慣性重力波にも適用可能な ３次元波動活動度フラックス

宮原　三郎　（九大・理） 2010年11月30日

神戸大学　

研究の動機 1980年代初頭　大気大循環における重力波の重要性の認識 Lindzen, 1981: Turbulence and stress owing to gravity wave and tidal breakdown, JGR, 86. Matsuno, 1982: A quasi one-dimensional model of the middle atmosphere circulation interacting with internal gravity waves, JMSJ, 60.

中間圏界面付近の弱風層および夏冬の温度逆転の成因

Andrews et al. 1987: Middle atmosphere Dynamics

Mechanistic models: ２次元モデル＋重力波パラメタリゼーション

たとえば

Holton, 1982: The role of gravity wave induced drag and diffusion in the momentum budget of the mesosphere, JAS, 39. Miyahara, 1984: A numerical simulation of the zonal mean circulation of the middle atmosphere including effects of solar diurnal tidal waves and internal gravity waves; Solstice condition, Dynamics of the middle atmosphere.

重力波の重要性の確認（重大循環モデルによる力波パラメタルゼーション無し）

Miyahara et al., 1986: Interactions between gravity waves and planetary scale flow simulated by the GFDL “SKYHI” general circulation model, JAS, 43.

帯状平均場のみではなく，プラネタリースケールでの重力波の分布と役割を考察

時間平均場の中の重力波に伴う鉛直運動量fluxと東西風加速 Miyahara et al.(1986)

非地衡風擾乱に対する３次元的flux の理論が確立していないので

の分布を調べた。

この時点で，Plumb (1985), Plumb (1986)のQG-waveに関するflux理論は完成していた．

当時から，慣性重力波に対して適用可能なfluxを研究していたが，未完に終わった． €

u t , ′ u ′ w t , ∂ ′ u ′ w t

∂z

平均場が帯状平均東西風の場合 帯状平均　wave flux --> E-P Flux　　

エリアッセン・パームflux(E-P flux)は非発散となる エリアッセン・パームの定理

Eliassen and Palm (1960), Charney and Drazin (1961), Uryu (1973), Andrews and McIntyre (1976) etc.

€

∂∂y ′ u ′ v +

1N 2

∂u ∂z ′ v ′ r

+

∂∂z ′ u ′ w + ( f −

∂u ∂y

) ′ v ′ r N 2

= 0

€

Fy = − ′ u ′ v −1

N 2∂u ∂z ′ v ′ r , Fz = − ′ u ′ w − ( f −

∂u ∂y

) ′ v ′ r N 2

Transformed Eulerian-Mean (TEM)方程式

x方向の 運動量のy方向，z方向への輸送量(flux)を表現 大気中では，東向き帯状平均運動量の子午面内でのfluxを表現 波動の子午面内での伝播方向を示す 残差循環　物質輸送を近似的に表現

Andrews and McIntyre (1976)

€

∂u ∂t

+ v * ∂u ∂y

+ w * ∂u ∂z

− fv * =∂∂y

− ′ u ′ v − 1N 2

∂u ∂z

′ v ′ r

+∂∂z

− ′ u ′ w − f − ∂u ∂y

1N 2 ′ v ′ r

+ X ,

∂r ∂t

+ v * ∂r ∂y

− N 2w * = −∂∂z

′ r ′ w − ∂r ∂y

′ r ′ v N 2

+ J ,

€

Fy = − ′ u ′ v − 1N 2

∂u ∂z

′ v ′ r , Fz =− ′ u ′ w − ( f − ∂u ∂y

) ′ v ′ r N 2

Eliassen − Palm (E − P) Flux

€

Ec − u

のFlux を与える E-P Flux は

€

Eω − ku

Wave action

保存量形式

€

∂∂t

Eu − c

+

∂∂y

− ′ u ′ v −1

N 2∂u ∂z ′ v ′ r

+

∂∂z

− ′ u ′ w − ( f −∂u ∂y) ′ v ′ r

N 2

= D

準地衡風擾乱・波動の場合

準地衡風渦位擾乱

準地衡風渦位擾乱の南北方向輸送(flux)

€

F = − ′ u ′ v , − f0

N02 ′ v ′ r

€

′ q =∂ 2 ′ ψ ∂x 2 +

∂ 2 ′ ψ ∂y 2 +

∂∂z

f02

N02∂ ′ ψ ∂z

€

′ v ′ q =∂∂y

− ′ u ′ v ( ) +∂∂z

−f0

N02 ′ v ′ r

=∇⋅ F

波動の３次元的伝播　 ３次元的wave flux

準地衡風的波動の場合　　

Hoskins et al. (1983), Plumb(1985, 1986), Trenberth (1986), Takaya and Nakamura (2001) etc.

