高校電磁気学電磁誘導編...

高校電磁気学 ~電磁誘導編~

問題演習

問1

磁場中を動く導体棒に関する問題

・導体棒の間隔 L

R

m

滑車

θ

B

a

b

(1)おもりの落下速度がvのとき、導体棒abに生じる誘導起電力の大きさを求めよ。


・導体棒の速度 v、水平方向の速度 vcosθ ・ Δtの時間に回路を貫く磁束の変化ΔΦは、ΔΦ = BΔS = BLvcosθΔt ・ファラデーの法則 V = − N　　　　より、　　| V | = BLvcosθ

補足　V = ( v × B ) L

R

m

滑車

θ

B

a

b

ΔΦ Δt

→ → →


R

m

滑車

θ

B

a

b

(2)おもりの落下速度がvのとき、導体棒abを流れる電流が磁場から受ける力を求めよ。


V = BLvcosθ より、　I = 　　= F = ( I × B ) L より、 F = (　　　　　　　× B ) L 　 =

R

m

滑車

θ

B

a

b

V R

BLvcosθ R

→ → →

BLvcosθ R

B2L2vcosθ R


R

m

滑車

θ

B

a

b

(3)おもりの落下速度v=一定のとき、導体棒abの速さvを求めよ。


力のつりあいより、おもりの重力 − 導体棒の重力 = 磁場から受ける力　　　　　　　　　　　　　mg − Mgsinθ =　　　　　　　　　cosθ　　　　　　　

∴ v =

R

m

滑車

θ

B

a

b

B2L2vcosθ R

(mg− Mgsinθ)R B2L2cos2θ


R

m

滑車

θ

B

a

b

(4)おもりの落下速度v=一定のとき、単位時間あたりにおもりが失った力学的エネルギーを求めよ。


失った力学的エネルギーは、位置エネルギーのみ ※運動エネルギーは速度が変化していないので、減少していない。単位時間あたりに失った位置エネルギー mgv ∴mgv =

R

m

滑車

θ

B

a

b

m2g2R B2L2cos2θ


R

m

滑車

θ

B

a

b

(5)おもりの落下速度v=一定のとき、単位時間あたりに抵抗Rで発生する熱エネルギーを求めよ。


P = RI2

　= R ( 　　　　　　 )2　= 　　　　　　　 v2 = 　　　　　　　　(　　　　　　　)2

　=

R

m

滑車

θ

B

a

b

m2g2R B2L2cos2θ

BLvcosθ R

mgR B2L2cos2θ

B2L2cos2θ R

B2L2cos2θ R


R

m

滑車

θ

B

a

b

(6) (改題)エネルギーの保存を示せ。


・単位時間あたりおもりが失った位置エネルギー・単位時間あたりに抵抗Rで発生する熱エネルギー・単位時間あたりに導体棒abが得る位置エネルギー Mgvsinθ =

R

m

滑車

θ

B

a

b

Mg(mg− Mgsinθ)Rsinθ B2L2cos2θ

(mg−Mgsinθ)2R B2L2cos2θ

mg(mg−Mgsinθ)R B2L2cos2θ


・エネルギー保存より、　　　　　　　　　　　　= 　　　　　　　　　　　 + 右辺の分子は、 = (mg−Mgsinθ)2R + Mg(mg− Mgsinθ)Rsinθ 　　　　　 = (m2g2−2Mmg2sinθ+M2g2sin2θ+Mmg2sinθ− M2g2sin2θ)R 　　　　　 = (m2g2−Mmg2sinθ)R 　　　　　 = mg(mg−Mgsinθ)R = 左辺の分子 ∴　エネルギー保存が成り立つ。

R

m

滑車

θ

B

a

b

Mg(mg− Mgsinθ)Rsinθ B2L2cos2θ

(mg−Mgsinθ)2R B2L2cos2θ

mg(mg−Mgsinθ)R B2L2cos2θ

問2

磁場中を回転する導体棒に関する問題

・導体棒の角速度 ω ・導体棒の長さ L ・ Oは円の中心で固定・磁束密度 B : 上向き

O

ω B

(1) 導体棒が角速度ωで回転しているとき、点O,Pのどちらの電位が高いか。

P

R

V = ( v × B ) L VはOからPの向き、すなわちPの方が電位が高い。 (別解&補足) ・導体棒OP上の電子は、O,Pのどちらに移動するか。 OP内の電子は F = −e ( v × B )のローレンツ力を受ける。 PからOの向き　ゆえに、O側に電子が寄る。 ∴ P側の電位が高い


