平面圖形的面積公式

林子葉 桃園市建德國小

劉曼麗 國立屏東大學科普傳播學系

一、前言

面積公式的運用很廣，如測量各種活動場地的大小、欲粉刷牆壁面積的大

小、買賣房子地坪的大小、被綁住的牛所吃草地範圍的大小…等，多會使用面積

公式來計算。因此，面積公式有助於我們有效率的解決生活中的面積問題，然而

有太多的例子顯示面積的教學是失敗的，不論是在研究中或實際教學現場中，常

會發現學生在計算面積時，不過是一連串的公式套用而成，或僅為代表兩數相乘

的結果，至於面積公式的意義或不同面積公式間的關聯性卻往往被忽略，導致面

積概念不全（譚寧君，1998），進而使學生學習面積公式時遭遇很大的困難。

學生在學習面積公式前，應先讓學生對「面積概念」有完整的認識。「面積」

是什麼呢？面積是指一個二維封閉區域內平面的大小，也可以說是一個特定區域

被數個單位量的覆蓋程度，也就是被覆蓋面的大小。而面積概念的發展則是要先

能掌握保留概念，才能逐漸建立抽象的測量概念（譚寧君，1998）。

學生學習面積之初，保留概念常受視覺影響，只要圖形稍作旋轉或改變方向

就以為面積大小會跟著改變（陳鉪逸，1996；譚寧君，1998；李調棟，1994）。

然而保留概念是不受位置移動、方向轉動、形狀切割而改變其面積大小，此概念

是需要經過多次經驗的累積才能形成的（譚寧君，1997）。因此在學習面積時，

可讓學生透過圖形位置移動與方向轉動等操作活動，來經驗位置改變後面積仍相

同；再透過對圖形進行切割並合併成其它不同圖形的操作活動，來經驗切割後再

合併之圖形面積仍相等，以建立等積異形的概念。此等積異形的概念將有助於學

生了解數學的不變性，才能形成有意義的測量概念。

當學生進入學習測量概念階段時，因未了解面積是由數個單位量的覆蓋結果

及未理解面積公式的推導過程，而直接透過視覺將圖形中任兩數相乘或強記面積

公式，甚至混淆了周長與面積公式（戴政吉，2000；陳鉪逸，1996；譚寧君，1998）。

測量概念的形成是建立在個別單位的掌握，首先要先透過點數個別單位（如 1

張色紙等）活動來計算面積大小，並透過間接比較的需求來建立單位面積的普遍

單位（如 1 平方公分、1 平方公尺…等）的共識，再利用面積的保留概念進行觀

察與豐富的具體操作活動，來理解公式推導的原理，進而將面積公式抽象化（譚

寧君，1998），以提升解決面積的能力。因此，在教學上，教師應指導學生透過

靈活運用各種具體操作的活動來求得各種面積的公式，經由「做中學」來加深學

生對面積公式的理解。讓學生從具體操作運思提昇至抽象形式運思，將具體的面

積推導過程轉化成抽象的面積公式。為讓教師們瞭解面積公式間的完整推導脈

絡，本單元將常見的基本圖形面積公式推導原理做一系列詳細介紹，期盼能幫助

教師在面積教學引導時能更得心應手。

在面積教材中，常見的圖形有「三角形」、「長方形」、「平行四邊形」、

「梯形」、「菱形」、「圓」、「扇形」等七種。而面積公式的推導過程中包含

「覆蓋」、「複製」、「切割」、「合併」、「填補」等五個操作活動。由於面

積的測量概念已建立了以邊長為 1 單位的單位面積概念，故面積公式學習之初，

只要透過「覆蓋」並點數 1 平方單位的面積活動就可推導出最基礎的長方形面積

公式。接著三角形面積公式可利用「複製」、「合併」成長方形方式求得三角形

面積公式，而平行四邊形則利用「切割」、「合併」成長方形方式求得平行四邊

形面積公式。當長方形、三角形、平行四邊形面積公式已知時，就可再透過「覆

