim se ka vend barazimi :

, , , , x z y z x y y z z x . (ii)

Nga (i) dhe (ii) do të marrim që :1

, , , , 13

x z y z x y y z z x .

Nga supozimi i bërë në fillim, rrjedh se në përgjithësi, kemi që z x y.

Pra, pohimi (4) nuk është një pohim i vërtetë. ▄

Në [26] janë fituar disa karakterizime ekuivalente të konceptit të 2 – konveksitetit rigorozpër hapësirat vektoriale të 2 – normuara nëpërmjet konceptit të pasqyrimit dual përhapësirat vektoriale të 2 – normuara, i ndërtuar në paragrafin 2.3..

Kështu, n.q.s. , ,X një hapësirë vektoriale e 2 – normuar, 0b X ,

, 0,x y ,x z X b , , y z X b , ndërsa 2

X bI X b dhe

2

X bJ X b janë dy pasqyrime duale, të përcaktuar përkatësisht sipas

përkufizimit 2.3.3. dhe shënimit 2.3.1., atëhere pohimet e mëposhtëme janëekuivalente [26]:


(2) N.q.s. , , , I x y I y z I z x , atëhere ekzistojnë numrat realë pozitivë

dhe , të tillë që z x y .

- 53 -

(3) N.q.s. , , , I x y I y z I z x dhe , , , 0 , x y y z z x

atëhere z x y , ku,

,

y z

x y

dhe

,.

,

x z

x y

(4) N.q.s. , , ,J x y J y z J z x , atëhere z x y .

Le të jetë , ,X një hapësirë vektoriale e 2 – normuar dhe supozojmë se

, , .a b c X Shënojmë me , ,

a b cX hapësirën vektoriale e të gjithë 2 – funksionalëve

linearë të kufizuar, me bashkësi përcaktimi , , , ,a b c a b c dhe me

, ,a b cX P familjen e gjithë nënbashkësive të hapësirës , ,

a b cX [5].


Pasqyrimi , ,, , , , a b cI a b c a b c X P , i përcaktuar sipas barazimit :

, ,, / , ,a b cI x y F X F x y F x y ,

, , , , , , x y a b c a b c quhet paqyrim dual i tipit ' 'A .

PËRKUFIZIM 3.2.2.[5]Le të jetë një funksion gjysmë – pozitiv.

Pasqyrimi , ,, , , , a b cJ a b c a b c X P , i përcaktuar sipas barazimit :

, ,, / , , , , a b cJ x y F X F x y F x y F x y ,

, , , , , , x y a b c a b c quhet paqyrim dual i tipit ' 'B .

N.q.s. është një funksion gjysmë – pozitiv, i tillë që , , atëhere në

këtë rast, për paqyrimin dual të tipit ' 'B , , ,, , , , 2

X a b cJ a b c a b c ,

përdoret shënimi J.

Theksojmë se vetitë bazë të pasqyrimeve duale I dhe J , të përcaktuar si më sipër, janë

të njëjta me vetitë bazë të pasqyrimeve duale I dhe J , të përcaktuar në paragrafin 2.3.

Në [5] janë fituar disa karakterizime ekuivalente të konceptit të konveksitetit 2 – rigorozpër hapësirat vektoriale të 2 – normuara me anën e konceptit të pasqyrimit dual përhapësirat vektoriale të 2 – normuara, të ndërtuar sipas përkufizimeve 3.2.1. dhe 3.2.2..

Kështu, në [5] është treguar se n.q.s. , ,X një hapësirë vektoriale e

2 – normuar dhe , , a b c X , ndërsa I dhe J janë pasqyrime duale të përcaktuar në

- 54 -

, , , ,a b c a b c , sipas përkufizimeve 3.2.1. dhe 3.2.2., atëhere pohimet e

mëposhtme janë ekuivalente :


(2) N.q.s. , , , I x y I y z I z x , ku , , , ,x y z a b c ,

atëhere ekzistojnë numrat realë pozitivë dhe , të tilla që .

(3) N.q.s. , , , J x y J y z J z x , ku , , , ,x y z a b c ,

atëhere ekzistojnë numrat realë pozitivë dhe , të tilla që .

(4) N.q.s. 1 2 3

, , ,J x y J y z J z x , ku , , , ,x y z a b c dhe

janë tri funksione gjysmë – pozitive, atëhere ekzistojnë numrat

realë pozitivë dhe , të tilla që .

Në mbyllje të këtij paragrafi do të prezantojmë një rezultat të fituar nga ana jonë, i cili jepnjë karakterizim ekuivalente të konceptit të konveksitetit 2 – rigoroz për hapësiratvektoriale të 2 – normuara me anën e konceptit të pasqyrimit dual për hapësirat vektorialetë 2 – normuara, të ndërtuar sipas përkufizimit 3.2.1..

TEOREMË 3.2.3.


, , a b c X dhe le të jetë I një pasqyrim dual i tipit ' 'A , i përcaktuar në

, , , ,a b c a b c . Pohimet e mëposhtme janë ekuivalente :


(2) N.q.s. , , , I x y I y z I z x , , , 0z x y z dhe , , x y y z ,

ku , atëhere ekziston , e tillë që .

VËRTETIM.

(1) (2)


, ,X është rigorozisht 2 – konvekse.

Le të jenë , , , ,x y z a b c , të tilla që :

, , , I x y I y z I z x , , , 0z x y z dhe , , x y y z .

Marrim një 0 , , , . F I x y I y z I z x Kanë vend ekuivalencat :

, , , , F I x y I y z I z x F I x y dhe ,F I y z dhe ,F I z x ,

, , , F I x y F x z F x y ,

, , , F I y z F y z F y z ,

, , , F I z x F z x F z x .

Nga ana tjetër, mund të shkruajmë që :

z x y

z x y

1 2 3, d h e

z x y

, , , ,x y z a b c 0 z x y

- 55 -

,

, , , ,

, , ,

, , , ,

F x z y z

F x z y z F x y F x z F z y

F x y x z z y

F x y y z z x

nga ku nxjerrim se , , , ,x z y z x y y z z x . (i)


atëhere kanë vend mosbarazimet :

, , , , ,

, , , , , , , ,

x z y z x y z z y z y z x y z z

y x z x y z z z x y y z z x

nga ku nxjerrim se , , , , x z y z x y y z z x . (ii)

Nga mosbarazimet (i) dhe (ii) rrjedh se :

, , , , , 2 , .x z y z x y y z z x z x y z

Nga kushti, në bazë të teoremës 3.1.2., ekziston 0 , e tillë që z x y .


