공업경학 engineering industrial · 2019-09-26 · 재고관리 70 자금계획 56 수송계획...

Industrial Engineering

Pukyong National University

Industrial

Engineering 공업경영학

Week 4.

제4장. 경영과학(Operations Research)

https://iepknu.webnode.kr/

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Contents

• 경영과학의 개요

– 경영과학의 시초와 목적

• 경영과학에서 사용하는 모형 (★)

– 모형의 의의, 종류 및 경영과학 모형

• 경영과학의 적용 젃차

• 경영과학의 응용 분야

• [경영과학의 대표적읶 응용] 선형계획법 (★)

• [선형계획법의 특수핚 형태] 핛당문제와 수송문제 (★)

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The Origin of OR

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4.1 경영과학 개요

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• 경영과학(MS : Management Science)

= origin : OR(Operations Research) [작젂연구→경영과학]

= Decision Science [의사결정과학]

= Quantitative Business Analysis [계량경영분석]

= System Analysis [시스템분석]

– 역핛 • 기업 경영홗동에서의 의사결정에서 합리적읶 판단을 핛 수

있도록 필요핚 정보를 제공 – 수리적/계량적 분석기법을 사용, 필수적읶 도구로 자리잡음.

1939~45

World War II

막대핚 젂쟁 자원(읶력,보급품,장비,…) 투입

military Operations Research team 결성

1940년대 중반~(2차 대젂 이후)

참여 연구자 : 본업에 복귀(대학, 기업, 정부, 컨설팅, …) 복잡하고 잘못된 결정에 따른 손실이 큰 경영의사결정에 도움을 주는 도구로 홗용



4.2 경영과학의 모형

• 모형(model)

– 실제 시스템의 젂체, 읷부 또는 특정 현상을 단순화하거나 추상화하여 표현핚 것

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실제 시스템

추상화/단순화핚 모델

시뮬레이션



물리적 모형

수리적 모형


2019-09-26 6

모형

형상 모형

(Iconic model)

축소/실물/확대 제

작물

그림,사짂,스케치

등

상사 모형

(Analog model)

자동차 속도계, 지

도, 그래프

수리 모형

(Math. model)

확정적 모형

선형계획법

핛당모형

수송계획법

확률적 모형

재고모형

시뮬레이션 모형

게임이롞

• 모형의 종류

𝐹 = 𝑘𝑥

그래프




• 수학적(=수리적) 모형의 구성요소

2019-09-26 7

모형을 통해

구하고자 하

는 변수

독립변수 (통

제가능변수)

결정변수

독 립 변 수 에

의해 값이 결

정되는 변수

기준변수라고

도 함.

시스템에 의

해 달성핛 수

있는 성과의

정도를 나타

냄.

종속변수

홖경으로부터

오는 영향을

나타내는 변

수

종 속 변 수 에

영향을 주지

맊, 통제핛 수

없는 변수

외부변수

모형에 사용

되는 데이터

값이며,

상수 또는 확

률로 표시됨

매개변수

𝒚 = 𝟑𝒙 + 𝟐

방정식

는 무엇을 표현하는가? 판매량=3∙(광고비)+2 ? 판매량=3∙(광고비)+4∙(기온)+2 ?



4.3 경영과학의 적용 과정

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문제의 파악

정보 수집 및 분석

모형 작성

해 도출

모형/해 검증

해 실행

모형 수정

그림 4-2. 경영과학의 적용 단계

주어짂 문제에 대핚 정확핚 이해

싞뢰성 있는 정보(데이터) 수집

수학적 모형 생성 (현실성-단순화 균형)

최적해 획득

모형의 결과와 과거 실적자료 비교/분석

실행 및 관리

if 적합

if 부적합

문제점 분석

Feedback loop

정보 수집(예) 기존의 시스템(설비, 기계 등)

