０

半導体量子井戸構造・超格子の物理（基礎理論編）

大阪市立大学大学院工学研究科

電子情報系専攻電子・物理工学講座

中山正昭

１．量子井戸構造・超格子のバンド構造

1-1. 半導体ヘテロ接合の概念

1-2. 量子井戸におけるサブバンド構造

1-3. 超格子におけるミニバンド構造

1-4. 任意の多重量子井戸系のサブバンド状態に関する計算方法

1-5. 正孔サブバンドに対する厳密な解析（Luttingerハミルトニアン）

1-6. 格子歪み効果（歪み量子井戸・超格子）

1-7. 電場効果：量子閉じ込め Stark効果とWannier-Stark局在

1-8. 励起子状態

２．光学遷移の量子論

2-1. 光と物質の相互作用の量子論

2-2. 量子井戸構造におけるバンド間遷移

2-3. 量子井戸構造におけるサブバンド間遷移

１

1-1. 半導体ヘテロ接合(semiconductor heterojunction)の概念

点近傍のバンド構造

（立方晶系）

バンド不連続性の形態

量子井戸構造：超格子は理想的には無限積層繰り返し系（実際は有限系）

k

E

伝導帯Conduction Band

価電子帯Valence Band

重い正孔 Heavy Hole

軽い正孔 Light Hole

スプリットオフ正孔Split-Off Hole

Eg

Type-II

C.B. C.B.

V.B.

V.B.

Type-I

C.B.

V.B.

Type-II

Type-IIType-I

２

バンド不連続性（band discontinuity）を決定する要因

(a) 電子親和力(electron affinity)： 物質固有の物理量

電子親和力の差だけでは、バンド不連続性を解釈できない。

(b) 界面双極子(interface dipole)の形成

ヘテロ接合によって、界面を介して電荷移動が生じて界面双極子が形成され、

それによってバンド接続(band lineup)の再構成が生じる。

最初の理論的指摘： J. Tersoff, Phys. Rev. B 30, 4874 (1984).

系統的な第一原理計算： N.E. Christensen, Phys. Rev. B 37, 4528 (1988).

(c) 格子不整合歪みによるバンド構造の変化（1-6で述べる）

Vacuum

A

B

CBA

CBB

VBA

VBB

Eg,A E

g,B

++ +

- - -

CBA

VBA

CBB

VBB

３

1-2. 量子井戸におけるサブバンド(subband)構造 （有効質量近似）

Schrödinger方程式

)()()()(2/ ,,,,,,02

rrrp kkk njnjnjQW EzVVm

0m :自由電子質量, )/( ip ：運動量演算子, V(r)：結晶ポテンシャル

)(zVQW ：量子井戸ポテンシャル, j：バンド指標, k：波数ベクトル,

n；サブバンド量子数

0)( zVQW の場合（バルク結晶）： )exp()()( ,, rkrr kk iu jj

)(, rkju ：基底関数, )()( ,, rRr kk jj uu R：格子ベクトル

GaAsなどの閃亜鉛鉱(zincblende)構造の k=0（点）における基底関数

電子： s型波動関数 s , s , ↑Upスピン ↓Downスピン

正孔： p型波動関数

重い正孔(heavy hole, HH) JmJ , = 2/3,2/3

2/3,2/3 = )(2/1 iYX , 2/3,2/3 = )(2/1 iYX

軽い正孔(light hole, LH) JmJ , = 2/1,2/3

2/1,2/3 = )(26/1 iYXZ

2/1,2/3 = )(26/1 iYXZ

スプリットオフ正孔(split-off hole, SO) JmJ , = 2/1,2/1

2/1,2/1 = )(3/1 iYXZ

2/1,2/1 = )(3/1 iYXZ

４

0)( zVQW の場合（量子井戸構造）：

(x,y)面内は平面波伝播、z方向は )(zVQW の束縛を受ける。

)()exp()()( ,,, ziu njnj rkrr kk ,

)(zn : 包絡関数(envelope function), ),( yx kkk , ),( yxr

バンド間の基底関数混成が無視できると仮定する。価電子バンドでは、厳密

には正しくない（後述）。

包絡関数に対する Schrödinger方程式：有効質量近似

)()()(2

2

2

*

2

zEzzVdz

d

mnnnQW

j

, nE :量子化エネルギー

)](exp[)](exp[2

2

2

2

2

*

2

ykxkiEykxkidy

d

dx

d

myxyx

j

k

バルク結晶のバンド構造の特性（基底関数項）は、有効質量mｊ*に繰り込まれ

る（有効質量近似 effective-mass approximation）。

サブバンドエネルギー： *222 2/)(),( mkkEkkE yxnyxn

無限深さ量子井戸の場合： 量子井戸内での定在波

)/sin(/2)( LznLzn , 2*2 2/)( LmnEn

価電子帯：立方晶では、点における HH と LH バンドの縮退が有効質量

( LHHH mm )の違いにより解ける（HH、LHサブバンドの形成）

2*2 2/)( LmnE HHn , 2*2 2/)( LmnE LHn : LHnHHn EE ,,

５

有限深さ量子井戸構造におけるサブバンド状態

Schödinger方程式

)()(2

2

2

*

2

zEzVdz

d

mnnn

j

： 2/,2/ LzLz

)()(2

2

2

*

2

zEzdz

d

mnnn

j

： 2/2/ LzL

包絡関数

2/:)exp()( Lzzqz BBBn , 2/:)exp()( Lzzqz BB

Bn

n=odd 2/2/:)cos()( LzLzqz AAAn

n=even 2/2/:)sin()( LzLzqz AAAn

/)(22/**22 EVmqEVmq BBBB

/22/**22 EmqEmq AAAA

境界条件： A/B界面（ izz ）での包絡関数接続条件

)()(,, i

Bkni

Akn

zzzz

,

i

z

i

z

zz

Bkn

Bzz

Akn

A

zdz

d

mz

dz

d

m

)(1

)(1

,*,*

微分接続における有効質量補正：G.Bastard, Phys. Rev. B 24, 5693 (1981)

