31

KREU II

KONSIDERATA MBI FLUIDODINAMIKN NUMERIKE (C.F.D.) ME REFERENC N MOTORRAT ME DJEGIE T BRENDSHME

2.1 HYRJE

Ekuacionet diferencial q prshkruajn fenomenet e fluidodinamiks jan t zgjidhshm analitikisht vetm n nj numr shum t kufizuar rastesh ku kushtet kufitare jan shum t thjesht. N prgjithsi nuk sht e mundur t gjendet nj zgjidhje analitike kshtu q lind nevoja e metodave prafruese t tipit numerik, q paraqesin t vetmen rrug praktike.

Zgjidhja analitike e nj shprehje konsiston n llogaritjen e sakt t vlers s t panjohurs n t gjith pikat e zons n shqyrtim. Duke aplikuar nj metod numerike, prkundrazi, do t thot t heqsh dor nga marrja e rezultateve n pafundsin e pikave t zons por duhet t knaqesh me rezultatet e nj numri t fundm pikash, t quajtura nyje, t prcaktuara me kritere q varen nga metoda numerike e zgjidhur. Proesi me an t t cilit zgjidhen nyjet e zons dhe ekuacionet nga t cilt merren zgjidhjet e prafrta quhet diskretizim.

Kategorit e metodave numerike jan t pafundme. Megjithat, si rezultat e aplikimit t proedurs s diskretizimit, arrihet gjithnj nj sistem ekuacionesh linear zgjidhja e t cilit konsiston n marrjen e vlerave t prafrta t t panjohurs n nyjet e zgjedhura gjat diskretizimit t problemit. N fakt, nqoftse rrjeti kordinativ nuk sht ndrtuar si duhet ose nse kushtet kufitare pr parametrat e rrjedhjes nuk jan vendosur saktsisht, rezultatet mund t jen krejtsisht t gabuara (engel et al, 2005). Prandaj qllimi ktij kreu sht t tregoj rrugn sesi ndrtohet nj rrejt kordinativ, prcaktimi kushteve fillestare dhe ato kufitare, diskretizimi hapsinor dhe diskretizimi i ekuacioneve baz. 2.2 MODELI FIZIK

Proesi m kritik i nj simulimi numerik sht prcaktimi i modelit fizik m t prafrt pr studimin e nj problemi real t veant. Zgjidhja m e mir e mundshme sht ajo e adoptimit, t paktn pr nj studim paraprak, t modelit m t thjesht t mundshm pr at problem, por q na jep rezultate t knaqshme. Pr shembull, gjeometria dhe kushtet kufitare mund t adoptojn nj model t thjesht dydimensional pr t studiuar nj problem q realisht

32

sht tredimensional. Nj shembull tjetr sht ai i prafrimit t nj problemi real q sht jostacionar me nj problem fizik stacionar. 2.3 MODELI MATEMATIK 2.3.1 Ekuacionet e bilancit

Modelet matematike q prshruajn rrjedhjet e fluideve si dhe transmetimin e mass dhe nxehtsis prcaktohen nga parimet e ruajtjes s mass, sasis s lvizjes dhe energjis. Kto modele pr rrjedhje njprmasore n terma t ekuacioneve diferenciale jepen si mposht:

Ruajtja e mass (ekuacioni i vazhdueshmris)

0 =

+

i

i

xU

t (2.1)

Ku sht densiteti i fluidit, Ui sht komponentja e shpejtsis mesatare n drejtimin xi.

Ruajtja e sasis s lvizjes

( ) ii

j

j

ieff

jij

jii gTTxU

xU

xxP

xUU

tU +

+

+

=+

0

(2.2)

Ku Uj sht komponentja e shpejtsis sipas drejtimit xj, p sht presioni mesatar, eff sht viskoziteti efektiv, sht koefienti i zgjerimit termik t fluidit, T0 sht temperatura n pikn e referimit, T sht temperatura mesatare dhe gi sht nxitimi i rnies s lir n drejtimin xi. Termi i fundit i ekuacionit (2.2) paraqet termin e pluskimit. Efektet e turbulencs paraqiten nga viskoziteti efektiv si shum e viskozietit turbulent, t, dhe atij laminar, : eff = t + (2.3)

Ruajtja e energjis

Pr prcaktimin e shprndarjes s temperaturave dhe termave t pluskimit n ekuacionin (2.2), sht e nevojshme zgjidhja e ekuacioonit t energjis:

pjeffT

jj

j

cq

xT

xxTU

tT +

=

+

, (2.4)

33

ku T,eff sht koefienti efektiv i difuzionit pr T, q sht burimi i nxehtsis dhe cp sht nxehtsia specifike.

