el teorema poincare-bendixson

UNIVERSIDAD DE LOS LAGOS

Departamento de Ciencias Exactas

El Teorema de Poincaré-Bendixson

Por: Daniela Jacqueline Cárcamo Díaz

SEMINARIO PARA OPTARAL TÍTULO DE PROFESORDE EDUCACIÓN MEDIA CONMENCIÓN EN MATEMÁTI-CA Y COMPUTACIÓN Y ALGRADO DE LICENCIADO ENEDUCACIÓN

Profesor Patrocinante: Sr. Rigoberto Medina Leyton

Octubre, 2012

Osorno, Chile

Dedicatoria

Dedicado a mi padreJosé Daniel Cárcamo Ortiz

Daniela Jacqueline Cárcamo Díaz

2

Agradecimientos

Agradezco profundamente a mi padre José Daniel Cárcamo Ortiz por su amor y apoyoincondicional. También a mi madre Jacqueline Del Carmen Díaz Leal.

Quiero agradecer a mi hermano menor Miguel Ángel Cárcamo Díaz por todos los mo-mentos de alegría compartidos.

En segundo lugar, quiero agradecer a todos mis amigos y amigas, especialmente a Án-gela Naipil, Susana González, Isabel Caro, Anita Maripán y Macarena Cárdenas por sualegría, comprensión y apoyo. También a todos mis compañeros y compañeras, especial-mente a la promoción 2008 de Pedagogía en Matemática y Computación, porque de cadauno de ellos aprendí y crecí como persona.

En tercer lugar, agradezco a mis profesores de matemática, computación y educación que(en menor o mayor medida) me hicieron crecer académicamente. Especialmente quierodar las gracias a mi profesor guía Sr. Rigoberto Medina Leyton por confiar en mí, porsu apoyo, disponibilidad, honestidad y orientación en todo momento.

Especiales agradecimientos a todos mis alumnos y alumnas de las prácticas profesio-nales, que permitieron desarrollarme profesional y personalmente. De formar particularal Séptimo Básico A y al Primero Medio D del Liceo Carmela Carvajal de Prat deOsorno. Y también a mis profesores guías de las prácticas profesionales, a la ProfesoraAna María Carrasco Duhalde de quién aprendí muchísimo.

Finalmente, este es un momento para mirar atrás y agradecer a todas las personascon quienes directa o indirectamente hemos compartido el camino...

MUCHAS GRACIAS A TODOS.

Daniela Jacqueline Cárcamo Díaz

3

Índice general

Dedicatoria 2

Agradecimientos 3

Índice de Figuras 5

Introducción 7

1 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales. Conceptos Básicos. 101.1 Puntos de Equilibrio de Sistemas de Ecuaciones Diferenciales. . . . . . . 101.2 Caracterización del Comportamiento de las Soluciones de Ecuaciones Au-

tónomas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Propiedades Cualitativas de las Soluciones de Sistemas Autónomos. 262.1 El Plano Fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2 Propiedades Cualitativas de las Órbitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3 Retrato Fase de Sistemas Lineales y Semi-Lineales. . . . . . . . . . . . . 37

3 El Teorema de Poincaré-Bendixson. 533.1 Soluciones Periódicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2 Formulación del Teorema de Poincaré-Bendixson. . . . . . . . . . . . . . 563.3 Discusión y Aplicaciones del Teorema de Poincaré - Bendixson. . . . . . 70

Bibliografía 80

4

Índice de figuras

1.1.1 Gráfica de los valores de equilibrio del sistema (1.1.2). . . . . . . . . . 121.2.1 Concepto de estabilidad para n = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.2 Concepto de inestabilidad para n = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.3 Interpretación geométrica del Teorema 1.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.4 Concepto de estabilidad asintótica para n = 2 . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.1 Gráfica de una solución φ(t) = (x(t), y(t)) de (2.1.1). . . . . . . . . . . 272.1.2 Gráfica de la solución x = cos t, y = sen t. . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.1.3 Gráfica de órbita de la solución x = cos t, y = sen t. . . . . . . . . . . . 292.1.4 Gráfica de órbita de la solución x = e−t cos t, y = e−t sen t. . . . . . . . 292.1.5 Gráfica de órbita de la solución x = 3t+ 2, y = 5t2 + 7. . . . . . . . . . 302.1.6 Gráfica de las órbitas de la solución del sistema (2.1.3). . . . . . . . . . 312.1.7 Gráfica de las órbitas de la solución del sistema (2.1.4). . . . . . . . . . 322.2.1 Gráfica de órbita de la solución del sistema (2.2.3). . . . . . . . . . . . 362.3.1 Gráfica del vector ~x = (x1, x2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3.2 Gráfica de vectores paralelos y antiparalelos. . . . . . . . . . . . . . . . 372.3.3 Regla del Paralelógramo de la adición de dos vectores. . . . . . . . . . 382.3.4 Retrato fase de la ecuación diferencial lineal (2.3.2). . . . . . . . . . . . 392.3.5 Retrato fase de la ecuación diferencial lineal (2.3.3). . . . . . . . . . . . 402.3.6 Retrato fase de la ecuación diferencial lineal (2.3.4). . . . . . . . . . . . 422.3.7 Retrato fase de la ecuación diferencial lineal (2.3.5). . . . . . . . . . . . 432.3.8 Retrato fase de la ecuación diferencial lineal (2.3.7). . . . . . . . . . . . 442.3.9 Retrato fase de la ecuación diferencial lineal (2.3.8). . . . . . . . . . . . 452.3.10 Retrato fase de la ecuación diferencial lineal (2.3.9). . . . . . . . . . . . 462.3.11 Retrato fase de la ecuación diferencial lineal (2.3.11). . . . . . . . . . . 482.3.12 Retrato fase de la ecuación diferencial lineal (2.3.12). . . . . . . . . . . 492.3.13 Retrato fase de la ecuación diferencial lineal (2.3.13). . . . . . . . . . . 502.3.14 Naturaleza y propiedades de estabilidad del punto crítico (0, 0). . . . . 51

3.1.1 Espiral que se aproxima a la circunferencia unitaria x2 + y2. . . . . . . 543.2.1 Representación geométrica del ciclo límite. . . . . . . . . . . . . . . . . 573.2.2 Segmento finito cerrado de una línea recta. . . . . . . . . . . . . . . . . 583.2.3 Diagrama de la Propiedad 3.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.2.4 Diagrama de la Propiedad 3.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.2.5 Diagrama de la Propiedad 3.2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.2.6 Diagrama del Caso I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.2.7 Diagrama del Caso II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5

ÍNDICE DE FIGURAS 6

3.2.8 Diagrama del Caso II, particular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.2.9 Diagrama flechas que indican las intersecciones. . . . . . . . . . . . . . 653.3.1 Dominio M y ciclo límite del sistema (3.3.7). . . . . . . . . . . . . . . 743.3.2 Direcciones del campo vectorial del sistema (3.3.9). . . . . . . . . . . . 753.3.3 Región atractiva para el sistema (3.3.9). . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.3.4 Dominio M para el sistema (3.3.9). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.3.5 Región de existencia de soluciones periódicas de (3.3.9). . . . . . . . . 783.3.6 Soluciones periódicas en el plano fase xy. . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Introducción

Las ecuaciones diferenciales ordinarias constituyen una parte importante del análisis ma-temático, y modelan variados fenómenos de evolución que aparecen en muchas ciencias.Es por ello que históricamente, los esfuerzos científicos se han dirigido a la búsqueda demétodos de resolución algebraicos y numéricos.

Sin embargo, la mayoría de las ecuaciones diferenciales interesantes y aplicables, son nolineales y en general, no se conocen métodos para resolverlas, por ende, no se les puedeencontrar una solución exacta. De este problema surge la necesidad de recurrir a méto-dos alternativos, que permitan el análisis global del conjunto de todas las soluciones delas ecuaciones diferenciales.

En efecto, la forma de abordar la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias sufrióuna revolución a finales del siglo XIX, como consecuencia del artículo “Memoire sur lescourbes définiés par une équation différentielle” publicado por Henri Poincaré entre 1881y 1886.

Es así que, fundamentalmente, con las ideas de Poincaré, se desarrolló la llamada teoríacualitativa de las ecuaciones diferenciales, que consiste en analizar con el mayor detalleposible, las características del comportamiento de las soluciones de las ecuaciones di-ferenciales, es decir, un estudio geométrico global de las propiedades de la familia desoluciones de las ecuaciones diferenciales, sin la necesidad de conocer explícitamente lassoluciones, esto es, sin tener que resolver las ecuaciones diferenciales.

Este Seminario está enfocado a estudiar las propiedades generales de los sistemas di-ferenciales autónomos no lineales, poniendo especial atención en los teoremas de exis-tencia y unicidad, y en el comportamiento de las soluciones de estas ecuaciones cuandot → ∞. Cabe destacar, que la parte medular de este Seminario es el famoso Teoremade Poincaré-Bendixson, el cual juega un papel importante en el estudio del comporta-miento cualitativo de las ecuaciones diferenciales autónomas no lineales y de los sistemasdinámicos definidos sobre <2.

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CAPÍTULO 0. INTRODUCCIÓN 8

Específicamente el problema abordado en este Seminario consiste en el estudio de laestabilidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales autónomas no lineales de laforma:

x = f(x),

donde x = (x1(t), . . . , xn(t)) ∈ <n y f(x) = (f1(x1, . . . , xn), . . . , fn(x1, . . . , xn)) es unafunción no lineal en x1, . . . , xn.

En el caso en que f(x) = Ax, donde A es una matriz cuadrada de orden n concoeficientes reales, usaremos los valores propios de A para obtener una descripcióncompleta de todas las órbitas de la ecuación diferencial lineal de la forma:

x = Ax.

En el caso en que f(x) = Ax + g(x), donde g(x) es pequeño comparado con x,también usaremos los valores propios de A para determinar la estabilidad de lassoluciones de equilibrio de la ecuación diferencial lineal perturbada de la forma:

x = Ax+ g(x).

El estudio de los sistemas lineales y semi-lineales, mencionados anteriormente,nos permitirán realizar un análisis de los sistemas no lineales, el que se centraen encontrar un sistema lineal próximo, cuyo comportamiento en el entorno delpunto de equilibrio pueda extrapolarse al sistema no lineal, lo que nos permitirádeterminar la estabilidad de las soluciones de equilibrio del sistema autónomo nolineal.

Si f es no lineal, en el caso n = 2, usaremos el Teorema de Poincaré-Bendixson paraobtener una descripción completa de todas las soluciones del sistema de ecuacionesdiferenciales autónomas de la forma:

dx1dt

= f1(x1, x2),dx2dt

= f2(x1, x2),

pues este teorema describe en forma precisa la estructura de los conjuntos límitesde dicho sistema. Con más precisión, el Teorema de Poincaré-Bendixson permiteclasificar todos los posibles comportamientos en el espacio de fases en dos dimen-siones para funciones de la clase C1, que tengan un número finito de puntos deequilibrio, los cuales se pueden clasificar en convergencia (divergencia) a puntos deequilibrio u órbitas periódicas, y no existe otro tipo de comportamientos.

Por lo tanto, nuestro objetivo es obtener información cualitativa del comportamientode los sistemas de ecuaciones diferenciales autónomos no lineales, a través del estudiode sus puntos de equilibrio, la estabilidad de las soluciones de sistemas lineales, la es-tabilidad de las soluciones de equilibrio de sistemas lineales perturbados, los retratosfase de sistemas lineales y semi-lineales, las propiedades de existencia y unicidad de las

CAPÍTULO 0. INTRODUCCIÓN 9

órbitas, de la existencia de soluciones periódicas y la clasificación de todos los posiblescomportamientos en el espacio fase en dos dimensiones para funciones de clase C1, quetengan un número finito de puntos críticos.

Por otra parte, este informe está estructurado en tres capítulos que serán descritos acontinuación:

El Primer Capítulo: “Sistemas de Ecuaciones Diferenciales. Conceptos Básicos” intro-duce a la teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales autónomas no lineales, pormedio del estudio de los puntos de equilibrio de sistemas de ecuaciones diferenciales yla caracterización del comportamiento de las soluciones de ecuaciones autónomas, in-dicando los conceptos de estabilidad, inestabilidad y estabilidad asintótica, para luegoestudiar la estabilidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales y estabilidadde las soluciones de equilibrio de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales perturba-dos y autónomos no lineales.

El Segundo Capítulo: “Propiedades Cualitativas de las Soluciones de Sistemas Autó-nomos” realiza un estudio geométrico de los sistemas diferenciales autónomos, a travésdel plano fase, introduciendo los conceptos de órbita o trayectoria de una solución, espa-cio fase y retrato o diagrama de fases. Además se estudian las propiedades cualitativasen términos de la existencia y unicidad de las órbitas y la existencia de soluciones pe-riódicas. También se realiza una completa descripción geométrica de sistemas lineales ysemi-lineales por medio de sus retratos fase en el caso n = 2.

El Tercer Capítulo: “El Teorema de Poincaré-Bendixson” estudia las soluciones periódi-cas de los sistemas de ecuaciones diferenciales autónomos no lineales. Además se realizala formulación del Teorema de Poincaré-Bendixson, introduciendo los conceptos de con-junto Ω-límite, conjunto invariante, transversal de un segmento finito de línea recta, yresultados preliminares, como las propiedades de las transversales y el Teorema de la Cur-va de Jordan, para lograr su comprensión y así proceder formalmente a su demostración.Finalmente se realiza una discusión y aplicación del Teorema de Poincaré-Bendixson, através de ejemplos que ilustran las hipótesis y el resultado de dicho teorema, además dedestacar las extensiones del Teorema de Poincaré-Bendixson.

Cabe destacar que el lector debe tener domimio de un curso básico de ecuaciones di-ferenciales ordinarias, esto es, estudio cuantitativo de las ecuaciones diferenciales deprimer y segundo orden y sistemas de ecuaciones diferenciales. También son necesariosconocimientos en análisis en dos variables reales, geometría del plano y álgebra lineal.

Capítulo 1

Sistemas de EcuacionesDiferenciales. Conceptos Básicos.

1.1. Puntos de Equilibrio de Sistemas de Ecuaciones Dife-renciales.

Este capítulo trata sobre la teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales, que se basaen obtener representaciones gráficas de las soluciones de sistemas de ecuaciones diferen-ciales, o más precisamente de familias de soluciones, es decir, información gráfica sobretipos de soluciones que se engloban en unos objetos llamados órbitas. La justificación deeste enfoque, se origina a finales del siglo XIX, cuando la comunidad matemática pierdetoda esperanza de encontrar soluciones de ecuaciones diferenciales, se resiste del enfoquecuantitativo para las ecuaciones diferenciales, el que muchas veces resultaba tedioso, di-fícil y poco práctico en obtener soluciones incluso de sistemas de ecuaciones diferencialeslineales de primer orden, homogéneo de la forma x = Ax(t), con A matriz constante ytambién no homogéneo de la forma x = A(t)x(t) + f(t), con A matriz variable, de loscuales podemos apreciar por ejemplo los métodos desarrollados por medio del álgebralineal. Ver [2], [3], [4].En este capítulo se analiza cualitativamente la ecuación diferencial

x = f(t, x), (1.1.1)

donde

x =

x1(t)...xn(t)

y f(t, x) =

f1(t, x1, . . . , xn)...

fn(t, x1, . . . , xn)

es una función no lineal de x1, . . . , xn. Desafortunadamente no se conocen métodospara resolver la ecuación (1.1.1). Por supuesto, que esto nos desconcierta mucho. Sinembargo, en la mayoría de las aplicaciones no es necesario encontrar explícitamente lassoluciones de (1.1.1). Por ejemplo, denotemos por x1 y x2 las poblaciones en el tiempot de dos especies que compiten entre sí por el alimento y el espacio vital limitados ensu microcosmos. Supongamos además que las tasas de crecimiento de x1 y x2 están

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CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES. CONCEPTOSBÁSICOS. 11

gobernadas por la ecuación diferencial (1.1.1). En tal caso, no interesan los valores dex1 y x2 en todo tiempo t. Más bien, son de interés las propiedades cualitativas quepresentan x1 y x2. Concretamente, se desea contestar las preguntas siguientes:

1. ¿Hay valores ε1 y ε2 para los cuales ambas especies coexisten en un régimenpermanente? Es decir, ¿existen números ε1 y ε2, para todo t ∈ < tales quex1(t) ≡ ε1, x2(t) ≡ ε2 son una solución de (1.1.1)? Si tales valores existen seles llama puntos de equilibrio de (1.1.1).

2. Supongamos que las dos especies coexisten en equilibrio. Repentinamente, se agre-gan algunos miembros de la primera especie al microcosmos. ¿Permanecerán x1(t)y x2(t) cerca de los valores de equilibrio para todo tiempo futuro? Es posible talvez que los miembros adicionales de la especie uno le den a la misma una granventaja y entonces pueda eliminar a la segunda.

3. Supongamos que x1(t) y x2(t) tienen valores arbitrarios en t = 0. ¿Qué ocurrecuando t tiende a infinito? Triunfará una de las dos especies, o terminará la luchaen un empate.

Más generalmente, también interesa determinar las siguientes propiedades de las solu-ciones de (1.1.1):

1. ¿Existen valores de equilibrio

x0 =

x01...x0n

,para los cuales x(t) ≡ x0 es una solución de (1.1.1)?