Planetary wave についての３次元的 wave flux 　wave activity flux の大きさと方向を与える 　 波動の３次元的伝播の解明

Plumb (1986)

€

u , v 時間平均場 下での波動

€

D ′ q Dt

+ ′ u ⋅ ∇Hq = 0

€

DDt

=∂∂t

+ u ∂∂x

+ v ∂∂y

準地衡風渦度保存則

€

dqdt

= 0

€

q = f +∂2ψ∂x 2

+∂2ψ∂y 2

+f 2

N 2∂2ψ∂z2

，

，

€

DeDt

+ ′ u ′ q ⋅ ∇Hq = 0

€

e =12′ q 2 is the eddy potential

enstrophy.

Slowly varying background field --> WKB Approximation

€

DMDt

+∇ ⋅MR = 0

€

MR = n ⋅ B, n =∇Hq ∇Hq

€

′ u ′ q = div

′ u ′ v ε − ′ u 2 f ′ u ′ θ dθ

dz

′ v 2 −ε − ′ u ′ v f ′ v ′ θ dθ

dz0 0 0

, ε =12

′ u 2 + ′ v 2 +α′ θ 2

dθ dz

€

B ≡

′ u ′ v ε − ′ u 2 f ′ u ′ θ dθ

dz

′ v 2 −ε − ′ u ′ v f ′ v ′ θ dθ

dz0 0 0

€

M = e∇Hq

€

α =RHexp −κz /H( )

€

DMDt

+∇ ⋅MR = 0

More useful form

€

∂M∂t

+∇ ⋅MT = 0, MT = MR + u M

€

MT = cgM

€

MTは wave activity

€

M = e∇Hq の fluxを与える．

これらの物理量は全て場が与えられていれば計算可能

Trenberth (1986): Time mean equation system under the lnp coordinate 簡単のために静力学平衡ブシネスク系で表現　

