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ECUACIN DIFERENCIAL LINEAL DE 1ER ORDEN.

Ingeniera Petroqumica Comunidad Cardn, Enero de 2014

INTRODUCCINPara todo ingeniero es sumamente importante la manera de obtener claros, precisos y certeros resultados, a fin de poder determina incgnitas que se presenten en una actividad en cuyo desenlace amerite una respuesta. Esto suele suceder desde lo ms comn hasta lo poco inusual. Desde lo cotidiano el ingeniero est expuesto a usar su intelecto y usar las herramientas tanto matemticas, fsicas, qumica y mentales, para poder resolver un acertijo, dichas herramientas son tiles en la manera que se conozcan y eficaces de acuerdo al rea que se desee aplicar. Los fluidos son inestables, pues al aplicarles calor y presin varian su comportamiento en el lugar que se encuentre, bien sea en una tubera a presin, en un laboratorio a temperaturas altas, entre otros. Una herramienta para poder analizar y estudiar el comportamiento de un fluido es el principio de Bernoulli, tambin denominado ecuacin de Bernoulli o Trinomio de Bernoulli, cuyo principio describe el comportamiento de un fluido movindose a lo largo de una corriente de agua. En que se basa este principio? En 1738 Daniel Bernoulli expres que un fluido ideal, es decir; sin viscosidad ni rozamiento, en rgimen de circulacin por un conducto cerrado, (no hay transferencia de calor ni intercambio de temperatura alguna con el medio externo) la energa que posee el fluido permanece constante a lo largo de todo su recorrido, independientemente del medio por el que circule dicho fluido.Un ejemplo muy puntual del uso de esta ecuacin est en una chimenea. Pues la ecuacin de Bernoulli y la ecuacin de continuidad nos dicen que si reducimos el rea transversal de una tubera para que aumente la velocidad del fluido que pasa por ella, se reducir la presin. Esta ecuacin de Bernoulli es muy ventajosa, todo lo referente a fluidos lo podemos estudiar con su aplicacin. Desde la natacin hasta un carburador de automvil.

A diferencia de las ecuaciones de Ricatti y Clairaut, estas son ecuaciones diferenciales, siendo la primera no lnea, ordinaria de primer orden y la segunda una sencilla ecuacin diferencial. La ecuacin de Clairaut por su parte el inters que presenta este tipo de ecuacin se debe al hecho de que tiene como solucin a una familia de rectas.En la ventaja que nos ofrecen estas ecuaciones se puede determinar la importancia que las mismas tienen en los clculos matemtico, y enfticamente la ecuacin de Bernoulli es totalmente importante, pues con ella se trabaja la parte matemtica, fsica, cintica-qumica, entre otras.

ECUACIN DIFERENCIAL LINEAL DE 1ER ORDENUna ecuacin diferencial ordinaria de primer orden es una relacin entre (la variable independiente) de la forma:

Donde F es una funcin de tres variables.Otra forma de presentacin para las ecuaciones diferenciales es la siguiente:

Si deseamos despejar una derivada de esta expresin, bien se puede considerar a x como la variable independiente y despejar ; o bien se puede considerar a y como la variable independiente y despejar .1. Ecuacin de BernoulliEl principio de Bernoulli, tambin denominado ecuacin de Bernoulli o Trinomio de Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido movindose a lo largo de una corriente de agua. Fue expuesto por Daniel Bernoulli en su obra Hidrodinmica (1738) y expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en rgimen de circulacin por un conducto cerrado, la energa que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido.La energa de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes:1. Cintica: es la energa debida a la velocidad que posea el fluido.2. Potencial gravitacional: es la energa debido a la altitud que un fluido posea.3. Energa de flujo: es la energa que un fluido contiene debido a la presin que posee.La siguiente ecuacin conocida como "Ecuacin de Bernoulli" (Trinomio de Bernoulli) consta de estos mismos trminos.

Dnde: =velocidaddel fluido en la seccin considerada. =densidaddel fluido. =presina lo largo de la lnea de corriente. =aceleracin gravitatoria = altura en la direccin de lagravedaddesde unacotade referencia.Para aplicar la ecuacin se deben realizar los siguientes supuestos: Viscosidad (friccin interna) = 0 Es decir, se considera que la lnea de corriente sobre la cual se aplica se encuentra en una zona 'no viscosa' del fluido. Caudal constante Flujo incompresible, donde es constante. La ecuacin se aplica a lo largo de una lnea de corriente o en un flujo irrotacionalAunque el nombre de la ecuacin se debe a Bernoulli, la forma arriba expuesta fue presentada en primer lugar por Leonhard Euler. Un ejemplo de aplicacin del principio lo encontramos en el flujo de agua en tubera.

Tambin se puede reescribir este principio en forma de suma de presiones multiplicando toda la ecuacin por , de esta forma el trmino relativo a la velocidad se llamar presin dinmica, los trminos de presin y altura se agrupan en lapresin esttica.

Fig 1. Esquema del efecto Venturi.