蓋」、「複製」、「切割」、「合併」、「填補」等五個操作活動，來求得其它

基本圖形的面積公式。熟悉圖 1 中的這些面積公式間的推導關係後，我們就可進

一步透過此五個操作活動來找出複合圖形中所隱藏的基本圖形，以解決複雜的複

合圖形面積問題。

長方形面積=長×寬

長

寬

三角形面積＝底×高÷2

高

底

底

高

底

高

平行四邊形面積＝底×高

底

高

圓面積＝半徑×半徑×π

半徑

菱形面積＝兩對角線長相乘÷2

對角線長

梯形面積＝(上底＋下底)×高÷2

下底

高

上底

扇形面積＝半徑×半徑×π×(360

圓心角度 )

半徑

圓心角

圖 1 七種圖形面積公式之推導關係圖

以下介紹「長方形」、「平行四邊形」、「三角形」、「梯形」、「菱形」、

「圓」、「扇形」等七種基本圖形面積公式的推導過程，供教師建立各圖形面積

公式間的關係，彈性運用在教學上。

二、長方形面積公式

長方形面積是學生學習面積的入門重要概念。我們可利用「覆蓋」、「複製」

的操作活動並運用乘法的倍數概念，來讓學生理解長方形面積公式的由來。詳細

推導過程如下：

給定一個長方形，長為 m 單位，寬為 n 單位，如圖 2。我們先利用面積 1

平方單位的正方形圖卡在原長方形的長邊先「覆蓋」一個小長方形區域，可得 m

個 1 平方單位，接著讓學生運用乘法的倍數概念，「複製」n 倍的此小長方形區

域，可得原長方形共有 m×n 個 1 平方單位的小正方形，即可知原長方形面積為

m×n 平方單位。若先覆蓋寬邊，則可得原長方形有 n×m 個 1 平方單位的小正方

形，其面積為 n×m 平方單位，由乘法交換律可知，面積亦可寫成 m×n 平方單位。

故可推得 長方形面積＝長×寬

覆蓋

另外，當長方形長和寬的邊長相等時，此長方形即為正方形，此時亦可推得

正方形面積=邊長×邊長 。

圖 2 推導長方形面積公式之背景(兩邊長皆為整數)

長（m）

寬（n）

m個

n 倍

長

寬

以上所探討的是長方形邊長皆為自然數的面積求法，但是在日常生活中實際

遭遇的面積問題，其邊長多半不是自然數。當長方形邊長為實數時，長方形面積

公式是否仍為「長×寬」，答案是肯定的。在國小階段，面積概念的範疇僅限於

實數中的有理數（有理數為可以表示成mn的形式的數，其中 m、n 是整數，m≠

0 ），故以下推導過程只介紹邊長為有理數的長方形面積求法，無理數部份請查

閱其它相關資料。當長方形的邊長為有理數時，可利用「複製」、「合併」的操

作活動並運用乘法的分數倍概念，來求得邊長為有理數的長方形面積公式。

給定一邊為單位分數之長方形，長為p1單位，寬為 1 單位，如圖 3。我們先

「複製」p 個全等的長方形，並「合併」成一個每邊長為 1 單位，面積為 1 平方

單位的大正方形區域，由此可知原長方形面積為此正方形區域面積的p1倍，由

乘法的分數倍概念可得原長方形面積為p1平方單位。又此長方形的長為

p1單

位，寬為 1 單位，故可推得當長方形之一邊長為有理數，另一邊長為自然數時，

其長方形面積＝長×寬 。

給定兩邊皆為單位分數之長方形，長為p1單位，寬為

q1單位，如圖 4。我們

可「複製」p×q 個全等的長方形，並「合併」成一個每邊長為 1 單位，面積為 1

平方單位的大正方形區域，由此可知原長方形面積為此正方形區域面積的qp

1

倍，由乘法的分數倍概念可得原長方形面積為qp

1平方單位。又此長方形的長

覆蓋

圖 3 推導長方形面積公式(兩邊長分別為 1 與單位分數)

