Principios del Diseño Experimental

Análisis de Asociación

EL Diseño de Experimentos

Está relacionado básicamente con el planeamiento de la recolección de los datos.

Un Experimento

Es la Muestra en base a la cual se estimarán los parámetros Poblacionales, y se tomarán decisiones con respecto a la comparación de las poblaciones en estudio.

Cada experimento es una pregunta que se hace a la naturaleza, por lo tanto, para que las respuestas no sean confusas o contradictorias, es necesario que el mismo sea:

1) Técnicamente planeado2) Cuidadadosamente conducido3) Adecuadamente analizado4) Cautelosamente interpretado

Principios del diseño Experimental

Razones

Por lo general, un experimento es realizado por una o varias de las razones siguientes:

Identificar las principales causas de variación en la respuesta

Encontrar las condiciones que permitan alcanzar un valor ideal en la respuesta

Comparar las respuestas a diferentes niveles de factores controlados por el investigador

Construir modelos que permitan obtener predicciones de la respuesta.

Definiciones BásicasVariable Respuesta: es la variable en estudio, aquella cuyos cambios se desean estudiar. Es la variable dependiente.

Factor: es la variable independiente. Es la variable que manipula el investigador, para estudiar sus efectos sobre la variable dependiente.

Nivel Del Factor: es cada una de las categorías, valores o formas específicas del factor.

Factor Cualitativo: sus niveles se clasifican por atributos cualitativos.

Factor Cuantitativo: sus niveles son cantidad numérica en una escala.

Factores Observacionales: El investigador registra los datos pero no interfiere en el proceso que observa.

Factores Experimentales: El investigador intenta controlar completamente la situación experimental.

Experimento Unifactorial: es aquel en el se estudia un solo factor.

Experimento Multifactorial: es aquel en el que se estudia simultáneamente más de un factor.

Tratamientos: Conjunto de condiciones experimentales que serán impuestas a una unidad experimental en un diseño elegido.En experimentos unifactoriales, un tratamiento corresponde a un nivel de factor. En experimentos multifactoriales, un tratamiento corresponde a la combinación de niveles de factores.

Unidad Experimental: es la parte más pequeña de material experimental expuesta al tratamiento, independientemente de otras unidades.

Error Experimental: Describe la variación entre las unidades experimentales tratadas de forma idéntica e independiente. Orígenes del error experimental: •Variación natural entre unidades experimentales•Variabilidad en la medición de la respuesta•Imposibilidad de reproducir idénticas condiciones del tratamiento de una unidad a otra•Interacción de tratamientos con unidad experimental•Cualquier factor externo

Tratamiento Control: Un control al que no se le aplica tratamiento revelará las condiciones en que se realiza el experimento.•Mediciones: Son los valores de la variable dependiente, obtenidos de las unidades experimentales luego de la aplicación de tratamientos.

Elementos Del Diseño De Experimentos

El diseño de experimentos se refiere a la estructura del experimento considerando:

i) El conjunto de tratamientos incluidos en el estudio.

ii) El conjunto de unidades experimentales utilizadas en el estudio.

iii) Las reglas y procedimientos por los cuales los tratamientos son asignados a las unidades experimentales (o viceversa).

iv) Las medidas o evaluaciones que se hacen a las unidades experimentales luego de aplicar los tratamientos.

Principios Básicos Del Diseño De Experimentos

1) Control Local: son las acciones empleadas por el investigador para disminuir o controlar el error experimental

• Técnica• Selección De Unidades Experimentales Homogéneas• Bloquización• Selección del Diseño Experimental Adecuado• Utilizacion De Covariables

2) Replicación como un medio para estimar la variancia del error experimental

• Proporciona medias para estimar la variancia del error experimental

• Permite aumentar la precisión para estimar las medias de los tratamientos.

• Da seguridad contra resultados anormales por accidentes no previstos.

PRINCIPIOS BÁSICOS DEL DISEÑO DE EXPERIMENTOS

3) Aleatorización para validar la estimación de la variancia del error experimental.

Consiste en aplicar en forma aleatoria los tratamientos a las unidades experimentales.

La aleatorización tiende a promediar entre los tratamientos cualquier efecto sistemático presente de forma que las comparaciones entre tratamientos midan sólo los efectos de los tratamientos mismos.