€

u , v 時間平均場 下での波動の wave flux

€

DDt

=∂∂t

+ u ∂∂x

+ v ∂∂y

€

K = 12

′ u 2 + ′ v 2( )€

u * = u + 1f∂K ∂y

+∂∂z

′ u ′ r N 2

v * = v − 1f∂K ∂x

+∂∂z

′ v ′ r N 2

w * = w − ∂∂x

′ u ′ r N 2

−

∂∂y

′ v ′ r N 2

€

Du Dt

− fv * = −∂Φ ∂x

−∇ ⋅ Ex

Dv Dt

+ fu * = −∂Φ ∂y

−∇ ⋅ Ey

Dr Dt

− N 2w * ≅ 0

ここでテンソルE は

Plumb (1986) との関連などを準地衡風系について議論

Plumb (1985), Takaya and Nakamura (2001) 準地衡風系に適用可能な平均を必要としない３次元 wave flux を提案

€

E =

12

′ u 2 − ′ v 2( ) ′ u ′ v fN 2 ′ v ′ r

′ u ′ v 12

′ v 2 − ′ u 2( ) −f

N 2 ′ u ′ r

0 0 0

３次元ブシネスク系非地衡風的 •  内部重力波・潮汐波・赤道波などにも適用可能な wave activity flux について考える

€

u , v 時間平均場

下での波動の wave activity flux

右辺はレイノズルストレス項を変形

€

S ≡ 12

′ u 2 + ′ v 2 + ′ w 2 − ′ r 2

N 2

€

Du Dt

− fv = − ∂Φ ∂x

−∂ ′ u ′ u ∂x

−∂ ′ u ′ v ∂y

−∂ ′ u ′ w ∂z

= −∂Φ ∂x

−∂∂x12

′ u 2 + ′ v 2 + ′ w 2 − ′ r 2

N 2

−∂∂x12

′ u 2 − ′ v 2 − ′ w 2 +′ r 2

N 2

−

∂ ′ u ′ v ∂y

−∂ ′ u ′ w ∂z

Dv Dt

+ fu = − ∂Φ ∂y

−∂ ′ u ′ v ∂x

−∂ ′ v ′ v ∂y

−∂ ′ v ′ w ∂z

= −∂Φ ∂y

−∂∂y12

′ u 2 + ′ v 2 + ′ w 2 − ′ r 2

N 2

−∂ ′ u ′ v ∂x

−∂∂y12

′ v 2 − ′ u 2 − ′ w 2 +′ r 2

N 2

−

∂ ′ v ′ w ∂z

∂Φ ∂z

= −r

Dr Dt

− N 2w = − ∂ ′ r ′ u ∂x

−∂ ′ r ′ v ∂y

−∂ ′ r ′ w ∂z

€

DDt

=∂∂t

+ u ∂∂x

+ v ∂∂y

+ w ∂∂z

Plumb(1986) and Trenberth(1986) を参照して変形 €

Du Dt

− fv = − ∂Φ ∂x

−∂S ∂x

−∂∂x12

′ u 2 − ′ v 2 − ′ w 2 +′ r 2

N 2

−

∂ ′ u ′ v ∂y

−∂ ′ u ′ w ∂z

Dv Dt

+ fu = − ∂Φ ∂y

−∂S ∂y

−∂ ′ u ′ v ∂x

−∂∂y12

′ v 2 − ′ u 2 − ′ w 2 +′ r 2

N 2

−

∂ ′ v ′ w ∂z

∂Φ ∂z

= −r

Dr Dt

− N 2w = − ∂ ′ r ′ u ∂x

−∂ ′ r ′ v ∂y

−∂ ′ r ′ w ∂z

€

S ≡ 12

′ u 2 + ′ v 2 + ′ w 2 − ′ r 2

N 2

残差循環を参照して変形

Plumb(1986),Trenberth(1986) では

€

S に対応する項も残差循環に 繰り込んでいたが，ここでは とりあえず残している

€

u * = u + ∂∂z

′ u ′ r N 2

v * = v + ∂∂z

′ v ′ r N 2

w * = w − ∂∂x

′ u ′ r N 2

−

∂∂y

′ v ′ r N 2

€

Du Dt

− fv * = −∂Φ ∂x

−∂S ∂x

−∇ ⋅ Fx

Dv Dt

+ fu * = −∂Φ ∂y

−∂S ∂y

−∇ ⋅ Fy

Dr Dt

− N 2w * = −∂ ′ r ′ w ∂z

€

F ≡

12

′ u 2 − ′ v 2 − ′ w 2 +′ r 2

N 2

′ u ′ v ′ u ′ w +

fN 2 ′ v ′ r

′ u ′ v 12

′ v 2 − ′ u 2 − ′ w 2 +′ r 2

N 2

′ v ′ w − f

N 2 ′ u ′ r

0 0 0

€

F , S は何か意味ある物理量と関係しているのか？

Weak shear limit: 慣性重力波のWKB 的平面波解

€

ˆ ω =ω − ku − lv Intrinsic Frequency

WKB 的：ドップラーシフトのみ考慮した 　　　　　　　　　local plane wave 解

€

′ a x,y,z,t( ) = A X,Y,Z,T( )exp i kx + ly + mz −ωt( ){ }

€

X,Y,Z,T , slow variables

€

DDt

=∂∂t

+ u ∂∂x

+ v ∂∂y

+ w ∂∂z

= −iω + iku + ilv + imw ≡ −i ˆ ω

WKB的な摂動方程式 WKB的平面波解

分散公式

€

ˆ ω 2 =k 2 + l2( )N 2 + f 2m2

k 2 + l2 + m2

€

D ′ u Dt

− f ′ v = −∂ ′ φ ∂x

D ′ v Dt

+ f ′ u = −∂ ′ φ ∂y

D ′ w Dt

= −∂ ′ φ ∂z

− ′ r

D ′ r Dt

− N 2 ′ w = 0

∂ ′ u ∂x

+∂ ′ v ∂y

+∂ ′ w ∂z

= 0

€

−i ˆ ω U − fV = −ikΦ−i ˆ ω V + fU = −ilΦ−i ˆ ω W = −imΦ− R−i ˆ ω R − N 2W = 0ikU + ilV + imW = 0