B

z-L/2 0 L/2

E

V

A B

６

n=odd： 2/Lz 界面での波動関数接続

)2/exp()2/cos( LqLq BBAA

)2/exp()/()2/sin()/( ** LqmqLqmq BBBBAAAA

n=oddの固有値方程式

0)/()2/tan()/( ** BBAAA mqLqmq

n=evenの固有値方程式

0)/()2/cot()/( ** BBAAA mqLqmq

L=20.0nm、V=100 meVにおける GaAs量子井戸の固有状態の計算結果

（ 0** 067.0 mmm BA ）

７

有効質量不整合(effective-mass mismatch)の効果

GaAs(10.0nm)単一量子井戸の計算結果（ 0* 067.0 mmA ）

n=1の固有値と包絡関数

８

サブバンド構造の状態密度（２次元状態密度）

長さ Lの正方形における２次元状態

電子（正孔）波数ベクトルの最小値: Lk /2min

波数（運動量）空間における最小面積: 2

min )/2( LS

波数ベクトルの大きさが 0～kまでの状態数

2/)/2/(22)( 222

0kLLdkkkN

k

電子の面内運動エネルギー： 2*2*22 /22/ EmkmkE

エネルギー単位での状態総数: EmL

EN2

*2

)(

状態密度（L→1）: 2

*)()(

m

dE

ENdED エネルギーに対して一定

L

L

E1

E2

E

kxy

E E

D(E)

９

1-3. 超格子のミニバンド構造：ABAB---という z方向への周期積層構造

包絡関数が z方向へ伝播する→ zk が良い量子数(good quantum number)

包絡関数に対する Schrödinger方程式

)()()(2

,,2

2

*

2

zEzzVdz

d

mzz knnknSL

j

A層（層厚 Ad ）：有効質量 *Am , 0)( zVSL （量子井戸層）

)exp()exp()(,

ziqziq AAAAA

zkn z

/22/**22 EmqEmq AAAA

B層（層厚 Bd ）：有効質量 *Bm , VzVSL )( （障壁層）

)exp()exp()(, zqzqz BBBBB

kn z

/)(22/**22 EVmqEVmq BBBB

境界条件：１．A/B界面（ izz ）での包絡関数接続条件:

)()(,, i

Bkni

Akn

zzzz

,

i

z

i

z

zz

Bkn

Bzz

Akn

A

zdz

d

mz

dz

d

m

)(1

)(1

,*,*

境界条件：２．超格子周期 Dに対する周期境界条件: Bloch条件

),exp()()( ,,

,,

DikzDz ziBAkni

BAkn zz

ミニバンド分散関係：

)sinh()sin(2

1

)cosh()cos()cos(

*

*

*

*

BBAA

BA

AB

AB

BA

BBAAz

dqdqqm

qm

qm

qm

dqdqDk

１０

GaAs(3.2nm)/AlAs(0.9nm)超格子のミニバンド分散と包絡関数の計算結果

１１

1-4. 任意の多重量子井戸系のサブバンド状態に関する計算方法

伝達マトリックス(Transfer-Matrix)法

上図の２重量子井戸を対象に説明する。尚、数式表現の煩雑さを防ぐために、

井戸層と障壁層の有効質量をそれぞれ*

wm と*

bm 、ポテンシャルを 0とVとす

るが、各層で有効質量、ポテンシャルが変わっても取り扱いは同じ。

井戸層の包絡関数： )cos()sin()( zqbzqaz wjwjj

障壁層の包絡関数： )exp()exp()( zqbzqaz bjbjj

井戸層の波数ベクトル： /2 * Emq ww

障壁層の波数ベクトル： /)(2 * EVmq bb

界面での包絡関数接続条件： )(zj と dzzdm jj /)()/1( * の連続性

z=0界面： j=0層と j=1層の接続

100 bba

1*

00* )/()()/( amqbamq wwbb

1

1*

0

0** 0/

10

//

11

b

a

mqb

a

mqmq wwbbbb

1

11

0

00 ][][

b

aM

b

aM

1

11

10

0

0][][

b

aMM

b

a

z=0 z1

z2

z3

0 1 2 3 4

１２

z=z1界面： j=1層と j=2層の接続

)exp()exp()cos()sin( 12121111 zqbzqazqbzqa bbww

)exp()exp()[/()cos()cos()[/( 1212*

1111* zqbzqamqzqbzqamq bbbbwwww

2

2

1*

1*

11

1

1

1*

1*

11

)exp()/()exp()/(

)exp()exp(

)cos()/()cos()/(

)cos()sin(

b

a

zqmqzqmq

zqzq

b

a

zqmqzqmq

zqzq

bbbbbb

bb

wwwwww

ww

2

23

1

12 ][][

b

aM

b

aM

2

23

12

1

1][][

b

aMM

b

a

z=z2界面： j=2層と j=3層の接続

同様に

3

35

2

24 ][][

b

aM

b

aM

3

35

14

2

2][][

b

aMM

b

a

z=z3界面： j=3層と j=4層の接続

同様に

4

47

3

36 ][][

b

aM

b

aM

4

47

16

3

3][][

b

aMM

b

a

全ての界面でのマトリックスをつなぐ（伝達マトリックス）。

4

4

4

47

165

143

121

10

0

0][][]][[]][[]][[][

b

aM

b

aMMMMMMMM

b

a

4224210

4124110

)()(

)()(

bEMaEMb

bEMaEMa

境界条件： 包絡関数の発散を防ぐ→ 0,0 40 ab

固有値の決定条件： 0)(22 EM を満足するエネルギーE

包絡関数： 固有値を伝達マトリックスに代入して各層の(aj, bj)を計算する。

１３

２重量子井戸構造の計算例

Al0.2Ga0.8As/GaAs(6.0 nm)/ Al0.2Ga0.8As(db nm)/ GaAs(6.0 nm)/ Al0.2Ga0.8As

サブバンドエネルギーの障壁層厚(db)依存性

db=4.0nmの場合の包絡関数

１４

1-5. 正孔サブバンドに対する厳密な解析：（Luttingerハミルトニアン）

HH 2/3,2/3, JmJ , LH 2/1,2/3 , SO 2/1,2/1

HH+ LH+ LH- HH- SO+ SO-

',H =

PSQSR

PRSQS

SRQPSR

QSSQPR

SQRQPS

RSRSQP

02/22/32

022/322/

2/20

22/30

2/320

22/0

***

**

****

**

*

)(2

2221

0

2

zyx kkkm

P

, )2(2

2222

0

2

zyx kkkm

Q

]2)([2

33

222

0

2

yxyx kkikkm

R

, zyx kikkm

S )(3

30

2

有効質量の逆転(effective-mass reversal)

z方向（量子化方向）： )2/( 210, mm zHH , )2/( 210, mm zLH

xy方向（量子面内）: )/( 210, mmHH , )/( 210, mmLH

GaAsの場合：1=6.85, 2=2.01, 3=2.90 （, Luttingerパラメータ）

z方向（量子化方向）： mHH,z=0.35 m0, mLH,z=0.092 m0

xy方向（量子井戸面内）: mHH,⊥=0.10 m0, mLH,⊥=0.21 m0

HH

LH

Ek

zk

xy

HH

LH

E

１５

正孔サブバンドの面内(kx,y)分散関係

GaAs(7.8 nm)/Al0.2Ga0.8As 量子井戸の計算結果：

L.C. Andreani et al., Phys. Rev. B 36, 5887 (1987)

HH と LHバンドの混成により、非常に複雑な分散関係となる。

* HH と LHバンドの反交差(anticrossing)

* 負の有効質量： )/)(/( 222*kk Em < 0

１６

1-6. 格子歪み効果： 歪みヘテロ接合(Strained heterojunctions)

GaAs/AlxGA1-xAs 系以外のほとんどのヘテロ接合系では、格子定数の差に

より格子不整合歪みが生じる。

→ 積極的な応用→ 歪み量子井戸・超格子（strained QW, strained SL）

概念の提案: G.C. Osbourn, Phys. Rev. B 24, 5126 (1983)

弾性歪み：立方晶系における歪みテンソル(Strain tensor)

xy

zx

yz

zz

yy

xx

xy

zx

yz

zz

yy

xx

C

C

C

CCC

CCC

CCC

44

44

44

111212

121112

121211

00000

00000

00000

000

000

000

成長方向 z=[001], 面内方向 x=[100], y=[010]

等方的な面内２軸性応力： || yyxx , 0 zxyzxyzz

歪み成分： || yyxx , ||1112 )/2( CCzz

基板

エピタキシャル層の

正方晶変形

１７

歪みへテロ接合における臨界膜厚 (Critical layer thickness)

層厚が臨界膜厚よりも薄い場合、格子不整合は均一な弾性歪みにより緩和

され（Preudomorphic成長）、格子不整合転移の無い高品位のエピタキシーが

可能となる。臨界膜厚よりも厚い場合は、転移が界面に発生し、結晶性が著

しく低下する。

InGaAs/GaAs系と SiGe/Si系の臨界膜厚：

I.J. Fritz, Appl. Phys. Lett. 51, 1080 (1987)

１８

点価電子バンドに対する格子歪み効果

kp摂動論(バルク結晶)：F. H. Pollak, Surf. Sci. 37, 836 (1973)

M. Chandrasekhar & F.H. Pollak, Phys. Rev. B 15, 2127(1977)

歪みハミルトニアン： 21 HHHst

]c.p)[(3

]c.p.)3/[(3)(

1

22111

xyxyyx

xxxzzyyxx

LLLLd

LbaH L

]c.p)[(3

]c.p.)3/[(3))((

2

222

xyxyyx

xxxxzzyyxx

LLd

LbaH LσσL

a:静水圧変形ポテンシャル(hydrostatic deformation potential)

b:正方晶(tetragonal)変形ポテンシャル, d:斜方晶(trigonal)変形ポテンシャル

L: 角軌道運動量演算子(angular momentum operator)

