2011年1月　第九期

本期快訊邀請了本出版社的教科書《初中數學新探索》及《高中數學新探索》延伸部分的作者陳浩文老師，為我們探討香港中學文憑試數學科（必修部分）卷一的擬題新方向。

探討香港中學文憑試 — 數學科（必修部分）卷一擬題新方向引言與會考課程相比，香港中學文憑課程數學科（必修部分）的課程有重大的變化。以下將會從課題轉變等方面出發，探討必修部分卷一的擬題新方向，並歸納出一些值得注意的課題供教師參考。

課題轉變高中課程由兩年改為三年，當中加入了不少新的課題，大致可分為兩類：1. 從未被納入會考課程的全新課題，例如「排列與組合」。2. 自 2006年開始，在會考課程中被剔除的課題，現在重新列入文憑課程內。此外，課程內的基礎及非基礎課題分佈亦作出了調整，部分在會考課程屬非基礎部分的課題（例如：「解三角方程」、「圓的方程」等），在文憑課程中轉為基礎部分，而只有「以圖解法解二元一次及二元二次聯立方程」則由基礎部分轉為非基礎部分。

文憑試樣本試卷與歷屆會考試卷的比較透過分析考評局公佈的樣本試卷與歷屆會考試卷的題目分佈，有助我們了解文憑試的擬題方向。以下分別從數學科（必修部分）的三個範疇（數與代數、度量圖形與空間及數據處理）出發，比較各個課題在文憑試樣本試卷卷一及會考試卷卷一（取 1998至 2010年的平均值）所佔的分數，從而作出歸納和分析。

陳浩文老師東華三院李潤田紀念中學

下期預告：數學巨人丘成桐教授

— 揭示宇宙的幾何學

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2011年1月

數與代數

1. 歷屆會考佔分比重較高的三個課題「續多項式」、「變分」及「等差數列與等比數列」，在樣本試卷內，仍是重點考問的課題。

2. 會考試卷卷一乙部的各題均佔 11分；而在文憑試試卷內，各題分數則不再固定（樣本試卷各題由 4分至 13分不等）。此變動提高了非基礎課題的擬題靈活性，因而增加了這些課題在文憑試中出現的機會。例如過往甚少考問的課題「指數及對數函數」，也有一道較簡單的應用題在樣本試卷內出現。

值得注意的課題：指數及對數函數

值得注意的課題：統計的應用及誤用

度量、圖形與空間

1. 「圓的基本性質」的部分內容由非基礎部分轉為基礎部分，因此可在甲部考問有關圓的性質的簡單問題。

2. 「直線與圓的方程」重新加入了「圓與直線的關係」這個會考經常考問的概念，因此文憑試亦可能會出現有關的題目。

3. 樣本試卷有一道要求學生描繪軌跡的題目，這類描述性的題目往往是考生較弱的一環，老師可以加強學生文字表達的能力以應付這類型題目。

值得注意的課題：軌跡

數據處理

有關「統計的應用及誤用」的題目佔卷一近 10% 的分數，老師絕對不可以忽略這個課題的重要性。

值得注意的課題：統計的應用及誤用

除了上述的三個重點課題外，部分課題雖然沒有在樣本試卷內考問，卻有機會在 2012年的中學文憑試卷一中出現，包括：不等式與線性規劃、排列與組合、複數的四則運算及數學的進一步應用。