p1

1 1

p1

平方單位

p1

1

p 個

為p1單位，寬為

q1單位，故可推得當長方形兩邊長皆為單位分數時，其長方形

面積＝長×寬 。

若欲求面積的邊長為真分數的長方形時我們即可利用當兩邊皆為單位分數

（p1、

q1）的小長方形推得，其單位面積為

qp 1

平方單位。先給定一個兩邊長

皆為真分數的長方形，其長邊為pr單位，寬為

qs單位，如圖 5。我們即可將此長

方形「切割」成 r×s 個qp

1平方單位，得原長方形面積為

qpsr

平方單位。故可

推得當面積的邊長為真分數的長方形時，其長方形面積＝長×寬 。

同樣地，若欲求面積的邊長為帶分數的長方形時，我們需利用四種不同單位

面積推得，一是兩邊皆為自然數的大長方形，其單位面積為 1 平方單位，二是兩

種一邊為自然數一邊為有理數的小長方形，其單位面積分別為p1平方單位和

q1

平方單位，三是兩邊皆為有理數的小小長方形，其單位面積為qp

1平方單位。

覆蓋

圖 5 推導長方形面積公式(兩邊長皆為真分數)

p1

q1

p1

qp1

平方單位

q1

覆蓋

1

1

圖 4 推導長方形面積公式 (兩邊長皆為單位分數)

qp1

平方單位

pr

qs

pr

qs

先給定一個兩邊長皆為帶分數的長方形，如圖 6，其長邊為 apr單位，寬為 b

qs單

位。我們即可將此長方形「切割」成 a×b 個 1 平方單位、a×s 個q1平方單位、b×r

個p1平方單位、r×s 個

qp 1

平方單位，得原長方形面積為 a×b＋a(qs )＋b(

pr )＋

qpsr

平方單位，即為 apr ×b

qs平方單位。故可推得當面積的邊長為帶分數的長

方形時，其長方形面積＝長×寬 。

（ab）個 1 平方單位 （因兩邊皆為自然數）

（b×r）個 1 p

平方單位

（as）個 1 q 平方單位 （rs）個

1 pq

平方單位

由以上邊長為有理數的長方形面積推導，可知透過運用乘法的倍數概念，亦

可推得長×寬的長方形面積公式。又掌握了長方形面積求法，其它圖形亦可透過

倍數概念及以下各面積的推導關係來理解其它邊長為有理數的面積求法，故不再

贅述。

三、三角形面積公式

三角形面積公式求法主要可透過「長方形」、「直角三角形」或「平行四邊

形」面積公式求得。途徑一是當「長方形」面積公式為已知時，可將直角三角形

先「複製」再「合併」成一個長方形。途徑二是當「直角三角形」面積公式為已

知時，可將其它任意三角形「切割」成兩個直角三角形。途徑三是當「平行四邊

形」面積公式為已知時，可將其它任意三角形先「複製」後「合併」成一個平行

四邊形。以下詳述三角形面積的三種推導途徑：

圖 6 推導長方形面積公式 (兩邊長皆為帶分數)

