funÇÕes transcendentes

5

UNIJUÍ – Universidade Regional do Noroeste do Estado do

Rio Grande do Sul

DeFEM - Departamento de Física, Estatística e Matemática

FUNÇÕES TRANSCENDENTES

Ângela Patricia Spilimbergo

Cleusa Jucela Meller Auth

Lecir Dalabrida Dorneles

Ijuí (RS), Agosto de 2001

6

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO......................................................................... 04

1. FUNÇÃO EXPONENCIAL.................................................

1.1. Potenciação..........................................................................

1.2. Definição de Função Exponencial.......................................

1.3. Equação Exponencial..........................................................

1.4. Inequação Exponencial.......................................................

05

05

06

08

09

2. FUNÇÃO LOGARÍTMICA.................................................

2.1. Logaritmos..........................................................................

2.2. Aplicações de Exponenciais e Logaritmos..........................

2.3. Definição de Função Logarítmica.......................................

2.4. Equações Exponenciais e Logarítmicas..............................

2.5. Inequação Logarítmica........................................................

11

11

14

18

22

24

3. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DIRETAS.................

3.1. Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo...............

3.2. Medida de Arco...................................................................

3.3. Circunferência Trigonométrica...........................................

3.4. Redução ao 1o Quadrante....................................................

3.5. Relações Fundamentais e Derivadas...................................

3.6. Funções Circulares..............................................................

3.6.1. Função Seno..................................................................

3.6.2. Função Cosseno.............................................................

3.6.3. Função Tangente...........................................................

3.6.4. Função Cotangente........................................................

3.6.5. Função Secante..............................................................

3.6.6. Função Cossecante........................................................

3.7. Gráficos Diversos das Funções Trigonométricas................

27

27

37

43

46

48

51

51

57

58

60

62

64

66

4. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS...............

4.1. Função Arco Seno...............................................................

4.2. Função Arco Cosseno..........................................................

4.3. Função Arco Tangente........................................................

4.4. Função Arco Cotangente.....................................................

4.5. Função Arco Secante...........................................................

68

68

69

71

72

74

7

4.6. Função Arco Cossecante..................................................... 75

5. FUNÇÕES HIPERBÓLICAS..............................................

5.1. Função Seno Hiperbólico....................................................

5.2. Função Cosseno Hiperbólico..............................................

5.3. Função Tangente Hiperbólica.............................................

5.4. Função Cotangente Hiperbólica..........................................

5.5. Função Secante Hiperbólica................................................

5.6. Função Cossecante Hiperbólica..........................................

77

77

77

78

78

79

79

6. FUNÇÕES HIPERBÓLICAS INVERSAS.........................

6.1. Função Arco Seno Hiperbólico...........................................

6.2. Função Arco Cosseno Hiperbólico.....................................

6.3. Função Arco Tangente Hiperbólica....................................

6.4. Função Arco Cotangente Hiperbólica.................................

6.5. Função Arco Secante Hiperbólica.......................................

6.6. Função Arco Cossecante Hiperbólica.................................

80

80

81

82

82

83

83

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS.......................................... 87

BIBLIOGRAFIA....................................................................... 94

8

INTRODUÇÃO

Este caderno destina-se a alunos que irão cursar a disciplina de

Funções II dos cursos de Licenciatura em Física e em Matemática,

bem como, a alunos de outros cursos de graduação, em disciplinas que

em seus programas conste o assunto Funções Transcendentes.

Um dos principais objetivos da elaboração deste caderno está

diretamente ligado ao fato de que a bibliografia geralmente

recomendada, é falha em alguns aspectos. Com base nisso buscamos

uma coletânea de conceitos e definições a fim de obtermos então, um

material mais completo sobre este assunto.

Nossa experiência profissional mostra, que mesmo que as

noções teóricas sobre o assunto sejam absorvidas rapidamente pelos

alunos, nem sempre essas são bem compreendidas por eles. Então,

entendemos que a resolução de problemas práticos torna este conteúdo

mais atraente para o aluno e mais facilmente compreendido por ele.

Apresentamos neste caderno definições, principais conceitos e

propriedades das funções:

Exponenciais

Logarítmicas

Trigonométricas Diretas e Inversas

Hiperbólicas Diretas e Inversas.

Além disso propomos atividades no computador, como

atividades de apoio à aprendizagem dessas funções.

9

1. FUNÇÃO EXPONENCIAL

1.1. Potenciação

Definição de potência. Seja “a” um número real e “n” um

número natural, potência de base “a” e expoente “n” é o número tal

que:

1. n

fatoresn

aaaa , se n > 1

2. aa1

3. a0 = 1, se a 0

Propriedades da potência. Se “a” e “b” R e “m” e “n” N,

então valem as seguintes propriedades:

1. am

. an = a

m+n

2. nm

n

m

aa

a , a 0 e m n

3. (a.b)n = a

n.b

n

4. 0b,b

a

b

a

n

nn

5. (am

)n = a

m.n

Potência de expoente inteiro e negativo. Sendo “a” R* e “n”

inteiro e positivo, definimos:

n

nn

a

1

a

1a

Potência de expoente racional. Seja “a” R+, “m/n” Q

sendo n > 1, então definimos:

n mn

m

aa

10

Teoremas

1. Sendo a R, a > 1 e n R, temos:

an > 1 se, e somente se, n > 0.

2. Sendo a R, a > 1, r e s R, temos:

as > a

r se, e somente se, s > r.

3. Sendo a R, 0 < a < 1 e b R, temos:

ab > 1 se, e somente se, b < 0.

4. Sendo a R, 0 < a < 1, r e s R, temos:

as > a

r se, e somente se, s < r.

1.2. Definição de Função Exponencial. Dado um número real “a”, tal

que 0 < a 1, chamamos função exponencial de base “a” a função f de

R em R que associa a cada “x” real o número ax.

f : R R

x ax

a > 1

0 < a < 1

11

ANÁLISE DA FUNÇÃO

1. O gráfico fica totalmente acima do eixo “x” e corta o eixo “y” em

(0, 1).

2. É crescente quando a > 1.

3. É decrescente quando 0 < a < 1.

4. O domínio é todos os reais (D = R) e a imagem os reais positivos

diferentes de zero (Im = R+*).

A função y = ex é também uma função exponencial cuja base é

o número irracional e = 2,718281828459..... O número e é irracional,

isto é, não pode ser obtido como quociente (p/q) de dois inteiros. Mais

ainda: é um irracional transcendente. Isto significa que não existe um

polinômio P(x) com coeficientes inteiros, que se anule para x = e. Ele é

determinado por:

e =

n

n n

11lim

ou

0n!n

1 = e

12

Exercícios

Faça a análise das seguintes funções e construa o esboço do gráfico.

a) f(x) = 2x b) f(x) =

x

2

1

c) f(x) = ex d) f(x) = e

-x

1.3. Equação Exponencial

Definição. Equações exponenciais são equações com incógnitas no

expoente.

Método da redução a uma base comum: )1a0(cbaa cb .

Exemplos

a) 2x = 64 b) 3x 81)3(

c) 4x –2

x = 56 d) 505555 1xx2x

Solução Solução

2x = 2

6 (3

1/2)x = 3

4/3

logo x = 6 logo x = 8/3

S = {6} S = {8/3}

Solução Solução

Fazendo 2x = y, temos 5

x.5

-2 – 5

x + 5

x.5 = 505

y2 –y – 56 = 0 5

x(5

-2 –1 + 5) = 505

Resolvendo esta equação, encontramos: 5x = 5. 5

2

y’ = 8 e y’’ = -7 . Substituindo em y = 2x 5

x = 5

3 logo

temos 8 = 2x, portanto x = 3. x = 3

S = {3} S = {3}

13

Exercícios

Resolva as seguintes equações exponenciais.

a)2x = 128 b)3

x = 243 c) x2 =

16

1

d) x)5

1( = 125 e)(125)

x = 0,04 f) 22252523 5x3x1xx

g)(100)x = 0,001 h) x5 )4( =

8

1 i) 05)25(.5x2 2x3x 5x22x

j)74x+3

= 49 k) 12x4x 44

2

l) 1x231x3 )16()2(

m)(2x)x-1

= 4 n)23x-1

= 32 o) 3063333 2x1xx1x

p)8x =0,25

q) 9039 xx r) 4805555 2x41x4x41x4

1.4. Inequação Exponencial

Definição. Inequações exponenciais são as inequações com incógnita

no expoente.

Método da redução a uma base comum. Este método será aplicado

quando ambos os membros da inequação puderem ser representados

como potências de mesma base a (0 < a 1).

Lembremos que a função exponencial f(x) = ax é crescente, se a > 1,

ou decrescente, se o < a < 1, portanto:

Se b e c são números reais, então:

para a > 1 tem-se ab > a

c b > c

para 0 < a < 1 tem-se ab > a

c b < c.

