工學碩士學位請求論文

유한요소시간영역법을 이용한 전자기파의 전파특성

시뮬레이션 연구

Electromagnetic wave Simulation using

Finite-Element Time-Domain Method

2006 年 2 月

仁荷大學校 大學院

電氣工學科

金 大 宇

工學碩士學位請求論文

유한요소시간영역법을 이용한 전자기파의 전파특성

시뮬레이션 연구

Electromagnetic wave Simulation using

Finite-Element Time-Domain Method

2006 年 2 月

指導敎授 元 太 映

이 論文을 碩士學位 論文으로 認定함.

仁荷大學校 大學院

電氣工學科

金 大 宇

이 論文을 金 大 宇의 碩士學位 論文으로

認定함.

2006 年 2 月

主審

副審

委員

- i -

요 약

본 논문에서는 전자기파의 전파특성을 해석할 수 있는 유한요소 시간

영역법(Finite Element Time Domain)에 대한 모델링과 구조해석 결과를

제시한다. 전자기파의 문제는 맥스웰 방정식(Maxwell's equation)과 경계

조건의 적용으로 해석하는데 기하 구조가 간단한 경우에는 정확한 해를

구할 수 있지만 실질적으로 매우 극소수의 경우만이 이에 해당한다. 대부

분의 매질의 경우 복잡한 경계면에서의 산란현상(scattering phenomena),

감쇄매질(lossy medium)에서의 감쇄현상(loss phenomena) 그리고 비등방

성(anisotropic) 매질에서의 위상지연(phase retardation) 현상 등과 같은

복잡한 해석이 요구되며 이는 컴퓨터상에서만 근사 해를 구할 수 있다.

따라서 이러한 복잡한 전자기파의 전파특성을 해석하기 위해 본 논문

에서는 유한요소시간영역법(FETD)을 활용한다. 유한요소시간영역법의 알

고리즘을 구현하기 위해 맥스웰 방정식의 시변(time-varying) 전자계 유도

법칙인 패러데이 법칙(Faraday's law)과 암페어 법칙(Ampere's law)으로

부터 유도되는 헬모츠 방정식(Helmholtz equation)을 적용한다. 이 방정식

에 벡터유한요소법(vector finite element method)을 적용하여 공간에 대

한 이산화를 수행하였고 물리적인 매질의 경계조건과 가상의 흡수경계조

건(absorbing boudnary condition)을 적용하여 컴퓨터 코드화 하였다.

본 논문에서는 유한요소시간영역법을 이용하여 무한한 영역을 전파하

는 전자기파를 해석하였고, 유전체 층(dielectric slab)에서의 전자기파의

투과와 반사 특성해석 그리고 산란체(scatterer)에서의 산란특성 등을 적용

예로 다룬다.

- ii -

Abstract

In this thesis, we proposed 3D finite element solutions of time

domain Maxwell's equation. The problem of electromagnetic analysis is

actually a problem of solving a set of Maxwell's equations subject to

given boundary conditions. However, we can only exactly solve

Maxwell's equation in simple geometry structures. So, we need

numerical method to solve electromagnetic problems in complex

geometry structures such as scattered, loss and anisotropic materials.

Therefore, we have proposed the finite element time domain

method to analyze electromagnetic problems for complex geometry

structure. This methods have been extensively used to solve the

Maxwell's equations in the time domain for the analysis of transient

problems. Moreover, it is often important to analyse systems in a large

frequency band. Time-domain methods are well suited to achieve this

target because they can obtain broadband information from a single

computation.

In this thesis, we modeled the algorithm for the finite element

time domain and simulated propagation characteristics of

electromagnetic wave in various structures. In order to validate

efficiency for the proposed method, we selected some examples which

are analysis of propagation in free space, transmission and reflection in

dielectric slab and scattering by a metal object. The numerical results

demonstrated the accuracy and efficiency of the proposed method.

- iii -

목 차

요 약 ···············································································································i

Abstract ·················································································································ii

목 차 ·············································································································iii

그림목차 ··············································································································v

표 목차 ···········································································································vii

제1장 서 론 ······································································································1

제2장 유한요소시간영역법 ····················································4

2.1 지배방정식(Governig equation) ···················································4

2.2 벡터 형상함수의 모델링 ································································6

2.3 유한요소 정식화 ············································································10

2.4 시간영역 이산화 ············································································13

2.5 경계조건(Boundary Condition) ··················································16

제3장 입사파의 구현 ·····························································20

3.1 Hard Source and Soft Source ···················································20

3.2 전체파와 산란파(Total and Scattered field) 전개 방법 ········ 23

제4장 수치해석 알고리즘의 순서도 ·································25

- iv -

제5장 시뮬레이션 결과 및 논의 ········································28

5.1 무한영역으로의 전파해석 모의실험 ··········································28

5.2 유전체 층(dielectric slab)에서의 전파해석 모의실험 ·············32

5.3 산란현상(scattering phenomena) 해석 모의실험 ····················38

제6장 결 론 ·············································································41

참고문헌 ···················································································42

- v -

그 림 목 차

그림 1.1 EM problem 해석에 대한 개요도 ··········································1

그림 2.1 노드기반(node-based)의 사면체 요소 ····································6

그림 2.2 모서리기반(edge-based)의 사면체 요소 ································7

그림 2.3 위치에 따른 벡터형상함수의 분포 ······································· 10

그림 2.4 Time marching process ·························································· 15

그림 2.5 전자계의 경계조건 ··································································· 17

그림 3.1 가우시안 펄스의 입사파 형태 ··············································· 21

그림 3.2 전체파/산란파 전개법 ·····························································23

그림 4.1 FETD의 시스템 행렬 구성 알고리즘 ··································· 25

그림 4.2 Time loop 알고리즘 ································································ 26

그림 5.1 자유공간에서의 전파 시뮬레이션 구조 ······························· 28

그림 5.2 무한공간으로 전파하는 가우시안 펄스파 ··························· 30

그림 5.3 흡수경계조건의 적용결과 ······················································· 31

그림 5.4 Dielectric slab 구조 ································································· 32

그림 5.5 Dielectric slab에서 전파하는 가우시안 펄스파 ················· 34

그림 5.6 z-축 방향으로의 1차원 데이터 추출 결과 ·························· 35

그림 5.7 관찰점에서 시간에 대한 펄스의 동적응답 특성 결과 ····· 37

그림 5.8 금속 산란체가 삽입된 해석 구조 ········································· 38

그림 5.9 각 시간단계에 따른 산란특성 결과 ····································· 40

- vi -

표 목 차

표 5.1 Exact solution과의 비교 ··························································· 36

- 1 -

제1장 서 론

컴퓨터 기술의 발달로 인해 전자기장 문제 해석 방식에 많은 변화가

일어나고 있다. 전자파 분야의 엔지니어들은 복잡한 전자파 문제해석에

대해서 컴퓨터 기술에 전적으로 의존하고 있다. 궁극적으로 대부분의 전

자파 해석문제는 한, 두개의 편미분 방정식을 풀어낸다는 것을 의미 하지

만 실질적으로는 매우 극소수의 문제만이 컴퓨터의 도움 없이 풀리는 실

정이다. 대부분의 경우 복잡한 경계면에서의 산란(scattering), 감쇄매질에

서의 감쇄(loss) 그리고 비등방성(anisotropic) 매질에서의 위상지연 등과

같은 복잡한 해석이 요구된다. 이와 같은 이유로 전자기파의 해석을 위한

수많은 수치 해석 기술이 제공되고 있으며 각 기술들은 특정한 문제 유형에 대

한 적합한 분석을 제공한다.

그림 1-1. EM problem 해석에 대한 개요도

- 2 -

전자기파의 수치해석 모델링 방법은 크게, 사용하는 공식화 형식에 따라

시간 영역 또는 주파수 영역으로 분류된다. 일부 주파수에서의 정상 상태 응답

을 원하거나 주파수 의존형 성분이 있는 문제는 일반적으로 주파수 영역에서

처리된다. 그러나 고속과도응답(transient response), 비선형성 및 시간 의존형

파라미터가 있는 경우는 시간 영역에서 처리되는 것이 가장 효율적일 것이다.