Ambos análisis establecen relaciones entre variables.

Estudian la relación estadística entre variables para tomar decisiones.

En el Análisis de regresión el objetivo es Predecir.

Usa solo variables cuantitativas y la relación se expresa con un modelo lineal en el cual la variable independiente puede tomar cualquier valor fijado por el investigador .

Análisis de AsociaciónAnálisis de Regresión vs. Análisis de

Varianza

En el Análisis de Variancia el objetivo es comparar los distintos niveles de la ó las variables independientes ó factores para establecer diferencias significativas en la variable dependiente ó respuesta

Difieren del modelo anterior en que las variables independientes pueden ser cualitativas y que si son cuantitativas , en ANVA no se hace ninguna presunción sobre la naturaleza de la relación estadística entre variables dependientes e independiente.

Relaciones entre Análisis de Regresión y Análisis de la Variancia

Los Tipos de Modelos. 12

Los modelos experimentales de clasifican en tres tipos:

• De efectos fijos – MODELO I

• De efectos Aleatorios – Modelo II

• Mixtos.(Factores fijos y aleatorios)

Cuando el investigador tiene control sobre el material experimental aplicando sólo los niveles de los factores que le interesan en el modelo, es de efectos fijos.

Cuando se investiga un factor pero no se tiene control sobre tratamientos, por ejemplo en los estudios por muestreo, dónde los niveles que se aplican son una muestra extraída al azar de una población de niveles, los modelos son de efectos aleatorios.

ijjijY ...

Modelo I o de efectos fijos

En este modelo se asume que las k muestras son muestras aleatorias de k situaciones distintas y aleatorias. De modo

que un valor aislado Yij se puede escribir como:

 

Modelo II o de efectos aleatorios 

ijjijY ... i= 1,..,k y j=1,..,n

i= 1,..,k y j=1,..,nA.j

¿Cuáles son los supuestos y cuáles los elementos básicos del modelo I de ANVA?

Los Supuestos de Validez del modelo ANVA son:

Observaciones Independientes.Datos distribuidos Normalmente ( ;

σ2).Variancias Homogéneas.

Los elementos básicos del modelo II de ANVA

1. Supone que las k muestras independientes son muestras de k poblaciones distintas y fijas.

Diseño Completamente Aleatorizado

DCA

Introducción 3

En el caso de un Único Factor (Experimento Unifactorial) y a Efectos Fijos ( Modelo I) El modelo de Análisis de la Varianza

ijjijY ...

En donde:

Yij es la variable aleatoria que que mide la respuesta del sujeto experimentado en el í-simo individuo que recibió el j-simo tratamiento;

.. Es el promedio general;

.j El efecto del j-simo tratamiento, y;

ij Es la cantidad de variación no explicada por el Factor, también se conocerá como Error del Experimento, Variación Residual.

La Planificación del ExperimentoEn la experimentación planificada no es el modelo más recomendable, pues requiere que el desarrollo de la experiencia se haga en condiciones muy controladas. Por esto resulta apropiado cuando se estudian experimentos de laboratorio.

En otros casos, las circunstancias del material experimental obligan a usar este experimento como es el caso de las pruebas progenie en estudios genéticos.

La planificación del experimento es muy simple pues únicamente se requiere que los sujetos que van a ser experimentados se elijan al azar de la población y que además, los sujetos experimentados que recibirán un nivel del factor o Tratamiento son elegidos al azar del grupo previamente seleccionado.

Es muy conveniente que los grupos que recibirán un tratamiento tengan la misma cantidad de individuos pero no es indispensable.

Anova Un Criterio

Determina si la discrepancia entre las medias entre los tratamientos es mayor de lo que debería esperarse de las variaciones que ocurren dentro de los tratamientos.

Divide la Variación Total de los datos de la muestra en dos componentes.

Supuestos Anova

1. Observaciones se distribuyen Normal e Independiente y con la misma varianza para cada tratamiento

2.

3. ),0(~ 2 Nij

ijjijY ...

Modelos E Hipotesis

Modelo a efectos fijos

H0 : 1 = 2 …..= k= 0

H1 : i 0 al menos para una i

Modelo a efectos aleatorios

H0 : σ ² = 0

H1 : σ ² ≠ 0

Diseño Completamente Aleatorizado

Diseño aleatorio, en condiciones homogéneas (tiempo, materias primas, procedimientos operativos, etc.) .