O escrita de otra manera ms sencilla:

Donde es una constante-Igualmente podemos escribir la misma ecuacin como la suma de la energa cintica, la energa de flujo y la energa potencial gravitatoria por unidad de masa:

En una lnea de corriente cada tipo de energa puede subir o disminuir en virtud de la disminucin o el aumento de las otras dos. Pese a que el principio de Bernoulli puede ser visto como otra forma de la ley de la conservacin de la energa realmente se deriva de la conservacin de la Cantidad de movimiento.Esta ecuacin permite explicar fenmenos como el efecto Venturi, ya que la aceleracin de cualquier fluido en un camino equipotencial (con igual energa potencial) implicara una disminucin de la presin. Este efecto explica por qu las cosas ligeras muchas veces tienden a salirse de un automvil en movimiento cuando se abren las ventanas. La presin del aire es menor fuera debido a que est en movimiento respecto a aqul que se encuentra dentro, donde la presin es necesariamente mayor. De forma, aparentemente, contradictoria el aire entra al vehculo pero esto ocurre por fenmenos de turbulencia y capa lmite.1.1 Aplicaciones del Principio de Bernoulli.

ChimeneaLas chimeneas son altas para aprovechar que la velocidad del viento es ms constante y elevada a mayores alturas. Cuanto ms rpidamente sopla el viento sobre la boca de una chimenea, ms baja es la presin y mayor es la diferencia de presin entre la base y la boca de la chimenea, en consecuencia, los gases de combustin se extraen mejor. TuberaLa ecuacin de Bernoulli y la ecuacin de continuidad tambin nos dicen que si reducimos el rea transversal de una tubera para que aumente la velocidad del fluido que pasa por ella, se reducir la presin. NatacinLa aplicacin dentro de este deporte se ve reflejado directamente cuando las manos del nadador cortan el agua generando una menor presin y mayor propulsin. Carburador de automvilEn un carburador de automvil, la presin del aire que pasa a travs del cuerpo del carburador, disminuye cuando pasa por un estrangulamiento. Al disminuir la presin, la gasolina fluye, se vaporiza y se mezcla con la corriente de aire. Flujo de fluido desde un tanqueLa tasa de flujo est dada por la ecuacin de Bernoulli. Dispositivos de VenturiEn oxigenoterapia, la mayor parte de sistemas de suministro de dbito alto utilizan dispositivos de tipo Venturi, el cual est basado en el principio de Bernoulli.

AviacinLos aviones tienen el extrads (parte superior del ala o plano) ms curvado que el intrads (parte inferior del ala o plano). Esto causa que la masa superior de aire, al aumentar su velocidad, disminuya su presin, creando as una succin que sustenta la aeronave.2. Ecuacin de RiccatiLa ecuacin de Riccati es una ecuacin diferencial ordinaria, no lineal de primer orden, inventada y desarrollada en el siglo XVIII por el matemtico italiano Jacopo Francesco Riccati, con el fin de analizar la hidrodinmica. En 1724 public una investigacin multilateral de la ecuacin, llamada, por iniciativa de D'Alembert (1769): Ecuacin de Ricacti. La investigacin de la ecuacin de Riccati convoc el esfuerzo de varios matemticos: Leibnitz, Golbach, Juan, Nicols y Daniel Bernolli, y posteriormente, a Euler.Generalmente, esta ecuacin la presentan en la forma:

2.1 IntegracinEsta ecuacin se resuelve si previamente se conoce una solucin particular, digamos .Conocida dicha solucin, se hace el cambio:

Y reemplazando, se obtiene:

Es decir:

Lo que equivale a:

Que corresponde a una ecuacin diferencial de Bernoulli.3. Ecuacin de ClairautLa ecuacin de Clairaut, llamada as por su inventor, el fsico francs Alexis-Claude Clairaut, es una ecuacin diferencial de la forma:

El inters que presenta este tipo de ecuacin se debe al hecho de que tiene como solucin a una familia de rectas. Adems, la envolvente, es decir, la curva cuyas tangentes estn dadas por la familia, tambin es solucin, en este caso una solucin singular, de la ecuacin de Clairaut. sta fue una de las primeras ocasiones en la historia en que este tipo de solucin (la solucin singular) se puso de relieve. Para resolver la ecuacin, diferenciamos respecto a x, quedando:

Por tanto

Y as:

En el primer caso, C = para cualquier constante arbitraria C. Sustituyndolo en la ecuacin de Clairaut, tenemos la familia de ecuaciones dadas por

Llamadas soluciones generales de la ecuacin de Clairaut. El otro caso,

Define slo una solucin , llamada solucin singular, cuyo grfico es envolvente de las grficas de las soluciones generales. La solucin singular se representa normalmente usando notacin paramtrica, como: , , donde p representa .Ejemplo:Resolver: Hacemos por tanto Obteniendo la ecuacin de Clairaut, cuya solucin es: De la cual podemos obteneryintegrando dos veces, as

Siendo D y E otras dos constantes cualquiera.Solucin:

CONCLUSINUna ecuacin se llama diferencial porque contiene una o ms derivadas o diferenciales; el orden de una ecuacin diferencial es el de la mayor derivada involucrada en la expresin y el grado el de la potencia de la derivada de mayor orden.La ecuacin de Bernolli detalla el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes; esta ecuacin se aplica en la dinmica de fluidos. El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuacin de Bernoulli: en el caso de que el fluido fluya horizontal en un aumento de la velocidad del flujo implica que la presin esttica decrecer. Un ejemplo de esto es el caso de las alas de un avin, que estn diseadas para que el aire que pasa por encima del ala fluya ms velozmente que el aire que pasa por debajo del ala, por lo que la presin esttica es mayor en la parte inferior y el avin se levanta.De otra forma la ecuacin de Ricatti, es una forma particular de la ecuacin de bernoulli, por lo tanto su principal aplicacin es en la hidrodinmica, es decir permite relacionar, velocidad, presin, densidad en un fluido contenido por una tubera con cambios de nivel y de seccin transversal. La ecuacin de Clairaut, llamada as en honor al matemtico francs Alexis Clairaut quien fue el primero en estudiarla se resuelve mediante una sustitucin simple p=dy/dx donde p es una funcin a encontrar para sustituir en la ecuacin original y resolverla. Lo interesante de esta ecuacin diferencial es que tiene una familia de soluciones, que es la solucin general; y una solucin singular, que no pertenece a la familia de soluciones. El inters que presenta este tipo de ecuacin se debe al hecho de que tiene como solucin a una familia de rectas. Adems, la envolvente, es decir, la curva cuyas tangentes estn dadas por la familia, tambin es solucin, en este caso una solucin singular de la ecuacin de Clairaut.

Misdely MoralesCONCLUSINEn el estudio del tema de las ecuaciones de primer orden se puede concluir de manera generalizada que de las tres ecuaciones desarrolladas (Bernoulli, Ricatti y Clairaut) La ms importante para los ingenieros en s, es el principio de Bernoulli, pues adems de aplicar operaciones matemticas, clculos fsicos, realizar anlisis cintico-qumicos, estamos constantemente en contacto con dicho sistema que involucra este principio, como lo son los fluidos en un corriente. Que por lo general al pensar en un fluido pensamos de manera sencilla en una fuerza que transita en el interior de un canal, y que es imposible calcular o estudiar las propiedades que en esa corriente se encuentra, lo cual es totalmente falso, pues como ingenieros, desarrollamos habilidades y destrezas, que al unirlas al conocimiento obtenemos el resultado de cualquier estudio deseado, pues si bien se dice si lo puedes pensar lo puedes lograr es un incentivo a creer que podemos y debemos lograrlo. Algo muy importante es la inmensa aplicacin que tiene el principio de Bernoulli, pues desde los ms simple como medir la presin en el agua que ejerce un nadador cuando ingresa al agua en su salida, hasta el estudio en un carburador nos permite estudiar los fluidos. Increblemente esta ecuacin resulta tener una gran eficacia y es por ello que tiene un gran uso.Yendi Martnez

CONCLUSINHistricamente, el estudio de las ecuaciones diferenciales se origin en el siglo XVII, a la vez que se inicia el Clculo con Newton y Leibniz. En buena medida, el papel central que juega la teora de las ecuaciones diferenciales en el seno de las matemticas, se debe al hecho de que muchos problemas importantes, cientficos y tcnicos, pueden ser modelados por medio de las ecuaciones diferencialesLuego de a ver investigado las diferentes ecuaciones de primer orden, se puede decir que dicha ecuacin es aquella, que contiene una o ms variables dependientes con respecto a una o ms variables independientes. De esta manera cabe destacar que en las diversas reas de la ingeniera se aplican con frecuencia este tipo de ecuaciones diferenciales, tal es el caso en circuitos elctricos con inductancias y resistencias, as como en las aplicaciones de la segunda ley de newton tales como sistemas masa resorte, cada libre con friccin proporcional a la velocidad entre otros. Desde esta perspectiva tambin varios matemticos desarrollaron diferentes tipos de ecuaciones, como es el caso de Jacopo Francesco Riccati, con el fin de analizar la hidrodinmica por lo que seala que dicha ecuacin permite relacionar, velocidad, presin, densidad en un fluido contenido por una tubera con cambios de nivel y de seccin transversal. As como Daniel Bernoulli, el cual describe el comportamiento de un fluido movindose a lo largo de una corriente de agua. Y expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en rgimen de circulacin por un conducto cerrado, la energa que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido. Y Alexis-Claude Clairaut, el inters que presenta este tipo de ecuacin se debe al hecho de que tiene como solucin a una familia de rectas. Adems, la envolvente, es decir, la curva cuyas tangentes estn dadas por la familia, tambin es solucin, una solucin sta fue una de las primeras ocasiones en la historia en que este tipo de solucin (la solucin singular) se puso de relieve Vernica Velzquez.