2. Sea φ(t) una solución de (1.1.1). Supongamos que ψ(t) es una segunda solucióncon ψ(0) muy cerca de φ(0); es decir, ψj está muy cerca de φj , siendo j = 1, . . . , n.¿Permanecerá ψ(t) cercano a φ(t) para todo tiempo futuro, o divergerá ψ(t) de φ(t)al tender t a infinito? Esta pregunta se conoce como problema de estabilidad . Esel problema más fundamental en la teoría cualitativa de las ecuaciones diferencialesy ha ocupado la atención de muchos matemáticos en los últimos cien años.

3. ¿Qué ocurre con las soluciones x(t) de (1.1.1) cuando t tiende a infinito? ¿Tiendentodas las soluciones a valores de equilibrio? Si no tienden a valores de equilibrio,¿se aproximarán al menos a una solución periódica?.

Es sorprendente que con frecuencia puedan darse respuestas satisfactorias a tales pre-guntas a pesar de no poder resolver explícitamente la ecuación (1.1.1). De hecho, laprimera pregunta puede responderse de inmediato. Observemos que x(t) es igual a cerosi x(t) ≡ x0. Por lo tanto, x0 es una valor de equilibro de (1.1.1) si y sólo si

f(t, x0) ≡ 0.


Ejemplo 1.1.1. El siguiente ejemplo ilustra la forma de determinar todos los valoresde equilibrio del sistema de ecuaciones

dx

dt= x− x2 − 2xy,

dy

dt= 2y − 2y2 − 3xy (1.1.2)

En efecto, [x0y0

],

es un valor de equilibrio del sistema (1.1.2) , si y sólo si

x0 − x20 − 2x0y0 = 0 ∧ 2y0 − 2y20 − 3x0y0 = 0,

es decir,

x0(1− x0 − 2y0) = 0 ∧ y0(2− 2y0 − 3x0) = 0,

entonces tenemos los siguientes casos

x0 = 0 ∧ y0 = 0,

x0 = 0 ∧ y0 = 1,

x0 = 1 ∧ y0 = 0,

x0 =1

2∧ y0 =

1

4.

Por lo tanto, (x = 0, y = 0); (x = 0, y = 1); (x = 1, y = 0); (x = 12 , y = 1

4) sonpuntos de equilibrio del sistema (1.1.2), que se muestran en la Figura 1.1.1.

Figura 1.1.1: Gráfica de los valores de equilibrio del sistema (1.1.2).

La cuestión de la estabilidad es de importancia primordial en todas las aplicacionesfísicas, ya que nunca pueden medirse las condiciones iniciales con precisión, como ocurreen el siguiente ejemplo.


Ejemplo 1.1.2. Consideremos el caso de una partícula cuya masa es 1 kg sujeta a unresorte elástico cuya constante de elasticidad es 1Nm y que se mueve en un medio sinfricción. Además actúa una fuerza externa F (t) = cos 2t sobre la partícula. Denotemospor y(t) la posición de la partícula en relación con su posición de equilibrio. Entonces(d2y/dt2) + y = cos 2t. Haciendo x1 = y, x2 = y′ se transforma esta ecuación de segundoorden en un sistema de dos ecuaciones de primer orden. De manera que

dx1dt

= x2,dx2dt

= −x1 + cos 2t (1.1.3)

Las funciones y1(t) = sen t e y2(t) = cos t son dos soluciones linealmente independientesde la ecuación no homogénea y′′+y = 0. Más aún, −1/3 cos 2t es una solución particularde la ecuación no homogénea. Por lo tanto, cualquier solución

x(t) =

[x1(t)x2(t)

]de (1.1.3) es de la forma

x(t) = c1

[sen tcos t

]+ c2

[cos t− sen t

]+

[−1/3 cos 2t2/3 sen 2t

].

En el instante t = 0 se mide la posición y la velocidad de la partícula y se obtieney(0) = 1, y′(0) = 0. Esto implica que c1 = 0 y c2 = 4/3. Por consiguiente, la posición yla velocidad de la partícula para cualquier instante después, están dadas por la ecuación[

y(t)y′(t)

]=

[x1(t)x2(t)

]=

[4/3 cos t− 1/3 cos 2t−4/3 sen t+ 2/3 sen 2t

]. (1.1.4)

Sin embargo, supongamos que las mediciones permiten un error de magnitud 10−4.¿Permanecerán la posición y la velocidad de la partícula cerca de los valores predichospor (1.1.4)?

La respuesta a esta pregunta tiene que ser sí, pues de lo contrario la mecánica new-toniana no tendría valor práctico. Afortunadamente puede demostrarse, en este caso,que la posición y la velocidad de la partícula permanecen muy cercana de los valorespredichos por (1.1.4).

Denotemos por y(t) e y′(t) los valores reales de y(t) e y′(t), respectivamente. En verdadse cumple que

y(t)− y(t) =

(4

3− c2

)cos t− c1 sen t

y′(t)− y′(t) = −c1 cos t−(

4

3− c2

)sen t

donde c1 y c2 son dos constantes que satisfacen

−10−4 ≤ c1 ≤ 10−4,4

3− 10−4 ≤ c2 ≤

4

3+ 10−4.


Estas ecuaciones pueden escribirse en la forma

y(t)− y(t) =

[c21 +

(4

3− c2

)2]1/2

cos(t− δ1), tan δ1 =c1c2− 4

3

y′(t)− y′(t) =

[c21 +

(4

3− c2

)2]1/2

cos(t− δ2), tan δ2 =43 − c2c1

.

Por lo tanto, y(t) − y(t) e y′(t) − y′(t) están acotadas en valor absoluto por [c21 + (43 −c2)

2]1/2. Esta cantidad es a lo sumo√

2 · 10−4. Por lo tanto, los valores reales de y(t) ey′(t) están realmente cerca de los valores predichos por la ecuación (1.1.4).

Por lo regular es muy difícil resolver el problema de la estabilidad ya que no se pue-de resolver (1.1.1) en forma explícita. El único caso posible de analizar es cuando f(t, x)no depende explícitamente de t; es decir, cuando f es función solamente de x. Las ecua-ciones diferenciales que tienen esa propiedad se denominan autónomas. Aún en el casode ecuaciones diferenciales autónomas hay, en general, sólo dos casos en los que puederesolverse completamente el problema de la estabilidad. El primero es cuando f(x) = Axy el segundo es cuando se tiene interés sólo en la estabilidad de la solución de equilibriode x = f(x) que se tratará en la siguiente sección.


1.2. Caracterización del Comportamiento de las Solucionesde Ecuaciones Autónomas.

En esta sección se estudia el problema de estabilidad para soluciones de ecuacionesdiferenciales autónomas. Sea x = φ(t) una solución de la ecuación diferencial

x = f(x). (1.2.1)

Interesa determinar si φ(t) es estable o inestable. Es decir, si cualquier solución ψ(t)de (1.2.1) que empieza suficientemente cerca de φ(t) en t = 0 permanecerá cercana aφ(t) para todo instante posterior t ≥ 0. Se iniciará con la siguiente definición formal deestabilidad. Ver [2], [4].

Estabilidad según Liapunov:

Definición 1.2.1. Una solución x = φ(t) de (1.2.1) es estable si toda solución ψ(t)de (1.2.1) que empieza cerca de φ(t) en t = 0 permanece cerca de φ(t) para todo tiempofuturo.La solución φ(t) es inestable si hay al menos una solución ψ(t) de (1.2.1) que empiezacerca de φ(t) en t = 0, pero no permanece cerca de φ(t) para todo tiempo futuro. Dichocon más precisión, la solución φ(t) es estable si para toda ε > 0 existe δ = δ(ε) tal que

‖ψ(t)− φ(t)‖ < ε si ‖ψ(0)− φ(0)‖ < δ(ε), ∀t ≥ 0.

Observación 1.2.1. Para una solución estable, la definición ε− δ dice que uno elige elmáximo error ε que se puede tolerar entre ψ(t) y φ(t). El valor δ, el cual depende denuestra elección de ε, dice que tan cerca de φ(0) debe empezar ψ(t) para estar dentrodel error elegido.

La interpretación geométrica de estabilidad e inestabilidad para el caso n = 2, es decir,para un sistema de ecuaciones diferenciales de la forma

dx1dt

= f(x1, x2),dx2dt

= g(x1, x2),

es la que se ilustra en la Figura 1.2.1 y Figura 1.2.2 , respectivamente.

Figura 1.2.1: Interpretación geométrica del concepto de estabilidad para n = 2.


Figura 1.2.2: Interpretación geométrica del concepto de inestabilidad para n = 2.

El problema de la estabilidad puede resolverse por completo para todas las solucionesde la ecuación diferencial lineal

x = Ax, (1.2.2)

con A una matriz no singular de coeficientes constantes de orden n.Esto no es sorprendente, por supuesto, ya que puede resolverse la ecuación (1.2.2) exac-tamente. Se tiene el siguiente teorema de importancia.

Teorema 1.2.1. 1) Toda solución x = φ(t) de (1.2.2) es estable si todos los valorespropios de A tienen parte real negativa.2) Toda solución x = φ(t) de (1.2.2) es inestable si al menos un valor propio de A tieneparte real positiva.3) Supongamos que todos los valores propios de A tienen parte real ≤ 0 y λ1 = iα1, . . . ,λl = iαl tienen parte real igual a cero. Supongamos además que λj = iαj tiene multipli-cidad kj. Eso significa que el polinomio característico de A se puede factorizar como

p(λ) = (λ− iα1)ki . . . (λ− iαl)klq(λ),

donde todas las raíces de q(λ) tiene parte real negativa. Entonces toda solución x = φ(t)de (1.2.2) es estable si A tiene kj vectores propios, linealmente independientes para cadavalor propio λj = iαj. De otro modo, todas las soluciones φ(t) son inestables.

Observación 1.2.2. El Teorema 1.2.1 permite determinar la estabilidad o inestabilidadde un sistema de ecuaciones de la forma x = Ax, conociendo los valores propios de lamatriz A, geométricamente podemos ilustrar estos conceptos en el plano complejo, comose muestra en la Figura 1.2.3. El sistema será estable si λ pertenece al semiplano (abiertoy excluyendo el eje Im(λ)) izquierdo del plano complejo, el sistema será inestable si λpertenece al semiplano (abierto y excluyendo el eje Im(λ)) derecho del plano complejoy los valores propios que pertenecen al eje Im(λ) determinan sistemas estables si lacantidad de vectores propios coincide con la multiplicidad de los valores propios, en casocontrario el sistema es inestable.


Figura 1.2.3: Interpretación geométrica del Teorema 1.2.1

El primer paso para demostrar el Teorema 1.2.1 es mostrar que toda solución φ(t) esestable si la solución de equilibrio x(t) ≡ 0 lo es, y que toda solución φ(t) de es ines-table si x(t) ≡ 0 es también inestable. Para ello, sea ψ(t) cualquier solución de (1.2.2).Observemos que z(t) = φ(t)−ψ(t) es nuevamente una solución de (1.2.2). Por lo tanto,si la solución de equilibrio x(t) ≡ 0 es estable, entonces z(t) = φ(t) − ψ(t) será peque-ña si z(0) = φ(0) − ψ(0) es suficientemente pequeña. De modo que toda solución φ(t)de (1.2.2) es estable.

Supongamos que x(t) ≡ 0 es inestable. Entonces existe una solución x = h(t) quees inicialmente muy pequeña pero se vuelve muy grande cuando t tiende a infinito. Lafunción ψ(t) = φ(t) + h(t) es claramente una solución de (1.2.2). Más aún, ψ(t) estáinicialmente muy cerca de φ(t) pero diverge de φ(t) cuando t se incrementa. Por lo tanto,toda solución x = φ(t) de (1.2.2) es inestable.

El siguiente paso en la demostración del Teorema 1.2.1 es reducir el problema de hacerver que son n cantidades ψj(t), j = 1, . . . , n , al problema mucho más sencillo de mostrarúnicamente que una cantidad es pequeña. Tal cosa se logra introduciendo el conceptode magnitud (o longitud) de un vector.

Definición 1.2.2. Sea

x =

x1...xn

,un vector con n componentes. Los números x1, . . . , xn pueden ser reales o complejos. Sedefine la magnitud de x, y se denota por ‖x‖ como

‖x‖ = max|x1| , |x2| , . . . , |xn|.

El concepto de magnitud de un vector corresponde al concepto de magnitud (o longitud)de un número. Observemos también que ‖x‖ ≥ 0 para cualquier vector x y ‖x‖ = 0.Observemos también que

‖λx‖ = max|λx1| , . . . , |λxn| = |λ|max|x1| , . . . , |xn| = |λ| ‖x‖ .


Observemos por último que

‖x+ y‖ = max|x1 + y1| , . . . , |xn + yn| ≤ max|x1|+ |y1| , . . . , |xn|+ |yn|≤ max|x1| , . . . , |xn|+ max|y1| , . . . , |yn| = ‖x‖+ ‖y‖ .

Así pues, la definición realmente coincide con el concepto de magnitud (o longitud).La siguiente demostración es válida para cualesquier n.

Demostración del Teorema 1.2.1: Ver [2], [3], [4].1) Toda solución x = ψ(t) de x = Ax es de la forma ψ(t) = eAtψ(0). Sea φij(t) elelemento ij de la matriz eAt, y sean ψ0

1, . . . , ψ0n las componentes de ψ(0). Entonces la

componente i de ψ(t) es

ψi(t) = φi1(t)ψ01 + . . .+ φin(t)ψ0

n =n∑j=1

φij(t)ψ0j .

Supongamos que todos los valores propios de A tienen parte real negativa. Sea −α1

la mayor de las partes reales de los valores propios de A. Es posible mostrar que paracualquier número −α, con −α1 < −α < 0, puede encontrarse un número K tal que|φij(t)| ≤ Ke−αt, t ≥ 0. De modo que

|ψj(t)| ≤n∑j=1

Ke−αt∣∣ψ0j

∣∣ = Ke−αtn∑j=1

∣∣ψ0j

∣∣ ,para un par de constantes positivas K y α. Ahora bien,

∣∣∣ψ0j

∣∣∣ ≤ ‖ψ(0)‖. Por lo tanto,

‖ψ(t)‖ = max|ψ1(t)| , . . . , |ψn(t)| ≤ nKe−αt ‖ψ(0)‖ .

Sea ε > 0 dada. Elijamos δ(ε) = ε/nK. Entonces, ‖ψ(t)‖ < ε si ‖ψ(0)‖ < δ(ε) y t ≥ 0,ya que

‖ψ(t)‖ ≤ nKe−αt ‖ψ(0)‖ < nKε/nK = ε

Por lo tanto, la solución de equilibrio x(t) ≡ 0 es estable.

2) Sea λ un valor característico de A con parte real positiva y sea v un vector caracte-rístico de A con valor característico λ. Entonces ψ(t) = ceλtv es una solución de x = Axpara cualquier constante c. Si λ es real, entonces v también lo es y ‖ψ(t)‖ = |c| eλt ‖v‖.Claramente ‖ψ(t)‖ tiende a infinito cuando t tiende a infinito, para cualquier elección dec 6= 0, sin importar cuán pequeña sea. Por lo tanto, x(t) ≡ 0 es inestable. Si λ = α+ iβes complejo, entonces v = v1 + iv2 también lo es. En tal caso

e(α+iβ)t(v1 + iv2) = eαt(cosβt+ i senβt)(v1 + iv2)

= eαt[(v1 cosβt− v2 senβt) + i(v1 senβt+ v2 cosβt)

],

es una solución con valores complejos de (1.2.2). Por lo tanto,

ψ1(t) = ceαt(v1 cosβt− v2 senβt),


es una solución con valores reales de (1.2.2), para cualquier elección de la constante c. Setiene que

∥∥ψ1(t)∥∥ no está acotado cuando t tiende a infinito si c y alguno de los vectores

v1 o v2 es diferente de cero. Así pues, x(t) ≡ 0 es inestable.

3) Si A tiene kj vectores propios linealmente independientes para cada valor carac-terístico λj = iσj de multiplicidad kj , entonces puede encontrarse una constante K talque

∣∣(eAt)ij∣∣ ≤ K. En tal caso ‖ψ(t)‖ ≤ nK ‖ψ(0)‖ para toda solución ψ(t) de (1.2.2).De la demostración de 1) se sigue entonces inmediatamente que x(t) ≡ 0 es estable.Por otro lado, si A tiene menos de kj vectores propios linealmente independientes convalor característico λj = iσj , entonces x = Ax tiene soluciones ψ(t) de la forma

ψ(t) = ceiσjt [v + t(A− iσjI)v] ,

donde (A− iσjI)v 6= 0. Si σj = 0, entonces ψ(t) = c(v + tAv) toma valores reales. Másaún, ‖ψ(t)‖ no está acotada cuando t tiende a infinito, para cualquier elección de c 6= 0.En forma similar, tanto la parte real como la imaginaria de ψ(t) no están acotadas enmagnitud para ψ(0) 6= 0 es arbitrariamente pequeño, si σj 6= 0. Por lo tanto, la soluciónde equilibrio x(t) ≡ 0 es inestable.