: スピン演算子(spin operator)

(x,y)面内の等方的２軸性歪みにおける歪みハミルトニアンの固有値

HH |3/2,±3/2> LH |3/2,±1/2> SO |1/2,±1/2>

0

'2/'0

2/'2/0

002/

HT

TTH

TH

EE

EEE

EE

))(( 21 zzyyxxH aaE , ))((' 21 zzyyxxH aaE

))(2(2 21 xxzzT bbE , ))(2(2' 21 xxzzT bbE

21,21 bbbaaa v → ',' TTHH EEEE

１９

||111211 ]/)[(2)( CCCaaE vzzyyxxvH

||111211 ]/)2[(2)( CCCbbE xxzzT

各正孔バンドの歪みエネルギーシフト：HH と LHバンドの分裂

2/THHH EEE

4/9442/4/22

TTTHLH EEEEE

)2/(2/2

TTH EEE

4/9442/4/22

TTTHSO EEEEE

)2/(2

TH EE

点伝導バンドに対する格子歪み効果

s型基底関数(L=0) → 静水圧変形ポテンシャル項のみの寄与

)(, zzyyxxcHc aE

点 Egに対する格子歪み効果

HHバンドギャップ： 2/,, THHcHHg EEEE

LHバンドギャップ： 2/2/2

,, TTHHcLHg EEEEE

実験的には、 HE 項に関しては、伝導バンドと価電子バンドの寄与の和が観

測され、一般に、 vc aaa が静水圧変形ポテンシャルと呼ばれる。

第一原理計算によって、 vc aa が示されている。

C.G. Van de Walle and R.M. Martin, Phys. Rev. B 35, 8154 (1987)

GaAsの場合：a= 8.9eV, b= 1.7eV, =0.34 eV a, bの誤差は±20%程度

C11=11.9x1011 dyn/cm2, C12=5.38x1011 dyn/cm2

EC, H+EH = 9.7 || (eV), ET= 6.5 || (eV)

２０

伝導バンド端（点）と価電子バンド端（点）に対する歪み効果の概略

z方向が量子化質量、xy方向が状態密度質量

Compressive strain

LH

HH

CB

VB(HH & LH)

Unstrained

LH |3/2, +1/2>

HH |3/2, +3/2>

HH |3/2, +3/2>

LH |3/2, +1/2>

EH

Tensile strain

EH

ET

E E

kz

kxy

E

kz

kxy

HH

LH

HH

LH

２１

量子井戸ポテンシャルに対する歪み効果の概略

VB(HH & LH)

VB(HH & LH)

CBTensile strain in

QW

LH

HH

CBCompressive strain in

QW

HH

LH

VB(HH & LH)

CB Compressive strain in QW

LH(type-II)

HH(type-I)Shallow VB

２２

量子井戸の正孔サブバンド分散に対する歪み効果

(a) GaAs(8.0nm)/Al0.2Ga0.8As量子井戸（無歪み）

(b) In0.2Ga0.8As(8.0nm)/Al0.2Ga0.8A量子井戸（InGaAs層に 1.4%の圧縮歪み）

J.P. Loehr, “Physics of Strained QW Lasers” (Kluwer, 1998) Chap.3.

歪み QWにおける HH状態密度の低下 → レーザー発振しきい値の低減

２３

1-7.電場効果

量子閉じ込めシュタルク効果(quantum-confined Stark effects: QCSE)

Schrödinger方程式

)()()(2

2

2

*

2

zEzqFzzVdz

d

mnnnQW

j

q: 電荷（電子の場合e, 正孔の場合+e）、F: 電場強度

２次の摂動計算から解が得られる。 １次摂動 0|| 11)1(

1 qFzE

摂動の条件（弱電場条件）： )2/( 2*22 LmeFL

)()0()0(

2)2( ||

nm mn

nmn

EE

qFzE 422* LFem

Starkシフトの重要な特徴： 有効質量に比例、 電場強度の２乗に比例

層厚の４乗に比例

Electro-optic素子（光変調器、光スイッチング）への応用

無限深さ量子井戸のサブバンドエネルギーに関する解析解

T. Lukes et al., Physica 84A, 421 (1976).

2422*4422 /]24/)15[( LFemnnEn

L

２４

電場効果の厳密な計算方法

D.C. Hutchings, Appl. Phys. Lett. 55, 1082 (1989).

I. Tanaka, M. Nakayama et al., Phys. Rev. B 46, 7656 (1992).

Schrödinger方程式の z座標を無次元座標系(Zj)へ変数変換

)(])/(2[ 3/12*EqFzVFemZ jjj

Schrödinger方程式は次式（Airy方程式）に変換される。

0)()(2

2

jnjjn

j

ZZZZd

d

一般解： )(Bi)(Ai)( jjjjjn ZbZaZ , Ai, Biは Airy関数

界面での包絡関数接続条件（ )(zj と dzzdm jj /)()/1( * の連続性）から、1-4

で述べた伝達マトリックス法に基づいて計算を行う。

1

1

1

3/2*11

3/2*1

11

3/2*3/2*

)(Bi')(Ai'

)(Bi)(Ai

)(Bi')(Ai'

