ejercicios limites indeterminados

Ejercicios de Lmites indeterminados

Pregunta 1 Calcular los siguientes lmites a.limx 1

x n + 5 x 3 15 x + 9 x 3 9x + 8

b.

3 26 + x 2 26 x x 10 x 3 + 9x 2 8 x + 20 limlimx 0

c.

x+4 2 lim 2 x 2 x 2 x x 2

d.

x 2 + 2x x + 3x x+3 4 x2

e.

x 0

lim +

2x 7 x2 + x

f.

x 2

lim

g.

2y 3 + 5 y 4 y + 6 y 3 5 y 2 + 3 y 1 lim

h.

5 7 x 2x 3 3 x 4 x + 1 x 2x 2 + 5 x 3 lim

i.

x + 3

lim

4 x 2 3 x + 2x 8x + x + 3 + 5x3 2

j.

x +

lim 9x 2 5 x 3xx

[

]

k.Resolucin

lim(1 + ax )x 0

3 x

l.

2x + 1 x +2 lim x 2 x 1

1a.

L = limx 1

x n + 5 x 3 15 x + 9 x 3 9x + 8

evaluando:

L=

0 0

Buscaremos en el numerador y denominador el factor generador del cero. En este caso, como x 1 , dicho factor es x 1 . Factorizamos el numerador y denominador usando la regla de Ruffini. Denominador:

x 3 9x + 81 1 1 0 1 1 -9 1 -8 8 -8 0

x 3 9x + 8 = (x 1)(x 2 + x 8)

www.grupolamatriz.com

Numerador:

x n + 5x 3 15x + 9

1 1 1

0 1 1

0 1 1

5 1 6

0 6 6

-15 6 -9

9 -9 0

x n + 5x 3 15x + 9 = (x 1)(x n1 + x n2 + x n3 + ... + 6x 2 + 6x 9)Luego,

L = limx 1

( x 1)(x n1 + x n2 + x n3 + ... + 6x 2 + 6x 9) ( x 1)(x 2 + x 8)

Simplificamos el factor x 1 :L = limx 1

x n1 + x n2 + x n3 + ... + 6x 2 + 6x 9 x2 + x 8

Evaluamos:

L= L=

1 + 1 + 1 + ... + 6 + 6 9 1+1 8 (n 3) + 3 6 n 6evaluando:

L=

1b.

L = lim

x 10

3 26 + x 2 26 x x 3 + 9x 2 8 x + 20

L=

0 0

De forma similar al ejercicio anterior, buscaremos en el numerador y denominador el factor generador del cero. En este caso x + 10 . Factorizamos el denominador y Multiplicamos - numerador y denominador por la conjugada del numerador.L = lim [3 26 + x 2 26 x ] [3 26 + x + 2 26 x ] ( x + 10)(x 2 x + 2) [3 26 + x + 2 26 x ]

x 10

Aplicando diferencia de cuadrados en el numerador:

L = lim

[9(26 + x ) 4(26 x )] ( x + 10)(x x + 2)[3 26 + x + 2 26 x ]2

x 10

L = lim

13(x + 10) ( x + 10)(x x + 2)[3 26 + x + 2 26 x ]2

x 10


Simplificamos el factor x + 10 :

L = lim

13 (x x + 2)[3 26 + x + 2 26 x ]2

x 10

Evaluando:

L=

13 2688evaluando:

1c.

x+4 2 2 L = lim x 2 x 2 x x 2

L =

Damos mnimo comn mltiplo: 2(x + 1) (x + 4) L = lim x 2 ( x 2)(x + 1) x2 L = lim x 2 ( x 2)( x + 1) Simplificamos el factor x 2 :

L = limx 2

1 x +1 1 3evaluando:

Evaluando:

L=

1d.

