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選擇權投資組合之風險值計算方法


張揖平*、洪明欽**、施勇任***

摘要

本文探討當標的資產報酬率服從常態分配時，未調整時間因素的解析法、

Delta (δ ) 法和 Delta-Gamma ( γδ − ) 法在計算選擇權投資組合風險值方法的績

效表現。在兩項選擇權資產的投資組合中，未調整時間因素的解析法會比調整時

間因素後的解析法高估風險值， γδ − 法估計出來的風險值較 δ 法接近理論上

的風險值，且都高估風險值。而 δ 法表現比 γδ − 法差，低估風險值，且隨

風險值預估期間增加，風險值估計誤差愈大。另外，當選擇權投資組合包含三項

個別資產時，未調整時間因素的解析法會低估風險值，而使用 δ 法和 γδ − 法

計算選擇權風險值會產生嚴重高估風險值的現象，且當信心水準愈大時，高估的

比例也愈大。

關鍵詞：風險值、選擇權、投資組合、Delta 法、Delta-Gamma 法 * 東吳大學商用數學系教授, Professor, Department of Business Mathematics, Soochow University, Taipei, Taiwan ** 東吳大學商用數學系副教授, Associate Professor, Department of Business Mathematics, Soochow University, Taipei, Taiwan *** 華南永昌證券公司專員

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2003「商情資料庫分析與建置之研究」成果發表會

Value-at-Risk Estimation of Options Portfolio

Yi-Ping Chang*、Ming-Chin Hung**、Yung-Jen Shih***

Abstract

We discuss the performance of various Value-at-Risk (VaR) estimation

approaches for options portfolio in this paper. In the case of portfolio

consisting of one call and one put, the analytical approach without

adjusting the time effect tend to overestimate the analytical VaR and the

Delta-Gamma ( γδ − ) method is better than the Delta (δ ) method as one

can expected. In the case of portfolio consisting of one put and two calls,

the analytical approach without adjusting the time effect tends to

underestimate the VaR. Also, both γδ − and δ methods seriously

overestimate the VaR.

Keywords：Value-at-Risk、Options、Portfolio、Delta method、Delta-Gamma

method * Professor, Department of Business Mathematics, Soochow University, Taipei, Taiwan ** Associate Professor, Department of Business Mathematics, Soochow University, Taipei, Taiwan *** Hua Nan Securities Co., Ltd.