Si todos los valores propios de A tienen parte real negativa, entonces toda soluciónx(t) de x = Ax tiende a cero cuando t tiende a infinito. Esto se sigue inmediatamente dela estimación ‖x(t)‖ ≤ Ke−αt ‖x(0)‖, la cual se obtuvo en la demostración de la parte1) del Teorema 1.2.1. Así pues, no sólo es estable la solución de equilibrio x(t) ≡ 0, sinoque toda solución ψ(t) de (1.2.2) tiende a ella cuando t tiende a infinito. Este tipo deestabilidad tan fuerte se conoce como estabilidad asintótica .

Definición 1.2.3. Una solución x = φ(t) de (1.2.1) es asintóticamente estable si esestable y si toda solución ψ(t) que empieza suficientemente cerca de φ(t) tiende a φ(t)cuando t tiende a infinito. Dicho con más precisión, la solución φ(t) es asintóticamenteestable, si es estable y existe un δ := δ(ε, 0) > 0 tal que

lımt→∞‖ψ(t)− φ(t)‖ = 0, si ‖ψ(0)− φ(0)‖ < δ.

La interpretación geométrica de estabilidad asintótica para el caso n = 2 se muestra enla Figura 1.2.4.

Figura 1.2.4: Interpretación geométrica del concepto de estabilidad asintótica para n = 2


Observación 1.2.3. La estabilidad asintótica de cualquier solución x = φ(t) de (1.2.2)es equivalente a la estabilidad asintótica de la solución de equilibrio x(t) ≡ 0. En efecto,de los pasos claves de la demostración tenemos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.2.1. Este ejemplo ilustra el Teorema 1.2.1 para demostrar que toda soluciónde la ecuación diferencial

x =

[0 −32 0

]x

es estable pero no asintóticamente estable.

En efecto, el polinomio característico de la matriz

A =

[0 −32 0

]es

p(λ) = det(A− λI) =

∣∣∣∣−λ −32 −λ

∣∣∣∣ = λ2 + 6.

Así pues, los valores propios de A son λ = ±√

6i. Por lo tanto, por la parte 3) delTeorema 1.2.1, se tiene que toda solución x = φ(t) de x = Ax es estable. Sin embargo,ninguna solución es asintóticamente estable. Esto se sigue inmediatamente del hecho deque la solución general de x = Ax es

x(t) = c1

[−√

6 sen√

6t

2 cos√

6t

]+ c2

[√6 cos

√6t

2 sen√

6t

].

Por lo tanto, toda solución x(t) es periódica, con período 2π/√

6, y ninguna solución(excepto x(t) = 0) tiende a 0 cuando t tiende a infinito.

Ahora consideremos la ecuación diferencial:

x = Ax+ g(x), (1.2.3)

que satisface el problema de valores iniciales

x(t0) = x0 =

x01...x0n

.Donde

g(x) =

g1(x)...

gn(x)

,es muy pequeño comparado con x. Concretamente se supone que

lımx→0

g(x)

‖x‖= 0,


es decir, (g1(x)

max|x1| , . . . , |xn|, . . . ,

gn(x)

max|x1| , . . . , |xn|

),

son funciones continuas de x1, . . . , xn que se anulan para x1 = . . . = xn = 0. Tal cosasiempre ocurre si cada una de las componentes de g(x) es un polinomio en x1, . . . , xnque empieza con términos de orden 2 o superior. Por ejemplo, si

g(x) =

(x1x

22

x1x2

),

entonces tanto x1x22/max|x1| , |x2| como x1x2/max|x1| , |x2| son funciones conti-

nuas de x1 = x2 que se anulan para x1 = x2 = 0.

Si g(0) = 0, entonces x(t) ≡ 0 es una solución de equilibrio de (1.2.3). Sería desea-ble determinar si es estable o inestable. A primera vista parecería imposible el hacerlo,ya que no puede resolverse explícitamente la ecuación (1.2.3). Sin embargo, si x es muypequeña, entonces g(x) es muy pequeña comparada con Ax. Por consiguiente, pareceplausible que la estabilidad de la solución de equilibrio x(t) ≡ 0 de (1.2.3) debería estardeterminada por la estabilidad de la ecuación “aproximada” x = Ax. Entonces 0 es unpunto de equilibrio de la ecuación (1.2.3), y la cuestión si el comportamiento de las órbi-tas de (1.2.3) en una vecindad suficientemente pequeña del origen 0, están determinadaspor los términos lineales de la ecuación.

Teorema 1.2.2 (Estabilidad para sistemas lineales perturbados). Supongamos que lafunción con valores vectoriales

g(x)

‖x‖≡ g(x)

max|x1| , . . . , |xn|,

es una función continua de x1, . . . , xn que se anula para x = 0 y g(0) = 0. Entonces1) La solución de equilibrio x(t) ≡ 0 de (1.2.3) es asintóticamente estable si la soluciónde equilibrio x(t) ≡ 0 de la ecuación “linealizada” x = Ax es asintóticamente estable. Demanera equivalente, la solución x(t) ≡ 0 de (1.2.3) es asintóticamente estable si todoslos valores propios de A tiene parte real negativa. Es decir, si el comportamiento de lasórbitas de x = Ax cerca de 0 no es afectado seriamente por pequeños cambios, entonceslas órbitas cerca de 0 de x = Ax y de la ecuación (1.2.3) son casi los mismos.2) La estabilidad de la solución de equilibrio x(t) ≡ 0 de (1.2.3) no se puede determinar apartir de la estabilidad de la solución de equilibrio x(t) ≡ 0 de (1.2.3) si todos los valorespropios de A tiene parte real menor o igual a 0, pero al menos un valor característico deA tiene parte real igual a cero.3) La solución de equilibrio x(t) = 0 de (1.2.3) es inestable si al menos un valor propiode A tiene parte real positiva.

Demostración: Ver [2], [3], [4], [8].


Ejemplo 1.2.2. Este ejemplo ilustra lo enunciado en el Teorema 1.2.2 para sistema deecuaciones diferenciales

dx1dt

= −2x1 + x2 + 3x3 + 9x32

dx2dt

= −6x2 − 5x3 + 7x53 (1.2.4)

dx3dt

= −x3 + x21 + x22.

Investiguemos, si la solución de equilibrio x1(t) ≡ 0, x2(t) ≡ 0, x3(t) ≡ 0 es estable oinestable.

Dándole la forma x = Ax+ g(x) al sistema (1.2.4), donde

x =

x1x2x3

, A =

−2 1 30 −6 −50 0 −1

, g(x) =

9x327x53

x21 + x22

.Se obtiene que la función g(x) satisface las hipótesis del Teorema 1.2.2, puesto que

lımx→0

g(x)

‖x‖=

(lımx→0

9x32‖x‖

, lımx→0

7x53‖x‖

, lımx→0

x21 + x22‖x‖

)= (0, 0, 0),

y además

g(0) =

000

.Los valores propios de A son −2,−6 y −1. Por lo tanto, la solución de equilibrio x(t) ≡ 0es asintóticamente estable.

El Teorema 1.2.2 sirve para determinar la estabilidad de las soluciones de equilibriode ecuaciones diferenciales autónomas arbitrarias. Sea x0 un valor de equilibrio de laecuación (1.2.1) y hagamos z(t) = x(t)− x0. Entonces

z = x = f(x0 + z). (1.2.5)

Por supuesto que, z(t) ≡ 0 es una solución de equilibrio de (1.2.1) y la estabilidad dex(t) = x0 es equivalente a la estabilidad de z(t) ≡ 0.Como siguiente paso se mostrará que f(x0 + z) = Az + g(z), donde g(z) es pequeñacomparada con z.

Lema 1.2.1. Supongamos que f(x) tiene derivadas parciales hasta de segundo orden,∂fi(x)∂xj

, continuas con respecto a cada una de sus variables x1, . . . , xn. Entonces f(x0 +z)

puede escribirse en la forma

f(x0 + z) = f(x0) +Az + g(z), (1.2.6)

donde g(z)/max|z1| , . . . , |zn| es una función continua de z que se anula para z = 0.


Demostración 1: La ecuación (1.2.5) es consecuencia inmediata del Teorema de Taylor,el cual establece que cada una de las componentes fj(x0+z) de f(x0+z) puede escribirseen la forma

fj(x0 + z) = fj(x

0) +∂fj(x

0)

∂x1z1 + . . .+

∂fj(x0)

∂xnzn + gj(z),

donde gj(z)/max|z1| , . . . , |zn| es una función continua de z que se anula para z = 0.Por lo tanto,

f(x0 + z) = f(x0) +Az + g(z),

donde

A =

∂f1(x0)∂x1

· · · ∂f1(x0)∂xn

......

∂fn(x0)∂x1

· · · ∂fn(x0)∂xn

.Demostración 2: Si cada una de las componentes de f(x) es un polinomio (posible-mente infinito) en x1, . . . , xn, entonces cada una de las componentes de f(x0 + z) es unpolinomio en z1, . . . , an. De modo que

fj(x0 + z) = aj0 + aj1z1 + . . .+ ajnzn + gj(z),

donde gj(z) es un polinomio en z1, . . . , zn que empieza con términos de orden dos.Haciendo z = 0 en (1.2.6) se obtiene fj(x0) = aj0 . Por lo tanto,

f(x0 + z) = f(x0) +Az + g(z), A =

a11 · · · a1n...

...an1 · · · ann

,

y cada una de las componentes de g(z) es un polinomio en z1, . . . , zn, que empieza contérminos de orden dos.El Teorema 1.2.2 y el Lema 1.2.1 proporcionan el siguiente método para determinar siuna solución de equilibrio x(t) = x0 de x = f(x) es estable o inestable:

1. Expresar z = x− x0

2. Escribamos f(x0 + z) en la forma A(z) + g(z), donde g(z) es un polinomio enz1, . . . , zn con valores vectoriales, que empieza con términos de orden dos o mayor.

3. Calcular los valores propios de A. Si todos los valores propios de A tienen par-te real negativa, entonces x(t) ≡ x0 es asintóticamente estable. Si algún valorcaracterístico de A tiene parte real positiva, entonces x(t) ≡ x0 es inestable.

Ejemplo 1.2.3. Este ejemplo ilustra el método mencionado para encontrar todas lassoluciones de equilibrio del sistema de ecuaciones diferenciales

dx

dt= 1− xy, dy

dt= x− y3, (1.2.7)

y determinar (si fuera posible) su estabilidad o su inestabilidad.


En efecto, las ecuaciones 1 − xy = 0 y x − y3 = 0 implican que x = 1, y = 1, o bienx = −1, y = −1. Por lo tanto, x(t) ≡ 1, y(t) ≡ 1 y x(t) ≡ −1, y(t) ≡ −1 son las únicassoluciones de equilibrio de (1.2.7).i) x(t) = 1, y(t) = 1: Hagamos u1 = x− 1, u2 = y − 1. Entonces

du1dt

=dx

dt= 1− (1 + u1)(1 + u2) = −u1 − u2 − u1u2

du2dt

=dy

dt= (1 + u1)− (1 + u2)

3 = u1 − 3u2 − 3u22 − u32.

El sistema se puede escribir en la forma

d

dt

[u1u2

]=

[−1 −11 −3

] [u1u2

]−[

u1u23u22 + u32

].

La función g(u) satisface las hipótesis, es decir, −u1u2‖u‖ ,−3u22−u32‖u‖ son funciones continuas

y se anulan para u1 = u2 = 0, puesto que

lımu→0

g(u)

‖u‖=

(lımu→0

−u1u2‖u‖

, lımu→0

−3u22 − u32‖u‖

)= (0, 0),

y además

g(0) =

[00

].

La matriz [−1 −11 −3

],

tiene solamente un valor característico λ = −2, ya que∣∣∣∣−1− λ −11 −3− λ

∣∣∣∣ = (1 + λ)(3 + λ) + 1 = (λ+ 2)2.

Por lo tanto, la solución de equilibrio x(t) ≡ 1, y(t) ≡ 1 de (1.2.7) es asintóticamenteestable.ii) x(t) = −1, y(t) = −1: Hagamos u1 = x+ 1, u2 = y + 1. Entonces

du

dt=

dx

dt= 1− (u1 − 1)(u2 − 1) = u1 + u2 − u1u2

du2dt

=dy

dt= (u1 − 1)− (u2 − 1)3 = u1 − 3u2 − 3u22 − u32.

El sistema se puede escribir en la forma

d

dt

(u1u2

)=

(1 11 −3

)(u1u2

)+

(−u1u2

3u22 − u32

).

La función g(u) satisface las hipótesis, puesto que

lımu→0

g(u)

‖u‖=

(lımu→0

−u1u2‖u‖

, lımu→0

3u22 − u32‖u‖

)= (0, 0),


y además

g(0) =

[00

].

Los valores propios de la matriz (1 11 −3

),

son λ1 = −1 −√

5, cuya parte real es negativa, y λ2 = −1 +√

5, cuya parte real espositiva. Por lo que la solución de equilibrio x(t) ≡ −1, y(t) ≡ −1 de (1.2.7) es inestable.

Capítulo 2

Propiedades Cualitativas de lasSoluciones de Sistemas Autónomos.

2.1. El Plano Fase.

Consideremos un sistema de n ecuaciones diferenciales autónomas de la forma

x = f(x),

donde

x =

x1...xn

, f(x) =

f1(x1, . . . , xn)...

fn(x1, . . . , xn)

,con condiciones iniciales dadas

x(t0) = x0 = (x01, . . . x0n),

donde f ∈ C1(Ω), con Ω ⊂ <n abierta. Esta condición garantiza la existencia y unicidadde las soluciones del problema de valores iniciales.

Como las funciones f1, . . . , fn no dependen explícitamente de un t, entonces se puede daruna interpretación de las soluciones x(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) del problema que es particu-larmente necesario para continuar con el estudio de la estabilidad. Así, en el espacio euclí-deo <n, de coordenadas rectangulares x1, . . . , xn la solución x1 = x1(t), . . . , xn = xn(t)determina la ley de movimiento de un punto que sigue una trayectoria según la varia-ción del parámetro t, que es identificado como el tiempo. De este modo, la derivada xrepresenta la velocidad de un punto de la trayectoria y x′1, . . . , x′n sus componentes.

Es decir, conforme t aumenta, el conjunto de puntos (x1(t), . . . , xn(t)) describe unacurva C en el espacio Euclídeo <n. Esta curva es la órbita de la solución x = x(t),y el espacio de dimensión n, x1, . . . , xn, es el plano fase de las soluciones del sistemaautónomo no lineal. Esta es una interpretación muy natural en ciertos problemas deaplicación. Ver [2], [3], [4], [8].

26

CAPÍTULO 2. PROPIEDADES CUALITATIVAS DE LAS SOLUCIONES DESISTEMAS AUTÓNOMOS. 27

Observación 2.1.1. Note que cada punto de la curva C determina el estado del sistemaen el instante t correspondiente a ciertas condiciones iniciales determinadas. Por esto esde gran importancia el conocimiento de este tipo de curvas.

Definición 2.1.1. El espacio E ⊆ <n formado por todos los puntos que puedenser condiciones iniciales de un sistema autónomo se denomina espacio de fasesdel sistema, donde sus coordenadas son x1, . . . , xn.

La curva x(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) ⊂ E se denomina trayectoria de fases u ór-bita del sistema (son las proyecciones sobre el eje x ∈ <n de las gráficas de lassoluciones, es decir, de (t, x(t, x0)) : t ∈ I ⊂ < × <n.

La representación de las órbitas del sistema en E se denomina diagrama de fasesdel sistema.

Para simplificar el estudio de la teoría “geométrica” de ecuaciones diferenciales, se su-pondrá en la mayoría de los casos que n = 2. El objetivo es obtener una descripción tancompleta como sea posible de todas las soluciones del sistema de ecuaciones diferencialesde la forma

dx

dt= f(x, y),

dy

dt= g(x, y), (2.1.1)

que satisface el problema de valores iniciales

x(t0) = x0, y(t0) = y0.

Con este objetivo, observemos que toda solución (x = x(t), y = y(t)) de (2.1.1) defineuna curva en el espacio tridimensional t, x, y. Es decir, el conjunto de todos los puntos(t, x(t), y(t)) describe una curva en el espacio tridimensional t, x, y, como se muestra enla Figura 2.1.1, es decir, esto representa al conjunto (t, x(t, 0)) : t ∈ I(0), donde I(0)es un intervalo que contiene a 0.

Figura 2.1.1: Gráfica de una solución φ(t) = (x(t), y(t)) de (2.1.1) en el espacio tridi-mensional t, x, y .

Observación 2.1.2. La teoría geométrica de las ecuaciones diferenciales empieza con laimportante observación de que toda solución (x = x(t), y = y(t)), t0 ≤ t ≤ t1, de (2.1.1),


también es una curva en el plano xy.

De hecho, conforme t aumente de t0 a t1, el conjunto de puntos (x(t), y(t)) describeuna curva C en el plano xy. Dicha curva se conoce como órbita o trayectoria de lasolución (x = x(t), y = y(t)). Formalmente:

Definición 2.1.2. Sea x0 ∈ Ω. Se llama trayectoria u órbita del punto x0 al conjunto

γ(x0) = x(t, x0), t ∈ I(x0) ⊂ Ω.

En lo que sigue, se ilustran los conceptos de trayectoria u órbita de una solución y planofase a través de ejemplos.

Ejemplo 2.1.1. Por ejemplo, la solución x = cos t, y = sen t del sistema de ecuaciones

dx

dt= −y, dy

dt= x,

con condiciones iniciales

x(0) = 1, y(0) = 0,

describe una hélice en el espacio (t, x, y) que podemos ver en la Figura 2.1.2.