)(Bi)(Ai

j

j

jjjj

jj

j

j

jjjj

jj

b

a

ZmZm

ZZ

b

a

ZmZm

ZZ

境界条件： z での発散を防ぐ。 最終層での Bi振幅(Biは発散関数)を

ゼロとする。 )0,1(),( ff ba

固有値の決定条件：上記の境界条件より、第１層の振幅を伝達マトリックスに

より計算し、次式の透過率のエネルギー依存性を求める。

)/(1)/()()(2

02

02

02

022

bababaET ff

T(E)のピークエネルギーが束縛状態固有値に相当する。

２５

QCSEの計算例： GaAs(10 nm)/AlAs 単一量子井戸構造のサブバンド状態

30 kV/cm

100 kV/cm

200 kV/cm

En

erg

y (

meV

)

Electric Field (kV/cm)

n=1

n=2

GaAs(10 nm)/AlAs SQW

0 50 100 150 200

50

100

150

200

２６

超格子におけるワニエ・シュタルク局在 (Wannier-Stark localization)

ミニバンド状態の包絡関数は、各量子井戸間の波動関数共鳴によって超格

子空間全体に広がっている (extended envelope function)。

超格子（周期 D）に電場 Fが印加される

→ 量子井戸間に eFDのポテンシャル差 → 波動関数共鳴条件を破綻する

→ 波動関数の局在化 (Wannier-Stark localization)

ミニバンドの分裂: eFDのエネルギー間隔を有するシュタルク階段状態

(Stark-ladder state)

バルク結晶の Bloch電子を対象として予言された。

G.H. Wannier, Phys. Rev. 117, 432 (1960).

超格子において実験的に初めて検証された。

E.E. Mendez et al., Phys. Rev. Lett. 60, 2426 (1988).

２７

GaAs(3.2 nm)/AlAs(0.9 nm)超格子における包絡関数形状の電場強度依存

性に関する計算結果（TM法）

M. Nakayama, “Optical Properties of Low-Dimensional Materials” (World

Scientific, 1995) Chap.3.

２８

GaAs(3.2 nm)/AlAs(0.9 nm)超格子における固有エネルギーの電場強度依存

性に関する計算結果（TM法）

I. Tanaka, M. Nakayama et al., Phys. Rev. B 48, 2787 (1993).

２９

Wannier-Stark局在状態の近似解析：

P. Feuer, Phys. Rev. 88, 92 (1952)

J. Bleuse et al., Phys. Rev. Lett. 60, 220 (1988).

最近接強結合近似（first-nearest neighbor tight-binding model）

周期数(2N+1)の超格子（周期 D）

超格子の包絡関数 )(zzk を孤立量子井戸の包絡関数 )(z の重ね合わせで

表現する。

NmNm knk mDzcz

zz

)()( , m: QW index

無電場条件：F=0 ミニバンドの形成

)120(12

),cos(2

)( 0

NmN

mDkDkEkE zzz

: ミニバンド幅

強電場条件 ： NeFD

ミニバンドが Stark-ladder状態に分裂する。

NNeFDEE ,0

包絡関数振幅：Bessel関数で表現される。

)/()2/()2/( DLJeFDJeFDJc mmnn

)2/( eFL ：局在長

ある量子井戸（局在中心）から m周期離れた井戸での波動関数存在確率

2

)2/( eFDJmm

３０

Wannier-Stark局在状態における波動関数存在確率の計算結果

完全局在状態： 0,1 20

20 mJJ

局在化の大まかな条件： 1/ eFD

超格子周期 D=5.0 nm、ミニバンド幅 =50 meV → F=100 kV/cm

バルク結晶の場合

格子定数 a=0.5 nm、バンド幅 2 eV → F=40 MV/cm （非現実的）

WS局在の意義

* 電場による波動関数の局在性の制御

⇒次元性の制御： ミニバンド(３次元)⇔量子井戸局在（２次元）

* 電場による固有エネルギーの制御： ,2,1,0,0 meFDmEE

m=0

m=+1

m=+2

2eFD/

Jm

(/2

eFD

)2

0 0.5 1 1.5 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

３１

1-8．励起子状態 (Exciton states)

伝導帯の電子と価電子帯の正孔がクーロン引力によって束縛された準粒子。

物質の光励起状態の代表的なもので、多様な光機能性の主要因。

［Wannier励起子］

電子と正孔が格子定数に比して十分離れている（半導体の場合）。

［Frenkel励起子］

電子と正孔が同一の単位胞に存在する（分子性結晶の場合）

バルク結晶におけるWannier励起子

伝導帯エネルギー： e22

c 2)( mEEc kk , me：電子有効質量

価電子帯エネルギー： h22

vv 2)( mEE kk , mh：正孔有効質量

バンドギャップエネルギー： vcg EEE

電子-正孔相対座標： he rrr

電子-正孔重心座標：he

hhee

mm

mm

rrR

重心質量： he mmM 、換算質量： he /1/1/1 mm

励起子有効質量 Schrödinger方程式： は物質の背景誘電率

),(),(422 0

22

22

2

g rRrRrR FEFr

e

ME

包絡関数(envelope function)： )()exp(1

),( rRKrR iN

F

３２

R 項： )()(2

22

RRR

RE

M

： )exp(

1)( KRR i

N

並進運動エネルギー M

ER2

22K

r 項： )()(42 0

22

2

rrr

rE

r

e

),()()( mllnmln YrRr , )(rR ln ：動径波動関数, ),( mlY ：球面調和関数

励起子状態(n, l, m)： 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 3d, ---, ∞

１光子励起の場合、s励起子のみが光と相互作用する（量子論で述べる）

1s励起子束縛エネルギー(有効 Rydbergエネルギー)