壹、前言

近年來國際間因操作衍生性金融商品不當而產生嚴重虧損的例子時有所

聞，例如 1994 年的美國加州橘郡 (Orange county)事件、1995 年的英國霸菱

(Barings) 銀行事件與 1997 年的美國長期資本管理公司 LTCM 事件，都造成嚴

重的損失。1997 年，十大工業國 (G-10) 同意採行兩種 BIS （Bank for

International Settlement）建議的衡量資本適足率的方法，一種為標準

(standardized) 方案，另一種為內部模型。如今，風險值已廣為各國際組織所支

持，成為金融機構在市場風險控管上的重要工具。

在計算非線性型式商品之風險值時，例如選擇權商品，一般常使用 Delta 法

的一階泰勒展開式 (Taylor’s expansion) 計算風險值，如果一階泰勒展開式的近似

結果不佳，則使用 Delta-Gamma 法的二階泰勒展開式計算風險值。在二階泰勒

展開式下，Britten-Jones 與 Schaefer (1999) 在資產損失分配為常態分配下，求出

二階泰勒展開式並非常態分配，而是服從 non-central 的卡方分配，可以更正確

求得風險值。Fong 與 Lin (1999) 提出使用解析法 (analytical approach) 來計算風

險值，但是 Fong 與 Lin 提出的解析法忽略了時間因素對風險值計算的影響。

本文在原先解析法的作法下，修正時間因素對解析法的影響，並且利用配方法，

可以正確求得二階泰勒展開式的風險值，並進一步探討各種風險值計算方法在不

同狀況下的績效表現。以下第二節為研究方法的討論，介紹選擇權之風險值的計

算方法，第三節則比較不同之選擇權風險值計算方法的優劣，第四節為結論。

貳、研究方法

2.1 資產風險值的計算方法

風險值是衡量標的資產價格的變動所導致的可能最大損失金額，也就是在未

來某一特定時間和信心水準 α−1 之下，資產報酬率的市場風險，或是此一資

產可能發生的最大損失。Hull 與 White (1998) 對風險值的定義為：「有

100( α−1 )% 的信心在未來 N 天內的損失不超過 V 元」，其中 V 值即為風

險值，有關風險值計算方法的介紹與回顧可參考 Morgan (1996)、Duffie (1997)、

Dowd (1998)、Jorion (2000) 和 Penza 與 Bansal (2001) 等。

令 tX 為資產在時間 t 時的價值，則資產在時間 t 時的簡單報酬率 tR

為




,lnln 11

1−

−

− −≈−

= ttt

ttt XX

XXXR

由於簡單報酬率會近似連續報酬率，因此本文在計算簡單報酬率時皆以連續報酬

率代替。本文定義 niRR niti ,,1,* ⋅⋅⋅== −+ ，亦即 niRi ,,1,* ⋅⋅⋅= ，表示時間

tnt ,,1 ⋅⋅⋅+− 之 n 期的資產報酬率，其中 n 稱為訓練期間 (learning window)

長度，若資產報酬率為日資料時，一般將 n 取為一年的交易次數。此外，為方

便起見，定義 r 和 s 分別為

∑=

=n

iiR

nr

1

*1 和 .)(1

11

2*∑=

−−

=n

ii rR

ns

2.1.1 參數型固定波動率模型的風險值計算

參數型固定波動率模型 (constant volatility model，簡稱： CV 模型) 是一般

常用的一種風險值計算方法。假設資產在時間 t 時的報酬率 tR 的模型為

,tt aR σµ +=

其中 ta 為獨立且具有相同分配 (independently and identically distributed；簡稱

.).. dii 之連續型隨機變數，其累積分配函數為 )(aF ，且不失一般性 (without loss

of generality) 假設 0)( =taE 和 1)( =taVar ，而 u 和 σ 分別表示 tR 的平

均數和標準差，因此在信心水準 1-α 下，於 t 期估計 1+t 期的風險值之估

計值 )(ˆ CVtRaV 為

,)(ˆ )(t

CVt XsqrRaV α−−=

其中 αq 為累積分配函數 F 之 α 分位數，亦即 αα =)(qF 。例如若

)1,0(~ Ntα ，稱為 Normal 法。

2.2. Black-Scholes 選擇權定價公式

選擇權為衍生性商品中極為重要的一種，選擇權的買方付出權利金，即有權

利在特定期間內，向選擇權的賣方依特定的履約價格買入或賣出特定數量的標的

資產。歐式選擇權買方只能在到期日當天行使履約的權利，美式選擇權買方可以

在到期日及選擇權存續期間內行使履約的權利。

Black 與 Scholes (1973) 在一些假設下，利用無套利機會的觀念，提出

Black-Scholes 歐式買權選擇權 (European call option) 定價公式，為 ( ) ),()( tTdKedXC R

tTrt −−−= −− σΦΦ




,))(2/()/log( 2

tTtTrKXd

R

Rt

−

−++=

σ

σ

其中，C 為選擇權買權價格， tX 為標的資產在 t 日的價格，K 為選擇權履

約價格， (.)Φ 為標準常態分配的累積分配函數， r 為無風險利率，T 為到期

日， tT − 為時間 t 距到期日期間 (以年為單位)， Rσ 為標的資產報酬率標準

差 (以年為單位)。此選擇權價格之 Delta 值 δ 和 Gamma 值 γ 分別為

),(dΦ=δ

.)(tTX

d

Rt −Φ′

=σ

γ

由於 Black-Scholes 選擇權定價公式相當簡單，因此實務上常被使用。

2.3. 選擇權的條件風險值計算

假設衍生性金融商品的標的資產僅有一個，例如股票選擇權，本節將討論選

擇權的條件風險值計算方法。令 tX 表示標的資產在時間 t 時之價格，而選擇

權在時間 t 時之價格為 )( tt Xg ，且對所有 t， )( tt Xg 為 tX 之連續函數。

則在信心水準為 α−1 下，時間 t 預測時間 1+t 之選擇權價格報酬的條件風

險值 ( )OtVaR 滿足

,)|)()(( )(11 α=−<−++ t

Ottttt FVaRXgXgP (1)

