1. Demuestre que cualquier conjunto infinito con la topología cofinita es conexo.

Solución: Demostremos por reducción al absurdo, supongamos que X es un conjunto infinito con

la topología cofinita que es disconexo, así existen conjuntos abiertos no vacios disjuntos y

tal que .Entonces y con conjuntos finitos. Debido que

Y son disjuntos, tenemos, y , entonces y .

Pero entonces tenemos , como es finito entonces es finito,

contradiciendo la hipotesis. Por lo tanto es conexo.

3. Sea una aplicación cuociente. Demuestre que si es conexo para cada

y además Y es conexo, entonces X es conexo. Solución: Demostremos por reducción al absurdo, supongamos que es un conjunto disconexo, así existen conjuntos abiertos no vacios disjuntos y tal que . Debido a que es conexo, además y son mutuamente separables en , entonces (por corolario 26.6 pagina 195 S. Willard, Topología General).

Sea y . Así por la condición (a) tenemos

y como y son abiertos en , entonces por definición de topología cuociente tenemos que y son abiertos en . Además: .

Debido a que es conexo luego , digamos, , luego,

, así,

, por topología inducida en un subespacio además de que y son abierto

en , tenemos que y son conjuntos abiertos en , por

hipótesis es conexo así . Luego

, entonces , contradición. Por lo tanto X no es disconexo así X es conexo. 5. Demuestre que no existe homeomorfismo entre y usando la conexidad (Ayuda: si sacamos un punto de cada espacio, ¿qué sucede?)

Solución: Antes demostremos la siguiente proposición auxiliar

Sea un homeomorfismo entre dos espacios topológicos y . Entonces es homeomorfismo.

Demostración: Sea un homeomorfismo entre dos espacios topológicos y claramente es biyectiva. Sabemos por teorema demostrado en clases que

es continua, además gracias a la identidad

, tenemos que es

continua. Por lo tanto es un homeomorfismo. Volvamos al problema 5, Supongamos que existe un homeomorfismo . Si aplicamos la proposición anterior (en esta

afirmación use la ayuda). Además es conexo, debido a que la conexión es una propiedad invariante topológica, es un espacio conexo. Por otra parte

de lo que se desprende que es

disconexo, contradicción. Así es falso la suposición, luego no existe un homeomorfismo entre y .

7. Considere el espacio cuociente de por la relación

para todo Demuestre que es conexo y compacto.

Solución: Primero probare que es conexo. Afirmamos que es conexo, para esto

definamos la siguiente función continua y sobreyectiva por así . Entonces es la imagen continua del espacio conexo

[0,1], y así es conexo (por ejercicio 18 de esta lista). Afirmo que es conexo, así

, cuyos intervalos tiene intersección no vacía, así es conexo (a) (por proposición auxiliar del problema 13) Ahora presentare una proposición auxiliar y su posterior demostración: Si son espacios conexos entonces es conexo: Demostración: Supongamos que es disconexo, así existen conjuntos abiertos no vacios disjuntos y tal que . Debido a que claramente y

para todo , y a que la conexión es una invariante topológica tenemos que y son conexos. Ahora y

así es conexo por proposición auxiliar del problema 13. Podemos escribir, para algún fijo Dado que

, así nuevamente por proposición auxiliar del problema 13 tenemos

que es conexo (b) Gracias y es conexo. Sea Por

definición de aplicación cuociente esta es continua y sobreyectiva, así es conexo (por 18 de esta tarea). Consideremos para todo . En otra notación (me agrada más por herencia de algebra abstracta). Si restringimos la aplicación cuociente inducida por al conjunto tenemos que la imagen de esta es en efecto pues para ,

como y son enteros arbitrarios luego existen tal que . Como es una aplicación continua, también lo es , como la

compacidad se mantiene por aplicaciones continuas (ejercicio 21 tarea de compacidad),

así tenemos que [0,1]) es compacto.

9. Sea con la topologia usual y suponga que A es conexo. Demuestre que si a; b A y a < c < b, entonces c A. Esto demuestra que los subconjuntos conexos de R son los intervalos. Solución: sea A es conexo, y supongamos que c A. Entonces la

intersección de con y con es una disconexión de , en efecto

{c})= donde y

son conjuntos abiertos disjuntos en A. Así conseguimos una contradicción, entonces

c A. Ahora sea un un subconjunto de con la topología usual que es conexo y

supongamos que no es un intervalo. Entonces deben existir puntos tal que el

intervalo no está contenido en A; así debe existir un punto tal que y

, ya sabemos por la proposición previamente demostrada que estas hipótesis implican

absurdo, Así los subconjuntos conexos de R son los intervalos.

11. Sea un espacio topológico con la propiedad que dado cualquier y cualquier

vecindad abierta de existe una vecindad de tal que está propiamente contenida en

y es conexo. Entonces X es conexo.