0222

4

20

16.13

2)4(

1

m

eRy

[eV]

s励起子の総エネルギー：M

Ryn

EEn2

1 2

2g

K

電子-正孔相対運動の固有関数(n=1, l=0)：

B3B

1 exp)(a

r

a

VrR s

有効 Bohr半径：

0

2

02

B 053.04 m

ea

[nm]

Wannier励起子の束縛エネルギーと Bohr半径

Eg at 300K

[eV] Ry [meV] aB [nm]

ZnO 3.436 59 1.4

CdS 2.582 28 2.7

ZnSe 2.795 20 4.5

GaAs 1.428 4.5 13

GaSb 0.70 1.6 23

３３

Wannier励起子の実空間の概念図

Wannier励起子のエネルギー分散関係

E

K

連続状態：解離した電子・正孔状態

励起子束縛エネルギー

基底状態

バンドギャップエネルギー

n=1 励起子

n=2 励起子

h

e

３４

量子井戸構造における励起子

２次元極限における励起子：束縛エネルギーはバルク結晶の４倍

励起子有効質量 Schrödinger方程式（相対運動項）

),(),(4

),(),(

2 0

2

2

2

2

22

yxEyxr

e

y

yx

x

yx

22 yxr

rr

x

x

r

rx

2

2

2

2

3

2

2

2

22

2

1

1

rr

x

rr

x

rr

x

r

rr

x

rx

r

r

x

rrrr

x

xx

2

2

2

2

2

22

3

22

2

2

2

2

1

2

rrr

rr

yx

rr

yx

rryx

上記の励起子有効質量 Schrödinger方程式の２次元極座標表示

0)(4

2)()(1

0

2

22

2

rr

eE

r

r

r

r

r

水素原子型波動関数を仮定する：

Da

rr

2

exp)(

a2D: ２次元励起子 Bohr半径

３５

01

4

2121

202

2

222

DDa

e

r

E

a

r⊥は任意の値をとりうる。したがって、r⊥→0 の極限において、上記の方程式

が発散しないためには、左辺第２項の括弧内がゼロでなければならない。

01

4

2

202

2

Da

e

２次元励起子 Bohr半径： 22

4 3

2

02

2D

D

a

ea

バルク(3D)結晶の Bohr半径の 1/2に収縮

２次元励起子束縛エネルギー： Ry2D

021

22

22

D

D

Ry

a

DD Rye

Ry 322

4

20

2 42)4(

14

バルク(3D)結晶の励起子束縛エネルギーの４倍に増大

２次元化（低次元化）による励起子状態の安定化：量子井戸構造の物性と機

能性における大きな特徴

２次元励起子の総エネルギー：M

Ryn

EE Dn2)2/1(

1 2

32gK

３６

量子井戸構造における励起子（有限のポテンシャルと層厚）

電子と正孔に対する量子井戸ポテンシャル[Ve(ze), Vh(zh)]をハミルトニアンに

繰り込まなければならない。

位置座標の設定

閉じ込め方向の電子と正孔の座標： ze, zh

電子と正孔の相対座標： he rrr

電子と正孔の量子井戸(x,y)面内相対座標： he rrρ

総ハミルトニアン

),,(2

),,(22

hegheehhe zzM

KEEzzHHH ρρ

電子ハミルトニアン： )(2 2

22

ee

ee

zVzm

正孔ハミルトニアン： )(2 2

22

hh

hh

zVzm

励起子相互作用ハミルトニアン：r

e

yx

0

2

2

2

2

22

42

励起子束縛エネルギー： ehheQW HHHRy

変分原理による数値計算を行い、束縛エネルギーを求める。

３７

GaAs/AlxGa1-xAs量子井戸構造における励起子束縛エネルギーと Bohr半径

の計算結果

３８

２．光学遷移の量子論

2-1. 光と物質の相互作用の量子論

非摂動ハミルトニアン（バンド構造）： )(2/ 02

0 rp VmH

)/( ip (運動量演算子), V(r) (結晶ポテンシャル)

光と物質の相互作用： App e , 運動量演算子の変換によって表現

A ：光（電磁波）のベクトルポテンシャル

AAB rot , 0div AA (Coulomb gauge)