어떤 영역을 채택하든 다른 영역에서의 결과는 시스템의 임펄스와 주파수 응

답이 푸리에 변환(Fourier transform)의 쌍이라는 것을 인식함으로써 찾을 수

있다. 하지만, 최근 전자기파 해석에서 한번의 계산으로 광대역 주파수 범위

(broad band)의 응답특성을 해석할 수 있는 시간영역 해석 방법이 많은 알고리

즘이 연구되면서 이용 가치가 높아지고 있는 실정이다.

또 하나의 모델링 방법은 해석 영역을 이산화 하는 방식으로 분류된다. 이

방식에 대한 모델링 방법은 크게 유한차분법(FDM: finite difference method)

과 유한요소법(FEM: finite element method) 그리고 경계요소법(BEM:

boundary element method)으로 분류된다. 현재 3차원 전자기파 전파해석 문

제에 대한 실용적인 모델링으로써 유한차분법이 적용되어 시간영역에서 해석

하는 유한차분시간영역법(FDTD: finite difference time domain) [1]이 많이 사

용되고 있다. 이 방법은 맥스웰 회전방정식을 이-알고리즘(Yee-algorithm)에

맞게 이산화하고, 유한차분법을 시간과 공간영역에 적용하여 해석하는 풀-웨

이브(full-wave) 수치해석 모델이다. 일반적으로 유한차분법을 적용한 수치해

석 기법이 가지는 모델링과 알고리즘화의 간단함이라는 장점을 가지고 있다.

하지만 여기에는 몇 가지 문제점이 따른다. 첫째는 3차원 벡터 문제가 계산적

인 요소를 더욱 요구하기 때문에 스퓨리어스 솔루션(spurious solution) 이라

는 물리적으로 예측불가능 하거나 부정확한 결과를 낳는 문제점이다[2].

두 번째는 복잡한 경계면을 처리하는데 있어서 그리드 기반(grid-based)

- 3 -

기술이 구조적인 문제가 있다는 점이다[2].

최근 스퓨리어스 솔루션분야의 발전으로 인해 이러한 문제가 해결 되고

있고 점점 더 복잡한 전자기 문제를 모델링 하고자 하는 요구와 더불어 컴퓨터

소스 이용도가 높아졌다. 따라서 전자기파의 전파 해석 문제를 해결하기 위한

유한요소법(FEM: finite element method)에 대한 새로운 관심이 일어나고 있

다. 이와 같은 이유에서 전자기파의 전파해석에 유한요소법을 적용하여 시간

영역에서 해석하는 유한요소시간영역법(FETD: finite element time domain)

[3]이라는 수치해석 기법을 적용하였다.

전자기파의 전파 특성에 관한 물리적 모델을 이해하고, 이를 컴퓨터

상에서 구현할 수 있는 CAD 환경을 통해서 결과를 미리 예측하고자 본

연구를 수행하게 되었다. 따라서 본 연구에서는 전자기파의 전파특성 해

석을 위한 유한요소시간영역법에 대한 모델링을 수행하고 알고리즘화 하

여 다양한 매질에서 발생할 수 있는 전자기파의 전파특성을 해석하였다.

다음의 2, 3장에서는 유한요소시간영역법에 대한 모델링에 대하여 설

명하고 계산을 보다 정확하게 하기위한 구조적 이산화에 대한 연구내용을

설명하였다. 그리고 4장에서는 유한요소시간영역법의 알고리즘에 대하여

설명하였다. 5장에서는 개발된 3차원 유한요소시간영역법의 코드로부터

시뮬레이션을 수행한 결과를 분석하였다.

- 4 -

제2장 유한요소시간영역법

2.1 지배방정식(Governing Equation)

본 연구에서는 전자기파의 전파특성 해석을 모델링 하기 위해 맥스웰

방정식(Maxwell equation)으로부터 유도되는 벡터 파동 방정식(Vector

Helmholtz equation)을 도입하였다. 유한요소시간영역법(FETD: finite

element time domain)은 임의의 3차원 구조에 대한 시변(time-varying)

전자기파의 동정응답특성해석을 위해 효율적으로 접근할 수 있고 기본이

되는 맥스웰의 회전 방정식을 통해 수치해석 적으로 기술하는 방법이다.

∇× E=-μ∂ H∂t

(2-1)

∇× H=ε∂ E∂t

+σ E+ J imp (2-2)

맥스웰 회전 방정식은 암페어의 폐회로 법칙(Ampere's law)과 패러데

이의 전자계 유도법칙(Faraday's law)을 정리한 방정식으로, 식(2-1) 및 식

(2-2)와 같다. E 는 전계, H 는 자계로써 각각 벡터성분이다. σ는 전도

도(conductivity)를 나타내고 μ 와 ε 은 각각 매질의 유전율(permittivity)

과 투자율(permeability)을 나타낸다. 식(2-2)의 J imp 는 원천(source) 전

류원이며, 특히 J imp=0 인 경우는 전류의 원인이 되는 전류원

(impressed current source)이 존재하지 않음을 의미하며 물리적으로 외부

- 5 -

에서 전자기파의 입사가 이루어지는 매질의 경우이다. 본 논문에서는 외

부에서 전자기파가 입사하는 경우를 해석하였으므로 전류원( J imp )을

“0” 으로 정의 하였다.

유한요소시간영역법은 이 두 법칙으로부터 유도되는 벡터 파동방정식

(Helmholtz equation)을 지배방정식으로 가진다. 식(2-1)에 공간에 대한 회

전미분(curl)을 취하거나 식(2-2)에 시간에 대한 미분을 취하면 식(2-3)과

같은 지배방정식(governing equation)을 얻을 수 있다.

∇×1μ

∇× E+σ∂ E∂t

+ε∂

2E

∂t2 =0 (2-3)

특히 매질의 등방성(isotropic)과 비등방성(anisotropic) 성질에 따라서

지배방정식의 파라미터 σ,μ,ε 은 상수형태 혹은 텐서형태로 기술될 수

있다. 유한요소시간영역법은 이 지배방정식을 이용하여 시간영역에서 일

정량의 시간 간격을 두고 전채 해석공간에서의 시변(time-varying) 전계

값을 계산하는 메쉬기반(mesh-based) 기술이다. 또한, 유한요소시간영역법

은 최근 복잡한 경계면의 전자계 산란특성(scattering phenomena)해석이

나 등방성 매질 비등방성 매질 등 다양한 매질의 전자계 해석이 가능할

뿐만 아니라 그리드기반(grid-based)의 유한차분시간영역법(FDTD: finite

difference time domain)보다 정확하며 구조의 이산화(discretization)에 우

수성을 가진다[2].

- 6 -

2.2 벡터 형상함수의 모델링

전술한 지배방정식(vector Helmholtz equation)을 수치해석 적으로 풀

기 위해서는 이산화 된 구조의 유한요소에서 E 성분을 근사화해야 할

필요가 있다. 일반적인 유한요소법의 경우 그림 2-1에 제시된 바와 같이

생성된 메쉬의 노드에 형상함수(shape function)를 구성하는 노드기반요소

법(node-based element)[4]이 널리 사용된다. 요소 내에서 형상함수

( N e )는 식(2-4)와 같이 나타낼 수 있다.

Ne(x,y,z)=a

e+b

ex+c

ey+d

ez (2-4)

그림 2-1. 노드기반(node-based)의 사면체 요소

- 7 -

식(2-4)에서 계수 ae,be,ce,de 는 요소에서 각 노드(node)의 좌표 값

에 의해 결정된다. 이러한 형상함수는 사면체의 네 절점에서 형성되며 각

절점에서의 형상함수를 N ei 라 할 때, i 번째 절점에서 "1"의 값을 가지

고 다른 절점에서는 "0" 의 값을 갖는 기저(basis)의 특성을 가진다.