其中 tF 表示包含 tX ， 1−tX ，… 之所有資訊，亦即在時間 t 預測時間 1+t

時，選擇權價格的損失大於或等於 ( )OtVaR 之條件機率為 α 。例如對任何 t，

在 1−tF 已知下，一般假設標的資產在時間 t 時之報酬 1−− tt XX 的模型為

),(111 ttttt aXFXX σµ +=− −−−

其中 ta 為獨立且具有相同分配之連續型隨機變數，而 µ̂ 和 σ̂ 為 µ 與 σ

的估計值，可由 1| −tt FR 的實際報酬率資料求得平均數與標準差。以下將探討

幾種計算 )(OtVaR 之方法。

2.3.1. 解析法 (analytical approach) 之選擇權的條件風險值計算

Fong 與 Lin (1999) 假設時間 1+t 和時間 t 時之選擇權價格函數相同

下，得到選擇權之風險值為 ( ) ),ˆ()(ˆ )(S

tttO

t RaVXgXgRaV −−=




其中 (.)g 為選擇權價格函數， tX 為標的資產在 t 日的價格， )(ˆ StRaV 為標的

資產風險值估計值。由於在時間 t 計算時間 1+t 之選擇權風險值時，用相同

的距到期日時間 tT − ，並沒有考慮時間 1+t 與時間 t 距到期日 T 並不相

同對選擇權風險值的影響，因此本文增加考慮距到期日不同，其選擇權價格函數

亦有所差異。假設對所有 t， )( tt Xg 為 tX 之嚴格遞增函數，如 Black-Scholes

歐式買權選擇權 (European call option) 定價， ( ) ),()()( )(- tTdKedXXg R

tTrtt

Callt −−−= − σΦΦ

其中 K，r，T，d， Rσ 和 2.2. 節之符號相同。在信心水準 α−1 下，令 ( )StVaR

為時間 t 預測時間 1+t 之標的資產報酬的條件風險值，亦即 ( )StVaR 滿足

( ) ,)( 1 α=−<−+ tS

ttt FVaRXXP (2)

換言之，在時間 t 預測時間 1+t 時，標的資產損失大於或等於 ( )StVaR 之條

件機率為 α 。由 (1) 式及 )( 11 ++ tt Xg 為 1+tX 之嚴格遞增函數， ( )

( ) , )))(((

))()((111

11

ttO

tttttt

tO

ttttt

FXVaRXggXXP

FVaRXgXgP

−−<−=

−<−=−++

++α

由 (2) 式，可以得到

,))(( )()(11

Stt

Otttt VaRXVaRXgg −=−−−

+

因此 ( ) ).()( )(

1S

tttttO

t VaRXgXgVaR −−= +

而 ( )StVaR 之估計值為 ( )S

tRaV ˆ 可由 11 −−− ttt FXX 的模型及過去標的資產之

報酬資料得到，因此 ( )OtVaR 之估計值 ( )O

tRaV ˆ 為 ( ) ( ) ).ˆ()(ˆ 1

Sttttt

Ot RaVXgXgRaV −−= +

若對所有 t， )( tt Xg 為 tX 之嚴格遞減函數，如 Black-Scholes 歐式賣權

選擇權 (European put option) 定價， ( ) ),()()( )( dXtTdKeXg tR

tTrt

putt −−−+−= −− ΦΦ σ

其中 K， r，T ，d， Rσ 和 Black-Scholes 歐式買權選擇權定價之符號相同。

由 (1) 式， ( )

( ) ),|))(((

))()((111

11

ttO

tttttt

tO

ttttt

FXVaRXggXXP

FVaRXgXgP

−−>−=

−<−=−++

++α




令 ( )*StVaR 滿足

( ) ,)( *1 α=−>−+ t

Sttt FVaRXXP (3)