L = limx 0

x 2 + 2x x + 3xx 2 + 2x x + 3x

L=

0 0

Sea

f (x ) =

x R {0}

Analizamos el comportamiento del valor absoluto x : i) Cuando x < 0 , tenemos que x = x . La funcin resulta: f1 ( x ) =

x 2 + 2x x 2 + 2x x + 2 = = ( x ) + 3 x 2x 2

ii) Cuando x > 0 , tenemos que x = x . La funcin resulta: f 2 (x ) =

x 2 + 2x x 2 + 2x x + 2 = = ( x ) + 3x 4x 4

Luego, podemos reescribir la funcin f (x ) como:


x + 2 2 , x 0 4 Para calcular L = lim f ( x ) debemos analizar los lmites laterales:x 0

Por la izquierda:

x + 2 lim f ( x ) = lim =1 x 0 x 0 2 x + 2 1 = lim f ( x ) = lim + x 0 x 0 4 2 x0

Por la derecha:

Dado que los lmites laterales no son iguales, decimos que el lim f ( x ) no existe. 1e.

L = lim +x 0

2x 7 x2 + x2x 7 x( x + 1)

L = lim +x 0

Evaluando obtenemos:L = lim x 2

L=

7 = +0

1f.

x+3 4 x2x+3 (2 + x )(2 x )

L = lim x 2

Evaluando obtenemos:

L=

3 = + +0 L=

1g.

L = lim

2y 3 + 5 y 4 evaluando: y + 6 y 3 5 y 2 + 3 y 1

Cuando se presenta la forma indeterminada

lo recomendable es dividir numerador y denominador por la variable elevada al mayor grado de la expresin racional. Lo que se busca es generar fracciones donde el denominador contenga la variable elevada a un exponente positivo. De esta forma, si la variable tiende al infinito, la inversa de la variable tender a cero.En este caso dividimos numerador y denominador por y 3 :


2y 3 + 5 y 4 y3 L = lim y + 6 y 3 5 y 2 + 3 y 1 y3 Descomponemos en fracciones homogneas: 2y 3 5 y 4 + 3 3 3 y y y L = lim 2 y + 6 y 3 5y 3y 1 3 + 3 3 3 y y y y Simplificando obtenemos: 5 4 3 2 y y L = lim y + 5 3 1 6 + 2 3 y y y 2+1 1 1 Cuando y + , su inversa y potencia de sus inversas 2 , 3 y y y 1 a cero. Por lo que el lmite resulta: L = . 3 tienden

1h.

L = lim

5 7 x 2x 3 3 x 4 evaluando: x + 1 x 2x 2 + 5 x 3

L=

Dividimos numerador y denominador por x 4 :5 7 x 2x 3 3 x 4 x4 L = lim x + 1 x 2x 2 + 5 x 3 x4 Separando en fracciones homogneas y simplificando:

5 7 2 3 3 4 x x L = lim x x + 1 1 2 5 + x4 x3 x2 x Llevando al lmite obtenemos:

L=

3 = 0


1i.

L = lim

4 x 2 3 x + 2x 8x + x + 3 + 5x3 2

x + 3

evaluando:

L=

Dividimos numerador y denominador por x : 4 x 2 3 x + 2x x 8x 3 + x 2 + 3 + 5x x 4x 2 3x +2 x 8x 3 + x 2 + 3 +5 x4x 2 3x +2 x2 8x 3 + x 2 + 3 +5 x3 4

L = lim

x + 3

L = lim

x + 3

L = lim

x + 3

3 +2 x L = lim x + 1 3 3 8 + + 3 +5 x x Llevando al lmite obtenemos:x+3 4x2

L=

4 +23

8 +5

=

4 7

1f. 1j.

L = lim x 2

evaluando:

L=

5 = + 0 L =

L = lim 9x 2 5 x 3xx +

[

]

evaluando:

Lo recomendable en estos casos es operar convenientemente la expresin hasta llegar a alguna de las formas indeterminadas anteriores. Multiplicamos y dividimos por la conjugada de la expresin dada.

L = lim 9x 2 5 x 3x .x +

[

] [[ 9x 9x]]

2 2

] 5 x + 3x ] 5 x + 3x

L = lim

[(9x

x +

[ 9x

2

5 x ) (9x 2 )2

5 x + 3x

L = lim

5x

x +

9x 2 5 x + 3x

evaluando:

L=


Dividimos numerador y denominador por x : 5x x 2 9x 5 x + 3x x

L = lim

x +

L = lim

5 9x 5 x +3 x2

x +

L = lim

5

x +

9x 5 x +3 x22

L = lim

5 9 5 +3 x

x +

Llevando al lmite obtenemos:3

L=

5 9 +3

=

5 6

1k.