대부분의 유한요소해석에서는 전술한 바와 같이 사면체의 각 절점에

형상함수를 구현하는 노드기반요소(node-based element)법을 사용하지만

전자계해석의 경우는 이 방법을 사용하기 보다는 사면체의 각 모서리에

형상함수를 구현하는 모서리기반요소(edge-based element)법[4]을 사용하

는 것이 경계조건의 처리에 있어서 훨씬 효율적이다. 모서리기반요소는

그림 2-2에 제시되어 있다.

그림 2-2. 모서리 기반(edge-based)의 사면체 요소

- 8 -

모서리기반요소의 가장 큰 특징은 형상함수( We )가 벡터성분을 가

진다는 점이다. 벡터형상함수는 식(2-5)와 같이 나타난다.

Wi = 1Lij

( Nj▽Ni-Ni▽Nj ) (2-5)

여기서 L ij 은 i 노드와 j 노드로 구성되는 모서리의 길이이며,

Ni, Nj 는 각 노드에서 노드형상함수를 나타낸다. 벡터형상함수는 각

노드의 노드형상함수에 식(2-5)와 같이 그래디언던트(gradient) 연산을 취

함으로써 얻어진다. 각 모서리에서 벡터형상함수는 모서리를 따라 접선성

분의 값이 모두 같으며 법선성분의 값은 같지 않다. 즉, 전자계의 경계면

에서 접선성분이 연속이고 법선성분이 불연속인 물리적인 성격과 일치한

다는 점에 주목해야 할 것이다. 따라서 이 벡터형상함수가 전자계 해석에

필요한 경계조건과 일치하는 성질을 가지고 있으므로 물리적으로 의도하

지 않은 해가 구해지는 슈프리어스 솔류션의 문제를 해결할 수 있을 뿐만

아니라 경계조건의 처리가 매우 효율적인 방법이다.

벡터형상함수를 사용하여 사면체 요소에서 E 는 식(2-6)과 같이 근사

화 될 수 있다.

E(r,t) = ∑6

i=0Wi(r) e( t) (2-6)

식(2-6)에서 Wi(r) 는 사면체 요소의 6개의 모서리에서 벡터형상함

- 9 -

수를 나타내며 e i(t)는 시간에 대한 전계 값으로써 벡터형상함수 방향으

로의 스칼라 값이다. 일반적으로 모서리의 중앙 점(mid-point)에서의 값을

기준으로 설정한다.

각 모서리에서의 벡터형상함수를 식(2-7)에 나타내었다.

W 1 = N 1▽N 2 - N 2▽N 1

W 2 = N 1▽N 3 - N 3▽N 1

W 3 = N 1▽N 4 - N 4▽N 1 (2-7)

W 4 = N 2▽N 3 - N 3▽N 2

W 5 = N 4▽N 2 - N 2▽N 4

W 6 = N 3▽N 4 - N 4▽N 3

벡터형상함수는 i 번째 모서리의 형상함수를 Wi 라고 하고, j 번째

모서리의 접선 단위 벡터를 t ĵ 라고 할 때 식(2-8)과 같은 성질을 가진다.

Wi⋅ t ĵ=1 , ( i= j )

Wi⋅ t ĵ=0 , ( i≠j ) (2-8)

식(2-8)의 의미는 그림 2-3의 유한요소에서 각 위치에 따른 벡터형상

함수의 분포로부터 쉽게 알 수 있다. 자신의 모서리에서 벡터형상함수의

- 10 -

접선성분은 모두 같으며 다른 모서리에서의 접선성분은 “0”의 값을 가짐

으로써 기저의 특성을 만족한다. 이는 벡터형상함수의 성질이 물리적으로

전자계의 경계면에서 나타나는 접선방향으로 연속인 성질과 법선성분이

불연속인 성질을 만족하는 것을 나타낸다.

그림 2-3. 위치에 따른 벡터형상함수의 분포

본 논문에서는 이러한 벡터형상함수를 이용하여 유한요소해석을 전술

한 식(2-3)의 지배방정식에 적용하였다.

2.3 유한요소 정식화

전자기파의 전파특성을 유한요소법을 적용하여 해석하기 위한 정식화

방법으로 갤러킨 방법(Galerkin method)[5]을 사용하였다. 본 연구에서 사

용된 갤러킨 방법은 가중 잔여법의 하나로서 가중함수로 각 모서리의 값

을 내삽(interpolation)하기 위한 벡터형상함수를 사용한다.

- 11 -

∇×1μ

∇× E+σ∂ E∂t

+ε∂ E∂t

=0 (2-9)

갤러킨 방법에 따라 식(2-9)의 지배방정식에 가중함수인 벡터 기저함

수를 곱하여 적분을 취하면 식(2-10)과 같이 나타난다.

⌠⌡V [W⋅(∇×

1μ

∇×E ) + σ⋅W∂E∂t

+ W⋅ε∂

2E

∂2t ] dV = 0 (2-10)

식(2-10)에서 전계의 공간에 대한 회전 미분을 포함하는 적분항은 벡

터 항등식(vector identity)과 발산정리(divergence theorem)로부터 공간에

대한 적분과 그 공간을 에워싸는 표면(closed surface)에 대한 적분의 형

태로 식(2-11)과 같이 다시 기술할 수 있다.

⌠⌡V [

1μ

(∇×W )⋅(∇×E ) + σ⋅W∂E∂t

+ W⋅ε∂

2E

∂2t ] dV

+ ⌠⌡S1μW⋅( n̂ ×∇×E )dS = 0 (2-11)

식(2-11)에서 표면 적분항의 n̂ 은 표면에 대한 법선단위벡터 성분이

다.

위의 식(2-11)에서 전계에 대한 근사함수식 E(r,t) ≈ W 2(r) e i(t)을

대입하여 식(2-12)에 나타난 전계의 공간성분과 시간성분이 분리된 상미분

방정식을 얻을 수 있다. 이 상미분 방정식에서 공간에 대한 적분항은 유

한요소시간영역법의 요소시스템 행렬 성분이 되고 간략화 하여 식(2-13)의

형태로 나타낼 수 있다.

- 12 -

[⌠⌡V1μ

(∇×Wi)⋅(∇×Wj)dV ]e( t) + [⌠⌡VσWi⋅ Wj dV ]de( t)dt

+ [⌠⌡SYc( n̂ ×Wi )⋅(∇×Wj ) dV ]de( t)dt

= 0 (2-12)

[S ]e + [Tσ]dedt

+ [T ]d

2e

dt 2 = 0 (2-13)

식(2-13)를 구성하는 유한요소 시스템 행렬은 강성행렬(stiffness

matrix), 감쇄행렬(damping matrix) 그리고 질량행렬(mass matrix) 이라는

3 가지의 시스템 행렬로 구성된다.

[S ] ij = ⌠⌡V

1μ

(∇×Wi)⋅(∇×Wj)dV (2-14)

[T σ] ij = ⌠⌡V

σWi⋅ Wj dV +⌠⌡SABC

Yc( n̂ ×Wi )⋅(∇×Wj ) dS (2-15)

[T ] ij = ⌠⌡SYc( n̂ ×Wi )⋅(∇×Wj ) dV (2-16)

[S ] ij (stiffness matrix)은 공간성분에 대한 미분항을 포함하는 행렬

이고, [T σ ] ij (damping matrix)은 시간성분에 대한 1차 미분항의 계수 행

렬이다. 이 성분은 매질에서 전자기파의 감쇄와 흡수에 관련된 행렬이다.