因此

,))(( *)()(11

Stt

Otttt VaRXVaRXgg −=−−−

+

亦即 ( ) ( ) ).()( *

1S

tttttO

t VaRXgXgVaR −−= +

而 ( )*StVaR 之估計值 ( )*ˆ S

tRaV 亦可由 11 | −−− ttt FXX 的模型及過去標的資產報

酬之資料得到，因此 ( )OtVaR 之估計值 ( )O

tRaV ˆ 為 ( ) ( ) ).ˆ()(ˆ *

1S

tttttO

t RaVXgXgRaV −−= +

若對所有 t， )( tt Xg 為 tX 之嚴格遞減-遞增函數，亦即對所有 t，存在( )0tx ，使得當 ( )0

txx < 時， )(xg t 為遞減函數，當 ( )0txx > 時， )(xg t 為遞增

函數。令 ( ) )(min0 xgy txt = ，則對所有 ( )0tyy > ，存在 ( ) )(1 ytη 和 ( ) )(2 ytη ，滿

足 ( ) ( ) )()( 21 yy tt ηη < 且 ( ) ( ) ))(())(( 21 ygyg tttt ηη = 。因此 yxg t <)( 之充分必要條

件為 ( ) ( ) ))(())(( 21 ygxyg tttt ηη << ，當 )(xg t 給定時，對所有 ( )0tyy > ， ( ) )(1 ytη 和

( ) )(2 ytη 可以由數值方法求得。例如包含相同履約價格的一個歐式買權和一個歐

式賣權之選擇權組合部位 (combination position)，亦稱為 straddle 組合策略。此

種選擇權組合的價格為

{ } { }, 1)(21)(2

)()(

)()()(

)(

)(

)()(

−−−−−=

−−−+−+

−−−=

−−

−−

−−+

tTdKedX

dXtTdKe

tTdKedXXg

RtTr

t

tRtTr

RtTr

ttPC

t

σΦΦ

ΦσΦ

σΦΦ

其中 K， r，T ，d， Rσ 和 Black-Scholes 歐式買權選擇權定價之符號相同。

圖一為 straddle 選擇權組合的價格函數 )()(t

PCt Xg + 之圖形。由 (1) 式，

( )

),|))(( ))(((

))()((

)()2(1

1)()1(

1

11

ttO

tttt

tttO

tttt

tO

ttttt

FXVaRXgXXXVaRXgP

FVaRXgXgP

−−<

−<−−=

−<−=

+

++

++

η

η

α

(4)

在 tF 已知下，由標的資產在時間 1+t 時之報酬 tt XX −+1 的模型，經過數

值計算可以得到 ( )OtVaR 。




)( 11 ++ tt xg

y

)()1(1 yt+η )()2(

1 yt+η 1+tx

圖一、Straddle選擇權組合之定價函數 )( 11 ++ tt xg

例如對任何 t，在 1−tF 已知下，假設標的資產在時間 t 時之報酬率

11 /)( −−− ttt XXX 的模型為參數型固定波動率模型 (constant volatility model)，亦

即標的資產在時間 t 時的報酬

,)(111 ttttt aXFXX σµ +=− −−−

其中 ta 為具有累積分配函數 )(aF 之 ... dii 的隨機變數，且不失一般性假設

0)( =taE 和 1)( =taVar ，而 µ 和 σ 為未知參數。由 (4) 式可以得到

( ) ( )

(5) . ))((1

))((1

)()1(1

21

−−−

−

−−−

=

+

+

µη

σ

µη

σα

t

tO

tttt

t

tO

tttt

XXVaRXg

F

XXVaRXg

F

由 (5) 式，經由二分法 (bisection method) 之數值計算，即可求得 ( )OtVaR 之

近似值。而由於 ( )OtVaR 包含未知參數 µ 和 σ ，可以利用過去 n 個標的資

產的報酬資料，得到 µ 和 σ 之估計值分別為 µ̂ 和 σ̂。因此 ( )OtVaR 之估

計值 ( )OtRaV ˆ 為滿足下式之解，

( ) ( )