Maxwell’s方程式 ttt //)(/ AEABE

)cos(ˆ),( 0 tE rqerE , e：光の偏光ベクトル

c.c.)](exp[(ˆ2

),( 0

ti

EiA rqer

全ハミルトニアン： )(2/)( 02

rAp VmeH

022

0002 2/2/2/)(2/ mememeVmH AAppArp

(pAの吟味) )()()()()()()( rpArArArAp ffi

fi

f

Ap

AAprp

)/(

2/)/()(2/

00

022

002

meH

memeVmH

電子-光（電磁波）相互作用ハミルトニアン： pA )/( 0meHeR

摂動論的遷移確率 i→f の一般的表現：Fermi’s golden rule

)(2

)(2

ifeRif EEiHfW

３９

バンド間遷移確率

))()((/2

)(2

0

vvcc EEvmecW kkpA

始状態 i ：価電子帯 )exp()(, rkrk vv iuvv

終状態 f ：伝導帯 )e x p ()(, rkrk cc iucc

u(r)：Bloch関数（結晶構造の対象性によって決定される固有関数）

)()( rRr uu j , jR ：格子ベクトル（結晶配列）

E(k)：エネルギー分散関係（バンド構造）

vc pA = rdiuiiuE

vvcc vc

3,

*,

0 )exp()()exp(ˆ)exp()(2

rkrpqrerkr kk

)exp()()()exp()exp()(

)exp()(

,,,

,

rkrrrkrkr

rkrp

kkk

k

vvvvvv

vv

iuuiiu

iu

vvv

v

第２項は空間積分によって消失：伝導帯と価電子帯の固有関数の直行関係

vc pA = rduiuE

vc vcvc3

,*,

0 )(ˆ])(exp[)(2

rperqkkr kk

位置座標の分割： 'rRr j , r’：単位胞(unit cell)内の位置座標

空間積分の取り扱い： 格子ベクトル項(Rj)と単位胞項(r’)に分離

')'()ˆ](')(exp[()'(

])(exp[

3,

*, rduiu

i

vc v

cellunit

cvc

jjcv

rperqkkr

Rqkk

kk

４０

格子ベクトル項

)(])(exp[ qkkRqkk

cv

jjcvi

波数ベクトル（運動量）保存則： vvc kqkk , kkk vc

運動量空間における垂直遷移

単位胞(unit cell)項

')'()ˆ](')(exp[()'( 3,

*, rduiu

vc v

cellunit

cvc rperqkkr kk

= ')'()ˆ()'( 3,

*, rduu v

cellunit

c rper kk ≡ cvP

cvP ： 遷移行列要素(Transition matrix element)

バルク結晶のバンド構造を反映する。

バンド間遷移確率

))()((2

2)(

22

0

0

kk vccv EEP

m

eEW

遷移振動子強度

)/(2 02

cvcvcv mPf , )()( kk vccv EEh

４１

励起子遷移

励起子遷移確率：Fermi’s golden rule

))((0f2

)( f

2

XRX

KEHW

0>：基底状態, f>：励起子状態, HXR：励起子-光子相互作用

K：励起子並進運動波動ベクトル kkkkkK hehe ,,0

Ef(K)：励起子エネルギー分散

kr

kr

kk

rrk

rrrrk

,

eR

,

XRhv

ec

xR

vc)()exp()/1(

0)()()()exp()/1(0f

HiN

HiNH

mln

mln

),()()( mllnmln YrRr ：励起子包絡関数, he rrr

)(rR ln ：動径波動関数, ),( mlY ：球面調和関数

遷移行列要素 cveR vc PH の k依存性が無視できると仮定する。

)()exp( rrkk

i

2

cv

22

XR )0(0f PH mln

励起子遷移確率は、バンド間遷移行列要素と、 0he rrr での励起子包

絡関数の値によって決定される。

遷移選択則：Wannier 励起子の水素原子型包絡関数（動径部）の特性から、s

型励起子(l=m=0)のみが、１光子過程において光と相互作用する。

４２

33

B

32 1

)0(na

un

(n=1, 2, 3, … )

s型励起子遷移誘電関数の虚部

))((1

)0,( f

2

vc33B

2 KK EPna

(n=1, 2, 3, … )

遷移振動子強度：2

vc33B

1P

naf

n→∞（非束縛（連続）状態： 2/22kk gEE ）への遷移の場合

励起子吸収スペクトルの概要： エネルギーが Eg 以上の連続状態（非束縛

状態）においても、残留している電子-正孔間の相関により、振動子強度が増

強される（Sommerfeld因子：Elliot stepとも呼ぶ）。破線は電子-正孔相関を無

視した場合で、バンド間遷移吸収に相当する。

４３

2-2. 量子井戸構造におけるバンド間遷移

ハミルトニアン： pArp )/()()(2/ 002 mezVVmH QW

)(zVQW ：量子井戸ポテンシャル(QW potential)

価電子帯 )()](exp[)( ,,,, zykxkiuvhv nhyvxvv rk

伝導帯 )()](exp[)( ,,,, zykxkiucec neycxcc rk

)(),( ,, zzenehnh ：正孔と電子の量子井戸包絡関数 (envelope function)

eh nn , ：正孔と電子包絡関数の量子数

)](exp[ ),(),( ykxki ycvxcv ：量子井戸面(x,y)内は平面波（自由粒子）

サブバンドエネルギー： 量子化エネルギー ＋ 面内運動エネルギー

*2

,2

,,, 2/)( hhnhhnh mEE kk

*2

,2

,,, 2/)( ecnccnc mEE kk

バンド間遷移確率：

量子井戸構造を反映する包絡関数項と Bloch関数項に分離される

))()((/2

)(2

vvcc EEvmecW kkpA

))()((

)()(')'()ˆ()'(2

,*

,23

,*,

kk

rper kk

vc

nhnev

cellunit

c

EE

dzzzrduuhe

≡2

,,

2

,, ˆhne hnevc uu kk pe ))()(( kk vc EE

４４

量子井戸構造における遷移確率

)(W2

,,

2

,, ˆhne hnevc uu kk pe ))()(( kk vc EE

包絡関数項

無限深さ量子井戸（井戸幅 L）の場合： )/sin(/2)( LznLzn

ch nn の場合：2

,,hne hne =1 , ch nn の場合：

2

,,hne hne =0

量子数が同じ電子・正孔サブバンド間の遷移が許容、異なる場合は禁制。

Bloch関数項：GaAsなどの閃亜鉛鉱構造結晶の点(k=0)