L = lim(1 + ax ) xx 0

evaluando:

L = 1

Cuando se presenten lmites de la forma indeterminada 1 podemos aplicar lasiguiente propiedad: Si lim f ( x ) = 1 y lim g( x ) = , entonces lim f ( x )x a x a

g(x )

x a

= e x a

lim [ f ( x )1]g ( x )

En este ejercicio, si consideramos f (x ) = 1 + ax y g(x ) =x 0 x 0

3 , podemos comprobar x que lim f ( x ) = 1 y que lim g( x ) = por lo que podemos aplicar la propiedad

mencionada.

L = lim(1 + ax ) = ex 0

3 x

x 0

lim [(1 + ax ) 1].

3 x

L = e x 0

lim [ ax ].

3 x

L = e x0

lim [ 3a ]

Lo que finalmente resulta: L = e 3a


1l.

2x + 1 x +2 L = lim x 2 x 1 consideramos

x

evaluando:

L = 1

Si

2x + 1 x y g(x ) = , podemos comprobar que x 1 x+2 lim f ( x ) = 1 y que lim g( x ) = por lo que podemos aplicar el teorema anterior. f (x ) =x 2 x 2

lim 2x + 1 x + 2 L = lim = e x 2 x 2 x 1

x

2 x +1 x 1 . x 1 x + 2

L=e L=e

x 2

x +2 x lim . x 1 x + 2

x 2 x 1

x lim

Lo que finalmente resulta: L = e 3

2

Pregunta 2

fx 1

es una funcin definida por

f (x ) =

x 4 + ax 2 x + b , si se sabe que x 2 3x + 2

lim f ( x ) = 2 , hallar los valores de a y b.

Resolucin

Tenemos:

f (x ) =

x 4 + ax 2 x + b (x 1)(x 2)

Ntese que esta funcin tiene por dominio R { , 2} , por lo que en x = 1 no se 1

encuentra definida. Al llevar al lmite esta funcin, cuando x 1 , el denominador se hace cero y el numerador a + b . Dado que no conocemos a ni b se podran presentar dos casos: i) Si a + b es diferente de cero, el lmite resultara la fraccin tiende al infinito. ii) Si a + b es igual a cero, el lmite resultara la fraccin forma indeterminada.

a+b que 0

0 que es una 0


De acuerdo al dato, el lmite cuando x 1 existe y es igual a 2 . Por tanto no es posible el primer caso y si el segundo caso. Esto implica que al levantar la indeterminacin del caso ii) debemos llegar al lmite 2 . Como sabemos una indeterminacin del tipo

0 se levanta simplificando el 0 factor generador del cero, en este caso x 1 . En el denominador es notorio este factor. En el numerador lo buscamos al factorizar con la ayuda de la regla de Ruffini.Numerador: x 4 + ax 2 x + b1 1 1 0 1 1 a 1 a+1 -1 a+1 a b a b+a

Esto implica que:

a+b=0

(I)

Y que el numerador factorizado es:

(x 1)(x 3 + x 2 + (a + 1)x + a )

Luego, la funcin se puede reescribir como:

f (x ) =

(x 1)(x 3 + x 2 + (a + 1)x + a ) (x 1)(x 2)x 3 + x 2 + (a + 1)x + a x2x1

f (x ) =

Por lo que al evaluar el lim f ( x ) tenemos:

lim f (x ) =x 1

2a + 3 1

Lo que, de acuerdo al dato, debe ser igual a 2 .

2a + 3 = 2 1

a=

1 2 b= 1 2

Reemplazando en (I):


Pregunta 3

Si lim x 2 + ax + b x = 2 , hallar el valor de a.x +

[

]

Resolucin

Tenemos el lmite L = lim x 2 + ax + b x que toma la forma indeterminadax +

[

]

.Por dato dicho lmite es 2 , por lo que es posible levantar la indeterminacin. Multiplicamos y dividimos por la conjugada de la expresin dada.