a

b

r p

s q

（一）直角三角形面積公式可由「長方形」面積公式推得

已知長方形面積公式時，我們可「複製」一個與圖 7 之直角三角形全等的直

角三角形，並旋轉此直角三角形，再與原直角三角形「合併」成一個長方形。比

較前後圖，可知欲求的原直角三角形面積為此長方形面積之一半。

根據長方形面積公式可得

長方形面積＝長×寬

又直角三角形面積＝長方形面積的一半

＝（長×寬）÷2

＝底×高÷2

故可推得 直角三角形面積＝底×高÷ 2

（二）其它任意三角形面積公式可由「直角三角形」、「長方形」或「平行四邊

形」面積公式推得

1. 可由「直角三角形」面積公式推得

已知直角三角形面積公式時，我們可先把圖 8 之三角形一邊當底，再從對頂

點畫一垂線垂直於底邊作高，當"高"落在三角形內部時，可沿"高"將原三角形

「切割」成直角三角形甲和直角三角形乙。比較前後圖，可知欲求的原高在內部

的任意三角形面積為直角三角形甲和直角三角形乙面積之和。

根據直角三角形面積公式可得

直角三角形甲的面積 = （底甲×高）÷ 2

直角三角形乙的面積 = （底乙×高）÷ 2

圖 7 推導三角形面積公式 (直角三角形) 長

寬 複製 合併

高

底

旋轉

比較前後圖，

長方形的"長"為原直角三角形的"底

"，而"寬"為原直角三角形的"高"。

又高在內部的任意三角形面積＝直角三角形甲和直角三角形乙面積之和

＝直角三角形甲面積＋直角三角形乙面積

＝（底甲×高）÷ 2 ＋（底乙×高）÷ 2

＝（底甲＋底乙）×高÷ 2

＝底×高÷2

故可推得 高在內部的任意三角形面積＝底×高÷ 2

同樣地，我們可從對頂點畫一垂線垂直於底邊作高，當"高"落在三角形外

部時，如圖 9，把高與底邊的延伸線「填補」成一個大直角三角形丙（灰色區域），

再沿邊線將此大直角三角形丙「切割」成原三角形和一個小直角三角形丁（斜線

區域）。比較前後圖，可知欲求的原高在外部的任意三角形面積為大直角三角形

丙和小直角三角形丁面積之差。

根據直角三角形面積公式可得

大直角三角形丙的面積 = （底丙×高）÷ 2

小直角三角形丁的面積 = （底丁×高）÷ 2

又高在外部的任意三角形面積＝大直角三角形丙和小直角三角形丁面積之差

＝大直角三角形丙面積－小直角三角形丁面積

＝（底丙×高）÷ 2 －（底丁×高）÷ 2

＝（底丙－底丁）×高÷ 2

＝底×高÷2

故可推得 高在外部的任意三角形面積＝底×高÷ 2

切割

底甲

高甲

底乙

乙

底

高

圖 8 推導三角形面積公式 (高在內部之三角形)

比較前後圖，

底甲和底乙之和即為

原任意三角形的"底"。

比較前後圖，

底丙和底丁之差即為

原任意三角形的"底"。

2. 可由「長方形」面積公式推得

已知長方形面積公式時，我們可先把圖 10 之三角形一邊當底，再從對頂點

畫一垂線垂直於底邊作高。當"高"落在三角形內部時，我們可先「複製」一個與

原三角形全等的三角形，並在複製的三角形上沿"高"「切割」成兩個直角三角形，

再旋轉這兩個三角形與原三角形「合併」成一個長方形。比較前後圖，可知欲求

的原高在內部的任意三角形面積為此長方形面積之一半。

根據長方形面積公式可得

長方形面積 =長×寬

又高在內部的任意三角形面積＝長方形面積的一半

＝長方形面積÷ 2

＝（長×寬）÷2

＝底×高÷2

故可推得 高在內部的任意三角形面積＝底×高÷ 2

同樣地，我們可從對頂點畫一垂線垂直於底邊作高，當"高"落在三角形外

部時，如圖 11，我們可先「複製」一個與原三角形全等的三角形，並旋轉此複

丁丙

圖 9 推導三角形面積公式 (高在外部之三角形)

切割

底丁

填補 高 高

底丙 底

高

比較前後圖，長方形的"長"

為原三角形的"底"，"寬"為

原三角形的"高"。

圖 10 推導三角形面積公式 (高在內部之三角形)