Figura 2.1.2: Gráfica de la solución x = cos t, y = sen t.

El plano xy se denomina plano fase de las soluciones de (2.1.1). De manera equivalente,la órbita (x(t), y(t)) de (2.1.1) puede considerarse la trayectoria que describe la soluciónen el plano xy.


Ejemplo 2.1.2. Las funciones x = cos t, y = sen t son una solución del sistema deecuaciones diferenciales x = −y, y = x con condiciones iniciales x(0) = 1 e y(0) = 0.Conforme t aumenta de 0 a 2π, el conjunto de puntos (cos t, sen t) describe la circun-ferencia unitaria x2 + y2 = 1 en el plano xy. Por lo tanto, dicha curva x2 + y2 = 1 esla órbita de la solución x = cos t, y = sen t, 0 ≤ t ≤ 2π. Conforme t aumenta de 0 ainfinito, el conjunto de puntos (cos t, sen t) describe la misma circunferencia un númeroinfinito de veces, ver Figura 2.1.3.

Figura 2.1.3: Gráfica de órbita de la solución x = cos t, y = sen t en el plano fase xy.

Ejemplo 2.1.3. Las funciones x = e−t cos t, y = e−t sen t,−∞ < t < ∞, son unasolución del sistema de ecuaciones diferenciales dx/dt = −x−y, dy/dt = x−y. Conformet va de −∞ a ∞, el conjunto de puntos (e−t cos t, e−t sen t) describe una espiral en elplano xy. Por lo tanto, la órbita de la solución x = cos t, y = sen t es la espiral que semuestra en la Figura 2.1.4.

Figura 2.1.4: Gráfica de órbita de la solución x = e−t cos t, y = e−t sen t en el plano fasexy.


Ejemplo 2.1.4. Una solución del sistema de ecuaciones diferenciales

dx

dt= y − 5

9(x− 2)2 − 4,

dy

dt=

10

3(x− 2),

es x = 3t + 2, y = 5t2 + 7,−∞ < t < ∞. La órbita de dicha solución es el conjuntode todos los puntos (x, y) = (3t + 2, 5t2 + 7). Introduciendo t = 1

3(x − 2) se ve quey = 5

9(x − 2)2 + 7. Por lo tanto, la órbita de la solución x = 3t + 2, y = 5t2 + 7 es laparábola y = 5

9(x− 2)2 + 7, |x| <∞ que se muestra en la Figura 2.1.5.

Figura 2.1.5: Gráfica de órbita de la solución x = 3t+ 2, y = 5t2 + 7 en el plano fase xy.

Observación 2.1.3. Una de las ventajas de considerar la órbita de la solución y nola solución misma es que, con frecuencia, es posible obtener la órbita de una soluciónsin conocimiento previo de la solución. Sea (x = x(t), y = y(t)) una solución de (2.1.1).Si x′(t) es diferente de cero en t = t1, entonces se puede resolver con t = t(x) en unavecindad o entorno del punto x1 = x(t1). Así pues, para t cerca de t1, la órbita de lasolución (x(t), y(t)) es la curva y = y(t(x)). Bajo estas condiciones, se obtiene que

dy

dx=dy

dt

dt

dx=dy/dt

dx/dt=g(x, y)

f(x, y),

para f y g funciones continuas.

En consecuencia, las órbitas de las soluciones (x = x(t), y = y(t)) de (2.1.1) son lascurvas soluciones de la ecuación escalar de primer orden

dy

dx=g(x, y)

f(x, y). (2.1.2)

Luego, no es necesario encontrar una solución (x(t), y(t)) de (2.1.1) para calcular suórbita, sólo se necesita resolver la ecuación diferencial escalar de primer orden (2.1.2).Observemos también que una curva solución de (2.1.2) es una órbita de (2.1.1) sólo sidx/dt y dy/dt son distintas de cero simultáneamente a lo largo de la solución. Si unacurva solución de (2.1.2) pasa por un punto de equilibrio de (2.1.1), entonces la curvasolución completa no es una órbita. Se trata más bien de la unión de varias órbitasdistintas.


Ejemplo 2.1.5. Las órbitas del sistema de ecuaciones diferenciales

dx

dt= y(1 + x2 + y2),

dy

dt= −2x(1 + x2 + y2) (2.1.3)

son las curvas soluciones de la ecuación escalar

dy

dx= −2x(1 + x2 + y2)

y(1 + x2 + y2= −2x

y.

Esta ecuación es separable y todas las soluciones son de la forma 12y

2 + x2 = c2. Por lotanto, las órbitas de (2.1.3) son la familia de elipses 1

2y2 + x2 = c2 que se muestran en

la Figura 2.1.6.

Figura 2.1.6: Gráfica de las órbitas de la solución del sistema (2.1.3).

Ejemplo 2.1.6. Consideremos el sistema de ecuaciones diferenciales

dx

dt= y(1− x2 − y2), dy

dt= −x(1− x2 − y2). (2.1.4)

Las soluciones de la ecuación escalar

dy

dx=dy/dt

dx/dt= −x

y,

son la familia de circunferencias concéntricas x2 + y2 = c2. Observemos, sin embargo,que todo punto de la circunferencia unitaria x2 + y2 = 1 es un punto de equilibriode (2.1.4). De modo que las órbitas de este sistema son la circunferencia x2 + y2 =c2 para c 6= 1, y todos los puntos de la circunferencia unitaria x2 + y2 = 1 que semuestra en la Figura 2.1.7. De manera similar, las órbitas de (2.1.4) son las curvas;y = (x3 − c)1/3, c 6= 0; las semirectas y = x, x > 0, así como y = x, x > 0, y el punto(0, 0).


Figura 2.1.7: Gráfica de las órbitas de la solución del sistema (2.1.4).

Cabe destacar que, en general, no es posible resolver explícitamente la ecuación (2.1.2),puesto que no existen métodos generales para su resolución, por ejemplo, la ecuacióndiferencial

dy

dx=esenx cos 37

√|y|

ecosx sen 37√|y|

= esen(x−37√|y|),

es una ecuación diferencial de la forma (2.1.2) que no se puede resolver en términos defunciones elementales.Por consiguiente, tampoco se puede, en general, encontrar las órbitas de (2.1.1). Sinembargo, sí es posible obtener una descripción precisa de las órbitas de (2.1.1). Tal cosase debe a que el sistema de ecuaciones diferencias de (2.1.1) determina un campo dedirecciones en el plano xy. Es decir, el sistema de ecuaciones diferenciales (2.1.1)indica cuán rápido se mueve una solución a lo largo de la órbita y en qué direcciónse mueve. Dicho con más precisión, sea (x = x(t), y = y(t)) una solución de (2.1.1).Conforme t aumenta, el punto (x(t), y(t)) se mueve a lo largo de la órbita de dichasolución. Su velocidad en la dirección x es dx/dt; y en y es dy/dt y la magnitud de suvelocidad es [(dx(t)/dt)2 + (dy(t)/dt)2]1/2. Pero dx(t)/dt = f(x(t), y(t)) y dy(t)/dt =g(x(t), y(t)). Por lo tanto, en cada punto (x, y) del plano fase de (2.1.1) se conoce:

la tangente a la órbita en (x, y) (la recta que pasa por (x, y) con números directoresf(x, y) y g(x, y), respectivamente,

la magnitud de la velocidad (o rapidez) [f2(x, y) + 2g2(x, y)]1/2, con la que lasolución recorre su órbita.

Como se verá en las siguientes secciones, esta información frecuentemente puede servirpara obtener propiedades importantes de las órbitas de (2.1.1).


2.2. Propiedades Cualitativas de las Órbitas.

En esta sección se deducirán dos propiedades muy importantes, tanto de las solucionescomo de las órbitas del sistema de ecuaciones diferenciales autónomas

x = f(x), x =

x1...xn

, f(x) =

f1(x1, . . . , xn)...

fn(x1, . . . , xn)

. (2.2.1)

La primera trata de la existencia y unicidad de las órbitas, y la segunda, de la existenciade soluciones periódicas de (2.2.1). Se iniciará el análisis con el siguiente teorema deexistencia y unicidad para las soluciones de (2.2.1).

Teorema 2.2.1. Supongamos que cada una de las funciones f1(x1, . . . , xn), . . . , fn(x1,. . . , xn) tiene derivadas parciales de primer orden continuas con respecto a x1, . . . , xn.Entonces, el problema de valor inicial

x = f(x), x(t0) = x0,

tiene una y sólo una solución x = x(t), para toda x0 en <n.

Demostración: Ver [2], [3], [8].Además del Teorema 2.2.1, se necesita el siguiente lema sencillo, aunque extremadamenteútil.

Lema 2.2.1. Si x = φ(t) es solución de (2.2.1), entonces x = φ(t+ c), c constante real,es también solución de (2.2.1).

La interpretación del Lema 2.2.1 es la siguiente. Sea x = φ(t) una solución de (2.2.1) ysustituyamos toda t en la fórmula de φ(t) por t+ c. De esa manera se obtiene una nuevafunción x = φ(t+ c). El Lema 2.2.1 establece que x es también solución de (2.2.1). Porejemplo, x1 = tan t, x2 = sec2 t es una solución del sistema de ecuaciones diferencialesdx1/dt = x2, dx2/dt = 2x1x2. Por lo tanto, x1 = tan(t+ c), x2 = sec2(t+ c) es tambiénuna solución para cualquier constante c.

Demostración del Lema 2.2.1: Si x = φ(t) es solución de (2.2.1), entonces dφ/dt =f(φ(t)); es decir, las dos funciones dφ/dt y h(t) ≡ f(φ(t)) coinciden en cada momento.Fijemos un tiempo t y una constante c. Dado que dφ/dt y h coinciden en todo instante,entonces deben coincidir en el t+ c. Por lo tanto,

dφ

dt(t+ c) = h(t+ c) = f(φ(t+ c)).

Pero dφ/dt evaluada en t + c es igual a la derivada de x = φ(t + c) evaluada en t. Porconsiguiente

d

dtφ(t+ c) = f(φ(t+ c)).


Observación 2.2.1. 1. La afirmación del Lema 2.2.1 puede verificarse explícitamen-te para la ecuación lineal x = Ax. Toda solución x(t) de esta ecuación es de laforma x(t) = eAtv, para algún vector constante v. De modo que

x(t+ c) = eA(t+c)v = eAteAcv,

ya que (At)Ac = Ac(At) para cualesquiera valores de t y c. Por lo tanto, x(t+ c)es también solución de x = Ax, ya que la forma eAt multiplicada por el vectorconstante eAcv.

2. El Lema 2.2.1 no es válido si la función f en (2.2.1) depende explícitamente de t.Para verlo, supongamos que x = φ(t) es una solución de la ecuación diferencial noautónoma x = f(t, x). Entonces, φ(t+ c) = f(t+ c, φ(t+ c)). Por consiguiente, lafunción φ(t+ c) satisface la ecuación diferencial

x = f(t+ c, x),

y tal ecuación es diferente de (2.2.1) si f depende explícitamente de t.

Ahora es posible deducir las siguientes propiedades muy importantes de las soluciones yórbitas de (2.2.1).

Propiedad 2.2.1 (Existencia y unicidad de órbitas.). Supongamos que cada una delas funciones f1(x1, . . . , xn), . . . , fn(x1, . . . , xn) tiene derivadas parciales continuas conrespecto a x1, . . . , xn. Entonces existe una y sólo una órbita a través de cada punto x0

en <n. En particular, si las órbitas de dos soluciones x = φ(t) y x = ψ(t) de (2.2.1)tienen un punto común, entonces deben ser idénticas.

Demostración: Sea x0 un punto cualquiera en el espacio fase x1, . . . , xn, de dimensiónn, y sea x = φ(t) la solución del problema de valor inicial x = f(x), x(0) = x0. La órbitade esta solución pasa por x0. De modo que existe al menos una órbita a través de cadapunto x0. Supongamos ahora que la órbita de alguna otra solución x = ψ(t) tambiénpasa por x0. Esto significa que existe t0 6= 0, tal que ψ(t0) = x0. Pero entonces, por elLema 2.2.1

x = ψ(t+ t0),

es también una solución de (2.2.1). Observemos que ψ(t + t0) y φ(t) tienen el mismovalor en t = 0. Por lo tanto, por el Lema 2.2.1, se tiene que ψ(t + t0) es igual a φ(t)para todo tiempo t. Eso implica que las órbitas de φ(t) y ψ(t) son idénticas. De hechosi ε es un punto de la órbita de φ(t), es decir, ε = φ(t1) para alguna t1, entonces ε estátambién en la órbita de ψ(t), ya que ε = φ(t1) = ψ(t1 + t0). Recíprocamente, si ε es unpunto de la órbita de ψ(t), decir, existe t2 tal que ψ(t2) = ε, entonces ε está también enla órbita de φ(t), ya que ε = φ(t2) = ψ(t2 − t0).

Propiedad 2.2.2. Sea x = φ(t) una solución de (2.2.1). Si φ(t0+T ) = φ(t0) para algunat0 y T > 0, entonces φ(t+ T ) es idénticamente igual a φ(t) . En otras palabras, si unasolución x(t) de (2.2.1) regresa a su valor inicial después de un tiempo T > 0, entoncesdebe ser periódica con período T (es decir, debe repetirse a intervalos de magnitud T .)


Demostración: Sea x = φ(t) una solución de (2.2.1) y supongamos que φ(t0 + T ) =φ(t0) para algún par de números t0 y T . Entonces es la función ψ(t) = φ(t0 + T ) estambién una solución de (2.2.1) que coincide con φ(t) en el tiempo t = t0. Por lo tanto,por el Teorema 2.2.1, ψ(t) = φ(t0 + T ) es idénticamente igual a φ(t).

La Propiedad 2.2.2 es muy útil en las aplicaciones, especialmente cuando n = 2. Sea(x = x(t), y = y(t)) una solución periódica del sistema de ecuaciones diferenciales

dx

dt= f(x, y),

dy

dt= g(x, y). (2.2.2)

Si x(t + T ) = x(t) e y(t + T ) = y(t), entonces la órbita de la solución es una curvacerrada C en el plano xy. En cualquier intervalo de tiempo t0 ≤ t ≤ t0 + T , la so-lución se mueve una vez a lo largo de C. Recíprocamente, supongamos que la órbitade una solución (x = x(t), y = y(t)) de (2.2.2) es una curva cerrada que no contienepuntos de equilibrio de (2.2.2). Entonces la solución (x = x(t), y = y(t)) es periódi-ca. Para demostrarlo, recordemos que una solución (x = x(t), y = y(t)) de (2.2.2) semueve a lo largo de su órbita con velocidad [f2(x, y) + g2(x, y)]1/2. Si su órbita C esuna curva cerrada que no contiene puntos de equilibrio de (2.2.2), entonces la función[f2(x, y) + g2(x, y)]1/2 tiene un mínimo positivo para (x, y) en C. Por lo tanto, la órbi-ta de (x = x(t), y = y(t)) debe regresar a su punto inicial (x0 = x0(t), y0 = y0(t)) enalgún tiempo finito T . Pero eso implica que x(t+T ) = x(t) e y(t+T ) = y(t) para toda t.

En síntesis, las propiedades cualitativas de las órbitas permiten obtener informaciónsobre el comportamiento de las soluciones:

1. Cada trayectoria del plano de fases representa infinitas soluciones del sistema autó-nomo, es decir, si (x(t), y(t)) es una solución de (2.2.2), entonces para cada c ∈ <,se tiene que (x(t), y(t)) = (x(t+c), y(t+c)) es otra solución de la ecuación (2.2.2).

2. Dos trayectorias no tienen puntos comunes, es decir, si (x(t), y(t)) y (x(t), y(t)) sonsoluciones de la ecuación (2.2.2), tales que la primera solución en t0 vale (x0, y0)y la segunda en t1 toma los mismos valores (x0, y0), entonces existe un c ∈ < talque (x(t), y(t)) = (x(t+ c), y(t+ c)).

3. Las trayectorias cerradas corresponden a soluciones periódicas, si (x(t), y(t)) es unasolución de (2.2.2) tal que t0 y t0 +T toma el mismo valor, entonces (x(t), y(t)) =(x(t+ T ), y(t+ T )) para toda t, es decir, (x(t), y(t)) es periódica.

Ejemplo 2.2.1. Este ejemplo también ilustra la Propiedad 2.2.2 para demostrar quetoda solución del sistema de ecuaciones diferenciales

dx

dt= ye1+x

2+y2 ,dy

dt= −xe1+x2+y2 , (2.2.3)

es periódica.

En efecto, las órbitas de (2.2.3) son las curvas soluciones x2 + y2 = c2 de la ecuaciónescalar de primer orden dy/dx = −x/y que se muestran en la Figura 2.2.1. Más aún,


(x = 0, y = 0) es el único punto de equilibrio de (2.2.3). Por consiguiente, toda solución(x = x(t), y = y(t)) de (2.2.3) es una función periódica en el tiempo.

Figura 2.2.1: Gráfica de órbita de la solución del sistema (2.2.3).