Ejemplo con tres tratamientos:

Nº 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;10;11;12;13; 14; 15

Tr. A; A;C; B; B; A; C; B; B; C; B; C; C; A; A

Res.y₁,y₂,y3, y4 ,y5,y6, y7, y8, y9,y10,y11,y12, y13, y14,

y15

Análisis: ANOVA a Un criterio

Tabla Análisis

Rep

Trat1 2 3 4 5 Promedi

o

A YA1 YA2 YA3 YA4 YA5 YA.

B YB1 YB2 YB3 YB4 YB5 YB.

C YC1 YC2 YC3 YC4 YC5 YC.

Y..

Anova A Un Criterio

n

1t

2.jij

k

1j

n

1i

2k

1j...j

2ij

k

1j

)y(y)yy(n..)y(y

Identidad de la suma de cuadradosIdentidad de la suma de cuadrados

2k

1j

2)1()( jtrat nkCME

Esperanza de la suma de cuadrado tratamientoEsperanza de la suma de cuadrado tratamiento

1

k

SCCM trat

trat )1(

nk

SCEECM error

Cuadrado medio del tratamiento Cuadrado medio del errorCuadrado medio del tratamiento Cuadrado medio del error

Cuadro Anova Un Criterio

Fuentes Variación

Sumas Cuadrados

g.l Cuadrados Medios

F

Entre Tratamientos

SCTrat. k-1 SCTrat/ g.l (I)

FFoo= =

I/III/II

Dentro Trat. (Error)

SCError k(n-1) SCError/ g.l (II)

Total SCTotal n – 1

Anova Un Criterio

FFoo ≈≈ F ( F ((k-1) y k(n-1)(k-1) y k(n-1)) )

Si FSi Foo > F ( > F ((k-1) y k(n-1)(k-1) y k(n-1)) Rechazo la Hipotesis ) Rechazo la Hipotesis Nula Nula

Analis Residual Y Verificación Del Modelo

Análisis Residual (Diferencia entre el valor observado y el estimado por el modelo)

Normalidad (mediante Gráficos de Pr.Normal y Kolmogorof, Shaphiro Wilks)

Igualdad de Varianzas (Diagrama de Dispersión de residuos contra los promedios de tratamientos y prueba de homogeneidad de variancia de Levene)

Comparaciones Sobre Los Promedios

Si rechazo la Hipótesis Nula en el Modelo a Efectos Fijos Contrastes Ortogonales Prueba de Dunnet Prueba de Tukey Intervalos de confianza Pruebas en caso de violaciones de los

supuestos Otras

Comparaciones para factores cuantitativos

En un diseño completamente aleatorizado el factor bajo estudio puede sercualitativo o cuantitativo.

Un factor cuantitativo es aquel cuyos niveles están asociados con una escala numérica.En este caso, en lugar de estudiar niveles individuales del factor, como es el caso en el estudio de un factor cualitativo, se estáinteresado en analizar el intervalo de valores utilizados. Es deseable predecir la respuesta a un nivel intermedio o, investigar si existe cierta tendencia en la respuesta. Es decir,el principal interés aquíes ajustar una ecuación a los datos. Esto puede llevarse a cabo mediante el uso de la Técnica de Análisis de Regresión.

Curvas de Respuesta

Si los niveles del factor son equidistantes y si

Y=f(x, x2, x3,…,xp) es un polinomio en X, puede demostrarse

que el puede ser escrito como: Y = α0 P0(x) + α1P1(x) +... +αpPp(x) +ε

donde Pi es un polinomio de grado i, tales que Pi(x)y Pj(x)son ortogonales.

Si se tienen k tratamientos, se pueden tener efectos polinomiales hasta de orden k-1

Curvas de Respuesta Las sumas de cuadrados para los (k-1)efectos

polinomiales del factor forman una partición de la suma de cuadrados de los tratamientoscada uno con un grado de libertad y su significación estadística, puede ser comprobada comparando sus sumas de cuadrados con el cuadrado medio del error.El grado del polinomio lo determina el grado mas alto que para el cual éste sea estadísticamente significativo. Se desea ajustar el polinomio de menor grado posible que describa adecuadamente a los datos.