L = lim x 2 + ax + b x .x +

[

] [[ x x

2 2

+ ax + b + x

] + ax + b + x ]

Aplicamos diferencia de cuadrados:

L = limx +

(x 2 + ax + b) ( x 2 ) x 2 + ax + b + xax + b x + ax + b + x2

L = limx +

Este ltimo lmite toma la forma indeterminada

, por lo que dividiremos numerador y denominador por la variable de mayor grado en la expresin racional, en este caso x :ax + b x x 2 + ax + b + x x

L = limx +

L = limx +

b x x 2 + ax + b +1 x2 a+a+

b x L = lim x + a b 1+ + 2 +1 x x

Llevando al lmite obtenemos:

L=

a 2


Y, de acuerdo con el dato:

a =2 2a=4

Pregunta 4

Si f ( x ) =

x + 1 g(x ) = limh 0

f ( x + h) f ( x ) , hallar E = g(0) g(3) h

Resolucin

Tenemos: Entonces Luego,

f (x ) =

x +1 x + h +1

f ( x + h) =

g(x ) = limh 0

x + h +1 x +1 h

el cual tiene la forma

0 0

Buscaremos en el numerador y denominador el factor generador del cero. Como h 0 , dicho factor es h 0 , es decir h . Multiplicamos - numerador y denominador por la conjugada del numerador. g( x ) = limh 0

[ x + h + 1 x + 1] [ x + h + 1 + x + 1] . h [ x + h + 1 + x + 1]

Aplicando diferencia de cuadrados:

g( x ) = limh 0

[(x + h + 1) ( x + 1)] h [ x + h + 1 + x + 1] h h [ x + h + 1 + x + 1]

g( x ) = limh 0

Simplificando:

g( x ) = limh 0

1 x + h +1 + x +1 1 x +1 + x +1 1 2 x +1

Llevando al lmite: g(x ) =

g( x ) =


Nos piden:

E = g(0) g(3)E= E= 1 1 2 4 1 4

Pregunta 5

Si lim

f (x ) x + x + 3x2

x +

= 5 , lim

x +

g( x ) 2x + 3 = 3 , hallar: lim x + f ( x ) g( x )

Tenemos:

x +

lim

f (x ) x + x + 3x2

= 5

(I)

x +

lim

2x + 3 =3 g( x )

(II)

Multiplicando (I) y (II):

2x + 3 f (x ) lim lim . x + = (5)(3) 2 x + g( x ) x + x + 3x f (x ) 2x + 3 lim . = 15 2 x + x + x + 3 x g( x ) f (x ) 2x + 3 lim . = 15 x + g( x ) x 2 + x + 3x

Lo que es equivalente a:

f (x ) 2x + 3 Por propiedad de lmites: lim lim = 15 . x + 2 x + g( x ) x + x + 3x

()

Llamemos L 1 al lmite:

L 1 = lim

2x + 3 x + x + 3x2

x +

Evaluando:

Dividimos numerador y denominador por x:3 x 2 x +x +3 x 2+

L 1 = lim

x +


L 1 = lim

x +

3 x 2 x +x +3 x2 2+2+ 1+ 3 x

L 1 = lim

x +

1 +3 x

lo que llevado al lmite resulta:

L1 =

1 2

Reemplazando en ():

x +

f (x ) 1 lim . = 15 g( x ) 2 f (x ) = 30 g( x ) g( x ) 1 = f (x ) 30

x +

lim

Entonces:Pregunta 6

x +

lim

3x 1 x 2 = 4 , hallar el valor de a Si lim x 2 x+3 Resolucin

a

Tenemos:

3x 1 x 2 L = lim x 2 x+3

a

Donde al considerar f (x ) =x 2 x 2

3x 1 a y g(x ) = , podemos comprobar que x+3 x2 lim f ( x ) = 1 y que lim g( x ) = y por tanto aplicar el teorema aplicado en los

ejercicios 1k y 1l.lim 1 . 3x 1 x 2 L = lim = e x 2 x + 3 x 2 x 2 x+3 2( x 2 ) a . lim x +3 x 2 a 3 1 a

L=e L=e

x 2

x 2 x + 3

2a lim

Lo que resulta:2a

L=e5

2a

Del dato, este lmite es igual a 4:

e5 =4


2a = ln 4 5 a=Pregunta 7

5 ln 4 2

Si lim x 2 + ax + 2 xx +

(

)

bx + 3

= e 2 , hallar los valores de a y b.