Solución: Demostremos por reducción al absurdo, supongamos que es un conjunto disconexo,

así existen conjuntos abiertos no vacios disjuntos y tal que . Así si equivale

a o bien . Supongamos que , así es una vecindad abierta de x, por hipótesis

existe una vecindad de tal que está propiamente contenida en H, así , digamos

existe algún . Por hipótesis es conexo tenemos que o bien

. Debido a que ,

como , luego . Por otra parte

, así , la opción queda rechazada pues ,

quedando la opción . (pues ), entonces (pues ).

Por otra parte , así , contradicción, luego, es conexo.

13. Sea una sucesión de subconjutos conexos de un espacio topológico tales que

para cada n. Demuestre que es conexo.

Solución: Realizaremos la demostración de la proposición 13 mediante inducción, pero antes

realizaremos la prueba de una proposición auxiliar.

Sea un espacio topológico,, una colección de conjuntos conexos con y

entonces es conexo.

Demostración: supongamos que E es disconexo, así donde y son mutuamente

separables en , dado que cada es un subconjunto conexos en para cada , tenemos que

o bien . Dado que los no son disjuntos, mientras y si son disjuntos,

debemos tener para todo o bien para todo . Entonces ,

así . Así no puede ser la unión de dos conjuntos mutuamente separables en ,

pues uno de aquello es vacio, así E es conexo.

es conexo, supongamos es conexo(hipótesis inductiva). Por demostrar que

es conexo, observemos que

pues , de esta forma usamos la proposición auxiliar y resulta

que es conexo.

15. Demuestre que es conexo.

Solución: Para demostrar que es conexo demostrare que es conexo por caminos (se está usando el teorema 27.2, pagina 197 S.Willard,Topología General).

Por otra parte, Observación: usare la siguiente notación y Asi se tienen 7 combinaciones posibles de coordenadas que cumple la condición de

, demostremos en cada caso que el espacio en estudio es conexo por camino.

Caso 1: o } o }, todos estos caso podemos

resumirlos en: y con irracional y reales arbitrarios; además fijemos un

irracional . Ilustraremos mediante una figura el camino contenido íntegramente en

.

Se observa que en la figura anterior que cada camino tiene al menos una coordenada irracional o bien Expresemos analíticamente la situación,

Como , , , y , es un camino de a , , es un camino de a y , es un camino de a . Entonces la función definida por:

es un arco de a .

Caso 2: o }, todos estos caso podemos resumirlos en:

y con irracional y reales arbitrarios; además fijemos un irracional .

Ilustraremos mediante una figura el camino contenido íntegramente en .

Se observa en la figura anterior que cada camino tiene al menos una coordenada irracional o bien . Expresemos analíticamente la situación,

Como , , , y , es un camino de , , es un camino de a y , es un camino de Entonces la función definida por:

es un arco de a . Caso 3: es decir: y con irracional y racionales.

Ilustraremos mediante una figura un camino contenido íntegramente en .

Se observa en la figura anterior que cada camino tiene al menos una coordenada irracional o bien Expresemos analíticamente la situación,

Como , , y , es un camino de , , es un camino de a Entonces

la función definida por:

es un arco de a . Caso 4: , es decir, y con irracional y racionales.

Ilustraremos mediante una figura el camino contenido íntegramente en .

Se observa en la figura anterior que cada camino tiene al menos una coordenada irracional o bien Expresemos analíticamente la situación,

Como , , y , es un camino de , , es un camino de a Entonces

la función definida por:

es un arco de a . Gracias a los cuatros casos, tenemos que para dos puntos cualesquiera de ,

existe una función continua tal que , así es conexo

por camino, luego es conexo.

17. Demuestre que el espacio de la parte (d) del ejercicio anterior no es localmente conexo.

Solución: sea { con la topología usual inducida de

se demostrara que X no es localmente conexo mediante la reducción al absurdo. Se supondrá

que es localmente compacto. Como , entonces existe una base de vecindades abiertas

y conexa, digamos (colección de todas las bolas abiertas de

centro y radio Sea la cual es una vecindad de .

Entonces por definición de base de vecindades existe un conexo tal que .

Nuevamente como es una base de vecindades tenemos que existe tal que

. Sea tal que

y sea la recta

Esta recta no corta a , en efecto pues,

así

, pero este punto no pertenece a . Así la recta no corta a (pues

) pero lo divide en dos conjuntos abiertos no vacios disjuntos. Entonces

Así es disconexo, contradicción. Luego X no es localmente compacto.

19. Demuestre que un conjunto no enumerable con la topología del complemento enumerable

es conexo.

Sea es un conjunto no enumerable con la topología complemento enumerable. Por otra

parte sean y dos abiertos no vacios arbitrarios de , entonces and son

enumerables. Así debe existir un elemento (pues X no es enumerable) que no está en

X\O ni en X\G, entonces x está en y también en . es decir . Así dos conjuntos

abiertos en jamás serán disjuntos, luego no puede escribirse como la unión de dos

abiertos no vacios disjuntos, es decir X es conexo.