. ˆ))((ˆ1

ˆ))((ˆ1

)()1(1

21

−−−

−

−−−

=

+

+

µη

σ

µη

σα

t

tO

tttt

t

tO

tttt

XXVaRXg

F

XXVaRXg

F

此外，若對任何 t， )( tt Xg 為 tX 之嚴格遞增-遞減函數，亦可由相同作

法，得到選擇權風險值估計值計算方法。




2.3.2、δ 法之選擇權的條件風險值計算

假設對所有 t， )( tt Xg 為一次可微分函數且 0)( ≠′ tt Xg ，則 )( 11 ++ tt Xg 在

tt XX =+1 之泰勒展開式可以得到

),)(())(()()()()( 211111 1 ttttttttttttt XXoXXXgXgXgXgXg

t−+−′+−=− +++++ +

在信心水準 α−1 下，時間 t 預測時間 1+t 之選擇權價格損失的條件風險值 ( )δ−OtVaR 滿足

( ) (6) ).))(()()(()|)()((

111

)(11

tO

ttttttttt

tO

ttttt

FVaRXXXgXgXgPFVaRXgXgP

δ

δα−

+++

−++

−<−′+−≈

−<−=

若 0)( >′ tXg ，由 (6) 式可以得到

( ),

)()()(

1

11 α

δ

≈

′

−+−<−

+

+−

+ ttt

ttttO

ttt F

XgXgXgVaR

XXP

因此

( )( ) ,

)()()(

1

1 St

tt

ttttO

t VaRXg

XgXgVaR−≈

′−+

−+

+−δ

其中 )( StVaR 定義於 (2) 式，亦即

( ) ( ) ).()()( 11 ttttS

tttO

t XgXgVaRXgVaR ++− −+′≈δ

令 ( )StVaR 的估計值為 ( )S

tRaV ˆ ，則 ( )δ−OtVaR 的估計值 ( )δ−O

tRaV ˆ 為 ( ) ( ) ).()(ˆ)( 11 tttt

Sttt

Ot XgXgRaVXgVaR ++

− −+′≈δ

若 0)(1 <′+ tt Xg ，由 (6) 式可以得到

( ),

)()()(

1

11 α

δ

≈

′

−+−>−

+

+−

+ ttt

ttttO

ttt F

XgXgXgVaR

XXP

因此

( )( ) ,

)()()( *

1

1 St

tt

ttttO

t VaRXg

XgXgVaR−≈

′−+

−+

+−δ

其中 *)(StVaR 定義於 (3) 式，亦即

( ) ( ) ).()()( 1*

1 ttttS

tttO

t XgXgVaRXgVaR ++− −+′≈δ




令 ( )*StVaR 的估計值為 ( )*ˆ S

tRaV ，則 ( )δ−OtVaR 的估計值 ( )δ−O

tRaV ˆ 為

( ) ( ) ).()(ˆ)(ˆ 1*

1 ttttS

tttO

t XgXgRaVXgRaV ++− −+′≈δ

此外，值得注意的是若 0)(1 =′+ tt Xg ，則

( ) ),()( 1 ttttO

t XgXgVaR +− −≈δ

因此， ( )δ−OtVaR 近似於 0，亦即，如果選擇權為 straddle 選擇權組合，當

0)(1 =′+ tt Xg 時，δ 法無法反應 ( )StVaR 和 ( )*S

tVaR 的變化，而使得 δ 法之選

擇權風險值計算結果不佳。

由於本節介紹之方法，並不需要假設 11 | −−− ttt FXX 之分配為常態分配，

在實際應用上較具彈性。

2.3.3. γδ − 法之選擇權的條件風險值計算

Britten-Jones 與 Schaefer (1999) 曾在 11 | −−− ttt FXX 具有常態分配的假設

下，探討 γδ − 法選擇權之條件的風險值計算方法。本節推廣 Britten-Jones 與

Schaefer (1999) 的想法，在不需要 11 | −−− ttt FXX 具有常態分配的假設下，探

討 γδ − 法選擇權之條件的風險值計算方法，因此更具一般性。

假設對任何 t， )( tt Xg 為一次及二次可微分函數，則由 )( 11 ++ tt Xg 函數

在 tt XX =+1 之泰勒展開式可以得到

,))(())((21

))(()()()()(

31

211

11111

tttttt

ttttttttttt

XXoXXXg

XXXgXgXgXgXg

−+−′′+

−′+−=−

+++

+++++

則在信心水準為 α−1 下，時間 t 預測時間 1+t 之選擇權價格損失的條件風

險 ( )δγ−OtVaR 滿足

( )