14

Exemplos

a) 2x > 128 b)

27

125)

5

3( x c)2

x - 1 > 2

1-x

Exercícios

1) Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) as seguintes sentenças.

a) 32,7

> 1 b) (0,3)0,2

> 1 c) 1)5

4( 5,1

d)21,3

> 21,2

e) 7,13,2 )3

2()

3

2( f)(0,11)

-3,4 < (0,11)

4,2

g) 3)2( < 2)2( h) 44/93 8)2(

2) Resolva as seguintes inequações exponenciais.

a) 2x < 32 b)

81

1)

3

1( x c) 4

x 8

Solução

a) 2x > 2

7 x > 7

S = {x R / x > 7}

b) (3/5)x (5/3)

3 (3/5)

x (3/5)

-3 x -3

S = {x R / x -3}

c) 2x – 1> 2/2

x 2

x(2

x – 1) > 2 (2

x)2 – 2

x – 2 > 0

fazendo 2x = y, temos: y

2 – y – 2 > 0 y < -1 ou y > 2

Mas 2x = y, logo: 2

x < -1 ou 2

x > 2

Como 2x > 0 x R, temos:

2x > 2 x > 1

S = {x R/ x > 1}

15

d) 3x < 1/27 e) x)2( >

3 16

1 f) (0,16)

x > 5 625,15

g) (0,008)x > 3 25 h) 3

2x + 2 – 3

x + 3 > 3

x – 3

2. FUNÇÃO LOGARÍTMICA

2.1. Logaritmos

No início do século XVII, os cálculos envolvidos nos assuntos

de Astronomia e Navegação eram longos e trabalhosos. Para

simplificar esses cálculos, surgiram nessa época as primeiras tábuas de

logaritmos inventadas por Jost Bürgi (1552-1632) e Jonh Napier

(1550-1617) que foram aperfeiçoadas por Henry Briggs (1561-1631)

apresentando os logaritmos decimais. A principal contribuição dos

logaritmos para facilitar os cálculos foi a de transformar produtos em

somas, quocientes em diferenças, etc. Sua utilidade, desde aquela

época até bem recentemente, foi incontestável e os serviços que

prestaram foram reconhecidos e elogiados por muitos. Mas, com o

advento das calculadoras manuais e dos computadores, as tábuas de

logaritmos perderam sua utilidade. Hoje, o que importa especialmente

são certas propriedades funcionais da função logaritmo e de sua

inversa.

Além do seu emprego generalizado para tornar possíveis

operações aritméticas complicadas, as funções logarítmicas,

juntamente com suas inversas, as exponenciais, revelam-se possuidoras

de notáveis propriedades, que as qualificam como modelos ideais para

certos fenômenos de variação, nos quais a grandeza estudada aumenta

(ou diminui) com taxa de variação proporcional à quantidade daquela

grandeza existente no momento dado. Exemplo deste tipo de variação,

(chama-se variação exponencial) é um capital empregado a juros

contínuos (crescimento). Inúmeras outras situações desta natureza

16

existem, em quantidade e importância suficientes para justificar a

presença das funções exponenciais e logarítmicas na matemática, nas

Ciências e na Tecnologia.

A escala Richter é uma escala logarítmica de medição da

energia liberada pelos terremotos sob a forma de ondas que se

propagam pela crosta terrestre. Nela, é utilizado o logaritmo decimal.

O logaritmo decimal é também utilizado, na Física, na definição da

intensidade auditiva ou nível sonoro. Na Astronomia, o brilho das

estrelas é também medido por uma escala logarítmica. Assim como em

outras áreas do conhecimento.

Definição de Logaritmo. Considerando-se dois números “N” e “a”

reais e positivos com a 1, a >0 e N > 0, existe sempre um número “c”

tal que: ac = N. A esse expoente “c” damos o nome de logaritmo de

“N” na base “a” e definimos como:

OBS: N = logaritmando ou antilogaritmo, a = base e c = logaritmo.

Conseqüências da definição

1) loga a = 1 2) loga1 = 0

3) babloga 4) cbc

alogb

alog

Propriedades do Logaritmo

1)loga (M/N) = loga M - logaN vem que loga1/a = -1

2) loga (MN) = logaM + logaN

logaN = c aC = N

17

3) cologa N = - log a N

4) loga N

= loga N vem que loga am

= m

5) Nlog1

Nlog aa

Mudança de base. logb N = blog

Nlog

a

a

Antilogaritmo. Sejam “a” e “b” números reais positivos com a 1; se o

logaritmo de “b” na base “a” é “x”, então “b” é o antilogaritmo de “x”

na base “a”.

xbloga xlogantib a .

Exemplo

antilog32 = 9 pois log39 = 2.

Exercícios

1) Aplicando a definição, calcule o valor dos logaritmos.

a) log25 0,2 b) log3 81 c) log16 32 d) log5 0,000064

e) 4log 8 f)

9

1log)h27log)g16log 9

38

3

1

2. Calcule o valor de cada expressão.

a) 2log55 b)

2log2 c) 144log

32

18

3. Calcule o valor de y em cada expressão abaixo.

a) y = 5log3 22 b) y = )125(loglog 53

4. Admitindo satisfeitas as condições de existência, desenvolva as

expressões.

a) 32

2

5zy

xlog b) 3

4

4 2

2)2x(x

1xlog

5. Para todo x > 0, indicamos log x = log10 x . Dados: log2 = 0,3010 e

log3 = 0,4771, calcule cada logaritmo aplicando as propriedades.

a) log 6 b) log 5 c) log 1800 d) log 0,0072

6. Dados log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771, calcule 30log6 .

7. Dados log 2 = 0,30103; log 1,2 = 0,07918; log 3 = 0,47712.

Determine o que se pede.

a) log (510-5

) b) log (1,2105) c) log (510

8)

d) log (210-2

) e) log 5 3 10

10

5

0

f) log 2 105

2.2. Aplicações de Exponenciais e Logaritmos

A) JURO COMPOSTO

19

Se a taxa de juros é de 100 por cento ao ano, pagável (isto é,

composta) k vezes ao ano, uma quantia C de dinheiro torna-se após n

anos: M = C (1 + k

i)nk

.

Exemplo. Um homem deposita R$ 5000,00 a juros de 6% a.a. Em

quanto tempo ele terá um montante de R$ 8954,24.

a) se o juro é pagável anualmente;

b) se o juro é pagável trimestralmente?

B) CRESCIMENTO BIOLÓGICO

Muitas leis de crescimento biológico são representadas pela

equação to RNN , onde N é o número de indivíduos de uma

população no instante t, No é o número inicial de indivíduos da

população no instante zero e R > 0 é a taxa de crescimento.

Exemplo. O número de indivíduos de uma população de bactérias no

instante t é definido pela função f(t) = 30.31095.t

, sendo t o tempo dado

em minutos. Em quanto tempo esta população chegará a 11100

bactérias?

Solução

a) M = 5000(1 + 0,06)t 8954,24 = 5000(1,06)

t

logo t 10 anos

b) M = 5000(1+ 0,06/4)4t

8954,24 = 5000(1 + 0,015)4t

logo t 9 anos e 9 meses

Solução

11.100 = 30 (31095 t

)

370 = 31095t

log(370) = 1095t.log(3)

1095 t = log(370)/log(3)

t 0,29 segundos

20

C) NIVEL DE RUÍDO Nível sonoro (N) de um som é o quociente entre suas

intensidades i e i0 , onde i0 é a menor intensidade do som detectável

pelo ouvido humano.

Para a construção de uma escala sonora ajustada às

propriedades físicas do ouvido humano, convencionou-se obter o nível

sonoro estabelecendo-se o logaritmo decimal do quociente entre i e i0

multiplicado por 10. Assim

A unidade do nível sonoro é o decibel (dB), sendo i (W/m2).

Submetido a níveis sonoros superiores a 80 dB, o ouvido

humano pode perder irrecuperavelmente a sensibilidade auditiva.

Exemplo. No interior de um consultório dentário, os motores

funcionam de forma inadequada e o nível sonoro é de 100dB.

Considerando que a mínima intensidade sonora audível é i0 = 10-12

W/m2, determinar, a intensidade sonora (i).

N = 10 . log

0i

i

Solução

N = 10.log (i/10-12

) 100 = 10. log (i/10-12

) 10 = log(i/10-12

)

1010

= i/10-12

logo i = 10-2

W/m2

21

Exercícios

1) A população de uma determinada cidade cresce exponencialmente

segundo a lei: P(t) = Po.ek.t

, onde P(t) é a população final, Po é a

população inicial, t número de anos (tempo), “e” é uma constante e k é

o percentual (%) de crescimento da população. Sendo a população

inicial de 30000 habitantes com o crescimento de 2,5% ao ano,

pergunta-se:

a) Qual a população daqui a 20 anos?

b) Em quanto tempo a população atingirá 150000 habitantes?

2) Uma pessoa empregou uma quantia equivalente a 10 S.M.(salários

mínimos) a uma taxa de 3% ao mês, capitalizados mensalmente.

Determine o montante (total obtido em salários mínimos), resultante

após 1 ano.

3) Num determinado país, a população cresce a uma taxa de 4% ao ano

aproximadamente. Considerando-se como base o ano de 1998, em

quantos anos a população desse país triplicará?

4) Determine o tempo mínimo necessário para que um capital,

empregado à taxa de 5% ao mês, com juros capitalizados

mensalmente, dobre de valor.

5) Determine a taxa mensal mínima para que um capital, empregado

com juros capitalizados mensalmente, triplique de valor em 18 meses.

6) A população de um certo país cresce a uma taxa de 2% ao ano. Em

quanto tempo esse país dobrará sua população?

7) Determine o nível sonoro (em dB) sabendo-se que uma pessoa

encontra-se às margens de uma rua movimentada, com intensidade

sonora de 10-4

W/m2 sabendo-se que a limiar de audibilidade é 10

-

12W/m

2.

22

8) Na escala Richter, a magnitude de um terremoto de intensidade I é

dada por 10ln

ln IR ;

a) Encontre a intensidade do terremoto de 1906 em San Francisco, que

mediu 8,3 na escala Richter.

b) Quão mais intenso foi o terremoto de San Francisco em 1906 do que

o de 1995 em Kobe, no Japão, que mediu 7,1?

