量子スピン系の基底状態とダイナミクス

先端物性科学

平成24年 6/27, 7/4

１．イントロダクション

量子スピン系の基底状態： ネール状態とシングレット基底状態の競合、低次元性とフラストレーション、エキゾチックな励起状態（スピノン）

２．磁性体の量子相転移

マグノン・ボーズ凝縮

磁化プラトー

スピン液晶状態

３．フラストレート磁性体の磁場誘起量子相転移

横磁場中の1次元イジング系、

次近接相互作用のあるS=1/2ハイゼンベルグ系

ボンド交替のあるS=1ハイゼンベルグ系

ji

jiij SSJH,

state) ground etic(ferromagn

,, allfor 0 if

SS

jiJ

zi

ij

強磁性状態は正確な基底量子状態。

state) magnetic(antiferro ,

, pairs)other for 0( 0 if

122 SSSS

JJ

zi

zi

ijnn

反強磁性状態は固有量子状態ではない。

jijizj

ziji SSSSSSSS

2

1

ハイゼンベルグ・スピン系

古典スピン： S

ネール状態が安定。

1. Introduction

ネール状態を壊すには： １．スピンの量子性

２．低次元性

３．相互作用のフラストレーション

新奇な基底状態

反強磁性相互作用を持つ量子スピン系

シングレット状態 vs． 反強磁性秩序（ネール状態）

i

ii SSJH 1

スピン対のエネルギー

)( 21 SSJH

シングレット JE4

3

2

1

ネール状態 JE4

1

2

1

4

3 JE サイト当たり

24

1 zJE

ｚ：最近接サイトの数

ｚ＝２：１次元

ｚ＝４：２次元

ｚ＝６：３次元

高次元ではネール状態が安定

フラストレートした格子上では高次元でもシングレットが安定化される可能性がある。

カゴメ格子 パイロクロア（Pyrochlore)格子

古典的な最低エネルギー状態がマクロな縮退を持つ

正３角形

321T

2T133221 .const

2

SSSS

SJ

SSSSSSJ

.const2

2T

434232413121

SJ

SSSSSSSSSSSSJ

正４面体

RVB基底状態？

Resonating

Valence

Bond

I. １次元スピン系

スピン1/2 イジング系

ji

jiji

ji

zj

ziz

ji

yj

yi

xj

xi

ji

zj

ziz

SSSSJ

SSJ

SSSSJSSJH

,,

,,

2

0 JJ z

ネール基底状態

励起状態：ドメイン壁 ｎ ｎ+1

n

固有状態： n

nN

k1

2222

nnn

zGn

JJEH

kkJJ

EkH zG

2cos

2

実験（中性子散乱 etc.)で観測される磁気励起 --- 2個のドメイン壁 DSz=1

21

2121

coscos2

2cos2cos,

kkqJJ

kkJJkk

z

z

21 kkq

連続励起スペクトル q

0 22

JJ z 2

JJ z 2

ハイゼンベルグ系、XY系

Jordan-Wigner変換

1

ji

zj

ziz

ji

jiji SSJSSSSJ

H,,2i

スピンをフェルミオン演算子で表す。

ii

ii

fS

fS

if

iii

izi

ffn

nS

2

1then 1,,

iiii SSff but 0,, jiji SSff

ji for

iKSf

iKSf

ii

ii

Ni

j

jj

i

j

zj ffiSiiK 1exp

2

1exp

1

1

1

1

　　上向きスピンの数

サイトの左側にあるiN :