€

U =k ˆ ω + ilfˆ ω 2 − f 2 Φ , V =

l ˆ ω − ikfˆ ω 2 − f 2 Φ

W =m ˆ ω

ˆ ω 2 − N 2 Φ , R =imN 2

ˆ ω 2 − N 2 Φ

Intrinsic Group velocity

Wave energy

Intrinsic phase velocity

€

ˆ c x =ˆ ω k

ˆ c y =ˆ ω l

ˆ c z =ˆ ω m

€

ˆ c gx =∂ ˆ ω ∂k

=kˆ ω

N 2 − ˆ ω 2

k 2 + l2 + m2

ˆ c gy =∂ ˆ ω ∂l

=lˆ ω

N 2 − ˆ ω 2

k 2 + l2 + m2

ˆ c gz =∂ ˆ ω ∂m

=mˆ ω

f 2 − ˆ ω 2

k 2 + l2 + m2

€

E =12

′ u 2 + ′ v 2 + ′ w 2 +′ r 2

N 2

=

12

k 2 + l2( ) f 2 − N 2( ) ˆ ω 2

ˆ ω 2 − f 2( )2 ˆ ω 2 − N 2( )Φ

2

Zonal および meridional 擬運動量の平均流に相対的な輸送 flux を与える．

€

F ≡

12

′ u 2 − ′ v 2 − ′ w 2 +′ r 2

N 2

′ u ′ v ′ u ′ w +

fN 2 ′ v ′ r

′ u ′ v 12

′ v 2 − ′ u 2 − ′ w 2 +′ r 2

N 2

′ v ′ w − f

N 2 ′ u ′ r

0 0 0

€

=

ˆ c gxEˆ c x

ˆ c gyEˆ c x

ˆ c gzEˆ c x

ˆ c gxEˆ c y

ˆ c gyEˆ c y

ˆ c gzEˆ c y

0 0 0

=

cgx − u ( )k cgy − v ( )k cgzkcgx − u ( )l cgy − v ( )l cgzl

0 0 0

⋅

Eˆ ω

€

β − effect

連続の式を満たさない

€

Du Dt

− fv * = −∂Φ ∂x

−∂S ∂x

−∇ ⋅ Fx

Dv Dt

+ fu * = −∂Φ ∂y

−∂S ∂y

−∇ ⋅ Fy

Dr Dt

− N 2w * = −∂ ′ r ′ w ∂z

€

u * = u + ∂∂z

′ u ′ r N 2

v * = v + ∂∂z

′ v ′ r N 2

w * = w − ∂∂x

′ u ′ r N 2

−

∂∂y

′ v ′ r N 2

€

∂S ∂x

, ∂S ∂y

S = 12

′ u 2 + ′ v 2 + ′ w 2 −′ r 2

N 2

の物理的意味

€

u * = u + ∂∂z

′ u ′ r N 2

+

1f∂S ∂y

v * = v + ∂∂z

′ v ′ r N 2

−1f∂S ∂x

w * = w − ∂∂x

′ u ′ r N 2

−

∂∂y

′ v ′ r N 2

€

S = 12

k 2 + l2( ) f 2

ˆ ω 2 − f 2( )2 Φ2

流体粒子の変位と速度の関係 変位ベクトル：

€

′ ξ , ′ η , ′ ς ( )