Resolucin

Tenemos:

L = lim x 2 + ax + 2 xx +

(

)

bx + 3

(I)

el cual tiene la forma: ( ) Sean f ( x ) = x 2 + ax + 2 x y g(x ) = bx + 3 Si b 0 es fcil comprobar que lim g( x ) = , mientras que el lmite de f (x )x +

toma una de las formas indeterminadas: L 1 = lim f ( x ) = . Buscaremosx +

levantar esta indeterminacin.L 1 = lim f (x ) = limx + x +

(x

2

+ ax + 2 x

)

Multiplicamos y dividimos por la conjugada:

L 1 = lim x 2 + ax + 2 xx +

(

) (( x x)

2 2

) + ax + 2 + x )+ ax + 2 + x

L 1 = lim

((x

x +

(x

2

+ ax + 2) x 2 )2

+ ax + 2 + x

L 1 = lim

ax + 2 x 2 + ax + 2 + x

x +

evaluando:

L1 =

(a > 0 )

Dividimos numerador y denominador por x2 x x 2 + ax + 2 +1 x a+

L 1 = lim

x +

L 1 = lim

x +

2 x x 2 + ax + 2 +1 x2 a+www.grupolamatriz.com

2 x L 1 = lim x + a 2 1+ + 2 +1 x x a+

llevando al lmite resulta: L 1 =

a 2

Dado que

L 1 = lim x 2 + ax + 2 x =x +

(

)

a 2

y

L 2 = lim (bx + 3) = x +

el lmite

L = lim x 2 + ax + 2 xx +

(

)

bx + 3

a toma la forma L = 2

el cual puede presentar

dos casos para a > 0 : 1er. caso: Sia 1 , entonces el lmite sera infinito o cero. 2

2do. caso:

Si

a = 1 , entonces el lmite sera indeterminado. 2

Descartamos el primer caso ya que por dato el lmite es finito y diferente de cero ( L = e 2 ). Del segundo caso se desprende que a = 2 y el lmite tomara la

forma 1+ por lo que aplicaremos la propiedad mencionada en 1k.

Con a = 2 :

L = lim x 2 + ax + 2 xx +

(

)

bx + 3

= lim x 2 + 2x + 2 xx +

(

)

bx + 3

= e x +

lim x 2 + 2 x + 2 x 1 .( bx + 3 )

L = e x +

lim x 2 + 2 x + 2 ( x +1) .( bx + 3 )

()

Analizaremos el exponente por separado. Sea L 3 = lim x 2 + 2x + 2 (x + 1) .(bx + 3)x +

[

]

L 3 = lim x 2 + 2x + 2 ( x + 1) .x +

[

] [[ x x]

2 2

].(bx + 3) + 2x + 2 + (x + 1)]+ 2x + 2 + (x + 1)

L 3 = lim

[(x

x +

[x2

2

+ 2x + 2) (x + 1)22

+ 2x + 2 + ( x + 1)

] .(bx + 3)

L 3 = lim

[x

x +

[x2

+ 2x + 2 x 2 2 x 12

+ 2x + 2 + ( x + 1) bx + 3

]

] .(bx + 3)

L 3 = lim

x +

x + 2x + 2 + (x + 1)

Dividimos numerador y denominador por xwww.grupolamatriz.com

L 3 = lim

x +

3 x 2 x + 2x + 2 1 +1+ x x b+ b+

3 x L 3 = lim x + 2 2 1 1+ + 2 +1+ x x xL3 = b 2b

Reemplazando en ():

L = e2b

Igualando con el dato original:

e 2 = e2 b =2 2 b=4

Pregunta 8

Dada la siguiente funcin:

3 x + 3 1 a x +6 2 f (x ) = b x3 + c x2 + 5 3

... ... ...

x < 2 x = 2 x > 2

Hallar los valores de a, b y c para que la funcin f (x ) sea continua enx = 2 .