(2) (1)

Supozojmë se pohimi (2) është një pohim i vërtetë, d.m.th. supozojmë se ka vendimplikimi :

N.q.s. , , , I x y I y z I z x , , , 0z x y z dhe , , x y y z ,

ku , , , ,x y z a b c , atëhere ekziston 0 , e tillë që z x y .

Le të jenë , ,0 a b cF X dhe , , , ,x y z a b c , të tillë që :

, , , F x y F y z F z x F dhe , , , 1 . x y y z z x


, , , ,F x y F F x y F I x y

, , , ,F y z F F y z F I y z ,

, , , ,F z x F F z x F I z x


, , , , , ,F I x y I y z I z x I x y I y z I z x .

Meqenëse , , 0z x y z dhe , , x y y z , nga kushti, ekziston 0 , e

tillë që z x y .

Nga ana tjetër, meqenëse , , 1x y z x , kemi që :

, 1 , 1 , 1 1,z x x y x x y

nga ku nxjerrim se z x y . Në bazë të teoremës 3.1.1., , ,X është

rigorozisht 2 – konvekse.Pra, pohimi (1) është një pohim i vërtetë. ▄

- 56 -

KAPITULLI 4

KONVEKSITETI UNIFORM

Në këtë kapitull, fillimisht, tregohet se si shtrihet koncepti i konveksitetit uniform ngahapësirat vektoriale të normuara në hapësirat vektoriale të 2 – normuara, duke vazhduarmë tej me dhënien e disa karakterizimeve ekuivalente të këtij koncepti, të njohura nëliteraturën bashkëkohore.Së dyti, në këtë kapitull, paraqiten disa rezultate të reja në hapësirat vektoriale të2 – normuara uniformisht konvekse, të fituara nga ana jonë. Këto rezultate japin disakarakterizime të konceptit të konveksitetit uniform për hapësirat vektoriale të2 – normuara, me anën e konceptit të pasqyrimit dual për hapësirat vektoriale të2 – normuara.

& 4.1. NJOHURI PARAPRAKEKoncepti i konveksitetit uniform për hapësirat e Banahut është ndërtuar nga J.Clarkson[6] në vitin 1936.


Hapësira e Banahut quhet uniformisht konvekse n.q.s. për çdo

gjejmë një e tillë që për të gjithë pikat që plotësojnë kushtet

dhe , të kemi që

Në [1] janë fituar disa karakterizime ekuivalente të konveksitetit uniform për hapësirat e

Banahut. Supozojmë se është një hapësirë vektoriale e normuar. Shënojmë

me hapësirën duale të hapësirës X dhe me koleksionin e gjithë

nënbashkësive të . N.q.s. një hapësirë Banah, atëhere pohimet e

mëposhtëme janë ekuivalente[1] :

(1) është uniformisht konveke.

(2) N.q.s. është një funksion rigorozisht konveks dhe monoton rritës në

, tillë që , atëhere për çdo dhe për çdo 0z X ,

.

(3) N.q.s. , është një pasqyrim dual, atëhehere për çdo kemi që :

.

(4) N.q.s. është një pasqyrim dual, atëhehere për çdo kemi që :

,X 0 , 2 ,

0, , ,x y X

1, 1x y x y 1 .

x y

,X

X X P

X ,X

,X

: 0, 2

0,2 1 1 0,1t

inf 2 / , , 1 , 1 0t x ty x ty x y X x y

J X X P 0,2t

inf 1 / , 1, 1, 0t f y f J x x y x y t

J X X P 0,2t

inf / , 1, 1, 0.t f g x y f J x g J y x y x y t

- 57 -

Koncepti i konveksitetit uniform për hapësirat e Banahut, i ndërtuar nga J.Clarkson, gjatëgjithë këtyre viteve është zhvilluar gjërësisht nga matematicienë të ndryshëm, duke eshtrirë këtë koncept edhe për rastin e hapësirave vektoriale të normuara në përgjithësi.Le të japim tani konceptin e konveksitetit uniform për hapësirat vektoriale të normuara.


Hapësira vektoriale normuar quhet uniformisht konvekse n.q.s. për çdo dy

vargje pikash dhe nga hapësira X, të tillë që ,

dhe , atëhere


Hapësira vektoriale normuar quhet uniformisht konvekse n.q.s. për çdo

gjejmë një e tillë që për të gjithë pikat që

plotësojnë kushtet dhe , të kemi që

Shembulli më i drejtëpërdrejtë i një hapësire vektoriale të normuar uniformisht konvekseështë hapësira Hilbertiane[14].

Gjeometrikisht, n.q.s. hapësira vektoriale e normuar është uniformisht

konvekse, atëhere, për çdo gjejmë një e tillë që për çdo dy

pika nga rruzulli i mbyllur njësi i hapësirës, të tilla që largesa ndërmjet këtyre dy

pikave është jo më e vogël se prej këndej rrjedh se largësia e pikës2

x ynga kufiri

i rruzullit të mbyllur njësi është jo më e madhe se [14].

I motivuar nga koncepti i konveksitetit uniform për hapësirat vektoriale të normuara,M.E.Newton[29], në vitin 1969, ndërtoi konceptin konveksitetit uniform për hapësiratvektoriale të 2 – normuara.


Hapësira vektoriale e 2 – normuar , ,X quhet uniformisht konvekse n.q.s.

për çdo dy vargje pikash dhe nga hapësira X dhe për çdo ,

të tillë që , dhe

atëhere

Le të japim tani një përkufizim alternativ të konveksitetit uniform për hapësirat vektorialetë 2 – normuara.