2.3. Retrato Fase de Sistemas Lineales y Semi-Lineales.

En esta sección se presenta una descripción completa de todas las órbitas de la ecuacióndiferencial lineal

x = Ax, x =

[x1x2

], A =

[a bc d

]. (2.3.1)

Dicha descripción se conoce como un retrato fase, y depende casi por completo de losvalores propios de la matriz A. También cambia notablemente si los valores propios deA cambian de signo o se vuelven imaginarios.Al estudiar la ecuación (2.3.1), con frecuencia es de gran ayuda representar un vector xen <2 como una dirección, o un segmento dirigido, en el plano. Sea x un vector en <2

y tracemos el segmento dirigido ~x del punto (0, 0) al punto (x1, x2) como se muestra enla Figura 2.3.1. Este segmento dirigido es paralelo a la recta que pasa por (0, 0) y cuyosnúmeros directores son x1, x2 respectivamente.

Figura 2.3.1: Gráfica del vector ~x = (x1, x2).

Si se representa al vector x como el segmento dirigido ~x, entonces se ve como los vectores~x y c~x son paralelos si c es positiva, y antiparalelos si c es negativa como se muetra enla Figura 2.3.2.

Figura 2.3.2: Gráfica de vectores paralelos y antiparalelos.


También es posible dar una elegante interpretación geométrica de la suma de dos vec-tores. Sean x e y dos vectores en <2. Tracemos el segmento dirigido ~x y adjuntemos elvector ~y a la punta de ~x. El vector ~x+~y es entonces la composición de ambos segmentosdirigidos, como se muestra en la Figura 2.3.3. Esta construcción se conoce como la reglao ley del paralelogramo de la adición de dos vectores.

Figura 2.3.3: Regla del Paralelógramo de la adición de dos vectores.

Ahora es posible describir los retratos fase de (2.3.1). Denotemos por λ1 y λ2 los dosvalores propios de A. Pueden distinguirse los siguientes casos:

Valores propios reales, distintos y negativos: λ1 < λ2 < 0.Sean v1 y v2 los vectores propios de A con valores propios λ1 y λ2, respectivamente.Trácense en el plano x1x2 las cuatro semirectas l1, l′1, l2, l′2 como se muestra en la Fi-gura 2.3.4. Los rayos l1 y l2 son paralelos a v1 y v2, mientras que los rayos l′1 y l′2 sonparalelos a −v1 y −v2. Observemos primero que x(t) = ceλ1tv1 es una solución de (2.3.1)para cualquier constante c. Esta solución es siempre proporcional a v1, y la constante deproporcionalidad, ceλ1t , varía de ±∞ a cero, dependiendo de si c es positiva o negativa.Por lo tanto, la órbita de esta solución es la semirrecta l1 para c > 0, y la semirrecta l′1para c < 0. Análogamente la órbita de la solución x(t) = ceλ2tv2 es la semirrecta l2 parac > 0, y la semirrecta l′2 para c < 0. Las flechas sobre las cuatro líneas de la Figura 2.21indican en qué dirección se mueve x(t) a lo largo de su órbita.

Recordemos, además, que toda solución x(t) de (2.3.1) puede escribirse en la forma

x(t) = c1eλ1tv1 + c2e

λ2tv2,

para un par de constantes c1 y c2. Obviamente, toda solución x(t) de (2.3.1) tiende

a[00

]cuando t tiende a infinito. Por lo tanto, toda órbita de (2.3.1) tiende al origen

x1 = x2 = 0 cuando t tiende a infinito. Es posible incluso hacer una afirmación másfuerte si se observa que eλ2tv2 es muy pequeño comparado con eλ1tv1, cuanto t es grande.


Por lo tanto, para c1 6= 0, x(t) se aproxima cada vez más a c1eλ1tv1 conforme t tiende ainfinito. Esto implica que la tangente a la órbita x(t) de tiende a l1 si c1 es positiva; y al′1 si c1 es negativa. De modo que el retrato fase de (2.3.1) tiene la forma descrita en laFigura 2.3.4. La característica distintiva de este retrato fase es que todas las órbitas, conexcepción de una sola recta, tiende al origen en una dirección fija (si se consideran comoequivalentes las direcciones v1 y −v1). En tal caso se dice que la solución de equilibriox = 0 de (2.3.1) es un nodo estable.

Ejemplo 2.3.1. Este ejemplo ilustra el caso de valores propios reales, distintos y nega-tivos para trazar el retrato fase de la ecuación diferencial

x = Ax =

[−2 −14 −7

]x. (2.3.2)

En efecto, puede verificarse que

v1 =

[11

]y v2 =

[14

],

son vectores propios de A con valores propios −3 y −6, respectivamente. Por lo tanto,x = 0 es un nodo estable de (2.3.2), y el retrato fase de (2.3.2) tiene la forma descritaen la Figura 2.3.4. La semirrecta l1 forma un ángulo de 450 con el eje x1, en tanto quela semirrecta l2 forma un ángulo de θ grados con el eje x1, donde tan θ = 4.

Figura 2.3.4: Retrato fase de la ecuación diferencial lineal (2.3.2).


Observación 2.3.1. La órbita de toda solución x(t) de (2.3.1) tiende al origen x1 =x2 = 0 cuando t tiende a infinito. Sin embargo, ese punto no pertenece a la órbita deninguna solución no trivial x(t).

Valores propios reales, distintos y positivos: 0 < λ1 < λ2En este caso, el retrato fase de (2.3.1) es exactamente el mismo que en la Figura 2.3.4,excepto que el sentido de las flechas es el opuesto. Por lo tanto, la solución de equilibriox(t) = 0 de (2.3.1) es un nodo inestable, si ambos valores propios de A son positivos.

Ejemplo 2.3.2. Este ejemplo ilustra el caso de valores propios reales, distintos y posi-tivos para trazar el retrato fase de la ecuación diferencial

x = Ax =

[4 −1−2 5

]x. (2.3.3)


v1 =

[11

]y v2 =

[1−2

],

son vectores propios de A con valores propios 3 y 6, respectivamente. Por lo tanto, x = 0es un nodo inestable de (2.3.3), y el retrato fase de (2.3.3) tiene la forma descrita enla Figura 2.3.5. La semirrecta l1 forma un ángulo de 450 con el eje x1, en tanto que lasemirrecta l2 forma un ángulo de θ grados con el eje x1, donde tan θ = −2.



Valores propios reales y de distinto signo: λ1 < 0 < λ2.Sean v1 y v2 vectores propios de A con valor característico λ1 y λ2, respectivamente. Setrazan en el plano x1x2 las cuatro semirrectas l1, l′1, l2, l′2: las semirrectas l1, l2 son para-lelas a v1 y v2, mientras que las semirrectas l′1, l′2 deberán serlo a −v1 y −v2. Observemosprimero que toda solución x(t) de (2.3.1), es de la forma

x(t) = c1eλ1tv1 + c2e

λ2tv2,

para alguna elección de constantes c1 y c2.

La órbita de la solución x(t) = c1eλ1tv1 es l1 para c1 > 0 y l′1 para c1 < 0, mien-

tras que la órbita de la solución es l2 para c1 > 0 y l′2 para c1 < 0. Notemos también el

sentido de las flechas sobre l1, l′1, l2, l′2; la solución x(t) = c1eλ1tv1 tiende a

[00

]cuando t

tiende a infinito, mientras que la solución x(t) = c2eλ2tv2 es no acotada (para c2 6= 0)

cuando t tiende a infinito. Observemos además que eλ1tv1 es muy pequeño, comparadocon eλ2tv2, cuando t crece mucho. Por lo tanto, toda solución x(t) de (2.3.1) con c2 6= 0es no acotada cuando t tiende a infinito y su órbita tiende a l2 o bien l′2. Observemospor último que eλ2tv2 es muy pequeño comparado con eλ1tv1, cuando t crece mucho consigno negativo.Por lo tanto, la órbita de cualquier solución x(t) de (2.3.1), con c1 6= 0 tiende a l1 o bienl′1 cuando t tiende a menos infinito. Por consiguiente, el retrato fase de (2.3.1) posee laforma descrita en la Figura 2.3.6. Este retrato fase se asemeja a una “silla de montar”cerca de x1 = x2 = 0. Es por eso que se dice que la solución de equilibrio x(t) = 0de (2.3.1) es un punto silla si los valores propios de A tienen signos opuestos.

Ejemplo 2.3.3. Este ejemplo ilustra el caso de valores propios reales y de distinto signo,para esquematizar el retrato fase de la ecuación lineal

x = Ax =

[1 −3−3 1

]x. (2.3.4)

Solución. Se puede verificar que

v1 =

[11

]y v2 =

[−11

],

son vectores propios de A con valores propios−2 y 4, respectivamente. Por lo tanto, x = 0es un punto silla de (2.3.4), y su retrato fase tiene la forma descrita en la Figura 2.3.6.La semirrecta l1 forma un ángulo de 450 con el eje x1, en tanto que la semirrecta l2forma un ángulo recto con el eje l1.



Valores propios reales, iguales y negativos: λ1 = λ2 < 0En este caso, el retrato fase de (2.3.1) depende de si A tiene uno o dos vectores propioslinealmente independientes.a) Supongamos que A tiene dos vectores propios linealmente independientes v1 y v2 conun valor característico λ < 0. En tal caso, toda solución x(t) de (2.3.1) puede expresarseen la forma

x(t) = c1eλtv1 + c2e

λtv2 = eλt(c1v1 + c2v

2),

para alguna elección de constantes c1 y c2. Ahora bien, el vector eλt(c1v1 + c2v2) es

paralelo a (c1v1 + c2v

2) para toda t. Por lo tanto, la órbita de cualquier solución x(t)de (2.3.1) es una semirrecta. Más aún, el conjunto de vectores c1v1 + c2v

2, para todaslas elecciones de c1 y c2, cubren cualquier dirección en el plano x1x2, ya que v1 y v2

son linealmente independientes. Por lo tanto, el retrato fase tiene la forma descrita enla Figura 2.3.7.

Ejemplo 2.3.4. Este ejemplo ilustra el caso de valores propios reales, iguales y negati-vos, con dos vectores propios linealmente independientes, para trazar el retrato fase dela ecuación diferencial

x = Ax =

[−1 00 −1

]x. (2.3.5)

En efecto, puede verificarse que v1 = (1, 0) y v2 = (0, 1) son vectores propios de A convalor característico −1. Por lo tanto, x = 0 es un punto estrella estable de (2.3.5), yel retrato fase de (2.3.5) tiene la forma descrita en la Figura 2.3.7.



b) Supongamos que A tiene solamente un vector característico v linealmente indepen-diente, con valor característico λ. En tal caso, x1(t) = eλtv es solución de (2.3.1).

Para encontrar una segunda solución de (2.3.1) que sea linealmente independiente dex1, observemos que (A− λI)2u = 0 para todo vector u. Por lo tanto,

x(t) = eAλtu = eλte(A−λI)tu = eλt[u+ t(A− λI)u], (2.3.6)

es solución de (2.3.1), para cualquier elección de u.

La ecuación (2.3.6) puede simplificarse observando que (A − λI)u debe ser un múl-tiplo k de v. Esto se sigue inmediatamente de la ecuación (A− λI)[(A− λI)u] = 0, y elhecho de que A tiene sólo un vector característico v linealmente independiente.

Eligiendo u linealmente independiente de v, se ve que cualquier solución x(t) de (2.3.1)puede escribirse en la forma

x(t) = c1eλ1tv + c2e

λ2t(u+ ktv) = eλt(c1v + c2u+ c2ktv),

para alguna elección de constantes c1 y c1. Obviamente, toda solución x(t) de (2.3.1)

tiende a[00

]cuando t tiende a infinito.

Además, observemos que c1v + c2u es muy pequeño comparado con c2ktv si c2 es dife-rente de cero y t es muy grande. Por lo tanto, la tangente a la órbita de x(t) tiende a


±v (dependiendo del signo de c2) cuando t tiende a infinito, y el retrato fase de (2.3.1)tiene la forma descrita en la Figura 2.3.8.

Ejemplo 2.3.5. Este ejemplo ilustra el caso de valores propios reales, iguales y negati-vos, con un vector propio, para trazar el retrato fase de la ecuación diferencial

x = Ax =

[−1 10 −1

]x. (2.3.7)


v1 =

[10

],

es vector característico de A con valor característico −1. Por lo tanto, x = 0 es un puntode equilibrio estable de (2.3.7), y el retrato fase de (2.3.7) tiene la forma descrita en laFigura 2.3.8.


Valores propios reales, iguales y positivos: λ1 = λ2 > 0.Los retratos fase de (2.3.1) en los casos de dos vectores propios linealmente indepen-dientes y un vector propio, son los que se muestran en la Figura 2.3.7 y la Figura 2.3.8,respectivamente, es decir, son los mismos que en el caso negativo, excepto que la direcciónde las flechas es la opuesta.

Ejemplo 2.3.6. Este ejemplo ilustra el caso de valores propios reales, iguales y positivos,con dos vectores propios linealmente independientes, para trazar el retrato fase de la


ecuación diferencial

x = Ax =

[1 00 1

]x. (2.3.8)


v1 =

[10

], y v2 =

[01

]son vectores propios de A con valor característico 1. Por lo tanto, x = 0 es un puntoestrella inestable de (2.3.8), y el retrato fase de (2.3.8) tiene la forma descrita en laFigura 2.3.9.


Ejemplo 2.3.7. Este ejemplo ilustra el caso de valores propios reales, iguales y positivos,con un vector propio, para trazar el retrato fase de la ecuación diferencial

x = Ax =

[1 10 1

]x. (2.3.9)


v1 =

[10

],

es vector característico de A con valor característico 1. Por lo tanto, x = 0 es un puntode equilibrio inestable de (2.3.9), y el retrato fase de (2.3.9) tiene la forma descrita en


la Figura 2.3.10.


Valores propios complejos: λ1 = α+ iβ, λ2 = α− iβ, β = 0.El primer paso para deducir el plano fase de (2.3.1) es encontrar la solución generalde (2.3.1).

Sea z = u+ iv un vectores propios de A con valores propios característico α+ iβ.

Entonces

x(t) = e(α+iβ)t(u+ iv) = eαt(cosβt+ i senβt)(u+ iv)

= eαt[u cosβt− v senβt] + ieαt[u senβt+ v cosβt],

es una solución con valores complejos de (2.3.1).

Por lo tanto,

x1(t) = eαt[u cosβt− v senβt]

y

x2(t) = eαt[u senβt+ v cosβt],

son dos soluciones con valores reales de (2.3.1) linealmente independientes y toda solu-ción x(t) de (2.3.1) es de la forma x(t) = c1x

1 + c2x2.


Esta expresión puede escribirse en la forma

x(t) = eαt[R1 cos(βt− δ1)R2 cos(βt− δ2)

], (2.3.10)

para alguna elección de constantes R1 ≥ 0, R2 ≥ 0, δ1 y δ2. Se distinguirán los siguientescasos:a) α = 0: Observemos que

x1(t) = R1 cos(βt− δ1) y x2(t) = R2 cos(βt− δ2),

son funciones periódicas en el tiempo, con período 2π/β. La función x1(t) varía entre−R1 y +R1, mientras que x2(t) varía entre −R2 y +R2.

Por consiguiente, la órbita de cualquier solución x(t) de (2.3.1) es una curva cerradaque rodea al origen x1 = x2 = 0 y el retrato fase de (2.3.1) tiene la forma descrita en laFigura 2.3.11.

Es por esa razón que se dice que la solución de equilibrio x(t) = 0 de (2.3.1) es uncentro cuando los valores propios de A son imaginarios puros.

La dirección de las flechas en la Figura 2.3.11 debe ser determinada a partir de laecuación diferencial (2.3.1). La manera más sencilla de hacerlo es encontrando el signode x2 cuando x2 = 0. Si x2 es mayor que cero para x2 = 0 y x1 > 0, entonces todas lassoluciones x(t) de (2.3.1) se mueven en sentido contrario a las manecillas del reloj. Si esmenor que cero para x2 = 0 y x1 > 0, entonces todas las soluciones x(t) de (2.3.1) semueven en el sentido de las manecillas del reloj.

Ejemplo 2.3.8. Este ejemplo ilustra el caso de valores propios imaginarios puros, paraesquematizar el retrato fase de la ecuación lineal

x = Ax =

[0 4−9 0

]x. (2.3.11)

En efecto, los valores propios de A son ±6i. Por lo tanto, x = 0 es un centro establede (2.3.11) y toda órbita no trivial de (2.3.11) describe una curva cerrada. Para deter-minar el sentido de rotación de la curva cerrada, observemos que x2 = −9x1 cuandox2 = 0. Así pues, x2 es negativa para x1 > 0 y x2 = 0. Por consiguiente, todas lasórbitas no triviales de (2.3.11) describen curvas cerradas en el sentido de las manecillasdel reloj, como se muestra en la Figura 2.3.11.



b) α < 0: En este caso, el efecto del factor eαt sobre la ecuación (2.3.10) es el de cambiarlas simples curvas cerradas de la Figura 2.3.11 en las espirales de la Figura 2.3.12. Estose debe a que el punto x(2π/β) = e2πα/βx(0) está más cerca del origen que x(0). Unavez más, la dirección de las flechas debe determinarse a partir de la ecuación diferen-cial (2.3.1). En este caso, se dice que la solución de equilibrio x(t) = 0 de (2.3.1) es unfoco estable.