).|

))((21))(()()((

))()((

)(

211111

11

tO

t

tttttttttttt

tO

ttttt

FVaR

XXXgXXXgXgXgP

FVaRXgXgP

δγ

δγα

−

+++++

−++

−<

−′′+−′+−≈

−<−=

(7)

若 0)( >′′ tXg ，利用配方法，由 (7) 式可以得到




( )

( )

( ) ,)()()(

)()()(

)()()(

,

1

1

1,

1

1

,

2

1

11

+′′′

−<

−<−

′′′

−=

<

′′′

+−≈

−

+

+

+−

+

+

−

+

++

tXO

ttt

tt

ttXO

ttt

tt

tXO

ttt

tttt

FVaRXgXg

XXVaRXgXg

P

FVaRXgXg

XXP

t

t

t

δγ

δγ

δγ

ψ

ψ

ψα

(8)

其中

( )( )[ ]

.)()(

)()()()(2

)(2

1

1

1

1,

′′′

+′′

−+−=

+

+

+

+−

−

tt

tt

tt

ttttO

tXOt Xg

XgXg

XgXgVaRVaR t

δγδγψ

在 tF 已知下，由標的資產在時間 t 時之報酬 tt XX −+1 的模型，配合二

分法之數值計算計算可以得到 ( )δγ−OtVaR 。例如對任何 t，在 1−tF 已知下，假

設標的資產在時間 t 時之報酬率 11 /)( −−− ttt XXX 的模型為參數型固定波動率

模型，亦即標的資產在時間 t 時之損失

),(111 ttttt aXFXX σµ +=− −−−

其中 ta 為具有累積分配函數 )(aF 之 i.i.d. 的隨機變數，且不失一般性假設

0)( =taE 和 1)( =taVar ，而 µ 和 σ 為未知參數。則由 (8) 式可以改寫為

( )

( ) .)()()(11

)()()(11

1

1

1

1

αµψσ

µψσ

δγ

δγ

≈

−

−

′′′

−−

−

+

′′′

−

−

+

+

−

+

+

Ot

tt

tt

t

Ot

tt

tt

t

VaRXgXg

XF

VaRXgXg

XF

(9)

由 (9) 式，經由二分法數值計算，即可求得 ( )δγ−OtVaR 之近似值。但是由於

( )δγ−OtVaR 包含未知參數 µ 和 σ ，可以利過去 n 個標的資產的報酬資料，

得到 µ 和 σ 之估計值分別為 µ̂ 和 σ̂ ，因此 ( )δγ−OtVaR 之估計值 ( )δγ−O

tRaV ˆ

為下列方程式之近似解

( )

( ) .ˆ)ˆ()()(1

ˆ1

ˆ)ˆ()()(1

ˆ1

1

1

1

1

αµψσ

µψσ

δγ

δγ

≈

−

−

′′′

−−

−

+

′′′

−

−

+

+

−

+

+

Ot

tt

tt

t

Ot

tt

tt

t

RaVXgXg

XF

RaVXgXg

XF




參、選擇權風險值計算方法比較

本文在計算選擇權之風險值時，假設標的資產報酬率為常態分配，探討標的

資產報酬率為常態分配時，解析法、未調整時間因素解析法、δ 法和 γδ − 法

計算選擇權風險值方法的績效表現。沿用 Britten 與 Schaefer (1999) 的探討，

表一為二種選擇權組合，在二種選擇權組合中，皆假設標的資產報酬率之平均數

為 0，報酬率年標準差為 30%，無風險利率為 10%，距到期日為 60 天，選擇

權買權與選擇權賣權的履約價格都為 101，買權權重為 -1，賣權權重為 -0.5，

在選擇權組合一的風險值預估期間為 1 天，在選擇權組合二的風險值預估期間

為 10 天。

表一、兩項選擇權資產之投資組合

portfolio 1 2 maturity of options(days) 60 60 quantity of calls -1 -1 quantity of puts -0.5 -0.5 time horizon 1 day 10 day