2.3. Definição de Função Logarítmica. Dado um número real “a”

sendo 0 < a 1, chamamos de função logarítmica de base “a” a função

f de *R em R que associa a cada “x” o número xloga .

f : *R R

x xloga


a > 1

0 < a < 1

23

1. Se 0 < a 1, então a função f de

R em R definida por f(x) = logax

admite a função inversa de g de R em R definida por g(x) = a

x. Logo,

f é bijetora e, portanto, a imagem de f é R.

2. A função é crescente para a > 1 e decrescente para 0 < a < 1.

3. O gráfico não intercepta o eixo “y” e corta o eixo “x” em (1, 0).

4. O domínio é os reais positivos diferentes de zero (D = R+*) e a

imagem todos os reais (Im = R).

Função Logarítmica Natural ou Neperiana. f(x) = ln x ou loge x = lnx.

Exercícios

1. Trace, num mesmo sistema de eixos, o esboço dos gráficos das

funções abaixo.

a) f(x) = 2x

b) g(x) = xlog2

c) h(x) = x

A que conclusão podemos chegar?

24

2. Um cidadão tem acompanhado a evolução do preço de determinado

produto anualmente, elaborou a seguinte tabela:

31/12/1998 31/12/1999 31/12/2000 31/12/2001

R$ 100,00 R$1.000,00 R$ 10.000,00

a) Supondo que sua evolução mantenha o mesmo padrão de

regularidade apresentado na tabela, qual será o preço do objeto em

31/12/2001?

b) Expresse o preço do objeto em função do tempo a partir de 1998

(em anos).

c) Em que mês e ano o preço atinge R$ 50.000,00?

3. Você deseja encher uma caixa com grãos de feijão, colocando

apenas um, e a cada minuto dobrando a quantidade colocada

anteriormente na caixa. Quanto tempo levará para encher uma caixa de

20x30x15cm e considerando um grão de feijão com 0,5cm3.

4. A área total de uma lavoura de soja é de 120000m2. Uma parte dela,

corresponde a 20000m2 que está infestada de lagartas, que aumenta

50% ao mês. Depois de aproximadamente quanto tempo a lavoura de

soja estará infestada totalmente?

5. Esboce o gráfico das funções.

a) y = log3 x b) y = log 1

3

x

6. Calcule os logaritmos abaixo.

a) ln 1 b) ln e

7. Calcule o antilogaritmo.

a) ln x = 0 b) log x = 3,30103 c) log x = 1

d) ln x = 3 e) log x = 2,69897 f) ln x = 0,269

g) ln x = 0,633 h) log3 x = 4 i) log3 x = -2

25

8. Determine o valor de x.

a) ex = 10

4 g) log x - log2 = 50/23

b) 10x = e

2,4 h) log x - log3 = 0,6/2,4

c) 2x = 3 i) log (x/2) + log5 = 8

d) e4 = 10

x j) log (1/x) = 5,4

e) e8 = 10

x l) log (1/3) = x

f) 102x

= e m) log 0,01 0,001 = x

9. Determine m R para que a função

a) f(x) = (2m – 1)x seja crescente em R

b) f(x) = (-3m +1)x seja decrescente em R

ATIVIDADE COMPUTACIONAL - I

Através do Aplicativo Graphmat, desenvolva as atividades

computacionais a seguir e faça suas conclusões referentes a cada tipo

de função envolvida, tendo sempre como pano de fundo o gráfico da

“função mãe”.

1. Faça o gráfico da função xa)x(f (função mãe), para diferentes

valores de “a” sendo a > 0 e a 1.

2. Faça o gráfico da função ba)x(f x , para diferentes valores de

“b” (b R) mantendo “a” constante.

3. Faça o gráfico da função bxa)x(f , para diferentes valores de “b”

(b R) mantendo “a” constante.

4. Faça o gráfico da função xlog)x(f a (função mãe), para

diferentes valores de “a”, sendo a > 0 e a 1.

26

5. Faça o gráfico da função )bx(log)x(f a para diferentes valores

de “b” (b R) mantendo “a” constante.

6. Faça o gráfico da função bxlog)x(f a , para diferentes valores

de “b” (b R) mantendo “a” constante.

7. Faça o gráfico das funções x10)x(f e xlog)x(f . Compare

estes gráficos com o gráfico da função f(x) = x.

8. Faça o gráfico das funções xe)x(f e xln)x(f . Compare estes

gráficos com o gráfico da função f(x) = x.

2.4. Equações Exponenciais e Logarítmicas

1) Equações exponenciais não redutíveis a base comum. São equações

que não podem ser reduzidas a uma igualdade de potências de mesma

base pela simples aplicação das propriedades das potências. A

resolução de uma equação deste tipo baseia-se na definição de

logaritmo, isto é, se 0 < a 1 e b > 0, tem-se:

ax = b logab = x

Exemplo. Resolva as equações

a) 2x = 3 b) 5

2x-3 = 3

Solução

a) log2x = log3 x log2 = log3 x = log3/log2

b) log52x – 3

= log3 (2x-3)log5 = log3 2x-3 = log3/log5

x = (log3/log5 +3)/2

27

2) Equações logarítmicas. Podemos classificar as equações

logarítmicas em três tipos:

a) loga f(x) = loga g(x), f(x) = g(x) > 0. É a equação que

apresenta, ou é redutível a, uma igualdade entre dois logaritmos de

mesma base “a” (0 < a 1).

Exemplo. Resolva a equação log2 (3x-5) = log2 7.

b) loga f(x) = . É a equação logarítmica que apresenta, ou é

redutível a, uma igualdade entre um logaritmo e um número real. A

resolução de uma equação deste tipo é simples, basta aplicarmos a

definição de logaritmo. Se 0 < a 1 e R, então loga f(x) =

f(x) = a.

Exemplo. Resolva a equação log2(3x+1) = 4

c) incógnita auxiliar. São as equações que resolvemos fazendo

inicialmente uma mudança de incógnita.

Exemplo. Resolva a equação (log2 x)2 – log2 x = 2

Solução

3x – 5 = 7 x = 4

Solução

24 = 3x + 1 x = 5

28

Exercício. Resolva as equações

a) log4 (3x+2) = log4 (2x+5)

b) log5 (4x-3) = 1

c) log4 (4x2 + 13x + 2) = log4(2x+5)

d) log4 ( x2 – 4x + 3) =

21

e) log2[1 + log3(1-2x)]=2

f) log5 (x2-3x-10) = log5(2-2x)

g) 2xlog1

xlog

xlog

xlog2

3

3

3

3

h) log(x+2) (x+3) = log(x+2)5

i) logx (2x+3) = 2

Solução

Fazendo log2x = y, temos y2 – y – 2 = 0

Resolvendo esta equação, encontramos:

y’ = 2 e y’’ = -1 . Substituindo em y = log2x

temos

log2x = 2 x = 4 e log2x = -1 x = 1/2

S = {1/2, 4}

29

2.5. Inequação Logarítmica

Na resolução de inequações do tipo b)x(flog a ,

procuraremos obter logaritmos de mesma base nos dois membros da

desigualdade.

Se a > 1, conservamos o sinal da desigualdade (função

crescente).

Se 0 < a < 1, o sinal da desigualdade será invertido (função

decrescente).

Exemplos

a) 1)x52(log3 b) )3x(log1)21x10x(log 22

2

c) 1)x52(log

3

1 d) 02xlog3)x(log 32

3

e) 12log x

Solução

a) log3(2-5x) log33 2 - 5x 3 e 2 – 5x > 0

logo: -5x 1 x -1/5 e -5x > -2 x < 2/5

S = { x R / –1/5 x < 2/5}

b) log2(x2-10x+21) log22+log2(x-3)

log2(x2-10x+21) log2[2(x-3)]

(x2-10x+21) [2(x-3)] sendo x

2-10x+21 > 0 e 2x-6 > 0

x2 –12x+27 0 como:

S1= {x R / x 3 ou x 9} S2 = {x R / x < 3 ou x > 7}

S3 = {x R / x > 3, então

S = {x R / x 9}

c) log1/3(2-5x) log1/3(1/3) 2 - 5x 1/3 e 2 – 5x > 0

logo: -5x -5/3 x 1/3 e -5x > -2 x < 2/5

S = { x R / x 1/3}

d) Fazendo log3x = y, temos y2 – 3y + 2 > 0

Resolvendo esta inequação, encontramos:

y < 1 ou y > 2. Substituindo em y = log3x

temos

log3x > 2 ou log3x < 1 e x > 0

log3x > log39 ou log3x < log33

x > 9 ou x < 3 e x > 0

S = {x R / 0 < x < 3 ou x > 9}

30

Exercícios

Resolva as Inequações

1) 4log)2x5(log 33

2) )5x2(log)1x(log

10

12

10

1

e) logx2 < logxx Base: 0 < x < 1 ou x > 1

Situação 1. Para base 0 < x < 1, temos 2 > x e x > 0

S1 = { x R / 0 < x < 1}

Situação 2. Para base x > 1, temos 2 < x e x > 0

S2 = {x R / x > 2}, portanto

S = {x R / 0 < x < 1 ou x > 2}

31

3) 5log2)4

3xx(log 2

2

2

1

4) 02xlog5)x(log3 32

3

5) 1xlog 2)3x2(

6) 1)2x(log 2x

3. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DIRETAS

3.1. Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo

Hipotenusa CB = a

Catetos AB = c e AC = b

Cateto oposto a B = b

Cateto adjacente a B = c

Cateto oposto a C = c

Cateto adjacente a C = b

Constantes trigonométricas

A B

C

a

b

c

.