Ejemplo 2.3.9. Este ejemplo ilustra el caso de valores propios complejos, con partereal negativa, para esquematizar el retrato fase de la ecuación lineal

x = Ax =

[−1 1−1 1

]x. (2.3.12)

En efecto, los valores propios de A son −1 ± i. Por lo tanto, x = 0 es un foco establede (2.3.12) y toda órbita no trivial de (2.3.12) describe una espiral acercándose alorigen cuando t tiende a infinito. Para determinar el sentido de rotación de la espiralobservemos que x2 = −x1 cuando x2 = 0. Así pues, x2 es negativa para x1 > 0 y x2 = 0.Por consiguiente, todas las órbitas no triviales de (2.3.12) describen espirales hacia elorigen y en el sentido de las manecillas del reloj, como se muestra en la Figura 2.3.12.



c) α > 0: En este caso, todas las soluciones de (2.3.1) describen espirales que se alejandel origen cuando t tiende a infinito que se muestra en la Figura 2.3.13, y se dice que lasolución de equilibrio x(t) = 0 de (2.3.1) es un foco inestable.

Ejemplo 2.3.10. Este ejemplo ilustra el caso de valores propios complejos, con partereal positiva, para esquematizar el retrato fase de la ecuación lineal

x = Ax =

[1 2−2 1

]x. (2.3.13)

En efecto, los valores propios de A son −1± 2i. Por lo tanto, x = 0 es un foco inestablede (2.3.13) y toda órbita no trivial de (2.3.13) describe una espiral alejándose del origencuando t tiende a infinito. Para determinar el sentido de rotación de la espiral observemosque x2 = −2x1 cuando x2 = 0. Así pues, x2 es negativa para x1 > 0 y x2 = 0. Porconsiguiente, todas las órbitas no triviales de (2.3.13) describen espirales alejándose delorigen y en el sentido de las manecillas del reloj, como se muestra en la Figura 2.3.13.



Todo el estudio realizado lo podemos resumir como sigue, sea

P (λ) =

∣∣∣∣a− λ bc d− λ

∣∣∣∣ = 0

= λ2 − (a+ d)λ+ ad− bc = 0,

escribamos la ecuación anterior en la forma

(λ− λ1)(λ− λ2) = λ2 + pλ+ q = 0,

de modo que

p = −(λ1 + λ2)

q = λ1λ2,

los casos estudiados son sencillos de describir en término de p y q como en términos deλ1 y λ2. De hecho si interpretamos estos casos en el plano pq llegamos al diagrama dela Figura 2.3.14, que permite saber a simple vista la naturaleza y las propiedades deestabilidad del punto crítico (0, 0). La primera cosa interesante a observar es que el ejep, q = 0, está excluido ya que λ1λ2 6= 0, luego toda la información condensada en eldiagrama proviene directamente de que

λ1, λ2 =−p±

√p2 − 4q

2.


Figura 2.3.14: Naturaleza y propiedades de estabilidad del punto crítico (0, 0).

Resumen: Considerando el sistema lineal con coeficientes constantes x = Ax, donde Aes una matriz cuadrada de orden 2.El único punto crítico de este sistema es el origen (0, 0). El tipo de punto crítico quedadeterminado por los valores propios λ1, λ2 de la matriz A, en la siguiente forma:

1. Si λ1, λ2 son reales y λ1 6= λ2.

a) Si 0 < λ1 < λ2, entonces el origen es un nodo inestable.b) Si λ1 < λ2 < 0, entonces el origen es un nodo asintóticamente estable.c) Si λ1 < 0 < λ2, entonces el origen es un punto de silla inestable.

2. Si λ1, λ2 son reales y λ1 = λ2 = λ

a) Si 0 < λ, entonces el origen es un nodo inestable.b) Si λ < 0, entonces el origen es un nodo asintóticamente estable.

3. Si λ1 y λ2 complejos conjugados.

a) Si Re(λ1) > 0, entonces el origen es un punto espiral inestable.b) Si Re(λ1) < 0, entonces el origen es un punto espiral asintóticamente

estable.c) Si Re(λ1) = 0, entonces el origen es un centro estable, pero no asintótica-

mente estable.

Caso no-lineal.Por último, es importante mencionar que los retratos fase de los sistemas no lineales, enla vecindad de un punto de equilibrio son, con frecuencia, muy similares a los retratos


fase de sistemas lineales.

Dicho con más precisión, sea x = x0 una solución de equilibrio de la ecuación no li-neal x = f(x) y hagamos u = x − x0. Entonces puede escribirse la ecuación diferencialx = f(x) en la forma

u = Au+ g(u)

donde A es una matriz constante y g(u) es muy pequeña comparada con u.

Por lo tanto, supongamos que u = 0 es un nodo, un punto silla o bien un foco de la ecua-ción diferencial u = Au. Entonces, el retrato fase de la ecuación diferencial x = f(x),en una vecindad de x = x0, tiene una de las formas descritas en las Figuras 2.3.4, 2.3.6,2.3.12 y 2.3.13, dependiendo de si u = 0 es un nodo, un punto silla o bien un foco. Paramás información, ver [2], [3], [4], [6], [8].

Capítulo 3

El Teorema de Poincaré-Bendixson.

3.1. Soluciones Periódicas.

En esta sección realizaremos un estudio de las soluciones periódicas de los sistemas deecuaciones diferenciales autónomos no lineales, y sus aplicaciones.

x = f(x), x =

x1...xn

, f(x) =

f1(x1, . . . , xn)...

fn(x1, . . . , xn)

. (3.1.1)

Hasta este momento, las soluciones y órbitas de las ecuaciones no lineales que hemos es-tudiado se comportan de manera muy similar a las soluciones y órbitas de las ecuacioneslineales. Sin embargo, la situación es en realidad muy diferente. En general, las solucio-nes y órbitas de las ecuaciones no lineales muestran un comportamiento completamentediferente al de las soluciones y órbitas de las ecuaciones lineales. Ver [3], [4], [8].

Ejemplo 3.1.1. Un ejemplo usual es el sistema de ecuaciones

dx

dt= −y + x(1− x2 − y2), dy

dt= x+ y(1− x2 − y2). (3.1.2)

Como el término x2+y2 está presente en ambas ecuaciones, introduciremos coordenadaspolares r, θ, donde x = r cos θ, y = r sen θ, para reescribir (3.1.2) en términos de r y θ.Calculemos:

d

dtr2 = 2r

dr

dt= 2x

dx

dt+ 2y

dy

dt, r2 = x2 + y2

= 2(x2 + y2)− 2(x2 + y2)2 = 2r2(1− r2).

Análogamente

dθ

dt=

d

dtarctan

y

x=

1

x2xdydt − y

dxdt

1 + (y/x)2=x2 + y2

x2 + y2= 1, θ = arctan

y

x, x 6= 0.

53

CAPÍTULO 3. EL TEOREMA DE POINCARÉ-BENDIXSON. 54

Luego, el sistema de ecuaciones (3.1.2) es equivalente al sistema

dr

dt= r(1− r2), dθ

dt= 1. (3.1.3)

La solución general de (3.1.3) es

r(t) =r0

[r20 + (1− r20)e−2t]1/2, θ = t+ θ0, (3.1.4)

donde r0 = r(0) y θ0 = θ(0). Por lo tanto,

x(t) =r0

[r20 + (1− r20)e−2t]1/2cos(t+ θ0),

y(t) =r0

[r20 + (1− r20)e−2t]1/2sen(t+ θ0).

Observemos ahora que (x = 0, y = 0) es la única solución de equilibrio de (3.1.2).Además

x(t) = cos(t+ θ0), y(t) = sen(t+ θ0),

cuando r0 = 1. Esta solución es periódica con período 2π, y su órbita es el círculounitario x2 + y2 = 1. Por (4), se sigue que r(t) tiende a 1 cuando t tiende a infinito,para r0 6= 0. Por consiguiente, todas las órbitas de (3.1.2), con excepción del puntode equilibrio (x = 0, y = 0), describen una espiral que se aproxima a la circunferenciaunitaria. En la Figura 3.1.1 se ilustra dicha situación.

Figura 3.1.1: Espiral que se aproxima a la circunferencia unitaria x2 + y2.


El sistema de ecuaciones (3.1.2) muestra que las órbitas de un sistema no lineal deecuaciones pueden describir espirales que se aproximen a una curva cerrada simple. Porsupuesto que tal cosa no es posible para sistemas lineales, ya que todas las órbitas desistemas lineales se aproximan o alejan del origen, dependiendo de su estabilidad o ines-tabilidad, respectivamente. Más aún, puede demostrarse que las órbitas de un sistemano lineal describen espirales que se aproximan a una curva cerrada aún cuando no seafactible resolver explícitamente el sistema de ecuaciones o incluso determinar sus órbitas.

Esta afirmación es esencialmente el contenido del Teorema Poincaré - Bendixson, elque afirma que si un sistema autónomo de dos dimensiones, tiene una solución que per-manece en una región acotada del plano que no contiene puntos de equilibrio, entoncessu órbita describe una espiral que se aproxima a una curva cerrada simple, la cual a suvez es la órbita de una solución periódica de dicho sistema.

Desde un punto de vista intuitivo se trata de un resultado bastante razonable, puestoque la solución permanece en una región limitada y si no se aproxima a un puntode equilibrio, entonces tiene que acumularse en algún lugar, de modo que se acumulasobre una solución periódica. Sin embargo, una demostración rigurosa del teorema esbastante larga y requiere toda la potencia del Teorema de la Curva de Jordan. Comoveremos, parte de la dificultad de probar el teorema, radica en el hecho de que todas lasconsideraciones tendrán lugar en el plano euclidiano y la distinción entre argumentosintuitivos y rigurosos en el plano a veces es difícil. Ver [2], [5], [9].


3.2. Formulación del Teorema de Poincaré-Bendixson.

Comenzaremos enunciado el Teorema de Poincaré-Bendixson. Para esto, necesitamos lanoción de conjunto ω-límite y de conjunto invariante.

Definición 3.2.1. Si x(t) es una solución del sistema (3.1.1) y existen un número t0tal que x(t) es definida para todo t ≥ t0, entonces un punto ω-límite de la soluciónx(t) es un punto x0, tal que existe una sucesión de números reales tn, tal que

lımn→∞

tn =∞ y lımn→∞

x(tn) = x0

Si S denota la solución x(t) de (3.1.1), entonces el conjunto de puntos ω-límite de S,será denotado por Ω(S) ó Ω[x(t)]. También usamos la notación O(S) para denotar laórbita de la solución S.

Definición 3.2.2. Supongamos que la función f es continua en un conjunto abiertoD ⊂ <n. Un conjunto E ⊂ D es invariante, si y sólo si para cada punto x0 ∈ E secumple que, si x(t) es una solución de (3.1.1), tal que para algún t, x(t) = x0, entoncesO[x(t)] ⊂ E.

Un resultado importante sobre el conjunto Ω(S) se presenta en el siguiente teorema.

Teorema 3.2.1. Supongamos que f es una función continua en un conjunto abiertoD ⊂ <n y supongamos que x(t) es una solución de (3.1.1), que no es un punto deequilibrio y es tal que existe un número t0, tal que x(t) es definido para todo t ≥ t0 yexiste un número B > 0 tal que para todo t ≥ t0,

|x(t)| < B

Entonces Ω[x(t)] es no vacío, cerrado, conexo e invariante.

Demostración: Ver [4].

Teorema de Poincaré-Bendixson.

Teorema 3.2.2. ([2], [4], [5], [9]). Consideremos el sistema de ecuaciones diferencialesautónomo no lineal:

dx

dt= f(x, y),

dy

dt= g(x, y) (3.2.1)

donde f , g son continuas y satisfacen la condición local de Lipschitz en cada puntode un conjunto abierto en <2, supongamos que la solución S = (x(t), y(t)) de (3.2.1)está definida para todo t ≥ t0, donde t0 es un valor fijo, tal que existe un número Msatisfaciendo

|x(t)|+ |y(t)| < M, para todo t ≥ t0

Además supongamos que Ω(S) no contiene puntos de equilibrio de (3.2.1).Entonces se cumple una de las siguientes dos alternativas:


1) S es una solución periódica (en cuyo caso O(S) = Ω(S)); o

2) Ω(S) es la órbita de una solución periódica y la solución S se aproxima a Ω(S)describiendo una espiral desde el interior o desde el exterior.

Definición 3.2.3. La órbita Ω(S) en la alternativa 2) se llama un ciclo límite, comose muestra en la Figura 3.2.1

Figura 3.2.1: Representación geométrica del ciclo límite.

Con el fin de demostrar el Teorema de Poincaré-Bendixson, necesitaremos varios resul-tados preliminares.

Teorema de la Curva de Jordan.Teorema 3.2.3. ([2], [3], [4], [8]). Sea C una curva cerrada simple en <2. Entonces

<2 − C = O1 ∪O2

donde O1, O2 son conjuntos abiertos, conexos, disjuntos y no vacíos, tal que:

1) Para i = 1, 2, la frontera de Oi es C.

2) Uno de los conjuntos abiertos, digamos O1 es acotado (llamado interior de C) y O2

no acotado (llamado exterior de C).

3) Si p ∈ O2, entonces

i(C, p) = 0.

Para todo p ∈ O1, el índice i(C, p) tiene el mismo valor +1 ó −1. (El signo dependede la orientación asignada a C.)


Ejemplo 3.2.1. Para ilustrar la tercera parte del Teorema de la Curva de Jordan, con-sideremos en particular la curva cerrada simple C = C(a, r) como la circunferencia decentro a y radio r (orientada positivamente). Entonces i(C, z) = 1, si |z − a| < r.

En efecto, puesto que C(a, r) es conexo, para todo z ∈ C(a, r) será

i(C, z) = i(C, a) =1

2πi

∫ 2π

0

rieit

reitdt = 1

Por otro lado, si |z − a| > r, entonces i(C, z) = 0.

En efecto, z ∈ A : |z − a| > r es la componente no acotada de A − sop C, dondesop C = x : C(x) 6= 0. Basta observar que

|i(C, z)| ≤ 1

2πlong C · sup

w∈sop C

1

|w − z|

Como sop C es acotado, podemos tomar z en la componente no acotada con módulosuficientemente grande para que |i(C, z)| < 1. Como debe ser un entero, no queda otraposibilidad que i(C, z) = 0. Ver [1].

Definición 3.2.4. Un punto (x0, y0) ∈ D que no es un punto de equilibrio de (3.2.1) esun punto regular.

Definición 3.2.5. Un segmento finito cerrado de una línea recta es un conjuntode puntos con una de las siguientes formas:

L = (x, y)/y = mx+ b ∧ c ≤ x ≤ d o L = (e, y)/f ≤ y ≤ g,

donde m, b, c, d, e, f, g son constantes, como se muestra en la Figura 3.2.2.

Figura 3.2.2: Segmento finito cerrado de una línea recta.

Definición 3.2.6. Sea V = V (x, y) que denota el campo vectorial (f(x, y), g(x, y)) condominio D. Una transversal L de V es un segmento finito cerrado de una línea recta,tal que:

1) L ⊂ D;


2) Si (x, y) ∈ L, entonces (x, y) es un punto regular de V ;

3) Si (x1, y1) ∈ L, entonces la pendiente de V (x1, y1) no es igual a la pendiente de L(V (x1, y1) no es paralela a L), es decir, L no es tangente a una órbita de (3.2.1).

Enumeremos algunas de las propiedades de las transversales que usaremos.

Propiedad 3.2.1. Si (x0, y0) es un punto regular de V (x, y) y si λ es una línea quecontiene a (x0, y0) y no es paralela a V (x0, y0), entonces existe una transversal L ⊂ λ,tal que (x0, y0) está en el interior de L.

Demostración: Como f y g son continuas, entonces existe una vecindad circularN(x0, y0) (como se muestra en la Figura 3.2.3), tal que si (x, y) ∈ N(x0, y0), entoncesel vector (f(x, y), g(x, y)) no es paralelo a λ. Sea

L = N(x0, y0) ∩ λ.

Figura 3.2.3: Diagrama de la Propiedad 3.2.1

Propiedad 3.2.2. Todas las órbitas de (3.2.1) que intersectan la transversal L, cruzanL en la misma dirección en que t aumenta. Es decir, toda órbita que cruza L debe hacerloen la misma dirección.

Demostración: Dada una transversal L donde P sea un punto interior de L y supon-gamos que en el punto P el flujo tiene un sentido y para otro punto Q en L el flujo tieneotro sentido, entonces es posible construir dos sucesiones de puntos una partiendo de Py otra partiendo de Q en las cuales el flujo de (f(tn, P ), g(tn, P )) y (f(tn, Q), g(tn, Q))cortan a L. Así (f(tn, P ), g(tn, P )) ∩A = Pn y (f(tn, P2), g(tn, P2)) ∩A = Qn,como Pn y Qn están en un conjunto cerrado y finito, entonces las sucesiones con-vergen, es decir, Pn → R y Qn → S. Pero esto es una contradicción, ya que existen


puntos R y S en donde (f(P ), g(P )) = (0, 0) y (f(Q), g(Q)) = (0, 0), pero todos lospuntos en L son puntos regulares.

Propiedad 3.2.3. Si

F = (x(t), y(t))/t ∈ [a, b],

es un arco finito de la órbita C de una solución de la ecuación (3.2.1), y si L es unatransversal, entonces F puede cruzar a L sólo un número finito de veces.