若假設標的資產報酬率具有常態分配，則風險值預估期間為 1 天時，標的

資產日報酬率為常態分配 )0157.0,0( 2N ，風險值預估期間為 10 天時，標的資

產 10 日報酬率為常態分配 )0497.0,0( 2N ，當擇權組合標的資產現價分別為

100、90、110 三種狀況時，計算選擇權組合的理論價格與使用 δ 法或 γδ − 法

所計算出之近似選擇權價格。附圖中之圖二、圖三與圖四中，第一列、第二列和

第三列分別表示資產現價為 100、90、110，而第一行和第二行分別表示預估期

間為 1 日和 10 日。由圖二可以知道，當風險值預估期間為 1 天時，使用 δ 法

計算選擇權組合價格的近似值與選擇權組合理論價格差異較小，當風險值預估期

間為 10 天時，δ 法計算出來的近似值與選擇權組合理論價格差異變大，因此

當風險值預估期間拉長時，δ 法並不適用，而 γδ − 法計算出來的選擇權組合

近似值，則較接近選擇權組合理論價格。

當資產報酬率為常態分配，可用 Black-Scholes 選擇權定價公式得到選擇權

組合之理論價格，配合解析法、未調整時間因素解析法、δ 法和 γδ − 法與解

析法，可以得到選擇權組合在不同狀況下的風險值。圖三為風險值信心水準從




99% 到 95%，不同的風險值計算方法計算出來的風險值，由於當資產報酬率為

常態分配且採用 Black-Scholes 選擇權定價公式計算選擇權之理論價格，解析法

可以得到風險值真值，因此未調整時間因素解析法、δ 法與 γδ − 法估計出來

的風險值越接近用解析法求得的風險值，表現越好。由圖三可知，在兩項選擇權

資產之投資組合中，未調整時間因素的解析法都會比調整時間因素的解析法高估

風險值。 γδ − 法估計出來的風險值均較 δ 法接近風險值真值，且都高估風險

值，而 δ 法表現比 γδ − 法差，且低估風險值，且隨風險值預估期間增加，

風險值估計誤差愈大。圖四為 δ 法、 γδ − 法與未調整時間因素的解析法的風

險值誤差百分比，誤差百分比為正值代表高估風險值，誤差百分比為負值代表低

估風險值，誤差百分比越接近 0，表現越好。由圖四可清楚得知 δ 法的風險值

誤差明顯大於 γδ − 法。且 γδ − 法在 tX 為 90，風險值預估期間為十天

時，誤差會較大，此結果與 Britten 與 Schaefer (1999) 的結果相同。

當選擇權組合中包含的選擇權個數增加，選擇權組合的價格函數會更為複

雜，本文討論當選擇權組合的價格函數為三次方函數時，使用解析法、未調整時

間因素解析法、δ 法和 γδ − 法計算選擇權風險值方法的優劣與適用性，沿用

Britten 與 Schaefer (1999) 的探討，建構一個選擇權組合包含一個賣權，二個買

權，表二為各個選擇權的履約價格與選擇權權重，三種選擇權距到期日皆為 20

天，標的資產報酬率之平均數為 0，報酬率年標準差為 30%，無風險利率為

10%，資產價格現價為 100，則選擇權組合價格函數為三次方函數，風險值預估

期間設為 10 天。

表二、三項選擇權資產之投資組合

種類 Put Call Call 履約價格 95 95 105 距到期日(天) 20 20 20 選擇權權重 -1.0 -1.5 +2.5

當資產報酬率為常態分配，採用 Black-Scholes 選擇權定價公式得到選擇權

組合之理論價格，圖五為選擇權組合理論價值與使用 δ 法與 γδ − 法計算選擇

權組合價格近似值的比較圖，由圖五可知，當資產價格變化愈大，δ 法與 γδ −




法計算的選擇權組合價格近似值與選擇權理論價格的差異愈大。使用

Black-Scholes 選擇權定價公式，配合解析法、δ 法和 γδ − 法，可以得到選

擇權組合在不同信心水準 α 下的風險值，表三為風險值信心水準從 99% 到

95%，不同的風險值計算方法計算出來的風險值與使用 δ 法和 γδ − 法計算

風險值所產生的誤差。由表三可知，當選擇權組合價格函數為三次方函數時，使

用 δ 法和 γδ − 法計算選擇權風險值會產生嚴重高估風險值的現象，且當信