Y=ΣαPi+ ε

Polinomios Ortogonales

donde: d es la distancia entre los niveles

de x k es el número total de niveles y Λj son constantes tales que los

polinomios tienen valores enteros. Existen tablas que muestran los

Pi(x) y los λi Los estimadores para los

coeficientes de regresión λj se obtienen mediante el método de mínimos cuadrados

Estimaciones En Modelos A Efectos Aleatorios

Si rechazo la Hipótesis Nula en el Modelo a Efectos Aleatorios

Análisis de componentes de la Varianza

Ventajas Y Desventajas

La mayor ventaja de experimentar bajo un esquema Completamente al Azar, esto es, sin restricciones, es la simpleza del análisis y el recurso que significa aplicarlo cuando no hay otra posibilidad de análisis.

Es el paso consecutivo en uso de la regresión lineal en el análisis de modelos lineales.

Se presta por igual a estudios mediante técnicas de muestreo o en experimentos planificados.

Ventajas Y Desventajas

Cuando ocurren accidentes en la operación del experimento como la pérdida de una cantidad de unidades experimentales que no pueda contrarrestarse mediante técnicas de extrapolación, el Modelo Completo al Azar permite el análisis con las unidades remanentes sin importar que haya diferente número por tratamiento.

La facilidad de cálculo y manejo no compensan la baja precisión del diseño. Esto significa que es el modelo experimental menos eficiente. O dicho de otra manera: el diseño que mayor variación presenta. Prefiriéndose otros con mayor precisión en el análisis.

Aleatorizacion

Puede hacerse utilizando una tabla de números al azar, por cartas, tirando un dado, o por cualquier otra operación que sirva para el mismo propósito.

Como ilustración vamos a considerar un experimento que involucra 3 tratamientos: A, B y C cada uno replicado 4 veces.

La aleatorización y disposición de las unidades experimentales se lleva a cabo de la siguiente manera:

Se determina en número total de UE. Para nuestro ejemplo 3x4=12.

Se asigna una número a cada UE en una manera conveniente por ejemplo consecutivamente del 1 al 12.

Aleatorizacion

Mediante una tabla de números al azar:

1º paso: localizar el punto de comienzo en una tabla de números al azar

2º paso: Utilizando el punto de comienzo obtenido en el 1º paso, seleccionar n números de tres dígitos, donde n es el número total de UE (n=12). Se prefiere números de tres dígitos porque es más difícil encontrar valores iguales.

3º paso: Se ranquean los 12 números seleccionados del menor al mayor.Número al azar Secuencia Rango

149 1 2

361 2 7

180 3 4

018 4 1

427 5 8

243 6 6

494 7 9

704 8 12

549 9 10

157 10 3

571 11 11

226 12 5

Número al azar Secuencia

149 1

361 2

180 3

018 4

427 5

243 6

494 7

704 8

549 9

157 10

571 11

226 12

4º paso: Asignar los tratamientos a las UE. Usar el rango como números de UE y la secuencia con la cual se obtuvieron los números aleatorios para referirse a los tratamientos. Por ejemplo el tratamiento A : al 2,7,4,1, el tratamiento B, al 8,6,9,12, etc. 1 A 2 A 3 C 4 A

5 C 6 B 7 A 8 B9 B 10 C 11 C 12 B

Ejemplo 1: Engorde de Cerdos

Una empresa de alimentos ofrece a una empresa porcina un plan de alimentación muy bueno. El dueño del establecimiento aceptaría comprar un nuevo alimento si supera en aumento de peso al plan de alimentación actual y a otros dos que le han ofrecido.

La empresa de alimentos decide demostrar las bondades de su producto llevando a cabo un experimento planificado.

Consulta al dueño sobre la cantidad de cerdos que podían usar en el experimento y las facilidades de las instalaciones.

La respuesta fue: 52 cerdos que se van a engordar y los corrales que pueden ver.

Cuestionario

¿Se trata de un experimento uni o multifactorial?¿Cuáles son los factores?¿Cuáles son los tratamientos?¿Cuál es la variable respuesta?¿Cuál es la unidad experimental?¿Cuántas replicaciones haríamos?¿Cuántos animales necesitamos?¿Cómo haríamos el diseño?

En el caso de utilizar bloquización indicar y justificar.En el caso de utilizar tratamiento testigo indicar y justificar.