[T σ ] ij 행렬의 우측 표면 적분항은 해석영역을 에워싸는 최외각의 경계

조건과 관련되었으며 식(2-15)의 표면 적분항 으로부터 유도된 흡수경계조

건(ABC: absorbing boundary condition)에 대한 항이다. 흡수경계조건은

무한공간으로 전파하는 전자기파를 한정된 컴퓨터 영역에서 구현하는 가

- 13 -

상의 경계조건이다. 적용된 경계면에서 전자기파의 반사성분 없이 모두

흡수시킴으로써 무한히 전파하는 효과를 준다. 흡수경계조건과 관련된 이

표면적분 항에 대한 유도과정과 자세한 내용은 2.5절에서 논하기로 한다.

마지막으로 [T ] ij (mass matrix)는 시간성분에 대한 2차 미분항의 계수

행렬이다. 이 행렬 성분은 매질에서 전자기파의 위상속도와 관련된 행렬

이다.

전술한 바와 같이 유한요소법의 정식화에 의해 지배방정식의 공간과

시간성분에 대한 항이 분리 되었다. 여기서 식(2-13)의 각 행렬 성분들이

전자기파의 전파와 관련된 의미를 가지는 것을 확인할 수 있다. 이 시스

템 행렬 방정식에 시간 성분에 대해 차분법을 수행하여 시간차분 알고리

즘(time-stepping algorithm)을 적용함으로써 유한요소시간영역법에 대한

알고리즘을 완성할 수 있다.

2.4 시간영역 이산화(Time-domain dicretization)

유한요소 정식화에 의해 수행된 시스템 방정식의 시간영역을 이산화

하기위해 유한차분법(FDM)을 적용하였다. 먼저 시간 축을 일정한 미소

증분(△t)으로 나누고 시간에 대한 변수를 t=n△t 로 기술함으로써 시간

영역에 대한 미분을 이산화하여 나타낼 수 있다.

이산화에 있어서 중요한 것은 수치적 산란오차(numerical dispersion

error)를 최소화하고 수치적 정확도(numerical accuracy)를 보장해야 한다

는 점이다. 공간증분(mesh size)과 시간증분(△t)을 사용되는 신호의 한 사

이클(파장, 주기)내에 10～20개 이상의 샘플이 들어갈 수 있도록 설정하면

정확한 결과를 얻을 수 있을 것이다.

유한요소시간영역법에서 사용되는 벡터 파동방정식의 근사화에서 발생

- 14 -

하는 오차는 시간과 공간 모두에 대해서 2차이며 컴퓨터에서 안정된 조건

하에서 수행되기 위해서는 시간증분(△t)에 대한 안정적인 조건이 반드시

필요하다. 이러한 안정조건으로 유한차분시간영역법(FDTD)의 경우에 쿠

란안정조건(CFL: Courant-Friendrich-Levy stability)이 시간증분(△t)의 크

기를 결정하는데 있어서 이용되고 있지만 유한차분법이 적용되어 확실한

그리드기반(grid-based)의 이산화가 수행되었을 경우 유용한 방법이다.

따라서 시간증분(△t)의 안정성을 유한요소시간영역법에서 보장할 수 있

는 방법으로 뉴마크-베타방법 (Numark-β method)[3]이라는 적분법을 사

용하였다. 이 방법은 특별한 조건을 부여할 경우 어떠한 시간증분(△t)에

대해서도 항상 안정성(unconditionally stable)을 보장하는 유용한 방법이

다. 뉴마크-베타방법에서 일반적인 시간의 변수를 가지는 함수에 대한 미

분 근사는 식(2-17), (2-18)과 같다.

e(t+△t) = e( t)+△tde( t)dt

+(12-β)(△t)

2 d2e(t)

dt2

+β(△t)2 d

2e(t+△t)

dt2

(2-17)

de(t+△t)dt

=de( t)dt

+(1-γ)△td

2e(t)

dt2 +γ△t

d2e(t+△t)

dt2

(2-18)

여기서 β 와 γ 는 시간영역 이산화에 대한 안정성(stability)과 정확성

(accuracy)을 조절하기 위해 선택되는 변수이다. 이 식을 전술한 시스템

행렬 방정식(2-13)에 적용하면 뉴마크-베타 방법이 적용된 이산화 된 식

(2-19)을 얻을 수 있다.

- 15 -

{ 1(△t) 2 [T ]+γ△t

[T σ ]+β[S ]}{e}n+1

= { 2(△t) 2 [T ]-(1-2γ)2△t

[T σ]-(12+γ-2β)[S ]}{e}n

- { 1(△t) 2 [T ]-(1-γ)△t

[T σ]-(12-γ+β)[S ]}{e}n-1 (2-19)

식(2-19)에서 [T ] , [T σ ] , [S ] 는 시스템 행렬 방정식의 계수행렬

성분이다. 안정성을 보장하는 두 변수가 γ=0.5 , β=0 일 경우 중앙차

분법(central difference method)과 동일하며, 특히 β ≥ 0.25 일 경우 어

떠한 시간 증분에 관계없이 항상 안정성을 보장한다.

그림 2-4. Time marching process

식(2-19)에서 en+1= e( t+△t) 로써 △t 증분만큼 앞선 시간에서 전계

의 스칼라(scalar) 값으로 알 수 없는 값이다. en= e( t) 은 현재 시간 단

계에서 전계의 스칼라 값이고, en-1

= e( t-△t) 는 한 단계 이전의 전계

- 16 -

스칼라 값이다. 그림 2-4에 제시된 바와 같이 en 와 e

n-1 의 전계 값이

주어지면 이 값으로부터 다음 시간증분 후의 en+1 값을 구하게 된다. 값

을 구한 후 다음 시간 단계에서 en 은 e

n-1 로 할당하고 en+1 은 e

n

으로 할당한다. 전계의 값은 이러한 시간반복과정(time-marching

processing)을 통하여 각 시간 단계에서 계산이 된다.

2.5 경계조건(Boundary Condition)

전자계 해석문제는 경계조건의 문제라고 할 만큼 경계조건은 매우 중요

한 부분을 차지한다. 본 논문에서 사용한 경계조건은 크게 물리적으로 서

로 다른 매질에서의 경계조건과 수치해석 적으로 구현하는 가상의 경계조

건(fictional boundary)이다.

n̂⋅( D 1- D 2) = 0

n̂× ( E 1- E 2) = 0

n̂⋅( B 1- B 2) = 0

n̂× ( H 1- H 2) = 0 (2-20)

물리적인 경계조건은 그림 2-5에서와 같이 서로 다른 매질의 접합부에

서 나타나는 전자계의 경계조건으로 유전체와 유전체의 경계면에서 그리

고 유전체와 도체의 경계면에서 주어진다. 유전체의 경계면에서 경계조건

은 식(2-20)과 같다.

- 17 -

(a)

(b)

그림 2-5. 전자계의 경계조건: (a) 전속 및 자속밀도의 수직성분의 연속,

(b) 전계 및 자계의 접선선분의 연속

- 18 -

n̂ 은 경계면에서 법선 단위 벡터이다. 경계면에서 전속밀도(flux

density)는 가우스 법칙(Gauss's law)에 의해 법선 성분이 연속이다. 혹은

전계와 자계의 법선성분은 불연속이다. 그리고 전계와 자계의 접선 성분

은 연속이다. 이 조건은 모서리기반의 사면체요소(edge-based element)에

서 벡터형상함수 자체가 접선성분이 연속이며 법선성분이 불연속인 성질

을 만족하므로 내재적으로 경계조건을 처리하지 않고 만족이 되는 내츄럴

경계조건(Natural Boundary Condition)[2]이다.

n̂ × E = 0

n̂⋅H = 0 (2-21)

완전도체의 경계조건(PEC: perfect electric condition)은 식(2-21)과 같다.

완전도체에서 전하가 표면에서만 존재하므로 전계의 접선성분과 자계의

법선 성분의 값이 “0” 이다. 완전도체의 경계조건은 경계면 모서리에 강

제적으로 경계조건을 적용하는 강제조건(Essential Boundary Condition)

[3]에 의해 구현된다.