心水準愈大時，高估的比例也愈大。表四為使用解析法與未調整時間因素解析法

計算選擇權組合風險值的比較表，由表四可知未調整時間因素解析法會低估風險

值，且有相當程度的誤差。

表三、在常態分配 )0497.0,0( 2N 下，選擇權組合在不同 α 值下的風險值與 δ 法與

γδ − 法風險值估計值誤差百分比

解析法 δ 法 γδ − 法 δ 法誤差百分比

γδ − 法誤差百分比

01.0=α 2.6069 8.3734 6.6547 221.20% 155.27% 02.0=α

2.6034 7.4066 6.0785 184.50% 133.48%

03.0=α

2.5974 6.7914 5.683 161.47% 118.80% 04.0=α

2.5891 6.3373 5.3705 144.77% 107.43%

05.0=α

2.5781 5.9613 5.1117 131.23% 98.27%

表四、在常態分配 )0497.0,0( 2N 下，選擇權組合在不同 α 值下，使用解析法與未

調整時間因素解析法計算風險值的比較與風險值估計值誤差百分比

解析法解析法 1 (未調整時間)

解析法 1 誤差百分比

01.0=α 2.6069 0.8614 -66.96% 02.0=α 2.6034 0.8605 -66.95% 03.0=α 2.5974 0.8587 -66.94% 04.0=α 2.5891 0.8559 -66.94% 05.0=α 2.5781 0.8524 -66.93%




肆、結論

本文探討解析法、未調整時間因素解析法、δ 法與 γδ − 法在資產損失為

常態分配，選擇權組合為二次方價格函數或三次方價格函數時，四種風險值計算

方法在各種狀況下的比較。由結果可知，解析法在資產損失為常態分配時，可正

確求得選擇權組合風險值，且當選擇權組合為複雜價格函數，例如三次方價格函

數，使用未調整時間因素解析法、δ 法與 γδ − 法計算風險值，將有相當程度

的誤差。本文介紹的四種風險值計算方法，在資產損失不是常態分配時，依然可

以使用，但因當資產損失不是常態分配時，選擇權價格將不能使用 Black-Scholes

選擇權定價公式計算，使用四種方法計算選擇權風險值將有誤差產生。

參考文獻

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value-at-risk”, European Finance Review, (2), pp. 161-187.

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New York: Wiley, 1998.

3. Duffie, D and Pan, J., (1997), “An overview of value at risk”, The

Journal of Derivatives, (7), pp. 7-49.

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8. Penza, P. and Bansal, V.K., Measuring Market Risk with Value at Risk,

New York: Wiley, 2001.




附圖

圖二、資產報酬率為常態分配假設下，實線為選擇權組合之真實價格，虛線為 δ 法近

似價格函數，半虛線為 r−δ 法近似價格函數

圖三、資產報酬率為常態分配假設下不同方法所求出之風險值，其中實線 *為解析法，

虛線 * 為未調整時間解析法，x 線為 δ 法，o 線為 γδ − 法




圖四、資產報酬率為常態分配假設下，δ 法與 γδ − 風險值估計誤差，其中 * 線為

未調整時間解析法，x 線為 δ 法，o 線為 γδ − 法

圖五、資產報酬率為常態分配假設下，實線為選擇權組合之真實價格，虛線為 δ 法近

似價格函數，半虛線為 r−δ 法近似價格函數



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