,X

1

nn

x

1n

ny

1nx

1ny 1

lim 12

n nn

x y

lim 0.n nn

x y

,X

0 , 2 , 0, , ,x y X

1, 1x y x y

1 .

x y

,X

0 , 2 , 0,

,x y

,

1

nn

x

1n

ny

z X

1, 1,n nx z y z n N 1

lim , 12

n nn

x y z

1

, 0 ,

n nn

V z V x y lim , 0.

n nn

x y z

- 58 -


Hapësira vektoriale e 2 – normuar , ,X quhet uniformisht konvekse n.q.s.

për çdo dhe për çdo 0z X gjejmë një e tillë që për të

gjithë pikat që plotësojnë kushtet , 1, , 1 x z y z dhe ,

të kemi që 1 , .

x y z z

Me fjalë të tjera, hapësira vektoriale e 2 – normuar , ,X quhet uniformisht

konvekse n.q.s. për çdo dhe për çdo 0z X kemi që :

Në [14] është treguar se të dy përkufizimet e dhëna mbi konveksitetin uniform përhapësirat vektoriale të 2 – normuara janë të njëvlershëm.

SHEMBULL 4.1.1.[14]

Ndërtojmë funksionin , ku , sipas barazimit :

Funksioni është një 2 – normë në X dhe hapësira vektoriale e 2 – normuar

, ,X është uniformisht konvekse (në [14] është treguar që kjo hapësirë është

rigorozisht konvekse).SHEMBULL 4.1.2.[14]

Ndërtojmë funksionin , ku , sipas barazimit :

1 1 1 2 2 2, , , , , .x a b c y a b c X

Funksioni është një 2 – normë në X dhe hapësira vektoriale e 2 – normuar

, ,X nuk uniformisht konvekse (në [14] është treguar që kjo hapësirë nuk

është rigorozisht konvekse).

Çdo. hapësira vektoriale e 2 – normuar uniformisht konvekse është gjithashtu edherigorozisht konvekse, pra edhe rigorozisht 2 – konvekse dhe se në përgjithësi një hapësirëvektoriale e 2 – normuar rigorozisht konvekse(rigorozisht 2 – konvekse) nuk ështëuniformisht konvekse[14].

Supozojmë se , ,X është një hapësirë vektoriale e 2 – normuar, e tillë që X

është me përmasë jo më të madhe se 3. Le të jetë një normë në hapësirën e

bivektorëve mbi hapësirën vektoriale X, , e tillë që , .

0,2 , 0, z

, ,x y X , x y z

0,2

inf 2 / , , , 1, , 1, , 0.x y z x y X x z y z x y z

, : X X 3 X

2 2 21 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1, ,x y a b a b b c b c a c a c

1 1 1 2 2 2, , , , , .x a b c y a b c X

,

, : X X 3 X

1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1, ,x y a b a b b c b c a c a c

,

XB ,b x y x y , x y X

- 59 -

Konditë e nevojshme dhe e mjaftueshme që hapësira vektoriale e 2 – normuar

, ,X të jetë uniformisht konvekse është që hapësira vektoriale e normuar

,XB të jetë uniformisht konvekse[14].

N.q.s. hapësira vektoriale reale X është me përmasë 2, atëhere hapësira vektoriale reale

është me përmasë 1 dhe meqenëse çdo hapësirë vektoriale(komplekse ose reale) e

normuar me përmasë 1 është uniformisht konvekse, atëhere rrjedh se çdo hapësirëvektoriale e 2 – normuar me përmasë 2 është uniformisht konvekse[14].

Ekziston një lidhje e rëndësishme ndërmjet konceptit të 2 – prodhimit të brëndshëm dhekonceptit të konveksitetit uniform për hapësirat vektoriale të 2 – normuara, të cilën etregon kjo teoremë :

TEOREMË 4.1.1.[14]

Le të jetë një hapësirë 2 – prodhim i brëndshëm. Hapësira vektoriale e

2 – normuar , ,X , ku është 2 – norma shoqëruese e

2 – prodhimit të brëndshëm të dhënë , është uniormisht konvekse.

C.S.Lin[27] ka dhënë disa karakterizime disa karakterizime ekuivalente të konveksitetit

uniform për hapësirat lineare të 2 – normuara.

TEOREMË 4.1.9.[27]

Supozojmë se , ,X është një hapësirë lineare e 2 – normuar. Pohimet e

mëposhtëme janë ekuivalente :

(1) , ,X është uniformisht konvekse.

(2) N.q.s. për çdo 0, gjejmë të paktën një 0, e tillë që për të gjithë pikat

, , ,x y z X që plotësojnë kushtet , , , ,x z y z z x y dhe

, , x y z x z , atëhere 1 , .x y z x z

(3) N.q.s. për çdo 0, gjejmë të paktën një 1 0, e tillë që për të gjithë pikat

, , ,x y z X që plotësojnë kushtin , , x y z x z , ku ,z x y dhe

,

,

x z

y z

atëhere 11 , .x y z x z

Duke bërë një përmbledhje të rezultateve të paraqitura më sipër mbi konceptin ekoveksitetit uniform për hapësirat vektoriale të 2 – normuara dhe duke patur parasyshlidhjet që ekzistojnë ndërmjet koncepteve të konveksitetit rigoroz dhe konveksitetit2 – rigoroz për hapësirat vektoriale të 2 – normuara, mund të themi se pohimet emëposhtme janë të vërteta :

Konveksiteti uniform Konveksiteti rigoroz Konveksiteti 2 – rigoroz.

XB

, X

,

- 60 -

& 4.2. DISA KARAKTERIZIME TË KONCEPTIT TË KONVEKSITETITUNIFORM PËR HAPËSIRAT VEKTORIALE TË 2 – NORMUARAME ANËN E KONCEPTIT TË PASQYRIMIT DUAL PËR HAPËSIRATVEKTORIALE TË 2 – NORMUARA.

Të motivuar nga rezultatet e fituara në [1], nëpërmjet pohimeve të mëposhtëme poprezantojmë disa rezultate të arritura nga ana jonë, të cilat japin disa karakterizime tëkonceptit të konveksitetit uniform për hapësirat vektoriale të 2 – normuara me anën ekonceptit të pasqyrimit dual për hapësirat vektoriale të 2 – normuara.

TEOREMË 4.2.1.