表 1

文憑試樣本試卷 香港中學會考（98 – 10）＊

一元二次方程 1

函數及其圖像 2

指數及對數函數 5 0

續多項式 6 4

續方程 0

變分 6 5

等差與等比數列 4 7

不等式與線性規劃 4

續函數圖像 0

數與代數 21 23

表 2

文憑試樣本試卷 香港中學會考（98 – 10）＊

圓的基本性質 10 6

軌跡 2 0

直線與圓的方程 14 12

續三角 8 12

度量、圖形與空間 34 30

文憑試樣本試卷 香港中學會考（98 – 10）＊

排列與組合 0

續概率 5 7

離差的度量 4

統計的應用及誤用 9 0

數據處理 14 11

準確至最接近的整數＊

準確至最接近的整數＊

表 3準確至最接近的整數＊

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圖 1

擬題方向針對沒有在樣本試卷考問的重點課題，以下會推測其中一部分的擬題方向，並提供例題作參考。

排列與組合

例題：

一次「井」字遊戲中，填寫了 5個「 」及 4 個「✗」。若 5 個「 」不能形成一對角線，求形成這情況的概率。（圖 1為其中一個例子。）

分析：

有關概率的題目通常會利用日常生活的活動為背景擬題，而電視台的遊戲節目就是很好的考問題材。老師在教授「排列與組合」或「概率」時不妨以一些遊戲節目作為例子，讓學生計算不同的概率問題，既能提高學生的學習興趣，又可以訓練他們從概率的角度分析日常生活的問題，有助將來應付中學文憑試。

複數的四則運算

例題：

若 ( )A Bii

+ =−

2 1695 12

，求 A 及 B 的值。

分析：

複數的四則運算被列為非基礎部分，因此，文憑試卷一乙部可能會出現上述例題形式的題目。例題不但包含複數的加、減、乘及除法的運算，更涉及複數恒等式的概念。這種在同一題考問多種概念的形式，就是有關「複數」的擬題方向。

數學的進一步應用

例題：

表 4為瑪莉的銀行月結單。

A 開設銀行戶口

Ｂ 利用易辦事購買一部桌面電腦

C 利用繳費靈繳交薪俸稅

D 售出股票並將收益存入戶口

E 利息

F 售出一部在 2004年 3月 27日購買的桌面 電腦並將收益存入戶口

(a) 若桌面電腦每季的折舊率為 x%，求 x的值。

(b) 在計算瑪莉的薪俸稅時，她的扣稅額及免稅額分別為 $200 000及 $20 000。參考表 5，求她的年薪。

(c) (i) 瑪莉以 $S購入一股票。股東每年可收取 1% 的股息，她每年都利用這些股息再購入同一股票。設股價每年都有 5% 的增長。證明 n年後瑪莉的股票

總值為 105 1 05 1 014

( . . )n n- S。

應課稅入息實額的稅率

應課稅入息實額 稅率首 $30 000 2%另 $30 000 8%另 $30 000 14%餘額 20%

表 5

✗ ✗

✗

✗

複數的減法及除法的運算

複數的加法及乘法的運算

折舊

稅收

等比級數

表 4

日期 存入 支出 結存 參考

2004年 1月 1日 $50 000.00 A

2004年 3月 27日 $4000.00 $46 000.00 Ｂ

2004年 4月 20日 $41 200.00 $4 800.00 C

2004年 6月 30日 $137 621.53 $142 421.53 D

2004年 12月 31日 $1439.18 $143 860.71 E

2005年 3月 27日 $2624.40 $146 485.11 F

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回饋意見及投稿

(ii) 圖 2為 y = 1.05n - 1.01n 的圖像。

瑪莉於 1994年 6月 30日購入該股票，並於 2004年 6月 30日售出該股票。利用圖像，求 S的值。

(d) 從 2004年 6月 30日至 2004年 12月 31日期間，瑪莉得到利息 $1 439.18。若銀行給予年利率 y%，並每日計息一次，求 y的值。

分析：

上述的例題以某人的財政記錄為基礎，當中除了包含折舊、複利息及稅收等百分數的應用外，更包含了等比級數及圖解法的運用。「數學的進一步應用」的擬題方向是以日常生活的情景連貫不同課題的知識，同時考核學生的各種數學技巧，有機會是一道佔分較多的結構式問題。

圖 2

一般建議要在中學文憑試取得好成績，既要了解出題模式及熟悉各種答題技巧，亦要具備良好的數學基本能力。以下的建議歸納自歷屆會考的考試報告：

1. 發展較強的空間感，例如在立體圖形中分辨直角與非直角三角形

2. 在概率問題中分辨不同的情況

3. 熟習相似圖形中長度與面積的關係

4. 熟習有關幾何證明的題目

總結透過以上的分析，希望大家可以更了解文憑試的擬題方向，並藉此設計一套合適的教學策略，幫助學生更有效地應付香港中學文憑試。（上文的分析及意見只供參考之用。）

圖解法

複利息