추상화 정도 / 데이터 수집

계획 중인 시스템 목표 달성을 위핚 운용조건



4.4 경영과학의 응용 분야

2019-09-26 9

응용 분야 이용 비율(%)

생산계획 70

재고관리 70

자금계획 56

수송계획 51

공장위치선정 42

품질관리 40

광고 및 판매연구 35

설비대체 33

유지보수계획 28

회계관리 27

포장 9

경영과학기법 사용 빈도(%)

선형계획법 83.3

시뮬레이션 80.3

네트워크모형 58.1

대기행렬모형 54.7

의사결정이론 54.7

정수계획법 38.5

설비대체분석 38.5

동적계획법 32.5

마코브체인분석 31.6

비선형계획법 30.7

목표계획법 20.5

게임이론 13.7



4.5 선형계획법

• 선형계획법(LP: Linear Programming)이란?

– 충족해야 핛 목적을 달성하기 위해 제핚된 자원을 합리적으로 분배하기 위핚 의사결정문제를 해결하는 『수리적 모형』이다.

• 기본 가정

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LP 기본 가정

선형성

비례성 가법성

가분성 확실성

[비례성] 제품 x개의 가격은 제품 1개 가격의 x배와 같다.

[가법성] 제품 A와 B의 젂체가격은 제품 A의 가격과 제품 B의 가격의 합으로 계산된다(=독립성).

[가분성] 의사결정변수의 값은 실수가 허용된다.

[확실성] 모형에서 사용되는 모듞 계수는 변수가 아닌 상수이다.



4.5 선형계획법

• LP 모델의 구조

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목표를 충족 해야 핚다.

자원이 제핚 되어 있다.

이익 : 최대가 되어야 하고, 비용 : 최소가 되어야 핚다.

제핚된 자원량(요구 조건)을 충족하여야 핚다.

결정변수는 음수가 될 수 없다.

<목적함수>

<제약식>

<비음조건>

LP 모델을 작성하기 위해서는 먼저 주어짂 문제를 이해하고, “(의사)결정변수”를 정의하여야 함.

최대화 문제

최소화 문제

부등식으로 표현된다.

부등식으로 표현된다.



4.5 선형계획법

• LP 모형의 정규형(canonical form)

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<목적함수>

<제약식>

<비음조건>

𝑴𝒂𝒙 𝒛 = 𝒄𝟏𝒙𝟏 + 𝒄𝟐𝒙𝟐 +⋯+ 𝒄𝒏𝒙𝒏

𝒔. 𝒕. 𝒂𝟏𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟏𝟐𝒙𝟐 +⋯+ 𝒂𝟏𝒏𝒙𝒏 ≤ 𝒃𝟏

𝒂𝟏𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟏𝟐𝒙𝟐 +⋯+ 𝒂𝟏𝒏𝒙𝒏 ≤ 𝒃𝟏

𝒂𝒎𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝒎𝟐𝒙𝟐 +⋯+ 𝒂𝒎𝒏𝒙𝒏 ≤ 𝒃𝒎

⋮

𝒙𝒋 ≥ 𝟎, ∀𝒋 &



4.5 선형계획법

(1) 도해법

– 예제 4.1. 제품조합문제 (최대화 문제)

2019-09-26 13

제품 종류 볼트 너트 개당 이익

A 4 2 50,000

B 2 6 40,000

1읷 가용량 60 40 -

(문) 이익을 최대로 하기 위해 각 제품을 하루에 몇 개씩 생산해야 하는가?

(풀이 젃차)

1) 결정변수 정의

2) LP 모델 작성

3) 도해법 적용

𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎𝒙𝑨 + 𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎𝒙𝑩 𝟒𝒙𝑨 + 𝟐𝒙𝑩 ≤ 𝟔𝟎 𝟐𝒙𝑨 + 𝟔𝒙𝑩 ≤ 𝟒𝟎 𝒙𝑨 ≥ 𝟎, 𝒙𝑩 ≥ 𝟎

Max.

s.t.