Le të jenë , ,X një hapësirë vektoriale e 2 – normuar dhe 0 .b X

Ka vend implikimi (1) (2), ku (1) dhe (2) janë pohimet e mëposhtëm :


(2) N.q.s. është një pasqyrim dual i tipit ,

atëhere për çdo dhe për çdo 0 ,z b kemi që :

VËRTETIM. Supozojmë pohimi (1) është një pohim i vërtetë, d.m.th. supozojmë

se hapësirë vektoriale e 2 – normuar , ,X është uniformisht konvekse.

Le të jenë një pasqyrim dual i tipit ,

dhe 0 ,z b çfarëdo. Le të jenë gjithashtu të tilla që :

, dhe le të jetë


dhe ,

dhe , , , , , .F x y z F x y z x z x y z x y z

Atëhere, për dhe , meqenëse ,

dhe hapësira vektoriale e 2 – normuar , ,X është uniformisht

konvekse, nga përkufizimi 4.1.5., rrjedh se ekziston e tillë që :

.

Pra, numri real pozitiv shërben si kufi i poshtëm i bashkësisë :

.

Nga përkufizimi i kufirit të përpiktë të poshtëm do të nxjerrim se :


bJ X b X P 'B

0,2

, inf 1 , / 0 , , , 1, , 1, , 0.z F y z F J x z x z y z x y z

bJ X b X P 'B 0,2

, ,x y X

, 1, , 1x z y z ,x y z 0 , .F J x z

,F J x z ( , ,F x z F x z , )F x z

2, , , , , , , 1 , ,F x y z F x z F y z F x z F y z x z F y z F y z

0,2 0z , 1, , 1x z y z

,x y z

, 0,z

1 , 1 , 1 2 , 2 ,F y z F x y z F x y z x y z 2 , z

2 , z

1 , / 0 , , , 1, , 1, ,F y z F J x z x z y z x y z


- 61 -

TEOREMË 4.2.2.



(1) është uniformisht konvekse.




VËRTETIM. Supozojmë se pohimi (3) është një pohim i vërtetë, d.m.th. supozojmë se

n.q.s. është një pasqyrim dual i tipit , atëhehere për

çdo dhe për çdo 0 ,z b kemi që :

Të provojmë se pohimi (1) është një pohim i vërtetë. Supozojmë të kundërtën, pra

supozojmë se hapësira vektoriale e 2 – normuar nuk është uniformisht

konvekse. Në bazë të përkufizimit 4.1.5.,ekziston dhe 0 0 ,z b të tillë që :

Në bazë të vetisë karakteristke të kufirit të përpiktë të poshtëm, për numrat realë pozitivë

ekzistojnë vargjet e pikave dhe nga X, të tilla që :

- për çdo dhe ,

- për çdo . (i)

Nga mosbarazimi (i) nxjerrim se :

për çdo , dhe (ii)

Ndërtojmë vargjet dhe , të tillë që :

për çdo , dhe

Për çdo mund të shkruajmë që :

.

Le të konsiderojmë pasqyrimin dual të tipit , . Eshtë e qartë

se Le të jetë . Për çdo mund të shkruajmë që :

, ,X

bJ X b X P 'B

0,2

bJ X b X P 'B

0,2


, ,X

0 0,2

0 0 0 0 0 0 0, inf 2 / , , , 1, , 1, , 0.z x y z x y X x z y z x y z

1 1 1 1, , , ...., , .......,

1 2 3 n

1n nx

1n ny

0 0, , 1, , 1n nn x z y z 0 0,n nx y z

01

, 0 2 , 0n nn x y zn

n 0, 0n nx y z 0lim , 2.n nn

x y z

1n na

1n nz

n N0

1

,n

n na

x y z

. n n n nz a x y

,n

0 0 00 0

1, , , 1

, ,n n

n n nn n n n

x yz z z x y z

x y z x y z

'B 00

zJ X z X P

0 0 .z z 00 ,n nH J z z ,n

- 62 -

dhe ,

dhe

0 0 0

0 00

, , ,

1, , ,

,

n n n n n n n n n n

n n n nn n

H z z H a x y z a H x y z

H x z H y zx y z

prej nga ku nxjerrim se (iii)

Atëhere, për çdo ,n nga barazimi (iii), marrim që :

0 0 02 2 , , n n n n n nx y z H x z H y z

0 01 , 1 , n n n nH x z H y z . (iv)

Për çdo kanë vend mosbarazimet :

dhe . (v)

Meqenëse nga mosbarazimet (v) nxjerrim se ekziston

indeksi natyror , i tillë që për çdo dhe , kanë vend

mosbarazimet dhe . (vi)

Prej këndej rrjedh se bashkësitë :

dhe

janë bashkësi numerike joboshe dhe të kufizuara nga poshtë nga 0.Pra, ekzistojnë dhe kanë vend mosbarazimet :

dhe .

Nga vërtetësia e pohimit (3) marrim që :

dhe . (vii)

Përfundimisht, nga barazimi (iv) rrjedh se çdo dhe kemi që :

.(viii)

Duke kaluar në limit në mosbarazimin (viii) kur do të marrim se :

gjë që bie në kundërshtim me faktin se Kontradiksioni i arritur

hedh poshtë supozimin e bërë mbi vërtetësinë e pohimit (1), pra, pohimi (1) është njëpohim i vërtetë. ▄

0 0 0, ( , ,n n n n n nH J z z H z z H z z 0, )n nH z z

0 0 0, , , .n n n n n nH x z H y z x y z

,n

0 0 1 2n n n nx z z a a 0 0 1 2n n n ny z z a a

00lim 1 2 ,

2n n

na a

0 0 0k k n 0n k

00

4n nx z z

0

04

n ny z z

00 0 0 0 01 , / 0 , , , 1, , 1, ,

4n n n n n n n nA H x z H J z z x z z z x z z

00 0 0 0 01 , / 0 , , , 1, , 1, ,

4n n n n n n n nB H y z H J z z y z z z y z z

inf infA dhe B

01 0inf , 0

4A z

0

2 0inf , 04

B z

01 0inf , 0

4A z

0

2 0inf , 04

B z

n 0n k

0 00 0 0 1 0 2 02 1 , 1 , , , 0

4 4n n n n n nx y z H x z H y z z z

n

0l im 2 0 ,n nn

x y z

0lim 2.n nn

x y z

- 63 -

TEOREMË 4.2.3.