ii SjKSjK, if ji

ijij

ijjijiji

ffiKSjKS

iKjKSSjKiKSSjKSiKSff

iii

iii

fiKiKfS

fiKiKfS

2

1

iizi ffS

11

11

exp

1

iiiiii

iiii

fffffif

fiKiKfSS

2

1

2

1

211

11

11 ii

N

i

iiz

N

i

iiii ffffJffffJ

H

運動エネルギー 最近接斥力相互作用

XYスピン系（Jz=0)は1次元の自由なフェルミオンに等価

k

kkXY

n

nk ffkJHiknfN

f cosexp1

ｆi：i サイトにドメイン壁を作る。 （スピノン励起） 実際に観測される磁気励起は2スピノン励起：連続スペクトルを持つ。

ハイゼンベルグ系（最近接相互作用）--- ベーテ仮説に基づく厳密解

1重項基底状態 （Stot=０), 長距離秩序は存在しないが、相関距離は発散

jSS jii

1

T

jSS jii

1,exp

有限温度では

J

２スピノン励起

励起スペクトルにエネルギー・ギャップは存在しない。

ホール（電荷）

Sが大きい場合はスピン波が良い素励起描像

1ii SS

２つの独立なドメイン壁（ソリトン） ２スピノン励起

スピノン励起

キャリアがある場合のスピン・電荷分離

励起スペクトル

E

q 0 2

Sr2CuO3：光電子分光

中性子散乱

KCuF3

CuBenzoate

NMR: Sr2CuO3

KCuF3の中性子散乱実験 Tennant et al., PRL 70 (1993) 4003.

Cu(C6D5COO)2

磁場中では非整合波数の

スピン相関

Dender et al., Phys. Rev. Lett. 79 (1997) 1750.

２. 磁性体の量子相転移, 横磁場中の1次元イジング系

i

x

i

ji

z

j

z

i SHSSJH,

CoNb2O6

Coldea ret al., Sicence

327 (2010) 177.

Neutron scattering in CoNb2O6

Coldea ret al., Sicence

327 (2010) 177.

Two spinon bound states

due to interchain interactions

励起ギャップが生じる場合：次近接相互作用

Lieb-Shultz-Mattis Theorem

1次元ハイゼンベルグ系、半奇数スピン

--- 基底状態に縮退がなければ励起ギャップは存在しない。

高次元系にも適用可能？

i

ii

i

ii SSJSSJH 2211

1J2J

Majumdar-Ghosh模型：

11

12

2

1,

2

jjjjjjoddj SS

JJ

ｇ

密にのとき、基底状態は厳

1

2

J

J

0 0.24…

エネルギー・ギャップ

0.5

パリティ（又は併進対称性） の破れた状態が縮退している。

4

1

3

1 2

21 iii SSSP

合成スピン3/2に対する射影演算子

S=1/2 1次元ハイゼンベルグ系

併進対称性を破らない例： S=1、最近接ハイゼンベルグ系におけるハルデイン・ギャップ

i

ii SSJ 1

H

各サイトのスピン１を2個のスピン1/2の合成と考える。

Valence Bond Solid 状態：

biaibiaii ,1,,1,preVBS

2

1

i i+1

a b a b

preVBSVBS S 同一サイトの2個のスピンa,bについて対称化

Ni2+:NENP, NDMAP

V3+:AgVP2S6

i

iiii SSSSJH2

113

1 は、 VBS に対する厳密な基底状態。

3

2

3

1 2

11 iiii SSSSP

は全スピン２に対する射影演算子

ハルデイン・ギャップの例

Ni(C2H8N2)2NO2(ClO4) (NTENP)

結晶構造：Orthorhombic (Pnma)

ｂ方向に1次元鎖。

鎖同士はClO4によって隔離されている。

410J

J

低温で磁化率が指数関数的に減少。

)(17),//(11 bHkEbHkE BgBg

磁化率の異方性 －－－ 1イオン異方性

bzSSEDSH yxzD //,222

J. P. Renard et al. Europhys. Lett. 3 (1987) 945.

47Bk

J

１イオン異方性エネルギー

21.2

15.2

23.2

c

b

a

g

g

g12

BkD

最近のより正確な値：

4.0

8

44

B

B

B

kE

kD

kJ

エネルギー・ギャップの直接観測 中性子散乱

J. P. Renard et al.,

J. de Phys. Colloque. 49 (1988) C8-1425.

15

30,

B

B

kE

kE

zG

yxG

励起エネルギーの磁場依存性

L. P. Regnault et al., Physica B180-181 (1992) 188.

bH //

bH

zGz

zG

zBzyx

Gzyx

G

EHE

HgEHE

,,

DEE yxG

zG 8.1,

強磁場磁化過程 K. Katsumata et al., Phys. Rev. Lett. 63 (1989) 86.