32

Do ponto de vista matemático, o desenvolvimento da

trigonometria está associado à descoberta de constantes nas relações

entre os lados de um triângulo retângulo.

Exemplo. As medidas dos lados dos triângulos ABC, ADE e

AFG estão indicados na figura. O ângulo Â mede e portanto

podemos estabelecer as seguintes razões:

1º) Razões entre os catetos opostos a Â e as hipotenusas:

BC

AC

3

5;

DE

AE

6

10

3

5;

FG

AG

9

15

3

5

Essas razões são chamadas

de seno de Â.

2º) Razões entre os catetos adjacentes a Â e as hipotenusas:

5

4

15

12

AG

AF;

5

4

10

8

AE

AD;

5

4

AC

AB Essas razões são chamadas

cosseno de Â.

3º) Razões entre os catetos opostos a Â e os catetos adjacentes a Â:

CB

AB

3

4;

ED

AD

6

8

3

4;GF

AF

9

12

3

4

Essas razões são chamadas

tangentes de Â.

33

Portanto:

sen = cateto oposto a

hipotenusa

cos = cateto adjacente a

hipotenusa

tg = cateto oposto a

cateto adjacente a

Relações entre seno, cosseno e tangente de ângulos agudos

Se tivermos um triângulo retângulo de hipotenusa igual a 1u.c.,

teremos:

bsen1

bsen

ccos1

ccos

logo

C

.

A B

1 b

c

34

então

1)

cos

sentg

2) Por Pitágoras: sen2 + cos

2 = 1

Razões trigonométricas de 30º, 45º e 60º

Para calcularmos as razões trigonométricas de 45º partimos de

um quadrado de lado “x”, no qual traçamos uma das suas diagonais

dividindo-o em 2 triângulos retângulos isósceles.

d² = x² + x²

d² = 2x²

d = 2x2

d = 2x

então

sen 45º = 2x

x sen 45º = 2

2.

2.x

x sen 45º = 2

2

sen

cos

1

d

45º

x

x

x x

x

x

x 2

35

cos 45º = 2x

x cos 45º = 2

2.

2x

x cos 45º = 2

2

tg 45º = x

x tg 45º = 1

Para calcularmos as razões trigonométricas de 30º e 60º

partimos de um triângulo equilátero, no qual traçamos uma altura, e

obtemos um triângulo retângulo cujos ângulos medem 30º e 60º.

Sen30º = x

2

x

sen 30º = x

1.

2

x sen 30º = 2

1

Cos 30º = x

2

3x

cos 30º = x

1.

2

3x cos 30º = 2

3

Tg 30º =

2

3x

2

x

tg 30º = 3x

2.

2

x tg 30º = 3

3.

3

1 tg 30º = 3

3

36

sen 60º = x

2

3x

sen 60º = x

1.

2

3x sen 60º = 2

3

cos 60º = x

2

x

cos 60º = x

1.

2

x cos 60º = 2

1

360ºtg60ºtg60ºtgx2

2

3x

2x

2

3x

SITUAÇÕES PROBLEMA

1. Um observador vê um prédio construído em terreno plano, sob um

ângulo de 60º. Afastando-se do edifício mais 30m, passa a ver o

edifício sob o ângulo de 45º. Calcule a altura do prédio.

2. No triângulo ABC retângulo em A, B̂ = 35º e c = 4cm. Sendo

aBC e bAC , determine os valores de a e b.

3. Um observador, situado num ponto A, enxerga uma montanha

segundo um ângulo . Caminhando 400m em direção à montanha, ele

passa a enxergá-lo segundo um ângulo . Desprezando a altura do

observador, calcule a altura da montanha, sabendo que: tg = 1/2 e

tg = 5/6.

4. Calcule a área do triângulo ABC, de altura 2 cm, sendo = 30º e

= 45º.

37

5. Uma escada de bombeiro pode ser estendida até um comprimento

máximo de 25m, formando um ângulo de 70º com a base, que está

apoiada sobre um caminhão, a 2m do solo. Qual á a altura máxima que

a escada atinge?

6. Dois ciclistas A e B, movem-se em direção perpendicular um do

outro, à velocidade de 16m/s e 12m/s, respectivamente. Qual a

distância que os separa após 10 segundos?

7. Desejamos estender um único cabo telefônico que, partindo da casa

A passe pela casa B e também pela casa C. Do telhado da casa B, vê-se

a casa A exatamente na direção leste e C exatamente na direção sul. A

distância entre as casas A e B é 360m e de A a C é 450m. Calcule

quantos metros de cabo telefônico são necessários para realizar a

ligação da forma mais econômica?

Construção de seno e cosseno de 0º a 90º

Para isso devemos marcar e traçar ângulos de 0º a 90º. Este

trabalho deve ser feito com o auxílio de um transferidor em uma única

figura.

Trabalharemos com um triângulo retângulo de hipotenusa 1u.c

(1dm) e para marcar 1dm sobre os lados destes ângulos, centramos o

compasso em zero, com raio 1dm e descreveremos um arco de

circunferência.

38

A seguir fazemos aparecer os triângulos retângulos abaixo.

39

Do que vimos anteriormente, decorre que:

cos 10º = OB1 0,98 sen 10º = BB1 0,17

cos 20º = OC1 0,94 sen 20º = CC1 0,34

cos 30º = OD1 0,86 sen 30º = DD1 0,50

cos 40º = OE1 0,76 sen 40º = EE1 0,64

cos 50º = OF1 0,64 sen 50º = FF1 0,76

cos 60º = OG1 0,50 sen 60º = GG1 0,86

cos 70º = OH1 0,34 sen 70º = HH1 0,94

cos 80º = OC1 0,17 sen 80º = I I1 0,98

Esta última figura dá uma nova dinâmica às nossas idéias.

Podemos imaginar um ponto P percorrendo um arco de circunferência

de raio unitário.

Quando varia, P muda de posição, e na figura podemos ver

claramente o que acontecerá com os valores de cos e sen .

40

Para determinação da tangente consideramos um triângulo

retângulo com cateto adjacente a igual a 1.c. e teremos:

1

AB

OA

ABtg

tg = __AB

Procederemos de forma semelhante ao que fizemos com o seno

e o cosseno. Novamente traçaremos ângulos de 0º a 90º e faremos

OA= 1u.c. (tomando para unidade o segmento que mede 2cm).

O A

B

1

tg 10º = AB 0,17

tg 20º = AC 0,35

tg 30º = AD 0,60

tg 40º = AE 0,85

tg 50º = AF 1,20

tg 60º = AG 1,75

tg 70º = AH 2,75

tg 80º = AI 5,60

41

A figura anterior dá uma dinâmica nova a noção de tangente de

um ângulo agudo. Podemos imaginar o ponto T percorrendo a reta t.

Com isso podemos reunir em uma só figura as noções de

cosseno, seno e tangente de um ângulo agudo .

42

Esta 4ª parte da circunferência de raio unitário chamaremos

quadrante trigonométrico.

3.2. Medida de Arco

Analisaremos as duas unidades mais importantes de medir

arcos de circunferências (ou ângulos): o grau e o radiano.

Grau. Consideremos uma circunferência qualquer dividida em

360 partes iguais, cada uma dessas partes é uma unidade de medida da

amplitude de qualquer arco dessa mesma circunferência. Essa unidade

de medida é chamada de um grau e indicamos por 1º. Portanto 1 grau

corresponde a 360

1 da circunferência onde está o arco a ser medido.

Os submúltiplos do grau são estabelecidos no sistema de base

60 (sexagesimal). São eles:

360

11

43

a) Minuto (de arco): 1º = 60’

b) Segundo (de arco): 1’ = 60”

Radiano. Um arco de 1 rad (um radiano) é um arco cujo

comprimento é igual ao raio da circunferência que o contém. Isto

significa que se pudéssemos “desentortar” o arco e medir o

comprimento obteríamos como resultado o raio da circunferência.

Sabemos que o comprimento da circunferência de raio “r” é

2r, onde = 3,141592... Isto significa que “desentortando” a

circunferência, obtemos um segmento de medida 2 vezes o raio.

Como a cada raio corresponde 1 rad, concluímos que a circunferência

possui um arco de 2 rad.

Usando o fato de que um arco de rad mede 180º, podemos

fazer a conversão de unidades empregando uma regra de três simples.

180º corresponde a rad ou 180º corresponde a 3,141592...rad

Se r for unitário

44

Exemplo. Qual é a medida em radianos de um arco de 6cm

contido numa circunferência de raio 2cm?

Exercícios

1. Determine em radianos a medida do arco de 60º.

2. Determine em graus a medida do arco 4

3 rad.

3. Determine em radianos, a medida do arco 20º 30’ (1º = 60’).

Comprimento de um arco

Vamos determinar o comprimento do arco , conhecendo o

ângulo central correspondente. Sabemos que uma circunferência

tem comprimento igual a 2r, ao mesmo tempo em que apresenta um

Solução. Se o raio é 2cm,

então, um arco de comprimento

2cm tem medida 1rad.

Concluímos que um arco de 6cm

mede 3rad. Como o ângulo

central tem a mesma medida do

arco correspondente, concluímos

que o ângulo da figura, mede

3rad.

r = comprimento do arco

r = raio

= ângulo central

45

ângulo de 2 rad. Portanto um arco de ângulo , terá um comprimento

, ou seja:

rad

rad2.m.ur2

rad2

rad.m.ur2

.m.ur

Por outro lado, conhecendo o comprimento do arco, podemos

determinar a medida do ângulo central correspondente:

.m.u

rad2.m.ur2

.m.ur2

.m.urad2

rad

r

Exemplo. Consideremos a seguinte aplicação. Um relógio tem ponteiro

das horas e ponteiro dos minutos. Pergunta-se:

a) Qual é o deslocamento do ponteiro das horas em uma

hora?

