~ 1 ~

สาระสำาคัญ

อนุพนัธข์องฟงัก์ชนั

การหาอนุพนัธข์องฟงัก์ชนั โดยใชส้ตูร

ในการหาอนุพนัธข์องฟงัก์ชนัโดยใชบ้ทนิยาม จะมคีวามยุง่ยากและเสยีเวลามากในการหาลิมติ ดังนัน้เพื่อใหก้ารหาอนุพนัธส์ามารถทำาได้สะดวกและรวดเรว็ขึ้น จงึได้มกีารสรา้งสตูรท่ีใชส้ำาหรบัการหาอนุพนัธข์ึ้นมา ซึ่งสตูรเหล่านี้สามารถพสิจูน์โดยใชบ้ทนิยามและทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมติของฟงัก์ชนั แต่ในที่น้ีจะพูดถึงการนำาสตูรไปใชเ้ท่านัน้

สตูรท่ี 1 ถ้า เมื่อ c เป็นค่าคงตัว แล้ว

สตูรท่ี 2 ถ้า แล้ว

สตูรท่ี 3 ถ้า เมื่อ n เป็นจำานวนจรงิแล้ว

สตูรท่ี 4 ถ้า c เป็นค่าคงตัว และ f หาอนุพนัธไ์ด้ที่ x แล้ว

~ 2 ~

สตูรท่ี 5 ถ้า f และ g หาอนุพนัธไ์ด้ที่ x แล้ว

สตูรท่ี 6 ถ้า f และ g หาอนุพนัธไ์ด้ที่ x แล้ว

แบบทดสอบ ยอ่ยก่อนเรยีน

คำาชีแ้จง 1. ขอ้สอบฉบบัน้ีเป็นแบบปรนัยเลือกตอบ 4 ตัวเลือก จำานวน 10 ขอ้

2. คะแนนเต็ม 10 คะแนน เวลาในการทำาขอ้สอบ 10 นาที 3. ใหนั้กเรยีนทำาเครื่องหมาย ทับตัวอักษรหน้าคำาตอบที่

ถกูต้องเพยีงขอ้เดียวเท่านัน้

1. กำาหนดให ้ แล้ว เท่ากับขอ้ใด

ก. ข.

ค. ง.

2. อนุพนัธข์องฟงัก์ชนั คือขอ้ใดก. ข. ค. ง.

~ 3 ~

3. อนุพนัธข์องฟงัก์ชนั คือขอ้ใดก. ข. ค. ง.

4. อนุพนัธข์องฟงัก์ชนั คือขอ้ใดก. ข. ค. ง.

5. อนุพนัธข์องฟงัก์ชนั ท่ี คือขอ้ใดก. ข. ค. ง.

6. กำาหนดให ้ แล้ว เท่ากับขอ้ใด

ก. ข. ค. ง.

7. กำาหนดให ้ แล้ว เท่ากับขอ้ใด

ก. ข. ค. ง.

8. อนุพนัธข์องฟงัก์ชนั ท่ี คือขอ้ใดก. ข. ค. ง.

~ 4 ~

9. อนุพนัธข์องฟงัก์ชนั คือขอ้ใด

ก. ข.

ค. ง.

10. อนุพนัธข์องฟงัก์ชนั ที่ คือขอ้ใดก. ข. ค. ง.

ตัวอยา่งการหาอนุพนัธโ์ดยใชส้ตูร

สตูรท่ี 1 ถ้า เมื่อ c เป็นค่าคงตัว แล้ว

จงหาอนุพนัธข์องฟงัก์ชนัต่อไปน้ี

ใบความรูท่ี้ 2 การหาอนุพนัธข์องฟงัก์ชนัโดยใช้

ตัวอยา่ ศึกษาตัวอยา่งต่อไปน้ีนะครบั จะทำาใหเ้ขา้ใจ

สตูรแต่ละขอ้ได้มากยิง่ขึ้น

~ 5 ~

(1) (2) (3) (4)

วธิทีำา (1) (2) (3)

(4)

สตูรท่ี 2 ถ้า แล้ว

(1) ถ้า y = x จงหา

(2) ถ้า y = z จงหา

(3) ถ้า s = t จงหา

ตัวอยา่ง

~ 6 ~

วธิทีำา (1)

(2)

(3)

สตูรท่ี 3 ถ้า เมื่อ n เป็นจำานวนจรงิแล้ว

จงหาอนุพนัธข์องฟงัก์ชนัต่อไปน้ี(1) (2) (3) (4)

(5)

วธิทีำา (1) (2)