ボンド交替があるS=1ハイゼンベルグ鎖

ボンド交替比が大きい場合はVBS相よりシングレットダイマー相が安定となる。

不純物誘起スピンのESR

Hagiwara et al., Phys. Rev. Lett. 86

(2001) 324.

NTENP

D’=5.1K

D=13.6K

S=1ボンド交替鎖における量子相転移

ボンド交替比を変えるとダイマー・シングレット相からハルデイン相への量子相転移が起こる。

Valence Bond Solid 状態の実験的検証 （不純物誘起スピンのESR）

Cu Ni Ni

S=1

S=1/2

Hagiwara et al., Phys. Rev. Lett. 65 (1990) 3181.

zB

zzB

yyyxxx

zzz

HsgSSHG

sSSsSSJ

sSSJH

||21||

2121

21||

2

2

3個の1/2スピン

（1イオン異方性エネルギーなし）

3. フラストレート磁性体の磁場誘起量子相転移

古典的反強磁性体の典型的な磁化過程

フラストレートした磁性体では、

磁化プラトーが現れる場合がある。

M

H Hc

M

H Hc

M

H Hc1 Hc2

H H

Spin flop

量子スピン系では、エネルギーギャップを持つシングレット状態が基底状態となる可能性がある。

M

H Hc1 Hc2 Hc3

フラストレート磁性体における磁化プラトー

Triangular lattice Pyrochlore lattice Kagome lattice

const.2

2

2

2

321

321133221

J

HSSS

J

SSSHSSSSSSJ

B

B

const.2

2

2

2

,

J

HS

J

SHSSJ

B

i

i

i

iB

ji

ji

zJ

H

z

S

M Bi

i

2

H

M

S1 S2

S3 S1 S2

S3

S4

最近接ハイゼンベルグ相互作用を持つ3角格子スピン系。 3副格子を仮定。

エネルギー最低の条件

古典スピン系の基底状態にはプラトーは生じない。

4 sublattices

縮退した基底状態 --- order by disorder 機構によって縮退が解ける。

Triangular lattice at T=0

zJ

HM B

2

structure 120:0 H .degeneracy infinite ---energy classical

same with thestructuresmany :0H

揺らぎの性質が基底状態を決定する。

4321 SSSSL

Collinearなスピン配列はソフトな揺らぎを示す。

量子スピン系 --- ゼロ点振動

E

X

Order by disorder J. Villan et al., J. Physique 41 (1980) 1263.

スピン波近似

qu

ququ nH,

,,2

1

qu

quE

,

,

ZP2

Collinear (Coplaner) structures are

preferred over non-collinear (non-coplaner)

structures.

古典スピン系： 熱揺らぎ（エントロピー効果）によって特定の秩序状態が選ばれる。

3角格子スピン系の磁化過程 --- 1/3磁化プラトー

Nishimori and Miyashita, J. Phys. Soc. Jpn. 55 (1986) 4448.

Chubukov and Golosov, J. Phys.: Condens. Matter 3 (1991) 69.

プラトー状態はエネルギーギャップを持つ。

H<H1 H1<H<H2 H2<H<HS

Honecker, J. Phys.:Condens.

Matter 11 (1999) 4697.

numerical

RbFe(MoO4)2

Smirnov et al., PRB 75 (2007) 134412.

磁化プラトーの粒子的描像

S=1/2

i

zi

ij

zj

zi

zijjijiij SHSSJSSSSJH

2

1

スピン反転 --- ボゾンの生成

21

nS

bS

bS

z

i

i

j

zij

ij

jizijijjiij nJHnnJbbbbJH

2

1

2

1

hopping repulsion chemical

potential

hard core bosons

磁化プラトー --- 化学ポテンシャルが変化しても粒子（ボゾン） 密度が一定に保たれる。

運動エネルギーの利得と相互作用の競合。

電子系におけるモット絶縁体や電荷秩序状態に類似。 励起スペクトルにエネルギーギャップが存在する。

併進対称性が破れた状態

Frustrated J1-J2

spin chain J2/J1=0.8

Honecker et al., J.