Solução.

Notando que o mostrador está dividido em 12 partes iguais (uma para cada hora)

então, para cada hora corresponderá um deslocamento de 360º 12, ou seja, em 1

hora o ponteiro das horas se desloca 30º.

46

b) Qual é o deslocamento do ponteiro das horas em um

minuto?

Solução. Já sabemos que em uma hora (60 min) o ponteiro das

horas se desloca 30º. Temos a seguinte regra de três simples e direta:

Tempo (em min) deslocamento (em graus)

60 30

1 x

Portanto x = 0,5º, então, em cada minuto (tempo) o ponteiro

das horas se desloca 0,5º, ou seja, 30’(ângulo).

c) Qual é o deslocamento do ponteiro dos minutos em 1

hora?

Solução. Numa hora o ponteiro dos minutos dá uma volta

completa, ou seja, o deslocamento é 360º.

d) Qual é o deslocamento do ponteiro dos minutos em 1

minuto?

Solução. Numa hora (60 minutos) o ponteiro dos minutos se

desloca 360º. Portanto:

Tempo (em min) deslocamento (em graus)

60 360

1 x

Então x = 6º, ou seja , em cada minuto o ponteiro dos minutos

se desloca 6º.

47

e) Qual o menor arco determinado pelos dois ponteiros

quando for 3h 10min?

Solução. Vamos analisar o que ocorre desde as 3h até 3h

10min.

Às 3h o arco era de 3 x 30º, ou seja, 90º. Nos 10 min o ponteiro

das horas se deslocou 2

110 grau, ou seja, 5º. Nos mesmos 10 min o

ponteiro dos minutos se deslocou 10 x 6º, ou seja, 60º. Então o arco

procurado mede: 90º + 5º - 60º = 35º. O menor arco às 3h 10 min mede

35º.

Exercícios

1. Calcule o comprimento de um arco determinado em uma

circunferência de raio 3cm, sabendo que esse arco mede 3

rad.

2. Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio

quando este marca 13h 25min.

3. Calcule o menor dos ângulos formados pelos ponteiros de um

relógio que marca:

48

a) 2h 40 min b) 5h 55 min

c) 6h 30 min d) 10h 15 min

3.3. Circunferência Trigonométrica

É uma circunferência orientada em

que:

- o raio é unitário

- o sentido positivo é o anti-horário

- o sentido negativo é o horário

A circunferência possui 360 ou 2

rad 6,28 rad se tomarmos 3,14.

Considerando no plano cartesiano, uma circunferência de

centro em (0,0) teremos:

–

+

49

Amplição das noções de seno, cosseno e tangente para ângulos de 0

a 360

No plano cartesiano, considerando uma circunferência

trigonométrica de centro (0,0). Seja “t” a reta tangente a ela no ponto

(1,0).

Seja P um ponto da circunferência localizado no 1 quadrante.

1. Cosseno de = abcissa do

ponto P

cos = OQ

2. Seno de = ordenada do ponto

P

sen = QP

3. Tangente de = ordenada do

ponto T

tg = AT

As ampliações das noções de seno, cosseno e tangente de um

ângulo serão feitas mantendo-se estas idéias.

50

P localizado no 2º Q

51

Valores Notáveis de Seno, Cosseno e Tangente

0 90 180º 270 360

sen 0 1 0 -1 0

cos 1 0 -1 0 1

tg 0 0 0

Sinais



52

Podemos observar também que:

coscos sensen

3.4. Redução ao 1 Quadrante

Redução do 2º Quadrante ao 1º

É uma forma de determinar seno, cosseno e tangente de ângulos

que não estão no 1quadrante, relacionando-os com ângulos do

1quadrante. A meta é ficar conhecendo seno, cosseno e tangente a

partir de uma tabela que forneça os valores de seno, cosseno e tangente

de ângulos entre 0 e 90.

AP = e AP’= x

Temos: AP+ PA’= 180

Mas PA’ = AP’

então: AP+ AP’= 180

mas + x = 180

= 180 - x

ou

x = 180º -

53

Redução do 3 Quadrante ao 1

Dado um ângulo tal que 180 270 e seja P a imagem de

no ciclo trigonométrico. Seja P’

o simétrico de P em relação ao

centro do ciclo.

AP= e AP’= x

AP- AP’= 180

- x = 180

= 180 + x

ou

x = - 180º

Exemplo. cos 115 = ?

= 115 ao 2 Q = 180 - x 115 = 180 - x

logo x = 65.

Como 115 2 Q e cosseno no 2 quadrante é negativo, teremos

portanto que:

cos 115= - cos 65

Exemplo. sen 210= ?

= 210 3 Q = 180 + x 210 - 180 = x

logo x = 30.

Como 210 3 Q e seno no 3 quadrante é negativo, teremos

portanto que:

sen 210= - sen 30

54

Redução do 4 Quadrante para o 1

Dado um ângulo tal que 270 360 e seja P a imagem de

no ciclo trigonométrico.

Seja P’ o ponto no ciclo, simétrico a P em relação ao eixo dos

cossenos.

AP = e AP’= x

AP+ PA = 360

mas PA = AP’

então AP + AP’= 360

portanto + x = 360

= 360 - x

ou

x = 360o -

3.5. Relações Fundamentais e Derivadas

1xcosxsen)1 22

Exemplo. sen 330

= 330 4 Q e seno no 4 quadrante é negativo, teremos

portanto sen 330 = - sen 30

55

0xcos;xcos

xsenxtg)2

0xsen;xsen

xcosxgcot)3

0xcos;xcos

1xsec)4

0xsen;xsen

1xseccos)5

6) Considerando a relação 1xcosxsen 22 e dividindo os dois

membros por )0x(cosxcos 22 , temos:

)xcos(1xcosxsen 222

xsec1xtg 22

7) Considerando a relação 1xcosxsen 22 e dividindo os dois

membros por )0x(senxsen 22 , temos:

)xsen(1xcosxsen 222

xseccosxgcot1 22

56

Atividade. Analise os sinais e a paridade das funções tangente,

cotangente, secante e cossecante.

Exercícios

1) Se cos x = 10

3 ,

x

2 calcule o valor de:

xseccosxgcot2 2 .

2) Se 5xtg , calcule o valor de sen2x.

3) Se x é um arco do 3º quadrante e tg x = 1, calcule o valor de cos x.

4) Se x é um arco do 2º quadrante e sec x = -3, calcule o valor de

cossec x.

5) Simplifique a expressão xsenxgcot

xsen1 2

.

6) Determine o valor das expressões.

a) sen (450º) d) cos (1500º) g) tg (405º) j) sec (11/6)

b) sen (-390º) e) cos (-900º) h) tg (-10/3) l) cossec (120º)

c) sen (61/6) f) cos (25/3) i) cotg (150º) m) cossec (5/4)

7) Calcule o valor da expressão dada por:

57

º90seccos3º0cos5

º135tg4º270seccosº180sec2º90sen3

.

8) Determine “m” para que x = /6 seja raiz da equação:

0xseccosmxgcot2xsec)6m3( 222

9) Determine o valor de xsecxcos

xseccosxsen3

, sabendo que x = 390º.

10) Sabendo que x é um arco com extremidade no 3º quadrante,

determine o sinal da expressão y, dada por:

a) tgxxsen4

xgcotxseccosxcos3y

2

b) xtgxseccosxsec

xcosxseny

3

23

3.6. Funções Circulares

Propriedade Geral das Funções Periódicas

“Se f(x) tem período p, então f(ax+b) tem período P = a

p”.

Exemplos.

1) y = sen (5x + 6

) y = sen x P , então y = sen (5x +

6

)

P = 5

2

58

2) y = sen (23

x ) y = sen x P = 2, então y = sen (

23

x )

P =

3

1

2 P = 6

3.6.1. Dado um ângulo, cuja medida em radianos é x, chamamos de

função seno a função que associa a cada x pertencente a R e

indicamos: f(x) = sen x.


1) D = R.

2) Im = [-1,1].

3) Valor máximo y = 1.

4) Valor mínimo y = -1.

5) É periódica e o período é 2 P = 2.

Elementos da Senóide

Senóide

59

a) Período

O período da função y = sen (px), onde p > 0, é p

2P

.

Se p > 1 o período é menor que 2 , logo a curva senóide sofre

uma contração horizontal.

Se p < 1 o período é maior que 2 , logo a curva senóide sofre uma

expansão horizontal.

b) Nível Médio

O nível médio da curva senóide é zero e pode ser obtido através

da média aritmética entre os valores máximo (+1) e mínimo (-1) da

função y = sen x (o que em geral não é verdade nas outras funções).

A função y = n +sen x tem nível médio igual a “n” .

Se n > 0, ocorre uma translação vertical para cima.

Se n < 0, ocorre uma translação vertical para baixo.

c) Amplitude

Vamos considerar a amplitude da função como sendo o valor

positivo e igual à diferença entre os valores máximo e médio.

A função y = sen x tem amplitude 1.

A função y = msen x tem amplitude igual ao módulo de m,

pois seu valor máximo é o módulo de m e seu valor médio é zero.

Se m > 0, ocorre uma expansão vertical.

Se 0 < m < 1, ocorre uma contração vertical.

Se m < 0 a senóide sofre uma reflexão, com contração ou

expansão, em torno do eixo x.