O

ω B

P

R

→ → →

→ → →


O

ω B

(2) 導体棒が角速度ωで回転しているとき、誘導起電力の大きさVを求めよ。

P

R

V = −N 　　　 , ΔΦ = BΔSより、 | V | = B　　　　　　　　 =


O

ω B

P

R

ΔΦ Δt

O 弧 : LωΔt

半径 : L

ΔS

½ LωΔt・L Δt

BωL2

2


O

ω B

(3) 導体棒を一定の角速度で回転させるために、点Pに一定の力FをOPに対して垂直に加えた。Fを求めよ。

P

R

単位時間あたりに抵抗で発生する熱エネルギー P = 　　　 = P点における仕事率 Fv = FLω F = 　　 =


O

ω B

P

R

B2ω2L4

4R

V2

R

P

Lω B2ωL3

4R

問3

磁場中を通過するコイルに関する問題

・磁束密度Bの領域:長さ3b ・長さa,bの長方形コイル・コイルの速度 v

(1) コイルを貫く磁束の時間変化のグラフを描け。コイルが磁場中に入る時刻を t = 0とする。

b

a

B v

3b


b

a

B v

3b

・コイルが全て磁場中に入る時刻は、・コイルが磁場中から出始める時刻は、・コイルが磁場中から出終わる時刻は、

b

v 3b

v 4b

v


b

a

B v

(i) 0 < t < 　　のときコイルを貫く磁束Φ(=BS)は一様に増えていく。 t = 　　のとき、Φ = Bab

b

v

b

v

0 時刻 t b

v

磁束 Φ

Bab

3b


b

a

B v

(ii) 　　 < t < 　　のときコイルを貫く磁束Φ=Babは一定。

b

v

0 時刻 t b

v

磁束 Φ

Bab

3b

v

3b

v

3b


b

a

B v

3b

(iii) 　　 < t < 　　のときコイルを貫く磁束Φは一様に減っていく。

3b

v

0 時刻 t b

v

磁束 Φ

Bab

4b

v

3b

v

4b

v


0 時刻 t b

v

磁束 Φ

Bab

3b

v

4b

v

b

a

B v

3b


(2) コイルに発生する誘導起電力の時間変化のグラフを描け。ただし、時計回りに電流を流す方向を正とする。

b

a

B v

3b


b

a

B v

(i) 0 < t < 　　のときコイルに発生する誘導起電力の大きさ V = vBaは一定。レンツの法則より、手前向きの磁場を作る方向に電流を流すので、誘導電流の向きは反時計回り。

b

v

0

b

v

−vBa

3b

時刻 t

起電力 V


b

a

B v

(ii) 　　 < t < 　　のときコイルを貫く磁束Φ=Babは一定で、磁束Φが変化しないため、誘導起電力V=　　　 =0

b

v

3b

v

3b

dΦ

dt

0

b

v

−vBa 3b

v

時刻 t

起電力 V


b

a

B v

3b

(iii) 　　 < t < 　　のときコイルに発生する誘導起電力の大きさ V = vBaは一定。レンツの法則より、奥向きの磁場を作る方向に電流を流すので、誘導電流の向きは時計回り。

3b

v

4b

v

4b

v

0 時刻 t

b

v

起電力 V

−vBa 3b

v

vBa

・磁束密度Bの領域:長さ3b ・長さa,bの長方形コイル・コイルの速度 v ・コイルの抵抗 R

(3) コイルの速度を一定に保つため、外部から加える力Fの時間変化のグラフを描け。ただし、コイルの抵抗をRとし、Fの正の向きはvと同様、右向きとする。

b

a

B v

3b


b

a

B v

(i) 0 < t < 　　のとき長さbの辺2つが受ける合力は0。∴長さaの右の辺だけ考える。コイルが磁場から受ける力の大きさF=IBa I = 　　 =　　　　　∴F = 右の辺の電流は上向きなので、コイルが磁場から受ける力は左これに逆らう力を加えるので、右

b

v

3b

V

R

vBa

R

vB2a2

R

0 時刻 t b

v

力 F

vB2a2

R


b

a

B v

(ii) 　　 < t < 　　のとき磁束変化がなく、誘導電流が流れないので、 (F=IBLより、I=0なので、) F=0

b

v

3b

v

3b

0 時刻 t b

v

力 F

vB2a2

R

3b

v


b

a

B v

3b

(iii) 　　 < t < 　　のとき (i)と同様に考える。長さaの左の辺だけ考える。 F = 左の辺の電流は上向きなので、コイルが磁場から受ける力は左これに逆らう力を加えるので、右