전자기파의 전파해석을 하다보면 무한 자유공간을 전파해가는 전자기

파를 계산해야 하는 경우가 있다. 이때 무한 공간에서 모두 계산하는 것

은 불가능하기 때문에 경계조건에서 실제상황과 동일한 환경에서 전자파

가 계속 진행하고 있는 것과 같은 효과가 필요하다. 실제 문제에 적용 할

때 발생하는 문제점의 하나로 무한 공간에서의 전자파 복사(radiation) 및

산란(scattering) 문제를 제한된 공간에서 적용하여 해석할 수 있도록 하는

것이다. 이러한 문제에서는 계산되는 영역뿐 아니라 주위 자유공간까지를

계산영역에 포함시키는 3차원 공간 구조가 만들어져야 하며, 무한 공간에

대해서 구조를 생성해야 하기 때문에 컴퓨터 기억 용량의 한계로 계산이

불가능하게 된다. 따라서 유한한 크기로 계산 영역을 한정하여 그 경계면

- 19 -

에 입사하거나 산란되는 전자파의 반사 없이 모두 흡수시켜 버리는 경계

조건을 부여함으로써 한정된 컴퓨터 처리시간과 기억 용량으로 무한 영역

에서 이루어지는 결과와 유사한 계산 결과를 얻어야 한다.

본 논문에서는 이러한 경계조건을 적용시키기 위해 흡수경계조건

(ABC: absorbing boundary condition) [6] 식(2-22)을 사용하였다.

n̂ × [ 1μ ∇×E ] = -Yc∂∂t

( n̂ × n̂ ×E ) (2-22)

Yc=εμ

무한영역 경계면의 어드미턴스(admittance)이고 n̂ 은 그

경계면에서 빠져나가는 법선 벡터 성분이다. 이 조건은 E 가 조화함수

형태의 평면파(time-harmonic wave)라고 가정할 때, k=ω με ( k : 전

파상수, ω : 각주파수)의 ω-k 혹은 분산(dispersion) 관계식을 만족한다.

흡수경계조건은 2.2절의 식(11)에서 표면적분성분에 적용이 되어 식(2-15)

의 [T σ ] 성분 우측항에 표면 적분항으로 나타나게 되었다.

- 20 -

제3장 입사파의 구현

3.1 하드소스와 소프트소스(Hard source and Soft source)

유한요소시간영역법의 장점을 충분히 이용할 수 있는 입사파로 가우

시안(Gaussian) 펄스파와 연속적인 입사파 즉, cosine, sine 형태의 평면파

가 널리 사용된다. 가우시안 펄스의 경우 단일 입사파를 이용한 한 번의

계산으로 관심 주파수 영역의 응답을 모두 얻을 수 있을 뿐만 아니라, 입

사파의 주파수 대역폭을 계산 특성에 알맞게 간단히 조정할 수 있는 이점

이 있다. 예를 들어 x 방향의 전계 성분만을 가지는 평면파를 입사시키는

경우, 입사파를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

Eix =Ex exp(-α[τ-βΔt]

2) (3-1)

여기서 시간 지연 τ는 다음과 같이 주어진다.

τ = nΔt+r'⋅ r̂/C+R/C (3-2)

여기서 r' 는 원점과 계산 영역 내부의 입사점과의 거리를 의미하고,

r̂ 는 입사파의 방향, R은 임의의 기준 거리, C 는 광속을 의미한다. 위

의 식(2-23)에서 α , β 를 적절하게 조정하면 원하는 주파수 폭과 시간 지

연을 갖는 가우시안 펄스파를 얻을 수 있다. 원칙적으로 가우시안 펄스파

는 -∞ ~ +∞ 시간까지 값을 가지지만 계산을 위해서 가우시안 펄스파를

임의의 시간 폭으로 절단해서 사용한다. 즉, 위의 식(3-1)의 가우시안 펄스

- 21 -

파의 펄스는 τ =βΔt에서 최고값을 가지고 τ =0 에서 τ =2βΔt까지

만 존재하며 나머지 영역에서 모두 “0” 인 펄스파로 절단시켜 사용된다.

가우시안 펄스파가 절단되는 τ =0 과 τ =2βΔt 시간의 값은 α 에 의해

결정되는데, α 값과 β 값의 선택에 아무런 상관관계가 없지만 일반적으로

절단 점에서의 값이 exp(-16) 이하가 되는 α =(4/(βΔt))2 정도의 값을

사용한다.

그림 3-1. 가우시안 펄스의 입사파 형태

0.0 1.0x10-10 2.0x10-10 3.0x10-10 4.0x10-10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Ampl

itude

Time [sec]

구현된 입사파를 여기시키는 방법은 강제조건(essential boundary

condition)에 의해 입사시키는 하드소스(hard source)구현 방법[1]과 전류

원소스를 이용하여 입사시키는 소프트소스(soft source)구현 방법[1]으로

구분될 수 있다.

- 22 -

하드소스 구현법은 시간단계마다 입사면의 모서리요소에 강제로 입사

파의 값을 고정시키기 때문에 반사파가 입사면으로 되돌아 올 경우 입사

파와의 중첩현상을 표현할 수 없으며 입사면에서 흡수가 이루어지지 않는

단점이 있다. 따라서 해석 영역 내부에서 반사나 산란이 이루어지지 않는

경우 간편하게 구현할 수 있는 방법이다.

소프트소스 구현법은 지배방정식에 전류원에 관한 항을 추가시켜줌으

로써 입사파를 구현하는 방법이다. 이 방법은 입사면에서 반사파와 중첩

현상을 해석할 수 있고, 입사면에 흡수경계조건을 적용 시킬 수 있다. 따

라서 해석영역 내부에 산란체가 있는 경우나 반사파가 존재 할 경우 사용

되는 방법이다. 외부에서 입사파가 해석영역 내부로 전파되는 경우 등가

전류원(equivalent source)의 형태로 나타난다. 이 전류원 소스항은 지배방

정식의 유한요소정식화 과정에서 나타나는 표면적분항이며 식(3-3)에 나타

나있다.

⌠⌡S

1μW⋅( n̂ ×∇× E inc )dS (3-3)

식(3-3)에서 E inc 입사파를 의미하고 이 식은 제 2.2절의 식(2-11)에

있는 표면적분항이며 해석영역의 경계면이다. 앞 절에서는 무한공간을 전

파하는 전자파를 표현하기 위해서 식(3-3)은 흡수경계조건으로 분산관계식

에 의해 치환되었다. 또한 완전도체의 경계면이 될 경우 강제조건에 의해

이 식은 사라진다.

- 23 -

3.2 전체파와 산란파(total and scattered field) 전개 방법

전체파와 산란파(total-field and scattered-field)영역으로 구분하여 해

석을 하는 방법은 주로 사인파가 정상 상태(steady state)로 입사하는 경

우나 입사파가 비스듬히 임의의 각을 가지고 입사하는 경우를 해석하기

위하여 전자파원을 간략하게 표현하면서 비롯되었다.

맥스웰 방정식의 선형성으로 인하여 전계를 아래와 같이 전체파(total

field)와 산란파(scattered field)로 분리할 수 있다.

Etot= Ei+ Escat (3-4)

여기서 Ei는 입사파(incident field)를 나타내고, 해석영역 내에서 미

리 알 수 있는 값이다. 이것은 전자파가 산란체가 존재하지 않는 자유공

간을 진행하는 경우와 같다. Escat 는 산란체에 의한 산란파를 나타내는

것으로 계산을 통해서 결정해야 하는 값이며, 미리 알 수 없는 값이다.