La Planificación del Experimento

Se descartan del grupo de 52 cerdos, las hembras y animales extremos, muy pequeños o muy grandes y algunas cruzas, quedan 24 machos castrados de la misma raza y de tamaño similar.

El diagrama de los corrales disponibles se muestra a la derecha con una capacidad de hasta 10 cerdos. ¿Cómo asignarían los tratamientos? N

Debido a que no es posible atender a los cerdos individualmente, se optó por usar los corrales que miran al Norte para usar cada uno de ellos con una de las 4 dietas por valorar.

En cada chiquero se acomodarían 6 cerdos?.

Consideraciones Sobre El Manejo.

El proceso de asignación aleatoria usualmente se elabora en la oficina para no manejar a los animales de más.

Incluso antes de su selección previa y numerado. De esta forma, un cerdo se atrapa, una sola vez, se pesa y se mide antes de ser introducido en el chiquero que le corresponda.

Este valor se define como Y1, peso Inicial.

Al final del periodo de la prueba, los cerdos se vuelven a pesar individualmente obteniendo la variable Y2.

Finalmente, la diferencia de peso final con la inicial será la variable Y3 o incremento de peso.

Diseño en Bloques Completos Aleatorizados

DBCA

Ing. Felipe Llaugel

• En muchos problemas de experimentos, es necesario hacer un diseño de tal manera que la variabilidad proveniente de fuentes conocidas pueda ser sistemáticamente controlada.

• Se pretende reducir el efecto de la variabilidad proveniente de causas propias del experimento pero independiente del efecto que se desea estudiar.

Diseño De Bloques Completos Aleatorizados

• Para los fines del análisis de varianza el bloqueo introduce un efecto adicional ficticio, cuyo objetivo es separar del error experimental, alguna fuente de variabilidad conocida.

Análisis De La Varianza: Clasificaciones según dos CriteriosEl Diseño en Bloque Completo al Azar es un plan en el cual las unidades experimentales se asignan a grupos homogéneos, llamados bloques, y los tratamientos son, luego, asignados al azar dentro de los bloques.

Objetivo del agrupamiento: lograr que las unidades dentro de un bloque sean lo más uniformes posible con respecto a la variable dependiente, de modo que las diferencias observadas se deban realmente a los tratamientos. Al controlar la variación dentro de los bloques reducimos la variabilidad del error experimental.

Completo: todos los tratamientos están incluidos en cada bloque.

Diseños En Bloques Aleatorizados

Cada bloque constituye una replicación.

Todos los tratamientos aparecen una sola vez en cada bloque

Diseño En Bloques Completos Aleatorizados

Se divide el material experimental en tantos bloques como números de replicaciones a utilizar. Cada bloque es luego dividido en tantas UE como tratamientos haya en estudio.

Como el DBCA especifica que todos los tratamientos deben aparecer una vez en cada replicación, la aleatorización se hace separadamente en cada bloque.

La aleatorización es similar al DCA para cada bloque.

Ejemplo: Para el ensamble de un artículo se considera comparar 4 máquinas diferentes. Como la operación de las máquinas requiere cierta destreza se anticipa que habrá una diferencia entre los operarios en cuanto a la velocidad con la cual operen la maquinaria. Se decide que se requerirán 6 operarios diferentes en un experimento de bloques aleatorizado para comparar las máquinas.

Entonces, el factor de interés es uno sólo, pero se crea otro factor para controlar la variabilidad extraña y excluirla así del error experimental.

Aleatorización: debemos asignar cada tratamiento, M1, M2, M3, y M4 a cada bloque.

22

45

27

2

Operario 1 Bloque 2 Bloque 3 Bloque 4 Bloque 5 Bloque 6

75

31

70

86

76

25

98

85

84

51

10

78

5

79

36

95

16

44

29

14

M2M4M3M1

M3M1M2M4

M2 M1 M4 M3

M4 M2 M1 M3

M1 M3 M2 M4

M2 M4 M3 M1

Ventajas• Puede proveer resultados más precisos que un DCA del mismo tamaño

si los agrupamientos son efectivos.

• Sirve para cualquier nº de tratamientos y replicaciones.

• Los tratamientos no necesitan tener tamaños de muestras iguales.(Bloque Incompleto)

• El análisis no se complica si se debe descartar, por alguna causa, un tratamiento o algún bloque.