連続の式より

€

∂ ′ ξ ∂x

+∂ ′ η ∂y

+∂ ′ ς ∂z

= 0

ストークスドリフト

€

uS = ′ ξ ∂ ′ u ∂x

+ ′ η ∂ ′ u ∂y

+ ′ ς ∂ ′ u ∂z

=∂ ′ ξ ′ u ∂x

+∂ ′ η ′ u ∂y

+∂ ′ ς ′ u ∂z

vS =∂ ′ ξ ′ v ∂x

+∂ ′ η ′ v ∂y

+∂ ′ ς ′ v ∂z

wS =∂ ′ ξ ′ w ∂x

+∂ ′ η ′ w ∂y

+∂ ′ ς ′ w ∂z

€

′ ξ ≅iˆ ω ′ u

′ η ≅iˆ ω ′ v

′ ς =iˆ ω

′ w

€

D ′ ξ Dt

=∂ ′ ξ ∂t

+ u ∂ ′ ξ ∂x

+ v ∂ ′ ξ ∂y

= uL = ′ u + ′ ξ ∂u ∂x

+ ′ η ∂u ∂y

+ ′ ς ∂u ∂z

≈ ′ u

D ′ η Dt

= vL = ′ v + ′ ξ ∂v ∂x

+ ′ η ∂v ∂y

+ ′ ς ∂v ∂z

≈ ′ v

D ′ ς Dt

= wL = ′ w

残差循環： ストークスドリフト補正 物質輸送を近似的に表現

€

uS ≈∂ ′ ξ ′ u ∂x

+∂ ′ η ′ u ∂y

+∂ ′ ς ′ u ∂z

=12

f k 2 + l2( )ˆ ω 2 − f 2( )2

∂Φ2

∂y+

12

mlfˆ ω 2 − N 2( ) ˆ ω 2 − f 2( )

∂Φ2

∂z

€

u * = u + 1f∂S ∂y

+∂∂z

′ u ′ r N 2

€

1f∂S ∂y

+∂∂z

′ u ′ r N 2

≈

12

f k 2 + l2( )ˆ ω 2 − f 2( )2

∂Φ2

∂y+

12

mlfˆ ω 2 − N 2( ) ˆ ω 2 − f 2( )

∂Φ2

∂z

€

u * = u + 1f∂S ∂y

+∂∂z

′ u ′ r N 2

≈ u + uS

v * = v − 1f∂S ∂x

+∂∂z

′ v ′ r N 2

≈ v + vS

w * = w − ∂∂x

′ u ′ r N 2

−

∂∂y

′ v ′ r N 2

≈ w + wS

Hydrostaticの場合

€

F ≡

12

′ u 2 − ′ v 2 +′ r 2

N 2

′ u ′ v ′ u ′ w +

fN 2 ′ v ′ r

′ u ′ v 12

′ v 2 − ′ u 2 +′ r 2

N 2

′ v ′ w − f

N 2 ′ u ′ r

0 0 0

€

=

ˆ c gxEˆ c x

ˆ c gyEˆ c x

ˆ c gzEˆ c x

ˆ c gxEˆ c y

ˆ c gyEˆ c y

ˆ c gzEˆ c y

0 0 0

=

cgx − u ( )k cgy − v ( )k cgzkcgx − u ( )l cgy − v ( )l cgzl

0 0 0

⋅

Eˆ ω

球面座標系の場合

€

ln p

€

α =RHexp −κz /H( )