Demostración: Supongamos que esto no es cierto. Entonces existe una sucesión monó-tona tn ⊂ [a, b] tal que

lımn→∞

tn = t0 ∈ [a, b],

y (x(tn), y(tn)) ∈ L para todo n, y tal que para todo n,

(x(tn), y(tn)) 6= (x(t0), y(t0)).

Sea

A0 = (x(t0), y(t0)),

y

An = (x(tn), y(tn)).

Sea

lımn→∞

An = A0,

entonces la dirección de la limitación de la secante A0An de la órbita C, es la direcciónde la tangente a C en (x(t0), y(t0)). Pero para todo n, A0An está contenido en L. Por


lo tanto, L es tangente a C en (x(t0), y(t0)). Esto contradice la condición de que L esuna transversal.

Propiedad 3.2.4. Sea A un punto interior de la transversal L. Entonces, dado losnúmeros positivos ξ y ξ1, existe r > 0 tal que si ∆ es un disco con centro A y radiomenor o igual a r, entonces si la órbita C (descrita por la solución (x(t), y(t)) está en eldisco ∆ en t = 0 (es decir, (x(0), y(0)) ∈ ∆), existe t1 tal que |t1| < ξ y (x(t1), y(t1)) ∈ Ly |(x(t1), y(t1))−A| < ξ1.


Demostración: Supongamos que los ejes coordenados han sido rotados y trasladadosde modo que A es el origen del sistema de coordenadas y L está contenida en el ejex. Del Teorema de Existencia y Unicidad, existe una única solución (x(t, 0, 0), y(t, 0, 0))de (3.2.1) tal que

x(0, 0, 0) = 0, y(0, 0, 0) = 0,

y existe una vecindad N de (0, 0) tal que si (x0, y0) ∈ N , entonces existe una solución(x(t, x0, y0), y(t, x0, y0)) tal que

x(0, x0, y0) = x0,

y(0, x0, y0) = y0.

Si∂

∂ty(0, 0, 0) = 0,

entonces la solución (x(t, 0, 0), y(t, 0, 0)) es tangente al eje x (L transversal) en el origenA. Esto contradice el hecho de que L es una transversal. Por lo tanto

∂

∂ty(0, 0, 0) 6= 0,

y podemos aplicar el Teorema de la Función Implícita para resolver la ecuación

y(t, x0, y0) = 0,


en particular para t como función de (x0, y0) en una vecindad de t = x0 = y0 = 0. Comot(0, 0) = 0 y t(x0, y0) es continua, entonces existe δ > 0 tal que si

|x0|+ |y0| < δ,

entonces

|t(x0, y0)| < ξ.

Dado que

x [t(0, 0), 0, 0] = 0,

y

x [t(x0, y0), x0, y0]

es continua en (x0, y0), entonces existe δ1 > 0 tal que si

|x0|+ |y0| < δ1,

entonces

|x[t(x0, y0), x0, y0]| < ξ1.

Sea a la distancia mínima desde A a un punto final de L y sea

r = mın[δ, δ1, a].

Demostraremos el Teorema de Poincaré-Bendixson usando los siguientes lemas:

Lema 3.2.1. Supongamos que Ω(S) contiene un punto regular A, y sea L una transversaltal que A es un punto interior de L. Entonces existe una sucesión monótona tm contm →∞, tal que si

Am = (x(tm), y(tm)),

entonces

A ∪⋃m

Am = [O(S)] ∩ L.

Si A1 = A2, entonces A = Am para todo m y O(S) es una curva cerrada simple.Si A1 6= A2, entonces todos los Am son distintos (es decir, si i 6= j, entonces,Ai 6= Aj)y para todo m,Am+1 está entre Am y Am+2 en L.

Demostración: Notemos primero que por Propiedad 3.2.1 existe una transversal L.Tomando ξ = 1 y ξn = 1/n en Propiedad 3.2.4, deducimos que existe una sucesión tncon tn → ∞ y una sucesión de discos ∆n con centro A tal que (x(tn), y(tn)) ∈ ∆n yexiste nn tal que |nn| < 1 y

(x(tn + nn), y(tn + nn)) ∈ L,


y

|(x(tn + nn), y(tn + nn))−A| < 1

n. (3.2.2)

También podemos elegir tn tal que t1 > t0 + 1 y para todo n ≥ 1

tn+1 − tn > 2.

Entonces existe una sucesión de valores distintos tn + nn tal que

(x(tn + nn), y(tn + nn)) ∈ O(S) ∩ L,

y tn + nn es una sucesión monótona creciente tal que tn + nn → ∞. Por la Propie-dad 3.2.3, el conjunto

L ∩ (x(t), y(t))/t ∈ [t0, t1 + n1],

donde t0 es el valor dado en el enunciado del Teorema de Poincaré-Bendixson, y elconjunto

L ∩ (x(t), y(t))/t ∈ [tn + nn, tn+1 + nn+1],

para n ≥ 1, son finitos. De las propiedades de la sucesión tn +nn se deduce que existeuna sucesión monótona tm tal que tm →∞ y

O(S) ∩ L = (x(tm), y(tm)).

Sea Am = (x(tm), y(tm)). Entonces por (3.2.2), Am es un conjunto finito o A es unpunto límite del conjunto Am. Si A1 = A2, entonces O(S) es una curva cerrada simpley A2 = A3 = Am = A para todo m, puesto que si s > t2,

(x(s), y(s)) ∈ (x(t), y(t))/t ∈ [t1, t2].

Ahora supongamos que A1 6= A2. Si t ∈ (t1, t2), entonces (x(t), y(t)) /∈ L. Entonces elsegmento A1A2 y la curva

(x(t), y(t))/t ∈ [t1, t2],

forman una curva cerrada simple C.La demostración convencional del Lema 3.2.1 se obtiene en la forma siguiente:Caso I. Existe ε > 0 tal que si t ∈ (t2, t2 + ε) entonces (x(t), y(t)) es un elemento delinterior de C (Ver Figura 3.2.6). Entonces para todo t > t2, (x(t), y(t)) es un elementode el interior de C . Para demostrar esto, supongamos que no es cierto y sea

t′ = ınft > t2/(x(t), y(t)) no está en el interior de C.

Entonces (x(t′), y(t′)) ∈ C. Como O(S) no puede autocruzarse, entonces (x(t′), y(t′))es un punto en el interior del segmento A1A2. Lo que implica que (x(t), y(t)) cruza ala transversal L en (x(t′), y(t′)) en la dirección opuesta a la dirección en que cruza a


(x(t2), y(t2)). Esto contradice la Propiedad 3.2.2.

Figura 3.2.6: Diagrama del Caso I.

Además, A3 6= A2 puesto que de lo contrario O(S) se cortaría a sí misma y no sería unacurva cerrada. Por el argumento del párrafo anterior A3 /∈ A1A2. Todos los puntos enL, a la izquierda de A1 están en el exterior de C. Por lo tanto, A3 está a la derecha deA2. El resto de la demostración sigue por inducción desde el Caso I que también tieneA3, es decir, existe ε > 0 tal que si t ∈ (t2, t2 + ε), entonces (x(t), y(t)) es un elementoen el interior de la curva cerrada simple formado por el segmento A2A3 y la curva

(x(t), y(t))/t ∈ [t2, t3]

Caso II. Existe ε > 0 tal que si t ∈ (t2, t2 + ε), entonces (x(t), y(t)) es un elemento delexterior de C (Ver la Figura 3.2.7). Con el mismo tipo de argumento utilizado el CasoI, el conjunto

(x(t), y(t))/t > t2,

está en el exterior de C. Los pasos restantes son análogos a los del Caso I, excepto queen algún paso, es posible reducir el Caso II (Ver la Figura 3.2.8).

Figura 3.2.7: Diagrama del Caso II.

Figura 3.2.8: Diagrama del Caso II, particular.

Notemos que en esta demostración, se utiliza sólo las partes 1) y 2) del enunciado delTeorema de la Curva de Jordan.


Ahora indicaremos cómo completar la demostración del Lema 3.2.1, partiendo del CasoI, sin dividir la demostración en casos y sin recurrir a las figuras geométricas (Figu-ra 3.2.6, 3.2.7, 3.2.8). Para esta demostración, se requiere de la parte 3) del Teoremade la Curva de Jordan. Sea C una curva cerrada simple formada por el segmento A1A2

y la curva

(x(t), y(t))/t ∈ [t1, t2].

Sea p cualquier punto (x(t), y(t)) tal que t > t2. Si para alguna t > t2, la solución cruzaA1A2, entonces por la Propiedad 3.2.2 de las transversales, ellas deben cruzarse como seindica por las flechas de los trazos en la Figura 3.2.9 . Sea

t = supt > t2/(x(s), y(s)) /∈ A1A2 para t2 ≤ s ≤ t.

Figura 3.2.9: Diagrama flechas que indican las intersecciones.

Sea p = (x(t), y(t)). Entonces se puede probar que existen puntos q y q, como se muestraen la Figura 3.2.9, tal que

i(C, q) 6= i(C, q), (por el Teorema de la Curva de Jordan) (3.2.3)

y

i(C, p) = i(C, q). (3.2.4)

(Elijamos q de tal manera que el segmento de pq está suficientemente cerca del segmentoA1A2.) Pero

i(C, p) = i(C, q), (3.2.5)

puesto que el subconjunto de la curva solución entre p y q no cruza A1A2. Las ecua-ciones (3.2.4) y (3.2.5) contradicen (3.2.3). Por tanto, si t > t2, entonces la solución nocruza A1A2.Sea E0 el punto final de L que está a la izquierda de A1, desde A2. Falta demostrarque para t > t2, la curva solución no cruza el segmento E0A1. Supongamos que la curvacruza E0A1.Sea

t3 = mınt/t > t2 ∧ (x(t), y(t)) ∈ E0A1,


y sea

B = (x(t3), y(t3)).

Como la intersección debe producirse en la dirección indicada en la Figura 3.2.9, entoncessi el punto r está definido en la Figura 3.2.9, obtenemos que

i(C, p) = i(C, r), (3.2.6)

(pues la parte de la órbita que une los puntos p y r no intersecta la curva C), además

i(C, r) = i(C, q), (3.2.7)

si el segmento rq está suficientemente cerca del segmento A1A2. Pero por (3.2.4) y (3.2.5),

i(C, q) 6= i(C, p). (3.2.8)

Pero las relaciones (3.2.6), (3.2.7) y (3.2.8) implican una contradicción. Esto completala demostración del Lema 3.2.1.

Lema 3.2.2. Si L es una transversal, entonces L ∩ Ω(S) contiene a lo más un punto.

Demostración: Como L es una transversal, entonces no contiene puntos de equilibrio.Por Lema 3.2.1, L ∩ Ω(S) contiene a lo más un punto, puesto que si L ∩ Ω(S) contienedos puntos B1 y B2, entonces por Lema 3.2.1, existen sucesiones

A

(1)m

yA

(2)m

tales

que lımA(1)m = B1 y lımA

(2)m = B2. Además por el Lema 3.2.1, tenemos que

O(S) ∩ L =⋃m

A(1)m

y

O(S) ∩ L =⋃m

A(2)m

Como B1 6= B2, entonces ⋃m

A(1)m 6=

⋃m

A(2)m

Con lo que obtenemos una contradicción.

Lema 3.2.3. Si O(S) es una curva cerrada, entonces O(S) = Ω(S).

Demostración: Primero demostraremos que O(S) ⊃ Ω(S). Como O(S) es una curvacerrada, entonces existen números t1, t2 tales que t1 < t2 y

O(S) = (x(t), y(t))/t ∈ [t1, t2].


Por lo tanto, O(S) es compacto (por ser la imagen continua de un compacto) y por lotanto contiene sus puntos límite. Pero, un punto ω-límite de S es un punto límite deO(S).Ahora demostraremos que O(S) ⊂ Ω(S). Sea T el período de (x(t), y(t)), y (x(t0), y(t0))∈ O(S). Entonces

lımm→∞

(x(t0 +mT ), y(t0 +mT )) = lımm→∞

(x(t0), y(t0)) = (x(t0), y(t0)).

Lema 3.2.4. Si Ω(S) ∩O(S) 6= φ, entonces O(S) es una curva cerrada.

Demostración: Si A ∈ Ω(S) ∩ O(S), entonces A es un punto regular puesto que cadapunto de O(S) es un punto regular. Si O(S) no es una curva cerrada, entonces porLema 3.2.1 existe una sucesión de puntos distintos An tal que para todo n, An ∈O(S)∩L, donde L es una transversal que tiene A como un punto interior. Pero O(S) ⊂Ω(S), puesto que Ω(S) es invariante. De donde

An ⊂ O(S) ∩ L ⊂ Ω(S) ∩ L,

lo contradice el Lema 3.2.2.

Lema 3.2.5. Si Ω(S) no contiene puntos de equilibrio y si Ω(S) ⊃ O(S1), donde S1 esuna solución periódica, entonces Ω(S) ⊂ O(S1).

Demostración: Supongamos que el conjunto

Q = [Ω(S)] ∩ [O(S1)]c

es no vacío. Como el conjunto O(S1) es un conjunto cerrado, el conjunto Q no es cerrado,porque de lo contrario

Ω(S) = O(S1) ∪Q

es la unión de dos conjuntos acotados, cerrados y disjuntos, lo que contradice que elconjunto Ω(S) es conexo.Ahora demostremos que existe un punto límite p de Q tal que p ∈ O(S1) usando elsiguiente argumento: como Q 6= φ y no es cerrado, entonces Q es infinito. Además Q esacotado pues Ω(S) es acotado. Entonces, Q tiene un punto límite p tal que p /∈ Q (PorTeorema de Bolzano-Weierstrass). Por lo tanto

p ∈ QC = [Ω(S)]C ∪O(S1).

Como p un punto límite de Q, entonces p es un punto límite de la Ω(S). Pero Ω(S) escerrado. Por lo tanto p ∈ Ω(S). Como

p ∈ [Ω(S)]C ∪O(S1),


se deduce que p ∈ O(S1).Sea L una transversal tal que p es un punto interior de L. Si Nε(p) es una vecindadcircular de p de radio ε > 0, entonces el conjunto

Nε(p) ∩Q = [Nε(p)] ∩ Ω(S) ∩ [O(S1)]C,

es no vacío (ya que p es un punto límite de Q) y se compone de puntos regulares, puestoque por hipótesis, Ω(S) no contiene puntos de equilibrio.Sea q ∈ N(p) ∩ Q. Por la Propiedad 3.2.4, L es intersectada en el punto p por unaórbita O(S2) a través de q. O(S2) está contenido en Ω(S), porque q ∈ Ω(S) y Ω(S) esinvariante.Como q ∈ [O(S1)]

C , entonces

O(S2) ∩O(S1) = φ.

Por lo tanto, como

p ∈ O(S1) ∩ L ⊂ Ω(S) ∩ L,

y

p ∈ O(S2) ∩ L ⊂ Ω(S) ∩ L,

se deduce que los puntos p y p son puntos distintos en Ω(S) ∩ L. Esto contradice elLema 3.2.2.

Demostración del Teorema de Poincaré-Bendixson: Ver [2], [3], [4], [5], [8]. Seap ∈ Ω(S). Como Ω(S) no contiene puntos de equilibrio, entonces existe una solución Scon órbita O(S) tal que p ∈ O(S). Como Ω(S) es invariante, entonces O(S) ⊂ Ω(S). Sip ∈ Ω(S), entonces p ∈ O(S) o p es un punto límite de O(S). Por lo tanto, como Ω(S)es un conjunto cerrado, obtenemos

Ω(S) ⊂ Ω(S).

Además, como Ω(S) no contiene puntos de equilibrio, entonces p es regular. Ahora porPropiedad 3.2.1 de las transversales, existe una transversal L, tal que p es un puntointerior de L, y por el Lema 3.2.2,

L ∩ Ω(S) = p.

Como O(S) ⊂ Ω(S), entonces L ∩ [O(S)] contiene a lo más un punto. Por lo tanto, porel Lema 3.2.1, S es periódica. Como O(S) ⊂ Ω(S), entonces por el Lema 3.2.5,

Ω(S) = O(S).

Si S es periódica, entonces por el Lema 3.2.3,

O(S) = Ω(S) = O(S).


Si S no es periódica, entonces por el Lema 3.2.4,

Ω(S) ∩O(S) = φ,

y como O(S) = Ω(S), entonces

O(S) ∩O(S) = φ.

O(S) es una curva cerrada simple y O(S) es conexo. Por lo tanto, O(S) está en el interiorde O(S) o en el exterior de O(S). Sea q ∈ O(S). Como q es regular, entonces existe unatransversal L, tal que q es un punto interior de L. Dado que S es no periódica, entoncespor el Lema 3.2.1,

[O(S)] ∩ L = Am (3.2.9)

donde Am es una sucesión de puntos distintos ordenados linealmente en L (por elorden de los índices m), y lımm→∞Am = q. Además, si U es un conjunto abierto tal que

O(S) ⊂ U,

entonces existe un número τ0 tal que si t ≥ τ0, entonces

(x(t), y(t)) ∈ U. (3.2.10)

La solución S se acerca a Ω(S) = O(S), describiendo una espiral en el sentido des-crito por (3.2.9) y (3.2.10). Esto completa la demostración del Teorema de Poincaré-Bendixson.