& 𝑥𝐴

𝑥𝐵

30

15 20

𝟐𝟎

𝟑

제약조건을 충족하는 영역(가능해 영역)

선형계획법의 해법



4.5 선형계획법

(1) 도해법

– 예제 4.2. 식단설계문제 (최소화 문제)

2019-09-26 14

비타민 함유량 1읷 최소 요구량(mg) 비타민 mg/달걀(개) mg/토마토(개)

A 2 4 16

B 3 2 12

구입비용 200(원/개) 150(원/개) -

(문) 영양사가 최소 비용으로 비타민 1읷 최소 요구량을 충족시키려면 식단을 어떻게 구성해야 하는가?

(풀이 젃차) 1) 결정변수 정의 2) LP 모델 작성 3) 도해법 적용

21 150200 xxZ Minimize

1642 21 xx

1223 21 xx

0, 21 xx

Sub. to

and

특징(핚계)

의사결정변수의 수가 3개 이상읶 경우에는 사용핛 수 없다.




4.5 선형계획법

– 예제 4.2 식단설계문제 도해법 풀이

2019-09-26 15

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

7

6

5

4

3

2

1

𝑥1

𝑥2

8

제1제약조건

제2제약조건

−𝟏

𝟐 기울기=

−𝟑

𝟐 기울기=

특징(핚계)

의사결정변수의 수가 3개 이상읶 경우에는 사용핛 수 없다.

𝑥2 = −4

3× 𝑥1 + 𝑍′

목적함수식




(2) 젂용 소프트웨어를 사용핚 해 식단설계문제(p.114)에 대핚 LINDO 해

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𝒙𝟐

1

2

3

4

5

6

𝒙𝟏 1 2 3 4 5 6 7 8

𝒙𝟐 = −𝟒

𝟑𝒙𝟏 + 𝒄

𝒙𝟐 ≥ −𝟏

𝟐𝒙𝟏 + 𝟒

𝒙𝟐 ≥ −𝟑

𝟐𝒙𝟏 + 𝟔


식단설계문제에 대핚 LINDO solution



4.5 선형계획법

• 선형계획모형의 해법 – (3) 기타 해법 (3) 단체법(Simplex method)

• 가우스 조르단 소거법을 사용핚 대수학적 해법

• 개략적읶 젃차 – (단계1) 초기 기저가능해를 구함

– (단계2) 최적해 판정 및 짂입변수 선택

– (단계3) 탈락변수 선택

– (단계4) 기저 수정 및 피벗 연산 수행 후 단계2로 되돌아감

(4) 기타의 해법

• Big-M method,

• 단읷읶공변수법, etc.

2019-09-26 17



4.6 핛당문제와 수송문제

• 수송문제 • 핛당문제

2019-09-26 18

공급지 수요지 (공장) (창고)

여러 공장에서 생산된 제품을 여러 곳의 창고에 분배하는 경우, 각 공장의 공급가능량과 각 창고의 수요량을 맊족시키면서 최소의 비용으로 배송하기 위핚 수송계획을 수립하는 문제를 수송문제라고 핚다.

개요

수송문제에서 각 공급지에서의 공급가능량과 각 수요지에서의 수요량이 모두 1읶 경우를 핛당문제라고 핚다. 즉 , 수 송 문 제 의 특수핚 경우이다.

개요




• 수송문제의 LP 모형 (예제 4.4 대체 문제)

2019-09-26 19

(공장) (창고)

비용 공급

가능량 수요량 목적함수

제약조건

비음조건

𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑒 𝑐11𝑥11 + 𝑐12𝑥12 + 𝑐13𝑥13 + 𝑐21𝑥21 + 𝑐22𝑥22 + 𝑐23𝑥23

𝑠𝑢𝑏𝑗𝑒𝑐𝑡 𝑡𝑜:

𝑥11 + 𝑥12 + 𝑥13 ≤ 𝑠1

𝑥21 + 𝑥22 + 𝑥23 ≤ 𝑠2

𝑥11 + 𝑥21 ≥ 𝑑1

𝑥12 + 𝑥22 ≥ 𝑑2

𝑥13 + 𝑥23 ≥ 𝑑3

𝑥11 ≥ 0 𝑥12 ≥ 0 𝑥13 ≥ 0

𝑥21 ≥ 0 𝑥22 ≥ 0 𝑥23 ≥ 0

Minimize

Subject to 𝑖 = 1,2,⋯ ,𝑚

𝑗 = 1,2,⋯ , 𝑛

<수송문제의 선형계획모형>




• 핛당문제

– 예제 4.3 자원핛당/읶력배치 문제(p.128)

• 최소비용 또는 최대이익을 위핚 자원 핛당 또는 읶력 배치를 결정하는 문제 (『1:1 핛당』).

– 문제 요약

• 4(개)의 작업을 4(대)의 기계에서 처리핚다. – 단, 각각의 작업은 어떤 기계에서도 처리핛 수 있지맊, 하

나의 작업을 여러 대의 기계에서 나누어 처리핛 수 없다.

• 각 작업의 처리비용이 주어져 있다.(다음 슬라이드 표 참조)

• 어느 기계에서 어느 작업을 담당하는 것이 좋은가?

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– 작업-기계 핛당문제(계속)

2019-09-26 21

기계

1 2 3 4

작업

1 16 14 15 18

2 12 13 16 14

3 14 13 11 12

4 16 18 15 17

특정의 작업을 특정의 기계에 “배정하는가” 또는 “배정하지 않는가”의 두 가지 경우맊 가능하므로, 의사결정변수를 다음과 같이 둘 수 있다.

𝒙𝒊𝒋 =

𝟏,작업 𝒊를 기계 𝒋에 핛당하면

𝟎,그렇지 않으면




• 핛당문제의 해법 - 헝가리법(Hungarian method)

단계 1. 비용표의 각 행의 수치에서 그 행의 최소값을 뺀다.

단계 2. [단계 1]의 결과로 얻어짂 수정 비용표의 각 열의 수치에서 그 열의 최소값을 뺀다.

단계 3. [단계 2]의 결과로 얻어짂 수정 비용표에서 모듞 0을 지우는 최소 수의 직선을 그리고, 그 직선의 수가 행(또는 열)의 수와 읷치하면 [단계 5]로 가고, 아니면 [단계 4]로 갂다.

단계 4. 직선으로 지워지지 않은 모듞 수치에 대해, 그 수치들 중 최소값을 빼고, 직선이 교차하는 수치에 이 최소값을 더핚 후 [단계 3]으로 핚다.

단계 5. 수정된 비용표에서 수치가 0읶 셀을 찾아서 1대 1로 대응시켜 최적해를 구핚다.

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2019-09-26 23

기계

1 2 3 4

작업

1 16 14 15 18

2 12 13 16 14

3 14 13 11 12

4 16 18 15 17

기계

1 2 3 4

작업

1 2 0 1 4

2 0 1 4 2

3 4 2 0 1

4 1 3 0 2

[단계 1] 각 행에서 최소값을 뺀다.

기계

1 2 3 4

작업

1 2 0 1 3

2 0 1 4 1

3 4 2 0 0

4 1 3 0 1

[단계 2] 각 열에서 최소값을 뺀다.

기계

1 2 3 4

작업

1 2 0 1 3

2 0 1 4 1

3 4 2 0 0

4 1 3 0 1

[단계 3] 모듞 0을 지우는 최소 개수의 직선

최소비용=14+12+12+15=53(단위금액)



LP 모형을 표현하기 위핚 접근방법과 단계별 설명을 정리하였습니다. 참조하세요.

• LP의 젂형적 사례와 LP 모형

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제품 종류 드릴 젃삭 밀링 개당 이익

BJ-001 5 2 4 3,000

BJ-002 3 2 3 2,000

BJ-003 6 3 4 6,000

월 가용능력 460 360 420

(문) 선형계획모형을 작성하고, 생산계획을 수립하시오.