Phys.:Condens. Matter

16 (2004) S749.

Spin ladders：S=1/2

J J1

L

n

zn

zn

L

n

nnnn

L

n

nn

SSB

JJH

1

2,1,

1

1

2,12,1,11,1

1

2,1, SSSSSS

1JJ

2,1,

2,1,

nnn

nnn

SSD

SSS

.const

2

2

2,1, nnn

SSS

11

1111

2,12,1,11,

2

1

4

1

nnnn

nnnnnnnn

nnnn

DDSS

DSDSDSDS

SSSS

1

1

111

11

2

22

L

n

nnnn

L

n

zn

L

n

n JSBJH DDSS

S

J.-B. Fouet et al. Phys. Rev. B73 (2006) 214405.

１

2

シングレット・ダイマー・スピン系における量子相転移

J1を無視すると（孤立ダイマー）：

2

1s

t

t

t

2

10

1

1

111

11

2

22

L

n

nnnn

L

n

zn

L

n

n JSBJH DDSS

S

最近接トリプレット間の反発

トリプレットの最近接間ホッピング

0,, 00 tDstDtsD zzz

0,0

,2,2

0

tDtD

tsDstD

とみなす。有効的なスピン

の２状態のみが重要。高磁場では、　

1/2

,s t

t

s

2

,2

1

1

1

1

11

111

JJBBSBSS

JSSSSJH xxz

L

n

znxxz

L

n

zn

zn

yn

yn

xn

xn

q

E

D

トリプレット励起：結晶中を伝播するマグノン

（Hard Core Boson）

D0 --- 低温でBose-Einstein Condensation

が起こる。

秩序パラメータ： 波数qを持つボゾンの生成演算子 --- S+(q)

3次元的な結合があれば、磁場に垂直な反強磁性秩序が生じる。

外部磁場：ボゾンに対するChemical Potential

磁化：ボゾンの粒子数

異方的1次元ハイゼンベルグ（ｘｘｚ）模型に等価。

i

i

ij

jiiiii nBnnJbbbbJH2

1

2

11111

M. Matsumoto et al., Phys. Rev. B. 69 (2004) 054423, Phys. Rev. Lett. 89 (2002) 077203.

孤立ダイマーの反強磁性状態

cos2

1Re

2

121 uvuvss xx

1,22

vutvsu l

sin2

1Im

2

121 uvuvss yy

2

212

1vss zz

１マグノン励起状態

磁場誘起凝縮相

M. Matsumoto et al., Phys. Rev. B. 69 (2004) 054423, Phys. Rev. Lett. 89 (2002) 077203.

マグノンのボーズ凝縮

1,22

vutvesu l

i

lllRQ

2,0,0,

2

2

21v

mSS

m lull

lu

シングレットと波数Qのトリプレットのコヒーレントな重ね合わせ。

yls

xlsls

zls

llls mimmm

SSm

~,0,

2

21

ll iils e

uve

uvm

RQRQ

22

~

一様磁化：

反強磁性磁化：

凝縮相の位相が反強磁性磁化の方向を与える。

Nii

i

iik

stss

rkiN

21

exp1

Ns

ss

k

z

ik

k

y

ikk

x

ik

2

1

0

TlCuCl3

結晶構造：monoclinic P21/c

Tl

磁化率 磁化過程

T=1.7K

シングレット基底状態

エネルギーギャップを持った励起3重項マグノン

マグノンのエネルギー分散 --- 中性子非弾性散乱

Cavadini et al., Phys. Rev. B63 (2001) 172414.

Oosawa et al.,

Phys. Rev. B65

(2002) 094426.

Oosawa et al.,

Phys. Rev. B65

(2002) 094426.