3.3. Discusión y Aplicaciones del Teorema de Poincaré -Bendixson.

Ahora discutiremos la importancia, limitaciones y aplicaciones del Teorema de Poincaré-Bendixson.

Como se señaló anteriormente, la demostración del Teorema de Poincaré-Bendixson de-pende en gran medida de la aplicación del Teorema de la Curva de Jordan. También laidea intuitiva, de que una solución acotada se aproxima a una solución periódica, ya notiene mucha validez si la solución se mueve en un espacio n-dimensional, donde n > 2.En consecuencia, es natural esperar que no exista una generalización n-dimensional delTeorema de Poincaré-Bendixson. De hecho, es fácil construir contraejemplos que mues-tren que no es posible una generalización n-dimensional.

Lo que nos interesa principalmente del Teorema de Poincaré-Bendixson es que el pro-porciona un medio para establecer la existencia de soluciones periódicas.

En primer lugar, indicaremos los métodos para demostrar que las hipótesis del Teoremade Poincaré-Bendixson se cumplen. Luego discutiremos las propiedades de estabilidadde los ciclos límite.

El problema de mostrar que Ω(S) no contiene puntos de equilibrio es a menudo re-suelto estudiando los puntos de equilibrio en sí mismos y mostrando que ninguno deellos es un punto ω-límite. Por ejemplo, si (x0, y0) es un punto de equilibrio de

x′ = f(x, y)

y′ = g(x, y)

y si los valores propios de la matriz[fx(x0, y0) fy(x0, y0)gx(x0, y0) gy(x0, y0)

]tienen ambos parte real positiva, entonces se puede mostrar que (x0, y0) no es un puntoω-límite de cualquier solución. Hay que destacar que este procedimiento no es, en gene-ral, simple porque si f(x, y) y g(x, y) son funciones complicados, la determinación de lospuntos de equilibrio pueden requerir un cálculo no trivial.

Ahora estudiaremos algunas de las propiedades de estabilidad de los ciclos límite, esdecir, las soluciones periódicas que son conjuntos Ω-límite de ciertas soluciones aco-tadas. Para ver la variedad de comportamientos que pueden ocurrir, consideremos enprimer lugar algunos ejemplos.


Ejemplo 3.3.1. Consideremos el sistema de ecuaciones diferenciales

dx

dt= −y +

x√x2 + y2

[1− (x2 + y2)] (3.3.1)

dy

dt= x+

y√x2 + y2

[1− (x2 + y2)]

Usando coordenadas polares tenemos que r2 = x2+y2, es decir, r =√x2 + y2 y podemos

escibir el sistema (3.3.1) como:

dx

dt= −y +

x

r[1− r2] (3.3.2)

dy

dt= x+

y

r[1− r2] (3.3.3)

Como

rr′ = xx′ + yy′

entonces multiplicando (3.3.2) por x y (3.3.3) por y y sumando obtenemos

rr′ = r(1− r2)

ó

r′ = 1− r2. (3.3.4)

Como

θ′ =xy′ − yx′

r2

entonces multiplicando (3.3.2) por −y y (3.3.3) por x y sumando obtenemos

θ′ =x2 + y2

r2= 1

Ahora (3.3.4) puede ser escrito como:

1

2

r′

1− r+

r′

1 + r

= 1

ó

1

2

dr

1 + r+

dr

1− r

= dt

e integrando obtenemos

ln

∣∣∣∣1 + r

1− r

∣∣∣∣ = 2t+ C

= 2t+ ln

∣∣∣∣1 + r01− r0

∣∣∣∣


donde r = r0 en t = t0. Si 0 < r < 1, entonces

1 + r

1− r=

[1 + r01− r0

]e2t (3.3.5)

ó

r =Ke2t − 1

Ke2t + 1

donde

K =

[1 + r01− r0

]Si r > 1, entonces

r =Ke2t + 1

Ke2t − 1(3.3.6)

Por (3.3.5) y (3.3.6), se demuestra que r → 1 cuando t→∞. Además r = 1 es la órbitade una solución periódica. Por lo tanto, (3.3.5) muestra que toda solución dentro delcírculo de r = 1 describe una espiral que se aproxima desde el interior a la circunferenciaunitaria y toda solución fuera del círculo de r = 1 describe una espiral que se aproximadesde el exterior a la circunferencia unitaria. También vemos que r = 1 es orbitalmenteasintóticamente estable y asintóticamente estable en el plano fase. Así la solución

x(t) = cos[θ(t)]

y(t) = sen[θ(t)]

donde θ(t) = t, es un ciclo límite, además toda la solución se aproxima a este ciclo límite.

Si todos los ciclos límite tuvieran propiedades de estabilidad tan fuertes, el Teorema dePoincaré-Bendixson sería mucho más valorado en la Matemática Aplicada. Desafortuna-damente, muchos ciclos límite no tienen propiedades de estabilidad con alguna relevanciafísica, como se muestra ahora con ejemplos.

Si se estudia un sistema físico descrito por estas ecuaciones, entonces si existieran peque-ñas perturbaciones del sistema, las soluciones de las ecuaciones no podrían ser utilizadaspara hacer predicciones definitivas sobre el comportamiento del sistema físico. Sería po-sible predecir que después de transcurrido un tiempo suficiente, tanto x(t) e y(t) seríanmenor o igual a uno (la órbita estaría en el círculo unitario), pero no se pueden hacerotras predicciones sobre los valores de x(t) e y(t).

Si una pequeña perturbación lleva al sistema físico de una órbita circular a otra, nohabría ninguna tendencia a que el sistema físico retorne a la órbita original. Por lo tan-to, si las pequeñas perturbaciones ocurren con bastante frecuencia, la única predicciónque se podría hacer es que (x(t), y(t)) tendería a permanecer en el círculo unitario. Cier-tamente no se podría hacer predicciones de periodicidad.


Ejemplo 3.3.2. Este ejemplo ilustra el Teorema de Poincaré-Bendixson, consideremosel sistema de ecuaciones diferenciales

dx

dt= x− y −

(x2 +

3

2y2)x = f(x, y) (3.3.7)

dy

dt= x+ y −

(x2 +

1

2y2)y = g(x, y)

Para demostrar que el sistema (3.3.7) tiene soluciones periódicas se intenta encontrardos círculos centrados en el origen, tal que las trayectorias del sistema sobre ellos esténorientadas hacia la región que limitan. Si se utilizan coordenadas polares, x = r cos θ ey = sen θ, esta condición impone que r′ sea positiva sobre el círculo interior, y negativosobre el círculo exterior. Tomando r2 = x2 + y2,

rr′ = xx′ + yy′

= x2 + y2 − x4 − 1

2y4 − 5

2x2y2

= r2 − r4 +1

2y2(y2 − x2)

= r2 − r4(

1 +1

4cos 2θ − 1

4cos2 2θ

)ó

r′ = r − r3(

1 +1

4cos 2θ − 1

4cos2 2θ

)(3.3.8)

El coeficiente de r3 está acotado, pues

1

2≤ 1 +

1

4cos 2θ − 1

4cos2 2θ <

17

16

Encontramos que r′ > 0 para r = 1/2 y r′ < 0 para r = 2. De manera que una regiónM apropiada para aplicar el Teorema de Poincaré-Bendixson es

M =

(x, y) ∈ <2/(1/2)2 < x2 + y2 < 22.

Sin embargo, el análisis puede refinarse un poco más, de forma de encontrar la coronacircular más angosta que contega la solución periódica. La región más ajustada es tan-gente a la trayectoria cerrada en algún punto, en los cuales r′ = 0. Operando (3.3.8)encontramos que (r, θ) deben satisfacer

4

(1

p2− 1

)= cos 2θ − cos2 2θ.

Como −2 ≤ cos 2θ − cos2 2θ < 1/4, el radio p debe satisfacer −2 ≤ 4(p−2 − 1) ≤ 1/4 dedonde

4√17≤ p ≤

√2.


En la Figura 3.3.1 se muestra la región M y el ciclo límite del sistema.

Figura 3.3.1: Dominio M y ciclo límite del sistema (3.3.7).

Es decir, cualquier solución que se inicie en la región anular M , permanecerá en éstaregión anular para t ≥ t0. Como (0, 0) no está contenido en la cerradura de M , entoncespodemos aplicar el Teorema de Poincaré-Bendixson.

Ejemplo 3.3.3. En este ejemplo se ilustra una aplicación del Teorema de Poincaré-Bendixson al proceso bioquímico de glicólisis.

En el proceso bioquímico denominado glicólisis, las células vivientes obtienen energíadegradando azúcar. En algunos casos, la glicólisis puede darse de modo oscilatorio, conconcentraciones que aumentan y disminuyen a medida que pasa el tiempo. Sel’kov (1968)ha propuesto un modelo simple para estas oscilaciones. Las ecuaciones adimensionalesson

dx

dt= −x+ ay + x2 (3.3.9)

dy

dt= b− ay − x2y

donde x e y son las concentraciones de ADP(adenosindifosfato) y F6P (fructosa-6-fosfato), y a, b > 0 son parámetros cinéticos. Se desea encontrar el domino M paraeste sistema: un conjunto atractivo para las trayectorias del sistema, que no contenganingún punto de equilibrio, y tal que toda solución que inicie en M permanezca en Mpara todo t > 0.

Para bosquejar el comportamiento del campo vectorial se grafican las curvas sobre lascuales x = 0 ó y = 0. La primera ecuación indica que x = 0 sobre la curva y = x/(a+x2),y de la segunda ecuación se encuentra que y = 0 sobre la curva y = b/(a + x2). Estasdos curvas se muestran en la Figura 3.3.2, junto con algunos vectores de campo repre-sentativos.


Para determinar el sentido de los vectores, debe tenerse en cuenta que, por definición, lasflechas son verticales sobre la curva x = 0, y horizontales sobre la curva y = 0. En otraszonas la dirección del flujo está determinada por los signos de x e y = 0: por ejemplo,en la región que está por encima de ambas curvas, la ecuación (3.3.9) implica que x > 0e y < 0, de manera que las flechas apuntan hacia abajo y hacia la derecha, como semuestra en la Figura 3.3.2.

Figura 3.3.2: Direcciones del campo vectorial del sistema (3.3.9).

Para aplicar el teorema de Poincaré-Bendixson es necesario hallar una región M quesea atractiva, y que no contenga puntos de equilibrio. A continuación se demuestra quela región encerrada por la línea de puntos de la Figura 3.3.3 es atractiva, es decir, quetodos los vectores de campo sobre el borde de la región apuntan hacia adentro de lamisma.

Figura 3.3.3: Región atractiva para el sistema (3.3.9).


Sobre los lados vertical y horizontal la dirección de los vectores resulta del análisis efec-tuado para la Figura 3.3.2. La dificultad de la construcción es probar que los vectores decampo apuntan hacia adentro de la región sobre los bordes de la diagonal de pendien-te (−1) que se extiende desde el punto(b, b/a) hasta la curva y = x/(a+x2), donde x = 0.

Para corroborar este hecho se estudia el comportamiento de x e y para valores grandesde x. Entonces, x ≈ x2y e y ≈ −x2y, de modo que a lo largo de las trayectorias lapendiente es dy/dx = y/x ≈ −1. Por lo tanto, para x grande el campo vectorial esaproximadamente paralelo a la línea diagonal de pendiente (−1). Esto sugiere que en uncálculo más preciso se deben comparar los tamaños de x e −y para x suficientementegrande.

En particular, analizando x− (−y) se encuentra que

x− (−y) = −x+ ay + x2y + (b− ay − x2y)

= b− x.

Luego,

−y > x, si x > b.

Esta inecuación implica que el campo vectorial apunta hacia adentro de la región sobrela línea diagonal (ver Figura 3.3.3) ya que dy/dx es más negativa que (−1), y por lotanto los vectores tienen mayor pendiente que la diagonal. De esta manera se concluyeque la región bajo estudio es atractiva, como se había supuesto.

Como en la intersección de las curvas y = x/(a + x2) e y = b/(a + x2) hay un pun-to de equilibrio (ya que x = y = 0), y este punto está contenido en la región atractiva,no se puede concluir que exista una órbita cerrada dentro de esta zona pues no se satis-facen las condiciones del Teorema de Poincaré-Bendixson. Sin embargo, si el punto fijoes repulsor se puede probar la existencia de una órbita cerrada considerando la regiónmodificada (agujereada) que se muestra en la Figura 3.3.4. El agujero es infinitesimal,pero se ha dibujado más grande para claridad. El repulsor envía todas las trayectoriashacia la región sombreada de la Figura, y como esta región está libre de puntos fijos, sepuede aplicar el Teorema de Poincaré-Bendixson.


Figura 3.3.4: Dominio M para el sistema (3.3.9).

Las condiciones bajo las cuales el punto fijo es repulsor (nodo o foco inestable) se obtienenanalizando el jacobiano. El modelo linealizado es[

xy

]=

[−1 + 2xeye a+ x2e

2xeye −(a+ x2e)

] [xy

]y el punto fijo está dado por

xe = b, ye =b

a+ b2.

En este punto de equilibrio, el jacobiano tiene determinante ∆ = a+ b2, y su traza es

τ =b4 + (2a− 1)b2 + (a+ a2)

a+ b2.

Por lo tanto, el punto fijo es inestable para τ > 0 e inestable para τ < 0. La líneadivisoria ocurre cuando τ = 0, es decir cuando

b2 =1

2(1− 2a

√1− 8a).

Esta ecuación define una curva en el espacio de parámetros (a, b) que se muestra en laFigura 3.3.5. Para parámetros dentro de la zona sombreada, que corresponde a τ > 0,el sistema tiene una órbita cerrada.


Figura 3.3.5: Región en el espacio de parámetros (a, b) para la cual el sistema (3.3.9)presenta soluciones periódicas.

La integración numérica del sistema muestra que existe un ciclo límite para a = 0,08,b = 0,6, tal como se observa en la Figura 3.3.6.

Figura 3.3.6: Soluciones periódicas en el plano fase xy.


Comentarios Finales

1. Sobre la bibliografía usada:

a) El libro de Robinson [9] es muy detallado y requiere más conocimientos detopología y análisis que otros. Sin embargo, es autocontenido y las definicionesde los conceptos topológicos y analíticos se encuentran en el libro.

b) El libro de Hasselblatt et al. [5], tiene una orientación topológica y analíticade los sistemas dinámicos. Se da una demostración del Teorema de Poincaré-Bendixson sobre la esfera S2.

c) El libro de Perko [8], da una demostración más simple del Teorema de Poincaré-Bendixson, que los libros citados anteriormente y da una demostración deta-llada.

d) El libro de Strogatz [10], es fácilmente accesible para un nivel de pregrado, ymuy adecuado para iniciar el aprendizaje de los sistemas dinámicos.

2. Extensiones del Teorema de Poincaré-Bendixson: Este teorema ha ocupado a ungran número de matemáticos del siglo XX, puesto que restringe bastante el com-portamiento de un sistema dinámico. Sin embargo su validez en espacios distintosde la esfera es muy limitada. En cuanto a las vías para generalizar el resultadose han seguido dos caminos dependiendo de si estamos ante flujos derivados deecuaciones diferenciales o flujos generales. Para flujos derivados de ecuaciones di-ferenciales en 1932 Arnold Denjoy puso de manifiesto la existencia de flujos dela clase C1 sobre el toro sin puntos fijos ni órbitas periódicas, lo que implica quedicho teorema no es válido en el toro. La validez del teorema para flujos de claseC2 sobre superficies compactas y conexas fue establecida por A. Schwartz en 1963.

Por otro lado, la generalización del teorema, o la consecución de un contraejemplopara la esfera n-dimensional fue lograda por P. A. Schweitzer en el año 1987, quienlogró construir contraejemplos a la conjetura de clase C1 en cualquier variedad dedimensión 3.

La otra vía de extensión del resultado de Poincaré-Bendixson consiste en rebajarla hipótesis de la clase de diferenciabilidad, y plantearse si el teorema se satisfa-ce para flujos continuos que no derivan de la resolución de ecuaciones diferenciales.

Por último, citemos los siguientes progresos parciales que han permitido la ex-tensión del Teorema de Poincaré-Bendixson:

a) H. Whitney y M. Bebutov definieron y probaron la existencia de seccionestransversales para flujos definidos sobre espacios métricos.

b) H. Bohr y W. Fenchel, demostraron en 1936 que en el plano no existen puntosrecurrentes no triviales para flujos continuos.

c) O. Hajek, consiguó la generalización del Teorema de Poincaré-Bendixson paraflujos continuos.

Bibliografía

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[3] Coddington, E. A. and Levinson, N., Theory of Ordinary Differential Equations,McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, 1955.

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[6] Hirsch, M. and Smale, S., Differential Equations, Dynamical System and LinearAlgebra Academic Press, New York, 1974.

[7] Moser, J., Stable and Random Motions in Dynamical Systems, Princeton UniversityPress, 1973.

[8] Perko, L., Differential Equations and Differential Systems, Springer-Verlag, NewYork, 1991.

[9] Robinson, R. C., An Introductions to Dynamical Systems: Continuous and Discrete,Pearson Education, Upper Saddle River, New Jork, 2004.

[10] Strogatz, S. H., Nonlinear Dynamics and Chaos with Applications to Physics, Bio-logy, Chemistry and Engineering, Persons Book Publishing, Cambridge. MA., 1995.

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el teorema poincare-bendixson

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