(3) เน่ืองจาก

ตัวอยา่ง

~ 7 ~

ดังนัน้

(4) เน่ืองจาก

ดังนัน้

(5) เน่ืองจาก

ดังนัน้

~ 8 ~

กำาหนด จงหา

วธิทีำา เน่ืองจาก

นัน่คือ

ดังนัน้

สตูรท่ี 4 ถ้า c เป็นค่าคงตัว และ f หาอนุพนัธไ์ด้ที่ x แล้ว

ให้ จงหา

วธิทีำา จาก

จะได้

ตัวอยา่ง

ตัวอยา่

~ 9 ~

ให้ จงหา

วธิทีำา จาก

จะได้

ดังนัน้

สตูรท่ี 5 ถ้า f และ g หาอนุพนัธไ์ด้ที่ x แล้ว

สตูรท่ี 6 ถ้า f และ g หาอนุพนัธไ์ด้ที่ x แล้ว

ตัวอยา่

ตัง้ใจศึกษาตัวอยา่งให้ดี ๆ นะครบั จะได้เขา้ใจเนื้อหา ได้

เรว็ขึ้น

~ 10 ~

ให้ จงหา

วธิทีำา จาก

จะได้

ให้ จงหา

วธิทีำา จาก จะได้

ให้ จงหา

วธิทีำา จาก จะได้

ตัวอยา่

ตัวอยา่

ตัวอยา่

~ 11 ~

ดังนัน้

จงหาอนุพนัธข์องฟงัก์ชนัต่อไปน้ี

1. ..................................................................................................................................................................

แบบฝึกทักษะท่ี 2.1

~ 12 ~

.................................................................................

.................................................................................

.................................................................................

...........................................................................

.................................................................................

.................................................................................

.................................................................................

.............................................................................2. ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................3. ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

~ 13 ~

4. ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

5. ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

~ 14 ~

.................................................................................

.................................................................................

.................................................................................

.............................................................................

.................................................................................

.................................................................................

.................................................................................

.............................................................................

คะแนนเต็ม 10 คะแนนได้.........................คะแนน

เกณฑ์ผ่าน 6 คะแนน ผ่าน ไมผ่่าน

แบบฝึกทักษะท่ี 2.2

เป็นยงัไงบา้งครบั พอจะเขา้ใจแล้วใช่ไหมครบั เราลองไปทำาแบบทดสอบกันดีกวา่ วา่เราเขา้ใจมากน้อยเพยีงใด.........เริม่เลยนะครบั

~ 15 ~

จงหาอนุพนัธข์องฟงัก์ชนัต่อไปน้ี 1)

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

2) .............................................................................

................................................................... .............................................................................

................................................................... .............................................................................

................................................................... .............................................................................

................................................................... .............................................................................

................................................................... .............................................................................

................................................................... .............................................................................

...................................................................

~ 16 ~

................................................................................................................................................

3) .............................................................................

................................................................... .............................................................................

................................................................... .............................................................................

................................................................... .............................................................................

................................................................... .............................................................................

................................................................... .............................................................................

................................................................... .............................................................................

................................................................... .............................................................................

...................................................................

4) .............................................................................

................................................................... .............................................................................

................................................................... .............................................................................

................................................................... .............................................................................

................................................................... .............................................................................

...................................................................

~ 17 ~

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

5) ท่ี x = -1.............................................................................

................................................................... .............................................................................

................................................................... .............................................................................

................................................................... .............................................................................

................................................................... .............................................................................

................................................................... .............................................................................

................................................................... .............................................................................

................................................................... .............................................................................

................................................................... .............................................................................

...................................................................

คะแนนเต็ม 10 คะแนนได้.........................คะแนน

เกณฑ์ผ่าน 6 คะแนน ผ่าน ไมผ่่าน

~ 18 ~

แบบทดสอบ ยอ่ยหลังเรยีน

คำาชีแ้จง 1. ขอ้สอบฉบบัน้ีเป็นแบบปรนัยเลือกตอบ 4 ตัวเลือก จำานวน 10 ขอ้

2. คะแนนเต็ม 10 คะแนน เวลาในการทำาขอ้สอบ 10 นาที 3. ใหนั้กเรยีนทำาเครื่องหมาย ทับตัวอักษรหน้าคำาตอบที่

ถกูต้องเพยีงขอ้เดียวเท่านัน้

1. กำาหนดให ้ แล้ว เท่ากับขอ้ใด

ก. ข. ค. ง.

2. กำาหนดให ้ แล้ว เท่ากับขอ้ใด

ก. ข. ค. ง.

3. อนุพนัธข์องฟงัก์ชนั ที่ คือขอ้ใดก. ข.

~ 19 ~

ค. ง.

4.อนุพนัธข์องฟงัก์ชนั คือขอ้ใดก. ข. ค. ง.

5.อนุพนัธข์องฟงัก์ชนั ท่ี คือขอ้ใดก. ข. ค. ง.

6. อนุพนัธข์องฟงัก์ชนั ท่ี คือขอ้ใดก. ข. ค. ง.

7.กำาหนดให ้ แล้ว เท่ากับขอ้ใด

ก. ข.

ค. ง.

8.อนุพนัธข์องฟงัก์ชนั คือขอ้ใดก. ข. ค. ง.

9.อนุพนัธข์องฟงัก์ชนั คือขอ้ใดก. ข. ค. ง.

~ 20 ~

10. อนุพนัธข์องฟงัก์ชนั คือขอ้ใด

ก. ข.

ค. ง.

1.

2.

3.