磁場によって誘起された反強磁性秩序

Oosawa et al., J. Phys.:Condens. Matter 11

(1999) 265

Tanaka et al.,

J. Phys. Soc. Jpn. 70

(2001) 939.

磁化 中性子弾性散乱

スピン構造

相図

model) xy 3D field(mean 5.1

,N

cHHT

T. Nikuni, et al., Phys. Rev. Lett. 84 (2000) 5868.

秩序相における励起スペクトル

Ch. Ruegg et al., Nature

423 (2003) 62.

スピン波励起

圧力によって誘起された反強磁性秩序

Ch. Ruegg et al., Phys. Rev. Lett.

93 (2004) 257201.

理論的予想

M. Matsumoto et al., Phys. Rev.

B69 (2004) 054423.

フラストレートしたダイマー・スピン系

J

J1

J2

1

1

1,12,2,11,2

1

1

2,12,1,11,1

1

2,1,

1

2,1,

L

n

nnnn

L

n

nnnn

L

n

zn

zn

L

n

nn

J

J

SSBJH

SSSS

SSSS

SS

1

1

121

1

1

121

11

2

222

L

n

nn

L

n

nn

L

n

zn

L

n

n JJJJSBJH DDSS

S

フラストレーションが存在するとトリプレットの運動エネルギーが抑制される。

分数磁化プラトー：トリプレットが斥力相互作用によって局在化

分数磁化プラトー：トリプレットの”電荷秩序” 結晶の併進対称性を破る。

2,

2,

2

,

2121z

21x

1

1

1

1z11x

JJJBB

JJJ

JJJ

SBSSJSSSSJH

xxz

L

n

znxxz

L

n

zn

zn

yn

yn

xn

xn

有効スピン1/2-xxzモデル

異方的ｘｘｚモデル：Jz/|Jx|>1なら

B=0の基底状態は

ギャップを持つネール状態

J2/J1 J2/(

J1+

J2)

S. Wessel and M. Troyer Phys. Rev. Lett. 95 (2005) 127205.

3角格子上のHard Core Bosons

磁化プラトーとボーズ凝縮相の共存：Supersolid 相

canonical

M

H

Grand

canonical

Crスピネル酸化物ACr2O4における磁化プラトー

1/2磁化プラトー: スピン格子結合

H. Ueda et al., Phys. Rev. Lett. 94 (2005) 047202, Phys. Rev. B73 (2006) 094415.

b=-J2/K

ZnCr2O4における磁化プラトーとSupersolid 相

ファラデー回転による強磁場磁化測定

Miyata et al., J. Phys. Soc. Jpn. 80 (2011) 074709.

SrCu2(BO3)2: Quasi-2dimensional frustrated dimer system

H. Kageyama et al.

PRL 82 (1999) 3168. Crystal: H. Kageyama, Y. Ueda NMR: K. Kodama, M. Horvatic, C. Berthier Theory: S. Miyahara, F. Mila, F. Becca

SrCu2(BO3)2 Cu2+: s=1/2 Shastry-Sutherland model

J’/J << 1: Dimer singlet

J’/J >> 1: Néel Order on a square

lattice.

(J’/J)cr ~ 0.7

SrCu2(BO3)2 has a dimer singlet ground state and stands near the quantum critical point.

B. S. Shastry and B. Sutherland, Physica B108 (1981) 1069.

J=84 K,

J’=54 K

J/J’=0.64

S. Miyahara and K. Ueda, JPSJ 69 Suppl.B, (2000) 72.

R. W. Smith and D. A. Keszler, J. Solid State Chem. 93, 430 (1991); Kageyama et al., Phys. Rev. Lett. 82, 3168 (1999).

J’ J

Shastry-Sutherland model

Simple product of dimer singlets is an exact eigen state and the ground state for J’/J < 0.7 .

Kinetic energy of triplets is heavily suppressed.

Energy gap to triplets = 35 K small dispersion ~ 3K

J’ 1

J’

3

2

4 a

b J

Kakurai et al.