(1) është uniformisht konvekse,



,

inf , / 0 , , 0 , , , , 1, , 0.

z

F G x y z F J x z G J y z x z y z x y z

VËRTETIM. Supozojmë pohimi (1) është një pohim i vërtetë, d.m.th. supozojmë

se hapësirë vektoriale e 2 – normuar është uniformisht konvekse.

Le të jenë një pasqyrimin dual i tipit , dhe

0 ,z b çfarëdo,

dhe . Mund të shkruajmë që :

,

dhe

,

dhe

dhe

Atëhere, për dhe 0,z meqenëse ,

dhe hapësira vektoriale e 2 – normuar është uniformisht

konvekse, nga përkufizimi 4.1.5, rrjedh se do të ekzistojë e tillë që :

Pra, numri real pozitiv shërben si kufi i poshtëm i bashkësisë :

, / 0 , , 0 , , , , 1, , .A F G x y z F J x z G J y z x z y z x y z

Nga përkufizimi i kufirit të përpiktë të poshtëm do të nxjerrim se

, inf 4 , 0.z A z


, ,X

bJ X b X P 'B

0,2

, ,X

bJ X b X P 'B 0,2

0 , , 0 , , , 1, , 1F J x z G J y z x z y z

,x y z

, , , , , , ,F G x y z F G x z F G y z F x z G x z F y z G y z

, ( , ,F J x z F x z F x z , ) ,F x z

2, , , , , , , 1 , ,F x y z F x z F y z F x z F y z x z F y z F y z

, , , , ,F x y z F x y z x z x y z x y z

, ( , ,G J y z G y z G y z , ),G y z

2, , , , , , , 1 ,G x y z G x z G y z G x z G y z G x z y z G x z

, , , , , .G x y z G x y z y z x y z x y z

0,2 , 1, , 1x z y z

,x y z , ,X

, 0 ,z

, , , , ,

, , 1 , , 1

2 , 2 ,

F G x y z F x z F y z G y z G x z

x z F x y z y z G x y z

F x y z G x y z

2 , 2 , 4 , .x y z x y z z

4 , z

- 64 -

TEOREMË 4.2.4.


Supozojmë se hapësira , ,X gëzon cilësinë :

Për çdo 0z X dhe për çdo dy vargje pikash 1n nx

, 1n ny

nga X,

ekziston e tillë që dhe .

Ka vend implikimi (4) (1), ku (1) dhe (4) janë pohimet e konsideruara në teoremën

4.2.3.VËRTETIM. Supozojmë se pohimi (4) është një pohim i vërtetë, d.m.th. supozojmë

se n.q.s. është një pasqyrimin dual i tipit , atëhehere

për çdo dhe për çdo 0 ,z b kemi që :

,

inf , / 0 , , 0 , , , 1, , 1, , 0.

z

F G x y z F J x z G J y z x z y z x y z

Të provojmë se pohimi (1) është një pohim i vërtetë. Supozojmë të kundërtën, pra

supozojmë se hapësira vektoriale e 2 – normuar nuk është uniformisht

konvekse. Nga teorema 4.2.2, nxjerrim se n.q.s. është një

pasqyrimin dual i tipit , atëhere ekziston dhe 0 0z b , të tillë që :

Në bazë të vetisë karakteristike të kufirit të përpiktë të poshtëm, për numrat realë pozitivë

ekzistojnë vargjet e pikave , nga X dhe vargu i funksioneve ,

të tillë që :

- për çdo , dhe ,

- për çdo . (i)

Nga mosbarazimi (i) nxjerrim se (ii)

Pa cënuar vërtetimin e teoremës, mund të supozojmë se :

për çdo dhe .

(Me të vërtetë, n.q.s. barazimet dhe nuk kanë vend për çdo

meqenëse ekziston e tillë që dhe0

, 1ny z , atëhere në

vend të vargjeve të pikave dhe , marrim vargjet e pikave

0 ,n 0

, 1nx z 0

, 1ny z

bJ X b X P 'B

0,2

, ,X

bJ X b X P

'B 0 0,2

0 0 0 0 0 0 0 0, inf 1 , / 0 , , , 1, , 1, , 0.z F y z F J x z x z y z x y z

1 1 1 1, , ,...., ,.........,

1 2 3 n

1n nx

1n ny

1n nF

0 0, , 1, , 1n nn x z y z 0 0,n nx y z 00 ,n nF J x z

01

, 0 1 , 0n nn F y zn

0lim , 1.n nn

F y z

0, , 1nn x z 0, 1ny z

0, 1nx z 0, 1ny z

,n 0 ,n

0, 1nx z

1n nx

1n ny

- 65 -

dhe , të tilla që për çdo dhe )

Meqenëse për çdo , duke u mbështetur në arsyetimet e bëra në

vërtetimin teoremës 4.2.1., marrim që :

për çdo ,

prej nga ku, në sajë të barazimit (ii), nxjerrim se :

(iii)

pra, mund të supozojmë që për çdo , .

Ndërtojmë vargjet dhe , të tillë që :

për çdo , dhe

Për çdo mund të shkruajmë që :

.

Le të konsiderojmë pasqyrimin dual të tipit , .

Eshtë e qartë se

Le të jetë . Për çdo mund të shkruajmë që :

dhe

dhe

0 0 0

0 00

, , ,

1, , ,

,

n n n n n n n n n n

n n n nn n

H z z H a x y z a H x y z

H x z H y zx y z

prej nga ku nxjerrim se (iv)

Meqenëse, për çdo kemi se dhe ,

atëhere nga barazimet (iii) dhe (iv), marrim që (v)

Për çdo kanë vend barazimet :

1

1n

nx

1

1n

ny

,n

0

1n nx x

0

1n ny y

0, ,n nn F J x z

,n 0 01 , 2 , 0n n nF y z x y z

0lim 2,n nn

x y z

n 0 0n nx y z

n n Na n n N

z

n N0

1

,n

n na

x y z

. n n n nz a x y

,n

0 0 00 0

1, , , 1

, ,n n

n n nn n n n

x yz z z x y z

x y z x y z

'B 00

zJ X z X P

0 0 .z z

00 ,n nH J z z ,n

0 0 0, ( , ,n n n n n nH J z z H z z H z z 0, )n nH z z

0 0 0, , , .n n n n n nH x z H y z x y z

,n 01, , 1n n nH H x z 0, 1n nH y z

0lim , 1.n nn

H x z

,n

0 0 0

0 0 0 0

0 00

, , ,

, , , ,

1 , ,,

n n n n n n n n n n

n n n n n n n n

n nn n n

n n

H F z x z H z x z F z x z

H z z H x z F z z F x z

x yH x z F z

x y z

0 00 0

0 00 0

1

1 11 , , 1

, ,

1 12 , , .