電子： s型波動関数 s , s , ↑Upスピン ↓Downスピン

正孔： p型波動関数

重い正孔(heavy hole, HH) JmJ , = 2/3,2/3

2/3,2/3 = )(2/1 iYX , 2/3,2/3 = )(2/1 iYX

軽い正孔(light hole, LH) JmJ , = 2/1,2/3

2/1,2/3 = )(26/1 iYXZ

2/1,2/3 = )(26/1 iYXZ

運動量演算： PZpsYpsXps zyx 、他の場合はゼロ。

スピン演算： 0,1

光の偏光ベクトル： ),,(ˆ zyx eeee

４５

重い正孔(HH)-電子間遷移の Bloch関数項：2

2/3,2/3ˆ pes

光の偏光ベクトル ),,(ˆ zyx eeee ， PZpsYpsXps zyx

2)(ˆ2/1 iYXs pe =

22/1 PiePe yx = 2/)( 222

Pee yx ：(x,y)偏光

2)(ˆ2/1 iYXs pe =

22/1 PiePe yx = 2/)( 222

Pee yx

2)(ˆ2/1 iYXs pe = 0)(ˆ2/1

2 iYXs pe

軽い正孔(LH)-電子間遷移の Bloch関数項：2

2/1,2/3ˆ pes

2)(2ˆ6/1 iYXZs pe =

23/2 Pez =

223/2 Pez ：z偏光

2)(2ˆ6/1 iYXZs pe =

26/1 PiePe yx = 6/)( 222

Pee yx

(x,y)偏光

2)(2ˆ6/1 iYXZs pe =

26/1 PiePe yx = 6/)( 222

Pee yx

2)(2ˆ6/1 iYXZs pe =

23/2 Pez =

223/2 Pez ：z偏光

(001)面上に成長された量子井戸構造の光学遷移

)0,,(ˆ yx eee ： HH遷移確率：LH遷移確率=3：1

(x,y)偏光特性は無い（面内で等方的）。円偏光特性有り。

),0,0(ˆ zee ： HH遷移は禁制、LH遷移のみ許容

z偏光特性。円偏光特性無し。

４６

括弧内数値：

相対振動子強度

量子井戸構造におけるバンド間遷移選択則のまとめ

包絡関数項

Bloch関数項

)0,,(ˆ yx eee の場合

HH |3/2, -3/2>

LH |3/2, -1/2>

el |mJ=1/2>

HH |3/2, +3/2>

LH |3/2, +1/2>

el |mJ=+1/2>

(1)

(3)

(1)

(3)

),0,0(ˆ zee の場合

HH |3/2, -3/2>

LH |3/2, -1/2>

el |mJ=1/2>

HH |3/2, +3/2>

LH |3/2, +1/2>

el |mJ=+1/2>

(4) (4)

CB

VB

n=1

n=1

n=2

n=2

４７

2-3. 量子井戸構造におけるサブバンド間遷移

ハミルトニアン： pArp )/()()(2/ 002 mezVVmH QW

)(zVQW ：量子井戸ポテンシャル(QW potential)

電子サブバンド間遷移

始状態 i ：伝導帯電子サブバンド（量子数 in ）

)()exp()( ,, ziuiinec rkrk

終状態 f ：伝導帯電子サブバンド（量子数 fn ）

)()exp()( ,, ziuffnec rkrk

上記の式は、既に波数ベクトル（運動量）保存則を既に前提としている。

遷移確率

))()((ˆ2

2)(

22

0

0

kkpe vc EEif

m

eEW

if pe =ifif neneccnenecc uuuu ,,,,,,,, ˆˆ pepe kkkk

バンド間（伝導帯-価電子帯）遷移の場合、そのBloch関数の直行関係から第

２項は消滅する。

サブバンド間（バンド内）遷移の場合は、第１項が消滅し、第２項において

1,, kk cc uu となる。したがって、

if pe =if nene ,, ˆ pe

４８

if nene ,, ˆ pe = dzdydxz

ze

ye

xez

i if nezyxne )()()( ,,

= dzdydxzz

zei if nenez )()( ,,

運動量演算子（微分演算子 z / ）によって、包絡関数の対称性が反転する。

),,3,1( oddnn if ： 許容遷移、 ),4,2( evennn if ： 禁制遷移

z偏光の光のみと相互作用する（量子面(x,y)内偏光特性を持たない）。

無限深さ量子井戸における遷移振動子強度

包絡関数： )/sin(/2)( LznLzn

遷移エネルギー：

*

22

2*

222

*

22

2*

222

2222 mLm

n

mLm

nif

fikk

2

,,*)()(

2dzz

zz

imf

if nene

fi

fi

=

2

*)/sin()/sin(

22

dzLzn

zLzn

iLmif

fi

= 322

2

2)(

)(64

if

if

nn

nn

； oddnn if

= 0； evennn if

具体例： f12=0.96, f13=0, f14=0.03 f

iff 1 （振動子強度の総和則）

f23=1.87, f21= 096 (発光), f24=0, f25=0.07