J’ J

0)( ba321 SSSJ

Magnetization Plateaus in SrCu2(BO3)2

K. Onizuka et al., J. Phys. Soc. Jpn. 69 (1999) 1016.

1/3 1/4

Hc

Symmetry breaking superstructure is expected. hard-core-boson model. S. Miyahara and K. Ueda, PRB 61 (2000) 3417.

1/8-plateau: commensurability 16k spins in the magnetic unit cell 4 spins in the crystal unit cell

1/8

Below the 1/8-plateau: Single Cu site uniform magnetization Hn = -1.79 T 〈Sz〉= 0.033

20 MW Resistive Magnet at Grenoble High Magnetic Field

Laboratory

NMR: a probe for local spin density

)Cufor 2/1,2/1,2/3(

ˆˆ,

)2/1(

65 63,

nnexteff

Qeff1NMR

m

SHHHH

mH

i

kik

gA

Ac=-23.8 T/B, gc=2.28

Sk

1

2

for 1 nuclei,

extH

Inside the plateaus: two types of dimers (triplet and siglet) in the simplest picture (hard-core boson). 2 sets of 6

lines separated by 260 MHz.

Fit: 11 sites

Site <Hn> (T) Intensity

1 -16.23 1/8

2 -11.01 1/8

3 -4.05 1/8

4 -3.51 1/8

5 -3.04 1/16

6 0.60 1/16

7 1.97 1/8

8 2.61 1/16

9 2.95 1/16

10 3.30 1/16

11 4.61 1/16

<sz>=0.3

<sz>=0.2 <sz><0

Kodama et al., Science 298 (2002) 395.

0.30

0.25

0.20

0.15

0.10

0.05

0.00

M

403530252015Field (T)

NMR detection of spin-superstructure in the 1/8 plateau

Extended triplet (spin polaron)

S. Miyahara, F. Becca, and F. Mila,

Phys. Rev. B 68, 024401 (2003).

Haravifald et al. PRL 97 (2006) 246206.

New plateaus: evidence from 11B NMR spectra

Spectra from the B-

sites nearest to m0

or m1.

Most negatively

shifted lines.

x

x

x

1/8

1/4

HMHM BACantilever signal

MzMzH

z

Magnetization is not collinear with fields.

New plateaus: evidence from torque data

Phase diagram

T (K)

1 6

× × × × × 2

15

by NMR:

▲ K. Kodama et al., Science 298, 395 (2002)

● M. Takigawa et al., PRL 101, 037202 (2008),

present work

also by: torque F. Lévy et al., EPL 81, 67004

(2008) and unpublished

specific heat H. Tsujii et al.,

JPSJ 80 (2011) 043707.

□

IC1 IC2

11B NMR spectra: Distribution of internal field

Hyperfine Interaction

i

iz

i SH Aint

A1tr+A2

tr = -0.431 T

A1=-0.775 T

A2=0.016 A3=0.066 A4=0.103

Ai=Aitr + Ai

dip

The skeleton (zero order)

spectra simply represents

distribution mi.

They are split by the

interlayer coupling. --- NMR

spectra are the finger print of

interlayer stacking.

0.3~0.4

0.2~0.3

-0.1~-0.2

0 0.2 -0.2 Hint (T)

1/8 1/6 1/4 1/3

2/15

Stripe order of triplets

Stripe structures

Proliferation of domain

walls

Devil’s staircase

スピン液晶秩序（spin nematic order)

S = 1/2

T. Hikihara, et al., Phys. Rev. B, 78 (2008) 144404.

フラストレートしたスピン鎖

マグノン束縛対の形成

Zhitomirsky and Tsunetsugu EPL 92 (2010) 37001.

Spin nematic phase: マグノン束縛対のボーズ凝縮相

Order parameter: Quadrupole

時間反転対称性を破らない。

磁気的なプローブ（中性子、NMR)では直接観測にかからない。

LiCuVO4 Svistov et al., JETP Lett. 93 (2011) 21. ?