, ,

n n n nn n n n

n n n nn n n n

H x z F y zx y z x y z


- 66 -

Nga barazimet e mësipërm dhe nga barazimet (ii), (iii) dhe (v), nxjerrim se :

(vi)

Për çdo kanë vend mosbarazimet :

dhe . (vii)

Meqenëse nga mosbarazimet (vii) nxjerrim se

ekziston indeksi natyror , i tillë që për çdo dhe , kanë vend

mosbarazimi . (viii)

Prej këndej rrjedh se bashkësia :

,

ku dhe ,

është një bashkësi numerike joboshe dhe e kufizuar nga poshtë nga 0. Pra, ekziston

dhe ka vend mosbarazimi .

Nga vërtetësia e pohimit (3) marrim që . (ix)

Përfundimisht, për çdo dhe kemi që :

. (x)

Duke kaluar në limit në mosbarazimin (x) kur , do të marrim se :

gjë që bie në kundërshtim me faktin se Kontradiksioni

i arritur hedh poshtë supozimin e bërë mbi vërtetësinë e pohimit (1), pra, pohimi (1) ështënjë pohim i vërtetë. ▄

0lim ,

n n n nn

H F z x z

0 00 0

1 1lim 2 , , 0.

, ,

n n n n

n n n n n


,n

0 0 1 2n n n nx z z a a 0 0 1 2n n n ny z z a a

00lim 1 2 ,

2n n

na a

0 0 0k k n 0n k

00 0

4n n n nz x z x z z

0, n n n nA H F z x z

0 0 0 00 , ,0 , , , 1, , 1 n n n n n nH J z z F J x z x z z z 00,

4 n nz x z

inf A

01 0inf , 0

4A z

01 0inf , 0

4A z

n 0n k

00 1 0, , 0

4n n n nH F z x z z

n

0lim , 0,n n n nn

H F z x z

0lim , 0.n n n nn

H F z x z

- 67 -

PËRFUNDIME

Në hapësirën vektoriale të 2 – normuar standarte , ,S

X , normat

,

p

dhe S

janë ekuivalente. Për më tepër, për çdo vektor x X , është i vërtetë

mosbarazimi[39] :

8p

S p Sx x x

.

Në hapësirën vektoriale të 2 – normuar standarte dhe separabël , ,S

X ,

normat ,

p

,

,2

dhe S

janë ekuivalente[39].

Konditë e nevojshme dhe e mjaftueshme që një varg pikash nga hapësira vektoriale e


X , separabël ose jo, të konvergjojë sipas

2 – normës , S

tek një vektor x X , është që ky varg të konvergjojë tek vektori x

sipas normësp

[39].

Konditë e nevojshme dhe e mjaftueshme që hapësira vektoriale e 2 – normuar

standarte, , ,S

X , separabël ose jo, të jetë një hapësirë 2 – Banah është që

hapësira vektoriale e normuar , p

X të jetë një hapësirë Banah[38].


përmasë të pafundme, por ndërkohë kjo hapësirë gëzon vetinë (K), atëhere mund tëpërftojmë një normë nga 2 – norma e dhënë, e tillë që konvergjenca dhe plotësia në lidhjeme 2 – normën të jetë ekuivalente me konvergjencën dhe plotësinë në lidhje me normën epërftuar [38].


përmasë të pafundme dhe kjo hapësirë nuk gëzon vetinë (K), atëhere mbetet një problemi hapur fakti se si duhet vepruar në këtë rast, për të përftuar një normë nga 2 – norma edhënë, e tillë që konvergjenca dhe plotësia në lidhje me 2 – normën të jetë ekuivalenteme konvergjencën dhe plotësinë në lidhje me normën e përftuar[19].

N.q.s. , ,X një hapësirë vektoriale e 2 – normuar dhe , një

p – gjysmë – prodhim i brëndshëm në X, i pajtueshëm me 2 – normën e dhënë , ,

atëhere pohimet e mëposhtme janë karakterizime të njëvlershme të faktit se hapësira

, ,X është rigorozisht konvekse [34],[37] :

(1) N.q.s. 1, , ,

px y z x z y z dhe ,z x y ,


(2) N.q.s. , , ,


(3) N.q.s. , , ,

p p


- 68 -

(4) N.q.s. , ,

w x z w y z , për çdo w X dhe ,z x y , atëhere .x y

(5) N.q.s. 1, , ,

p



(6) N.q.s. ekziston 0 , e tillë që 1 , ,pp x y z x z

dhe ,z x y ,


(7) N.q.s. 1, , ,

px y z x z y z

dhe ,z x y ,


(8) N.q.s. , , , 0p p

x y z x z y z

dhe x y ,


(9) N.q.s. , , , 0p p

x y z x z y z

dhe x y ,


.,

x z x yz

x y

N.q.s. , ,X një hapësirë vektoriale e 2 – normuar, 0b X , 1 dhe

2 janë dy funksione gjysmë – pozitive syrjektive, ndërsa është një funksion

gjysmë – pozitiv syrjektiv dhe monoton rritës, atëhere pohimet e mëposhtme janë

karakterizime të njëvlershme të faktit se hapësira , ,X është rigorozisht

konvekse[TEOREMË 2.3.4., TEOREMË 2.3.5., TEOREMË 2.3.6.] :



atëhere ekziston 0 , e tillë që .z x y




,

x z x yz

x y

(3) N.q.s. 1

J X b bX P dhe 2

J X b bX P janë dy

pasqyrime duale të tipit 'B , , x z X b , , y z X b , , 0x y ,

,z x y dhe 1 2


N.q.s. , ,X një hapësirë vektoriale e 2 – normuar dhe , një

p – gjysmë – prodhim i brëndshëm në X, i pajtueshëm me 2 – normën e dhënë

, , atëhere pohimet e mëposhtme janë karakterizime të njëvlershme të faktit se

hapësira , ,X është rigorozisht 2 – konvekse[35] :

- 69 -

(1) N.q.s. 1, , , ,


dhe

, , , 0 x y y z z x , atëhere z x y , ku 0 dhe 0 .