4. เน่ืองจาก

เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 2.1

มาตรวจสอบความถกูต้องกันนะครบั วา่เป็น

ยงัไงบา้ง

~ 21 ~

จะได้

5. เน่ืองจาก จะได้

1. จาก จะได้

2. จาก จะได้

เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 2.2

~ 22 ~

3. จาก

จะได้

4. จาก จะได้

5. จาก จะได้

~ 23 ~

ดังนัน้

1) ค2) ก3) ค4) ข5) ง

เป็นยงัไงบา้งครบั ถกูหมดทกุขอ้หรอืเปล่าเอ่ย

ถ้าเขา้ใจดีแล้ว จะได้เริม่เรยีนเรื่องต่อไปกันครบั

เฉลยแบบทดสอบยอ่ย

~ 24 ~

6) ข7) ก8) ง9) ข10) ค

เฉลยแบบทดสอบยอ่ย

แบบบนัทึกคะแนนเล่มท่ี 2 การหาอนุพนัธข์อง

~ 25 ~

1) ข2) ก3) ค4) ก5) ง6) ง7) ค8) ค9) ข10) ข

บนัทึกคะแนนแบบฝึกทักษะ

~ 26 ~

ชื่อ – สกลุ ......................................................... ชัน้ ............... เลขท่ี............

แบบทดสอบ คะแนนเต็ม คะแนนท่ีได้ หมายเหตุ

ก่อนเรยีน 10หลังเรยีน 10

การพฒันา

แบบทดสอบ คะแนนเต็ม คะแนนท่ีได้ หมายเหตุแบบฝึกทักษะ

ท่ี 2.1 10

แบบฝึกทักษะท่ี 2.2 10

รวม 20

ลงชื่อ ผู้บนัทึก(.................................................)

บรรณานุกรม

~ 27 ~

กนกวลี อุษณกรกลุ และรณชยั มาเจรญิทรพัย์. (2548). แบบฝึกหัดและประเมนิผลการเรยีนรู้

คณิตศาสตรเ์พิม่เติม ม. 6 เล่ม 2 ชว่งชัน้ท่ี 4. กรุงเทพฯ : เดอะบุคส.์ ______ . (2554). แบบฝึกหัดและประเมนิผลการเรยีนรู้คณิตศาสตรเ์พิม่เติม ชัน้มธัยมศึกษาปีท่ี 6

เล่ม 6. กรุงเทพฯ : เดอะบุคส.์กมล เอกไทยเจรญิ. (ม.ป.ป.).คณิตศาสตร ์ม.6 เล่ม 5 ค 015. กรุงเทพฯ : ไฮเอ็ดพบัลิชชิง่ จำากัด. เชษฐ ์ชัน้สกลุดี . (ม.ป.ป.). คู่มอืเตรยีมสอบ PAT 1 ความถนัดทางคณิตศาสตร.์ กรุงเทพฯ :

หา้งหุน้สว่นจำากัด รุง่เรอืงสาสน์การพมิพ์.ณรงค์ ปั้ นนิ่มและคณะ.(2537).คู่มอืเตรยีมสอบ คณิตศาสตร ์รวม ม.4-5-6 . กรุงเทพฯ :

ภมูบิณัฑิตการพมิพ ์จำากัด.ทรงวทิย ์สวุรรณธาดา.(2555).คณิตศาสตรเ์พิม่เติม ชัน้มธัยมศึกษาปีท่ี 6 ภาคเรยีนท่ี 2.กรุงเทพฯ :

แมค็เอ็ดดเูคชัน่ จำากัด.สง่เสรมิการสอนวทิยาศาสตรแ์ละเทคโนโลยี,สถาบนั. (2554). หนังสอืเรยีนรายวชิาเพิม่เติม

คณิตศาสตร ์เล่ม 6 ชัน้มธัยมศึกษาปีท่ี 4 – 6 กลุ่มสาระการเรยีนรูค้ณิตศาสตร์

ตามหลักสตูรแกนกลางการศึกษาขัน้พื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ :

โรงพมิพ์ สกสค. ลาดพรา้ว. ______ . (2554). คู่มอืครูรายวชิาเพิม่เติม คณิตศาสตร ์เล่ม 6 ชัน้มธัยมศึกษาปีท่ี 4 – 6

~ 28 ~

กลุ่มสาระการเรยีนรูค้ณิตศาสตร์ ตามหลักสตูรแกนกลางการศึกษาขัน้พื้นฐาน

พุทธศักราช 2551.กรุงเทพฯ : โรงพมิพ์ สกสค. ลาดพรา้ว.สมยั เหล่าวนิิชย.์ (ม.ป.ป.) . คู่มอืเตรยีมสอบ คณิตศาสตร ์ม.4-5-6 สาระการเรยีนรูเ้พิม่เติม.

กรุงเทพฯ : ไฮเอ็ดพบัลิชชิง่ จำากัด.สมยั เหล่าวานิชย ์และพวัพรรณ เหล่าวานิชย์. (ม.ป.ป.). คณิตศาสตรพ์ื้นฐาน + เพิม่เติม เล่มท่ี 6

ชว่งชัน้ท่ี 4 (มธัยมศึกษาปีท่ี 4 – 6). กรุงเทพฯ : ไฮเอ็ดพบัลิชชิง่.