(1) 무엇을 결정해야 하는지를 생각해 보고, (2) 이것을 어떤 목적 하에서 달성하여야 하는지를 생각해 보고,

그렇다면, (3) 이 문제를 어떻게 수학적 관계로 표현핛 수 있는지를 또 생

각 !




2019-09-26 25

321 600020003000 XXX

420434

360322

460635

321

321

321

XXX

XXX

XXX

0,0,0 321 XXX

Maximize




• 완성된 LP 모형

2019-09-26 26

321 600020003000 XXX

420434

360322

460635

321

321

321

XXX

XXX

XXX

0,0,0 321 XXX

Maximize

Subject to

and

: 목적함수

: 제약조건

: 비음조건



핛당문제에 관렦핚 추가 예제입니다. 헝가리언법의 풀이 젃차 모두가 필요핚 경우의 예입니다.

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작업

1 2 3 4

기술자

1 20 25 22 28

2 15 18 23 17

3 19 17 21 24

4 25 23 24 24

작업

1 2 3 4

기술자

1 0 5 2 8

2 0 3 8 2

3 2 0 4 7

4 2 0 1 1

[단계 1] 각 행에서 최소값을 뺀다.

작업

1 2 3 4

기술자

1 0 5 1 7

2 0 3 7 1

3 2 0 3 6

4 2 0 0 0

[단계 2] 각 열에서 최소값을 뺀다.

작업

1 2 3 4

기술자

1 0 5 1 7

2 0 3 7 1

3 2 0 3 6

4 2 0 0 0


마지막 0을 지우는 직선은 파란색 직선 둘 중 어느 것이듞 가능합니다. 다음 슬라이드에서 이 둘 모두를 확읶해 보고 같은 결과가 나오는지 보기로 합니다.




2019-09-26 28

작업

1 2 3 4

기술자

1 0 5 1 7

2 0 3 7 1

3 2 0 3 6

4 2 0 0 0


작업

1 2 3 4

기술자

1 0 5 1 7

2 0 3 7 1

3 2 0 3 6

4 2 0 0 0


작업

1 2 3 4

기술자

1 0 5 0 6

2 0 3 6 0

3 2 0 2 5

4 3 1 0 0

[단계 4] 직선으로 지워지지 않은 수 중에서 최소값을 이들 수에서 빼고, 직선이 교차하는 수에 더함

작업

1 2 3 4

기술자

1 0 4 0 6

2 0 2 6 0

3 3 0 3 6

4 3 0 0 0

[단계 4] 직선으로 지워지지 않은 수 중에서 최소값을 이들 수에서 빼고, 직선이 교차하는 수에 더함




2019-09-26 29

작업

1 2 3 4

기술자

1 0 5 0 6

2 0 3 6 0

3 2 0 2 5

4 3 1 0 0

[단계 3] 모듞 0을 지우는 최소 개수의 직선을 그린다.

작업

1 2 3 4

기술자

1 0 4 0 6

2 0 2 6 0

3 3 0 3 6

4 3 0 0 0

[단계 3] 모듞 0을 지우는 최소 개수의 직선을 그린다.

[단계 5] 작업을 핛당하고 최적해를 구핚다. [단계 5] 작업을 핛당하고 최적해를 구핚다.

작업

1 2 3 4

기술자

1 0 5 0 6

2 0 3 6 0

3 2 0 2 5

4 3 1 0 0

작업

1 2 3 4

기술자

1 0 4 0 6

2 0 2 6 0

3 3 0 3 6

4 3 0 0 0

또는

기술자 작업 비용 3 2 17 1 1 20 2 4 17 4 3 24

78

기술자 작업 비용 3 2 17 1 3 22 2 1 15 4 4 24

78

왼쪽과 같은 결과가 얻어짐.

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