그림 3-2. 전체파/산란파 전개법

Region 1 :Total Fields

Region 2 :Scattered Fields

Lattice Truncation

InteractingStructure

ConnectingSurface andPlane WaveSource

- 24 -

전체파와 산란파 전개방법(Total and Scattered field decomposition

method)[7]이란 계산하고자 하는 영역을 그림 3-2와 같이 물리적으로 존

재하지 않는 가상 경계면을 만들어, 영역 내부를 전체파 Etot 를 이용하

여 유한요소 정식화를 하고, 영역 외부를 산란파 Escat 를 이용하여 정식

화한 후, 경계면에서의 불연속을 연결 조건(connection condition)을 이용

하여 두 영역을 적절하게 연결시켜 전체적인 계산을 하는 방법을 말한다.

전체파와 산란파 영역으로 전자파를 구분하여 계산하면 그림 3-2에서

의 전체파영역(Region 1)의 내부로 임의로 편향된 임의 방향의 입사파를

입사시킬 수 있다. 또한 흡수경계 조건을 적용하는 영역은 산란파만으로

계산하는 산란파영역(Resion 2)으로써 전자파가 외부를 향해 빠져나가는

방향을 가지게 되어 흡수경계 조건을 적용하기 쉬운 장점이 있다.

- 25 -

제4장 수치해석 알고리즘의 순서도

유한요소시간영역법의 수치해석 알고리즘은 공간에 대한 시스템 행렬

성분의 구현 알고리즘과 시간에 대한 루프(time-loop)알고리즘으로 분류된

다.

그림 4-1. FETD의 시스템행렬 구성 알고리즘

공간에 대한 시스템 행렬 구현 알고리즘은 그림 4-1에 제시되었다. 해

석영역에 대해 입사파의 파장을 10～20번 샘플링 할 수 있도록 메쉬

- 26 -

(mesh)사이즈를 결정하여 이산화하고 유한요소정식화에 따라 시스템 행

렬 성분을 조립한다. 시스템 행렬 시스템이 조립된 후 해석영역 내에 완

전도체가 존재할 경우 완전도체조건(PEC)을 부여한 후 메쉬(mesh) 사이

즈와 매질내의 입사파의 위상속도를 고려하여 시간증분(△t)을 결정한다.

여기까지의 단계는 단 한번만 실행이 된다. 시간에 대한 루프는 공간에

대한 알고리즘이 적용된 후 그림 4-2에 제시된 바와 같이 실행된다.

그림 4-2. Time loop 알고리즘

- 27 -

외부에서 입사파가 해석영역 내부로 입사되므로 입사되는 면에 입사

파를 여기 시킨다. 초기 시간에 모든 해석공간의 전계 값은 “0”이며 입사

파의 인가에 의해 각 시간 단계 마다 해석영역 전채의 전계 값을 구한다.

현재 시간 단계가 최종시간보다 작으면 시간 루프(time-loop)문을 계속 반

복하면서 전계 값을 구하고 그렇지 않으면 프로그램을 종료한다.

- 28 -

제5장 시뮬레이션 결과 및 논의

5.1 무한영역으로의 전파해석 모의실험

본 연구에서 적용된 흡수경계조건(ABC)에 대한 무한영역으로의 전파

효과를 검증하기 위해 비유전율이 1.0 이고 도전율이 0.0 S/m인 자유공간

(free space)에서 전자기파의 전파특성을 해석하였다. 시뮬레이션 영역은

그림 5-1에 제시된 바와 같이 x, y, z 가 각각 10cm × 10cm × 30cm 이

다.

그림 5-1. 자유공간에서의 전파 시뮬레이션 구조

E( t)inc

=10 x̂ exp(-[10-8t - 2.0]

2) (5-1)

입사파는 펄스 시간폭(duration)이 100ps이고 크기가 10 m/V 인 식

(5-1)의 가우시안 펄스파를 이용하였다. 외부에서 펄스파가 해석영역 내부

로 입사되는 경우를 고려하여 z = 0 인 왼쪽 경계면에 입사하였다. 따라

서 해석영역 내부의 모든 전계의 초기값은 "0" 이 된다. 입사파는 입사면

에 강제조건(essential boundary condition)을 이용하여 구현하였다.

- 29 -

해석영역의 메쉬(mesh) 사이즈는 가우시안 펄스폭을 고려하여 1.0cm

로 설정하였고 시간증분(△t)은 펄스 시간폭(pulse duration)을 10번 샘플

링(sampling)하여 10ps로 설정하였다.

해석영역의 위쪽과 아래쪽 경계면에서 전계의 편파(polarization)성분

이 수직하므로 완전도체조건(PEC: perfect electric condition)을 이 경계면

에 적용하였다. 여기서 적용된 완전도체조건은 경계면에서 전계의 편파성

분이 수직한 특성이 완전도체의 경계면에서 전계의 접선성분이 없고 법선

성분만 존재한다는 특성과 부합되어 사용하였으며 경계면이 실제 완전도

체의 성질을 가지기 때문은 아니었다. 이 완전도체조건을 경계면에 부여

함으로써 무한한 평면을 가지는 평면파를 해석영역 내에 구현할 수 있다.

이 경계면에 해당하는 유한요소의 각 모서리(edge)에는 디리클리트

경계조건(Dirichlet boundary condition)을 적용하였다. 그리고 자계의 편

파성분이 수직한 면은 완전자성조건(PMC: perfect magnetic condition)을

사용하였으며 이는 노이만 경계조건(Neumann boundary condition)에 의

해 경계조건의 처리 없이 만족된다. 이 또한 완전도체조건과 마찬가지로

해석영역 내에서 무한한 평면파를 구현하기 위해 사용한 조건이다.

그림 5-2는 제시된 입사파와 경계조건으로부터 유한요소시간영역법을

이용하여 시간에 대해 무한공간으로 진행 하는 가우시안 펄스파의 3차원

해석 결과이다. z = 30cm 인 경계면에 펄스파가 반사성분 없이 무한히

진행하도록 하기위해 흡수경계조건(ABC)을 부여하였다. 30cm를 전파하는

펄스파의 소요시간은 대략 1ns로 자유공간을 진행하는 전자파의 위상속도

( c = 3 × 108m/s ) 를 만족하였으며 각 시간에 따라 가우시안 펄스파가

진행하면서 흡수경계면에 이르렀을 때 반사성분 없이 무한영역으로 진행

하는 것을 확인 할 수 있었다.

- 30 -

(a)

(b)

(c)

(d)

그림 5-2. 무한공간으로 전파하는 가우시안 펄스파 : (a) t = 0.56 ns,

(b) t = 0.98 ns, (c) t = 1.26 ns, (d) t = 1.49 ns

- 31 -

그림 5-3은 흡수경계조건(ABC)을 적용했을 때 무한공간으로의 전파효

과를 확인하기위해 관찰점 ( 5 x̂ cm + 5 ŷ cm + 20 ẑ cm ) 에서 시간에

따른 전계의 값을 도시하였다. 흡수경계조건을 적용하지 않았을 때 관찰

점을 지나간 펄스파가 1.25ns의 시간에 입사파와 동일한 펄스폭과 크기를

가지고 경계면에 반사되어 되돌아오는 것이 확인되었다. 이 반사파는 물

리적으로 의미가 없는 수치적 반사 성분임을 주목해야한다. 반면에 흡수

경계조건이 적용되었을 경우 반사파가 되돌아오지 않으며 무한공간으로

전파하였음을 결과를 통해 확인하였다.

그림 5-3. 흡수경계조건의 적용결과 비교

- 32 -

5.2 유전체 층(dielectric slab)에서의 전파해석 모의실험

서로 다른 유전체 층에서 전자기파의 투과와 반사 특성을 해석하기

위해 유전체 층(dielectric slab)에서 모의실험을 하였다. 시뮬레이션 영역

은 그림 5-4에 제시된 바와 같이 x, y, z 가 각각 10cm × 10cm × 30cm

이며 비유전율이 각각 1, 4, 9인 유전체인 매질로 이루어져 있다.