製的全等三角形與原三角形「合併」成一個平行四邊形。再從此平行四邊形頂邊

任一點畫一鉛垂線垂直於底邊作高，並沿此高進行「切割」再平移「合併」成一

個長方形。比較前後圖，可知欲求的原高在外部的任意三角形面積為此長方形面

積之一半。

根據長方形面積公式可得

長方形面積 =長×寬

又高在外部的任意三角形面積＝長方形面積之一半

＝長方形面積÷ 2

＝（長×寬）÷2

＝底×高÷2

故可推得 高在外部的任意三角形面積＝底×高÷ 2

3. 可由「平行四邊形」面積公式推得

已知平行四邊形面積公式時，我們可先把圖 12 之三角形一邊當底，再從對

頂點畫一垂線垂直於底邊作高。當"高"落在三角形內部時，我們可「複製」一個

與原三角形全等的三角形，並旋轉此複製的三角形與原三角形「合併」成一個平

行四邊形。比較前後圖，可知欲求的原高在內部的任意三角形面積為此平行四邊

形面積之一半。

根據平行四邊形面積公式可得

底

高 複製 合併

切割

合併 寬

長

圖 11 推導三角形面積公式 (高在外部之三角形)

比較前後圖，長方形的"長"

為原三角形的"底"，"寬"為

原三角形的"高"。

平行四邊形面積＝底×高

又高在內部的任意三角形面積＝平行四邊形面積的一半

＝平行四邊形面積÷ 2

＝（底×高）÷ 2

＝底×高÷ 2

故可推得 高在內部的任意三角形面積＝底×高÷ 2

同樣地，我們可從對頂點畫一垂線垂直於底邊作高，當"高"落在三角形外

部時，如圖 13，我們可「複製」一個與原三角形全等的三角形，並旋轉此複製

的全等三角形與原三角形「合併」成一個平行四邊形。比較前後圖，可知欲求的

原高在外部的任意三角形面積為此平行四邊形面積之一半。

根據平行四邊形面積公式可得

平行四邊形面積＝底×高

又高在外部的任意三角形面積＝平行四邊形面積的一半

＝平行四邊形面積÷ 2

＝（底×高）÷ 2

＝底×高÷ 2

故可推得 高在外部的任意三角形面積＝底×高÷ 2

合併複製 高

底

高

底

旋轉

旋轉

合併複製

底

高 高

底

圖 12 推導三角形面積公式 (高在內部之三角形)

圖 13 推導三角形面積公式 (高在外部之三角形)