Ekuacionet diferencial (2.1), (2.2), (2.4) mund t shkruhen n form t prgjithshme si m posht:

,

Sxxx

Ut j

effjj

j +

=

+ (2.5) ku paraqet madhsin skalare q transmetohet nga fluidi n lvizje. Termat e pranishm n ekuacionin diferencial t prgjithshm prcaktohen si: termi jo-stacionar, termi konvektiv, termi difuziv dhe termi burim. Gjithka q n nj ekuacion bilanci nuk mund t hyj si term konvektiv ose difuziv prgjithsisht futet n termin e burimit. Bjn prjashtim nga ky rregull ekuacionet e sasis s lvizjes. Faktikisht, n kt rast termi n t cilin shfaqet presioni nuk futet n brendsi t termit t burimit prderisa presioni ashtu si shpejtsia sht nj madhsi variable e varur.

Ekuacioni (2.1) sht nj ekuacion skalar ndrsa ekuacioni (2.2) sht nj ekuacion vektorial, t dy s bashku formojn nj sistem ekuacionesh pr rastet e flukseve pa transmetim nxehtsie. Ndrsa kur merret parasysh dhe transmetimi i nxehtsis athere n kt sistem shtohet dhe ekuacioni i energjis (2.4). Ndrsa pr rastet e flukseve t shtypshm shtohet si i panjohur densiteti , kjo gj detyron q n sistemin e ekuacioneve t msiprm t shtohet dhe ekuacioni i gjendjes:

p/=RT (2.6)

ku R sht konstantja karakteristike e fluidit. Zgjidhja e ekuacioneve (2.1), (2.2), (2.4), (2.5) na jep nj shprndarje t

plot t parametrave t fluksit t fluidit n studim. N kt sistem ekuacioesh ka vetm nj parametr t panjohur, koefienti i viskozitetit turbulent t, q llogaritet me mnyra t ndryshme sipas modelit t turbulencs s adoptuar. Pr shembull n modelin e turbulencs k-, t, jepet:

2

kCt = (2.7)

ku C merr nj vler t ndryshme n baz t modelit k- t turbulencs t prdorur, k sht energjia kinetike turbulente dhe sht treguesi i shprndarjes s energjis kinetike turbulente.

34

2.3.2 Kushtet fillestare dhe ato kufitare Nj nga vshtirsit kryesore n zgjidhjen numerike t problemeve t

fluidodinamiks sht trajtimi i kushteve fillestare dhe atyre kufitare pr nj grup t dhn ekuacionesh duhet t prcaktohen kushte q prshteten me natyrn fizike t problemit me qllim marrjen e nj modeli matematik t sakt, t karakterizuar nga nj zgjidhje e vazhduar. Kushtet fillestare mund t shkruhen:

)()0,( 0 ii xtx == (2.8)

Nj mnyr konize pr prcaktimin e kushteve n nj kufi t prgjithshm sht ajo e vendosjes s formuls s mposhtme:

C

nBA =

+ (2.9) ku n sht treguesi normal me drejtimin e kufirit. Duke zgjedhur A=1 dhe B=0 merren kushtet e Dirichlet (ose t llojit t par), ku specifikohen vlerat skalare t n kufi; duke marr A=0 dhe B=1 merrren kushtet e Newmann (ose t llojit t dyt), ku specifikohen vlerat e flukseve difuziv n kufi. Kufijt e nj zone n shqyrtim jan normalisht tre llojesh: kufij pa kalim t fluidit, kufij me flukse hyrse t fluidit (inflow boundaries) dhe kufij me flukse dalse t fluidit (outflow boundaries).

Pr ato pjes t kufijve ku fluidi hyn n zonn n shqyrtim duhen dhn gjith vlerat e n hyrje, prve presionit n rastin e flukseve subsonike. Meqnse shpejtsia dhe gjith variablet e tjera jepen mund t llogariten gjith flukset konvektive. Flukset difuzive nuk dallohen n hyrje, por barazohen me zero ose prafrohen n mnyr oportune. Pr pjest e zons kufitare ku fluidi del nga zona normalisht nuk njihen as vlera e dhe as vlera e flukseve difuzive. N flukset dalse ka nj mundsi q t barazohen me zero gjith derivatet n drejtimin e rryms. Ky kusht prdoret shpesh n flukset stacionare por nuk sht i prdorshm n flukset jostacionare. N kt t fundit sht m mir t zvendsojm kt kusht me nj kusht konvektiv jostacionar t tipit:

0 =

+

nu

t n (2.10)

ku un sht shpejtsia e pavarur nga pozicioni n siprfaqen e daljes, e zgjedhur n mnyr q t knaq ruajtjen globale t mass. Pr nj kufi n t cilin nuk ka

35

as hyrje dhe as dalje t fluidit, fluksi konvektiv prkufizohet i barabart me zero. N kt rast mund t prdoren kushte t llojit t par ose t dyt pr .