3b

v

4b

v

vB2a2

R

0 時刻 t b

v

力 F

vB2a2

R

3b

v

4b

v


(4) コイルが磁場中を通過し終えるまでに外力がした仕事を求めよ。

b

a

B v

3b


b

a

B v

3b

外力Fが仕事をするのは、回路が入るときの距離b、出るときの距離b、合わせて2bの区間である。外力Fのする仕事 W = Fx = 　　　　・2b = vB2a2

R

2vB2a2b R


(5) コイルが磁場中を通過し終えるまでに消費した電力量を求めよ。

b

a

B v

3b


b

a

B v

3b

電力量W = P t = I V t =　　・ vBa ・　　 = 外力がした仕事とコイルが消費する電力量(ジュール熱)が同じ。 ∴外力がした仕事は最終的に全て熱エネルギーに変換される。

2vB2a2b R

vBa

R

2b

v

問4

コイル・コンデンサーを含む回路に関する問題

・スイッチ開・コンデンサーの電気量 0 C

(1.1)スイッチを入れた直後、コンデンサーの電気量を求めよ。

V

C

L R

S


V

C

L R

S

コンデンサー手前の抵抗を通って電流が流れるため、コンデンサーの電荷は急に変化しない。(過渡現象) ∴ スイッチを入れる直前と同様、0 C


(1.2) スイッチを入れた直後、コイルに流れる電流の大きさを求めよ。

V

C

L R

S


V

C

L R

S

コイルは自己誘導のため、コイルを流れる電流の変化を妨げるはたらきがある。 ∴　コイルを流れる電流は 0A


(1.3) スイッチを入れた直後、コイルにかかる電圧の大きさを求めよ。

V

C

L R

S


V

C

L R

S

LとCは並列なので、コイルの電圧VLはコンデンサーの電圧VCと常に等しい。コンデンサーの電圧 VC=Q/C は、Q=0より、VC=0 ∴　コイルの電圧VL=0


(1.4) スイッチを入れた直後、抵抗に流れる電流の大きさを求めよ。

V

C

L R

S


V

C

L R

S

VC=0、VL=0より、抵抗Rには電圧Vだけかかる。 ∴ IR =

V

R


(1.5) スイッチを入れた直後、コンデンサーに流れる電流の大きさを求めよ。

V

C

L R

S


V

C

L R

S

Lには電流は流れない。よって、抵抗の電流=コンデンサーの電流また、抵抗に流れる電流 IR = 　　　より、コンデンサーに流れる電流 IC =

V

R V

R

・スイッチ閉

(2.1) スイッチを入れて充分時間が経ったとき、コイルにかかる電圧の大きさを求めよ。

V

C

L R

S

・スイッチ閉

V

C

L R

S

コイルに流れる電流は充分に時間が経つと、変化しなくなる。コイルの自己誘導による誘導起電力 VL = −L 　　より、　　　= 0 なので、 VL = 0

dI

dt dI

dt

・スイッチ閉

(2.2) スイッチを入れて充分時間が経ったとき、コンデンサーの電気量を求めよ。

V

C

L R

S

・スイッチ閉

V

C

L R

S

LとCは並列なので、VL = 0より、VC = 0

・スイッチ閉

(2.3) スイッチを入れて充分時間が経ったとき、抵抗に流れる電流の大きさを求めよ。

V

C

L R

S

・スイッチ閉

V

C

L R

S

VC=0、VL=0より、抵抗Rには電圧Vだけかかる。 ∴ IR =

V

R

・スイッチ閉

(2.4) スイッチを入れて充分時間が経ったとき、コンデンサーに流れる電流の大きさを求めよ。

V

C

L R

S

・スイッチ閉

V

C

L R

S

充分に時間が経つと、コンデンサーに流れる電流は 0A

・スイッチ閉

(2.5) スイッチを入れて充分時間が経ったとき、コイルに流れる電流の大きさを求めよ。

V

C

L R

S

・スイッチ閉

V

C

L R

S

Cには電流は流れない。よって、抵抗の電流=コイルの電流また、抵抗に流れる電流 IR = 　　　より、コイルに流れる電流 IL =

V

R V

R

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