四、平行四邊形面積公式

平行四邊形面積公式求法主要可透過「長方形」、「三角形」面積公式求得。

途徑一是當「長方形」面積公式為已知時，可對平行四邊形作高進行「切割」，

再「合併」成一個長方形。途徑二是當「三角形」面積公式為已知時，可將平行

四邊形沿對角線進行「切割」，再「覆蓋」得知為兩個全等三角形。以下詳述平

行四邊形面積的兩種推導途徑：

（一）可由「長方形」面積公式推得

已知長方形面積公式時，我們可先把圖 14 之平行四邊形一邊當底，再從對

邊上任一點畫一垂線垂直於底邊作高，並沿此高進行「切割」後，再平移「合併」

成一個長方形。比較前後圖，可知欲求的原平行四邊形面積與此長方形面積相等。

根據長方形面積公式可得

長方形面積＝長×寬

又平行四邊形面積＝長方形面積

＝長×寬

＝底×高

故可推得 平行四邊形的面積＝底×高

寬

長

合併切割 高

底

高

底

合併切割 寬

長

比較前後圖，

長方形的"長"為原平行四邊形的"底"，

而"寬"為原平行四邊形的"高"。

圖 14 推導平行四邊形面積公式

（二）可由「三角形」面積公式推得

已知三角形面積公式時，我們可沿圖 15 之平行四邊形的任一對角線將其「切

割」成兩個三角形，將其中一個三角形旋轉「覆蓋」在另一個三角形上，我們會

發現這兩個三角形為全等三角形。比較前後圖，可知欲求的原平行四邊形面積是

此三角形面積的 2 倍。

根據三角形面積公式可得

三角形面積＝（底×高）÷ 2

又平行四邊形面積＝三角形面積的 2 倍

＝三角形面積× 2

＝[（底×高）÷ 2] × 2

＝底×高

故可推得 平行四邊形的面積＝底×高

五、 梯形面積公式

梯形面積公式求法主要可透過「長方形」、「三角形」或「平行四邊形」面積

公式求得。途徑一是當「長方形」面積公式為已知時，可對梯形進行「切割」再

「合併」成一個長方形。途徑二是當「三角形」面積公式為已知時，可將梯形沿

對角線「切割」成兩個三角形。途徑三是當「平行四邊形」面積公式為已知時，

可將梯形「複製」後「合併」成一個平行四邊形。途徑四是當「平行四邊形、三

角形」面積公式為已知時，可將梯形「切割」成一個平行四邊形與一個三角形。

以下詳述梯形面積四種推導途徑：

旋轉 切割

高

底

高

底

圖 15 推導平行四邊形面積公式

（一）可由「長方形」面積公式推得

已知長方形面積公式時，我們可過圖 16 之梯形兩旁斜面的中點畫一垂線垂

直於下底邊，並沿此垂線「切割」出兩個小三角形，再將這兩個小三角形往上旋

轉，與中間切割剩餘的圖形「合併」成一個長方形。比較前後圖，可知欲求的原

梯形面積與此長方形面積相等。

根據長方形面積公式可得

長方形面積＝長×寬

又梯形面積＝長方形面積

＝長×寬

＝[（上底＋下底）÷2 ] ×高

＝（上底＋下底）×高÷2

故可推得 梯形面積＝（上底＋下底）×高÷2

（二）可由「三角形」面積公式推得

已知三角形面積公式時，我們可沿圖 17 之梯形的對角線「切割」成三角形

甲和三角形乙。比較前後圖，可知欲求的原梯形面積為三角形甲面積與三角形乙

面積之和。

根據三角形面積公式可得

三角形甲面積＝（上底×高）÷ 2

三角形乙面積＝（下底×高）÷ 2

又梯形面積＝三角形甲面積與三角形乙面積之和

＝三角形甲面積 ＋ 三角形乙面積

切割 合併 高

下底

上底

寬

長

圖 16 推導梯形面積公式

比較前後圖，

長方形的"長"為原梯形的"上底＋下底"