€

F ≡

12

′ u 2 − ′ v 2 +α′ θ 2

∂θ ∂z

′ u ′ v ′ u ′ w − 2Ωsinϕ∂θ

∂z′ v ′ θ

′ u ′ v 12

′ v 2 − ′ u 2 +α′ θ 2

∂θ ∂z

′ v ′ w +2Ωsinϕ∂θ

∂z′ u ′ θ

0 0 0

pacosϕ

€

=

ˆ c gλEˆ c λ

ˆ c gϕEˆ c λ

ˆ c gzEˆ c λ

ˆ c gλEˆ c ϕ

ˆ c gϕEˆ c ϕ

ˆ c gzEˆ c ϕ

0 0 0

pacosϕ

€

∇ ⋅ ( ) =1

acosϕ∂( )∂λ

+1

acosϕ∂∂ϕ

cosϕ( ) +1p∂ p( )∂z

€

∂u ∂t

+u

acosϕ∂u ∂λ

+v

acosϕ∂∂ϕ

u cosϕ( ) + w ∂u ∂z

− 2Ωsinϕv* = −1

acosϕ∂φ ∂λ

− pacosϕ( )−1∇ ⋅ Fλ

∂v ∂t

+u

acosϕ∂v ∂λ

+v a∂v ∂ϕ

+ w ∂u ∂z

+u 2

atanϕ + 2Ωsinϕu* = −

1a∂φ ∂ϕ

− pacosϕ( )−1∇ ⋅ Fϕ

∂θ ∂t

+u

acosϕ∂θ ∂λ

+v a∂θ ∂ϕ

+ w* ∂θ ∂z

= G

€

u* = u + 12Ωsinϕ

∂∂ϕ12

′ u 2 + ′ v 2( ) − 1cos2ϕ

∂∂ϕ12α

′ θ 2 cosϕ∂θ

∂z

−1p∂∂z

p ′ u ′ θ ∂θ

∂z

v* = v − 12Ωsinϕ

1acos2ϕ

∂∂λ

12

′ u 2 + ′ v 2 −α ′ θ 2

∂θ ∂z

cosϕ

−1p∂∂z

p ′ v ′ θ ∂θ

∂z

w* = w + 1acosϕ

∂∂λ

′ u ′ θ ∂θ

∂z

+1

acosϕ∂∂ϕ

p ′ v ′ θ ∂θ

∂zcosϕ

WKB近似

€

∇ ⋅ ( ) ≅ 1acosϕ

∂( )∂λ

+1a∂∂ϕ

( ) +1p∂ p( )∂z

コリオリ力の緯度変化無視 Local inertio-gravity wave

Zonal および meridional 擬運動量 の平均流に相対的な輸送 flux を与える．

残差循環　ストークスの補正を含む 物質輸送を近似的に表現

この定式化の問題点は？ TEM 方程式系：移流項まで含めて残差流にする．　

€

∂u∂t

+ v* ∂u∂y

+ w* ∂u∂z

− f v* = −∂∂y

′ u ′ v +1

N 2∂u∂z

′ v ′ q

−

∂∂z

′ u ′ w + f − ∂u∂y

1

N 2 ′ v ′ q

+ X

　時間平均の場合でも可能である．

　残差流が連続の式を満足しない．

Kinoshita et al., 2010: On the three-dimensional residual mean circulation and wave-activity flux of the primitive equations. JMSJ, 88.

時間平均流ではなく地球に固定した座標系に対して相対的な fluxを求める方法?

€

F =

ˆ c gxEˆ c x

ˆ c gyEˆ c x

ˆ c gzEˆ c x

ˆ c gxEˆ c y

ˆ c gyEˆ c y

ˆ c gzEˆ c y

0 0 0

=

cgx − u ( )k cgy − v ( )k cgzk

cgx − u ( )l cgy − v ( )l cgzl0 0 0

⋅Eˆ ω

€

DMDt

+∇ ⋅MR = 0

More useful form

€

∂M∂t

+∇ ⋅MT = 0, MT = MR + u M

€

MT = cgM

€

MTは wave activity

€

M = e∇Hq の fluxを与える．

これらの物理量は全て場が与えられていれば計算可能

３次元TEM方程式の右辺の加速項に対応するのは，MR

Plumb (1986) の場合

€

M =12

′ q 2

∇Hq

€

MR ≅1u

u ′ v 2 − E ( ) − v ′ u ′ v

v ′ u 2 − E ( ) − u ′ u ′ v f0

2

N02 v ′ u ′ r − u ′ v ′ r ( )

€

MR = MT − u M = cg − u ( )M = ˆ c gM

Takaya and Nakamura (2001)

３次元TEM方程式の右辺の加速項に対応するのは，WR

€

∂ ˜ A ∂t

+∇⋅W = D ,

˜ A ≡ 12

M + ˜ E ( ) =12

12

′ q 2

∇HQ + eU −CP

, CU = CP

UU

, CPVU

W ≡WR +CU˜ A ,

W =Cg˜ A .

€

WR =12U

U ′ ψ x2 − ′ ψ ′ ψ xx( ) +V ′ ψ x ′ ψ y − ′ ψ ′ ψ xy( )

U ′ ψ x ′ ψ y − ′ ψ ′ ψ xy( ) +V ′ ψ y2 − ′ ψ ′ ψ yy( )

f02

N02 U ′ ψ x ′ ψ z − ′ ψ ′ ψ xz( ) +V ′ ψ y ′ ψ − ′ ψ ′ ψ yz( )[ ]

€

WR =W −CU˜ A = Cg −CU( ) ˜ A

3D fluxの適用例

Gravity waves

Kawatani et al., 2010, JAS, 67, 981-997.

Kelvin waves

Kawatani et al., 2010, JAS, 67, 981-997.