Економіка стимулів

1. Простий приклад двосторонньої торгівлі з несприятливим відбором

Припустимо, в одного продавця єдиного товару є один потенційний покупець. Якщо продавець (сторона 1) є оптовим (типу W (wholesale)), то його цінність (value) товару рівна 40 [UAH]; якщо продавець є роздрібним (типу R (retail)), то його цінність товару рівна 0. Коли покупець (сторона 2) є типу W, то його цінність товару рівна 10; Коли покупець є типу R, то його цінність товару рівна 50. Значення цінності товару є приватною інформацією, але кожна сторона знає, що інша сторона є типу W чи R з незалежною імовірністю 50 %. Загалом кожна сторона торгівлі може мати континуум типів [Myerson, Satterthwaite; Myerson 1991, 2007].

Сторона 1 продає товар, а сторона 2 купує його, якщо (сподівана) ціна (price) товару задовольняє нерівності

. (1)Посередник допомагає сторонам 1 і 2 домовитися про

торгівлю, яка має 4 ситуації:

2W R

1W 0: 1: R 1: 1:

Таким чином, товар можна продати і купити в усіх ситуаціях, крім ситуації (W, W), коли обидві сторони є типу W. У ситуації (W, W) нерівність (1) має ймовірність 0, а у будь-якій іншій ситуації нерівність (1) може мати (максимальну) ймовірність 1.

Якщо посередник рекомендує ціну товару за простим правилом

, (2)

то ціна купівлі-продажу товару може мати такі значення:

,

,

.

Оскільки кожна сторона знає, що інша сторона є типу W чи R з незалежною імовірністю 50 %, то кожна ситуація відбувається з імовірністю 25 %, а товар продається і купується з імовірністю 75 %.

Якщо сторона 1 є типу R і повідомляє, що вона є типу R, то її сподіваний виграш (expected gain) становить

; (3)якщо сторона 1 є типу R і повідомляє, що вона є типу W, то її сподіваний виграш перевищує її сподіваний виграш :

. (4)Іншими словами, правило (2) створює стимул для нейтральної до ризику сторони 1 повідомляти невірну інформацію.

Тому посередник може ввести параметр до плану (2) так, що,

,

.Оскільки тоді у ситуації (R, W) нерівність (1) може мати місце з умовною ймовірністю , то за симетрії у ситуації (W, R) нерівність (1) теж може мати місце з ймовірністю :

2W R

1

W 0: q :

R : 1:

Умова участі (participation constraint) сторони 2 у такому плані – це нерівність

. (5)При цьому аналогічно до співвідношення (3)

;аналогічно до співвідношення (4)

;звідси умова інформаційного стимулу (informational incentive constraint) для сторони 1 повідомляти вірну інформацію – це умова

,

, .

Зазначимо, що тоді в силу умови (5)

,

а при , маємо

,

.

Даний сумісний за стимулами план (incentive compatible plan) посередництва має такі ситуації:

2W R

1

W 0: :

R : 1:

Однак при цьому плані посередник не домовляється про взаємовигідну торгівлю з імовірністю

.

що свідчить про певну ex post (класичну) неефективність розміщення товару між сторонами торгівлі при цьому плані: ex post, після повідомлення сторонами своїх типів, взаємовигідна торгівля матиме місце у будь-якій ситуації, крім (W, W).

При цьому плані ex ante сподіваний виграш сторони 1 дорівнює

,

ex ante сподіваному виграшу сторони 2

.

Будь-який інший сумісний за стимулами план не дає більшого ex ante сподіваного виграшу кожній стороні. Тому цей план називають ex ante ефективним за стимулами (incentive efficient) [Holmstrom, Myerson]. При цьому плані сподіваний виграш сторони 1 типу W становить

,

а типу R –

.

Дещо видозмінимо ex ante ефективний за стимулами план:

2W R

1

W 0: :

R : 1:

Будь-який інший сумісний за стимулами план не обиратиметься кожною стороною, яка вже знає власний тип і ще не знає типу іншої сторони. Тому видозмінений план називають проміжним ефективним за стимулами (interim incentive efficient) [Holmstrom, Myerson]. При цьому плані сподіваний виграш сторони 1 типу W становить

,

а типу R –

.