Kushtet kufitare pr presionin krkojn nj vmendje t veant. Normalisht ekuacioni i presionit krkon kushte kufitare n t gjith kufijt:

0=

np (2.11)

Pr ta br zgjidhjen t vetme presioni duhet fiksuar vetm n nj pik. 2.4 MODELI NUMERIK 2.4.1 Diskretizimi hapsinor

Pr zgjidhjen numerike t ekuacioneve t ruajtjes para s gjithash sht e nevojshme gjenerimi (krijimi) i nj rrjete pra i nj prezantimi diskret t zons gjeometrike ku problemi do t zgjidhet. Rrjeta e ndan zonn n nj numr t fundm nnzonash (element ose vllime kontrolli (qeliza)). Nj rrjet mund t jet:

Karteziane e strukturuar (si n figurn 2.1a); bhet fjal pr nj rrjet t prbr nga familje, reciprokisht ortogonale, drejtzash paralele. Pra duhen numuruar, pra prcaktuar, me numra t njpasnjshm vijat e secils familje, ose n rastin e vllimeve t fundme, qelizat e prcaktuara nga kto vija. Metodat e llogaritjes t bazuara n kto lloj rrjetash jan m t thjeshtat pr tu implementuar dhe m efikaset nga pikpamja llogaritse.

Vijprkulur t strukturura (si n figurn 2.1b); n kt rast rrjeta sht e prbr nga familje vijash vijprkulur, n t cilat do vij e nj familjeje nuk ndrpret asnjeher nj vij t t njjts familje dhe ndrpret vetm nj her vijat e familjeve t tjera. Nga pikpamja llogjike jan identike me rrjetat Karteziane, megjithse jo-ortogonaliteti i tyre shton shum vshtirsit gjat implementimit, ksisoj m shum kostot llogaritse. N krahasim me t parat karakterizohen nga nj fleksibilitet m i madh gjeometrik.

T pastrukturuara (sin n figurn 2.1c); sht rrjeta m fleksible, ksisoj m e prshtatshmja pr gjeometri komplekse. Zona ndahet n element ose qeliza t formave nga m t ndryshmet, m shpesh trekndore ose katrkndore n dydimensional, tetraedri ose hekzaedr n tre-dimensional. Prve fleksibilitetit gjeometrik, avantazhi i ktyre lloj

36

rrjetave sht thjeshtsia me t ciln kjo u prshtatet zonave me interes. Disavantazhet lidhen me kompleksitetin e madh gjat implementimit dhe kostot shum t mdha llogaritse.

Figura 2.1: Tipologjia e rrjetave: (a) rrjet e strukturua karteziane shum bllokshe; (b) rrjet

e strukturuar vijprkulur njbllokshe; (c) rrjet e pastrukturuar.

N vijim do t shqyrtojm vetm gjeometrin e tipeve t thjeshta, pra katrkndore n 2D dhe paralelopiped n 3D, t diskretizuara prmes rrjetave karteziane t strukturuara. Pasi kemi ndar zonn n qeliza ekuacionet e transportit aplikohen n secilin prej volumeve t kontrollit. N figurn 2.2 parqiten respektivisht dy volume tipike t kontrollit, pr rastin 2D dhe at 3D.

N pikat e nyjeve (qendrat e vllimeve t kontrollit) prcaktohen parametrat m t rndsishm t fluidit. N veanti, variablat q lidhen me ruajtjen e mass dhe t energjis (presioni, temperatura, densitetietj.) prcaktohen n pikat e nyjeve t rrjets, ndrsa variablat q lidhen me ruajtjen e sasis s lvizjes (komponentet e shpejtsis u, v, w) prcaktohen n pikat ekstreme t vllimeve t kontrollit t rrjets. Kjo proedur diskretizimi quhet radhitje e shkallzuar (staggered) t variablave n rrjet (figura 2.3); avantazh m i madh n prdorimin e ktij konfiguracioni qndron n akopjimin e madh mes shpejtsis dhe presionit.

Kjo na ndihmon pr t penguar disa probleme gjat konvergjencs dhe oshilacionit n fushat e presionit dhe t shpejtsis. Nj avantazh shtes n prdorimin e staggered grid sht q komponentet e shpejtsis dhe variablat skalare lokalizohen ekzaktsisht atje ku duhen, respektivisht n faqet e vllimeve t kontrollit ose n pikat nodale t rrjets.