Se m = -1, ocorre apenas uma reflexão.

Análise das Transformações das Curvas

Consideremos a curva abaixo como padrão:

60

1. A curva pode sofrer reflexão em torno do eixo x

2. A curva pode sofrer uma contração ou uma expansão horizontal

Contração horizontal

Expansão horizontal

61

3. A curva pode sofrer contração ou expansão vertical

4. A curva pode sofrer translações

a) Verticais

Para cima

Para baixo

Contração vertical

Expansão vertical

62

b) Horizontais

ATIVIDADE COMPUTACIONAL - II

Através do Aplicativo Graphmat, desenvolva as atividades computa-

cionais a seguir e faça suas conclusões referentes a cada tipo de

função envolvida em relação ao domínio, imagem e período, tendo

sempre como pano de fundo o gráfico da “função mãe”.

1. Faça o gráfico da função y = sen x (função mãe) e a partir deste

analise as situações a seguir.

a) y = asen x, onde “a” é um número real;

b) y = b + asen x, mantendo “a” constante e variando “b”;

c) y = sen (x + a), onde “a” é um número real;

d) y = sen (ax), onde “a” é um número real;

e) y = c + dsen (ax + b), onde “a”, “b”, “c” e “d” são números

reais.

Para a esquerda

Para a direita

63


função cosseno a função que associa a cada x pertencente a R e

indicamos:

f(x) = cos x.


Cossenóide

64

1) D = R.

2) Im = [-1, 1]. 3) Valor máximo y = 1. 4) Valor mínimo y = -1. 5) É periódica e o período é 2 P = 2.

ATIVIDADE COMPUTACIONAL - III





1. Faça o gráfico da função y = cos x (função mãe) e a partir deste


a) y = acos x, onde “a” é um número real;

b) y = b + acos x, mantendo “a” constante e variando “b”;

c) y = cos (x + a), onde “a” é um número real;

d) y = cos (ax), onde “a” é um número real;

e) y= c + dcos (ax + b), onde “a”, “b”, “c” e “d” são números

reais.


função tangente, a função que associa a cada x 2

+ k, k Z, o

número tg x pertencente aos reais e indicamos por:

f(x) = tg x.

65

tg x = ;xcos

xsen cos x 0

x

k2

; k Z

Análise da tendência da função quando:

1) x 2

2

2

= 1,570796327 ... rad.

x y = tg x

1,5 14,10

1,57 1255,76

1,5707 10381,32

x2

y x

2

y-

x y = tg x

4,72 -131,38

4,716 -276,92

4,713 -1636,60

Tangentóide

66


1) D = { x R /

k2

x , Zk }.

2) Im = R.

3) Valor Máximo .

4) Valor Mínimo .

5) É periódica e o período é P = .

ATIVIDADE COMPUTACIONAL - IV





1. Faça o gráfico da função y = tg x (função mãe) e a partir deste


a) y = atg x, onde “a” é um número real;

b) y = b + atg x, mantendo “a” constante e variando “b”;

c) y = tg (x + a), onde “a” é um número real;

d) y = tg (ax), onde “a” é um número real;

e) y= c + dtg (ax + b), onde “a”, “b”, “c” e “d” são números

reais.

3.6.4. Dado um ângulo, cuja medida em radianos é x ( kx , k Z),

chamamos de função cotangente, a função que associa a cada kx ,

k Z, o número cotg x R e indicamos:

f(x) = cotg x

67

cotg x = 0xsen;xsen

xcos kx , k Z


1) x = 3,14159264...rad

x y = cotg x

3,14 -627,88

3,141 -1687,32

3,1415 -10792,88

x - y- x

+ y

x y = cotg x

3,16 54,31

3,15 118,94

3,142 2454,91

Cotangentóide

68


1) D = {x R / kx , k Z}.

2) Im = R.

3) Valor Máximo .

4) Valor Mínimo .

5) É periódica e o período é P = .

ATIVIDADE COMPUTACIONAL - V





1. Faça o gráfico da função y = cotg x (função mãe) e a partir deste


a) y = acotg x, onde “a” é um número real;

b) y = b + acotg x, mantendo “a” constante e variando “b”;

c) y = cotg (x + a), onde “a” é um número real;

d) y = cotg (ax), onde “a” é um número real;

e) y= c + dcotg (ax + b), onde “a”, “b”, “c” e “d” são números

reais.

3.6.5. Dado um ângulo, cuja a medida em radianos é x, chamamos de

função secante, a função que associa a cada x zk,k2

o

número sec x R e indicamos:

f(x) = sec x

69

sec x = xcos

1; cos x 0 x Zk,k

2


1º) x 2

2

2

= 1,570796327 ... rad.

x y = sec x

1,57 1255,76

1,5707 10381,32

1,57079 158057,91

x2

y x

2

y-

x y = sec x

1,58 -108,65

1,5709 -9645,69

1,5708 -272241,81

Secantóide

70


1) D= { x R / x zk,k2

}.

2) Im = R.

3) Valor Máximo .

4) Valor Mínimo .

5) É periódica e o período é 2 P .

ATIVIDADE COMPUTACIONAL - VI





1. Faça o gráfico da função y = sec x (função mãe) e a partir deste


a) y = asec x, onde “a” é um número real;

b) y = b + asec x, mantendo “a” constante e variando “b”;

c) y = sec (x + a), onde “a” é um número real;

d) y = sec (ax), onde “a” é um número real;

e) y= c + dsec (ax + b), onde “a”, “b”, “c” e “d” são números

reais.

3.6.6. Dado um ângulo, cuja a medida em radianos é x, chamamos de

função cossecante, a função que associa a cada kx , Zk , o

número cossec x R e indicamos:

71

f(x) = cossec x

cossec x = xsen

1 ; sen x 0 kx , Zk

Analise a tendência da função quando:

1) x = 3,14159264...rad

x y = cossec x

3,14 627,88

3,141 1687,32

3,1415 10792,88

x - y x

+ y-

x y = cossec x

3,16 -54,32

3,15 -118,94

3,142 -2454,91

Cossecantóide

72


1) D = { /Rx kx , Zk }.

2) Im = R.

3) Valor Máximo e Valor Mínimo .

4) É periódica e o período é 2 P .

ATIVIDADE COMPUTACIONAL - VII





1. Faça o gráfico da função y = cossec x (função mãe) e a partir deste


a) y = acossec x, onde “a” é um número real;

b) y = b + acossec x, mantendo “a” constante e variando “b”;

c) y = cossec (x + a), onde “a” é um número real;

d) y = cossec (ax), onde “a” é um número real;

e) y= c + dcossec (ax + b), onde “a”, “b”, “c” e “d” são

números reais.

73

3.7. Gráficos Diversos das Funções Trigonométricas

1) y = sen ( x - 4

)

Para construirmos este gráfico construiremos uma tabela em 3

etapas.

1º) atribuímos valores a t = x - 4

;

2º) associamos a cada x - 4

o correspondente sen(x -

4

);

3º) calculamos x (x = t + 4

).

4xt

x = t +

4

y = sen t

0 4 0

2

43 1

4

5 0

23

47 -1

2 4

9 0

D = R

Im = [-1, 1]

P = 2

74

2) y = 1 + 2 cos 3x

t= 3x cos t 2 cos t x=t/3

y = 1 + 2 cos 3x

0 1 2 0 3

2

0 0

6

1

- 1 - 2

3

-1

2

3

0 0

2

1

2 1 2

3

2

3

D = R

Im = [-1, 3]

P = 3

2

75

4. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

4.1. Função Arco Seno. A função f: R R definida por f(x) = sen x

não é injetora, porque para valores distintos do domínio obtemos uma

mesma imagem. Também não é sobrejetora, porque a imagem não é

igual ao contradomínio, todos os reais, portanto f(x) = sen x não é

bijetora e então não admite função inversa. Porém, restringindo

domínio e contradomínio é possível definir sua inversa.

Atividade 1. Tome a folha com o gráfico da função y = sen x de frente

para você e vire a folha, de forma a ficar com o verso do

gráfico para você.

2. Fixe com a mão direita o lado direito da folha e faça com

ela um giro de 90º para a direita.

3. No lado em que a folha está agora, trace novamente os

eixos, indicando como eixo “x” o eixo horizontal e como

eixo “y” o eixo vertical.

4. Na figura que você enxerga, defina e marque intervalos do

gráfico que represente uma função.

5. Para padronizar o trabalho, se detenha no intervalo

[2

,2

] e contorne com o lápis o “pedaço” do gráfico que

se encontra neste intervalo.

6. Vire novamente a folha de modo a visualizar a função

y=sen x e faça o corte no intervalo que foi padronizado.

7. Determine o domínio e a imagem deste corte.

8. Volte a posição indicada em (5) e determine o domínio e a

imagem do “pedaço” do gráfico que você contornou com o

lápis.

9. Analise o domínio e a imagem encontrado em (7) e em (8).

10. Estas duas funções são inversas uma da outra, ou seja,

restringindo o domínio da função y = sen x ao intervalo

76

[2

,2

] e o contradomínio (igual a imagem) de [-1, 1],

teremos a sua inversa y = arc sen x.

11. Utilizando a técnica de determinação da função inversa,

determine a inversa da função y = sen x.

Então em relação a f(x) = arc sen x temos:

4.2. Função Arco Cosseno. A função f:RR definida por f(x) = cos x

não é injetora, porque para valores distintos do domínio obtemos uma

mesma imagem. Também não é sobrejetora, porque a imagem não é

igual ao contradomínio, todos os reais, portanto f(x) = cos x não é

bijetora e então não admite função inversa. Porém, restringindo

domínio e contradomínio é possível definir sua inversa.