Для сторін типу W найкращим є такий ефективний за стимулами план [Myerson 1984], що узагальнює торговельний розв’язок (bargaining solution) Неша [Nash 1950]:

2W R

1

W 0: :

R : 1:

При цьому плані сподіваний виграш сторони 1 типу W становить

,

а типу R –

.

Коли за правила (2) сторона 2 чесно повідомляє свій тип, то сторона 1 завжди повідомляє, що вона є типу W. Коли також сторона 1 завжди повідомляє, що вона є типу W, а сторона 2 чесно повідомляє свій тип, то такий механізм посередництва називають звітною рівновагою (reporting equilibrium) для сторони 1 (продавця):

2W R

1

W 0: 1:

R 0: 1:

Цей план є сумісним за стимулами, бо не бере до уваги повідомлення сторони 1 і забезпечує купівлю-продаж тоді й лише тоді, коли сторона 2 є типу R.

Аналогічно звітною рівновагою для сторони 2 (продавця) є план

2W R

1W 0: 0: R 1: 1:

Тут сторона 2 завжди повідомляє, що вона є типу W, а сторона 1 чесно повідомляє свій тип.

Ще однією звітною рівновагою є такий план посередництва:

2W R

1W 0: 4.0 : R 4.0 : :

2. Ризикований проект виробництва з моральним ризиком у менеджменті

Нехай проект виробництва потребує початкового капіталу , дає доход у випадку успіху і доход 0 в інших

випадках. Якщо менеджер проекту докладає добрих (good) зусиль, то ймовірність успіху проекту дорівнює ; якщо менеджер докладає поганих (bad) зусиль, то ймовірність успіху проекту дорівнює , а менеджер дістає свій приватний виграш (benefit) [Tirole]. Цей виграш і зусилля менеджера не спостерігаються безпосередньо.

Коли зусилля менеджера є добрими, то проект є вигідним при :

. (1) Коли зусилля менеджера є поганими, то його виграш

задовольняє умові :. (2)

Позначимо загальну вартість усіх особистих активів (assets), які менеджер може інвестувати у проект, причому ; якщо проект не має успіху, то менеджер втрачає ці активи. Тоді сподіваний виграш менеджера за добрих зусиль становить

,а за поганих зусиль –

,де – зарплата (wage) менеджера у випадку успіху проекту. Звідси випливає обмеження морального ризику (moral hazard constraint)

. (3)

Обмеження участі (partcipation constraint) менеджера у проекті означає, що його сподіваний виграш за добрих зусиль невід’ємний:

.Звідси випливає ресурсна умова обмеженої відповідальності

(limited liability constraint)

. (4)

Коли менеджер докладає добрих зусиль, то сподіваний чистий прибуток суспільства загалом становить

.Чим менша зарплата , тим більший прибуток , враховуючи

обмеження (3) і (4). Тому цей прибуток максимізується за рівності

,

,

,

де припускається, що

.

Тоді ліва частина обмеження (3) рівна,

звідки

,де вважається, що

.

3. Несприятливий відбір як ризикований проект виробництва з моральним ризиком у менеджменті

Припустимо, менеджер може бути доброго чи поганого типу. Менеджер знає свій тип, але ця інформація є приватною. Тоді та – це умовна ймовірність успіху проекту, коли менеджер є доброго та поганого типу відповідно. Аналогічно до умов (1), (2) вважаємо, що

.Нехай – це ймовірність того, що менеджер є доброго типу.

Якщо менеджер повідомляє, що він є типу , то інвестор здійснює проект з імовірністю і сплачує менеджеру зарплату у випадку успіху проекту, , . Коли проект не досягає успіху, то менеджер втрачає активи . Сподіваний прибуток інвестора становить

.Обмеження участі менеджера у проекті – це нерівності

, .Крім того, умови інформаційних стимулів до чесного

повідомлення менеджером свого типу – це нерівності,.

Нехай для простоти .Якщо інвестор-монополіст максимізує по , , , свій

сподіваний прибуток за цих обмежень, то обирає , , .

Якщо інвестор працює на конкурентному ринку, то , але тоді , не є розв’язком.