37

Figura 2.2: Vllimi i kontrollit pr rrjetat Karteziane: (a) 2D; (b) 3D.

Figura 2.3: Radhitja e shkallzuar (staggered) e variablave n rrjet

2.4.2 Diskretizimi i ekuacioneve

Integrimi i ekuacionit t prgjithshm t transportit (2.6) n nj vllim kontrolli jep shprehjen e mposhtme:

+

=

+

V V V Vjeff

jj

j dVSdVxx

dVxU

dVt ,

(2.12)

secili term i ekuacionit (2.12) integrohet vemas dhe kshtu kombinohet me ekuacionin final t diskretizimit. Pr termin jo-stacionar kemi: ( ) =V P

oldPP Vt

dxdydzt

, (2.13)

38

ku VP sht vllimi i qelizs, P sht vlera e varibls skalare n momentin e dhn, P,old sht vlera e matur n kohn e mparshme, t sht intervali i kohs. Q nga momenti kur vllimi i kontrollit formon nj siprfaqe t mbyllur, integrali i volumit mund t transformohet n nj integral siprfaqeje (Teorema e Gauss). Kshtu integrimi i termave konektiv na jep:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ==A

wweewewe FFAUAUdydzUU (2.14)

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ==A

ssnnsnsn FFAVAVdxdzVV (2.15)

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ==A

bbttbtbt FFAAWdxdyWW W (2.16)

ku Fi (i = e,w,n,s,t,b) paraqet fluksin konektiv dhe indeksi e sht pr +x, w pr x, n pr +y, s pr y, t pr +z, b pr z. Pr rizgjidhjen e integraleve t termave konvektiv skema m e thjesht q mund t adoptohet sht e ashtuquajtura skema Upwind (Upwind Difference Scheme), e quajtur kshtu sepse prcakton vlern e n t njjtn faqe me at t nyjes s siprme: ( )( ) 0nv se 0nv se

=

eE

ePe (2.17)

dhe ksisoj integrimi i termave konektiv na jep: ( )PwWwEePewwee FFFFFF 0,0,0,0, = (2.18) ( )PsSsNnPnssnn FFFFFF 0,0,0,0, = (2.19) ( )PbBbTtPtbbtt FFFFFF 0,0,0,0, = (2.20) ku ),max(, yxyx = . Integrimi i termave difuziv na jep:

( ) ( )WPwP

wwPE

A PE

ee

we xxA

xxAdydz

xx =

(2.21)

)()( WPwPEe DD =

39

( ) ( )SPSP

ssPN

A PN

nn

sn yyA

yyAdxdz

yy

=

(2.22)

)()( SPsPNn DD = ( ) ( )BP

BP

bbPT

A PT

tt

bt zzA

zzA

dxdyzz

=

(2.23)

)()( BPbPTt DD = ku koefientt e difuzionit paraqesin mesataret aritmetike ose harmonike pr dy qelizat fqinje. S fundmi, termi i burimit mund t integrohet dhe ksisoj t linearizohet si vijon: ==V

P SSVSdxdydz (2.24)

PPC SSS += (2.25) Ekuacionet prfundimtare t diskretizuara jan:

ColdPTBBTTSSNNWWEEPP Saaaaaaaa +++++++= ,' (2.26) PTBTSNWEP Saaaaaaaa ++++++= ' (2.27)

ku koefientt jepen n Tabeln 2.1.

Ekuacinet (2.26) dhe (2.27) jan t vlefshme pr shum skema diferenciale si ajo Upwind, qndrore, hibrid dhe power low. Skema upwind sht nj skem e rendit t par; ajo garanton mungesn e oshilacioneve por fut nj difuzion t madh numerik q i shtohet flukseve t vrtet difuziv, q sjell alternimin e zgjidhjeve. Rendi i saktsis t skems prcaktohet nga gabimi i prerjes s seris Taylor. Prdorimi i nj skeme m t prshtatshme t nj rendi m t lart si ajo QUICK (Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinetics) redukton difuzionin numerik por mund t shkaktoj oshilacione jo fizike t zgjidhjes. Skema Quick prdor m shum qeliza t afrta (fqinje). Ekuacioni prfundimtar i diskretizuar sht:

ColdoldPTToldPTBBBBTTTTBBTTSSSS

NNNNSSNNWWWWEEEEWWEEPP

Saaaaaaaaaaaaaaa

++++++++++++++=

,,'

,'

(2.28)

PTT

TBBTTBTSSNNSNWWEEWEP

Saaaaaaaaaaaaaaa

+++++++++++++=

'

'

(2.29)

ku koefientt jan dhn n Tabeln 2.1.