之ㄧ半，而"寬"為原梯形的"高"。

＝（上底×高）÷ 2 ＋（下底×高）÷ 2

＝（上底＋下底）×高÷2

故可推得 梯形面積＝（上底＋下底）×高÷2

（三）可由「平行四邊形」面積公式推得

已知平行四邊形面積公式時，我們可「複製」一個與圖 18 之梯形全等的梯

形，並旋轉此複製的全等梯形，再與原梯形「合併」成一個平行四邊形。比較前

後圖，可知欲求的原梯形面積是此平行四邊形面積的一半。

根據平行四邊形面積公式可得

平行四邊形面積＝底×高

又梯形面積＝平行四邊形面積的一半

＝（底×高）÷ 2

＝（上底＋下底）×高÷2

故可推得 梯形面積＝（上底＋下底）×高÷2

（四）可由「平行四邊形與三角形」面積公式推得

已知平行四邊形與三角形面積公式時，我們可將圖 19 之梯形從右頂點畫一

條平行線平行於左側邊，並沿此平行線將原梯形「切割」成一個平行四邊形與一

下底

切割 乙

高

下底

上底 上底

高 高

甲

合併複製

旋轉

下底

高

上底

底

高

比較前後圖，平行四邊形的"底"即為

原梯形的"上底＋下底"。

圖 18 推導梯形面積公式

圖 17 推導梯形面積公式

個三角形。比較前後圖，可知欲求的原梯形面積為平行四邊形甲面積與三角形乙

面積之和。

根據平行四邊形與三角形面積公式可得

平行四邊形甲面積＝底甲×高

三角形乙面積＝（底乙×高）÷ 2

又梯形面積＝平行四邊形甲面積與三角形乙面積之和

＝平行四邊形甲面積 ＋ 三角形乙面積

＝底甲×高＋（底乙×高）÷ 2

＝上底×高＋ [（下底-上底）×高]÷ 2

＝（上底＋2上底下底

）×高

＝（2

2 上底下底上底 ）×高

＝（2下底上底

）×高

＝（上底＋下底）×高÷2

故可推得 梯形面積＝（上底＋下底）×高÷2

六、菱形面積公式

菱形面積公式求法主要可透過「長方形」、「三角形」面積公式求得。途徑一

是當「長方形」面積公式為已知時，可將菱形「複製」後並沿對角線「切割」再

「合併」成一個長方形。途徑二是當「三角形」面積公式為已知時，可將菱形沿

對角線「切割」成兩個三角形。以下詳述菱形面積的兩種推導途徑：

比較前後圖，

平行四邊形的"底甲"

為原梯形的"上底"，

而三角形的"底乙"

為"下底－上底"。

圖 19 推導梯形面積公式

（一）可由「長方形」面積公式推得

已知長方形面積公式時，我們可「複製」一個與圖 20 之菱形全等的菱形，

並將此複製的全等菱形沿兩條對角線「切割」成四個小直角三角形，經旋轉、翻

轉此四個小直角三角形後再與原菱形「合併」成一個長方形。比較前後圖，可知

欲求的原菱形面積為此長方形面積之一半。

根據長方形面積公式可得

長方形面積＝長×寬

又菱形面積＝長方形面積的一半

＝長方形面積÷ 2

＝長×寬÷ 2

＝對角線長 a×對角線長 b ÷2

＝兩對角線長相乘÷2

故可推得 菱形面積＝兩對角線長相乘÷2

（二）可由「三角形」面積公式推得

已知三角形面積公式時，我們可將圖 21 之菱形沿對角線「切割」成三角形

甲和三角形乙。比較前後圖，可知欲求的原菱形面積為三角形甲面積與三角形乙

面積之和。

根據三角形面積公式可得

合併複製

切割 寬

長

a

b b b

a a

比較前後圖，長方形的"長"和"寬"為原

菱形的"對角線長"和"另一對角線長"。

對角線長 a

對角線長 b

圖 20 推導菱形面積公式

三角形甲面積＝底×高甲÷2

三角形乙面積＝底×高乙÷2

又菱形面積＝三角形甲面積與三角形乙面積之和

＝三角形甲面積＋三角形乙面積

＝（底×高甲÷2）＋（底×高乙÷2）

＝底×（高甲＋高乙）÷2

＝對角線長 a×對角線長 b ÷2

＝兩對角線長相乘÷2

故可推得 菱形面積＝兩對角線長相乘÷2

七、圓面積公式

圓面積公式求法主要可透過「平行四邊形」、「長方形」面積公式求得。推

導途徑是透過觀察一連串無窮的等分「切割」並「合併」成近似「平行四邊形」

或「長方形」圖形的操作活動，來逐步引導出圓面積公式。以下詳述圓面積推導

過程：

首先，將圖 22 之圓形「切割」成八等分並上下分開後，將上下的扇形「合

併」成近似平行四邊形之圖形，以此類推，再將圓形切割成 16 等分、32 等分…，

並合併之，從合併結果可發現，越多等分合併起來的圖形越接近平行四邊形。最

對角線長 b 高乙

甲

乙

高甲

底

切割

b

a

對角線長 a

比較前後圖，

三角形的"底"為菱形的對角線長，

"高甲＋高乙"為菱形的另一對角線長。

圖 21 推導菱形面積公式

後當圖 23 之圓形切割成 64 等分時，更近似於長方形，因此圓面積切割成越小等

份，合併結果越會近似於長方形面積。

根據平行四邊形面積公式可得

平行四邊形面積＝底×高

又圓面積≒平行四邊形面積

＝底×高

≒圓周長的一半×半徑

＝（直徑×π×21）×半徑

＝（半徑×π）×半徑

＝半徑×半徑×π

故可推得 圓面積＝半徑×半徑×π （若從極限觀點來看，「≒」可改為「＝」）

同理，根據長方形面積公式可得

長方形面積＝長×寬

又圓面積≒長方形面積

＝長×寬

≒圓周長的一半×半徑

＝半徑×半徑×π

故可推得 圓面積＝半徑×半徑×π （若從極限觀點來看，「≒」可改為「＝」）

比較前後圖，

長方形的"長"近似於圓形的"圓周長的一半"，

"寬"近似於圓形的"半徑"。

比較前後圖，

平行四邊形的"底"近似於圓形的"圓周長的一半"，

"高"近似於圓形的"半徑"。

64 等份

切割 合併

圓周長之一半

半徑

圖 23 推導圓面積公式 (近似長方形)