그림 5-4. Dielectric slab 구조

입사파는 펄스 시간폭(duration)이 100ps이고 크기가 10 V/m 인 가

우시안 펄스파를 이용하였으며 z = 0인 경계면에 입사하였다. 메쉬 사이

즈는 비유전율이 다른 매질에서 펄스폭을 고려하여 그림 5-4에 제시된 바

와 같이 각 유전체 층별로 다르게 정의 하여 계산 효율을 최적화 하였다.

- 33 -

경계조건은 자유공간에서 전파 모의실험에서와 마찬가지로 전계가 수

직한 경계면은 완전도체조건(PEC)를 적용하였고 자계가 수직한 경계면은

완전자성조건(PMC)를 이용하여 해석하였다. z = 30 cm인 경계면에서 투

과파가 무한공간으로 전파하도록 흡수경계조건을 적용하였다. 특히 입사

면(z = 0 인 경계면)에도 유전체의 경계면에서 반사성분이 되돌아오는 것

을 고려하여 흡수경계조건을 적용하였다. 입사파를 여기하기위해 강제조

건(essential boundary condition)을 사용한다면 입사면에서 전계값이 항상

정해져 있기 때문에 입사파와 반사파의 중첩효과가 나타나지 않을 것이며

흡수가 이루어지지 않고 반사파가 입사면에서 다시 반사할 것이다. 따라

서 이 경우 입사면에 강제조건을 사용하여 입사하지 않고 등가 전류원

(equivalent current source)을 이용하여 입사파를 구현하였다.

계산에 대한 시간 증분은 10ps이며 종료시간(final time)은 3ns로 총

반복계산 횟수가 300번이 되도록 설정하였다. 각 시간단계에서 계산 시간

은 4초로써 총 20분의 계산시간이 소요되었다.

그림 5-5는 유전체 층에서 해석한 3차원 결과이다. 비유전율이 4인 매

질의 경계면에서 반사된 펄스파가 제13도의 (b)에서 나타나는 것을 확인

하였고 이 반사파가 시간이 지난 후 z = 0 cm인 면으로 흡수됨을 확인하

였다. 그리고 비유전율이 9인 매질의 경계면에서 반사파와 투과파가 나타

나며 투과파의 경우 흡수경계면에 이르러서 무한한 영역으로 전파되었음

을 확인 하였다.

3차원의 결과에 대한 신뢰도를 수치적으로 검증하기 위해 3차원 결

과 데이터를 x, y 좌표가 각각 5.0 cm에서 z축을 따라 추출하여 그림 5-6

에 도시하였다.

- 34 -

(a)

(b)

(c)

(d)

그림 5-5. Dielectric slab에서 전파하는 가우시안 펄스파 : (a) t = 0.42 ns,

(b) t = 0.7 ns, (c) t = 1.5 ns, (d) t = 2.55 ns

- 35 -

(a)

(b)

그림 5-6. z-축 방향으로의 1차원 데이터 추출 결과( x: 5.0 cm, y: 5.0

cm) : (a) 0.4 ns, (b) 1.6 ns

- 36 -

그림 5-6은 각 경계면에서 반사와 투과성분을 z-축을 따라 추출한 1차

원 결과이다. 각 매질의 경계면에서 반사파의 위상이 반전되었음을 확인

할 수 있었고 반사파와 투과파의 크기를 실제 해와 비교함으로써 수치해

석 결과의 신뢰성을 검증하였다. 표 5-1에는 비유전율이 4, 9인 각 유전체

에서 투과파와 반사파의 실제 값과 수치해석에 의해 구해진 값을 비교하

였다. 비유전율이 4인 매질에서의 결과는 오차율은 대략 0.4%로 거의 일

치하였으며 유전율이 9인 매질에서 결과는 오차율은 대략 1%로 조금 더

커졌지만 신뢰할 만한 결과임을 알 수 있었다.

표 5-1. Exact solution과의 비교

Data

Medium

Reflected wave Transmitted wave

Exact Numerical Exact Numerical

ɛr = 4 -3.33 -3.29 6.66 6.62

ɛr = 9 -1.34 -1.38 5.36 5.26

그림 5-7에는 5 x̂ cm + 5 ŷ cm + 2 ẑ cm 의 관찰점 위치에서 시간에

대한 펄스파의 동적응답특성 결과를 실제 계산된 해(exact solution)와 비

교하여 도시하였다. 대략 500ps 까지 입사파가 관찰점을 지나가고 이후부

터 1ns까지 비유전율이 4인 유전체의 경계면에서 반사된 펄스가 되돌아

왔다. 그리고 약 1.0ns의 시간이 지난 후에 비유전율이 9인 유전체의 경계

면에서 반사된 펄스가 관찰점으로 되돌아오는 것을 확인하였다. 특히 관

찰점에서 실제 계산된 해와 거의 일치하는 결과를 얻었으며 신뢰할 만한

결과임을 결과 값의 비교를 통해 알 수 있었다.

- 37 -

그림 5-7. r = 5 x̂+ 5 ŷ+ 2 ẑ cm 에서의 시간에 대한 펄스의

동적 응답특성 결과

- 38 -

5.3 산란현상(scattering phenomena) 해석 모의실험

도체의 표면에서 전자기파의 산란문제를 해석하기 위해 해석영역 내부에

금속 산란체(metallic scatterer)를 삽입하고 그 산란특성해석을 하였다. 금속

산란체 문제인 경우 그 경계면은 산란체의 전 표면이 된다. 이 문제는 반사와

매우 유사한 개념처럼 보이지만 반사는 전자기파가 입사각과 반사각으로 거의

모든 에너지가 한꺼번에 움직이는 것을 의미하고, 산란은 에너지가 분산되는

난반사를 의미한다. 이러한 산란은 금속과 유전체 등 모든 재질표면에서 발생

하는 특징을 가지고 있으며, 특히 뾰족한 경계면(sharp boundary)에서 가장 강

렬하게 발생한다. 따라서 이 현상은 기하학적으로 간단하더라도 직접계산이

매우 복잡하며 수치해석적으로 특성을 분석해야만 하는 문제이다.

본 모의실험에서는 이러한 산란특성을 해석하기 위해 그림 5-8에 제시된

구조를 이용하였다.

그림 5-8. 금속 산란체(metallic scatterer)가 삽입된 해석 구조

- 39 -

해석구조는 x, y, z 가 각각 1.5m × 0.5m × 1.5m인 자유공간이며 그

내부에 금속 산란체가 30cm × 50cm × 30cm의 크기로 삽입되어있다. 입

사파는 x-z 방향으로 45°로 비스듬히 진행하며 펄스파의 최대값에서 1/e

로 떨어지는 지점까지의 시간폭(duration)이 1ns이고 주파수 폭이 1GHz

인 가우시안 펄스파를 사용하였다. 해석영역 내부를 비스듬히 진행하는

가우시안 펄스를 구현하기위해 전체파/산란파 전개방법(Total and

Scattered field decomposition method)[7]을 이용하여 입사파를 구현하였

다. 금속 산란체에서 난반사된 산란파가 복잡한 형태로 전파하므로 해석

영역의 모든 경계면에 흡수경계조건(ABC)을 적용하였다. 금속 산란체의

경우는 산란체의 전 표면이 경계조건이 되며 완전도체조건(PEC)을 적용

하였다.

그림 5-9는 제시된 구조에서 해석한 x-z 평면에서의 결과를 임의의 시

간단계에서 도시하였으며 유한차분시간영역법(FDTD)의 결과[1]와 비교함

으로써 물리적인 경향성이 일치하는 지를 검증하였다.

(a)

(b)

- 40 -

(c)

(d)

(e)

(f)

그림 5-9. 각 시간 단계()에 따른 산란특성의 스냅결과(snapshots):

(a) FETD(t=3.75ns), (b) FDTD(t=3.75ns), (c) FETD(t=5.0ns),

(d) FDTD(t=5.0ns), (e) FETD(t=6.25ns), (f) FDTD(t=6.25ns)

그림 5-9에서 금속산란체가 해석영역의 중앙에 위치하며 자유공간을

비스듬히 전파는 펄스파가 3.75 ns의 시간이후 산란체의 뾰족한 경계면

(sharp boundary)에 의해 복잡한 형태의 산란파를 생성함을 볼 수 있다.