Resolucin

Para que la funcin sea continua en x = 2 se deben cumplir las siguientes condiciones: C1: C2: C3: C1: Existencia de la funcin: f (2) existe. Existencia del lmite:lim f ( x ) existe.x 2

La funcin debe ser igual al lmite:

lim f ( x ) = f (2)x 2

Se cumple, ya que cuando x = 2 , la funcin es igual a b . Es decir:

f (2) = b

(I)


C2:

Se debe cumplir la existencia e igualdad de los lmites laterales. Por izquierda:

3 x + 3 1 0 lim f (x ) = lim a = x 2 x 2 x + 6 2 0

Para levantar la indeterminacin, y por tratarse de radicales, multiplicamos y dividimos la expresin por los factores racionalizantes.[3 x + 3 1] [ x + 6 + 2] [3 x + 3 + 3 x + 3 + 1] lim f (x ) = lim a . . 2 x 2 x 2 [ x + 6 2] [ x + 6 + 2] [3 x + 3 + 3 x + 3 + 1]2

Agrupamos convenientemente: [3 x + 3 1] [3 x + 3 2 + 3 x + 3 + 1] [ x + 6 + 2] lim f (x ) = lim a . . 2 x 2 x 2 [ x + 6 + 2] [ x + 6 2] [3 x + 3 + 3 x + 3 + 1]

Aplicamos diferencia de cubos en los dos primeros trminos del numerador y diferencia de cuadrados en los dos primeros trminos del denominador. [3 x + 3 3 13 ] [ x + 6 + 2] lim f (x ) = lim a . 2 2 x 2 x 2 [ x + 6 22 ] [3 x + 3 + 3 x + 3 + 1] [ x + 2] [ x + 6 + 2] lim f (x ) = lim a . 2 x 2 x 2 [ x + 2] [3 x + 3 + 3 x + 3 + 1]

Simplificamos el factor x + 2 : lim f (x ) = lim a x 2 x 2 x + 3 + 3 x + 3 + 1 x+6 +22

3

Evaluando:lim f (x ) = 4 a 3

x 2

x3 + c c 8 Por derecha: lim+ f ( x ) = lim+ = 2 x 2 x 2 0 x + 5 3Para que la funcin sea continua, este lmite debe ser finito. Dado que al evaluar el lmite, el denominador resulto ser igual a cero, el numerador tambin debera haber resultado cero. Esta es la nica posibilidad ya que correspondera a la forma


indeterminada nmero finito.

0 que al ser levantada nos dara finalmente un 0

Dicho de otro modo, el numerador y denominador deben contener el factor x + 2 . Factorizamos el denominador aplicando la regla de Ruffini. Numerador: x 3 + c1 -2 1 0 -2 -2 0 4 4 c -8 c-8

Se debe cumplir:

c8 =0 c=8

x 3 + c = (x + 2)(x 2 2x + 4)En el lmite dado, reemplazamos el numerador factorizado y al mismo tiempo multiplicamos y dividimos por la conjugada del denominador: lim+ f (x ) = lim+x 2

( x + 2)(x 2 2x + 4) x2 + 5 3

x 2

.

x2 + 5 + 3 x2 + 5 + 3

Diferencia de cuadrados en el denominador: lim+ f ( x ) = lim+x 2

x 2

( x + 2)(x 2 2x + 4)[ x 2 + 5 + 3] ( x 2 + 5) (9)( x + 2)( x 2 2x + 4)[ x 2 + 5 + 3] x2 4

x 2

lim+ f ( x ) = lim+x 2

x 2

lim+ f ( x ) = lim+x 2

( x + 2)(x 2 2x + 4)[ x 2 + 5 + 3] (x + 2)(x 2)

Simplificamos el factor x + 2 : lim+ f (x ) = lim+x 2

x 2

(x 2 2x + 4)[ x 2 + 5 + 3] ( x 2)

Evaluando:x 2+

lim f (x ) = 18


Y dado que los lmites laterales deben ser iguales:

4 a = 18 3 a= 27 2

Finalmente decimos que el lmite lim f ( x ) existe y es igual a -18.x 2

Es decir: C3:

x 2

lim f ( x ) = 18

(II)

lim f ( x ) = f (2)x 2

De (I) y (II):

b = 18


ejercicios limites indeterminados

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