圓周長之一半

切割 合併

合併 切割

半徑

8 等份

16 等份

32 等份

合併 切割

半徑

圓周長之一半

圖 22 推導圓面積公式 (近似平行四邊形)

八、扇形面積公式

扇形面積求法是透過「圓」面積公式求得。推導過程是先將圖 24 之扇形「填

補」成同半徑的完整圓，再透過已知的「圓」面積公式導出扇形面積公式。由於

圓的 360 度制是將一周角分成 360 等分，每一等份圓心角叫做 1 度。所以每個 1

度圓心角的扇形是全等的，故其面積為圓面積的360

1倍，因此扇形面積為圓面積

的360

圓心角度倍（朱建正等人，2002）。

根據圓面積公式可得

圓面積＝半徑×半徑×π

又扇形面積＝圓面積×360

圓心角度

＝半徑×半徑×π×360

圓心角度

九、複合圖形面積

複合圖形面積則可藉由操作活動（覆蓋、複製、切割、合併、填補），找出

躲在複合圖形中的平面圖形（長方形、三角形、平行四邊形、梯形、菱形、圓形、

扇形），來計算出複合圖形之面積。例一：如圖 25 欲求灰色草坪面積大小，可

透過「合併」、「填補切割合併」成「平行四邊形」等兩種方式來解決複合

圖形面積問題。例二：如圖 26 欲求斜線葉片面積大小，可透過「填補切割

覆蓋」找到兩個一半葉片或透過「填補切割覆蓋切割」成完整的葉片，來

解決複合圖形面積問題。

半徑

圖 24 推導扇形面積公式

半徑

圓心角 圓心角 填補

十、結語

在目前教學現場所使用的教科書中，康軒與南一版本的面積推導關係皆是由

長方形面積公式為推導基礎，再藉以導出平行四邊形面積公式，而三角形和梯形

面積公式再透過平行四邊形面積公式求得，圓面積則是透過長方形面積推得。與

本單元面積公式推導比較，可看出面積公式若掌握了長方形面積公式，即可逐步

推導出其它圖形面積公式。而本單元和康軒與南一版本不同之處，是在推導三角

形和梯形面積公式時，除以平行四邊形面積公式推導外，還介紹了三角形面積公

式去推導其它圖形面積的詳細過程，以建立面積公式間推導的完整性。但由三角

合併

填補

填補

切割

複製

複製 切割

切割

切割

填補

切割

圖 25 求複合圖形面積之圖解

圖 26 求複合圖形面積之圖解

形面積公式去推導的面積公式，尚需使用到「提出公因數」的概念，對學生推導

面積過程增添困難度，因此若學生使用三角形面積公式推導其它圖形面積時，教

師可再多加引導。

由以上各種圖形面積公式的推導過程，可了解抽象的面積公式皆其來有自。

學生必須觀察圖形中所隱藏的已知面積公式的基本圖形，再透過豐富的「覆蓋」、

「複製」、「切割」、「合併」、「填補」等操作活動，以理解抽象的面積公式。

進一步，學生需活用各圖形間關係和面積公式，就能輕易的解決各種複合圖形面

積。因此，教師應在教學前，先掌握完整的面積公式推導過程，以便在學生操作

學習面積推導時，能適切的給予學生引導。當學生能從豐富的具體操作經驗中將

面積公式抽象化，並能了解面積公式的意義及推導過程，背誦出來的公式就會有

意義，才不會隨意將公式張冠李戴。

參考文獻

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