40

Ekuacinet algjebrike t marra nga diskretizimi i ekuacineve t Navier-Stokes zgjidhen n mnyr sekuenciale ose vemas, nj varibl pas tjetrit; n kt rast zgjidhja vazhdon, pr do variabl, duke ngrir t tjerat me kalimin e kohs ose prsritjet (iteracionet) e mparshme (sht e mundshme dhe nj zgjidhje e rreme e ekuacioneve t diskredituara por n kt studim nuk do ta marrim parasysh). Fusha e presioneve nuk ka nj ekuacion transporti, ksisoj duhet llogaritur termi i burimit t presionit n ekuacionin e momentit. Fusha e presioneve mund t merret n mnyr indirekte nga ekuacioni i vazhdueshmris meqnse shpejtsit e llogaritura nga ekuacioni i momentit duhet t knaqin dhe ekuacionin e rujatjes s mass. Vetm vlerat e sakta t fushs s presionit do t na japin vlera korrekte t shpejtsis q knaqin ekuacionin e vazhdueshmris. Pika e nisjes jepet nga vlera e dshiruar e fushs s presionit p*; kjo prdoret pr llogaritjen e komponentve t shpejtsis t quajtura u*, v*, w*. Kshtu fusha e presioneve duhet t jet e sakt n mnyr q dhe fusha e shpejtsive t knaq ekuacionin e vazhdueshmris. Vlera e sakt e presionit jepet: p = p* + p (2.30) ku p paraqet korrigjimin e presionit.

N mnyr analoge mund t prkufizohen dhe shpejtsit si:

u = u* + u v = v* + v w = w* + w (2.31) ku u, v dhe w jan korrigjimet e shpejtsis. Ekuacionet q shprehin korrigjimet e shpejtsis kan nj form analoge me ekuacionet (2.26), (2.27) por n ato neglizhohen termat q paraqesin ndikimin e qelizave fqinj, q nga momenti q duhet prfshir e gjith fusha e flukseve n korrigjimin e presioneve pr do qeliz. Kshtu pra, ekuacinet e korrigjimit t shpejtsis prmbajn vetm termat e burimit t bazuara n korrigjimet e presionit:

)( ''' EPe

ee ppa

Au = . )( ''' NP

n

nn ppa

Av = )( '''' TP

t

tt ppa

Aw = (2.32)

41

Tabela 1.1: Koefientt pr skemat Upwind dhe QUICK

Koefientt Skema Upwind Skema Quick

aE 0,ee FD + 0,810,

860,

83

weee FFFD ++ aEE - 0,

81

eF aW 0,ww FD + 0,

810,

860,

83

ewww FFFD ++ aWW - 0,

81

wF aN 0,nn FD + 0,

810,

860,

83

snnn FFFD ++ aNN - 0,

81

nF aS 0,ss FD + 0,

810,

860,

83

nsss FFFD ++ aSS - 0,

81

sF aH 0,hh FD + 0,

810,

860,

83

lhhh FFFD ++ aHH - 0,

81

hF aL 0,ll FD + 0,

810,

860,

83

hlll FFFD ++ aLL - 0,

81

lF aT TF TF aTT - TTF

Duke zvendsuar korrigjimet e shpejtsis n ekuacionet e ruajtjes s

mass vrejm se ekuacioni i korrigjimit t presionit paraqet nj form t mesme t ekuacionit t prgjithshm t transportit:

CBBTTSSNNWWEEPP Spapapapapapapa ++++++= ''''''' (2.33)

42

ku Sc sht termi i burimit t ekuacionit t vazhdueshmris bazuar n shpejtsit me yll:

******btsnewC mmmmmmS &&&&&& ++=

Zgjidhja e sakt e ekuacioneve t korrigjimit t presionit na jep vlera t

sakta pr fushn e presioneve p. Rrjedhimisht ekuacionet q paraqesin korrigjimin e shpejtsis t komponentve t saj mund t zgjidhen. N kt pik mund t zgjidhen ekuacionet e diskretizuara pr t gjitha variablat e tjera q ndikojn n fushn e fluksit (nqoftse nj variabl e veant nuk ndikon n fushn e fluksit, sht mir t llogaritet pasi t kemi marr nj konvergjim t zgjidhjes pr vet fushn e fluksit). Tentativat (iterration) vazhdojn deri sa zgjidhja t konvergjoj.