Atividade

1. Tome a folha com o gráfico da função y = cos x de frente





D = [-1, 1]

Im = [2

,2

]

77





gráfico que representem função.

5. Para padronizar o trabalho, se detenha no intervalo [0, ] e

contorne com o lápis o “pedaço” do gráfico que se encontra

neste intervalo.


y=cos x e faça o corte no intervalo que foi padronizado.




lápis.



restringindo o domínio da função y = cos x ao intervalo

[0,] e o contradomínio (igual a imagem) de [-1, 1],

teremos a sua inversa y = arc cos x.


determine a inversa da função y = cos x.

Então em relação a f(x) = arc cos x temos:

D = [-1, 1]

Im = [0 , ]

78

4.3. Função Arco Tangente. A função f: A R sendo A = {x

R/

k2

x , Zk } definida por f(x) = tg x é sobrejetora, porque a

imagem é igual ao contradomínio, todos os reais. Mas não é injetora

porque para valores distintos do domínio obtemos uma mesma

imagem, portanto f(x) = tg x não é bijetora e então não admite função

inversa. Porém, restringindo o domínio é possível definir sua inversa.

Atividade

1. Tome a folha com o gráfico da função y = tg x de frente










5. Para padronizar o trabalho, se detenha no intervalo

]2

,2

[ e contorne com o lápis o “pedaço” do gráfico que



y=tgx e faça o corte no intervalo que foi padronizado.




lápis.

79



restringindo o domínio (A) da função y = tg x para o

intervalo de ]2

,2

[, teremos a sua inversa y = arc tg x.


determine a inversa da função y = tg x.

Então em relação a f(x) = arc tg x temos:

4.4. Função Arco Cotangente A função f: A R sendo A = {x

R/ kx , k Z} definida por f(x)=cotg x é sobrejetora, porque a

imagem é igual ao contradomínio, todos os reais. Mas não é injetora


imagem, portanto f(x) = cotg x não é bijetora e então não admite

função inversa. Porém, restringindo o domínio é possível definir sua

inversa.

Atividade

D = R

Im = ]2

,2

[

80

1. Tome a folha com o gráfico da função y = cotg x de frente










5. Para padronizar o trabalho, se detenha no intervalo ]0, [ e

contorne com o lápis o “pedaço” do gráfico que se encontra

neste intervalo.


y=cotg x e faça o corte no intervalo que foi padronizado.




lápis.



restringindo o domínio da função y = cotg x ao intervalo

]0,[, teremos a sua inversa y = arc cotg x.


determine a inversa da função y = cotg x.

Então em relação a f(x) = arc cotg x temos:

D = R

Im = ]0, [

81

4.5. Função Arco Secante. A função f: A R sendo A = {x

R/x zk,k2

} definida por f(x) = sec x não é injetora, porque

para valores distintos do domínio obtemos uma mesma imagem.

Também não é sobrejetora, porque a imagem não é igual ao

contradomínio, todos os reais, portanto f(x) = sec x não é bijetora e

então não admite função inversa. Porém, restringindo domínio e

contradomínio é possível definir sua inversa.

Atividade 1. Tome a folha com o gráfico da função y = sec x de frente










5. Para padronizar o trabalho, se detenha no intervalo [0, 2

[

ou ]2

, ] e contorne com o lápis o “pedaço” do gráfico que



y=sec x e faça o corte no intervalo que foi padronizado.


82



lápis.



restringindo o domínio da função y = sec x ao intervalo

[0,2

[ ou ]

2

, ], e o contradomínio (igual a imagem) ao

intervalo R – ]–1, 1[ teremos a sua inversa y = arc sec x.


determine a inversa da função y = sec x.

Então em relação a f(x) = arc sec x temos:

4.6. Função Arco Cossecante. A função f: A R sendo A =

{ /Rx kx , Zk } definida por f(x) = cossec x não é injetora,


imagem. Também não é sobrejetora, porque a imagem não é igual ao

contradomínio, todos os reais, portanto f(x) = cossec x não é bijetora e

então não admite função inversa. Porém, restringindo domínio e

contradomínio é possível definir sua inversa.

D=]-, -1] ou [1, [

Im = [0, 2

[ ou ]

2

, ]

83

Atividade 1. Tome a folha com o gráfico da função y = cossec x de

frente para você e vire a folha, de forma a ficar com o verso

do gráfico para você.








5. Para padronizar o trabalho, se detenha no intervalo [0,2

[

ou ]2

,0]

e contorne com o lápis o “pedaço” do gráfico que



y=cossec x e faça o corte no intervalo que foi padronizado.




lápis.



restringindo o domínio da função y = cossec x ao intervalo

[0,2

[

ou ]2

,0]

, e o contradomínio (igual a imagem) ao

intervalo R – ]–1, 1[ teremos a sua inversa y = arc cossec x.


determine a inversa da função y = cossec x.

Então em relação a f(x) = arc cossec x temos:

84

5. FUNÇÕES HIPERBÓLICAS

Certas combinações de ex e e

-x aparecem tão freqüentemente

em aplicações da matemática que recebem nomes especiais. Três

destas funções são: seno hiperbólico, cosseno hiperbólico e tangente

hiperbólica. Os valores destas funções estão relacionadas com as

coordenadas dos pontos de uma hipérbole equilátera. E vale salientar

que estas funções não são periódicas.

5.1. Função Seno Hiperbólico:é definida por senh x = 2

ee xx ,

onde o D = R e a Im = R.

]1,]D ou [1 , [

Im = [0,2

[

ou ]2

,0]

85

5.2. Função Cosseno Hiperbólico: é definida por cosh x = 2

ee xx ,

onde o D = R e a Im = [1, [.

5.3. Função Tangente Hiperbólica: é definida por tgh x = xx

xx

ee

ee

,

onde o D = R e a Im = ]-1, 1[.

5.4. Função Cotangente Hiperbólica: é definida por

cotghx=xx

xx

ee

ee

, onde o D = R-{0} e a Im = ]-, -1[ ou ]1, [.

86

5.5. Função Secante Hiperbólica: é definida por sech x = xx ee

2

,

onde o D = R e a Im = ]0, 1].

5.6. Função Cossecante Hiperbólica: é definida por

cossechx=xx ee

2

, onde o D = R-{0} e a Im = ]-, 0[ ou ]0, [.

87

6. FUNÇÕES HIPERBÓLICAS INVERSAS

6.1. Função Arco Seno Hiperbólico: é definida por

arcsenhx= )1xx(ln 2 , onde o D = R e a Im = R.

Determinação da expressão que define a função arcsenh x, através da técnica de

determinação da função inversa de y = senh x

88

ysenhxxsenhargy

2

eex

2

eeysenhx

yy

yy

2x = ey - e

-y

2x - ey + e

-y = 0 (. e

y)

e2y

– 2xey –1 = 0

2

1.1.4)x2(x2e

2y

1xxe 2y

como 01xx 2 e ey nunca é negativo, devemos ter:

1xxe 2y

)1xx(lneln 2y

)1xx(lny 2

89

6.2. Função Arco Cosseno Hiperbólico: é definida por

arccoshx= )1xx(ln 2 , onde o D = [1, [ e a Im = [0, [.

Atividade. Utilizando a técnica de determinação da função

inversa, determine a inversa da função y = cosh x.

6.3. Função Arco Tangente Hiperbólica: é definida por arctgh x =

x1

x1ln

2

1, onde o D = ]-1, 1[ e a Im = R.

90


inversa, determine a inversa da função y = tagh x.

6.4. Função Arco Cotangente Hiperbólica: é definida por

arccotghx=

1x

1xln

2

1, onde o D = ]-, -1[ ou ]1, [ e a Im = R-{0}


inversa, determine a inversa da função y = cotgh x.

6.5. Função Arco Secante Hiperbólica: é definida por

arcsechx=

x

x11ln

2

, onde o D = ]0, 1] e a Im = [0, [.

91


inversa, determine a inversa da função y = sech x.

6.6. Função Arco Cossecante Hiperbólica: é definida por

arccossechx =

x

x1

x

1ln

2

, onde o D = R-{0} e a Im = R-{0}.


inversa, determine a inversa da função y = cossech x.

Exercícios

1) Construa num mesmo sistema cartesiano, o gráfico das funções

abaixo.

a) f(x) = sen x

b) f(x) = 2 sen x

c) f(x) = -sen x

d) f(x) = (1/2) sen x

e) f(x) = 1 + sen x

92

2) Construa o gráfico das funções indicando período, imagem e

domínio.

a) f(x) = cos (2x)

b) f(x)= cos (x + /2)

3) Calcule o período, o domínio e a imagem da função y=-3+tg(x-/4).

4) Dê o domínio, a imagem, o período e construa o gráfico da função

y= -1 + 2sen (x/3).

5) Determine para quais valores reais de k, existe x, tal que:

cos x = 1k

2k3k 2

.

6) Determine o domínio de cada uma das funções abaixo.

a) y = sen (x - /9)

b) y = tg (4x - /2)

c) y = cossec (x/5 +3 /2)

d) y = sec (5x – 15o)

7) Encontre todos os números reais que satisfazem as desigualdades

abaixo.

a) x26x3x2 b) 31x2

9x4

c) (3x + 5) (2x + 8) 0

93

8) Calcule o período, o domínio, a imagem e construa o gráfico das

funções abaixo.

a) y = -2 + cos (x - /4).

b) y = (1/2) sen (x/2).