(2) N.q.s.1

, , , , 02


,

atëhere z x y.

(3) N.q.s.1


(4) N.q.s. 1, , , ,


dhe

, , , 0,x y y z z x atëhere z x y , ku,

,

y z

x y

dhe

,.

,

x z

x y

N.q.s. , ,X është një një hapësirë vektoriale e 2 – normuar,

dhe I është një pasqyrim dual i tipit , i përcaktuar në

,. atëhere konditë e nevojshme dhe e mjaftueshme që hapësira

, ,X të jetë rigorozisht 2 – konvekse është që pohimi i mëposhtëm të jetë i

vërtetë [TEOREMË 3.2.3.] :

N.q.s. , dhe ,

ku , atëhere ekziston , e tillë që .


Supozojmë se është një pasqyrim dual i tipit ,

dhe 0 .z b Konsiderojmë pohimet :


(2) , inf 1 , / 0 , , , 1, , 1, , 0.z F y z F J x z x z y z x y z

(3) , inf 1 , / 0 , , , 1, , 1, , 0.z F y z F J x z x z y z x y z

(3) , inf , 0,z F G x y z

ku 0 , , 0 , , , , 1, ,F J x z G J y z x z y z x y z

Kanë vend implikimet[TEOREMË 4.2.1., TEOREMË 4.2.2., TEOREMË 4.2.3.] :

(1) (2) ; (3) (1) ; (1) (4).

N.q.s. hapësira , ,X gëzon cilësinë :

Për çdo 0z X dhe për çdo dy vargje pikash 1n nx

, 1n ny

nga X,

ekziston e tillë që dhe ,

atëhere ka vend implikimi (4) (1)[ TEOREMË 4.2.4.].

, , a b c X ' 'A

, , , ,a b c a b c

, , , I x y I y z I z x , , 0z x y z , , x y y z

, , , ,x y z a b c 0 z x y

bJ X b X P 'B

0,2

0 ,n 0

, 1nx z 0

, 1ny z

- 70 -

Në literaturën bashkëkohore, krahas trajtimeve të koncepteve të konveksitetit rigoroz,konveksitetit 2 – rigoroz dhe konveksitetit uniform për hapësirat vektoriale të2 - normuara me anën e koncepteve të 2 – gjysmë prodhimit të brëndshëm, p – gjysmëprodhimit të brëndshëm dhe pasqyrimit dual për hapësirat vektoriale të 2 – normuara,hasen edhe karakterizime të aspekteve të mësipërme të konveksitetit për hapësiratvektoriale të 2 - normuara me anën e koncepteve të patrajtuara në këtë punim, si ai i pikëssë mesme algjebrike, i pikës së mesme sipas 2 – normës, i (α – β – γ) – pikës së brëndshme algjebrike, i pikës ekstreme, etj., për hapësirat vektoriale të 2 – normuara.Trajtimi i këtyre problematikave përbën një objekt kërkimi të mëtejshëm nga ana jonë.

- 71 -

BIBLIOGRAFIA

[1] Bynum W.L.,

CHARACTERIZATIONS OF UNIFORM CONVEXITY,

Pacific Journal of Mathematics, Vol.38, No. 3, 1971, 577 – 581.

[2] Berkson E.,

SOME TYPES OF BANACH ALGEBRAS,

HERMITIAN OPERATORS AND BADE FUNCTIONALS,

Trans. of the American Mathematical Society 116(1965), 376 – 385.

[3] Cho Y.J.,

CHARACTERIZATIONS OF STRICTLY CONVEX LINEAR2 – NORMED SPACES,

Seminar Notes, Kobe University, Vol.10(1982), 671 – 673.

[4] Cho Y.J. – Ha K.S. – Kim W.S.,

STRICTLY CONVEX LINEAR 2 – NORMED SPACES,

Mathematica Japonica, Vol.26, No.4(1981), 475 – 478.

[5] Cho Y. – Ha K.S. - Park W.,

STRICTLY 2 – CONVEX LINEAR 2 – NORMED SPACES,


[6] Clarkson J.,

UNIFORMLY CONVEX SPACES,

Trans. of the American Mathematical Society, Vol.40(1936), pp. 396 – 414.

[7] Diminnie C. – Gähler S. – White A.,


Mathematische Nachrichten, Vol.59(1974), 319 – 324.


REMARKS ON STRICTLY CONVEX AND

STRICTLY 2 – CONVEX 2 – NORMED SPACES,



2 – INNER PRODUCT SPACE,

Demonstratio Mathematica, Vol.6(1973), 525 – 536.

[10] Diminnie C. – White A.,

A CHARACTERIZATION OF STRICTLY CONVEX 2 – NORMED SPACES,

Journal of the Korean Mathematical Society, Vol.11, No.1(1974), 53 – 54.

[11] Ehret R.E.,

LINEAR 2 – NORMED SPACES,

Doctoral Dissertation, St. Louis University,1969.

[12] Franić I.,

TWO RESULTS IN 2 – NORMED SPACES,

Glasnik Matematički, Vol.17, No.37(1982), 271 – 275.

- 72 -

[13] Franić I.,

A NOTE ON STRICTLY CONVEX LINEAR 2 – NORMED SPACES,


[14] Freese R. – Cho Y.J.,

GEOMETRY OF LINEAR 2 – NORMED SPACES,

Nova Science Publishers, Inc., New York, 2001.

[15] Gähler S.,

VEKTORIALE 2 – NORMIERTE RAUME(LINEAR 2 – NORMED SPACES),

Mathematische Nachrichten, Vol.28(1965), pp.1 – 43.