이렇게 생성된 산란파는 흡수경계조건이 적용된 모든 방향으로 퍼져가는

것을 확인 할 수 있었다.

- 41 -

제6장 결 론

본 논문에서는 전자기파의 전파특성을 해석할 수 있는 유한요소 시간

영역법(Finite Element Time Domain)에 대한 모델링을 수행하고 알고리

즘화 하였다. 특히 전자기파의 경계면에서 물리적인 성질을 잘 만족시키

는 벡터형상함수를 사용함으로써 경계면을 기존의 방법보다 효율적이고

쉽게 처리할 수 있었다. 또한, 무한영역으로 전파하는 전자기파를 해석하

기 위해 흡수경계조건을 이용하였다.

컴퓨터로 구현된 유한요소시간영역법을 이용하여 본 논문에서는 무한

한 공간으로 전파하는 전자기파와 유전체 층(dielectric slab)구조에서 투과

와 반사하는 전자기파의 특성을 시뮬레이션 하였으며, 마지막으로 금속

산란체(metallic scatterer)에서 복잡하게 생성되는 산란파를 시뮬레이션 하

였다.

무한영역으로 전파하는 전자기파의 경우 반사성분 없이 전파하는 것

을 3차원 및 1차원의 수치적 데이터로 확인을 하였고, 유전체 층에서 투

과파와 반사파의 특성은 실제 계산된 값(exact solution)과 비교하여 오차

가 0.4~1%로 신뢰할 수 있는 결과임을 알 수 있었다. 그리고 금속 산란체

에서 복잡하게 생성되는 산란파의 물리적인 특성을 유한차분시간영역법

(FDTD)의 결과와 비교함으로써 산란체의 경계에서 일어나는 난 반사 특

성이 예리한(sharp)경계면에서 가장 복잡하게 나타나는 것을 확인하였다.

이상의 결과로 본 논문에서 제시한 유한요소시간영역법에 의한 전자

기파의 전파특성 해석이 다양한 전자기파 해석 분야에 응용될 수 있고,

특히 3차원 해석결과로부터 다양한 물리적 매커니즘의 영향을 3차원으로

설명할 수 있었다.

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참고문헌

[1] A. Taflove, Computational Electrodynamics : The Finite-Difference

Time-Domain Method, 2nd edition, Artech House, Boston, 2000.

[2] W. P. Carpes Jr, L. Pichon and A. Raz다, "A 3D finite element

method for the modelling of bounded and unbounded

electromagnetic problems in th time domain", Int. J. Numer. Model,

vol. 13, pp. 527-540, 2000.

[3] J. Jin, The Finite Element Method in Electromagnetics, 2nd edition,

NewYork: Wiley, 2000.

[4] J. Y. Wu and R. Lee, "The Adventage of Triangular and

Tetrahedral Edge Elements for Electromagnetic Modeling with The

Finite Element Method", IEEE Transactions on Antennas and

Propagation, vol. 45, No. 9, pp. 1431-1437, 1997.

[5] M. J. Grote, "Non-reflecting boundary conditions for electromagnetic

scattering", Int. J. Numer. Model, vol. 13, pp. 397-416, 2000.

[6] J. F. Lee, R. Lee, A. Cangellaris, "Time-Domain Finite-Element

Methods", IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol. 45,

No. 3, pp. 430-442, 1997.

[7] Z. Lou et al, "Total- and Scattered- Field Decomposition Technique

for The Finite-Element Time-Domain Modeling of Buried Scatterer",　

IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol. 4, pp. 133-137,

2005.

목차제1장 서 론제2장 유한요소시간영역법2.1 지배방정식(Governig equation)2.2 벡터 형상함수의 모델링2.3 유한요소 정식화2.4 시간영역 이산화2.5 경계조건(Boundary Condition)

제3장 입사파의 구현3.1 Hard Source and Soft Source3.2 전체파와 산란파(Total and Scattered field) 전개 방법

제4장 수치해석 알고리즘의 순서도제5장 시뮬레이션 결과 및 논의5.1 무한영역으로의 전파해석 모의실험5.2 유전체 층(dielectric slab)에서의 전파해석 모의실험5.3 산란현상(scattering phenomena) 해석 모의실험

제6장 결 론참고문헌

표목차[표 5.1] Exact solution과의 비교

그림목차[그림 1.1] EM problem 해석에 대한 개요도[그림 2.1] 노드기반(node-based)의 사면체 요소[그림 2.2] 모서리기반(edge-based)의 사면체 요소[그림 2.3] 위치에 따른 벡터형상함수의 분포[그림 2.4] Time marching process[그림 2.5] 전자계의 경계조건[그림 3.1] 가우시안 펄스의 입사파 형태[그림 3.2] 전체파/산란파 전개법[그림 4.1] FETD의 시스템 행렬 구성 알고리즘[그림 4.2] Time loop 알고리즘[그림 5.1] 자유공간에서의 전파 시뮬레이션 구조[그림 5.2] 무한공간으로 전파하는 가우시안 펄스파[그림 5.3] 흡수경계조건의 적용결과[그림 5.4] Dielectric slab 구조[그림 5.5] Dielectric slab에서 전파하는 가우시안 펄스파[그림 5.6] z-축 방향으로의 1차원 데이터 추출 결과[그림 5.7] 관찰점에서 시간에 대한 펄스의 동적응답 특성 결과[그림 5.8] 금속 산란체가 삽입된 해석 구조[그림 5.9] 각 시간단계에 따른 산란특성 결과

목차제1장 서 론 1제2장 유한요소시간영역법 4 2.1 지배방정식(Governig equation)4 2.2 벡터 형상함수의 모델링 6 2.3 유한요소 정식화 10 2.4 시간영역 이산화 13 2.5 경계조건(Boundary Condition) 16제3장 입사파의 구현 20 3.1 Hard Source and Soft Source20 3.2 전체파와 산란파(Total and Scattered field) 전개 방법 23제4장 수치해석 알고리즘의 순서도 25제5장 시뮬레이션 결과 및 논의 28 5.1 무한영역으로의 전파해석 모의실험 28 5.2 유전체 층(dielectric slab)에서의 전파해석 모의실험 32 5.3 산란현상(scattering phenomena) 해석 모의실험 38제6장 결 론 41참고문헌42

표목차[표 5.1] Exact solution과의 비교 36

그림목차[그림 1.1] EM problem 해석에 대한 개요도 1[그림 2.1] 노드기반(node-based)의 사면체 요소6[그림 2.2] 모서리기반(edge-based)의 사면체 요소 7[그림 2.3] 위치에 따른 벡터형상함수의 분포 10[그림 2.4] Time marching process 15[그림 2.5] 전자계의 경계조건 17[그림 3.1] 가우시안 펄스의 입사파 형태 21[그림 3.2] 전체파/산란파 전개법 23[그림 4.1] FETD의 시스템 행렬 구성 알고리즘 25[그림 4.2] Time loop 알고리즘 26[그림 5.1] 자유공간에서의 전파 시뮬레이션 구조 28[그림 5.2] 무한공간으로 전파하는 가우시안 펄스파 30[그림 5.3] 흡수경계조건의 적용결과 31[그림 5.4] Dielectric slab 구조 32[그림 5.5] Dielectric slab에서 전파하는 가우시안 펄스파 34[그림 5.6] z-축 방향으로의 1차원 데이터 추출 결과 35[그림 5.7] 관찰점에서 시간에 대한 펄스의 동적응답 특성 결과 37[그림 5.8] 금속 산란체가 삽입된 해석 구조 38[그림 5.9] 각 시간단계에 따른 산란특성 결과 40