9) Determine o domínio de cada uma das seguintes funções.

a) y = cotg (4x - /2)

b) y = sec (x/5 + 3/2)

c) y = cossec (5x – 15o)

10) Construa o gráfico das funções indicando o domínio, a imagem e o

período.

94

a) y = sen(x)

b) y = 3 sen(x)

c) y = -sen(x)

d) y = 2

1sen(x)

e) y = 1 + sen(x)

f) y = 2 sen(x)

g) y = 2 cos(x)

h) y = sen (2x)

i) y = sen (x/2)

j) y = sen(x+4

)

k) y = sen(x+2

)

l) y = sen(7x)

m) y = cos(x)

n) y = 3 cos(x)

o) y = -cos(x)

p) y = 2

1cos(x)

q) y = 1 +cos(x)

r) y = 2 + cos(x)

s) y = 2 cos (x)

t) y = cos (2x)

u) y = cos(x/2)

v) y = cos (x +4

)

x) y = cos(x+6

)

z) y= cos(6x)

aa)y=-1+4cos(3x+5

)

bb) y = cos(x + 3

2)

cc) y = tg(2x)

dd) y = -tg(x)

ee) y = tg(3x - 3

)

ff) y = tg(8x)

gg) y = sec(3x - )

hh)y = cossec(2

x-60º)

ii) y = cotg(x + 30º)

jj) y=cossec(2

3

5

x )

11) Determine o valor de k para que exista o arco que satisfaz a

igualdade.

a) sen (x) = k -11 b) sen (x) = 2k

2k5

c) cos (x) = 3k + 4

12) Esboce o gráfico das funções.

a) y = xlog3 b) y = 2xlog2

1

13) Verifique se as funções são crescentes ou decrescentes.

a) xlog2

b) xlog

2

3

95

14) Esboce o gráfico e determine a imagem das funções de domínio R.

a) f(x) = 2x - 1 b)f(x) = 2

x-1 c) f(x) =

x

3

1

15) Determine os valores indicados.

a) arc cos 1 b) arc sen 0,5 c) senh 5 d) cosh 7

16) Determine o valor de x.

a)cos x = 0,866025403 b) sen x = 0,5

c) senh x = 0 d) cosh x = 1

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS

Página 8

a) D = R e Im = R+* b) D = R e Im = R+

*

c) D = R e Im = R+* d) D = R e Im = R+

*

Página 9

a) 7 b) 5 c) –4 d) –3 e) –2/3 f) 1

g) –3/2 h) –15/4 i)3 j) –1/4 k) 2 ou –6 l) 5/7

m) 2 ou –1 n) 2 o) 3 p) –2/3 q) 2 r) 1/2

Página 10

1. a) V b) F c) V d) V

e) V f) F g) F h) F

96

2. a) {x R / x < 5} b) {x R / x < 4}

c) {x R / x 3/2} d) {x R / x<-3}

e) {x R / x > -8/3} f) {x R / x <-3/10}

g) {x R / x<-2/9} h) {x R / x < -2 ou x > 1}

Página 13

1. a) –1/2 b) 4 c) 5/4 d) –6

e) 4/3 f) 4/9 g) –3 h) –1

2. a) 2 b) c) 4

3. a) 40 b) 1

4. a) 2 log 5 x-2log5 y –3log5 z b) 1/12 log2 (x2+1)-1/12 log2 (x

2+2x)

5. a) 0,7781 b) o,699 c) 3,2552 d) –2,142

6. 1,8983

7. a) –4,3010 b) 5,0791 c) 8,699

d) –1,699 e) 6,1761 f) 2,6505

Página 16

1. a) 49462 habitantes b) 64 anos

2. 14,2 SM

3. 28 anos

4. 14,2 meses

5. 6% am

6. 35 anos

7. 80dB

8. a) I 199526231,5 b) 15,85vezes mais intenso

97

Página 19

1. Deixamos a resolução e análise desta questão ao leitor

2. a) 100.000 b) y = 100.10x c) agosto de 2001

3. 14 minutos

4. 4 meses e 12 dias

5. Deixamos a resolução para o leitor

6. a) 0 b) 1

7. a) 1 b) 2000 c) 10 d) 20,08

e) 500 f) 1,3086 g) 1,883 h) 81

i) 0,11

8. a) 9,21 b) 1,042 c) 1,5849 d) 1,7

e) 3,47 f) 0,2171 g) 298,47 h) 5,3348

i) 4 . 107 j) 3,98 . 10

-6 l) –0,477 m) 1,5

9. a) {m R / m > 1} b) {m R / 0 < m <1/3}

Página 24

a) 3 b) 2 c) 1/4 d) 32

e) -13 f) –3 g) 1/9 h) 2

i) 3

Página 31

1. {x R / 2/5<x<6/5}

98

2. {x R / x>5/2}

3. {x R / -1<x<-1/2 ou 3/2<x<2}

4. {x R / 1/9 x 3 3 }

5. {x R / -3/2 < x < -1 ou –1 < x < 3 e x 0}

6. {x R / -2 < x < -1 ou x > 2 ou o < x < 1}

Página 31

1. 71 m

2.a = 4,88 cm b = 2,80 cm

3. 500 m

4. 1,58 cm2

5. 25,5 m

6. 200m

7. 630m

Página 39

1. /3 rad 2. 135º 3. (41/360) rad

Página 42

1. cm

2. 107,5º

3. a) 160º b) 152,5º c) 15º d) 142,5º

Página 50

1. 2

2. 5/6

3. 22

99

4. 423

5. cos x

6. a) 1 b) -1/2 c) 1/2 d) 1/2

e) –1 f) 1/2 g) 1 h) 3

i) 3 j) 332 l) 332 m) 2

7. 0

8. –1

9. 37

10. a) y < 0 b) y < 0

Página 84

1. Deixamos a resolução desta questão ao leitor.

2. Deixamos a construção dos gráficos para o leitor

a) P = b) P = 2

Im=[-1,1] Im=[-1,1]

D = R D=R

3. P =

D= {x R / x 3/4 +k, k Z}

Im=R

4. D=R

Im=[-3,1]

P = 6

o gráfico fica para o leitor construir.

5. }3k1/Rk{

6. a) R

b) {x R / x /4 +k/4, k Z}

100

c) {x R / x -15/2 +5k, k Z}

d) {x R / x 7/60 +k/5, k Z}

7. a) {x R / x 6}

b) {x R / -3 x < 1/2}

c) {x R / x -5/3 ou x -4}

8. a) P = 2 b) P = 4

D = R D = R

Im = [-3,-1] Im = [-1/2,1/2]

9. a) D = {x R / x /8 + k/4, k Z}

b) D = {x R / x -5 + 5k, k Z}

c) D = {x R / x /60 +k/5, k Z}

10. Considerando k Z

a) D = R

Im = [-1, 1]

P = 2

b) D = R

Im = [-3, 3]

P = 2

c) D = R

Im = [-1, 1]

P = 2

d) D = R

Im= [-1/2,1/2]

P = 2

e) D = R

Im = [0, 2]

P = 2

f) D = R

Im = [-2, 2]

P = 2

g) D = R

Im = [-2, 2]

P = 2

h) D = R

Im = [-1, 1]

P =

i) D = R

Im = [-1, 1]

P = 4

j) D = R

Im = [-1, 1]

P = 2

k) D = R

Im = [-1, 1]

P = 2

l) D = R

Im = [-1, 1]

P = 2/7

m) D = R

Im = [-1, 1]

P = 2

n) D = R

Im = [-3, 3]

P = 2

o) D = R

Im = [-1, 1]

P = 2

p) D = R

Im = [-1/2,1/2]

P = 2

q) D = R

Im = [0, 2]

P = 2

r) D = R

Im = [1, 3]

P = 2

s) D = R

Im = [-2, 2]

P = 2

t) D = R

Im = [-1, 1]

P = 2

u) D = R

Im = [-1, 1]

P = 4

v) D = R

Im = [-1, 1]

P = 2

x) D = R

Im = [-1, 1]

P = 2

z) D = R

Im = [-1, 1]

P = /3

aa) D = R

Im = [-5, 3]

P = 2/3

bb) D = R

Im = [-1, 1] cc) D={x R/

x/4+k/2}

dd) D={x R / x/2

+k}

101

P = 2 Im = R P = /2 Im = R P =

ee) D={x R /

x5/18+k/3}

Im = R P = /3

ff) D={x R / x/16

+k/8}

Im = R P = /8

gg) D={x R/ x/2

+k/3}

Im=R-(-1,1) P=2/3

hh) D={x R/ x2/3

+2k}

Im = R-(-1, 1)

P = 4

ii) D={x R / x -/6

+k}

Im = R

P =

jj) D={x R/ x

-15/2 +5k}

Im = R

P = 10

11. a) }12k10/Rk{

b) }3/2k0/Rk{

c) }1k3/5/Rk{

12. Deixamos a resolução desta questão ao leitor

13. a) crescente b) decrescente

14. a) (-1,) b) *R c) *R

15. a) 0º b) 30º c) 74,20 d) 548,31

16. a) 30º b) 30º c) 0 d) 0

102

BIBLIOGRAFIA

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São Paulo: Harbra, 1988.

BOULOS, P. Cálculo diferencial e integral. São Paulo: MAKRON

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HOFFMANN, L. D., BRADLEY, G. L. Cálculo: Um curso Moderno e

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LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. São Paulo: HARBRA, Vol. 1,

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SILVA, S. M. e SILVA, E. M. Matemática para os cursos de economia,

administração e ciências contábeis. São Paulo: ATLAS, Vol. 1, 1989.

funÇÕes transcendentes

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