• Se puede introducir, deliberadamente, variabilidad en las unidades experimentales para ampliar el rango de validez de los resultados sin sacrificar la precisión de los resultados.

Desventajas• Las observaciones faltantes dentro de un bloque requiere cálculos más

complejos.

• Los grados de libertad para el error experimental no son tantos como en el DCA.

• Se requieran más presunciones para el modelo: no interacción entre tratamientos y bloques, varianza constante de bloque a bloque.

Pero si las máquinas difieren en cuanto a la velocidad de ensamblado de la pieza, pensaríamos que las muestras provienen de poblaciones diferentes, e

µ1 µ2 µ3 µ4

Si las máquinas no difieren en cuanto a la velocidad de ensamblado de la pieza, tendrían igual velocidad promedio y las curvas se superpondrían exactamente.

µ

H0 : µ1= µ2 = µ3= µ4 ó H0 = α1=α2=α3=α4=0

H1: algún promedio es

distinto de los restantes

EL MODELO (DE EFECTOS FIJOS)Yij = µ + αi + βj + eij

Donde Y es la variable respuesta o dependiente, tiempo medido en segundos, e Yij es la observación perteneciente al j-ésima bloque bajo el tratamiento i; las observaciones son independientes.

µ es la media general común a todas las máquinas y a todos los operarios.

αi es el efecto del tratamiento en el nivel i, propio de cada máquina.

βj es el efecto del bloque en el nivel j, propio de cada operario.

eij es la variable aleatoria del error con distribución normal, con media = 0 y varianza σ2 N (0 ; σ2 ) e independiente.

Modelo lineal aditivo: cada respuesta es la suma de los otros términos.

Cuando el modelo es aditivo quiere decir que la diferencia en respuestas medias entre dos operarios es la misma para todas las máquinas.

Medias marginales estimadas

de Velocidad

Tratamiento

4321

Media

s m

arg

inale

s e

stim

adas

48

46

44

42

40

38

BLOQUE

1

2

3

4

5

6

Cada componente del modelo contribuye a la variabilidad total. La partición de la Suma de Cuadrados Total involucrará tres fuentes de variación.

Si aplicamos el Método de los Mínimos Cuadrados, para estimar los parámetros

....ˆ y =

b

i

t

jijy

bt 1 1

1 Donde b son los bloques y t los

tratamientos

i = .ˆi - .. = .iy - ..y

j = j. - .. = jy. - ..y

ije = ijy - .. - i - j = ijy - .iy - jy. + ..y

Tabla de Análisis de varianza para dos criterios de clasificación

2....

2.

22 )(..)(..).()..( yyyyyybyytyy ji j

iijj

ji

ii j

ij

Variación total Variación debida Variación debida Variación propia de

a los tratamientos a los bloques las observaciones

SCT SCA SCB SCE

Fuente de Suma de Grados de Cuadrados F calculada

variación Cuadrados libertad Medios  

Tratamientos SCA t - 1 CMA = SCA / t-1 CMA / CME

Bloques SCB b -1 CMB = SCB / b-1 CMB / CME

Error Experimental SCE (t - 1)(b-1) CME = SCE / (t-1)(b-1)

Total SCT t.b -1    

  Operario    

Máquina 1 2 3 4 5 6 Total Medias

1 42,5 39,3 39,6 39,9 42,9 43,6 247,8 41,3

2 39,8 40,1 40,5 42,3 42,5 43,1 248,3 41,4

3 40,2 40,5 41,3 43,4 44,9 45,1 255,4 42,6

4 42,3 43,2 44,5 45,2 46,9 43,3 265,4 44,2

Total 164,8 163,1 165,9 170,8 177,2 175,1 1016,9  

Medias 41,2 40,775 41,475 42,7 44,3 43,775 254,225 42,4

Tiempo en segundos para el ensamble del producto

Suma de Cuadrados Tratamientos =

Suma de Cuadrados de Bloques =

Suma de Cuadrados Total =

Suma de Cuadrados del Error = SCTotal – SCTratamiento - SCBloque

Fc =

2

.tb

Yi j

ijFactor de Corrección =

ci

i FTb

2.

1

cj

j FTt

2.

1

ci j

ij FY 2