[16] Giles J.,

CLASSES OF SEMMI – INNER – PRODUCT SPACES,

Trans. of the American Mathematical Society 129(1967), pp.436 – 445

[17] Gudder S. – Strawther D.,

STRICTLY CONVEX NORMED LINEAR SPACES,

Procceding of the American Mathematical Society Vol.59, No.2, 1976, pp. 263 – 267.

[18] Gunawan H. – Mashadi M.,

ON FINITE DIMENSIONAL 2 – NORMED SPACES,

Soochow Journal of Mathematics, Vol.27, No. 3(2001), 321 – 329.

[19] Gunawan H. – Mashadi M.,

ON n – NORMED SPACES,

International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, Vol.27, No.10 (2001),

631 – 639.

[20]. Ha K.S. – Cho Y.J. – Kim S.S. – Khan M.S.,



[21] Ha K.S. – Cho Y.J. – White A.,

STRICTLY CONVEX AND STRICTLY 2 – CONVEX 2 – NORMED SPACES,

Mathematica Japonica, Vol.33(1988), 375 – 384.

[22] Ho Y. – White A.,

A NOTE ON p – SEMI INNER PRODUCT SPACES,

Glasnik Matematički, Vol.22, No.42(1987), 365 – 370.

[23] Iseki K.,

MATHEMATICS ON TWO NORMED SPACES,

Bulletin of the Korean Mathematical Society, Vol.13, No.2(1976), 127 – 135.

[24] Iseki K.,

ON NON – EXPANSIVE MAPPINGS

IN STRICTLY CONVEX LINEAR2 – NORMED SPACES,

Seminar Notes, Kobe University, Vol.3(1975), 125 – 129.

- 73 -

[25] Lin C.S.,

ON STRICTLY CONVEX AND STRICTLY 2 – CONVEX 2 – NORMED SPACES,


[26] Lin C.S.,

ON STRICTLY CONVEX AND STRICTLY 2 – CONVEX 2 – NORMED SPACES II,

International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, Vol.15, No.3 (1992),

417 – 424.

[27] Lin C.S.,

ON UNIFORMLY CONVEX AND

UNIFORMLY 2 – CONVEX – 2 – NORMED SPACES,

Demonstratio Math., Vol.25(1–2)(1992), 161 – 168.

[28] Lumer G.,

SEMMI – INNER – PRODUCT SPACES,

Trans. of the American Mathematical Society 100(1961), pp. 29 – 43.

[29] Newton M.E.,

UNIFORM AND STRICT CONVEXITY IN LINEAR 2 – NORMED SPACES,

Doctoral Diss., Saint. Louis University, 1969.

[30] Rynne Bryan P. and Youngson Martin A.,

LINEAR FUNCTIONAL ANALYSIS(Second Edition),

Springer Undergraduate Mathematics Series, New York, USA, 2007.

[31] Schechter Martin,

PRINCIPLE OF FUNCTIONAL ANALYSIS(Second Edition),

Graduate Studies in Mathematics, Vol.36, American Mathematical Society, 2001.

[32] Siddiqui A.H. – Rizvi S.M.,

2 – SEMI – INNER PRODUCT SPACE I,

Mathematica Japonica, Vol.21(1976), 391 – 397.

[33] Simons G.F.,

INTRODUCTION TO TOPOLOGY AND MODERN ANALYSIS,

McGraw – Hill Publications, Inc., USA, 1963.

[34] Stringa A.,

A GENERALIZATION OF SOME RESULTS

ON STRICTLY CONVEX 2 – NORMED SPACES,

4 – th International Mathematics Conference On Algebra and Functional Analysis, 14 –

15 May 2010, Elbasan, Albania.

[35] Stringa A.,

NJË PËRGJITHËSIM NË HAPËSIRAT VEKTORIALE TË 2 – NORMUARARIGOROZISHT 2 – KONVEKSE,

Konferenca Shkencore Kombëtare “ Fakulteti i Shkencave Natyrore në 100 Vjetorin e

Pavarësisë “,

22 – 23 Nëntor 2012,Tiranë, Albania.

- 74 -

[36] Stringa A.,

ON STRICTLY CONVEX AND STICTLY CONVEX ACCORDING TO AN INDEX

SEMI – NORMED VECTOR SPACES,

General Mathematics Notes, Vol. 4, No. 2, 10 – 22, June 2011.

[37] Stringa A.,

SOME CHARACTERIZATIONS OF STRICT CONVEXITY

IN LINEAR 2 –NORMED SPACES

IN TERMS OF p –SEMI – INNER PRODUCTS PROPERTIES,

Universiteti i Gjirokastrës, Revista periodike “ Matematika dhe Shkencat e natyrës “, Nr.

35(2012), 9 – 20.

[38] Stringa A. – Liftaj S.,

MBI PLOTËSINË E DISA HAPËSIRAVE VEKTORIALE TË 2 –NORMUARA,

Konferenca Kombëtare “ Studime të Avancuara në Inxhinirinë Matematike, Fizike dhe

Kimike “, 28 Tetor 2011,Tiranë, Albania.

[39] Stringa A. – Vardhami I. – Gjino K.,

ON VECTOR 2 – NORMED SPACES,

Universiteti i Tiranës, Buletini i Shkencave Natyrore, Nr. 12(2011), 5 – 15.

[40] Torrance E.,

STRICTLY CONVEX SPACES VIA SEMI – INNER – PRODUCT SPACE

ORTOGONALITY,

Trans. of the American Mathematical Society, 26(1970), 108 – 110.

[41] Unni K. – Puttamadaiah C.,

SOME REMARKS ON STRICTLY CONVEX

SEMI – INNER – PRODUCT SPACE ORTOGONALITY,

Bull.Cal. Mathematical Society, 77(1985), 261 – 265.

[42] White A.,

2 – BANACH SPACES,

Mathematische Nachrichten, Vol.42(1969), pp.43 – 60.

[43] White A. – Cho Y.J.,

LINEAR MAPPINGS ON LINEAR 2 – NORMED SPACES,

Bulletin of the Korean Mathematical Society, Vol.21, No.1(1984), 1 – 6.

doktorature artur stringa, fakulteti i shkencave i natyrore

Documents